25.分离常数法和分离参数法
(必考题)高中数学必修一第四单元《函数应用》测试卷(有答案解析)
一、选择题1．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x <时，|2|()12x f x +=-，若关于x 的方程2()|1|f x a f -+2()0x a +=恰好有四个不同的根1x ，2x ，3x ，4x ，则()()()()12341111f x f x f x f x ----⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦的取值范围是（ ）A ．160,81⎛⎫⎪⎝⎭B ．10,16⎛⎫⎪⎝⎭C ．116,1681⎡⎫⎪⎢⎣⎭ D ．11,164⎡⎫⎪⎢⎣⎭ 2．设函数()243,023,0x x x f x x x ⎧-+≥=⎨+<⎩，若互不相等的实数1x 、2x 、3x ，满足()()()123f x f x f x ==，则123x x x ++的取值范围是（ ）A ．5,62⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．5,42⎛⎤⎥⎝⎦C ．()2,4D ．()2,63．已知函数给出下列三个结论：① 当2=-a 时，函数()f x 的单调递减区间为(,1)-∞；② 若函数()f x 无最小值，则a 的取值范围为(0,)+∞；③ 若1a <且0a ≠，则b R ∃∈，使得函数()y f x b =-恰有3个零点1x ,2x ,3x ，且1231x x x =-.其中，所有正确结论的个数是（ ） A ．0B ．1C ．2D ．34．如图所示，一隧道内设双行线公路，其截面由长方形的三条边和抛物线的一段构成，为保证安全，要求行驶车辆顶部(设为平顶)与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有0.5米，若行车道总宽度AB 为7米，请计算通过隧道的车辆限制高度为（ ）A ．4.25米B ．4.5米C ．3.9米D ．4.05米5．激光多普勒测速仪（LaserDopplerVelocimetry ，LDV ）的工作原理是：激光器发出的光平均分成两束射出，在被测物体表面汇聚后反射，探测器接收反射光，当被测物体横向速度为零时，反射光与探测光频率相同；当横向速度不为零时，反射光相对探测光发生频移，频移()2sin 1/h p v f ϕλ=，其中v 为被测物体的横向速度，ϕ为两束探测光线夹角的一半，λ为激光波长.如图，用激光多普勒测速仪实地测量复兴号高铁在某时刻的速度，激光测速仪安装在距离高铁1m 处，发出的激光波长为()91560nm 1nm 10m -=，测得这时刻的频移为()98.72101/h ⨯，则该时刻高铁的速度约为（ ）A ．320km/hB ．330km/hC ．340km/hD ．350km/h6．设函数()f x 是定义在R 上的偶函数，对任意x ∈R ，都有()()4f x f x +=，且当[]2,0x ∈-时，()112xf x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，若在区间(]2,10-内关于x 的方程()()()log 201a f x x a -+=>至少有4个不同的实数根，至多有5个不同的实数根，则a的取值范围是（ ）A ．312⎡⎣B ．()2,+∞C ．()1,2D ．(3127．若函数32232,01()5,1x x m x f x mx x ⎧-+<≤=⎨->⎩，恰有2个零点，则m 的取值范围是（ ）A ．()5,0-B ．()0,5C ．1[,5)2D ．1(0,]28．已知关于x 的方程|2|1x m -=有两个不等实根，则实数m 的取值范围是( ) A ．(-∞，1]-B ．(,1)-∞-C ．[1，)+∞D ．(1,)+∞9．已知函数,0()ln ,0x e x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，若函数g （x ）＝f （x ）+2x +ln a （a ＞0）有2个零点，则数a 的最小值是（ ） A ．1eB ．12C ．1D ．e10．用d （A ）表示集合A 中的元素个数，若集合A ={0，1}，B ={x |（x 2-ax ）（x 2-ax +1）=0}，且|d （A ）-d （B ）|=1．设实数a 的所有可能取值构成集合M ，则d （M ）=（ ） A ．3B ．2C ．1D ．411．已知()f x 是奇函数且是R 上的单调函数，若函数()()221y f x f x λ=++-只有一个零点，则实数λ的值是（ ） A ．14B ．18C ．78-D ．38-12．为了衡量星星的明暗程度，古希腊天文学家喜帕恰斯在公元前二世纪首先提出了星等这个概念.星等的数值越小，星星就越亮；星等的数值越大它的光就越暗.到了1850年，由于光度计在天体光度测量的应用，英国天文学家普森又提出了亮度的概念，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足()12212.5lg lg m m E E -=-，其中星等为k m 的星的亮度为(1,2)k E k =.已知“心宿二”的星等是1.00，“天津四”的星等是1.25，则“心宿二”的亮度大约是“天津四”的（ ）倍.（当||x 较小时，2101 2.3 2.7x x x ≈++）A ．1.27B ．1.26C ．1.23D ．1.22二、填空题13．某建材商场国庆期间搞促销活动，规定：如果顾客选购物品的总金额不超过600元，则不享受任何折扣优惠；如果顾客选购物品的总金额超过600元，则超过600元部分享受一定的折扣优惠，折扣优惠按下表累计计算.某人在此商场购物获得的折扣优惠金额为30元，则他实际所付金额为____元． 14．对于函数()f x ，若在定义域存在实数x ，满足()()f x f x -=-，则称()f x 为“局部奇函数”．若函数()423xxf x m =-⋅-是定义在R 上的“局部奇函数”，则实数m 的取值范围为______．15．M 是所有同时满足下列条件的函数()y f x =的集合：①()y f x =的定义域为(0,)+∞；②对任意00x >，001()22f x x =+或0001()f x x x =+；若对一切()f x M ∈，关于x 的方程()f x a =恒有解，则实数a 的取值集合是___________16．定义在R 上的函数()f x ，满足()()f x f x -=-且()(2)f x f x =-，当01x <≤时，2()log f x x =，则方程()f x x =-在()2,2-上的实数根之和为___________．17．某汽车厂商生产销售一款电动汽车，每辆车的成本为4万元，销售价格为6万元，平均每月销量为800辆，今年该厂商对这款汽车进行升级换代，成本维持不变，但为了提高利润，准备提高销售价格，经过市场分析后发现，如果每辆车价格上涨0.1万元，月销量就会减少20辆，为了获取最大利润，每辆车的销售价格应定为__________万元. 18．方程()2332log log 30x x +-=的解是______.19．已知函数()21f x ax =-+有两个零点，则实数a 的取值范围是________.20．已知函数24()ln(1)x f x e -=+，()2g x x a =+-.若存在[](),1a n n n Z ∈+∈，使得关于x 的方程()()f x g x =有四个不相等的实数解，则n 的最大值为_______.三、解答题21．已知函数2()29f x x ax =-+.(I)当0a ≤时，设()(2)x g x f =，证明：函数()g x 在R 上单调递增； (II)若[1,2]x ∀∈，(2)0x f ≤成立，求实数a 的取值范围； (III)若函数()f x 在(3,9)-有两个零点，求实数a 的取值范围.22．中国“一带一路”倡议提出后，某科技企业为抓住“一带一路”带来的机遇，决定开发生产一款大型电子设备，生产这种设备的年固定成本为500万元，每生产x 台需要另投入成本()C x （万元）．当年产量不足80台时，21()402C x x x =+（万元），当年产量不小于80台时，8100()1012180C x x x=+-（万元），若每台设备售价为100万元，通过市场分析，该企业生产的电子设备能全部售完．（1）求年利润y （万元）关于年产量x （台）的函数关系式．（2）年产量为多少台时，该企业在这一电子设备的生产中所获利润最大？并求出这个最大利润．23．已知函数()()22()1,20f x ax x g x x bx x =-+=+->，()()()5101x h x f x x x -=-<-． （1）()()1,3,0x f x ∀∈>恒成立，求实数a 的取值范围；（2）当1a =时，若函数()g x 的图象上存在,A B 两个不同的点与()h x 图象上的'',A B 两点关于y 轴对称，求实数b 的取值范围．24．某制造商为拓展业务，引进了一种生产体育器材的新型设备．通过市场分析发现，每月需投入固定成本3000元，生产x 台需另投入成本C (x )元，且210400040()100001004980040100x x x C x x x x ⎧+<<⎪=⎨+-≤≤⎪⎩，，，，若每台售价1000元，且每月生产的体育器材月内能全部售完．（1）求制造商所获月利润L (x )（元）关于月产量x （台）的函数关系式；（2）当月产量为多少台时，制造商由该设备所获的月利润最大？并求出最大月利润．25．已知函数5()log ,(01)5ax f x a a x -=>≠+，． （1）判断()f x 的奇偶性，并加以证明；（2）设()log (3)a g x x =-，若方程()1()f x g x -=有实根，求a 的取值范围；26．已知函数()y f x =为二次函数，()04f =，且关于x 的不等式()20f x -<的解集为{}12x x <<（1）求函数()f x 的解析式（2）若关于x 的方程()0f x m -=有一实根大于1，一实根小于1，求实数m 的取值范围 （3）已知()1g x x =+，若存在x 使()y f x =的图象在()y g x =图象的上方，求满足条件的实数x 的取值范围【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【分析】由奇函数得出()f x 的性质，作出函数图象，可知()f x t =的解的个数，令()t f x =，原方程变为2210t a t a -++=，根据()f x t =的解的情形，可得2210t a t a -++=有两不等实根且实根12,t t 都在(0,3)上，由二次方程根的分布可得a 的范围，应用韦达定理得1212,t t t t +，这样()()()()12341111f x f x f x f x ----⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦就可能用a 表示，并根据a 的求得结论．【详解】由题意(0)0f =，0x >时，2()()21x f x f x -+=--=-，作出函数()f x 的图象，如图，若0a =，则方程2()|1|f x a f -+2()0x a +=为2()()0f x f x -=，()0f x =或()1f x =()0f x =三个解，()1f x =有两个解，原方程共有5个解，不合题意，设()t f x =，因此关于t 方程2210t a t a -++=必有两个不等实根，又12212100t t a t t a ⎧+=+>⎨=>⎩，所以120,0t t >>，从而103t <<，203t <<且12t t ≠.若其中一根为1，则由2110a a -++=，1a ≤-时，2110a a +++=无实数解，1a >-，2110a a --+=，0a =或1a =，不合题意．因此121,1t t ≠≠，由2222103209310140a a a a a a ⎧+<<⎪⎪⎪>⎨⎪-++>⎪∆=+->⎪⎩，解得113-<<a 且0a ≠．不妨设121()()f x f x t ==，342()()f x f x t ==， 则()()()()222212341212121111[(1)(1)][1()][11]f x f x f x f x t t t t t t a a ----=--=-++=-++⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦22()a a =-，∵113-<<a 且0a ≠．∴21449a a -≤-<且20a a -≠，∴2160,81a a ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭． 故选：A ．【点睛】关键点点睛：本题考查方程根的分布问题，解题关键是两个：一是研究函数()f x 的性质，二是换元后得出二次方程，问题转化为二次方程根的分布，求出参数a 的范围．2．C解析：C 【分析】设123x x x <<，作出函数()f x 的图象，结合图象可得出1x 的取值范围，结合二次函数图象的对称性可得出234x x +=，进而可求得123x x x ++的取值范围. 【详解】设123x x x <<，作出函数()f x 的图象如下图所示：设()()()123f x f x f x m ===，当0x ≥时，()()2243211f x x x x =-+=--≥-，由图象可知，13m -<<，则()()11231,3f x x =+∈-，可得120x -<<， 由于二次函数243y xx =-+的图象的对称轴为直线2x =，所以，234x x +=，因此，12324x x x <++<. 故选：C. 【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（或取值范围），常用方法如下： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数的取值范围； （2）分离常数法：先将参数分离，转化为求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.3．C解析：C 【分析】①画出函数的图象，直接判断函数的单调性；②分0,0,0a a a >=<三种情况讨论函数的图象，分析函数是否有最小值，得到实数a 的取值范围；③首先令()f x b =，解出三个零点，进而判断结论. 【详解】①当2a =-时，()21,0ln ,0x x f x x x -+≤⎧=⎨>⎩，画出函数的图象，如下图，由图象可知当(),0x ∈-∞时，函数单调递减，当()0,1x ∈时函数单调递减，但函数在(),1-∞时，函数并不单调递减，故①不正确；②当0a >时，0x ≤时，函数1y ax =+单调递增，并且当x →-∞时，y →-∞，所以函数没有最小值；当0a =时，()1,0ln ,0x f x x x ≤⎧=⎨>⎩，ln 0x ≥，函数的最小值是0；当0a <时，0x ≤时，函数1y ax =+单调递减，函数的最小值是1，当0x >时，ln 0x ≥，ln y x =的最小值是0，综上可知函数的最小值是0，综上，若函数没有最小值，只需满足0a >，故②正确；对于③，令()f x b =，当0x ≤时，1ax b +=，当0x >时，ln x b =， 不妨设1230x x x ≤<<，110b x a-=≤，2b x e -=，3b x e =， 则231x x =，令111b x a-==-，可得1b a =-， 当0a <时，11b a =->，则三个零点1231x x x =-， 当01a <<时，011b a <=-<，则三个零点1231x x x =-. 综上可知③正确； 故选：C【点睛】思路点睛：本题考查分段函数，函数性质和函数图象的综合应用，本题的关键是对a 的讨论，画出函数的图象，比较容易判断前两个命题，最后一个命题的关键是解出3个零点，并能判断231x x =，从而只需验证是否11x =-即可.4．D解析：D 【分析】可设抛物线的方程为2(0)x ny n =<，将(5,5)-代入可得n ，可得抛物线的方程，再令3.5x =，求得y ，计算70.5y --，可得所求值．【详解】解：如右图，设抛物线的方程为2(0)x ny n =<，将点(5,5)-代入抛物线的方程可得，255n =-，解得5n =-， 即抛物线的方程为25x y =-，令 3.5x =，可得23.55y =-，解得 2.45y =-，则通过隧道的车辆限制高度为7 2.450.5 4.05--=（米)． 故选：D ．【点睛】利用坐标法思想，建立适当的直角坐标系，得到抛物线的方程，从而解决问题.5．C解析：C 【分析】先根据图象，求出sin ϕ的值，再根据公式即可计算出v 的值． 【详解】 解：332sin 1.00041(2010)ϕ--==+⨯，92 1.00048.7210v ⋅∴⨯=，即8.721560 1.0004=⋅，8.7215601.0004340148.009v ⨯⨯∴=≈米/小时340/km h ≈，故该时刻高铁的速度约为340/km h ．故选：C ． 【点评】本题主要考查了函数的实际应用，考查了三角函数的实际应用，也考查了学生的计算能力，关键在于将生活中的数据转化为数学公式中的数据，属于中档题．6．A解析：A 【分析】作出函数()y f x =和函数()()log 21a y x a =+>在区间(]2,10-上的图象，根据题意可得出关于实数a 的不等式组，由此可解得实数a 的取值范围. 【详解】对任意x ∈R ，都有()()4f x f x +=，则函数()f x 是周期为4的周期函数，当[]2,0x ∈-时，()112xf x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 作出函数()y f x =和函数()()log 21a y x a =+>在区间(]2,10-上的图象如下图所示：由于在区间(]2,10-内关于x 的方程()()()log 201a f x x a -+=>至少有4个不同的实数根，至多有5个不同的实数根，则()()log 623log 10231a a a ⎧+≤⎪+>⎨⎪>⎩，解得3212a ≤< 因此，实数a 的取值范围是312⎡⎣.故选：A. 【点睛】函数零点的应用主要表现在利用零点求参数范围，若方程可解，通过解方程即可得出参数的范围，若方程不易解或不可解，则将问题转化为构造两个函数，利用两个函数图象的关系求解，这样会使得问题变得直观、简单，这也体现了数形结合思想的应用．7．D解析：D 【分析】先求出()g x 的单调性，然后根据题意，得到满足条件时有(0)0(1)0g g >⎧⎨≤⎩，求出m 的范围，然后再根据m 的范围，求出满足前述条件时，()5h x mx =-有零点的情况，进而可求解【详解】令32()232g x x x m =-+，'()6(1)g x x x =-，故()g x 在(]0,1处单调递减，所以，()g x 在(]0,1上至多有一个零点，而对于()5h x mx =-，在(1,)+∞上至多有一个零点，由题意得，()g x 在(]0,1上有一个零点，()5h x mx =-，在(1,)+∞上有一个零点，故有(0)0(1)0g g >⎧⎨≤⎩，求出102m ≥>，此时，()5h x mx =-，在(1,)+∞上单调递增，所以，(1)0h <即可满足题意，解得5m <，根据125m m ⎧≥>⎪⎨⎪>⎩，得102m ≥>故选：D 【点睛】关键点睛：解题关键在于先求出32()232g x x x m =-+的单调性，并根据()g x 的单调性得出()g x 在(]0,1上有一个零点，()5h x mx =-，在(1,)+∞上有一个零点，然后进行求解，难度属于中档题8．D解析：D 【分析】分离参数，再根据指数函数性质求出． 【详解】解：21x m -=或21x m -=-，即21x m =-，或者21x m =+， 当211x m =->-时，有一个解， 当211x m =+>时，有一个解，所以1m 时，方程|2|1x m -=有两个不等实根， 故选：D ． 【点睛】考查方程根的个数问题，利用了分类讨论法，分离参数法，属于中档题．9．A解析：A【分析】令()0g x =，将问题转化为函数()f x 与函数()2ln 0y x a a =-->的图象有两个不同的交点来求解. 【详解】令()0g x =得()2ln f x x a =--，若()g x 有两个零点，则函数()f x 与函数()2ln 0y x a a =-->的图象有两个不同的交点.画出函数()f x 与函数()2ln 0y x a a =-->的图象如下图所示，当直线过点()0,1时，两个函数图象有两个交点，此时1120ln a a e=-⨯-⇒=.由图可知，当直线向下平移时，可使两个函数图象有两个交点，所以1ln 1a a e -≤⇒≥，所以a 的最小值为1e. 故选：A【点睛】本小题主要考查函数零点问题的求解，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.10．A解析：A 【分析】根据题设条件，可判断出d （B ）的值为1或3，然后研究（x 2﹣ax ）（x 2﹣ax +1）＝0的根的情况，分类讨论出a 可能的取值． 【详解】解：由题意，|d （A ）-d （B ）|=1，d （A ）=2，可得d （B ）的值为1或3若d （B ）=1，则x 2-ax=0仅有一根，必为0，此时a=0，则x 2-ax+1=x 2+1=0无根，符合题意 若d （B ）=3，则x 2-ax=0有一根，必为0，此时a=0，则x 2-ax+1=x 2+1=0无根，不合题意 故x 2-ax=0有二根，一根是0，另一根是a ，所以x 2-ax+1=0必仅有一根，所以△=a 2-4=0，解得a=±2此时x 2-ax+1=0为1或-1，符合题意综上实数a 的所有可能取值构成集合M={0，-2，2}，故d （M ）=3． 故选：A ． 【点睛】本题考查方程的根的个数的判断以及集合中元素个数，综合性较强，考查了分类讨论的思想及一元二次方程根的个数的研究方法，难度中等．11．C解析：C 【分析】令()()2210y f x f x λ=++-=，结合()f x 为奇函数进行化简，利用一元二次方程判别式列方程，解方程求得λ的值. 【详解】令()()2210y f x f x λ=++-=，则()()()221f x f x f x λλ+=--=-，因为()f x 是R 上的单调函数，所以221x x λ+=-，即2210x x λ++=-.依题意可知2210x x λ++=-有且只有一个实数根，所以()1810λ∆=-+=，解得78λ=-. 故选：C 【点睛】本小题主要考查函数的奇偶性、单调性、零点，属于中档题.12．B解析：B 【分析】把已知数据代入公式计算12E E ． 【详解】由题意211 1.25 2.5(lg lg )E E -=-，12lg 0.1E E =, ∴0.1212101 2.30.1 2.70.1 1.257 1.26E E =≈+⨯+⨯=≈． 故选：B ． 【点睛】本题考查数学新文化，考查阅读理解能力．解题关键是在新环境中抽象出数学知识，用数学的思想解决问题．二、填空题13．1120【分析】明确折扣金额y 元与购物总金额x 元之间的解析式结合y ＝30＞25代入可得某人在此商场购物总金额减去折扣可得答案【详解】由题可知：折扣金额y 元与购物总金额x 元之间的解析式y ∵y ＝30＞2解析：1120 【分析】明确折扣金额y 元与购物总金额x 元之间的解析式，结合y ＝30＞25，代入可得某人在此商场购物总金额, 减去折扣可得答案． 