实验五 线性方程组的迭代法实验
大学数学实验报告----迭代(一)——方程求解
Do M n , n, 2, 100
运行结果：
M n_Integer : Module y, k , m 2; k m ^ n 1 ;
x Mod k, n ;
Print n, " ", PrimeQ n , " ", x, "
", GCD m, n
Do M n , n, 2, 100
2 True 0 2 3 True 1 1 4 False 0 2 5 True 1 1 6 False 2 2 7 True 1 1 8 False 0 2 9 False 4 1 10 False 2 2 11 True 1 1 12 False 8 2 13 True 1 1 14 False 2 2 15 False 4 1 16 False 0 2 17 True 1 1 18 False 14 2 19 True 1 1 20 False 8 2 21 False 4 1 22 False 2 2 23 True 1 1 24 False 8 2 25 False 16 1 26 False 2 2 27 False 13 1 28 False 8 2 29 True 1 1 30 False 2 2 31 True 1 1 32 False 0 2 33 False 4 1 34 False 2 2 35 False 9 1 36 False 32 2 37 True 1 1 38 False 2 2 39 False 4 1 40 False 8 2
99 False 3 27 100 False 1 67 Null2
m=4 时
输入程序：
M n_Integer : Module y, k , m 4; k m ^ n 1 ; x Mod k, n ; Print n, " ", PrimeQ n , " ", GCD m, n , " ", x Do M n , n, 2, 100
迭代法解线性方程组数值分析实验报告
迭代法解线性方程组数值分析实验报告一、实验目的本次实验旨在深入研究和掌握迭代法求解线性方程组的基本原理和方法，并通过数值实验分析其性能和特点。
具体目标包括：1、理解迭代法的基本思想和迭代公式的推导过程。
2、掌握雅克比（Jacobi）迭代法、高斯赛德尔（GaussSeidel）迭代法和超松弛（SOR）迭代法的算法实现。
3、通过实验比较不同迭代法在求解不同类型线性方程组时的收敛速度和精度。
4、分析迭代法的收敛性条件和影响收敛速度的因素。
二、实验原理1、线性方程组的一般形式对于线性方程组＄Ax ＝ b$，其中＄A$ 是＄n×n$ 的系数矩阵，＄x$ 是＄n$ 维未知向量，＄b$ 是＄n$ 维常向量。
2、迭代法的基本思想迭代法是从一个初始向量＄x^｛（0)｝＄出发，按照某种迭代公式逐步生成近似解序列＄＼｛x^｛（k)｝＼｝＄，当迭代次数＄k$ 足够大时，＄x^｛（k)｝＄逼近方程组的精确解。
3、雅克比迭代法将系数矩阵＄A$ 分解为＄A ＝ D L U$，其中＄D$ 是对角矩阵，＄L$ 和＄U$ 分别是下三角矩阵和上三角矩阵。
雅克比迭代公式为：＄x^｛（k+1)｝＝ D^｛－1}（b ＋（L ＋ U)x^｛（k)｝）＄。
4、高斯赛德尔迭代法在雅克比迭代法的基础上，每次计算新的分量时立即使用刚得到的最新值，迭代公式为：＄x_i^｛（k+1)｝＝（b_i ＼sum_{j=1}＾｛i-1}a_{ij}x_j^｛（k+1)｝＼sum_{j=i+1}＾｛n}a_{ij}x_j^｛（k)｝）／a_{ii}＄。
5、超松弛迭代法在高斯赛德尔迭代法的基础上引入松弛因子＄＼omega$，迭代公式为：＄x_i^｛（k+1)｝＝ x_i^｛（k)｝＋＼omega(（b_i ＼sum_{j=1}＾｛i-1}a_{ij}x_j^｛（k+1)｝＼sum_{j=i}＾｛n}a_{ij}x_j^｛（k)｝）／ a_{ii} x_i^｛（k)｝）＄。
解线性方程组的迭代法数值计算上机实习报告
解线性方程组的迭代法数值计算上机实习报告一．综述：考虑用迭代法求解线性方程组，取真解为，初始向量取为零，以范数为度量工具，取误差指标为.其中。
分别完成下面各小题：第六题：编制程序实现Jacobi迭代方法和Gauss-Seidel 方法。
对应不同的停机标准（例如残量，相邻误差，后验误差停机标准），比较迭代次数以及算法停止时的真实误差。
其中残量准则：、相邻误差准则：后验误差停机准则：解：为了结果的可靠性，这里我分别对矩阵阶数为400、2500、10000进行试验，得到对应不同的方法、取不同的停机标准，迭代次数和真实误差的数据如下：分析上面数据可知，对应不同的停机标准，GS方法的迭代次数都近似为J方法的一半，这与理论分析一致。
而且从迭代次数可以看出，在这个例子中，作为停机标准，最强的依次为后验误差，再到残量，再到相邻误差。
第七题：编写程序实现SOR 迭代方法。
以真实误差作为停机标准，数值观测SOR 迭代方法中松弛因子对迭代次数的影响，找到最佳迭代因子的取值。
解：本题中考虑n=50，即对2500阶的矩阵A。
由于我们已经知道要使SOR方法收敛，松弛因子需要位于。
下面来求SOR方法中对应的最佳松弛因子。
应用筛选法的思想，第一次我们取松弛因子，间距为0.05，得到的对应的图像如下，从图中可以看出迭代次数随着的增大，先减小后变大，这与理论相符。
同时可以看出最佳松弛因子.第二次将区间细分为10份，即取，可得下面第二幅图像，从图像中可以看出最佳松弛因子第八题：对于J 方法，GS方法和（带有最佳松弛因子的）SOR 方法，分别绘制误差下降曲线以及残量的下降曲线（采用对数坐标系），绘制（按真实误差）迭代次数与矩阵阶数倒数的关系；解：对于J方法，考虑n=50时，采用相邻误差为迭代的终止条件，误差下降曲线及残量的下降曲线如下：对于GS方法，考虑n=50的时候，采用相邻误差作为迭代的终止条件，所得到的残量和误差的下降曲线如下图：从中可以看出，当相邻误差满足误差指标时，真实误差却并不小于误差指标，而为2.6281e-04。
《数学实验》实验报告——迭代法
3.线性方程组的迭代求解
给定一个 n 元线性方程组
a11 x1 a12 x 2 a1 n xn 0 a x a x a x 0 21 1 22 2 2n n am 1 x1 am 2 x 2 amn xn 0
９
观察序列，并且判断极限。 Mathematica 程序如下：
当 x0=0.1，n=10 时,运行程序得
当 x0=0.5，n=10 时,运行程序得
当 x0=0.9，n=10 时,运行程序得
当 x0=1，n=10 时,运行程序得
实验结论:
１０
由以上实验可得，函数 f(x)=x/2+1/x 的极限为 1.41421
运行程序结果如下：
实验结论：
试验中假设矩阵 A 的对角元素 aii<>0,i=1,2,3,…n.令 D=diag(a11,a12,,,….ann),则可以将 方程 Ax=b 转化成 x=(U+L)x+D-1b 其中 U 为下三角阵，L 为上三角阵。如果 U+L 的行列式 最大特征值的绝对值小于 1，则线性方程组有解且唯一。
写成 Ax=b 的形式， 再将其改写成 x=M*x=f 其中 M 是 n 阶矩阵， f=(f1,f2,f3,f4….fn)T 是 n 维列向量，给定 x0，由迭代 x(n+1)=M*x^n+f,n=0,1,2,3,4…..对给定的矩阵 M 数组 f 和 初始值 x0，由 x(n+1)=M*x^n+f,n=0,1,2,3,4…..用 mathematic 可得迭代结果。 迭代程序如下：
