人教版数学九年级上册：解题技巧专题：切线证明的常用方法 习题课件(含答案)(共16张PPT)
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人教版数学九年级上册切线的判定PPT精品课件
2、已知⊙O的半径为5cm, 圆心O与直线AB的距离为d, 根据 条件填写d的范围:
1)若AB和⊙O相离, 则 d > 5cm
;
2)若AB和⊙O相切, 则 d = 5cm ; 3)若AB和⊙O相交,则 0cm≤ d < 5cm.
3.知识要点
判定直线与圆的位置关系的方法有__两__种： （1）根据定义，由_直__线___与__圆__的__公__共__点__ 的个数来判断； （2）根据性质，由_圆__心__到__直__线__的__距__离__与__半__径__ 的关系来判断． （在实际应用中，常采用第二种方法判定）
.O
A
L
经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是
圆的切线.
几何应用: ∵OA⊥L ,OA是半径 ∴L是⊙O的切线
注意 圆的切线有无数条．
人教版数学九年级上册2 4 . 2 . 2 切线的判定 课件
已知一个圆和圆上的一点,如何过这个点画出圆的切线? 人教版数学九年级上册24.2.2切线的判定课件
小练习
A
C
B
∴ OC是等腰三角形OAB底边AB上的中线。
∴ AB⊥OC。
∵ OC是⊙O的半径
∴ AB是⊙O的切线。
人教版数学九年级上册2 4 . 2 . 2 切线的判定 课件
人教版数学九年级上册2 4 . 2 . 2 切线的判定 课件
〖例2〗
已知：O为∠BAC平分线上一点，OD⊥AB于D,以O为圆心，OD为
半径作⊙O。
D
B
求证：⊙O与AC相切。
A
O
证明：过O作OE⊥AC于E。 ∵ AO平分∠BAC，OD⊥AB ∴ OE＝OD ∵ OD是⊙O的半径 ∴ AC是⊙O的切线。
24.2.3+切线的判定和性质课件+2023-—2024学年人教版数学九年级上册
1.[2023眉山中考]如图，AB切⊙ O于点B，连接OA
交⊙ O于点C，BD//OA交⊙ O于点D，连接CD，
若∠OCD = 25∘ ，则∠A的度数为(
A.25∘
B.35∘
C.40∘
C )
D.45∘
第1题图
【解析】 如图，连接OB. ∵ AB切⊙ O于点B，
∴ OB ⊥ AB，∴ ∠ABO = 90∘ . ∵ BD//OA，
AE的长为(
B )
A.1
B. 2
C.2
D.2
2
第2题图
【解析】 ∵ OA是⊙ O的半径，AE是⊙ O的切线，
∴ ∠A = 90∘ . ∵ ∠AOC = 45∘ ，OA ⊥ BC，∴△ CDO和△ EAO都是等腰直角
三角形，∴ OD = CD，OA = AE. ∵ OA ⊥ BC，∴ CD =
1
BC
线，∴ ∠OPB = 90∘ . ∵ ∠ABC = 90∘ ，∴ OP//BC，
∴ ∠CBD = ∠POB = 40∘ ．
8.如图，已知AB为⊙ O的直径，C为⊙ O上一点，
点D为BA的延长线上一点，连接CD.若DC与⊙ O
相切，点E为OA上一点，且∠ACD = ∠ACE.求
证：CE ⊥ AB.