【详解】由题可知：折扣金额y 元与购物总金额x 元之间的解析式，y ()()006000.0560060011000.11100251100x x x x x ⎧≤⎪=-≤⎨⎪-+⎩，＜，＜，＞ ∵y ＝30＞25 ∴x ＞1100∴0.1（x ﹣1100）+25＝30 解得，x ＝1150， 1150﹣30＝1120，故此人购物实际所付金额为1120元． 【点睛】本题考查的知识点是分段函数，正确理解题意，进而得到满足条件的分段函数解析式是解答的关键．14．【分析】根据局部奇函数的定义便知若函数是定义在上的局部奇函数只需方程有解可设从而得出方程在时有解从而设由二次函数的性质分析可得答案【详解】根据题意由局部奇函数的定义可知：若函数是定义在上的局部奇函数 解析：[)2,-+∞【分析】根据“局部奇函数”的定义便知，若函数()f x 是定义在R 上的“局部奇函数”，只需方程()()2222280xx x x m --+-+-=有解．可设()222x xt t -+=≥，从而得出方程280t mt --=在2t ≥时有解，从而设()28g x t mt =--，由二次函数的性质分析可得答案． 【详解】根据题意，由“局部奇函数”的定义可知：若函数()423xxf x m =-⋅-是定义在R 上的“局部奇函数”，则方程()()f x f x -=-有解，即()423423xx x x m m ---⋅-=--⋅-有解；变形可得()442260x x x xm --+-+-=， 即()()2222280xx x x m --+-+-=有解即可.设22x x t -+=，则222x x t -=+≥=，当且仅当0x =时，等号成立. 则方程()()f x f x -=-等价为280t mt --=在2t ≥时有解.设()28g t t mt =--，若方程280t mt --=的两根分别为1t 、2t ，则1280t t =-<，所以，()2428240g m m =--=--≤， 解可得：2m ≥-，即m 的取值范围为[)2,-+∞． 故答案为：[)2,-+∞． 【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.15．【分析】根据条件可知当且仅当时对一切关于的方程恒有解由此求的取值范围【详解】对任意或当且仅当时对一切关于的方程恒有解此时则实数的取值集合是故答案为：【点睛】关键点点睛：本题考查方程有解求参数的取值范解析：{3±【分析】根据条件可知当且仅当000112=2x x x ++时，对一切()f x M ∈，关于x 的方程()f x a =恒有解，，由此求a 的取值范围. 【详解】对任意00x >，001()22f x x =+或0001()f x x x =+当且仅当000112=2x x x ++时，对一切()f x M ∈，关于x 的方程()f x a =恒有解，此时0=2x0()3f x =±，则实数a的取值集合是{3±故答案为：{3± 【点睛】关键点点睛：本题考查方程有解，求参数的取值范围，关键是利用题意，正确求解0x >时，000112=2x x x ++时满足题意. 16．0【分析】首先由条件求出函数周期为再利用当时作出和的图象方程在上的实数根之和为由图象结合奇函数的性质即可求解【详解】因为函数满足且所以即所以所以函数周期为由可得所以对称轴为当时作函数和图象如图所示：解析：0 【分析】首先由条件求出函数()f x 周期为4，再利用当01x <≤时，2()log f x x =，作出和y x =-的图象，方程()f x x =-在()2,2-上的实数根之和为1234x x x x +++，由图象结合奇函数的性质即可求解. 【详解】因为函数()f x 满足()()f x f x -=-且()(2)f x f x =-， 所以[](2)2(2)()f x f x f x +=-+=-，即(2)()f x f x +=-， 所以(4)(2)()f x f x f x +=-+=， 所以函数()f x 周期为4，由()(2)f x f x =-可得(1)(1)f x f x +=-，所以()f x 对称轴为1x =， 当01x <≤时，2()log f x x =， 作函数()y f x =和y x =-图象如图所示：其中()y f x =时奇函数，y x =-也是奇函数， 设两个函数图象交点的横坐标分别为1x 、2x 、3x 、4x 方程()f x x =-在()2,2-上的实数根之和为1234x x x x +++， 由图象结合奇函数的性质可得：14230x x x x +=+=，O 所以12340x x x x +++=，方程()f x x =-在()2,2-上的实数根之和为0， 故答案为：0 【点睛】关键点点睛：本题的关键点是利用已知条件求出()f x 周期为4，方程()f x x =-在()2,2-上的实数根之和等价于()y f x =和y x =-图象交点的横坐标之和，关键点是作出()y f x =在()2,2-的图象，数形结合即可求解.17．7【分析】设每辆车的销售价格为万元求出每月的销售数量乘以每一辆的获利可得每月的利润再由二次函数求最值【详解】解：设每辆车的销售价格为万元则月销售为辆由解得获利当时取得最大值为1800万元为了获取最大解析：7 【分析】设每辆车的销售价格为x 万元，求出每月的销售数量，乘以每一辆的获利可得每月的利润，再由二次函数求最值. 【详解】解：设每辆车的销售价格为x 万元，则月销售为68002020002000.1x x --⨯=-辆， 由20002000x ->，解得10x <，∴获利2(2000200)(4)20028008000(010)y x x x x x =--=-+-<<，当28007400x ==时，y 取得最大值为1800万元. ∴为了获取最大利润，每辆车的销售价格应定为7万元.故答案为：7. 【点睛】本题考查函数模型的选择及应用，二次函数最值的求法，是基础题.18．或【分析】设原方程等价转化为由此能求出原方程的解【详解】设则原方程转化为解得当即解得当即解得所以原方程的解为或故答案为：或【点睛】本题考查方程的解的求法解题时要认真审题注意换元法的合理运用属于基础题3 【分析】设3log x t =，原方程等价转化为2230t t +-=，由此能求出原方程的解. 【详解】设3log x t =，则原方程转化为2230t t +-=，解得132t =-，21t =，当132t =-，即33log 2x =-，解得x = 当21t =，即3log 1x =，解得3x =，3.3. 【点睛】本题考查方程的解的求法，解题时要认真审题，注意换元法的合理运用，属于基础题.19．【分析】由函数有两个零点等价于且再求解即可【详解】解：令两边平方整理可得又由已知有且则解得或又方程有两不等实根则解得即综上可得实数a 的取值范围是故答案为：【点睛】本题考查了二次方程的解的个数问题重点解析：11,43⎛⎫⎪⎝⎭【分析】由函数()21f x ax =+有两个零点等价于240a a ->且2244(4)0a a a ∆=-->，再求解即可.【详解】21ax =-，两边平方整理可得22(4)210a a x ax --+=， 又由已知有210ax -≥且2(4)0a a -≠， 则240a a ->，解得14a >或0a <， 又方程22(4)210a a x ax --+=有两不等实根， 则2244(4)0a a a ∆=-->，解得103a <<， 即1143a <<， 综上可得实数a 的取值范围是11,43⎛⎫⎪⎝⎭， 故答案为：11,43⎛⎫⎪⎝⎭.【点睛】本题考查了二次方程的解的个数问题，重点考查了运算能力，属中档题.20．2【分析】由题意得令显然为偶函数则方程有四个实根函数x ＞0有两个零点令x ＞0则关于t 的方程即在内有两个不相等的实根结合函数的图象可得由此可求出答案【详解】解：方程令则显然为偶函数∴方程有四个实根函数解析：2 【分析】由题意得242()()10x x a f x g x e e -+-=⇔+-=，令242()1x x a h x e e -+-=+-，x ∈R ，显然()h x 为偶函数，则方程()()f x g x =有四个实根⇔函数242()1x x a h x e e -+-=+-，x ＞0有两个零点，令2x t e -=，x ＞0，则关于t 的方程210a t e t -+=，即1ae t t=+在()2e -+∞，内有两个不相等的实根，结合函数1y t t =+的图象可得4ln(e 1)2ln 21n n ⎧<+-⎨<+⎩，由此可求出答案． 【详解】解：方程()()f x g x =⇔24ln(1)2x e x a -+=+-24210x x a e e -+-⇔+-=，令242()1x x a h x e e -+-=+-，x ∈R ，则显然()h x 为偶函数，∴方程()()f x g x =有四个实根⇔函数242()1x x a h x e e -+-=+-，x ＞0有两个零点， 令2x t e -=，x ＞0，则关于t 的方程210a t e t -+=，即1ae t t=+在()2e -+∞，内有两个不相等的实根， 结合函数1y t t=+，2t e ->的图象，得222a e e e -<<+， 即4ln 2ln(1)2a e <<+-，∵存在[],1a n n ∈+，使得4ln 2ln(1)2a e <<+-，∴4ln(e 1)2ln 21n n ⎧<+-⎨<+⎩，结合n Z ∈，得max 2n =，故答案为：2． 【点睛】本题主要考查函数与方程，考查方程的实数解个数问题，考查转化与化归思想，属于中档题．三、解答题21．(I)证明见解析 ；(II) 134a ≥；(III) 35a << . 【分析】(I)根据函数单调性定义法证明即可； (II) 设2(12)x t x =<<，则24t <<则 92t a t +≤，令9()h t t t=+，求()h t 最大值即可； (III)根据零点分布列出等价不等式求解即可. 【详解】（Ⅰ）()(2)4229x x x g x f a ==-⋅+，设21x x R >∈，221121()()4229(4229)x x x x g x g x a a -=-⋅+--⋅+2121442(22)x x x x a =---212121(22)(22)2(22)x x x x x x a =-+-- 2121(22)[(22)2]x x x x a =-+-因为函数2x y =在R 上单调递增， 所以2122x x >，所以21220x x ->，又21(22)0,0x x a +>≤，所以21(22)20x x a +->，2121(22)[(22)2]0x x x x a -+->，所以21()()g x g x >，所以函数()g x 在R 上单调递增. （Ⅱ）设2(12)x t x =<<， 则24t <<，都有2290t at -+≤，92t a t +≤，令9()h t t t=+， 易证()h t 在(2,3)单调递减，在(3,4)单调递增， 又1325(2)(4)24h h ==,，()h t 最大值为132， 13132,24a a ≥≥. (III)因为函数()f x 在(3,9)-有两个零点且对称轴为x a =，所以2394360(3)0(9)0a a f f -<<⎧⎪->⎪⎨->⎪⎪>⎩，解得35a <<. 【点睛】方法点睛：已知不等式恒成立求参数值(取值范围)问题常用的方法： （1）函数法：讨论参数范围，借助函数单调性求解；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域或最值问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.22．（1）2160500,080281001680,80x x x y x x x ⎧-+-<<⎪⎪=⎨⎛⎫⎪-+≥ ⎪⎪⎝⎭⎩；（2）当年产量为90台时，该企业在这一电子设备的生产中所获利润最大，最大利润为1500万元． 【分析】（1）分别求080x <<和80x ≥时函数的解析式可得答案；（2）当080x <<时，21(60)13002y x =--+，配方法求最值、；当80x ≥时， 利用基本不等式求最值，然后再做比较.【详解】（1）当080x <<时，2211100405006050022y x x x x x ⎛⎫=-+-=-+- ⎪⎝⎭， 当80x ≥时，8100810010010121805001680y x x x x x ⎛⎫⎛⎫=-+--=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 于是2160500,080281001680,80x x x y x x x ⎧-+-<<⎪⎪=⎨⎛⎫⎪-+≥ ⎪⎪⎝⎭⎩． （2）由（1）可知当080x <<时，21(60)13002y x =--+， 此时当60x =时y 取得最大值为1300（万元），当80x ≥时，8100168016801500y x x ⎛⎫=-+≤-= ⎪⎝⎭， 当且仅当8100x x=即90x =时y 取最大值为1500（万元）， 综上所述，当年产量为90台时，该企业在这一电子设备的生产中所获利润最大，最大利润为1500万元．【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.23．（1）14a >；（2）51b <<. 【分析】（1）讨论0a =、0a >、0a <满足恒成立情况下a 的取值范围，取并集；（2）由题意知()g x 关于y 轴对称的函数为()k x 必与()h x 在0x <上有两个不同的交点，利用二次函数的性质求b 的取值范围．【详解】（1）当0a =时，()1f x x =-，在()1,3x ∈上有()(2,0)f x ∈-，故不符题意； 若0a ≠有()f x 对称轴为12x a=，14a ∆=-，要使()()1,3,0x f x ∀∈>恒成立，当0a >时，102a >且(1)0f a => ，即∆<0或112a ≤或132(3)0a f ⎧≥⎪⎨⎪≥⎩，解得14a >； 当0a <时，102a<，即仅需(3)0f ≥即可，无解； 综上，有14a >； （2）0x <时，()g x 关于y 轴对称的函数为2()2k x x bx =--，由题意知()h x 与()k x 有两个不同的交点.由1a =时，()25111x h x x x x -=-+--，令()()k x h x =，整理得2(1)(1)20b x b x --+-=，∴令2()(1)(1)2t x b x b x =--+-，即()t x 在0x <上有两个不同的零点，而(0)20t =-<，∴()()()2101{0211810b b x b b b -<+=<-∆=++->，解得51b <<，【点睛】思路点睛：()g x 存在两点关于y 轴对称点在()h x 上，将其转化为函数交点问题. 确定()g x 关于y 轴对称的函数解析式()k x .有()h x 、()k x 有两个不同交点.结合二次函数的性质求参数的范围. 24．（1）2106003000040()100006800(4)40100.x x x L x x x x ⎧-+-<<⎪=⎨-+≤≤⎪⎩，，，；（2）月产量为50台时，所获的月利润最大，最大月利润为6400元．【分析】（1）分040x <<和40100x ≤≤时两种情况，利用利润＝销售额－成本列式即可； （2）利用二次函数求040x <<时的最大值，利用基本不等式求40100x ≤≤时的最大值，取最大即可.【详解】（1）当0＜x ＜40时，L (x )＝1000x －10x 2－400x －3000＝－10x 2＋600x －3000； 当40≤x ≤100时，L (x )＝100001000100498003000x x x--+-10000=6800(4)x x-+． 所以2106003000040()100006800(4)40100.x x x L x x x x ⎧-+-<<⎪=⎨-+≤≤⎪⎩，，， （2）①当0＜x ＜40时，L (x )＝－10(x －30)2＋6000，所以当x ＝30时，L (x )max ＝L (30)＝6000．②当40≤x ≤100时，10000()6800(4)L x x x =-+68006400-=≤， 当且仅当100004x x=，即x ＝50时取等号． 因为6400＞6000，所以x =50时，L (x )最大．答：月产量为50台时，所获的月利润最大，最大月利润为6400元．【点睛】本题主要考查了分段函数的实际应用，涉及二次函数求最值和基本不等式求最值，属于基础题.25．（1）奇函数，证明见解析；（2）30,16a ⎛∈ ⎝⎦. 【分析】（1）先求定义域，再利用函数奇偶性的定义即可判断（2）通过()log (3)a g x x =-，将()1()f x g x -=化简，求出方程中a 的表达式，通过变形，利用基本不等式即可求解.【详解】（1）()f x 为奇函数 由505x x ->+解得定义域为{|5x x >或5}x <-关于原点对称， 55()log log ()55a a x x f x f x x x ----==-=--++，所以()f x 为奇函数 ； （2） 由题意知log log ()aa x 51x 3x 5--=-+，即5log log (3)5a a x a x x -=-+， 所以()535x a x x -=-+， 即5(5)(3)x a x x -=+-在(5,)+∞有解， 设5x t -=，则(0,)t ∈+∞设(10)(2)t y t t =++，。
分离法解题策略
分离法解题策略作者：魏福军来源：《教育周报·教研版》2016年第16期分离法是常用的一种解题策略，在近几年的高考中多次体现，利用分离法可以研究函数的定义域、值域；函数的图象、性质，尤其是函数的最值。
分离法主要指：分离常数法、分离参数法、分离变量法。
一、分离常数法主要是研究函数y= 型的有关问题时，使用此法比较好（1）研究函数的值域。
例1.求y= 的值域，分析：y= = ，所以值域为（-∞，1）∪（1，+∞）。
（2）研究函数图象的中心。
例2.如果函数y= 的图象关于点A（1，2）对称，那么（）（A） m=-2，n=4 （B） m=2，n=- 4（C）m= -2，n= - 4 （D）m=2，n=4分析：y= = 。
所以y- = ，因此y- = 的图象关于点（¬- ，）对称，由已知- =1， =2，解得m=-2，n=4，故选（A）（3）研究函数的单调性。
例3.函数y=f（x）= （x≠2）的反函数为f -1（x），求f -1（x）的单调区间，分析：由y=f（x）= （x≠2）得x= ，所以y=f（x）= （x≠2）的反函数为f -1（x）= （x≠-2），又f -1（x）= = （x≠-2），所以f -1（x）的增区间为（-∞，-2），减区间为（-2，+∞）。
二、分离变量法根据问题的要求，常常需要把变量或变量的结构式分离出来，以便于问题的解决。
（1）分离变量求最值。
例4：（98年高考（22）题）。
如图，为处理含有某种杂质的污水，要制造一底宽为2米的无盖长方体沉淀箱.污水从A孔流入，经沉淀后从B孔流出。
设箱体的长度为a米，高度为b米。
已知流出的水中该杂质的质量分数与a，b的乘积ab成反比。
现有制箱材料60平方米。
问当a，b各为多少米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小（A、B 孔的面积忽略不计）。
分析：设y为流出的水中杂质的质量分数，则y= ，其中k>0为比例系数，依题意，即所求的a，b值使y值最小，根据题设，有4b+2ab+2a=60（a>0，b>0），得b= （0（2）分离变量求单调区间。
微分方程的分离变量与参数法
微分方程的分离变量与参数法微分方程作为科学中的一种重要工具，广泛应用于自然科学、工程学、医学、经济学等领域。
在微积分的学习中，微分方程是非常重要的一部分。
其中，分离变量法和参数法是微分方程的两种常用解法，他们各有优点和适用范围。
本文将为大家介绍微分方程的分离变量法和参数法。
一、分离变量法分离变量法可以求解形如dy/dx = f(x)g(y)的微分方程，其中f(x)是x的函数，g(y)是y的函数。
分离变量法的基本思想是将dy/dx 两边分离出x和y的变量，再进行积分。
首先，将dy/dx移项得到dy/g(y) = f(x)dx，然后两边同时积分，得到∫dy/g(y) = ∫f(x)dx，这样就可以分别求出y和x的函数表达式。
示例：求解dy/dx = y(1+x)，其中y(0) = 1解：将方程写成dy/y = (1+x)dx的形式，将变量分离得到：∫dy/y = ∫(1+x)dx，两边积分，ln|y| = x + 1/2x^2 + C，由于y(0) = 1，代入y = e^(x + 1/2x^2 + C)得到y = e^(x + 1/2x^2)，这就是dy/dx = y(1+x)的通解。
二、参数法参数法适用于求解形如dy/dx = f(ax + by + c)的微分方程。
在参数法中，我们引入一个新变量t，并令ax + by + c = t，然后将dy/dx = f(t)写成dy/dt dt/dx = f(t)的形式，即有dy/dt = f(t)/dx/dt我们令dx/dt = cos(α)，dy/dt = sin(α)f(t)，然后将其代入上式得到dy/dx = f(t)/dx/dt = (sin(α)f(t))/cos(α) = tan(α) f(t)再将t看做x的函数，即t = ax + by + c，由此可以求出y的函数表达式。
示例：求解dy/dx = x + y，y(0) = 1解：令t = x + y，那么dy/dx = 1 + dt/dx，代入原方程得到dt/dx = t + x + 1，将其写成dy/dt dt/dx = t + x + 1的形式，令dx/dt = cos(α)，dy/dt = sin(α)(t + x + 1)，代入上式得到dy/dx = f(t)/dx/dt = sin(α)(t + x + 1)/cos(α) = tan(α)(t + x + 1)将t = x + y代入上式得到dy/dx = tan(α)(x + y + 1)令tan(α) = 1，则原方程化简为dy/dx = x + y + 1，这是一个一阶线性微分方程，可以使用标准的解法求解得到y = -x - 1 + (C + 1)e^x。
高中数学第三章函数的概念与性质常考点(带答案)