《数学实验》实验报告
班级 实验 内容 **** 学号 **** 姓名 实验 类别 **** 成绩 实验 时间
《数学实验》实验报告——迭代法
观察序列，并且判断极限。 Mathematica 程序如下：
当 x0=0.1，n=10 时,运行程序得
当 x0=0.5，n=10 时,运行程序得
当 x0=0.9，n=10 时,运行程序得
当 x0=1，n=10 时,运行程序得
实验结论:
１０
由以上实验可得，函数 f(x)=x/2+1/x 的极限为 1.41421
《数学实验》实验报告
班级 实验 内容 **** 学号 **** 姓名 实验 类别 **** 成绩 实验 时间
迭代法
自选实验
2011.6.7
实验问题：
n 元线性方程组
a11 x1 a12 x 2 a1 n xn 0 a x a x a x 0 21 1 22 2 2n n am 1 x1 am 2 x 2 amn xn 0
其中，f[x_]:=为所求迭代函数，迭代n次产生相应是序列，并观察。
（3）线性方程组的迭代求解 对给定的矩阵 M、 数组 f 和初始向量 x0， 由 X^(n+1)=Mx^n+f,n=0,1,2,3……给定的结 果 其 Matheatica 程序如下：
２
实验过程:
1．迭代序列 （ 1 ） 给 定 的 实 数 域 上 光 滑 的 实 值 函 数 f(x) 以 及 初 值 x0, 定 义 数 列 x(n+1)=f(x0),n=0,1,2,3,……. 对函数 f(x)= (25*x - 85)/(x + 3)的迭代过程，可以形象地用蜘蛛网图像来直观地显示，运 行以下程序：
2．方程求根
用迭代序列求 g(x)=x^3-2*x+1 的根，其 matheatic 程序如下：
数值分析实验报告--解线性方程组的迭代法及其并行算法
disp('请注意：高斯-塞德尔迭代的结果没有达 到给定的精度，并且迭代次数已经超过最大迭 代次数max1,方程组的精确解jX和迭代向量X 如下： ') X=X';jX=jX' end end X=X';D,U,L,jX=jX'
高斯－塞德尔的输入为：
A=[10 2 3;2 10 1;3 1 10]; b=[1;1;2]; X0=[0 0 0]'; X=gsdddy(A,b,X0,inf, 0.001,100) A=[10 2 3;2 10 1;3 1 10]; 请注意：因为对角矩阵 D 非奇异，所以此方程组有解.
0.0301 0.0758 0.1834
8.心得体会：
这已经是第三次实验了， 或多或少我已经对 MATLAB 有了更多的了 解与深入的学习。通过这次实验我了解了雅可比迭代法和高斯－ 塞德尔迭代法的基本思想，虽然我们不能熟练编出程序，但还是 能看明白的。运行起来也比较容易，让我跟好的了解迭代法的多 样性，使平常手算的题能得到很好的验证。通过这次实验让我对 MATLAB 又有了更深一层的认识，使我对这门课兴趣也更加浓厚。
运行雅可比迭代程序输入： A=[10
b=[1;1;2];X0=[0 0 0]'; X=jacdd(A,b,X0,inf,0.001,100)
2 3;2 10 1;3 1 10];
结果为：
k= 1 X=
0.1000 k= 2 X= 0.0200 k= 3 X= 0.0400 k= 4 X= 0.0276 k= 5 X= 0.0314 k= 6 X= 0.0294 k= 7 X= 0.0301 k= 8 X= 0.0297
6、 设计思想：先化简，把对角线的项提到左边，其它项
(精校版)迭代法解线性方程组数值分析实验报告
(完整word版)迭代法解线性方程组-数值分析实验报告编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（(完整word版)迭代法解线性方程组-数值分析实验报告）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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数学与计算科学学院《数值分析》课程设计题目：迭代法解线性方程组专业：信息与计算科学学号: 1309302—24姓名：谭孜指导教师：郭兵成绩:二零一六年六月二十日一、前言：(目的和意义）1.实验目的①掌握用迭代法求解线性方程组的基本思想和步骤.②了解雅可比迭代法，高斯—赛德尔法和松弛法在求解方程组过程中的优缺点。
2。
实验意义迭代法是用某种极限过程去逐步逼近线性方程组精确解的方法，它是解高阶稀疏方程组的重要方法。
迭代法的基本思想是用逐次逼近的方法求解线性方程组。
比较雅可比迭代法，高斯—赛德尔迭代方法和松弛法,举例子说明每种方法的试用范围和优缺点并进行比较.二、数学原理：设有方程组b Ax = …① 将其转化为等价的,便于迭代的形式f Bx x += …② (这种转化总能实现，如令b f A I B =-=,), 并由此构造迭代公式f Bx x k k +=+)()1( …③ 式中B 称为迭代矩阵，f 称为迭代向量。
对任意的初始向量)0(x ，由式③可求得向量序列∞0)(}{k x ，若*)(lim x x k k =∞→，则*x 就是方程①或方程②的解。
此时迭代公式②是收敛的，否则称为发散的。
构造的迭代公式③是否收敛，取决于迭代矩阵B 的性 1。
雅可比迭代法基本原理设有方程组),,3,2,1(1n i b x a j j nj ij ==∑= …①矩阵形式为b Ax =,设系数矩阵A 为非奇异矩阵，且),,3,2,1(,0n i a ii =≠从式①中第i 个方程中解出x,得其等价形式)(111j nj j ij ii i x a b a x ∑≠=-= …②取初始向量),,,()0()0(2)0(1)0(n x x x x =，对式②应用迭代法，可建立相应的迭代公式： )(111)()1(∑≠=++-=nj j i k j ij ii k ib x a a x…③ 也可记为矩阵形式：J x J k F B x k +==)()1( …④ 若将系数矩阵A 分解为A=D —L-U ，⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=--=--00000000000000111211212211212222111211n n n nn n nn nn n n n n a a a a a a a a a a a a a a a a a a U L D A式中⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=nn a a a D2211,⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-0000121323121nn n n a a a a a a L ,⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-0000122311312n n n n a a a a a a U 。
实验五 线性方程组的迭代法实验