证明：∵ 与⊙ 相切，
AC是⊙ O的切线，A为切点，BC经过圆心.若
∠B = 21∘ ，则∠C的度数是(
A.21∘
B.42∘
C )
C.48∘
D.69∘
第6题图
【解析】 如图，连接OA. ∵ AC是⊙ O的切线，A
为切点，∴ AC ⊥ OA，
∴ ∠OAC = 90∘ . ∵ ∠B = 21∘ ，
∴ ∠AOC = 2∠B = 2 × 21∘ = 42∘ ，
上册切线的判定人教版九年级数学全一册课件
上册切线的判定人教版九年级数学全 一册课 件
对点训练
1.如图，直线AB经过⊙O上的点C，并且OA＝OB，CA＝CB. 求证：AB是⊙O的切线．
证明：如图，连接OC， ∵OA＝OB，CA＝CB，
∴OC⊥AB， ∵点C在⊙O上， ∴AB是⊙O的切线．
知识点二：利用数量关系证明圆的切线 (1)若圆心到直线的距离(d)等于半径(r)，则这条直线是圆的切 线． (2)利用数量关系证切线的特征是圆与直线未知公共点．
证明：如图，连接OB， ∵BD＝BC，
∴∠CAB＝∠BAD， ∵∠EBD＝∠CAB， ∴∠BAD＝∠EBD， ∵AD是⊙O的直径，
∴∠ABD＝90°，OA＝BO， ∴∠BAD＝∠ABO， ∴∠EBD＝∠ABO， ∴∠OBE＝∠EBD＋∠OBD＝∠ABO＋∠OBD＝∠ABD＝
90°，
∵点B在⊙O上，∴BE是⊙O的切线.
∵∠PEC＝∠APC＝90°，∠PCE＝∠ACP， ∴∠EPQ＝∠EAP， ∴∠QPF＝∠EAP，∴∠QPF＝∠OPA， ∵∠OPA＋∠OPC＝90°，∴∠QPF＋∠OPC＝90°， ∴OP⊥PF， ∵点 P 在⊙O 上，∴PF 是⊙O 的切线.
上册切线的判定人教版九年级数学全 一册课 件
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8.【例6】如图，在△OAB中，OA＝2 5，OB＝4 5，OA⊥ OB，以O为圆心，4为半径作⊙O.求证：AB是⊙O的切线．
上册切线的判定人教版九年级数学全 一册课 件
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解：如图，作OC⊥AB于C， ∵OA⊥OB， ∴∠AOB＝90°，
在Rt△OAB中， AB＝ OA2＋OB2＝ 2 52＋4 52＝10，
证明：∵AB＝AC，∠CBA＝45°， ∴∠BCA＝45°，∴∠BAC＝90°， ∴AC⊥AO，又AB是⊙O的直径，∴AC是⊙O的切线．
对点训练
1.如图，直线AB经过⊙O上的点C，并且OA＝OB，CA＝CB. 求证：AB是⊙O的切线．
证明：如图，连接OC， ∵OA＝OB，CA＝CB，
∴OC⊥AB， ∵点C在⊙O上， ∴AB是⊙O的切线．
知识点二：利用数量关系证明圆的切线 (1)若圆心到直线的距离(d)等于半径(r)，则这条直线是圆的切 线． (2)利用数量关系证切线的特征是圆与直线未知公共点．
证明：如图，连接OB， ∵BD＝BC，
∴∠CAB＝∠BAD， ∵∠EBD＝∠CAB， ∴∠BAD＝∠EBD， ∵AD是⊙O的直径，
∴∠ABD＝90°，OA＝BO， ∴∠BAD＝∠ABO， ∴∠EBD＝∠ABO， ∴∠OBE＝∠EBD＋∠OBD＝∠ABO＋∠OBD＝∠ABD＝
90°，
∵点B在⊙O上，∴BE是⊙O的切线.
∵∠PEC＝∠APC＝90°，∠PCE＝∠ACP， ∴∠EPQ＝∠EAP， ∴∠QPF＝∠EAP，∴∠QPF＝∠OPA， ∵∠OPA＋∠OPC＝90°，∴∠QPF＋∠OPC＝90°， ∴OP⊥PF， ∵点 P 在⊙O 上，∴PF 是⊙O 的切线.
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8.【例6】如图，在△OAB中，OA＝2 5，OB＝4 5，OA⊥ OB，以O为圆心，4为半径作⊙O.求证：AB是⊙O的切线．
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解：如图，作OC⊥AB于C， ∵OA⊥OB， ∴∠AOB＝90°，
在Rt△OAB中， AB＝ OA2＋OB2＝ 2 52＋4 52＝10，
证明：∵AB＝AC，∠CBA＝45°， ∴∠BCA＝45°，∴∠BAC＝90°， ∴AC⊥AO，又AB是⊙O的直径，∴AC是⊙O的切线．
小专题11 证明切线的两种常用方法-2020秋人教版九年级数学全一册习题课件(共26张PPT)
1．(咸宁中考改编)如图，在△ ABC 中，AB＝AC，以 AB 为直径的 ⊙O 与边 BC，AC 分别交于 D，E 两点，过点 D 作 DF⊥AC，垂足 为 F.求证：DF 是⊙O 的切线．
证明：连接 OD. ∵OB＝OD， ∴∠ODB＝∠B.