高中数学第三章函数的概念与性质常考点单选题1、已知f (x )是一次函数，2f (2)−3f (1)=5,2f (0)−f (−1)=1，则f (x )=（ ） A ．3x +2B ．3x −2C ．2x +3D ．2x −3 答案：B分析：设函数f (x )=kx +b(k ≠0)，根据题意列出方程组，求得k,b 的值，即可求解. 由题意，设函数f (x )=kx +b(k ≠0)，因为2f (2)−3f (1)=5,2f (0)−f (−1)=1，可得{k −b =5k +b =1，解得k =3,b =−2，所以f (x )=3x −2. 故选：B.2、下列函数中是增函数的为（ ）A ．f (x )=−xB ．f (x )=(23)xC ．f (x )=x 2D ．f (x )=√x 3答案：D分析：根据基本初等函数的性质逐项判断后可得正确的选项. 对于A ，f (x )=−x 为R 上的减函数，不合题意，舍. 对于B ，f (x )=(23)x为R 上的减函数，不合题意，舍.对于C ，f (x )=x 2在(−∞,0)为减函数，不合题意，舍. 对于D ，f (x )=√x 3为R 上的增函数，符合题意， 故选：D.3、下列图形能表示函数图象的是（ ）A ．B ．C．D．答案：D分析：根据函数的定义，判断任意垂直于x轴的直线与函数的图象的交点个数，即可得答案.由函数的定义：任意垂直于x轴的直线与函数的图象至多有一个交点，所以A、B显然不符合，C在x=0与函数图象有两个交点，不符合，只有D符合要求.故选：D4、已知f(x+1)=x−5，则f(f(0))=（）A．−9B．−10C．−11D．−12答案：D分析：根据f(x+1)=x−5，利用整体思想求出f(x)的解析式，求得f(0)，从而即求出f(f(0))．解：因为f(x+1)=x−5=(x+1)−6，所以f(x)=x−6，f(0)=−6，所以f(f(0))=f(−6)=−12.故选：D．5、“当x∈(0,+∞)时，幂函数y=(m2−m−1)x m2−2m−3为减函数”是“m=−1或2”的（）条件A．既不充分也不必要B．必要不充分C．充分不必要D．充要答案：C分析：根据幂函数的定义和性质，结合充分性、必要性的定义进行求解即可.当x∈(0,+∞)时，幂函数y=(m2−m−1)x m2−2m−3为减函数，所以有{m 2−m−1=1m2−2m−3<0⇒m=2，所以幂函数y =(m 2−m −1)x m 2−2m−3为减函数”是“m =−1或2”的充分不必要条件，故选：C6、下列函数中与y =x 是同一个函数的是（ ） A ．y =(√x)2B ． C ．y =√x 2D ．m =n 2n答案：B分析：根据函数相等的定义是：定义域相同且对应关系相同，逐个分析可得答案. 对于A ，y =(√x)2的定义域为[0,+∞)，与y =x 的定义域为R 不同，故A 不正确； 对于B ，与y =x 是同一函数，故B 正确；对于C ，y =√x 2=|x|与y =x 的对应关系不同，故C 不正确； 对于D ，m =n 2n=n(n ≠0)与y =x 的定义域不同，故D 不正确.故选：B7、若函数f(2x +1)=x 2−2x ，则f(3)等于（ ） A ．−1B ．0C ．1D ．3 答案：A分析：换元法求出函数的解析式，代入计算即可求出结果. 令2x +1=t ，得x =t−12，所以f(t)=(t−12)2−2×t−12=14t 2−32t +54，从而f(3)=14×32−32×3+54=−1.故选：A.8、定义在R 上的偶函数f(x)满足：对任意的x 1,x 2∈[0,+∞),(x 1≠x 2)，有f (x 2)−f (x 1)x 2−x 1<0，且f(2)=0，则不等式xf(x)>0的解集是（ ） A ．(−2,2)B ．(−2,0)∪(2,+∞)C ．(−∞,−2)∪(0,2)D ．(−∞,−2)∪(2,+∞) 答案：Cv u =v u =分析：依题意可得f(x)在[0,+∞)上单调递减，根据偶函数的性质可得f (x )在(−∞,0)上单调递增，再根据f(2)=0，即可得到f (x )的大致图像，结合图像分类讨论，即可求出不等式的解集； 解：因为函数f(x)满足对任意的x 1,x 2∈[0,+∞),(x 1≠x 2)，有f (x 2)−f (x 1)x 2−x 1<0，即f(x)在[0,+∞)上单调递减，又f (x )是定义在R 上的偶函数，所以f (x )在(−∞,0)上单调递增， 又f(2)=0，所以f (−2)=f (2)=0，函数的大致图像可如下所示：所以当−2<x <2时f (x )>0，当x <−2或x >2时f (x )<0， 则不等式xf(x)>0等价于{f(x)>0x >0或{f(x)<0x <0，解得0<x <2或x <−2，即原不等式的解集为(−∞,−2)∪(0,2)； 故选：C 多选题9、下列函数中，满足f (2x )=2f (x )的是（ ） A ．f (x )=|x|B ．f (x )=x-|x| C ．f (x )=x+1D ．f (x )=-x答案：ABD解析：根据题意满足f(2x)=2f(x)，依次验证即可.在A中，f(2x)=|2x|=2|x|，2f(x)=2|x|，满足f(2x)=2f(x)；在B中，f(2x)=2x-|2x|=2(x-|x|)=2f(x)，满足f(2x)=2f(x)；在C中，f(2x)=2x+1，2f(x)=2(x+1)=2x+2，不满足f(2x)=2f(x)；在D中，f(2x)=-2x=2(-x)=2f(x)，满足f(2x)=2f(x).故选：ABD.小提示：本题考查函数的表示法，属于基础题.10、已知函数f(x)=bx+ax+2在区间(−2,+∞)上单调递增，则a，b的取值可以是（）A．a=1，b>32B．a>4，b=2C．a=−1，b=2D．a=2，b=−1答案：AC分析：分离常数得f(x)=b+a−2bx+2，若f(x)在(−2,+∞)单调递增，则满足a−2b<0，检验选项即可求解.f(x)=bx+ax+2=b+a−2bx+2在(−2,+∞)上单调递增,则满足:a−2b<0,即a<2b,故a=1，b>32满足，a=−1，b=2满足，故选:AC11、设函数f(x)={ax−1,x<ax2−2ax+1,x≥a，f(x)存在最小值时，实数a的值可能是（）A．−2B．−1C．0D．1答案：ABC分析：根据函数解析式，分a>0、a=0、a<0三种情况讨论，当a<0时根据二次函数的性质只需函数在断点处左侧的函数值不小于右侧的函数值即可；解：因为f(x)={ax−1,x<ax2−2ax+1,x≥a，若a>0，当x<a时f(x)=ax−1在(−∞,a)上单调递增，当x→−∞时f(x)→−∞，此时函数不存在最小值；若a=0，则f(x)={−1,x<0x2+1,x≥0，此时f(x)min=−1，符合题意；若a <0，当x <a 时f (x )=ax −1在(−∞,a )上单调递减， 当x ≥a 时f (x )=x 2−2ax +1，二次函数y =x 2−2ax +1对称轴为x =a ，开口向上，此时f (x )在[a,+∞)上单调递增， 要使函数f (x )存在最小值，只需{a <0a 2−1≥a 2−2a 2+1，解得a ≤−1，综上可得a ∈(−∞,−1]∪{0}. 故选：ABC12、已知函数f (x )={log 12(x +1),x ≥0,f(x +1),x <0,若函数g (x )=f (x )−x −a 有且只有两个不同的零点，则实数a 的取值可以是（ ） A ．-1B ．0C ．1D ．2 答案：BCD分析：作出函数f (x )的图象如下图所示，将原问题转化为函数f (x )的图象与直线y =x +a 有两个不同的交点，根据图示可得实数a 的取值范围. 根据题意，作出f(x)的图像如下所示：令g(x)=0，得f(x)=x +a ，所以要使函数g(x)=f(x)−x −a 有且只有两个不同的零点， 所以只需函数f(x)的图像与直线y =x +a 有两个不同的交点， 根据图形可得实数a 的取值范围为(−1,+∞)， 故选：BCD ．小提示：方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解． 13、下列说法正确的是（ ）A ．若定义在R 上的函数f(x)满足f(3)>f(2)，则函数f(x)是R 上的增函数；B ．若定义在R 上的函数f(x)满足f(3)>f(2)，则函数f(x)是R 上不是减函数；C ．若定义在R 上的函数f(x)在区间(−∞,0]上是增函数，在区间[0，+∞)上也是增函数，则函数f(x)在R 上是增函数；D ．若定义在R 上的函数f(x)在区间(−∞,0]上是增函数，在区间(0,+∞)上也是增函数，则函数f(x)在R 上是增函数. 答案：BC分析：对ABC 按函数单调性的定义进行验证，对于选项D ，举反例f (x )={−x +1,x ≤0x −1,x >0进行否定即可.A ：若函数f(x)在R 上为增函数,则对于任意的x 1,x 2∈R 且x 1<x 2,则f (x 1)<f (x 2)定成立,若f(3)>f(2)成立,不具有一般性，比如f (2)>f (0)不一定成立,所以函数f(x)在R 上不一定是增函数,A 错误；B ：函数f(x)在R 上为减函数,则对于任意的x 1,x 2∈R 且x 1<x 2,则f (x 1)<f (x 2)定成立,所以, f(3)<f(2)一定成立,所以,若f(3)>f(2),函数f(x)是R 上不是减函数,故B 正确;C ：若定义在R 上的函数f(x)在区间(−∞,0]上是增函数，在区间[0，+∞)上也是增函数，则满足对于任意的x 1,x 2∈R 且x 1<x 2,则f (x 1)<f (x 2)定成立,所以, 则函数f(x)在R 上是增函数；符合增函数的定义.故C 正确；D ：设函数f (x )={−x +1,x ≤0x −1,x >0是定义在R 上的函数,且f(x)在区间(−∞,0]上是增函数，在区间(0,+∞)上也是增函数，而-1<1但f (−1)=f (1),不符合增函数的定义,所以,函数f (x )在R 上不是增函数.故D 错误. 故选：BC 填空题14、已知幂函数f(x)=(m 2−m −1)x m 的图象关于y 轴对称，则f(m)=___________．答案：4分析：根据幂函数的知识求得m 的可能取值，根据f (x )图象关于y 轴对称求得m 的值，进而即得. 由于f (x )是幂函数，所以m 2−m −1=1，解得m =2或m =−1. 当m =2时，f (x )=x 2，图象关于y 轴对称，符合题意.当m =−1时，f (x )=x −1=1x ，图象关于原点对称，不符合题意.所以m 的值为2，∴. f(x)=x 2，f(2)=22=4. 所以答案是：4.15、某同学设想用“高个子系数k ”来刻画成年男子的高个子的程度，他认为，成年男子身高160cm 及其以下不算高个子，其高个子系数k 应为0；身高190cm 及其以上的是理所当然的高个子，其高个子系数k 应为1，请给出一个符合该同学想法､合理的成年男子高个子系数k 关于身高x (cm )的函数关系式___________. 答案：k ={0,0<x ≤160,130(x −160),160<x <190,1,x ≥190.，(只要写出的函数满足在区间[160,190]上单调递增，且过点(160,0)和(190,1)即可.答案不唯一)分析：由题意，个数越高，系数k 越大，因此在[160,190]上的函数是增函数即可，初始值(160,0)，(190,1)，设出函数式代入求解．由题意函数k(x)是[160,190]上的增函数，设k(x)=ax +b(a >0)，x ∈[160,190]， 由{160a +b =0190a +b =1 ，解得{a =130b =−163 ，所以k(x)=130x −163， 所以k ={0,0<x ≤160,130(x −160),160<x <190,1,x ≥190.所以答案是：k ={0,0<x ≤160,130(x −160),160<x <190,1,x ≥190.注：在[160,190]上设其他函数式也可以，只要是增函数，只有两个参数．如y =b −ax(a >0)，y =ax 2+b (a >0)等等．小提示：思路点睛：本题考查函数的应用，解题时注意题目的要求，只要写出的函数满足在区间[160,190]上单调递增，且过点(160,0)和(190,1)即可，因此函数模型可以很多，答案也不唯一． 16、求函数y =2x −1−√1−2x 的值域______． 答案：(−∞,0]##{y|y ≤0}分析：先对根式整体换元(注意求新变量的取值范围)，把原问题转化为一个二次函数在闭区间上求值域的问题即可.令√1−2x =t ≥0，则2x =1−t 2，所以y =−t 2−t =−(t +12)2+14．又t ≥0，所以y ≤0，即函数y =2x −1−√1−2x 的值域是(−∞,0]． 所以答案是：(−∞,0]. 解答题17、函数f(x)是定义在R 上的偶函数，当x ≥0时，f(x)=x 2−2x ． （1）求函数f(x)在x ∈(−∞,0)的解析式； （2）当m >0时，若|f(m)|=1，求实数m 的值． 答案：（1）f(x)=x 2+2x ；（2）1或1+√2.分析：（1）根据偶函数的性质，令x ∈(−∞,0)，由f(x)=f(−x)即可得解； （2）m >0，有|m 2−2m |=1，解方程即可得解. （1）令x ∈(−∞,0)，则−x ∈(0,+∞)， 由f(x)=f(−x)，此时f(x)=x 2+2x ； （2）由m >0，|f(m)|=|m 2−2m |=1， 所以m 2−2m =±1，解得m =1或m =1+√2或m =1−√2（舍）. 18、设常数a ∈R ，函数f(x)=(a −x)|x|． （1）若a =1，求f (x )的单调区间；（2）若f (x )是奇函数，且关于x 的不等式mx 2+m >f [f (x )]对所有的x ∈[-2，2]恒成立，求实数m 的取值范围． 答案：（1）调增区间为[0,12]，单调减区间为(-∞，0)，(12,+∞)；（2）(165,+∞).分析：(1)当a =1时，求得f(x)={(1−x)x,x ≥0(x −1)x,x <0，根据二次函数的单调性求出x <0与x ≥0的单调区间即可得解；(2)由f (x )是奇函数求出a ，再求得f[f(x)]=x 3|x|，将给定不等式分离参数并构造函数，求其最大值即可作答. （1）当a =1时，f(x)=(1−x)|x |={(1−x)x,x ≥0(x −1)x,x <0，当x ≥0时，f(x)=(1−x)x =−(x −12)2+14，则f (x )在[0,12]内是增函数，在(12,+∞)内是减函数， 当x <0时，f(x)=(x −1)x =(x −12)2−14，则f (x )在(-∞，0)内是减函数；综上可知，f (x )的单调增区间为[0,12]，单调减区间为(-∞，0)，(12,+∞)；（2）因f (x )是奇函数，必有f (-1)=-f (1)，即(a +1)·1＝-(a -1)·1，解得a =0，此时f(x)=−x|x|，它是奇函数， 因此，a =0，f(x)=−x|x|，则f[f(x)]=x 3|x|，于是有∀x ∈[−2,2],mx 2+m >f[f(x)]⇔mx 2+m >x 3|x|⇔m >x 3|x|x 2+1， 而x ∈[−2,2]时，x 2+1∈[1,5]，并且x 3|x|x 2+1≤x 4x 2+1=x 4−1+1x 2+1=(x 2+1)+1x 2+1−2，令x 2+1=t ∈[1,5]，则ℎ(t)=t +1t−2在[1,5]上单调递增，当t =5时，(t +1t−2)max =165，因此，当x =2时，(x 3|x|x 2+1)max =165，则m >165，所以实数m 的取值范围是(165,+∞).。
高考数学多选题(讲义及答案)附解析
一、函数的概念与基本初等函数多选题1．已知函数221,0()log ,0x kx x f x x x ⎧-+≤=⎨>⎩，下列关于函数()1y f f x =+⎡⎤⎣⎦的零点个数的说法中，正确的是（ ） A ．当1k >，有1个零点 B ．当2k =-时，有3个零点 C ．当10k >>，有4个零点 D ．当4k =-时，有7个零点 【答案】ABD 【分析】令0y =得()1f f x =-⎡⎤⎣⎦，利用换元法将函数分解为()f x t =和()1f t =-，作出函数()f x 的图象，利用数形结合即可得到结论．【详解】令0y =，得()1f f x =-⎡⎤⎣⎦，设()f x t =，则方程()1f f x =-⎡⎤⎣⎦等价为()1f t =-， 函数21y x kx =-+，开口向上，过点()0,1，对称轴为2kx = 对于A ，当1k >时，作出函数()f x 的图象：()1f t =-，此时方程()1f t =-有一个根12t =，由()12f x =可知，此时x 只有一解，即函数()1y f f x =+⎡⎤⎣⎦有1个零点，故A 正确； 对于B ，当2k =-时，作出函数()f x 的图象：()1f t =-，此时方程()1f t =-有一个根12t =，由()12f x =可知，此时x 有3个解，即函数()1y f f x =+⎡⎤⎣⎦有3个零点，故B 正确；对于C ，当10k >>时，图像如A ，故只有1个零点，故C 错误； 对于D ，当4k =-时，作出函数()f x 的图象：()1f t =-，此时方程()1f t =-有3个根，其中112t =，2(1,0)t ∈-，3(4,3)t ∈--由()12f x =可知，此时x 有3个解，由()2(1,0)f x t =∈-，此时x 有3个解，由()3(4,3)f x t =∈--，此时x 有1个解，即函数()1y f f x =+⎡⎤⎣⎦有7个零点，故D 正确； 故选：ABD ． 【点睛】方法点睛：本题考查分段函数的应用，考查复合函数的零点的判断，利用换元法和数形结合是解决本题的关键，已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解，属于难题．2．已知函数222,0()log ,0x x x f x x x ⎧--≤⎪=⎨>⎪⎩，若x 1<x 2<x 3<x 4，且f (x 1)＝f (x 2)＝f (x 3)＝f (x 4)，则下列结论正确的是（ ） A ．x 1＋x 2＝－1 B ．x 3x 4＝1 C ．1<x 4<2 D ．0<x 1x 2x 3x 4<1【答案】BCD 【分析】由解析式得到函数图象，结合函数各分段的性质有122x x +=-，341x x =，341122x x <<<<，即可知正确选项. 【详解】由()f x 函数解析式可得图象如下：∴由图知：122x x +=-，121x -<<-，而当1y =时，有2|log |1x =，即12x =或2， ∴341122x x <<<<，而34()()f x f x =知2324|log ||log |x x =：2324log log 0x x +=， ∴341x x =，21234121(1)1(0,1)x x x x x x x ==-++∈.故选：BCD 【点睛】关键点点睛：利用分段函数的性质确定函数图象，由二次函数、对数运算性质确定1234,,,x x x x 的范围及关系.3．下列函数求值域正确的是（ ）A ．2()1(2)f x x x =+-[2)+∞，B ．222()1x x g x x ++=+的值域为[2)+∞，C ．()11h x x x =+-(02]，D ．()13w x x x =-+的值域为[222]， 【答案】CD 【分析】()12f x x x =++-去绝对值结合单调性和图象即可判断选项A ；2(1)11()(1)11x g x x x x ++==++++讨论10x +>和10x +<，利用基本不等式求值域可判断选项B ；()1111h xx x x x =+--=++-利用单调性即可判断选项C ；()w x 定义域为[31]-，，将()13w x x x =-++两边平方可得()222(1)44w x x =-+++， 由于()0w x >，可得()22(1)44w x x =-+++，求出2(1)t x =-+的范围即可求()w x 值域，可判断选项D. 【详解】对于选项A ：原函数化为211()12312212x x f x x x x x x -+≤-⎧⎪=++-=-<≤⎨⎪->⎩，，，， 其图象如图，原函数值域为[3)+∞，，故选项A 不正确，对于选项B ：2(1)11()(1)11x g x x x x ++==++++，定义域为{}|1x x ≠-， 当1x <-时，10x +<，此时[][]11(1)2(1)211x x x x ⎛⎫⎛⎫-++-≥-+⨯-= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，所以1(1)21x x ++≤-+，当且仅当1(1)1x x -+=-+即2x =-时等号成立， 当1x >-时，10x +>，此时11(1)2(1)211x x x x ++≥+⨯=++，当且仅当111x x +=+即0x =时等号成立， 所以函数()g x 值域为(2][2)-∞-⋃+∞，，，故选项B 不正确； 对于选项C ：()h x 的定义域为[1)+∞，， (11)(11)()111111x x x x h x x x x x x x ++-+--=+-==++-++-， 因为1y x =+1y x =-[1)+∞，上是增函数，所以11y x x +-[1)+∞，上是增函数，又y [1)+∞，上恒不等于0，则y =在[1)+∞，上是减函数，则()h x 的最大值为()1h =又因为()0h x >，所以()h x 的值域为(0，故选项C 正确；对于选项D ：()w x 的定义域为[31]-，，()w x ======设2(1)t x =-+，则[40]t ∈-，，[]0,4，[]44,8∈，则()w x ⎡⎣，()w x 的值域为[2，故选项D 正确，故选：CD 【点睛】方法点睛：求函数值域常用的方法（1）观察法：一些简单的函数，值域可以通过观察法得到；（2）利用常见函数的值域：一次函数值域为R ；二次函数利用配方法，结合定义域求出值域；反比例函数的值域为{}|0y y ≠；指数函数的值域为{}|0y y >；对数函数值域为R ；正、余弦函数的值域为[]1,1-；正切函数值域为R ；（3）单调性法：先判断函数的单调性，再由函数的单调性求函数的值域； （4）分离常数法：将有理分式转化为反比例函数类的形式，便于求值域；（5）换元法：对于一些无理函数如y ax b =±数，通过求有理函数的值域间接求原函数的值域；（6）不等式法：利用几个重要的不等式及其推论来求最值，进而求得值域，如222a b ab +≥，a b +≥（7）判别式法：把函数解析式化为关于x 的一元二次方程，利用判别式求值域，形如y Ax =+22ax bx c y dx ex f++=++的函数适用； （8）有界性法：充分利用三角函数或一些代数表达式的有界性，求出值域； （9）配方法：求二次函数型函数值域的基本方法，形如()()()()20F x a f x bf x c a =++≠⎡⎤⎣⎦的函数求值域，均可使用配方法；（10）数形结合法：若函数的解析式的几何意义较明显，如距离、斜率等可使用数形结合法；（11）导数法：利用导数求函数值域时，一种是利用导数判断函数的单调性，进而根据单调性求函数的值域；一种是利用导数与极值、最值的关系求函数的值域.4．1837年，德国数学家狄利克雷(P .G.Dirichlet ，1805-1859)第一个引入了现代函数概念：“如果对于x 的每一个值，y 总有一个完全确定的值与之对应，那么y 是x 的函数”.由此引发了数学家们对函数性质的研究.下面是以他的名字命名的“狄利克雷函数”：1,()0,R x QD x x Q ∈⎧=⎨∈⎩(Q 表示有理数集合)，关于此函数，下列说法正确的是（ ）A ．()D x 是偶函数B ．,(())1x R D D x ∀∈=C ．对于任意的有理数t ，都有()()D x t D x +=D ．存在三个点112233(,()),(,()),(,())A x D x B x D x C x D x ，使ABC 为正三角形 【答案】ABCD 【分析】利用定义判断函数奇偶性，可确定A 的正误，根据“狄利克雷函数”及有理数、无理数的性质，判断其它三个选项的正误. 【详解】A ：由()D x 定义知：定义域关于原点对称，当x Q ∈则x Q -∈，当R x Q ∈则R x Q -∈，即有()()D x D x -=，故()D x 是偶函数，正确；B ：由解析式知：,()1x R D x ∀∈=或()0D x =，即(())1D D x =，正确；C ：任意的有理数t ，当x Q ∈时，x t Q +∈即()()D x t D x +=，当R x Q ∈时，R x t Q +∈即()()D x t D x +=，正确；D ：若存在ABC 为正三角形，则其高为1((0,1),(33A B C -时成立，正确； 故选：ABCD 【点睛】 关键点点睛：应用函数的奇偶性判断，结合新定义函数及有理数、无理数的性质判断各选项的正误.5．对于定义在R 上的函数()f x ，若存在正实数a ，b ，使得()()f x a f x b +≤+对一切x ∈R 均成立，则称()f x 是“控制增长函数”.在以下四个函数中是“控制增长函数”的有（ ） A ．()xf x e =B ．()f x =C ．()()2sin f x x=D ．()sin f x x x =⋅【答案】BCD 【分析】假设各函数是“控制增长函数”，根据定义推断()()f x a f x b +≤+对一切x ∈R 恒成立的条件，并判断,a b 的存在性，即可得出结论.