《计算方法》实验报告学院：信息学院专业：计算机科学与技术指导教师：郭卫斌班级学号：10101438 计102姓名：闻翰计算机科学与工程系实验五 线性方程组的迭代法实验一. 实验目的（1）深入理解线性方程组的迭代法的设计思想，学会利用系数矩阵的性质以保证迭代过程的收敛性，以及解决某些实际的线性方程组求解问题。
（2）熟悉Matlab 编程环境，利用Matlab 解决具体的方程求根问题。
二. 实验要求建立Jacobi 迭代公式、Gauss-Seidel 迭代公式和超松弛迭代公式，用Matlab 软件实现线性方程组求解的Jacobi 迭代法、Gauss-Seidel 迭代法和超松弛迭代法，并用实例在计算机上计算。
三. 实验内容1. 实验题目（1）分别利用Jacobi 迭代和Gauss-Seidel 迭代求解下列线性方程组，取()T 0,0,0,0,0,0=x ，要求精度510-=ε：⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---------------626050411141010014001100410010141001014654321x x x x x x（2）分别取1=ω、1.05、1.1、1.25和1.8，用超松弛法求解上面的方程组，要求精度为510-=ε。
2. 设计思想 1.Jacobi 迭代:Jacobi 迭代的设计思想是将所给线性方程组逐步对角化，将一般形式的线性方程组的求解归结为对角方程组求解过程的重复。
2.Gauss-Seidel 迭代:Gauss-Seidel 迭代的设计思想是将一般形式的线性方程组的求解过程归结为下三角方程组求解过程的重复。
3.超松弛迭代：基于Gauss-Seidel 迭代，对i=1，2，…反复执行计算迭代公式，即为超松弛迭代。
3. 对应程序 1.Jacobi 迭代：function [x,k]=Jacobimethod(A,b,x0,N,emg)%A 是线性方程组的左端矩阵，b 是右端向量，x0是迭代初始值% N表示迭代次数上限，emg表示控制精度，k表示迭代次数，x是解n=length(A);x1=zeros(n,1);x2=zeros(n,1);x1=x0;k=0;r=max(abs(b-A*x1));while r>emgfor i=1:nsum=0;for j=1:nif i~=jsum=sum+A(i,j)*x1(j);endendx2(i)=(b(i)-sum)/A(i,i);endr=max(abs(x2-x1));x1=x2;k=k+1;if k>Ndisp('迭代失败，返回');return;endendx=x1;2.Gauss-Seidel迭代：function [x,k]=Gaussmethod(A,b,x0,N,emg)%A是线性方程组的左端矩阵，b是右端向量，x0是迭代初始值% N表示迭代次数上限，emg表示控制精度，k表示迭代次数，x是解n=length(A);x1=zeros(n,1);x2=zeros(n,1);x1=x0;r=max(abs(b-A*x1));k=0;while r>emgfor i=1:nsum=0;for j=1:nif j>isum=sum+A(i,j)*x1(j);elseif j<isum=sum+A(i,j)*x2(j);endendx2(i)=(b(i)-sum)/A(i,i);endr=max(abs(x2-x1));x1=x2;k=k+1;if k>Ndisp('迭代失败，返回');return;endendx=x1;3.超松弛(SOR)迭代：function [x,k]=SORmethod(A,b,x0,N,emg,w)%A是线性方程组的左端矩阵，b是右端向量，x0是迭代初始值% N表示迭代次数上限，emg表示控制精度，k表示迭代次数，x是解%w表示松弛因子n=length(A);x1=zeros(n,1);x2=zeros(n,1);x1=x0;r=max(abs(b-A*x1));k=0;while r>emgfor i=1:nsum=0;for j=1:nif j>=isum=sum+A(i,j)*x1(j);elseif j<isum=sum+A(i,j)*x2(j);endendx2(i)=x1(i)+w*(b(i)-sum)/A(i,i);endr=max(abs(x2-x1));x1=x2;k=k+1;if k>Ndisp('迭代失败，返回');return;endendx=x1;4. 实验结果1.Jacobi迭代：2.Gauss-Seidel迭代：3.超松弛(SOR)迭代：w=1：w=1.05:w=1.1:w=1.25:w=1.8:四.实验体会在同等精度下，Gauss-Seidel迭代法比Jacobi迭代法收敛速度快。
实验五-解线性方程组的迭代法报告
实验五 解线性方程组的迭代法一、问题提出对实验四所列目的和意义的线性方程组，试分别选用Jacobi 迭代法，Gauss-Seidel 迭代法和SOR 方法计算其解。
二、要求1、体会迭代法求解线性方程组，并能与消去法做以比较；2、分别对不同精度要求，如34510,10,10ε---=由迭代次数体会该迭代法的收敛快慢；3、对方程组2，3使用SOR 方法时，选取松弛因子ω=0.8，0.9，1，1.1，1.2等，试看对算法收敛性的影响，并能找出你所选用的松弛因子的最佳者；4、给出各种算法的设计程序和计算结果。
三、目的和意义1、通过上机计算体会迭代法求解线性方程组的特点，并能和消去法比较；2、运用所学的迭代法算法，解决各类线性方程组，编出算法程序；3、体会上机计算时，终止步骤(1)k k xx ε+∞-<或k>（给予的迭代次数），对迭代法敛散性的意义；4、 体会初始解0x ，松弛因子的选取，对计算结果的影响。
四、实验学时：2学时五、实验步骤：1．进入C 或matlab 开发环境；2．根据实验内容和要求编写程序；3．调试程序；4．运行程序；5．撰写报告,讨论分析实验结果．解：J迭代算法：程序设计流程图：源程序代码：#include<stdlib.h>#include<stdio.h>#include<math.h>void main(){float a[50][51],x1[50],x2[50],temp=0,fnum=0;int i,j,m,n,e,bk=0;printf("使用Jacobi迭代法求解方程组:\n");printf("输入方程组的元：\nn=");scanf("%d",&n);for(i=1;i<n+1;i++)x1[i]=0;printf("输入方程组的系数矩阵:\n");for(i=1;i<n+1;i++){j=1;while(j<n+1){scanf("%f",&a[i][j]);j++;}}printf("输入方程组的常数项:\n");for(i=1;i<n+1;i++){scanf("%f",&a[i][n+1]);}printf("\n");printf("请输入迭代次数:\n");scanf("%d",&m);printf("请输入迭代精度:\n");scanf("%d",&e);while(m!=0){for(i=1;i<n+1;i++){for(j=1;j<n+1;j++){if (j!