时间序列数据的伪回归问题

称为协整回归(cointegrating)或静态回归(static regression)。
ˆt 的单整性,如果 e ˆt 是稳定的序列,则认 第二步,检验 e 为因变量与自变量之间具有协整关系。检验的方法 仍然是DF检验或ADF检验。
进行检验时，拒绝零假设 H0 ： =0 ，意味 着误差项et是平稳序列，从而说明 X与Y间是协 整的。
在时期 t ，假设 X 有一个变化量 Xt ，如果 变量X与Y在时期t与t-1末期仍满足它们间的长 期均衡关系，则Y的相应变化量由式给出:
Yt 1X t vt
式中，vt=t-t-1。
• 实际情况往往并非如此
如果t-1期末，发生了上述第二种情况，即Y 的值小于其均衡值，则 Y 的变化往往会比第一 种情形下Y的变化Yt大一些； 反之，如果 Y的值大于其均衡值，则 Y 的变 化往往会小于第一种情形下的Yt 。
二、协整检验
为了检验两变量 Yt,Xt 是否为协整， Engle 和 Granger 于 1987 年提出两步检验法，也称为 EG检验。 第一步，用OLS方法估计方程： Yt=0+1Xt+t 并计算非均衡误差，得到：
ˆ ˆ0 ˆ1 X t Y t ˆ ˆ Y Y e
t t t
• 检验变量之间的协整关系，在建立计量经 济学模型中是非常重要的。 而且，从变量之间是否具有协整关系出发 选择模型的变量，其数据基础是牢固的，其统 计性质是优良的。
建立回归模型时,如 Ct 0 1GDP t t
只要变量选择是合理的(具有长期稳定的关系, 即协整关系)，随机误差项一定是“白噪声”（即均 值为0，方差不变的稳定随机序列），模型参数有合 理的经济解释。 这也解释了尽管这两时间序列是非稳定的，但却 可以用经典的回归分析方法建立回归模型的原因。
而OLS法采用了残差最小平方和原理，因 此估计量是向下偏倚的，这样将导致拒绝零假 设的机会比实际情形大。
于是对et平稳性检验的DF与ADF临界值应该 比正常的DF与ADF临界值还要小。
• MacKinnon(1991)通过模拟试验给出了协整检验的 临界值，下表是双变量情形下不同样本容量的临 界值。
Ct 49.764106 0.45831 GDP t
R2=0.9981
通过对该式计算的残差序列作ADF检验， 得适当检验模型
ˆt 1.55e ˆt 1 1.49e ˆt 1 2.27e ˆt 3 e
（-4.47） (3.93) (3.05)
t=-4.47<-3.75=ADF0.05，拒绝存在单位根的 假设，残差项是稳定的，因此中国居民人均消费 水平与人均GDP是(2,2)阶协整的，说明了该两变 量间存在长期稳定的“均衡”关系。
3.协整 从这里已看到，非稳定的时间序列，它 们的线性组合也可能成为平稳的。 假设Yt=0+1Xt+t式中的X与Y是I(1)序 列，如果该式所表述的它们间的长期均衡关 系成立的话，则意味着由非均衡误差（*）式 给出的线性组合是I(0)序列。这时我们称变量 X与Y是协整的（cointegrated）。
2. 长期均衡
• 某些经济变量间确实存在着长期均衡关系，这 种均衡关系意味着经济系统不存在破坏均衡的内 在机制，如果变量在某时期受到干扰后偏离其长 期均衡点，则均衡机制将会在下一期进行调整以 使其重新回到均衡状态。
假设X与Y间的长期“均衡关系”由式描述:
Yt 0 1 X t t
式Yt=0+1Xt+t中的随机扰动项也被称为非 均衡误差（disequilibrium error），它是变量X与Y 的一个线性组合：
t Yt 0 1 X t
(*)
因此，如果Yt=0+1Xt+t式所示的X与Y 间的长期均衡关系正确的话，（*）式表述的非 均衡误差应是一平稳时间序列，并且具有零期 望值，即是具有0均值的I(0)序列。
• 1、利用非平稳时间序列直接建模容易产生
“伪回归”问题
？个人收入水平
物价指数 个人收入水平
物价指数
较为普遍的现象!!
• 很多经济时间序列都是非平稳的（从直观上看， 随着经济的发展，多数经济时间序列呈明显的上 升趋势），而直接采用非平稳时间序列建立回归 模型，很容易产生“伪回归”问题。
• 由于许多经济变量是非稳定的，这就给经典的回归分析 方法带来了很大限制。 • 但是，如果变量之间有着长期的稳定关系（即它们之间 是 协整 的 cointegration），则是可以使用经典回归模型 方法建立回归模型的。 • 例如，中国居民人均消费水平与人均 GDP 变量之间的回 归预测模型要比ARMA模型有更好的预测功能，其原因在 于，从经济理论上说，人均GDP决定着居民人均消费水 平，而且它们之间有着长期的稳定关系。
• 非平稳时间序列的另一个问题是，虽然这种时间序列事实上会破 坏经典回归分析的基础和有效性，但根据分析结果并不一定能发 现问题。 • 事实上，有时即使时间序列严重非平稳，分析结果完全无效，t、 F、 等指标却仍然很正常，模型的显著性和拟合程度看起来都很 好。这种问题通常称为“伪回归” 问题。 R2
式中:t是随机扰动项。 该均衡关系意味着:给定X的一个值，Y相应 的均衡值也随之确定为0+1X。