【详解】对于A. ()()f x a f x b +≤+可化为22()()11x a x a x x b ++++≤+++，22ax a a b ≤--+0a >，不等式在x ∈R 上不恒成立，所以2()1f x x x =++不是“控制增长函数”； 对于B. ()()f x a f x b +≤+可化为，b ≤，即2||||2x a x b +≤++恒成立.又||||x a x a +≤+，故只需保证2||||2x a x b +≤++.20,2a b b b-> ，当220a b -≤时，b 恒成立，()f x ∴“控制增长函数”；对于C.()21()sin 1,()()2f x x f x a f x -≤=≤∴+-≤，2b ∴≥时，a 为任意正数，()()f x a f x b +≤+恒成立，()2()sin f x x ∴=是“控制增长函数”；对于D. ()()f x a f x b +≤+化为，()sin()sin x a x a x x b ++≤+，令2a π= ，则(2)sin sin ,2sin x x x x b x b ππ+≤+≤，当2b π≥时，不等式()sin()sin x a x a x x b ++≤+恒成立，()sin f x x x ∴=⋅是“控制增长函数”.故选：BCD 【点睛】本题考查了新定义的理解，函数存在成立和恒成立问题的研究.我们可先假设结论成立，再不断寻求结论成立的充分条件，找得到就是“控制增长函数”.如果找出了反例，就不是“控制增长函数”.6．下列结论正确的是（ ）A ．函数()y f x =的定义域为[]1,3，则函数()21y f x =+的定义域为[]0,1 B ．函数()f x 的值域为[]1,2，则函数()1f x +的值域为[]2,3C ．若函数24y x ax =-++有两个零点，一个大于2，另一个小于-1，则a 的取值范围是()0,3D ．已知函数()23,f x x x x R =+∈，若方程()10f x a x --=恰有4个互异的实数根，则实数a 的取值范围为()()0,19,⋃+∞【答案】ACD 【分析】根据抽象函数定义域及代换的方法可求函数的定义域，判断A ，利用函数图象的平移可判断函数值域的变换情况，判断B ，利用数形结合及零点的分布求解判断C ，作出函数()23f x x x =+与1y a x =-的图象，数形结合即可判断D.【详解】对于A, ()y f x =的定义域为[]1,3，则由1213x ≤+≤可得()21y f x =+定义域为[]0,1，故正确；对于B ，将函数()f x 的图象向左平移一个单位可得函数()1f x +的图象，故其值域相同，故错误；对于C, 函数2()4y g x x ax ==-++有两个零点，一个大于2，另一个小于-1只需(2)0(1)0g g >⎧⎨->⎩，解得0<<3a ，故正确； 对于D, 作出函数()23f x x x =+与1y a x =-的图象，如图，由图可以看出，0a ≤时，不可能有4个交点，找到直线与抛物线相切的特殊位置1a =或9a =，观察图象可知，当01a <<有4个交点，当9a <时，两条射线分别有2个交点，综上知方程()10f x a x --=恰有4个互异的实数根时，()()0,19,a ∈+∞正确.故选：ACD 【点睛】关键点点睛：对于方程实根问题，可转化为函数图象交点问题，本题中，()23f x x x=+图象确定，而1y a x =-是过(1,0)关于1x =对称的两条射线，参数a 确定两射线张角的大小，首先结合图形找到关键位置，即1a =时左边射线与抛物线部分相切，9a =时右边射线与抛物线相切，然后观察图象即可得出结论.7．已知函数()() ()52 log1,122,1x xf xx x⎧-<⎪=⎨--+≥⎪⎩，则方程12f x ax⎛⎫+-=⎪⎝⎭的实根个数可能为（）A．8 B．7 C．6 D．5【答案】ABC【分析】以()1f x=的特殊情形为突破口，解出1x=或3或45或4-，将12xx+-看作整体，利用换元的思想进一步讨论即可.【详解】由基本不等式可得120xx+-≥或124xx+-≤-，作出函数()()()52log1,122,1x xf xx x⎧-<⎪=⎨--+≥⎪⎩的图像，如下：①当2a>时，1224xx+-≤-或1021xx<+-<，故方程12f x ax⎛⎫+-=⎪⎝⎭的实数根个数为4；②当2a=时，1224xx+-=-或1021xx<+-<或122xx+-=，故方程12f x ax⎛⎫+-=⎪⎝⎭的实数根个数为6；③当12a<<时，12424xx-<+-<-或1021xx<+-<或1122xx<+-<或1223xx<+-<，故方程12f x ax⎛⎫+-=⎪⎝⎭的实数根个数为8；④当1a=时，124xx+-=-或1021xx<+-<或121xx+-=或123xx+-=，故方程12f x a x ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭的实数根个数为7； ⑤当01a <<时，1420x x -<+-<或1324x x<+-<， 故方程12f x a x ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭的实数根个数为2； ⑥当0a =时，120x x +-=或1324x x<+-<， 故方程12f x a x ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭的实数根个数为3； ⑦当0a <时，123x x+->， 故方程12f x a x ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭的实数根个数为2； 故选：ABC 【点睛】本题考查了求零点的个数，考查了数形结合的思想以及分类讨论的思想，属于难题.8．对于函数()()13cos ,,22132,,22x x f x f x x π⎧⎡⎤∈-⎪⎢⎥⎪⎣⎦=⎨⎛⎫⎪-∈+∞ ⎪⎪⎝⎭⎩，下面结论正确的是（ ）A ．任取121,,2x x ⎡⎫∈-+∞⎪⎢⎣⎭，都有()()122f x f x -≤恒成立 B ．对于一切1,2x ⎡⎫∈-+∞⎪⎢⎣⎭，都有()()()*22N k f x f x k k =+∈ C ．函数()1ln 2y f x x ⎛⎫=--⎪⎝⎭有3个零点 D ．对任意0x >，不等式()k f x x ≤恒成立，则实数k 的取值范围是1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【答案】ABC 【分析】先在坐标轴中画出()y f x =的图象,根据图象可判断A 选项,结合解析式可判断B 选项,再画出1ln()2y x =-与k y x=的图象,数形结合可判断C,D 选项.【详解】在坐标轴上作出函数()f x 的图象如下图所示:由图象可知()f x 的最大值为1,最小值为1-,故选项A 正确; 由题可知()()()1312,(,)(2),(,)22221f x f x x f x f x x =-∈+∞⇒+=∈-+∞, 所以*1(2)()()()2k f x k f x k N +=∈即()2(2)k f x f x k =+,故选项B 正确;作出1ln()2y x =-的图象，因为11ln(2)ln 2232-=<，由图象可知()y f x =与1ln()2y x =-有3个交点,故选项C 正确;结合图象可知,若对任意0x >,不等式()kf x x恒成立, 即2x n =时,不等式(2)2kf n n恒成立, 又11(2)()(0)()22nnf n f ==, 所以1()22n k n ,即22n nk 在*n N ∈时恒成立, 设2()2x x g x =,则2ln 4()2xxg x -⋅'=, 故[)2,x ∈+∞时,()0g x '<,函数()g x 在[)2,+∞上单调递减, 所以[)2,x ∈+∞时,max ()(2)1g x g ==, 又(1)1g =,所以max212n n ⎛⎫= ⎪⎝⎭,即1k ,故选项D 错误.故选:ABC. 【点睛】本题主要考查分段函数的周期性及数形结合法在处理函数问题中的应用,有一定难度.9．德国著名数学家狄利克雷(Dirichlet ,1805~1859)在数学领域成就显著.19世纪,狄利克雷定义了一个“奇怪的函数” ()1,0,R x Qy f x x C Q ∈⎧==⎨∈⎩其中R 为实数集,Q 为有理数集.则关于函数()f x 有如下四个命题,正确的为( )A ．函数()f x 是偶函数B ．1x ∀,2R xC Q ∈,()()()1212f x x f x f x +=+恒成立 C ．任取一个不为零的有理数T ,f x Tf x 对任意的x ∈R 恒成立D ．不存在三个点()()11,A x f x ,()()22,B x f x ,()()33C x f x ，,使得ABC ∆为等腰直角三角形 【答案】ACD 【分析】根据函数的定义以及解析式，逐项判断即可． 【详解】对于A ，若x Q ∈，则x Q -∈，满足()()f x f x =-；若R x C Q ∈，则R x C Q -∈，满足()()f x f x =-；故函数()f x 为偶函数，选项A 正确；对于B ，取12,R R x C Q x C Q ππ=∈=-∈，则()()1201f x x f +==，()()120f x f x +=，故选项B 错误；对于C ，若x Q ∈，则x T Q +∈，满足()()f x f x T =+；若R x C Q ∈，则R x T C Q +∈，满足()()f x f x T =+，故选项C 正确；对于D ，要为等腰直角三角形，只可能如下四种情况：①直角顶点A 在1y =上，斜边在x 轴上，此时点B ，点C 的横坐标为无理数，则BC 中点的横坐标仍然为无理数，那么点A 的横坐标也为无理数，这与点A 的纵坐标为1矛盾，故不成立；②直角顶点A 在1y =上，斜边不在x 轴上，此时点B 的横坐标为无理数，则点A 的横坐标也应为无理数，这与点A 的纵坐标为1矛盾，故不成立；③直角顶点A 在x 轴上，斜边在1y =上，此时点B ，点C 的横坐标为有理数，则BC 中点的横坐标仍然为有理数，那么点A 的横坐标也应为有理数，这与点A 的纵坐标为0矛盾，故不成立；④直角顶点A 在x 轴上，斜边不在1y =上，此时点A 的横坐标为无理数，则点B 的横坐标也应为无理数，这与点B 的纵坐标为1矛盾，故不成立．综上，不存在三个点()()11,A x f x ，()()22,B x f x ，()()33C x f x ，，使得ABC ∆为等腰直角三角形，故选项D 正确． 故选：ACD ． 【点睛】本题以新定义为载体，考查对函数性质等知识的运用能力，意在考查学生运用分类讨论思想，数形结合思想的能力以及逻辑推理能力，属于难题．10．高斯是德国著名数学家、物理学家、天文学家、大地测量学家，近代数学奠基者之一.高斯被认为是历史上最重要的数学家之一，并享有“数学王子”之称.有这样一个函数就是以他名字命名的：设x ∈R ，用[]x 表示不超过x 的最大整数，则[]()f x x =称为高斯函数，又称为取整函数.如：(2.3)2f =，( 3.3)4f -=-.则下列正确的是（ ）A ．函数()f x 是R 上单调递增函数B ．对于任意实数a b ，，都有()()()f a f b f a b +≤+ C ．函数()()g x f x ax =-（0x ≠）有3个零点，则实数a 的取值范围是34434532⎛⎤⎡⎫⋃ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭，， D ．对于任意实数x ，y ，则()()f x f y =是1x y -<成立的充分不必要条件 【答案】BCD 【分析】取反例可分析A 选项，设出a ，b 的小数部分，根据其取值范围可分析B 选项，数形结合可分析C 选项，取特殊值可分析D 选项． 【详解】解：对于A 选项，()()1 1.21f f ==，故A 错误；对于B 选项，令[]a a r =+，[](,b b q r =+q 分别为a ，b 的小数部分)， 可知[]01r a a =-<，[]01q b b =-<，[]0r q +≥，则()[][][][][][][]()()f a b a b r q a b r q a b f a f b ⎡⎤+=+++=++++=+⎣⎦，故B 错误；对于C 选项，可知当1k x k ≤<+，k Z ∈时，则()[]f x x k ==， 可得()f x 的图象，如图所示：函数()()()0g x f x ax x =-≠有3个零点，∴函数()f x 的图象和直线y ax =有3个交点，且()0,0为()f x 和直线y ax =必过的点，由图可知，实数a 的取值范围是][3443,,4532⎛⎫⋃⎪⎝⎭，故C 正确；对于D 选项，当()()f x f y =时，即r ，q 分别为x ，y 的小数部分，可得01r ≤<，01q ≤<，[][]101x y x r y q r q -=+--=-<-=；当1x y -<时，取0.9x =-，0.09y =，可得[]1x =-，[]0y =，此时不满足()()f x f y =，故()()f x f y =是1x y -<成立的充分不必要条件，故D 正确； 故选：BCD ． 【点睛】本题考查函数新定义问题，解答的关键是理解题意，转化为分段函数问题，利用数形结合思想；二、导数及其应用多选题11．已知函数()sin sin f x ax a x =-，[]0,2x π∈，其中ln 1a a ->，则下列说法中正确的是（ ）A ．若()f x 只有一个零点，则10,2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭B ．若()f x 只有一个零点，则()0f x ≥恒成立C ．若()f x 只有两个零点，则31,2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭D ．若()f x 有且只有一个极值点0x ，则()01312a a f x π+--<⋅恒成立【答案】ABD 【分析】利用()00f =以及零点存在定理推导出当1a >时，函数()f x 在[]0,2π上至少有两个零点，结合图象可知当01a <<时，函数()f x 在()0,2π上有且只有一个极值点，利用导数分析函数()f x 在()0,2π上的单调性，可判断A 选项的正误；利用A 选项中的结论可判断B 选项的正误；取12a =，解方程()0f x =可判断C 选项的正误；分析出当()f x 在()0,2π上只有一个极值点时，01a <<，分13a =、103a <<、113a <<三种情况讨论，结合sin x x <可判断D 选项的正误. 【详解】构造函数()ln 1g x x x =--，其中0x >，则()111x g x x x-'=-=. 当01x <<时，()0g x '<，函数()g x 单调递减； 当1x >时，()0g x '>，此时，函数()g x 单调递增. 所以，()()min 10g x g ==.ln 1a a ->，0a ∴>且1a ≠.()sin sin f x ax a x =-，则()00f =.当1a >时，sin sin sin 02222a a f a a ππππ⎛⎫=-=-<⎪⎝⎭，3333sin sin sin 02222a a f a a ππππ⎛⎫=-=+> ⎪⎝⎭， 由零点存在定理可知，函数()f x 在3,22ππ⎛⎫⎪⎝⎭内至少有一个零点， 所以，当1a >时，函数()f x 在区间[]0,2π上至少有两个零点， 所以，当函数()f x 在区间[]0,2π上只有一个零点时，01a <<.对于A 选项，当01a <<时，()()cos cos cos cos f x a ax a x a ax x '=-=-.01a <<，则022a ππ<<，022a ππ<<， cos 022a f a ππ⎛⎫'=> ⎪⎝⎭，()()()2cos2cos2cos210f a a a a ππππ'=-=-<，由零点存在定理可知，函数()f x 在区间,22ππ⎛⎫⎪⎝⎭上至少有一个极值点， 令()0f x '=，可得cos cos ax x =，当()0,2x π∈时，02ax x π<<<，由()cos cos cos 2ax x x π==-，可得2ax x π=-，解得21x a π=+， 所以，函数()f x 在区间()0,2π上有且只有一个极值点21x a π=+. 作出函数1cos y ax =与函数2cos y x =在区间[]0,2π上的图象如下图所示：由图象可知，函数1cos y ax =与函数2cos y x =在区间()0,2π上的图象有且只有一个交点，记该交点的横坐标为0x ，当00x x <<时，cos cos ax x >，此时()0f x '>； 当02x x π<<时，cos cos ax x <，此时()0f x '<.所以，函数()f x 在区间()00,x 上单调递增，在区间()0,2x π上单调递减. 所以，()()()0max 00f x f x f =>=，又()2sin 2f a ππ=.若函数()f x 在区间[]0,2π上有且只有一个零点，则()2sin 20f a ππ=>.01a <<，则022a ππ<<，所以，02a ππ<<，解得102a <<，A 选项正确；对于B 选项，若函数()f x 在区间[]0,2π上有且只有一个零点时，由A 选项可知，函数()f x 在区间()00,x 上单调递增，在区间()0,2x π上单调递减.()00f =，()2sin 20f a ππ=>，所以，对任意的[]0,2x π∈，()0f x ≥，B 选项正确；对于C 选项，取12a =，则()1sin sin sin sin cos sin 1cos 2222222x x x x x x f x x ⎛⎫=-=-=- ⎪⎝⎭，02x π≤≤，则02x π≤≤，令()0f x =，可得sin 02x =或cos 12x=，可得02x =或2xπ=， 解得0x =或2x π=. 所以，当12a =时，函数()f x 有两个零点，C 选项错误； 对于D 选项，当1a >时，若02x π<<，则02ax a π<<，且22a ππ>，当()0,2x π∈时，令()0f x '=，可得出()()cos cos cos 2ax x k x k Z π==±∈，至少可得出2ax x π=-或2ax x π=+，即函数()f x 在区间()0,2π上至少有两个极值点，不合乎题意，所以，01a <<.下面证明：当02x π<<时，sin x x <，构造函数()sin h x x x =-，其中02x π<<，则()1cos 0h x x '=->，所以，函数()sin h x x x =-在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上为增函数，所以，()()00h x h >=，即sin x x <.分以下三种情况来证明()01312a a f x π+--<⋅恒成立.()()000cos cos 0f x a ax x '=-=，可得00cos cos ax x =，0002ax x π<<<，由00cos cos ax x =可得出002ax x π=-，所以，021x a π=+. 则()000sin sin 2sin ax x x π=-=-. ①当13a =时，032x π=，则()1sin sin 33x f x x =-，31342sin sin 223233f ππππ⎛⎫=-=< ⎪⎝⎭， 即()01312a a f x π+--<⋅成立；②当103a <<时，023,212x a πππ⎛⎫=∈ ⎪+⎝⎭， 则()()()0000002sin sin sin sin 1sin 1sin1f x ax a x x a x a x a a π=-=--=-+=-++ ()()()()22221sin 1sin 21sin 121111a a a a a a a a a a a ππππππ⎛⎫⎛⎫=+-=+-=+<+⋅= ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭ 1312a a π+--=⋅； ③当113a <<时，023,12x a πππ⎛⎫=∈ ⎪+⎝⎭， ()()()()0000000sin sin sin sin 1sin 1sin f x ax a x x a x a x a x =-=--=-+=+-()()()()()()()01121sin 1sin 1sin 1111a a a x a a a a a a πππππ--⎛⎫=+-=+-=+<+⋅⎪+++⎝⎭()13112a a a ππ+--=-=.综上所述，当函数()f x 只有一个极值点0x 时，()01312a a f x π+--<恒成立. 故选：ABD.【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法：（1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与x 轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用； （2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；（3）参变量分离法：由()0f x =分离变量得出()a g x =，将问题等价转化为直线y a =与函数()y g x =的图象的交点问题.12．已知0a >，0b >，下列说法错误的是（ ） A ．若1a b a b ⋅=，则2a b +≥ B ．若23a b e a e b +=+，则a b > C ．()ln ln a a b a b -≥-恒成立 D ．2ln a a b be e-<恒成立 【答案】AD 【分析】对A 式化简，通过构造函数的方法，结合函数图象，说明A 错误；对B 不等式放缩22a b e a e b +>+，通过构造函数的方法，由函数的单调性，即可证明B 正确；对C 不等式等价变型()ln ln ln1-≥-⇔≥-a b a a b a b b a ，通过10,ln 1∀>>-x x x恒成立，可得C 正确；D 求出ln -a a b b e 的最大值，当且仅当11a b e =⎧⎪⎨=⎪⎩时取等号，故D 错误.【详解】A. 1ln ln 0⋅=⇔+=a b a b a a b b 设()ln f x x x =，()()0∴+=f a f b由图可知，当1+→b 时，存在0+→a ，使()()0f a f b += 此时1+→a b ，故A 错误. B. 232+=+>+a b b e a e b e b设()2x f x e x =+单调递增，a b ∴>，B 正确 C. ()ln ln ln 1-≥-⇔≥-a b a a b a b b a又10,ln 1∀>>-x x x ，ln 1∴≥-a bb a，C 正确 D. max 1=⇒=x x y y e e当且仅当1x =； min 1ln =⇒=-y x x y e 当且仅当1=x e；所以2ln -≤a a b b e e ，当且仅当11a b e =⎧⎪⎨=⎪⎩时取等号，D 错误.故选：AD 【点睛】本题考查了导数的综合应用，考查了运算求解能力和逻辑推理能力，转化的数学思想和数形结合的数学思想，属于难题.13．设函数()ln xf x x=，()ln g x x x =，下列命题，正确的是（ ） A ．函数()f x 在()0,e 上单调递增，在(),e +∞单调递减 B ．不等关系33e e ππππ<<<成立C ．若120x x <<时，总有()()()22212122a x x g x g x ->-恒成立，则1a ≥D ．