=i)temp=a[i][j]*x1[j]+temp;}x2[i]=(a[i][n+1]-temp)/a[i][i];temp=0;}for(i=1;i<n+1;i++){fnum=float(fabs(x1[i]-x2[i]));if(fnum>temp) temp=fnum;}if(temp<=pow(10,-4)) bk=1;for(i=1;i<n+1;i++)x1[i]=x2[i];m--;}printf("原方程组的解为:\n");for(i=1;i<n+1;i++){if((x1[i]-x2[i])<=e||(x2[i]-x1[i])<=e){printf("x%d=%7.4f ",i,x1[i]);}}}运行结果：GS迭代算法：#include<iostream.h>#include<math.h>#include<stdio.h>const int m=11;void main(){int choice=1;while(choice==1){double a[m][m],b[m],e,x[m],y[m],w,se,max; int n,i,j,N,k;cout<<"Gauss-Seidol迭代法"<<endl;cout<<"请输入方程的个数：";cin>>n;for(i=1;i<=n;i++){cout<<"请输入第"<<i<<"个方程的各项系数："; for(j=1;j<=n;j++)cin>>a[i][j];}cout<<"请输入各个方程等号右边的常数项:\n"; for(i=1;i<=n;i++){cin>>b[i];}cout<<"请输入最大迭代次数：";cin>>N;cout<<"请输入最大偏差：";cin>>e;for(i=1;i<=n;i++){x[i]=0;y[i]=x[i];}k=0;while(k!=N){k++;for(i=1;i<=n;i++){w=0;for(j=1;j<=n;j++){if(j!=i)w=w+a[i][j]*y[j];}y[i]=(b[i]-w)/double(a[i][i]);}max=fabs(x[1]-y[1]);for(i=1;i<=n;i++){se=fabs(x[i]-y[i]);if(se>max)max=se;}if(max<e){cout<<endl;for(i=1;i<=n;i++)cout<<"x"<<i<<"="<<y[i]<<endl; break;}for(i=1;i<=n;i++){x[i]=y[i];}}if(k==N)cout<<"迭代失败！！"<<endl;choice=0;}}SOR方法：# include <stdio.h># include <math.h>#include<stdlib.h>/**********定义全局变量**********/float **a; /*存放A矩阵*/float *b; /*存放b矩阵*/float *x; /*存放x矩阵*/float p; /*精确度*/float w; /*松弛因子*/int n; /*未知数个数*/int c; /*最大迭代次数*/int k=1; /*实际迭代次数*//**********SOR迭代法**********/void SOR(float xk[]){int i,j;float t=0.0;float tt=0.0;float *xl;xl=(float *)malloc(sizeof(float)*(n+1)); for(i=1;i<n+1;i++){t=0.0;tt=0.0;for(j=1;j<i;j++)t=t+a[i][j]*xl[j];for(j=i;j<n+1;j++)tt=tt+a[i][j]*xk[j];xl[i]=xk[i]+w*(b[i]-t-tt)/a[i][i];}t=0.0;for(i=1;i<n+1;i++){tt=fabs(xl[i]-xk[i]);tt=tt*tt;t+=tt;}t=sqrt(t);for(i=1;i<n+1;i++)xk[i]=xl[i];if(k+1>c){if(t<=p)printf("\nReach the given precision!\n"); elseprintf("\nover the maximal count!\n");printf("\nCount number is %d\n",k);}elseif(t>p){k++;SOR(xk);}else{printf("\nReach the given precision!\n"); printf("\nCount number is %d\n",k);}}/**********程序*****开始**********/void main(){int i,j;printf("SOR方法\n");printf("请输入方程个数:\n");scanf("%d",&n);a=(float **)malloc(sizeof(float)*(n+1)); for(i=0;i<n+1;i++)a[i]=(float*)malloc(sizeof(float)*(n+1));printf("请输入三对角矩阵:\n");for(i=1;i<n+1;i++)for(j=1;j<n+1;j++)scanf("%f",&a[i][j]);for(i=1;i<n+1;i++)for(j=1;j<n;j++)b=(float *)malloc(sizeof(float)*(n+1)); printf("请输入等号右边的值:\n");for(i=1;i<n+1;i++)scanf("%f",&b[i]);x=(float *)malloc(sizeof(float)*(n+1)); printf("请输入初始的x:");for(i=1;i<n+1;i++)scanf("%f",&x[i]);printf("请输入精确度:");scanf("%f",&p);printf("请输入迭代次数:");scanf("%d",&c);printf("请输入w(0<w<2):\n");scanf("%f",&w);SOR(x);printf("方程的结果为:\n");for(i=1;i<n+1;i++)printf("x[%d]=%f\n",i,x[i]);}程序运行结果讨论和分析：①迭代法具有需要计算机的存贮单元较少,程序设计简单,原始系数矩阵在计算过程中始终不变等优点.②迭代法在收敛性及收敛速度等方面存在问题.[注:A必须满足一定的条件下才能运用以下三种迭代法之一.在Jacobi中不用产生的新数据信息,每次都要计算一次矩阵与向量的乘法,而在Gauss利用新产生的信息数据来计算矩阵与向量的乘法.在SOR中必须选择一个最佳的松弛因子,才能使收敛加速.]经过计算可知Gauss-Seidel方法比Jacobi方法剩点计算量,也是Jacobi方法的改进.可是精确度底,计算量高,费时间,需要改进.SOR是进一步改进Gauss-Seidel 而得到的比Jacobi,Gauss-Seidel方法收敛速度快,综合性强.改变松弛因子的取值范围来可以得到Jacobi,Gauss-Seidel方法.③选择一个适当的松弛因子是关键.结论：线性方程组1和2对于Jacobi 迭代法，Gauss-Seidol迭代法和SOR方法均不收敛，线性方程组3收敛。
数值分析线性方程组的迭代解法
数值分析课程实验报告实验名称 线性方程组的迭代解法Ax b =的系数矩阵对角线元素容许误差。