又∵AB＝AC，∴∠C＝∠B. ∴∠ODB＝∠C. ∴OD∥AC. ∵DF⊥AC，∴∠DFC＝90°. ∴∠ODF＝∠DFC＝90°. 又∵OD 为⊙O 的半径， ∴DF 是⊙O 的切线．
证明：连接 OC. ∵⊙O 的半径为 3， ∴OC＝OB＝3. 又∵BP＝2，∴OP＝5. 在△ OCP 中，OC2＋PC2＝32＋42＝52＝OP2， ∴△OCP 为直角三角形，∠OCP＝90°. ∴OC⊥PC. ∵C 是⊙O 上一点， ∴PC 为⊙O 的切线．
直线与圆没有已知的公共点时，通常“作垂直，证半径，得切线”．证 明垂线段的长等于半径常用的方法是利用三角形全等或者利用角平 分线上的点到角的两边的距离相等．
5．(临沂中考改编)如图，△ ABC 为等腰三角形，O 是底边 BC 的中 点，腰 AB 与⊙O 相切于点 D，OB 与⊙O 相交于点 E.求证：AC 是 ⊙O 的切线．
证明：连接 OA，OD，作 OF⊥AC 于点 F，垂足为 F. ∵△ABC 为等腰三角形，O 是底边 BC 的中点， ∴AO⊥BC，AO 平分∠BAC. ∵AB 与⊙O 相切于点 D，∴OD⊥AB. 而 OF⊥AC，∴OF＝OD. ∴AC 是⊙O 的切线．
第二十四章 圆 小专题11证明切线的两种常用方法
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直线过圆上某一点，证明直线是圆的切线时，只需“连半径，证垂直， 得切线”．“证垂直”时通常利用圆中的关系得到 90°的角，如直径所 对的圆周角等于 90°等．
九年级数学上册 专题训练(七)切线证明的方法课件 (新版)新人教版
(二)利用全等证垂直 3．如图，AB 是⊙O 的直径，BC⊥AB 于点 B，连接 OC，弦 AD∥OC. 求证：CD 是⊙O 的切线．
解：连接OD.由SAS证OD，∴CD是⊙O的切线
(三)利用勾股定理逆定理证垂直 4．如图，AB 为⊙O 的直径，点 P 为 AB 延长线上一点，点 C 为 ⊙O 上一点，PC＝8，PB＝4，AB＝12.求证：PC 是⊙O 的切线．
(2)过D点作DF⊥BC于点F，易证四边形ABFD是矩形， ∴AD＝BF，AB＝DF，又∵AD＝4，BC＝9，∴FC＝9－4＝5. 又∵AM，BN，CD分别切⊙O于点A，B，E，∴DA＝DE，CB ＝CE，∴DC＝AD＋BC＝4＋9＝13.在Rt△DFC中，DC2＝DF2 ＋FC2，∴DF＝12，∴AB＝12，∴⊙O的半径R是6
专题训练(七) 切线证明的方法
一、有交点，连半径，证垂直 (一)利用角度转换证垂直 1．如图，AB 是⊙O 的弦，OD⊥OB，交 AB 于 E，且 AD＝ED. 求证：AD 是⊙O 的切线．
解：连接OA.∵OA＝OB，∴∠B＝∠OAB.又∵AD＝DE， ∴∠DAE＝∠DEA，而∠DEA＝∠BEO，∠B＋∠BEO＝ 90°，∴∠DAE＋∠OAB＝90°，∴OA⊥AD，∴AD是 ⊙O 的切线
解：连接 OC.根据题意，可得 OC＝6， PO＝10，PC＝8，∴OC2＋PC2＝PO2，∴△ POC 为直角三角形且∠PCO＝90°，∴OC ⊥CP，∴PC 是⊙O 的切线
二、无交点，作垂直，证半径 5．如图，在△ABC 中，AB＝AC，D 为 BC 的中点，以 D 为圆 心的圆与 AB 相切于点 E.求证：AC 与⊙D 相切．
解：连接DE，过D作DF⊥AC于F，易证 △BDE≌△CDF，∴DF＝DE，∴AC与⊙O 相切
第2课时+切线的判定与性质++课件++2024--2025学年人教版九年级数学上册+
①有公共点，连半径，证垂直；
②无公共点，作垂直，证半径.