若函数()()2h x g x mx =-有两个极值点，则实数()0,1m ∈【答案】AC 【分析】利用函数的单调性与导数的关系可判断A 选项的正误；由函数()f x 在区间(),e +∞上的单调性比较3π、e π的大小关系，可判断B 选项的正误；分析得出函数()()22s x g x ax=-在()0,∞+上为减函数，利用导数与函数单调性的关系求出a 的取值范围，可判断C 选项的正误；分析出方程1ln 2xm x+=在()0,∞+上有两个根，数形结合求出m 的取值范围，可判断D 选项的正误. 【详解】对于A 选项，函数()ln x f x x =的定义域为()0,∞+，则()21ln xf x x -'=. 由()0f x '>，可得0x e <<，由()0f x '>，可得x e >.所以，函数()f x 在()0,e 上单调递增，在(),e +∞单调递减，A 选项正确；对于B 选项，由于函数()ln xf x x=在区间(),e +∞上单调递减，且4e π>>， 所以，()()4f f π>，即ln ln 44ππ>，又ln 41ln 213ln 22043236--=-=>， 所以，ln ln 4143ππ>>，整理可得3e ππ>，B 选项错误； 对于C 选项，若120x x <<时，总有()()()22212122a x x g x g x ->-恒成立，可得()()22112222g x ax g x ax ->-，构造函数()()2222ln s x g x ax x x ax =-=-，则()()12s x s x >，即函数()s x 为()0,∞+上的减函数，()()21ln 20s x x ax '=+-≤对任意的()0,x ∈+∞恒成立，即1ln xa x+≥对任意的()0,x ∈+∞恒成立， 令()1ln x t x x +=，其中0x >，()2ln xt x x'=-. 当01x <<时，()0t x '>，此时函数()t x 单调递增； 当1x >时，()0t x '<，此时函数()t x 单调递减.所以，()()max 11t x t ==，1a ∴≥，C 选项正确；对于D 选项，()()22ln h x g x mx x x mx =-=-，则()1ln 2h x x mx '=+-，由于函数()h x 有两个极值点，令()0h x '=，可得1ln 2xm x+=， 则函数2y m =与函数()t x 在区间()0,∞+上的图象有两个交点， 当1x e>时，()0t x >，如下图所示：当021m <<时，即当102m <<时，函数2y m =与函数()t x 在区间()0,∞+上的图象有两个交点.所以，实数m 的取值范围是10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，D 选项错误. 故选：AC. 【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法：（1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与x 轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用； （2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；（3）参变量分离法：由()0f x =分离变量得出()a g x =，将问题等价转化为直线y a =与函数()y g x =的图象的交点问题.14．阿基米德是伟大的物理学家，更是伟大的数学家，他曾经对高中教材中的抛物线做过系统而深入的研究，定义了抛物线阿基米德三角形：抛物线的弦与弦的端点处的两条切线围成的三角形称为抛物线阿基米德三角形.设抛物线C ：2yx 上两个不同点,A B 横坐标分别为1x ，2x ，以,A B 为切点的切线交于P 点.则关于阿基米德三角形PAB 的说法正确的有（ ）A ．若AB 过抛物线的焦点，则P 点一定在抛物线的准线上B ．若阿基米德三角形PABC ．若阿基米德三角形PAB 为直角三角形，则其面积有最小值14D ．一般情况下，阿基米德三角形PAB 的面积212||4x x S -=【答案】ABC 【分析】设出直线AB 的斜截式方程、点,A B 的坐标，根据导数的几何意义求出切线,PA PB 的方程，进而求出点P 的坐标，将直线AB 的方程和抛物线方程联立，得到一元二次方程以及该方程两根的和、积的关系.A ：把抛物线焦点的坐标代入直线AB 的斜截式方程中，根据抛物线的准线方程进行判断即可；B ：根据正三角形的性质，结合正三角形的面积公式进行判断即可；C ：根据直角三角形的性质，结合直角三角形的面积公式进行判断即可；D ：根据点到直线距离公式、两点间距离公式进行求解判断即可.. 【详解】由题意可知：直线AB 一定存在斜率， 所以设直线AB 的方程为：y kx m =+，由题意可知：点221122(,),(,)A x x B x x ，不妨设120x x <<， 由2'2yx y x ，所以直线切线,PA PB 的方程分别为：221112222(),2()y x x x x y x x x x -=--=-，两方程联立得：211122222()2()y x x x x y x x x x ⎧-=-⎨-=-⎩， 解得：12122x x x y x x +⎧=⎪⎨⎪=⎩，所以P 点坐标为：1212(,)2x x x x +，直线AB 的方程与抛物线方程联立得：2121220,y kx m x kx m x x k x x m y x=+⎧⇒--=⇒+==-⎨=⎩. A ：抛物线C ：2y x 的焦点坐标为1(0,)4，准线方程为 14y =-，因为AB 过抛物线的焦点，所以14m =，而1214x x m =-=-，显然P 点一定在抛物线的准线上，故本选项说法正确；B ：因为阿基米德三角形PAB 为正三角形，所以有||||PA PB =，= 因为 12x x ≠，所以化简得：12x x =-，此时221111(,),(,)A x x B x x -， P 点坐标为：21(0,)x -， 因为阿基米德三角形PAB 为正三角形，所以有||||PA AB =，1122x x =-⇒=-， 因此正三角形PAB所以正三角形PAB的面积为11sin 6022︒==， 故本选项说法正确；C ：阿基米德三角形PAB 为直角三角形，当PA PB ⊥时， 所以1212121222121122122114PAPBx x x xx x kk x x x x x x x x ++--⋅=-⇒⋅=-⇒=---， 直线AB 的方程为：14y kx =+所以P 点坐标为：1(,)24k -，点 P 到直线AB 的距离为：=||AB ===因为12121,4x x k x x +==-，所以21AB k ==+， 因此直角PAB的面积为：2111(1)224k ⨯+=， 当且仅当0k =时，取等号，显然其面积有最小值14，故本说法正确； D ：因为1212,x x k x x m +==-，所以1||AB x x ===-点P 到直线AB 的距离为：212== 所以阿基米德三角形PAB的面积32121211224x x S x x -=⋅-=，故本选项说法不正确. 故选：ABC 【点睛】关键点睛：解决本题的关键就是一元二次方程根与系数关系的整体代换应用，本题重点考查了数学运算核心素养的应用.15．在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它得名于荷兰数学家鲁伊兹布劳威尔（L.E.Brouwer ）简单的讲就是对于满足一定条件的连续函数()f x ，存在一个点0x ，使得()00f x x =，那么我们称该函数为“不动点”函数，而称0x 为该函数的一个不动点，依据不动点理论，下列说法正确的是（ ） A ．函数()sin f x x =有3个不动点B ．函数2()(0)f x ax bx c a =++≠至多有两个不动点C ．若定义在R 上的奇函数()f x ，其图像上存在有限个不动点，则不动点个数是奇数 D．若函数()f x =[0,1]上存在不动点，则实数a 满足l a e ≤≤（e 为自然对数的底数） 【答案】BCD根据题目中的定义，结合导数、一元二次方程的性质、奇函数的性质进行判断即可. 【详解】令()sin g x x x =-，()1cos 0g x x '=-≥， 因此()g x 在R 上单调递增，而(0)0g =， 所以()g x 在R 有且仅有一个零点， 即()f x 有且仅有一个“不动点”，A 错误；0a ≠，20ax bx c x ∴++-=至多有两个实数根，所以()f x 至多有两个“不动点”，B 正确；()f x 为定义在R 上的奇函数，所以(0)0f =，函数()-y f x x =为定义在R 上的奇函数，显然0x =是()f x 的一个“不动点”，其它的“不动点”都关于原点对称，个数和为偶数， 因此()f x 一定有奇数个“不动点”，C 正确；因为()f x 在[0,1]存在“不动点”，则()f x x =在[0,1]有解，x =⇒2x a e x x =+-在[0,1]有解，令2()x m x e x x =+-，()12x m x e x '=+-，令()12x n x e x '=+-，()20x n x e '=-=，ln 2x =，()n x 在(0,ln 2)单调递减，在(ln 2,1)单调递增，∴min ()(ln 2)212ln 232ln 20n x n ==+-=->， ∴()0m x '>在[0,1]恒成立，∴()m x 在[0,1]单调递增，min ()(0)1m x m ==，max ()(1)m x m e ==，∴1a e ≤≤，D 正确，. 故选：BCD 【点睛】方法点睛：新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的.遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.16．经研究发现：任意一个三次多项式函数32()(0)f x ax bx cx d a =+++≠的图象都只有一个对称中心点()()00,x f x ，其中0x 是()0f x ''=的根，()'f x 是()f x 的导数，()f x ''是()'f x 的导数.若函数32()f x x ax x b =+++图象的对称点为(1,2)-，且不等式(ln 1)x e e mx x -+32()3ef x x x e x ⎡⎤≥--+⎣⎦对任意(1,)x ∈+∞恒成立，则（ ）A ．3a =B ．1b =C ．m 的值可能是e -D ．m 的值可能是1e-【答案】ABC求导得()62f x x a ''=+，故由题意得()1620f a ''=-+=-，()1112f a b -=-+-+=，即3,1a b ==，故()3231f x x x x =+++.进而将问题转化为()1ln 1e x x e x e m x --++<+，由于1x e x >+，故ln ln 1ee x x x x e e x e x --+=≥-+，进而得()1ln ln 1ln 1e x x e x e e x ee x x --++--≥=-++，即m e ≤-，进而得ABC 满足条件.【详解】由题意可得()1112f a b -=-+-+=，因为()2321x ax f x =++'，所以()62f x x a ''=+，所以()1620f a ''=-+=-，解得3,1a b ==，故()3231f x x x x =+++.因为1x >，所以()()32ln []13xeee mx xf x x x e x -+≥--+等价于()1ln 1e x x e x e m x --++≤+. 设()()10xg x e x x =-->，则()10xg x e '=->，从而()g x 在()0,∞+上单调递增.因为()00g =，所以()0g x >，即1x e x >+， 则ln ln 1ee x xxx e e x e x --+=≥-+（当且仅当x e =时，等号成立），从而()1ln ln 1ln 1e x x e x e e x e e x x --++--≥=-++，故m e ≤-.故选：ABC. 【点睛】本题解题的关键在于根据题意得()3231f x x x x =+++，进而将不等式恒成立问题转化为()1ln 1e x x e x e m x --++≤+恒成立问题，再结合1x e x >+得ln ln 1ee x x xx e e x e x --+=≥-+，进而得m e ≤-.考查运算求解能力与化归转化思想，是难题.17．设函数()()1x af x a x a =->的定义域为()0,∞+，已知()f x 有且只有一个零点，下列结论正确的有（ ） A ．a e =B ．()f x 在区间()1,e 单调递增C ．1x =是()f x 的极大值点D ．()f e 是()f x 的最小值。
成都武侯外国语学校必修一第四单元《函数应用》检测(答案解析)
一、选择题1．关于x 的方程x x a a -=有三个不同的实根，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(0,4)B ．(4,0)-C ．(4,4)-D ．(,4)(4,)-∞-⋃+∞2．已知函数()f x 满足(2)()f x f x +=，且其图像关于直线1x =对称，若()0f x =在[0,1] 内有且只有一个根12x =，则()0f x =在区间[0,2017] 内根的个数为（ ） A ．1006B ．1007C ．2016D ．20173．已知函数,01()11,10(1)x x f x x f x ≤<⎧⎪=⎨--<<⎪+⎩，()()4g x f x mx m =--，其中m 是非零的实数，若函数()g x 在区间(1,1)-内有且仅有两个零点，则实数m 的取值范围是（ ） A ．1,(0,1)5⎛⎫-∞-⋃ ⎪⎝⎭B ．1(,1),5⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭C ．1(,1)0,5⎛⎫-∞-⋃ ⎪⎝⎭D ．1,(1,)5⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭4．已知函数2,0()()21,0x e a x f x a R x x ⎧+=∈⎨->⎩，若函数()f x 在R 上有两个零点，则a 的取值范围是（ ） A ．(,1)-∞- B ．[2,0)- C ．(1,0)- D ．[1,0)-5．设,m n R ∈，定义在区间[],m n 上的函数()()2log 4f x x =-的值域是[]0,2，若关于t 的方程||1102t m ⎛⎫++= ⎪⎝⎭()t R ∈有实数解，则m n +的取值范围是（ ）A ．[]0,3B ．(]3,2--C ．[]3,1--D ．[)1,26．设函数()243,023,0x x x f x x x ⎧-+≥=⎨+<⎩，若互不相等的实数1x 、2x 、3x ，满足()()()123f x f x f x ==，则123x x x ++的取值范围是（ ）A ．5,62⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．5,42⎛⎤⎥⎝⎦C ．()2,4D ．()2,67．已知函数22,()11,x x x a f x x a x⎧--≤⎪=⎨->⎪⎩，若函数图象与x 轴有且仅有一个交点，则实数a的取值范围是（ ）A ．(),1-∞-B ．()[),11,2-∞-⋃C ．[)1,2D ．(]()1,12,-+∞8．若函数2()x f x x e a =-恰有3个零点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．24(,)e+∞ B ．24(0,)eC ．2(0,4)eD ．(0,)+∞9．具有性质：1()()f f x x=-的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数.给出下列函数：①1ln 1x y x -=+；②2211x y x -=+；③,01,{0,1,1, 1.x x y x x x<<==->其中满足“倒负”变换的函数是（ ） A ．①②B ．①③C ．②③D ．①10．已知函数f (x )＝1,01,0x x x⎧⎪⎨>⎪⎩则使方程x ＋f (x )＝m 有解的实数m 的取值范围是（ ） A ．(1，2)B ．(－∞，－2]C ．(－∞，1)∪(2，＋∞)D ．(－∞，1]∪[2，＋∞)11．已知函数,0()ln ,0x e x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，若函数g （x ）＝f （x ）+2x +ln a （a ＞0）有2个零点，则数a 的最小值是（ ）A ．1eB ．12C ．1D ．e12．把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度为1θC ，空气的温度是0θC ，那么t 分钟后物体的温度θ（单位C ）可由公式：()010kt e θθθθ-=+-求得，其中k 是一个随着物体与空气的接触状况而定的正常数.现有100℃的物体，放在20C 的空气中冷却，4分钟后物体的温度是60C ，则再经过（ ）分钟，物体的温度是40C （假设空气的温度保持不变）. A ．2B ．4C ．6D ．8二、填空题13．若函数4y ax a =+存在零点，则实数a 的取值范围是______．14．已知()f x 是定义在[)1,+∞上的函数，且()123,1211,222x x f x f x x ⎧--≤<⎪=⎨⎛⎫≥ ⎪⎪⎝⎭⎩，则函数2()3y xf x =-在区间()1,2015上零点的个数为 ．15．若函数()23xf x x --+=的零点为0x ，满足()01x k k ∈+，且k ∈Z ，则k ＝_____．16．已知()f x 是以2e 为周期的R 上的奇函数，当()0,x e ∈，()ln f x x =，若在区间[],2e e -，关于x 的方程()1f x kx =+恰好有4个不同的解，则k 的取值集合是__________.17．关于x 的方程()142650xx k k k +⋅-⋅+-=在区间[0]1，上有解，则实数k 的取值范围是________．18．函数()()2121x x f x x x ⎧≤⎪=⎨->⎪⎩，，，如果方程()f x b =有四个不同的实数解1x ，2x ，3x ，4x ，则1234x x x x +++=______.19．设函数31()(2)()2xf x x =+-的零点在区间(,1)n n +(n Z ∈)上，则n =______.20．已知函数()3cos f x x x =-，若不等式()12f x kx b kx b +≤≤+对一切实数x 恒成立，则21b b -的最小值为__________.三、解答题21．已知函数()f x 为偶函数，当0x ≥时，()11x x e f x e -=+.（1）求当0x <时，函数()f x 的解析式； （2）判断函数()f x 在(),0-∞上的单调性并证明；（3）设函数()()()2g x f ax f x a =--+，使函数()g x 有唯一零点的所有a 构成的集合记为M ，求集合M .22．某厂家拟定在2020年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销量(即该厂的年产量)x 万件与年促销费用m (m ≥0)万元满足x ＝3－1km + (k 为常数)．如果不搞促销活动，那么该产品的年销量只能是1万件．已知2020年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金)．（1）将2020年该产品的利润y 万元表示为年促销费用m 万元的函数； （2）该厂家2020年的促销费用投入多少万元时，厂家利润最大？ 23．已知函数f （x ）＝a x +21x x -+（a ＞1）. （1）求证：f （x ）在（﹣1，+∞）上是增函数； （2）若a ＝3，求方程f （x ）＝0的正根（精确到0.1）.24．某工厂准备引进一种新型仪器的生产流水线，已知投资该生产流水线需要固定成本1000万元，每生产x 百台这种仪器，需另投入成本f (x )万元，()f x =2550500,040,100,25003013000,40,100.x x x x N x x x N x ⎧++<<∈⎪⎨+-≥∈⎪⎩假设生产的仪器能全部销售完，且售价为每台3万元.（1）求利润g (x )（万元）关于产量x （百台）的函数关系式； （2）当产量为多少时，该工厂所获利润最大？并求出最大利润.25．已知奇函数()()410,12xf x a a a a=->≠+． （1）求a 的值，并求函数()f x 的值域；（2）若函数()()12xy m mf x =+-在区间(]2,log 3x ∈-∞上有两个不同的零点，求m的取值范围．26．倡导环保意识、生态意识，构建全社会共同参与的环境治理体系，让生态环保思想成为社会生活中的主流文化.某化工企业探索改良工艺，使排放的废气中含有的污染物数量逐渐减少.已知改良工艺前所排放的废气中含有的污染物数量为32/mg m ，首次改良后排放的废气中含有污染物数量为31.94/mg m ，设改良工艺前所排放的废气中含有的污染物数量为0r ，首次改良工艺后所排放的废气中含的污染物数量为1r ，则第n 次改良后所排放的废气中的污染物数量n r 可由函数模型()()0.5*0015,n pn r r r r p R n N +=--∈∈给出，其中n 是指改良工艺的次数.（1）试求改良后n r 的函数模型；（2）依据国家环保要求，企业所排放的废气中含有的污染物数量不能超过30.08/mg m .试问：至少进行多少次改良工艺后才能使企业所排放的废气中含有污染物数量达标？（参考数据：取lg 20.3=）【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】画出函数()22,(),()x ax x a f x x x a x ax x a ⎧-≥=-=⎨-+<⎩与y a =图象可得【详解】数形结合法：画出函数()22,(),()x ax x a f x x x a x ax x a ⎧-≥=-=⎨-+<⎩与y a =图象可得由图可得：204a a <<解得4a > 或204a a >>-解得4a故选：D 【点睛】数形结合法：画出相应的函数图象，通过观察图象与x 轴在给定区间上是否有交点来判断，或者转化为两个函数图象在给定区间上是否有交点来判断.2．D解析：D 【分析】由(2)()f x f x +=，以及()(2)f x f x -=+，进而推出()f x 为偶函数，且()f x 是周期等于2的周期函数，根据1()02f =，求出3()02f =，从而得到函数()f x 在一个周期的零点个数，且函数()f x 在每两个整数之间都有一个零点，从而得到()0f x =在区间[0，2017]内根的个数．【详解】解：函数()f x 满足(2)()f x f x +=， 故函数()f x 是周期等于2的周期函数，其图象关于直线1x =对称，可得()(2)f x f x -=+， 即有()()f x f x -=，1()02f =， 1()02f ∴-=，再由周期性得13(2)()022f f -+==， 故函数()f x 在一个周期[0，2]上有2个零点， 即函数()f x 在每两个整数之间都有一个零点， ()0f x ∴=在区间[0，2017]内根的个数为2017．故选：D ． 【点睛】利用函数的奇偶性与周期性相结合，求出函数在指定区间的零点个数，求解的关键在于周期性的应用.3．