雅可比（Jacobi ）迭代法解方程组的算法描述如下：任取初始向量(0)(0)1(xx =1+，并且 1,2,...,n ，计算 11(ni j ii j ib a a =≠-∑()k x ，结束；否则执行④，则不收敛，终止程序；否则转② 迭代法的算法描述）迭代法中，如果当新的分量求出后，马上用它来代替旧的分量，则可能会更快地接近方程组的准确解。
基于这种设想构造的迭代公式,n ，k = （2）算法可相应地从雅可比（Jacobi ）迭代法改造得到(Gauss-Seidel)迭代得到的值进一()()()1((1k i ii k k i i x b a x x ωω==+-1,2,,n ，2,k =（3）为松弛因子（显然当1ω=塞德尔迭代公式） ()k ix 通常优于旧值(1)k ix -，在将两者加工成松弛值时，自然要求松弛因子1ω>，以尽量发挥新值的优势，这类迭代就称为逐次超松弛迭代法。
SOR 迭代的关键在于选取合适的松弛因子，松弛因子的取值对收敛速度影响很大，但如何选取最佳松弛因子的问题，至今仍未有效解决，在实际计算时，通常依据系数矩阵的特点，并结合以往的经验选取合适的松弛因子。
练习与思考题分析解答(0)(1,1,1,1)x =[ -0.999976, -0.999976, -0.999976, -0.999976]x =[ -0.99999, -0.999991, -0.999992, -0.999993]x =塞德尔迭代算法的收敛速度要比雅可比迭代算法的收敛速度快SOR 迭代实质上是高斯原理和基本方法相同。
如果选择合适的松弛因子，它能够加快收敛速度。
SOR 迭代算法更加普通，当选取一个合适的松弛因子后收敛速度明显加快。
迭代算法将前一步的结果[ -0.99999, -0.999991, -0.999992, -0.999993]x =[ -0.999992, -0.999993, -0.999994, -0.999995]x =[ -0.999993, -0.999994, -0.999995, -0.999995]x =[ -0.999992, -0.999993, -0.999994, -0.999995]x =[ -0.999999, -1.0, -1.0, -1.0]x =[ -0.999999, -1.0, -1.0, -1.0]x =因为为了保证迭代过程收敛，松弛因子1.3左右。
实验五__解线性方程组的迭代法
实验五 解线性方程组的迭代法5.1实验目的① 掌握解线性方程组的雅可比迭代和高斯-塞德尔迭代算法；② 培养编程与上机调试能力.5.2算法步骤5.2.1迭代法的基本思想根据方程组Ax b =设计出一个迭代公式，然后将任意选取的一初始向量(0)x代入迭代公式，求出(1)x，再以(1)x 代入同一迭代公式，求出(2)x ，如此反复进行，得到向量序列(){}k x .当(){}k x 收敛时，其极限即为原方程组的解.5.2.2雅可比（Jacobi ）迭代法解方程组设方程组Ax b =的系数矩阵对角线元素0(1,2,...,)ii a i n ≠=，M 为最大迭代次数，ε为容许误差. 雅可比（Jacobi ）迭代法解方程组算法步骤如下：① 取初始向量(0)(0)(0)12(,,...,)T n x x x x =，令0k =.② 对1,2,...,i n =，计算(1)()11()n k k i i ij j j ii j ix b a x a +=≠=-∑. ③ 如果(1)()1n k k i i i xx ε+=-<∑，则输出(1)k x +，结束；否则执行④④ 如果k M ≥，则不收敛，终止程序；否则1k k ←+，转②5.2.3高斯-塞德尔(Gauss-Seidel)迭代法在雅可比（Jacobi ）迭代法中，如果当新的分量求出后，马上用它来代替旧的分量，则可能会更快地接近方程组的准确解.基于这种设想构造的迭代公式称为高斯-塞德尔(Gauss-Seidel)迭代法. 算法可相应地从雅可比（Jacobi ）迭代法改造得到.5.3实验内容应用雅可比迭代和高斯-塞德尔算法分别求解线性方程组1231231238322041133631236x x x x x x x x x -+=⎧⎪+-=⎨⎪++=⎩要求：选择不同的迭代次数，观察输出结果；5.4 实验程序：雅可比迭代：function [xk,k]=f5_Jacobi(x0,A,b,m)e=10.^(-4);[r,n]=size(x0);n=max(r,n);x0=reshape(x0,1,n);k=0;while k<mk=k+1;for i=1:nxk(i)=(b(i)-sum(A(i,:).*x0)+A(i,i)*x0(i))./A(i,i);endif sum(abs(xk-x0))<ebreak;endx0=xk;end高斯-塞德尔算法function [xk,k]=f5_Gs(x0,A,b,m)e=10.^(-5);[r,n]=size(x0);n=max(r,n);x0=reshape(x0,1,n);xk=[];k=0;while k<mk=k+1;for i=1:nxk(i)=(b(i)-sum(A(i,1:i-1).*xk(1:i-1))-sum(A(i,i+1:n).*x0(i+1:n)))./A( i,i);endif sum(abs(xk-x0))<ebreak;endx0=xk;end5.5 实验求解：在command window窗口输入如下命令求解方程组>> A=[8,-3,2;4,11,-1;6,3,12];>> b=[20;33;36];>> [xk,k]=f5_Jacobi(x0,A,b,20)xk =3.0000 2.0000 1.0000k =12>> [xk,k]=f5_Jacobi(x0,A,b,5)xk =3.0003 1.9840 1.0010k =5>> [xk,k]=f5_Gs(x0,A,b,20)xk =3.0000 2.0000 1.0000 k =8>> [xk,k]=f5_Gs(x0,A,b,5)xk =2.9998 2.0001 1.0001 k =5。
数值计算线性方程迭代法实验
实验报告一一、实验目的理解线性方程组直接法与迭代法思想，掌握常用算法的设计，掌握用MATLAB 实现的数值解法。
二、实验题目实验一 线性方程组迭代法实验 1、 迭代法的收敛速度用迭代法分别对n=20,n=200解方程组,b Ax =其中nn A ⨯⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------------------=431513143151513143151513143151513143151314（1） 选取不同的初值0x 和不同的右端向量b,给定迭代误差，用两种迭代法计算，观测得到的迭代向量并分析计算结果给出结论；（2） 取定初值0x 和右端向量b,给定迭代误差，将A 的主对角元成倍放大，其余元素不变，用Jacobi 迭代法计算多次，比较收敛速度，分析计算结果并给出结论。
2、 SOR 迭代法松弛因子的选取用逐次超松弛（SOR ）迭代法求解方程组,b Ax =其中 .5555551221212211212212121221121221212200199198321⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----------=x x x x x x A （1） 给定迭代误差，选取不同的超松弛因子1>ω进行计算，观测得到的近似值向量并分析计算结果，给出你的结论；（2） 给定迭代误差，选取不同的低松弛因子1<ω进行计算，观测得到的近似值向量并分析计算结果，给出你的结论。