在t-1期末，存在下述三种情形之一：
（1）Y等于它的均衡值：Yt-1= 0+1Xt -1；
（2）Y小于它的均衡值：Yt-1< 0+1Xt -1；
（3）Y大于它的均衡值：Yt-1> 0+1Xt -1；
•怎么办???
• 检验是否存在长期稳定的均衡关系, • 误差修正
一、长期均衡关系
1. 问题的提出
• 经典回归模型 （classical regression model）是建立在 稳定数据变量基础上的。
4
2
0
-2
-4 200 400 600 Z2 800 1000
• 对于非稳定变量，不能使用经典回归模型，否则会出 现虚假回归 (伪回归) 等诸多问题。
时间序列数据的伪回归问题 及其处理方法
——长期均衡关系 ——误差修正回归模型
• 运用平稳时间序列数据的经典回归分析是有效的，以往时间序列 数据的计量回归分析实际上隐含假设数据是平稳的。 • 如果把非平稳的时间序列当作平稳序列，事实上会破坏古典线性 回归模型的基本假设，用这样的模型进行回归，得到的统计量都 是失效的，分析、检验和预测结果都是无效的，对计量回归分析 的有效性有很大的影响。
•
1、利用非平稳时间序列直接建模容易产生“伪回归”问题 如:
中国GDP 印度人口
物价指数 个人收入水平 个人收入水平 物价指数
• 1、利用非平稳时间序列直接建模容易产生“伪回 归”问题
中国GDP 印度人口
×
印度的人口增长比较快,中国的GDP增长也比较快,这两 个序列有着共同的趋势,能否把这两个序列建立一个模型。

2、存在着因果关系的变量间建立的回归预测 模型的预测效果越来越差
ຫໍສະໝຸດ Baidu
我们建立的模型是一个均衡的模型，而实 际情况不可能总是在均衡状态下，实际往往会 偏离其均衡状态而处于不均衡状态。这时，则 需要根据 的不均衡程度 的预测 值。
• 利用非平稳时间序列直接建模容易产生“伪回归”问题 • 存在着因果关系的变量间建立的回归预测模型的预测效果越来越 差
表 9.3.1 样本容量 25 50 100 ∝ 双变量协整 ADF 检验临界值 显 著 性 水 平 0.01 -4.37 -4.12 -4.01 -3.90 0.05 -3.59 -3.46 -3.39 -3.33 0.10 -3.22 -3.13 -3.09 -3.05
• 例 检验中国居民人均消费水平CPC与人均国内生 产总值GDPPC的协整关系。 已知C与GDP都是I(2)序列，它们的回归式：
可见，如果Yt=0+1Xt+t正确地提示了X与 Y间的长期稳定的“均衡关系”，则意味着Y对 其均衡点的偏离从本质上说是“临时性”的。 因此，一个重要的假设就是:随机扰动项t 必须是平稳序列。 显然，如果t有随机性趋势（上升或下降）， 则会导致Y对其均衡点的任何偏离都会被长期累 积下来而不能被消除。