切线的
性质定理
圆的切线垂直于 经过切点的半径
性 质 有1个公共点
有切线时常用辅助线 添加方法： 见切线，连切点，得垂直.
d=r
当堂练习
1.判断下列命题是否正确.
⑴ 经过半径外端的直线是圆的切线. （× ）
⑵ 垂直于半径的直线是圆的切线. （× ）
条半径”，两个条件缺一不可，否则就不是圆的切线.
归结
判断一条直线是一个圆的切线有三个方法：
1.定义法：直线和圆只有一个
公共点时，我们说这条直线是
圆的切线;
l
2.数量关系法：圆心到这条 直线的距离等于半径(即d=r)
dr l
时，直线与圆相切；
O
3.判定定理：经过半径的外端且垂
直于这条半径的直线是圆的切线.
N M
A
l
疑探 B
例1：如图,∠ABC=45°，直线AB
是☉O上的直径，点A,且AB=AC.
O
求证：AC是☉O的切线.
A
C
解析：直线AC经过半径的一端，因此只要证OA垂直于AB即可.
证明：∵AB=AC，∠ABC＝45°，
∴∠ACB＝∠ABC＝45°.
∴∠BAC=180°-∠ABC-ACB=90°.
∵AB是☉O的直径， ∴ AC是☉O的切线.
反证法. 小亮的理由是:直径AB与直线CD要么垂直,要么不垂直.
（1）假设AB与CD不垂直,过点O作一
条直径垂直于CD,垂足为M,
B
（2）则OM<OA,即圆心到直线CD的距
离小于⊙O的半径,因此,CD与⊙O相
交.这与已知条件“直线与⊙O相切”
圆单元复习之切线证明的常用方法 课件(共15张PPT)(2024)人教版初中数学九年级上册
求证：CD与⊙O相切.
••针课针对堂对训小训练结练
切线证 明的常 用方法
有交点,连半径,证垂直 无交点,作垂直,证半径
• 能力提升
体验中考1：如图1，AB为半圆的直径，点O为圆心，AF为半圆 的切线，过半圆上的点C作CD//AB交AF于点D，连接BC. （1）连接DO，若BC//OD,求证：CD是半圆的切线； （2）如图2，当线段CD与半圆交于点E时，连接AE，AC， 判断∠AED和∠ACD的数量关系，并证明你的结论.
演练2:如图，AB是⊙O的直径，弦AD平分∠BAC，过点D作DC⊥AC
于C，求证：DC是⊙O的切线
证明：连接OD ∵ AD平分∠BAC ∴ ∠BAD=∠CAD
又∵OA=OB ∴ ∠BAD=∠ODA
又∵AC⊥DC ∴OD⊥DC
又∵ OD是半径 ∴ DC为⊙O的切线。
∴ ∠CAD=∠ODA ∴ OD∥AC
能力提升
体验中考2：如图,在△ABC中,O为AC上一点，以O为圆心，OC为半径
作圆，与BC相切于点C,过点A作AD⟂BO交BO的延长线于点D,且
∠AOD=∠BAD.
求证：AB为⊙O的切线.