C解析：C 【分析】先求得分段函数的解析式，函数()g x 零点等价于函数()y f x =的图象与直线4y mx m =+公共点，做出图像，数形结合，即可求得答案.【详解】当10x -<<时，011x <+<，满足上支范围，所以()11f x x +=+，所以,01()11,101x x f x x x ≤<⎧⎪=⎨--<<⎪+⎩，作函数()y f x =的图象，如图所示.函数()g x 零点的个数等价于函数()y f x =的图象与直线4y mx m =+公共点的个数. 当直线4y mx m =+过点(1,1)时，15m =， 所以当105m <<时， 直线4y mx m =+与函数()y f x =图象有两个公共点.当直线4y mx m =+与曲线111y x =-+（10x -<<）相交时， 联立4111y mx m y x =+⎧⎪⎨=-⎪+⎩消去y 得，24(51)0mx m x m -++=， 因此22(51)160m m ∆=+->且510m +<时，解得1m <-.综上知，实数m 的取值范围是1(,1)0,5⎛⎫-∞-⋃ ⎪⎝⎭. 故选：C 【点睛】本题的关键是根据x 的范围，先求得函数解析式，做出图像，再将零点问题转化为图像交点问题，易错点为，4y mx m =+可以与函数两支都有交点，也可以与函数111y x =-+单支产生交点，需分别检验和计算，属中档题.4．B解析：B 【分析】当0x >时，()21f x x =-有一个零点12x =，只需当0x ≤时，20x e a +=有一个根，利用“分离参数法”求解即可. 【详解】因为函数()2,021,0x e a x f x x x ⎧+≤=⎨->⎩,当0x >时，()21f x x =-有一个零点12x =， 所以只需当0x ≤时，202xxae a e +==-即有一个根即可， 因为2xy e =单调递增，当0x ≤时，(]0,1xe ∈，所以(]0,2a -∈，即[)2,0a ∈-， 故选：B. 【点睛】已知函数有零点（方程有根），求参数取值范围的三种常用的方法：（1）直接法，直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法，先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；（3）数形结合法，先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后利用数形结合求解．5．D解析：D 【分析】首先利用函数值域确定自变量范围，再初步确定m ，n 的关系，然后结合指数函数的性质整理计算即可求得最终结果． 【详解】函数2()log (4||)f x x =-的值域是[0，2]，14||4x ∴-， 0||3x ∴，3m ∴=-，03n ，或30m -，3n =；又关于t 的方程||1()10()2t m t R ++=∈ 有实数解，∴||1()12t m =--有解，||11()122t <+，21m ∴-<-，则3n =， 则12m n +<， 故选：D 【点睛】已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解6．C解析：C 【分析】设123x x x <<，作出函数()f x 的图象，结合图象可得出1x 的取值范围，结合二次函数图象的对称性可得出234x x +=，进而可求得123x x x ++的取值范围. 【详解】设123x x x <<，作出函数()f x 的图象如下图所示：设()()()123f x f x f x m ===，当0x ≥时，()()2243211f x x x x =-+=--≥-，由图象可知，13m -<<，则()()11231,3f x x =+∈-，可得120x -<<， 由于二次函数243y x x =-+的图象的对称轴为直线2x =，所以，234x x +=，因此，12324x x x <++<. 故选：C. 【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（或取值范围），常用方法如下： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数的取值范围； （2）分离常数法：先将参数分离，转化为求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.7．B解析：B 【分析】讨论a 的范围，分别确定x a ≤、x a >上与x 轴的交点情况，即可确定实数a 的取值范围. 【详解】∵当x a ≤时，()(2)(1)f x x x =-+，∴当2a ≥时，()f x 在x a ≤与x 轴有2个交点； 当12a -≤<时，()f x 在x a ≤与x 轴有1个交点； 当1a <-时，()f x 在x a ≤与x 轴无交点；∵当x a >时，1(1)f x x=-，与x 轴有交点时交点为(1,0)， ∴当1a ≥时，()f x 在x a >与x 轴无交点； 当1a <时，()f x 在x a >与x 轴有1个交点；综上要使()f x 在R 上与x 轴有且仅有一个交点，即12a ≤<或1a <-， 故选：B 【点睛】易错点睛：讨论不等式的参数时，要注意参数边界是否可以取等号.1x =时()f x 与x 轴有交点，要使()f x 在x a >与x 轴无交点则1a ≥. 1x =-时()f x 与x 轴有交点，要使()f x 在x a ≤与x 轴无交点则1a <-. 8．B解析：B 【分析】求导函数，求出函数的极值，利用函数2()xf x x e a =-恰有三个零点，即可求实数a 的取值范围. 【详解】函数2xy x e =的导数为2'2(2)x x xy xe x e xe x =+=+， 令'0y =，则0x =或2-，20x -<<上单调递减，(,2),(0,)-∞-+∞上单调递增，所以0或2-是函数y 的极值点， 函数的极值为：224(0)0,(2)4f f ee -=-==， 函数2()xf x x e a =-恰有三个零点，则实数的取值范围是：24(0,)e . 故选B. 【点睛】该题考查的是有关结合函数零点个数，来确定参数的取值范围的问题，在解题的过程中，注意应用导数研究函数图象的走向，利用数形结合思想，转化为函数图象间交点个数的问题，难度不大.9．C解析：C 【解析】①1ln 1x y x -=+；1111()ln ln ()111x x f f x x x x--==≠-++所以不符合题意；②2211x y x -=+；22221111()()111x x f f x x x x --===-++所以符合题意；③,01,{0,1,1, 1.x x y x x x<<==->当01x <<时11x >，故1()()f x f x x =-=-，当1,x =时11x =显然满足题意，当1x >时，101x <<，故11()()f f x x x==-符合题意，综合得选C 点睛：新定义倒负函数，根据题意逐一验证()1f f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭是否成立，在计算中要注意对数的公式得灵活变幻，对于分段函数要注意逐段去讨论10．D解析：D 【分析】分别讨论x ≤0和x >0，方程有解时，m 的取值. 【详解】当x ≤0时，x ＋f (x )＝m ，即x ＋1＝m ，解得m ≤1；当x >0时，x ＋f (x )＝m ，即1x m x+=，解得m ≥2， 即实数m 的取值范围是(,1][2,)-∞⋃+∞故选：D 【点睛】本题考查了方程有解求参数的取值问题，考查了计算求解能力和逻辑推理能力，属于一般题目.11．A解析：A 【分析】令()0g x =，将问题转化为函数()f x 与函数()2ln 0y x a a =-->的图象有两个不同的交点来求解. 【详解】令()0g x =得()2ln f x x a =--，若()g x 有两个零点，则函数()f x 与函数()2ln 0y x a a =-->的图象有两个不同的交点.画出函数()f x 与函数()2ln 0y x a a =-->的图象如下图所示，当直线过点()0,1时，两个函数图象有两个交点，此时1120ln a a e=-⨯-⇒=.由图可知，当直线向下平移时，可使两个函数图象有两个交点，所以1ln 1a a e -≤⇒≥，所以a 的最小值为1e. 故选：A【点睛】本小题主要考查函数零点问题的求解，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.12．B解析：B 【分析】根据题意将数据120θ=，0100θ=，60θ=，4t =代入()010kte θθθθ-=+-，可得1412k e -⎛⎫= ⎪⎝⎭，再将40θ代入即可得8t =，即可得答案.【详解】由题意知：120θ=，0100θ=，60θ=，4t =代入()010kte θθθθ-=+-得：()4602010020ke-=+-，解得1412k e -⎛⎫= ⎪⎝⎭所以当40θ时，()1440201002012t ⎛⎫ -⎪⎭=+⎝，解得：124114212t ⎛⎫== ⎛⎫ ⎝⎪⎭⎪⎭⎝， 所以8t =，所以再经过4分钟物体的温度是40C ， 故选：B 【点睛】本题主要考查了指数函数的综合题，关键是弄清楚每个字母的含义，属于中档题.二、填空题13．【分析】将函数存在零点转化为与图像有交点作出图像观察图像得出实数的取值范围【详解】解：设则函数存在零点等价于与图像有交点如图：函数的图像恒过点当其和函数的图像相切时有解得由图像可知所以所以与的图像有解析：30,⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】将函数244y ax a x =+--存在零点转化为()()4f x a x =+与2()4g x x =-图像有交点，作出图像，观察图像得出实数a 的取值范围. 【详解】解：设()()4f x a x =+，2()4g x x =-，则函数244y ax a x =+--存在零点等价于()()4f x a x =+与2()4g x x =-图像有交点， 如图：函数()()4f x a x =+的图像恒过点(4,0)-，当其和函数2()4g x x =-2421aa =+，解得33a =±，由图像可知，0a >，所以33a =，所以()()4f x a x =+与2()4g x x =-30a ≤≤. 故答案为：3⎡⎢⎣⎦. 【点睛】本题考查函数零点问题的研究，关键是将零点问题转化为函数图像的交点问题，考查数形结合的思想，是中档题.14．11【分析】令函数得到方程从而化函数的零点为方程的根再转化为两个函数的交点问题从而解得【详解】解：令函数得到方程当时函先增后减在时取得最大值1而在时也有；当时在处函数取得最大值而在时也有；当时在处函解析：11【分析】令函数2()30y xf x =-=，得到方程3()2f x x=，从而化函数的零点为方程的根，再转化为两个函数的交点问题，从而解得． 【详解】解：令函数2()30y xf x =-=，得到方程3()2f x x=， 当[)1,2x ∈时，函()f x 先增后减，在32x =时取得最大值1， 而32y x =在32x =时也有1y =； 当)22,2x ⎡∈⎣时，11()22f x f x ⎛⎫=⎪⎝⎭，在3x =处函数()f x 取得最大值12，而32y x =在3x =时也有12y =； 当)232,2x ⎡∈⎣时，11()22f x f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，在6x =处函数()f x 取得最大值14， 而32y x =在6x =时也有14y =； …，当)10112,2x ⎡∈⎣时，11()22f x f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，在1536x =处函数()f x 取得最大值1012，而32y x =在1536x =时也有1012y =； 综合以上分析，将区间()1,2015分成11段，每段恰有一个交点，所以共有11个交点，即有11个零点． 故答案为：11． 【点睛】本题考查函数的零点，对于较为复杂的函数的零点，可以转化为常见函数的图象的交点来考虑，本题属于中档题．15．【分析】根据题意得到函数为减函数进而求得的值利用零点的存在定理即可求解【详解】由题意函数分析可得函数为减函数又由则根据零点的存在定理可得函数的零点在区间上所以故答案为【点睛】本题主要考查了函数与方程 解析：3【分析】根据题意，得到函数()f x 为减函数，进而求得()()3,4f f 的值，利用零点的存在定理，即可求解． 【详解】由题意，函数()23xf x x --+=，分析可得函数()f x 为减函数，又由()31323308f -=+=>-，()4154243016f --=+=-<， 则()()340f f ⋅<，根据零点的存在定理，可得函数()f x 的零点在区间()3,4上， 所以3k =． 故答案为3． 【点睛】本题主要考查了函数与方程的应用，其中解答中熟记函数零点的概念，以及熟练应用零点的存在定理进行判定是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．16．【分析】先根据函数奇偶性作出一个周期上图象再根据周期得区间上图象最后结合图象确定与动直线恰有4个交点的情况再求出对应数值【详解】因为是以为周期的上的奇函数所以当所以当作出区间上图象如图则直线过或时恰 解析：11,2e e ⎧⎫--⎨⎬⎩⎭【分析】先根据函数奇偶性作出一个周期上图象，再根据周期得区间[],2e e -上图象，最后结合图象确定与动直线1y kx =+恰有4个交点的情况，再求出对应数值. 【详解】因为()f x 是以2e 为周期的R 上的奇函数，所以(0)0,()()()()()0f f e f e f e f e f e ==-=-∴=-=，当()0,x e ∈，()ln f x x =，所以当(),0x e ∈-，()()ln(-)f x f x x =--=-，作出区间[],2e e -上图象如图，则直线1y kx =+过(,0)A e 或(2,0)B e 时恰有4个交点，此时11,2k k e e=-=-故答案为：11,2e e ⎧⎫--⎨⎬⎩⎭【点睛】本题考查函数奇偶性、周期性以及根据图象研究函数零点，考查数形结合思想以及综合分析求解能力，属中档题.17．【分析】换元：令则原方程化为根据题意问题转化为此方程在上有零点根据二次函数零点的判定方法即可求得结论【详解】解：令则∴方程化为：根据题意此关于t 的一元二次方程在上有零点整理得：方程当时存在实数解∴当解析：[5]6，【分析】换元：令2x t =，则[12]t ∈，，原方程化为()22650k t k t k ⋅-⋅+-=，根据题意，问题转化为此方程在[1]2，上有零点，根据二次函数零点的判定方法即可求得结论． 【详解】解：令2x t =，则[12]t ∈，， ∴方程()142650xx k k k +⋅-⋅+-=，化为：()22650k t k t k ⋅-⋅+-=，根据题意，此关于t 的一元二次方程在[1]2，上有零点， 整理，得：方程22630()k t t -+=，当[12]t ∈，时存在实数解 ∴23026k t t =-+，当[12]t ∈，时存在实数解 ∵()22261556[]t t t -+=-+∈， ∴2303030,[5,6]2665k t t ⎡⎤=∈=⎢⎥-+⎣⎦故答案为：[5]6，【点睛】本题以指数型二次方程为例，考查了根的存在性及函数零点的知识点，属于中档题．请同学们注意解题过程中变量分离思路的应用，它可以化繁为简、化难为易．18．【分析】作出的图象可得和的图象有四个不同的交点不妨设交点横坐标由关于原点对称关于点对称即可得到所求的和【详解】作出的图象方程有四个不同的实数解等价为和的图象有四个不同的交点不妨设交点横坐标为且由关于 解析：4【分析】作出()f x 的图象，可得()y f x =和y b =的图象有四个不同的交点，不妨设交点横坐标1234x x x x <<<，由1x ，2x 关于原点对称，3x ，4x 关于点()2,0对称，即可得到所求的和.【详解】作出()()2121x x f x x x ⎧≤⎪=⎨->⎪⎩，，的图象，方程()f x b =有四个不同的实数解，等价为()y f x =和y b =的图象有四个不同的交点，不妨设交点横坐标为1x ，2x ，3x ，4x 且1234x x x x <<<， 由1x ，2x 关于原点对称，3x ，4x 关于点()2,0对称， 可得12=0x x +，344x x +=， 则12344x x x x +++=， 故答案为：4 【点睛】本题主要考查了函数方程的转化思想，考查数形结合的思想以及对称性的运用，属于中档题.19．【分析】由函数单调性质判断函数是增函数运用零点存在性定理得解【详解】是上增函数是上减函数在上增函数又在上存在零点函数的零点在区间上故答案为：【点睛】本题考查函数零点分布区间判断函数零点分布区间的方法 解析：1-【分析】由函数单调性质判断函数31()(2)()2xf x x =+-是增函数，(1)0f -< ，(0)0f >运用零点存在性定理得解. 【详解】3(2)y x =+是R 上增函数，1()2x y = 是R 上减函数，31()(2)()2x f x x ∴=+-在R 上增函数，又(1)0f -< ，(0)0f >，31()(2)()2x f x x ∴=+-在(1,0)-上存在零点函数31()(2)()2xf x x =+-的零点在区间(,1)n n +上1n ∴=-故答案为：1- 【点睛】本题考查函数零点分布区间. 判断函数零点分布区间的方法：（1）解方程法：当对应方程易解时，可通过解方程确定方程是否有根落在给定区间上； （2）定理法：利用零点存在性定理进行判断；（3）数形结合法：画出相应的函数图象，通过观察图象与x 轴在给定区间上是否有交点来判断，或者转化为两个函数图象在给定区间上是否有交点来判断.20．2【分析】根据恒成立可知同理得出故的最小值为2【详解】由恒成立可得即恒成立而且为周期函数故且同理可得的最小值为故答案为：2【点睛】本题主要考查函数的性质考查不等式恒成立考查分析问题和解决问题的能力考解析：2 【分析】根据23cos x x kx b ≤+-恒成立可知21b ≥，同理得出11b ≤-，故21b b -的最小值为2． 【详解】由2()f x kx b ≤+恒成立，可得23cos x x kx b ≤+-，即2cos 3)(k x x b --≤+恒成立， 而1cos 1x -≤-≤，且cos y x =-为周期函数，故30k -=，且21b ≥，同理可得11b ≤-，∴21b b -的最小值为1(1)2--=.故答案为：2. 【点睛】本题主要考查函数的性质，考查不等式恒成立，考查分析问题和解决问题的能力，考查学生的逻辑推理能力.三、解答题21．（1）()11xxe f x e-=+；（2）函数()f x 在(),0-∞上单调递减，证明见详解；（3）{}1,0,1,2M =-.【分析】（1）当0x <时，0x ->，()1111x xx xe ef x e e-----==++，利用函数的奇偶性求解即可；（2）函数()f x 在(),0-∞上单调递减，利用定义证明函数的单调性即可；（3）把函数()g x 有唯一零点的问题转化为方程()()20f ax f x a --+=有唯一的解的问题，利用函数的奇偶性和单调性得到2ax x a =-+，两边平方，利用方程有唯一的解即可得出结果. 【详解】（1）当0x <时，0x ->， 又函数()f x 为偶函数，则()()1111x xx xe ef x f x e e -----===++，所以函数()f x 的解析式为()11xxe f x e -=+；（2）函数()f x 在(),0-∞上单调递减， 设任意120x x <<，则()()()()()12212112212111111x x x x x x x x e e e e f x f x e e e e ----=-=++++， 因为xy e =在R 上单调递增， 所以12x x e e <，即120x x e e -<， 所以()()21f x f x <，所以函数()f x 在(),0-∞上单调递减； （3）因为函数()f x 为偶函数， 所以函数()f x 在()0,∞+上单调递减，函数()()()2g x f ax f x a =--+的零点就是方程()()20f ax f x a --+=的解， 因为函数()g x 有唯一零点，所以方程()()20f ax f x a --+=有唯一的解， 因为函数()f x 为偶函数， 所以方程变形为：()()2fax f x a =-+，因为函数()f x 在()0,∞+上单调递减， 所以2ax x a =-+， 平方得：()()()22212220a x a x a -+-+-=，当210a -=时，即1a =±，经检验方程有唯一解； 当210a -≠时，()()()222424120a a a ∆=----=，得()22200a a a -=⇒=或2a =，综上可得：集合{}1,0,1,2M =-. 【点睛】关键点睛：把函数()g x 有唯一零点的问题转化为方程()()20f ax f x a --+=有唯一的解的问题是解决本题的关键.22．（1）y ＝－16(1)1m m -++＋29(m ≥0)；（2）该厂家2020年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大为21万元．. 【分析】（1）根据0,1m x ==(万件)求出2k =，求出每件产品的销售价格，则可得利润关于m 的函数；（2）利用基本不等式可求得最大值. 【详解】(1)由题意知，当m ＝0时，x ＝1(万件)， 所以1＝3－k ⇒k ＝2，所以x ＝3－21m + (m ≥0)， 每件产品的销售价格为1.5×816xx + (元)， 所以2020年的利润y ＝1.5x ×816xx+－8－16x －m ＝－16(1)1m m -++＋29(m ≥0)．(2)因为m ≥0时，161m +＋(m ＋8， 所以y ≤－8＋29＝21，当且仅当161m +＝m ＋1⇒m ＝3(万元)时，y max ＝21(万元)． 故该厂家2020年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大为21万元． 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方 23．（1）证明见解析；（2）0.312 5. 【分析】（1）根据定义法证明函数在所给区间的单调性，依次按取值，设定大小，作差，判断符号，可得出结果. （2）把a ＝3代入可得()231x x fx x -=++，根据（1）的结论可知正根在区间(0,1)内，然后利用二分法近似求解步骤计算即可. 【详解】证明：（1）设121x x -<< ∴()()()()()121212121212123221111xxx x x x x x f x f x a a a a x x x x ----=-+-=-+++++， ∵121x x -<<，∴1210,10,x x +>+>120x x -< ∴()()()1212311x x x x -++＜0；∵121x x -<<，且a ＞1，∴12x x a a <，∴120-<x x a a ， ∴()()120f x f x -<，即()()12f x f x <，∴函数()f x 在()1+-∞，上为增函数； （2）由（1）知，当a ＝3时，()231x x fx x -=++在()1+-∞，上为增函数， 故在()0+∞，上也单调递增，由于()()5010,102f f =-<=>，因此()0f x =的正根仅有一个，以下用二分法求这一正根，由于()()5010,102f f =-<=> ， ∴取（0，1）为初始区间，用二分法逐次计算，列出下表：∴原方程的近似解可取为0.312 5. 