三、实验原理Jacobi 迭代法算法：步1 取初始点()0x ，精度要求ε，最大迭代次数N ，置0:=k ；步 2 由()n i x a b a x ni j j j ij i ii k i,,1,1,11 =⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=∑≠=+ 或()b D x A D D x k 111)(--++-= 计算()1+k x ； 步3 若()()ε≤-∞+k k xx1，则停算，输出()1+k x作为方程组的近似解； 步4 若N k =，则停算，输出迭代失败信息；否则置1+=k k ，转布2。
迭代法实验报告
迭代法实验报告 一． 实验目的：掌握迭代方法的用处 二． 实验环境：Cfree5.0 三． 实验时间：2013年6月20日 四． 实验地点：电子信息楼1201教室 五． 实验内容：运用编程实现迭代方法可以更好的解线性方程组，得到线性方程的解。
六． 实验理论依据：高斯-赛德尔（Gauss-Seidel ）迭代公式我们注意到在雅可比迭代法中并没有对新算出的分量11k x +，12k x +，，11k i x +-进行充分利用．不妨设想，在迭代收敛的条件下，我们把(1)()()()11211331111(1)()()()22112332222(1)()()()1122,111()1(1(k k k k n n k k k k n n k k k k n n n n n n nn x a x a x a x b a x a x a x a x b a x a x a x a x b a +++--⎧=---+⎪⎪⎪=---+⎪⎨⎪⎪⎪=---+⎪⎩式中第一个方程算出的11k x +立即投入到第二个方程中，代替()1k x 进行计算，当12k x +算出后代替()2k x 马上投入到第三个方程中计算，依次进行下去，这样也许会得到更好的收敛效果．根据这种思路建立的一种新的迭代格式，我们称为高斯-赛德尔（Gauss-Seidel ）迭代公式，高斯=赛德尔迭代法的分量形式：(1)()()()11211331111(1)(1)()()22112332222(1)(1)(1)(1)1122,111()1(1(k k k k n n k k k k n n k k k k n n n n n n nn x a x a x a x b a x a x a x a x b a x a x a x a x b a +++++++--⎧=---+⎪⎪⎪=---+⎪⎨⎪⎪⎪=---+⎪⎩高斯-赛德尔迭代法的矩阵形式：(1)(),(0,1,2,)k k x Bx f k +=+=其中1()B D L U -=-，1()f D L b -=- B 称为高斯-赛德尔迭代矩阵，f 称为高斯-赛德尔迭代常量..七． 运行代码如下：#include"stdio.h"#include"math.h"int main(){bool pan1=true;int n,n1,n2=0,k=0;doublenum[100][100],L[100][100],U[100][100],x[100],y[100],num1=0,b[100],D[100][100],x1[200][200],x2[200][200];printf("\n");printf("*******************************高斯迭代法解如下********************************");printf("输入要输入矩阵的阶数为(按Enter 输入矩阵数字)：");//输入矩阵的阶数scanf("%d",&n1);for(int i=0;i<n1;i++)//输入矩阵的数{printf("输入第%d行数字为(按Enter进入下一行的输入)：",i+1);for(int j=0;j<n1;j++){scanf("%lf",&num[i][j]);}}//输入矩阵的数结束for(int i=0;i<n1;i++)//求解对角线上的矩阵数{for(int j=0;j<n1;j++){if(i==j){D[i][j]=num[i][j];L[i][j]=0;U[i][j]=0;}if(i>j){L[i][j]=-num[i][j];}if(i<j){U[i][j]=-num[i][j];}}}//求解对角线上的矩阵数结束printf("=================================输出D的矩阵为==================================");for(int i=0;i<n1;i++)//输出D矩阵 {for(int j=0;j<n1;j++){printf("%10lf",D[i][j]);}printf("\n");}printf("\n");printf("=================================输出L的矩阵为==================================");for(int i=0;i<n1;i++)//输出L矩阵{for(int j=0;j<n1;j++){printf("%10lf",L[i][j]);}printf("\n");}printf("\n");printf("=================================输出U的矩阵为==================================");for(int i=0;i<n1;i++)//输出U矩阵{for(int j=0;j<n1;j++){printf("%10lf",U[i][j]);}printf("\n");}printf("输入矩阵右端常数为(以空格隔开，按回车进行下一步):");//输入b的值for(int i=0;i<n1;i++){scanf("%lf",&b[i]);}//输入b的值结束printf("输入初始化x(0)的矩阵值(以空格隔开，按回车得到结果):");//输入x的值for(int i=0;i<n1;i++){scanf("%lf",&x2[0][i]);}while(pan1)//高斯迭代法的for语句部分 {for(int i=0;i<n1;i++){for(int j=0;j<i;j++){num1+=num[i][j]*x2[k+1][j];}for(int j1=i+1;j1<n1;j1++){num1+=num[i][j1]*x2[k][j1];}x2[k+1][i]=(b[i]-num1)/num[i][i];num1=0;}for(int i=0;i<n1;i++) {if(fabsf(x2[k+1][i]-x2[k][i])<0.002) {n2++;}}if(n2==n1){pan1=false; }else{k++;pan1=true; }}//高斯迭代法的for语句部分结束printf("迭代次数k的值为：%d\n",k);//输出迭代次数printf("输出的迭代法解的结果为：\n"); for(int i=0;i<n1;i++)//输出x的解{printf("第%d个x的值为：%lf\n",i+1,x2[k][i]);}printf("\n");}八．运行结果如下：九．实验心得：高斯=赛德尔迭代法其系数矩阵是严格对角占优的，所以高斯=赛德尔迭代法有很好的收敛性。