A
E
B
D O C
求证：PB是⊙O的切线；
类型一：有交点，连半径，证垂直
证明：连接OB
∵OB=OC ∴∠OBC=∠C ∵∠PBA=∠C ∴∠PBA=∠OBC ∵AC是⊙O的直径
∴∠ABC=90° ∴∠ABO+∠OBC=90° ∴∠PBA+∠OBA=90°即OB⊥PB ∴PB是⊙O的切线
演练1:如图，AB是⊙O的直径，BC交⊙O于点D，DE⊥AC于点E，要使DE
证切线时辅助线的添加方法：
方法一： 条件：直线与圆的交点标明字母 方法：有交点，连半径，证垂直
••针课针对堂对训小训练结练
切线证 明的常 用方法
有交点,连半径,证垂直 无交点,作垂直,证半径
• 能力提升
体验中考1：如图1，AB为半圆的直径，点O为圆心，AF为半圆 的切线，过半圆上的点C作CD//AB交AF于点D，连接BC. （1）连接DO，若BC//OD,求证：CD是半圆的切线； （2）如图2，当线段CD与半圆交于点E时，连接AE，AC， 判断∠AED和∠ACD的数量关系，并证明你的结论.
演练2:如图，AB是⊙O的直径，弦AD平分∠BAC，过点D作DC⊥AC
于C，求证：DC是⊙O的切线
证明：连接OD ∵ AD平分∠BAC ∴ ∠BAD=∠CAD
又∵OA=OB ∴ ∠BAD=∠ODA
又∵AC⊥DC ∴OD⊥DC
又∵ OD是半径 ∴ DC为⊙O的切线。
∴ ∠CAD=∠ODA ∴ OD∥AC
能力提升
体验中考2：如图,在△ABC中,O为AC上一点，以O为圆心，OC为半径
作圆，与BC相切于点C,过点A作AD⟂BO交BO的延长线于点D,且
∠AOD=∠BAD.
求证：AB为⊙O的切线.
A
E
B
D O C
求证：PB是⊙O的切线；
类型一：有交点，连半径，证垂直
证明：连接OB
∵OB=OC ∴∠OBC=∠C ∵∠PBA=∠C ∴∠PBA=∠OBC ∵AC是⊙O的直径
∴∠ABC=90° ∴∠ABO+∠OBC=90° ∴∠PBA+∠OBA=90°即OB⊥PB ∴PB是⊙O的切线
演练1:如图，AB是⊙O的直径，BC交⊙O于点D，DE⊥AC于点E，要使DE
证切线时辅助线的添加方法：
方法一： 条件：直线与圆的交点标明字母 方法：有交点，连半径，证垂直
第13招与圆的切线有关的计算与证明的常见类型课件人教版九年级上册极速提分法
【点拨】 连接OB，根据切线的性质和角平分线的定义可证明；
(2)连接DB，若∠C＝30°，求证：DB∥AC.
证明：∵OA⊥AP，OB⊥BP， ∴∠CAP＝∠OBP＝90°. ∵∠C＝30°， ∴∠APC＝90°－∠C＝90°－30°＝60°. ∵∠APO＝∠BPO，
∴∠BPO＝12∠APC＝12×60°＝30°， ∴∠POB＝90°－∠BPO＝90°－30°＝60°. 又∵OD＝OB， ∴△ODB 是等边三角形，∴∠OBD＝60°， ∴∠DBP＝∠OBP－∠OBD＝90°－60°＝30°， ∴∠DBP＝∠C，∴DB∥AC.
问题：此图中，正方形一条对角线AB与⊙O相交于点M， N(点N在点M的右上方)，若AB的长度为10丈，⊙O的半 径为2丈，则BN的长度为_(_8_－__2__2_)丈．
【点拨】 如图，设正方形的一边与⊙O 的切点为 C，连接 OC，
则 OC⊥AC. ∵AB 是正方形的一条对角线， ∴∠OAC＝45°.∴AC＝OC＝2 丈． ∴OA＝ AC2＋OC2＝2 2(丈)． ∴BN＝AB－OA－ON＝10－2 2－2＝8－2 2(丈)．
九年级数学（上）极速提分法
例 如图，已知BC是⊙O的直径，AC切⊙O于点C，
AB交⊙O于点D，E为AC的中点，连接DE.
(1)若AD＝DB，OC＝5，求AC的长；
(2)求证：DE是⊙O的切线．
解题方法：看到切线，就想作过切点的半径；看到直 径，就想直径所对的圆周角是直角；看到 判定切线，就想：
(1)若已知直线与圆有公共点，则采用判定定理法，其 基本思路是：当已知点在圆上时，连接这 点与圆心，证明这条半径与直线垂直即可， 可简述为：连半径，证垂直；
(1)求证：∠ABC＝∠CAD. 证明：∵AC＝CD，∴∠CAD＝∠ADC. ∵∠ABC＝∠ADC，∴∠ABC＝∠CAD.