【点睛】思路点睛：本题考查利用函数的奇偶性求参数，证明函数的单调性和利用单调性解不等式.证明函数的单调性的基本步骤为：(1)在给定的区间内任取变量12,x x ，且设12x x <.(2)作差()()12f x f x -变形，注意变形要彻底，变形的手段通常有通分、因式分解、配方、有理化等.(3)判断符号，得出()()12f x f x ，的大小. (4)得出结论.24．（1）252501500,040,100,()25002000(),40,100.x x x x N g x x x x N x ⎧-+-<<∈⎪=⎨-+≥∈⎪⎩；（2）产量为5000台时，该工厂获得利润最大，且最大利润为1900万元. 【分析】（1）依题意求出各段的函数解析式，再写成分段函数即可； （2）根据解析式求出各段函数的最大值，再取最大的即可； 【详解】解：（1）由题意可知，当0＜x ＜40，100x ∈N 时，g (x )＝300x -5x 2-50x -500-1000＝-5x 2+250x -1500；当x ≥40，100x ∈N 时，25002500()300301300010002000g x x x x x x ⎛⎫=--+-=-+ ⎪⎝⎭综上，252501500,040,100,()25002000(),40,100.x x x x N g x x x x N x ⎧-+-<<∈⎪=⎨-+≥∈⎪⎩（2）当0＜x ＜40，100x ∈N 时，g (x )＝-5x 2+250x -1500＝-5(x -25)2+1625，且当x ＝25时，g (x )取得最大值1625；当x ≥40，100x ∈N 时，2500()2000()1900g x x x=-+≤，当且仅当x ＝50时，g (x )取得最大值1900.综上，当x ＝50，即产量为5000台时，该工厂获得利润最大，且最大利润为1900万元. 【点睛】(1)很多实际问题中，变量间的关系不能用一个关系式给出，这时就需要构建分段函数模型. (2)求函数最值常利用基本不等式法、导数法、函数的单调性等方法．在求分段函数的最值时，应先求每一段上的最值，然后比较得最大值、最小值． 25．（1）2a =，值域为(1,1)-；（2）1625⎛⎤--- ⎥ ⎝⎦ 【分析】（1）根据函数()f x 是奇函数，定义域为R ，推出(0)0f =，得2a =．再检验一下当2a =时，是否满足奇函数的定义()()0f x f x ，再利用分离变量法求出函数的值域．（2）令2x t =，(0t ∈，3]，则问题可以转化为方程2(1)0m t t m +++=在区间(0t ∈，3]上有两个不同的根，由0∆>，解得m ，若在区间(0t ∈，3]上有两个不同的根还得对m 分类讨论； 【详解】解：（1）因为函数()f x 是奇函数，定义域为R ， 所以(0)0f =， 所以4102a-=+，解得2a =．当2a =时，142()112221x x f x +=-=-++，可得()()0f x f x ，则()f x 为奇函数，所以142()112221x x f x +=-=-++，即2121x y =-+， 变形可表示为1201xyy --=>-，解得11y -<<， 所以()f x 的值域为(1,1)-．（2）根据题意可得方程(1)2()0x m mf x +-=在区间(x ∈-∞，2log 3]上有两个不同的根，即方程2(1)2[1]021xxm m +--=+在区间(x ∈-∞，2log 3]上有两个不同的根， 令2x t =，(0t ∈，3]， 则方程2(1)[1]01m t m t +--=+在区间(0t ∈，3]上有两个不同的根， 即2(1)0m t t m +++=在区间(0t ∈，3]上有两个不同的根，214(1)4410m m m m ∆=-+=--+>m <<，当102m -<<时，(1)000(1)9301032(1)m m m m m ⎧⎪+⨯++>⎪⎪+⨯++>⎨⎪⎪<-<+⎪⎩，不等式组无解，0m <<时，(1)000(1)9301032(1)m m m m m ⎧⎪+⨯++<⎪⎪+⨯++<⎨⎪⎪<-<+⎪⎩65m <-．综上所述m 的取值范围为得65⎤-⎥⎝⎦． 【点睛】函数零点的求解与判断方法：(1)直接求零点：令f (x )＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a ，b ]上是连续不断的曲线，且f (a )·f (b )＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点． (3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点． 26．（1）()0.50.5*20.065n n r n -=-⨯∈N ；（2）6.【分析】（1）根据改良工艺前所排放的废气中含有的污染物数量为32/mg m ，首次改良后排放的废气中含有污染物数量为31.94/mg m ，得到02r =，1 1.94r =，然后再令1n =求解. （2）根据所排放的废气中含有的污染物数量不能超过30.08/mg m ，得到0.50.520.0650.08n n r -=-⨯≤求解.【详解】（1）由题意得02r =，1 1.94r =， 所以当1n =时，()0.510015pr r r r +=--⋅，即()0.51.9422 1.945p +=--⋅，解得0.5p =-，所以()0.50.5*20.065n n r n -=-⨯∈N ，故改良后所排放的废气中含有的污染物数量的函数模型为()0.50.5*20.065n n r n -=-⨯∈N .（2）由题意可得，0.50.520.0650.08n n r -=-⨯≤， 整理得0505..1950..206n -≥，即0.50.5532n -≥， 两边同时取常用对数，得lg3205055.lg .n -≥， 整理得5lg 2211lg 2n ≥⨯+-， 取lg 20.3=代入，得5lg 2302115.31lg 27⨯+=+-， 又因为*n ∈N ，所以6n ≥.综上，至少进行6次改良工艺后才能使得该企业所排放的废气中含有的污染物数量达标. 【点睛】方法点睛：在实际问题中，有关人口增长、银行利率、细胞分裂等增长率问题常用指数函数模型表示．通常可以表示为y ＝N (1＋p )x (其中N 为基础数，p 为增长率，x 为时间)的形式．解题时，往往用到对数运算，要注意与已知表格中给定的值对应求解．。
高中数学：求函数值域的方法十三种(一)
2
2
26
又 ∵ 在 [m, n] 上 当
x
增大时
f (x)
也
增
大
所
以
f (x)max f (n) f (x)min f (m)
3n 3m
m 4, n 0
解得
评注：解法 2 利用闭区间上的最值不超过整个定义域上的最值，缩小了 m ，n 的取值范围，
避开了繁难的分类讨论，解题过程简洁、明了。
(2) 求函数 y x(x a) 在 x [1 , 1] 上的最大值。
【解析】(1)二次函数的对称轴方程为 x a ，
当 a
1 2
即a
1 时， 2
f ( x )max
f ( 2 ) 4a 5 ；
当 a 1 2
即 a1 2
时，
f ( x )max f ( 1 ) 2a 2
。
f ( x )max 42aa52,,aa2121 。
y
x2 x2 x
x 1
x2 x x2
11 x 1
1
(x
1 1)2
3
不妨令：
24
f (x) (x 1)2 3 , g(x) 24
1 ( f (x) 0) 从而 f (x)
f
(
x)
3,
4
注意：在本题中应排
除
f
(x)
0 ，因为
f
(x)
作为分母。所以
g(x) 0,
3 4
故
y
1,1
3
f (x)max f (x)min
f (1) f (n)
3n 3m
，无解
④若
，则
f f
( x) max ( x) min
函数值域的常见求法8大题型(解析版)
函数值域的求法8大题型命题趋势函数的值域是函数概念中三要素之一，是高考中的必考内容，具有较强的综合性，贯穿整个高中数学的始终。
在高考试卷中的形式千变万化，但万变不离其宗，真正实现了常考常新的考试要求，考生在复习过程中首先要掌握一些简单函数的值域求解的基本方法，其次要多看多练在其他板块中涉及值域类型的内容。
满分技巧一、求函数值域的常见方法1.直接法：对于简单函数的值域问题，可通过基本初等函数的图象、性质直接求解；2.逐层法：求f 1(f 2⋯f n (x ))型复合函数的值域，利用一些基本初等函数的值域，从内向外逐层求函数的值域；3.配方法：配方法是二次型函数值域的基本方法，即形如“y =ax x +bx +c (a ≠0)”或“y =a [f (x )]2+bf (x )+c (a ≠0)”的函数均可用配方法求值域；4.换元法：利用换元法将函数转化为易求值域的函数，常用的换元有(1)y =ax +b cx +d或y =cx +dax +b 的结构，可用“cx +d =t ”换元；(2)y =ax +b ±cx +d (a ,b ,c ,d 均为常数，a ≠0,c ≠0)，可用“cx +d =t ”换元；(3)y =bx ±a 2-x 2型的函数，可用“x =a cos θ(θ∈[0,π])”或“x =a sin θθ∈-π2,π2”换元；5.分离常数法：形如y =ax +b cx +d (ac ≠0)的函数，应用分离常数法求值域，即y =ax +b cx +d=ac +bc -adc 2x +d c ，然后求值域；6.基本不等式法：形如y =ax +bx(ab >0)的函数，可用基本不等式法求值域，利用基本不等式法求函数的值域时，要注意条件“一正、二定、三相等”，即利用a +b ≥2ab 求函数的值域(或最值)时，应满足三个条件：①a >0,b >0；②a +b (或ab )为定值；③取等号的条件为a =b ，三个条件缺一不可；7.函数单调性法：确定函数在定义域上的单调性，根据函数单调性求出函数值域(或最值)(1)形如y =ax +b -cx +d (ac <0)的函数可用函数单调性求值域；(2)形如y =ax +bx的函数，当ab >0时，若利用基本不等式等号不能成立时，可考虑利用对勾函数求解；公众号：高中数学最新试题当ab <0时，y =ax +bx在(-∞,0)和(0,+∞)上为单调函数，可直接利用单调性求解。
高考数学重难点第9讲 函数的定义域、解析式与值域8大题型(原卷版及答案)新高考用)(全国通用)
重难点第9讲函数定义域、解析式与值域8大题型——每天30分钟7天掌握函数定义域、解析式与值域8大题型【命题趋势】函数的定义域、解析式与值域问题是高考数学的必考内容。
函数问题定义域优先，在解答函数问题时切记要先考虑定义域；函数解析式在高考中较少单独考查，多在解答题中出现；函数的值域在整个高考范畴应用的非常广泛，例如恒成立问题、有解问题、数形结合问题；基本不等式及“耐克函数”、“瘦腰函数”模型；数列的最大项、最小项；向量与复数的四则运算及模的最值；向量与复数的几何意义的最值；解析几何的函数性研究问题等；都需要转化为求最值问题。
在复习过程中，在熟练掌握基本的解题方法的同时，要多加训练综合性题目。
第1天认真研究满分技巧及思考热点题型【满分技巧】一、求函数的定义域的依据函数的定义域是指使函数有意义的自变量的取值范围1、分式的分母不能为零.2、偶次方根的被开方数的被开方数必须大于等于零，(2,)n k k N *=∈其中中0,x ≥(21,)n k k N *=+∈其中中.3、零次幂的底数不能为零，即0x 中0x ≠.4、如果函数是一些简单函数通过四则运算复合而成的，那么它的定义域是各个简单简单函数定义域的交集。
【注意】定义域用集合或区间表示，若用区间表示熟记，不能用“或”连接，而应用并集符号“∪”连接。
二、抽象函数及定义域求法1、已知)(x f 的定义域为A ，求))((x g f 的定义域，其实质是)(x g 的取值范围为A ，求x 的取值范围;2、已知))((x g f 的定义域为B ，求)(x f 的定义域，其实质是已知))((x g f 中的x 的取值范围为B ，求)(x g 的范围（值域），此范围就是)(x f 的定义域.3、已知))((x g f 的定义域，求))((x h f 的定义域，要先按（2）求出)(x f 的定义域.三、函数解析式的四种求法1、待定系数法：若已知函数的类型（如一次函数、二次函数等），可用待定系数法．（1）确定所有函数问题含待定系数的一般解析式；（2）根据恒等条件，列出一组含有待定系数的方程；（3）解方程或消去待定系数，从而使问题得到解决。
分离常数法
分离常数法分离常数法是微分方程的一种常用解法之一，适用于一阶线性常微分方程。
它的核心思想是将方程中的变量和常数项分成两部分，从而使原方程转化成两个可分离变量的方程，进而求解出方程的解析解。
分离常数法的基本步骤如下：1. 将所给的一阶线性常微分方程写成标准形式：dy/dx = f(x)g(y)，其中f(x)和g(y)为函数。
2. 将方程两端同时乘以g(y)，并且将变量y的所有项移到方程的一边，变成dy/g(y) = f(x)dx。
3. 对上述等式两边同时积分，得到∫dy/g(y) = ∫f(x)dx。
4. 对所得的积分进行求解，得到一个含有常数C的方程。
5. 根据初始条件，将常数C确定下来，得到原方程的特解。
下面通过一个具体的例子来说明分离常数法的应用。
例题：求解一阶线性常微分方程dy/dx = x^2 - y^2。
解法：首先将方程整理为标准形式：dy/dx = (x^2 - y^2)将方程两端同时乘以1/(x^2 - y^2)，并将变量y的项移到方程的一边，得到：dy/(x^2 - y^2) = dx对上述等式两边同时积分，得到：∫dy/(x^2 - y^2) = ∫dx对左侧的积分进行处理，可以通过部分分式分解的方法将其分解为：1/2 [∫(1/(x - y) + 1/(x + y))dy]对分解后的两个分式进行分别求积分，得到：1/2 [ln|x - y| - ln|x + y|] + C1 = x + C2其中C1和C2为常数。
整理上述方程，得到：ln|x - y| - ln|x + y| = 2(x + C2)再利用对数性质，将上述方程进一步简化为：ln(|(x - y)/(x + y)|) = 2(x + C2)再利用指数函数的性质，得到：|(x - y)/(x + y)| = e^(2(x + C2))考虑到e^(2C2)为一个正常数，上述方程可以再次简化为：(x - y)/(x + y) = Ce^(2x)其中C = e^(2C2)为常数。
(分离常数法与分离参数法)
分离常数法与分离参数法分离常数法是研究分式函数的一种代数变形的常用方法，主要的分式函数有ax by cx d +=+，22ax bx c y mx nx p++=++，x x m a n y p a q⋅+=⋅+，sin sin m x n y p x q ⋅+=⋅+ 等.解题的关键是通过恒等变形从分式函数中分离出常数. 1.用分离常数法求分式函数的值域 例1 求函数31()(1)2x f x x x +=≤-的值域.解 由已知有3[(2)2]1()2x f x x -++=-3(2)77322x x x -+==+--. 由1x ≤，得21x -≤-.∴1102x -≤<-.∴函数()f x 的值域为{|43}y R y ∈-≤<. 2.用分离常数法判断分式函数的单调性 例2 已知函数()()x af x a b x b+=≠+，判断函数()f x 的单调性.解 由已知有()1x b a b a b y x bx b++--==+++，x b ≠-.所以，当0a b ->时，函数()f x 在(,)b -∞-和(,)b -+∞上是减函数；当0a b -<时，函数()f x 在(,)b -∞-和(,)b -+∞上是增函数.3.用分离常数法求分式函数的最值 例3 设1x >-，求函数2710()1x x f x x ++=+的最小值.解 ∵1x >-，∴10x +>.由已知有2[(1)1]7[(1)1]10()1x x f x x +-++-+=+2(1)5(1)41x x x ++++=+4[(1)]51x x =++++59≥=.当且仅当411x x +=+，即1x =时，等号成立.∴当1x =时，()f x 取得最小值9. 分离参数法分离参数法是求参数的取值范围的一种常用方法，通过分离参数，用函数观点讨论主变量的变化情况，由此我们可以确定参数的变化范围.这种方法可以避免分类讨论的麻烦，从而使问题得以顺利解决.分离参数法在解决有关不等式恒成立、不等式有解、函数有零点、函数单调性中参数的取值范围问题时经常用到. 解题的关键是分离出参数之后将原问题转化为求函数的最值或值域问题. 1.用分离参数法解决函数有零点问题例4 已知函数2()4g x x ax =-+在[2,4]上有零点，求a 的取值范围.解 ∵函数2()4g x x ax =-+在[2,4]上有零点，∴方程240x ax -+=在[2,4]上有实根，即方程4a x x=+在[2,4]上有实根. 令4()f x x x=+，则a 的取值范围等于函数()f x 在[2,4]上的值域. 又224(2)(2)()10x x f x x x+-'=-=≥在[2,4]x ∈上恒成立，∴()f x 在[2,4]上是增函数. ∴(2)()(4)f f x f ≤≤，即4()5f x ≤≤.∴45a ≤≤.2.用分离参数法解决函数单调性问题例5 已知x a ax x x f 222)(2-+=在[1,)+∞上是单调递增函数，求a 的取值范围.解 ∵()2a af x x x =-+，∴2()1a f x x '=+.又)(x f 在[1,)+∞上是单调递增函数，∴0)(≥'x f .于是可得不等式2x a -≥对于1x ≥恒成立.∴2max ()a x ≥-.由1x ≥，得21x -≤-.∴1-≥a . 3.用分离参数法解决不等式恒成立问题例6 已知不等式2210mx x m --+<对满足22m -≤≤的所有m 都成立，求x 的取值范围. 解 原不等式可化为2(1)210x m x --+<，此不等式对22m -≤≤恒成立. 构造函数2()(1)21f m x m x =--+，22m -≤≤，其图像是一条线段.根据题意有22(2)2(1)210(2)2(1)210f x x f x x ⎧-=---+<⎪⎨=--+<⎪⎩，即2222302210x x x x ⎧+->⎪⎨--<⎪⎩.x <4.用分离参数法解决不等式有解问题例7 如果关于x 的不等式34210x x a -+--+<的解集不是空集，求参数a 的取值范围. 解 原不等式可化为3421x x a -+-<-.∵原不等式的解集不是空集，∴min (34)21x x a -+-<-.又34(3)(4)1x x x x -+-≥---=，当且仅当(3)(4)0x x --≤时，等号成立，∴211a -≥，即1a ≥. 5.用分离参数法求定点的坐标例8 已知直线l ：(21)(1)740m x m y m +++--=，m R ∈，求证：直线l 恒过定点. 解 直线l 的方程可化为4(27)0x y m x y +-++-=.设直线l 恒过定点(,)M x y .由m R ∈，得40270x y x y +-=⎧⎨+-=⎩(3,1)M ⇒. ∴直线l 恒过定点(3,1).巩固练习：1、 设函数()2()log 21x f x =+的反函数为=y 1()-f x ，若关于x 的方程1()()f x m f x -=+在[1,2]上有解，则实数m 的取值范围是 2213log ,log 35⎡⎤⎢⎥⎣⎦．2、 设关于x 的方程0)5(6391=-+-+k k k x x在]2,0[内有解，求k 的取值范围.1,82⎡⎤⎢⎥⎣⎦3、 奇函数f(x)在R 上为减函数，若对任意的],1,0(∈x 不等式0)2()(2>-+-+x x f kx f 恒成立，则实数k的取值范围是 221min =+-<）（xx k4、 函数2()223f x ax x a 在[-1,1]上有零点，求a 的取值范围.显然本题看成03222=--+a x ax 在[-1,1]上有解问题，从而分离变量：]1,1[,23)12(2-∈-=-x x x a 显然0122≠-x ，从而]1,1[,12232-∈--=x x x a 有解，故而a 的范围就是函数]1,1[,12232-∈--=x x xy 的值域，从而利用换元法求出),1[]273,(+∞⋃+--∞∈a .5．若函数2()4f x x x a =--的零点个数为3，则a =_4_____。
函数专题：函数值域的6种常用求法-【题型分类归纳】
函数专题：函数值域的6种常用求法一、函数的最大（小）值1、最大值：对于函数y＝f(x)，其定义域为D，如果存在x0∈D，f(x)＝M，使得对于任意的x∈D，都有f(x)≤M，那么，我们称M是函数y＝f(x)的最大值，即当x＝x0时，f(x0)是函数y＝f(x)的最大值，记作y max＝f(x0)．2、最小值：对于函数y＝f(x)，其定义域为D，如果存在x0∈D，f(x)＝M，使得对于任意的x∈D，都有f(x)≥M，那么，我们称M是函数y＝f(x)的最小值，即当x＝x0时，f(x0)是函数y＝f(x)的最小值，记作y min＝f(x0)．3、几何意义：函数最大值对应图象中的最高点，最小值对应图象中的最低点，它们不一定只有一个．二、求函数值域的6种常用求法1、单调性法：如果一个函数为单调函数，则由定义域结合单调性可快速求出函数的最值(值域)．（1）若函数y＝f(x)在区间[a，b]上单调递增，则y max＝f(b)，y min＝f(a)．（2）若函数y＝f(x)在区间[a，b]上单调递减，则y max＝f(a)，y min＝f(b)．（3）若函数y＝f(x)有多个单调区间，那就先求出各区间上的最值，再从各区间的最值中决定出最大(小)值．函数的最大(小)值是整个值域范围内的最大(小)值．2、图象法：作出函数的图象，通过观察曲线所覆盖函数值的区域确定值域，以下函数常会考虑进行数形结合．（1）分段函数：尽管分段函数可以通过求出每段解析式的范围再取并集的方式解得值域，但对于一些便于作图的分段函数，数形结合也可很方便的计算值域．（2）()f x的函数值为多个函数中函数值的最大值或最小值，此时需将多个函数作于同一坐标系中，然后确定靠下(或靠上)的部分为该()f x函数的图象，从而利用图象求得函数的值域．3、配方法：主要用于二次函数或可化为二次函数的函数，要特别注意自变量的取值范围.4、换元法：换元法是将函数解析式中关于x 的部分表达式视为一个整体，并用新元t 代替，将解析式化归为熟悉的函数，进而解出最值(值域)．（1）在换元的过程中，因为最后是要用新元解决值域，所以一旦换元，后面紧跟新元的取值范围． （2）换元的作用有两个：①通过换元可将函数解析式简化，例如当解析式中含有根式时，通过将根式视为一个整体，换元后即可“消灭”根式，达到简化解析式的目的．②可将不熟悉的函数转化为会求值域的函数进行处理 5、分离常数法：主要用于含有一次的分式函数，形如+=+ax b y cx d或2++=+ax bx e y cx d （a ，c 至少有一个不为零）的函数，求其值域可用此法以+=+ax by cx d为例，解题步骤如下： 第一步，用分子配凑出分母的形式，将函数变形成=++a ey c cx d的形式， 第二步，求出函数=+e y cx d 在定义域范围内的值域，进而求出+=+ax by cx d的值域。
分离常数法
分离常数法
李雨
【期刊名称】《数理天地:初中版》
【年(卷),期】2022()11
【摘要】在求解一些较为复杂的分式或“反比例型函数”等数学问题时,常运用下面的变形技巧:ax+b/cx+b=a/c(cx+d)-ad/c+b/cx+d=a/c+b-
ad/c/cx+d(c≠0,d≠0),这一变形技巧我们称为“分离常数法”.利用“分离常数法”可以将分式问题或“反比例型函数”问题转化,从而较容易地解决问题.