实验解线性方程组的基本迭代法实验
>> [y,n]=GaussSeidel(A,b,x0,eps)
y =
0.4814
0.5732
0.6325
0.6518
0.6606
0.6640
0.6654
0.6660
0.6662
0.6663
0.6663
0.6663
0.6661
0.6656
0.6642
0.6609
0.6521
function [y,n]=SOR(A,b,x0,w,eps)
%*************************************************
%函数名称SOR松弛迭代函数
%参数解释A系数矩阵
% w松弛因子
% b常数项
% x0估计解向量
% eps误差范围
%返回值
% y解向量
% n迭代次数
A(i,j)=-1/4;
end
end
end
>> b=ones(20,1);
>> x0=zeros(20,1);
>> eps=0.005;
>> [y,n]=Jacobi(A,b,x0,eps)
y =
0.4813
0.5729
0.6321
0.6513
0.6600
0.6632
0.6646
0.6651
0.6653
n =
100
第二次给定初始向量为20行一列的0，
右端面项向量b=20行一列的1
迭代误差要求0.00005
松弛因子为1.2
在Command Window中输入
数值分析线性方程组迭代法实验
实验报告
一、实验目的
体会求解线性方程组的Jacobi 迭代法和Gauss-Seidel 迭代法的收敛速度。
二、实验题目
用迭代法分别对200,20==n n 解方程组b Ax =，其中
n
n A ⨯⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------------------=431513143151513143151513143151513143151314
（1）选取不同的初值0x 和不同的右端向量b ，给定迭代误差，用Jacobi 迭代法和Gauss-Seidel 迭代法计算,观测得到的迭代向量并分析计算结果给出结论；
(2）取定初值0x 和右端向量b ，给定迭代误差，将A 的主对角元成倍放大，其余元素不变，用Jacobi 迭代法计算多次，比较收敛速度，分析计算结果并给出结论。
三、实验原理
求解线性方程组的Jacobi 迭代法和Gauss —Seidel 迭代法
四、实验内容及结果
1.Jacobi 迭代法：
4。
设取定的初值x0=ones(n,1），b=2*ones（n,1）；改变A的主对角线元素成倍放大，只需要将第二步中的
五、实验结果分析
（1）前面四个程序输出的结果,都有迭代次数和x的值，说明矩阵是收敛的。
Gauss-seidel的迭代速度比Jacobi的迭代速度快。
(2）观察k值发现迭代次数是减少的,再根据已学的知识，可以推断出随着A的主对角元值的成倍放大收敛的速度加快。
常微分方程的解线性方程组的迭代法
实验五 解线性方程组的迭代法【实验容】对1、设线性方程组⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--------------------------2119381346323125136824381004120291372642212341791110161035243120536217758683233761624491131512013012312240010563568000012132410987654321x x x x x x x x x x()Tx 2,1,1,3,0,2,1,0,1,1*--=2、设对称正定系数阵线性方程组⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---------------------45152292320601924336002141103520411144334310422181233416120653811414023121220024042487654321x x x x x x x x ()Tx 2,0,1,1,2,0,1,1*--=3、三对角形线性方程组⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------------------5541412621357410000000014100000000141000000001410000000014100000000141000000001410000000014100000000141000000001410987654321x x x x x x x x x x ()Tx 1,1,0,3,2,1,0,3,1,2*---=试分别选用Jacobi 迭代法，Gauss-Seidol 迭代法和SOR 方法计算其解。
数学实验“线性方程组的J-迭代,GS-迭代,SOR-迭代解法”实验报告(内含matlab程序代码)
西京学院数学软件实验任务书实验四实验报告一、实验名称：线性方程组的J-迭代，GS-迭代，SOR-迭代。
二、实验目的：熟悉线性方程组的J-迭代，GS-迭代，SOR-迭代，SSOR-迭代方法，编程实现雅可比方法和高斯-赛德尔方法求解非线性方程组12123123521064182514x x x x x x x x +=⎧⎪++=⎨⎪++=-⎩的根，提高matlab 编程能力。
三、实验要求：已知线性方程矩阵，利用迭代思想编程求解线性方程组的解。
四、实验原理：1、雅可比迭代法（J-迭代法）：线性方程组b X A =*，可以转变为：迭代公式(0)(1)()k 0,1,2,....k k J XXB X f +⎧⎪⎨=+=⎪⎩ 其中b M f U L M A M I B J 111),(---=+=-=，称J B 为求解b X A =*的雅可比迭代法的迭代矩阵。
以下给出雅可比迭代的分量计算公式，令),....,()()(2)(1)(k n k k k X X X X =，由雅可比迭代公式有b XU L MXk k ++=+)()1()(，既有i ni j k i iji j k iij k iij b X aXa X a +--=∑∑+=-=+1)(11)()1(，于是，解b X A =*的雅可比迭代法的计算公式为⎪⎩⎪⎨⎧--==∑∑-=+=+)(1),....,(111)()()1()0()0(2)0(1)0(i j n i j k j ij k j ij i ii k iTn X a X a b a X X X X X 2、 高斯-赛德尔迭代法（GS-迭代法）：GS-迭代法可以看作是雅可比迭代法的一种改进，给出了迭代公式：⎪⎩⎪⎨⎧--==∑∑-=+=+++)(1),....,(111)1()1()1()0()0(2)0(1)0(i j n i j k j ij k j ij i ii k iTn X a X a b a X X X X X 其余部分与雅克比迭代类似。
常微分方程的解线性方程组的迭代法