数学九年级上册第二十四章圆专题训练(12)证明圆的切线的两种常见方法课件 新人教版
证明：连接DO.∵AD∥OC，∴∠DAO＝∠COB，∠ADO＝∠COD.又 ∵OA＝OD，∴∠DAO＝∠ADO，∴∠COD＝∠COB.∵OC＝OC，ODD在 ⊙O上，∴CD是⊙O的切线
(三)利用角度转换证垂直 5．(鄂尔多斯中考改编)如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为H， 连接AC.过上一点E作EG∥AC交CD的延长线于点G，连接AE交CD于点F， 且EG＝FG.求证：EG是⊙O的切线；
求证：CD与⊙O相切．
证明：连接OM，过点O作ON⊥CD于点N，∵四边形ABCD是正方形， ∴∠BCD＝90°，AC平分∠BCD，∵⊙O与BC相切，∴OM⊥BC，又 ∵ON⊥CD，∴OM＝ON，∴ON是⊙O的半径，∴CD与⊙O相切
类型2 连半径，证垂直(已知半径证垂直) (一)利用勾股定理证垂直 3．如图，AB为⊙O的直径，点P为AB延长线上一点，点C为⊙O上一 点，PC＝8，PB＝4，AB＝12，求证：PC是⊙O的切线．
解：(1)如图所示，⊙P为所求的圆 (2)BC与⊙P相切，理由为：过点P作PD⊥BC，垂足为D，∵CP为 ∠ACB的平分线，且PA⊥AC，PD⊥CB，∴PD＝PA，∵PA为⊙P的半 径，∴BC与⊙P相切
2．如图，O为正方形ABCD对角线AC上一点，以点O为圆心，OA长为 半径的⊙O与BC相切于点M.
证明：连接OE，如图，∵GE＝GF，∴∠GEF＝∠GFE，而∠GFE＝ ∠AFH，∴∠GEF＝∠AFH，∵AB⊥CD，∴∠OAF＋∠AFH＝90°， ∴∠GEA＋∠OAF＝90°，∵OA＝OE，∴∠OEA＝∠OAF，∴∠GEA ＋∠OEA＝90°，即∠GEO＝90°，∴OE⊥GE，∴EG是⊙O的切线
第二十四章 圆
专题训练(十一) 证明圆的切线的两种常见方法
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上册小专题与切线有关的证明与计算 人教版 九年级 数学全 一册作 业课件
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类型三：证明线段的数量或位置关系 3．如图，AB 是⊙O 的直径，AC 为弦，∠BAC 的平分线交⊙O 于点 D，过点 D 的切线交 AC 的延长线于点学全 一册作 业课件
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类型二：证明角的数量关系 2．如图，AB，CD 是⊙O 的两条直径，过点 C 作⊙O 的切线交 AB 的延长线于点 E，连接 AC，BD.
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(1)求证：∠ABD＝∠CAB； 证明：∵AB，CD 是⊙O 的两条直径，∴OA＝OC＝OB＝OD， ∴∠OAC＝∠OCA，∠ODB＝∠OBD. ∵∠AOC＝∠BOD， ∴∠OAC＝∠OCA＝∠ODB＝∠OBD， 即∠ABD＝∠CAB.
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∵∠AOB＝60°，OA＝OB， ∴△AOB 是等边三角形，∴AB＝OB， ∵∠OBE＝30°，∴OE＝12OB，BE＝ 3OE＝4， ∴OE＝4 3 3， ∴AC＝AB＝OB＝2OE＝8 3 3.
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类型三：证明线段的数量或位置关系 3．如图，AB 是⊙O 的直径，AC 为弦，∠BAC 的平分线交⊙O 于点 D，过点 D 的切线交 AC 的延长线于点学全 一册作 业课件
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类型二：证明角的数量关系 2．如图，AB，CD 是⊙O 的两条直径，过点 C 作⊙O 的切线交 AB 的延长线于点 E，连接 AC，BD.
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(1)求证：∠ABD＝∠CAB； 证明：∵AB，CD 是⊙O 的两条直径，∴OA＝OC＝OB＝OD， ∴∠OAC＝∠OCA，∠ODB＝∠OBD. ∵∠AOC＝∠BOD， ∴∠OAC＝∠OCA＝∠ODB＝∠OBD， 即∠ABD＝∠CAB.
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∵∠AOB＝60°，OA＝OB， ∴△AOB 是等边三角形，∴AB＝OB， ∵∠OBE＝30°，∴OE＝12OB，BE＝ 3OE＝4， ∴OE＝4 3 3， ∴AC＝AB＝OB＝2OE＝8 3 3.
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OD＝OF， DOC＝FOC， OC OC，
∴△ODC≌△OFC(SAS)． ∴∠OFC＝∠ODC＝90°. ∴OF⊥CF. ∴CF与⊙O相切．
方法总结：切线判定的方法①：已知直线与圆 有公共点时，需连接该公共点与圆心得半径， 证明该半径垂直于这条直线，即“连半径，证垂 直”．
◆类型二 无切点，作垂直，证半径
方法总结：切线判定的方法②：当题目中没有指 出直线和圆是否有公共点时，常过圆心作该直线 的垂线段，证明该线段的长等于圆半径，简称 “作垂直，证半径”．
解题技巧专题： 切线证明的常用方法
——弄清不同条件下的证明方式， 体会异同
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◆类型一 有切点，连半径，证垂直
一、利用角度转换证垂直 1．如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上， ∠A＝2∠BCD，点E在AB的延长线上，∠AED＝ ∠ABC.求证：DE与⊙O相切． 证明：如图，连接OD. ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°. ∴∠A＋∠ABC＝90°.
证明：如图，连接OF，OC.
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，AD＝BC，∠ADC＝90°.
∵E为BC边的中点，AO＝DO，
∴AO＝ 1 AD，EC＝1 又AO∥EC，
∴四边形OAEC是平行四边形．
∴AE∥OC. ∴∠DOC＝∠OAF，∠FOC＝∠OFA. ∵OA＝OF， ∴∠OAF＝∠OFA. ∴∠DOC＝∠FOC. ∵在△ODC和△OFC中，
5．如图，在△ABC中，AB＝AC，O为BC的中点， AC与半圆O相切于点D.求证：AB是半圆O所在圆 的切线． 证明：如图，过点O作OE⊥AB于 点E，连接OD，OA. ∵AB＝AC，点O是BC的中点，
∴AO平分∠BAC. ∵AC与半圆O相切于点D， ∴OD⊥AC. ∵OE⊥AB， ∴OE＝OD. ∴点O到直线AB的距离等于半圆O的半径． ∴AB是半圆O所在圆的切线．
∵AB＝BF，OA＝OD， ∴∠BAF＝∠BFA，∠OAD＝∠D. 又∵∠BFA＝∠OFD， ∴∠OAD＋∠BAF＝∠D＋∠OFD＝90°， 即∠OAB＝90°. ∴OA⊥AB. ∴AB是⊙O的切线．
二、利用勾股定理的逆定理证垂直 3．如图，C是⊙O上一点，点P在直径AB的延长线 上，⊙O的半径为3，PB＝2，PC＝4.求证：PC是 ⊙O的切线． 证明：如图，连接OC. ∵⊙O的半径为3，PB＝2， ∴OC＝OB＝3. ∴OP＝OB＋PB＝5.
∵∠BOD＝2∠BCD，∠A＝2∠BCD， ∴∠BOD＝∠A. ∵∠AED＝∠ABC， ∴∠BOD＋∠AED＝90°. ∴∠ODE＝90°. ∴OD⊥DE. ∴DE与⊙O相切．
2．如图，以△ABC的BC边上一点O为圆心的圆， 经过A，C两点且与BC边交于点E，点D为CE的下 半圆弧的中点，连接AD交线段EO于点F.若AB＝ BF，求证：AB是⊙O的切线． 证明：如图，连接OA，OD. ∵点D为CE的下半圆弧的中点， ∴∠EOD＝90°. ∴∠D＋∠OFD＝90°.