实验五 解线性方程组的迭代法【实验内容】对1、设线性方程组⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--------------------------2119381346323125136824381004120291372642212341791110161035243120536217758683233761624491131512013012312240010563568000012132410987654321x x x x x x x x x x()Tx 2,1,1,3,0,2,1,0,1,1*--=2、设对称正定系数阵线性方程组⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---------------------45152292320601924336002141103520411144334310422181233416120653811414023121220024042487654321x x x x x x x x ()Tx 2,0,1,1,2,0,1,1*--=3、三对角形线性方程组⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------------------5541412621357410000000014100000000141000000001410000000014100000000141000000001410000000014100000000141000000001410987654321x x x x x x x x x x ()Tx 1,1,0,3,2,1,0,3,1,2*---=试分别选用Jacobi 迭代法，Gauss-Seidol 迭代法和SOR 方法计算其解。
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《计算方法》实验报告
学院：信息学院
专业：计算机科学与技术
指导教师：郭卫斌
班级学号：10101438 计102
姓名：闻翰
计算机科学与工程系
实验五 线性方程组的迭代法实验
一. 实验目的
（1）深入理解线性方程组的迭代法的设计思想，学会利用系数矩阵的性质以保证迭
代过程的收敛性，以及解决某些实际的线性方程组求解问题。
（2）熟悉Matlab 编程环境，利用Matlab 解决具体的方程求根问题。
二. 实验要求
建立Jacobi 迭代公式、Gauss-Seidel 迭代公式和超松弛迭代公式，用Matlab 软件实现线性方程组求解的Jacobi 迭代法、Gauss-Seidel 迭代法和超松弛迭代法，并用实例在计算机上计算。
三. 实验内容
1. 实验题目
（1）分别利用Jacobi 迭代和Gauss-Seidel 迭代求解下列线性方程组，取
()T 0,0,0,0,0,0=x ，要求精度5
10-=ε：
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤
⎢
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---------------62605041
1
141010014001100410010141001014654321x x x x x x
（2）分别取1=ω、1.05、1.1、1.25和1.8，用超松弛法求解上面的方程组，要求精度
为510-=ε。
2. 设计思想 1.Jacobi 迭代:
Jacobi 迭代的设计思想是将所给线性方程组逐步对角化，将一般形式的线性方程组的求解归结为对角方程组求解过程的重复。
2.Gauss-Seidel 迭代:
Gauss-Seidel 迭代的设计思想是将一般形式的线性方程组的求解过程归结为下三角方程组求解过程的重复。
3.超松弛迭代：
基于Gauss-Seidel 迭代，对i=1，2，…反复执行计算迭代公式，即为超松弛迭代。
3. 对应程序 1.Jacobi 迭代：
function [x,k]=Jacobimethod(A,b,x0,N,emg)
%A 是线性方程组的左端矩阵，b 是右端向量，x0是迭代初始值
% N表示迭代次数上限，emg表示控制精度，k表示迭代次数，x是解n=length(A);
x1=zeros(n,1);x2=zeros(n,1);
x1=x0;k=0;
r=max(abs(b-A*x1));
while r>emg
for i=1:n
sum=0;
for j=1:n
if i~=j
sum=sum+A(i,j)*x1(j);
end
end
x2(i)=(b(i)-sum)/A(i,i);
end
r=max(abs(x2-x1));
x1=x2;
k=k+1;
if k>N
disp('迭代失败，返回');
return;
end
end
x=x1;
2.Gauss-Seidel迭代：
function [x,k]=Gaussmethod(A,b,x0,N,emg)
%A是线性方程组的左端矩阵，b是右端向量，x0是迭代初始值
% N表示迭代次数上限，emg表示控制精度，k表示迭代次数，x是解n=length(A);
x1=zeros(n,1);x2=zeros(n,1);
x1=x0;
r=max(abs(b-A*x1));
k=0;
while r>emg
for i=1:n
sum=0;
for j=1:n
if j>i
sum=sum+A(i,j)*x1(j);
elseif j<i
sum=sum+A(i,j)*x2(j);
end
end
x2(i)=(b(i)-sum)/A(i,i);
end
r=max(abs(x2-x1));
x1=x2;
k=k+1;
if k>N
disp('迭代失败，返回');
return;
end
end
x=x1;
3.超松弛(SOR)迭代：
function [x,k]=SORmethod(A,b,x0,N,emg,w)
%A是线性方程组的左端矩阵，b是右端向量，x0是迭代初始值
% N表示迭代次数上限，emg表示控制精度，k表示迭代次数，x是解%w表示松弛因子
n=length(A);
x1=zeros(n,1);x2=zeros(n,1);
x1=x0;
r=max(abs(b-A*x1));
k=0;
while r>emg
for i=1:n
sum=0;
for j=1:n
if j>=i
sum=sum+A(i,j)*x1(j);
elseif j<i
sum=sum+A(i,j)*x2(j);
end
end
x2(i)=x1(i)+w*(b(i)-sum)/A(i,i);
end
r=max(abs(x2-x1));
x1=x2;
k=k+1;
if k>N
disp('迭代失败，返回');
return;
end
end
x=x1;
4. 实验结果
1.Jacobi迭代：
2.Gauss-Seidel迭代：
3.超松弛(SOR)迭代：w=1：
w=1.05:
w=1.1:
w=1.25:
w=1.8:
四.实验体会
在同等精度下，Gauss-Seidel迭代法比Jacobi迭代法收敛速度快。
一般来说，Gauss-Seidel迭代法比Jacobi迭代法收敛要快，但有时反而比Jacobi迭代法要慢，而且Jacobi迭代法更易于优化。
因此，两种方法各有优缺点，使用时要根据所需适当选取。
当松弛因子为1时，超松弛迭代方法等同于Gauss-Seidel迭代法，这和理论推导完全相同。
另外，超松弛迭代法的收敛速度完全取决于松弛因子的选取，一个适当的因子能大大提高收敛速度。