∵PC＝4， ∴OC2＋PC2＝OP2. ∴△OCP是直角三角形，∠OCP＝90°. ∴OC⊥PC. ∵C是⊙O上一点， ∴PC是⊙O的切线．
三、利用全等证垂直 4．如图，四边形ABCD为矩形，E为BC边的中点， 连接AE，以AD为直径的⊙O交AE 于点F，连接CF. 求证：CF与⊙O相切．
思路分析：
∴△ODC≌△OFC(SAS)． ∴∠OFC＝∠ODC＝90°. ∴OF⊥CF. ∴CF与⊙O相切．
方法总结：切线判定的方法①：已知直线与圆 有公共点时，需连接该公共点与圆心得半径， 证明该半径垂直于这条直线，即“连半径，证垂 直”．
◆类型二 无切点，作垂直，证半径
方法总结：切线判定的方法②：当题目中没有指 出直线和圆是否有公共点时，常过圆心作该直线 的垂线段，证明该线段的长等于圆半径，简称 “作垂直，证半径”．
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◆类型一 有切点，连半径，证垂直
一、利用角度转换证垂直 1．如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上， ∠A＝2∠BCD，点E在AB的延长线上，∠AED＝ ∠ABC.求证：DE与⊙O相切． 证明：如图，连接OD. ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°. ∴∠A＋∠ABC＝90°.
证明：如图，连接OF，OC.
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，AD＝BC，∠ADC＝90°.
∵E为BC边的中点，AO＝DO，
∴AO＝ 1 AD，EC＝1 又AO∥EC，
∴四边形OAEC是平行四边形．
∴AE∥OC. ∴∠DOC＝∠OAF，∠FOC＝∠OFA. ∵OA＝OF， ∴∠OAF＝∠OFA. ∴∠DOC＝∠FOC. ∵在△ODC和△OFC中，
5．如图，在△ABC中，AB＝AC，O为BC的中点， AC与半圆O相切于点D.求证：AB是半圆O所在圆 的切线． 证明：如图，过点O作OE⊥AB于 点E，连接OD，OA. ∵AB＝AC，点O是BC的中点，
∴AO平分∠BAC. ∵AC与半圆O相切于点D， ∴OD⊥AC. ∵OE⊥AB， ∴OE＝OD. ∴点O到直线AB的距离等于半圆O的半径． ∴AB是半圆O所在圆的切线．
∵AB＝BF，OA＝OD， ∴∠BAF＝∠BFA，∠OAD＝∠D. 又∵∠BFA＝∠OFD， ∴∠OAD＋∠BAF＝∠D＋∠OFD＝90°， 即∠OAB＝90°. ∴OA⊥AB. ∴AB是⊙O的切线．
二、利用勾股定理的逆定理证垂直 3．如图，C是⊙O上一点，点P在直径AB的延长线 上，⊙O的半径为3，PB＝2，PC＝4.求证：PC是 ⊙O的切线． 证明：如图，连接OC. ∵⊙O的半径为3，PB＝2， ∴OC＝OB＝3. ∴OP＝OB＋PB＝5.
∵∠BOD＝2∠BCD，∠A＝2∠BCD， ∴∠BOD＝∠A. ∵∠AED＝∠ABC， ∴∠BOD＋∠AED＝90°. ∴∠ODE＝90°. ∴OD⊥DE. ∴DE与⊙O相切．
2．如图，以△ABC的BC边上一点O为圆心的圆， 经过A，C两点且与BC边交于点E，点D为CE的下 半圆弧的中点，连接AD交线段EO于点F.若AB＝ BF，求证：AB是⊙O的切线． 证明：如图，连接OA，OD. ∵点D为CE的下半圆弧的中点， ∴∠EOD＝90°. ∴∠D＋∠OFD＝90°.
∵PC＝4， ∴OC2＋PC2＝OP2. ∴△OCP是直角三角形，∠OCP＝90°. ∴OC⊥PC. ∵C是⊙O上一点， ∴PC是⊙O的切线．
三、利用全等证垂直 4．如图，四边形ABCD为矩形，E为BC边的中点， 连接AE，以AD为直径的⊙O交AE 于点F，连接CF. 求证：CF与⊙O相切．
思路分析：