【总页数】2页(P17-18)
【作者】李雨
【作者单位】山东省青岛西海岸新区辛安初级中学
【正文语种】中文
【中图分类】G634.6
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法
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专题01 分离变换法(解析版)
备战2022高考数学冲刺秘籍之恒成立与有解问题解法大全第一篇 专题一 分离变换法一、分离变换法：分离变换是解决方程、不等式有解，不等式恒成立最常用的方法，根据分离对象的不同可分为分离常数法、分离整式法、分离参数法及分离函数法。
二、方法详解 （一）分离常数法分离常数法是研究分式形式函数的一种代数变形的常用方法，主要的分式函数有ax b y cx d+=+，22ax bx cy mx nx p ++=++，x x m a ny p a q⋅+=⋅+，sin sin m x n y p x q ⋅+=⋅+ 等.解题的关键是通过恒等变形从分式函数中分离出常数. 【例】已知a >0，设函数f (x )＝2 018x ＋1＋2 0162 018x ＋1(x ∈[－a ，a ])的最大值为M ，最小值为N ，那么M ＋N ＝( ) A ．2 016B ．2 018C ．4 032D ．4 034【解析】由题意得f (x )＝2 018x ＋1＋2 0162 018x ＋1＝201820182018220181x x⨯+-+=2 018－22 018x ＋1。
因为y ＝2 018x ＋1在[－a ，a ]上是单调递增的，所以f (x )＝2 018－22 018x ＋1在[－a ，a ]上是单调递增的，所以M ＝f (a )，N ＝f (－a )，所以M ＋N ＝f (a )＋f (－a )＝4 036－22 018a ＋1－22 018－a ＋1＝4 034。
故选D 。
【例】若对任意实数x 恒有222231x a a x +<<+，求实数a 的取值范围.【分析】从22231x x ++中分离出2，使分子为常数，便于求范围。
【解析】因为222231211x x x +=+++，由2221100122311x x x ≥⇒<≤⇒<+≤++，所以223a a ≤⎧⎨>⎩，2a a <<≤。
分离常数法与分离参数法
分离常数法与分离参数法一:分离常数法:是研究分式函数的一种代数变形的常用方法：主要的分式函数有22sin ;;;sin x x ax b ax bx c ma n m x n y y y y pa q cx d p x q mx nx p+++++====+++++等。
解题的关键是通过恒等变形从分式函数中分离出常数.1）用分离常数法求分式函数的值域例1：求函数31()2x f x x +=-(1)x ≤的值域 解：由已知有()()32213277()3.222x x f x x x x ⎡⎤⎣⎦-++-+===+---。
由1x ≤，得 21x -≤-。
所以1102x -≤<-。
故函数f(x)的值域为{}:43y x -≤<. 2)用分离常数法判断分式函数的单调性例2：已知函数f(x)= (),x a a b x b+≠+,判断函数f(x)的单调性。
解：由已知有f(x) =()1,x b a b a b x b x b x b++--=+≠++.所以，当0a b ->时，函数f(x)在(,)b -∞-和(,)b -+∞上是减函数；当a -b<0时，函数f(x)在(,)b -∞-和(,)b -+∞上是增函数。
3)用分离常数法求分式函数的最值例3：设x>-1,求函数f(x)= 27101x x x +++的最小值。
解：因为x>-1,所以x+1>(x)= ()()211711101x x x +-++-+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦+ ()()215141x x x ++++=+4(1)51x x =++++4(1)51x x =++++当且仅当, 411x x +=+，即x=1时，等号成立。
所以当x=1时，f(x)取得最小值9.二：分离参数法分离参数法是求参数的最值范围的一种方法。
通过分离参数，用函数的观点讨论主变元的变化情况，由此我们可以确定参数的变化范围。
这种方法可以避免分类讨论的麻烦，从而使问题得以顺利解决。
方法总结-分离常数法与分离参数法
分离常数法与分离参数法分离常数法是研究分式函数的一种代数变形的常用方法，主要的分式函数有ax b y cx d +=+，22ax bx c y mx nx p ++=++，x x m a n y p a q ⋅+=⋅+，sin sin m x n y p x q⋅+=⋅+ 等.解题的关键是通过恒等变形从分式函数中分离出常数.1.用分离常数法求分式函数的值域例1 求函数31()(1)2x f x x x +=≤-的值域. 解 由已知有3[(2)2]1()2x f x x -++=-3(2)77322x x x -+==+--. 由1x ≤，得21x -≤-.∴1102x -≤<-.∴函数()f x 的值域为{|43}y R y ∈-≤<.2.用分离常数法判断分式函数的单调性例2 已知函数()()x a f x a b x b+=≠+，判断函数()f x 的单调性. 解 由已知有()1x b a b a b y x b x b++--==+++，x b ≠-. 所以，当0a b ->时，函数()f x 在(,)b -∞-和(,)b -+∞上是减函数；当0a b -<时，函数()f x 在(,)b -∞-和(,)b -+∞上是增函数.3.用分离常数法求分式函数的最值例3 设1x >-，求函数2710()1x x f x x ++=+的最小值. 解 ∵1x >-，∴10x +>. 由已知有2[(1)1]7[(1)1]10()1x x f x x +-++-+=+2(1)5(1)41x x x ++++=+4[(1)]51x x =++++59≥=.当且仅当411x x +=+，即1x =时，等号成立. ∴当1x =时，()f x 取得最小值9.分离参数法分离参数法是求参数的取值范围的一种常用方法，通过分离参数，用函数观点讨论主变量的变化情况，由此我们可以确定参数的变化范围.这种方法可以避免分类讨论的麻烦，从而使问题得以顺利解决.分离参数法在解决有关不等式恒成立、不等式有解、函数有零点、函数单调性中参数的取值范围问题时经常用到. 解题的关键是分离出参数之后将原问题转化为求函数的最值或值域问题.1.用分离参数法解决函数有零点问题例4 已知函数2()4g x x ax =-+在[2,4]上有零点，求a 的取值范围.解 ∵函数2()4g x x ax =-+在[2,4]上有零点，∴方程240x ax -+=在[2,4]上有实根，即方程4a x x=+在[2,4]上有实根. 令4()f x x x=+，则a 的取值范围等于函数()f x 在[2,4]上的值域. 又224(2)(2)()10x x f x x x +-'=-=≥在[2,4]x ∈上恒成立，∴()f x 在[2,4]上是增函数.∴(2)()(4)f f x f ≤≤，即4()5f x ≤≤.∴45a ≤≤.2.用分离参数法解决函数单调性问题例5 已知xa ax x x f 222)(2-+=在[1,)+∞上是单调递增函数，求a 的取值范围. 解 ∵()2a a f x x x =-+，∴2()1af x x'=+. 又)(x f 在[1,)+∞上是单调递增函数，∴0)(≥'x f .于是可得不等式2x a -≥对于1x ≥恒成立.∴2max ()a x ≥-.由1x ≥，得21x -≤-.∴1-≥a .3.用分离参数法解决不等式恒成立问题例6 已知不等式2210mx x m --+<对满足22m -≤≤的所有m 都成立，求x 的取值范围.解 原不等式可化为2(1)210x m x --+<，此不等式对22m -≤≤恒成立. 构造函数2()(1)21f m x m x =--+，22m -≤≤，其图像是一条线段.根据题意有22(2)2(1)210(2)2(1)210f x x f x x ⎧-=---+<⎪⎨=--+<⎪⎩，即2222302210x x x x ⎧+->⎪⎨--<⎪⎩.解得x <4.用分离参数法解决不等式有解问题例7 如果关于x 的不等式34210x x a -+--+<的解集不是空集，求参数a 的取值范围.解 原不等式可化为3421x x a -+-<-. ∵原不等式的解集不是空集，∴min (34)21x x a -+-<-. 又34(3)(4)1x x x x -+-≥---=，当且仅当(3)(4)0x x --≤时，等号成立，∴211a -≥，即1a ≥.5.用分离参数法求定点的坐标例8 已知直线l ：(21)(1)740m x m y m +++--=，m R ∈，求证：直线l 恒过定点.解 直线l 的方程可化为4(27)0x y m x y +-++-=.设直线l 恒过定点(,)M x y .由m R ∈，得40270x y x y +-=⎧⎨+-=⎩(3,1)M ⇒. ∴直线l 恒过定点(3,1).。
分离常数法和分离参数法的应用
分离常数法和分离参数法的应用一、分离常数法（Method of Separation of Constants）：分离常数法是一种用于求解可分离变量的微分方程的方法，通过将方程中包含未知函数的部分与不包含未知函数的部分分离开来进行求解。
而在求解积分问题时，我们可以将分离常数法应用到具有形式为f(x)dx形式的积分中。
具体的步骤如下：1.结合使用分部积分法和分离变量法；2.对被积函数进行化简，找到可以通过分离常数的方式进行拆分的部分；3.将被积函数拆分为可分离的部分，每个部分中只包含未知函数一次；4.对各个拆分得到的部分进行积分，加上一个常数项，得到每个部分的原函数；5.再将各个部分相加，得到原方程的解。
例如，对于形如∫f(x)dx的积分问题，我们可以通过拆分f(x)为可分离的部分来进行计算。
比如，对于∫(2x+3)dx，我们可以将其拆分为∫2xdx+∫3dx，然后分别进行积分得到x^2+3x+C1+C2，其中C1和C2为常数。
二、分离参数法（Method of Separation of Parameters）：分离参数法是一种将参数从被积函数中分离出来的方法，通过将被积函数表示成两个乘积之和的形式，其中一个乘积只依赖于未知函数，而另一个乘积只依赖于参数，进而将积分问题化简。
具体的步骤如下：1.将被积函数表示为两个乘积之和的形式，其中一个乘积只依赖于未知函数，而另一个乘积只依赖于参数；2.将积分问题化简为两个可分离变量的积分问题；3.分别对两个可分离变量的积分问题进行求解；4.将两个积分问题的解相乘，得到原积分问题的解。
例如，对于形如∫f(x,a)dx的积分问题，我们可以通过将被积函数表示为f(x,a) = g(x)h(a)的形式进行计算。
比如，对于∫(x+a)dx，我们可以将其分解为∫xdx+∫adx，然后分别进行积分得到0.5x^2+ax+C1+C2，其中C1和C2为常数。
无论是分离常数法还是分离参数法，它们都是常用的求解定积分的方法。
函数问题中分离参数求参数范围的策略
函数问题中分离参数求参数范围的策略摘要：在近年的高考试题中，导数的应用一直是常考、常热、常难的内容。
特别在这类函数问题的解决中，经常会遇到诸如指数函数、对数函数等比较复杂的函数与较为简单的函数（如一次函数、二次函数等）的和或商等，在某个不等式恒成立的情况下，求参数范围的问题。
对这类问题的解决，也有不同的方法和技巧，在解决的过程中好的方法和技巧会使解题变得简单易行。
本文就探讨函数问题中分离参数求参数范围的策略。
关键词：函数问题参数范围策略对于函数问题中求参数范围问题的解决，大体有以下三种方法：分离常数法或分离参数法、分离函数法、利用函数的单调性、极值及其最值的方法。
下边仅对分离常数（参数）法进行说明。
一、在给定区间上，含参数的不等式恒成立或有解的条件依据例1：（2010年，福建师大附中20）已知函数f(x)=xlnx。
（1）求函数f(x)的最小值。
（2）若对所有的x≥1都有f(x)≥ax-1，求实数a的取值范围。
解：该题的解决采用的是直接分离常数（1）略。
（2）依题意，得f(x)≥ax-1在x∈[1,+∞）上恒成立。
即a≤lnx+对于x∈[1,+∞）恒成立，令g(x)=lnx+,则g′(x) =-=(1-)。
当x≥1时，因为g′(x) =(1-)≥0，所以g(x)在x∈[1,+∞）内是增函数。
所以g(x)min=g（1）=1，所以a∈(-∞，1]。
例2：已知二次函数f(x)=ax2+bx+c，满足f(0)=f(1)=0，且f(x)的最小值是-。
（1）求f(x)的解析式。
（2）对任意正数x，恒有f(x)+f()≥(x+)lnm，求实数m 的取值范围。
解：本例的第二问是对含参数的式子lnm进行分离。
（1）略， f(x)=x2+x。
（2）由（1）知，f(x)+f()=x2-x+-=(x+)2-2-(x+)，不等式f(x)+f()≥(x+)lnm①，可化为(x+)2-2-(x+)≥(x+)lnm。
因为x>0所以x+≥2（当且仅当x=1时取“=”），设x+=t(t≥2)，不等式①可化为t2-2-t≥t·lnm,lnm≤t--1②对于t≥2恒成立。
分离常数参数法-高考理科数学解题方法讲义
（2）设，求使对任意恒成立的实数的取值范
围．
【答案】（1）；（2）.
【解析】
（1）因为，所以
所以当时，，
又，满足上式，
所以数列的通项公式
（2）
由对任意恒成立，即使对恒成立
设，则当或时，取得最小值为，所以.
2.2 求定点的坐标
例7.已知直线：，，求证：直线恒过定点.
【答案】.
【反思提升】综合上面的例题，我们可以看到，分离参（常）数是通过将两个变量构成的不等式(方程)变形到不等号(等号)两端，使两端变量各自相同,解决有关不等式恒成立、不等式存在（有）解和方程有解中参数取值范围的一种方法.两个变量，其中一个范围已知，另一个范围未知，解决问题的关键是分离变量之后将问题转化为求函数的最值或值域的问题.分离变量后，对于不同问题我们有不同的理论依据需遵循.
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得 ，
∴函数 在 上单调递增，
又 ，
∴ ，
∴ ．
∴函数 的值域为 ．
（Ⅲ）当 时， ．
由题意得 在 时恒成立，
∴ 在 时恒成立．
令 ，
则有 ，
∵范围为 ．
例2.一种作图工具如图1所示． 是滑槽 的中点，短杆 可绕 转动，长杆 通过 处铰链与 连接， 上的栓子 可沿滑槽AB滑动，且 ， ．当栓子 在滑槽AB内作往复运动时，带动 绕 转动一周（ 不动时， 也不动）， 处的笔尖画出的曲线记为 ．以 为原点， 所在的直线为 轴建立如图2所示的平面直角坐标系．
例1.已知函数 （ 且 ）是定义在 上的奇函数.
（Ⅰ）求 的值；
（Ⅱ）求函数 的值域；
（Ⅲ）当 时， 恒成立，求实数 的取值范围.
【答案】(Ⅰ) ；(Ⅱ) ；(Ⅲ) .
分离常数法和分离参数法的应用
分离常数法和分离参数法的应用分离常数法是一种用于求解一阶常微分方程的方法。
它适用于形如dy/dx = f(x)g(y)的一阶常微分方程，其中f(x)和g(y)是关于x和y的函数。
分离常数法的基本思路是将方程中的dy和dx分开，然后将变量分离，使得方程两边只包含x或y中的一个变量。
具体步骤如下：1. 将方程表示为f(y)dy = g(x)dx的形式。
2. 对方程两边积分，得到∫f(y)dy = ∫g(x)dx。
3. 分别求解∫f(y)dy和∫g(x)dx，得到F(y)和G(x)。
4.利用等式F(y)=G(x)表示关系式，进一步求解y的表达式。
5.将得到的y的表达式代入原方程，求解出x的表达式。
分离参数法是一种用于求解二阶常微分方程的方法。
它适用于形如d²y/dx² = f(x)g(y)的二阶常微分方程，其中f(x)和g(y)是关于x和y 的函数。
分离参数法的基本思路是将二阶常微分方程化为两个一阶常微分方程，然后利用分离常数法求解得到两个方程的通解，最后再根据边界条件确定常数。
具体步骤如下：1. 将二阶常微分方程表示为dy/dx = f(x)g(y)的形式。
2. 令dy/dx = p，则d²y/dx² = dp/dx。
3. 将dp/dx = f(x)g(y)代入d²y/dx² = dp/dx，得到dp =f(x)g(y)dx。
4. 将dp/f(y) = g(y)dx两边积分，得到∫dp/f(y) = ∫g(y)dx。
5. 分别求解∫dp/f(y)和∫g(y)dx，得到P(p, y)和X(x)。
6.利用等式P(p,y)=X(x)表示关系式，进一步求解y的表达式。
7.将得到的y的表达式代入原方程，求解出x的表达式。
分离常数法和分离参数法的应用广泛。
它们可以用于求解各种形式的常微分方程，例如指数函数、三角函数、对数函数等。
在物理学、工程学、经济学以及其他领域中，常微分方程是描述自然、社会和经济现象的基本工具。
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分离常数法与分离参数法
一:分离常数法:
是研究分式函数的一种代数变形的常用方法：主要的分式函数有
22sin ;;;sin x x ax b ax bx c ma n m x n y y y y pa q cx d p x q mx nx p
+++++====+++++等。
解题的关键是通过恒等变形从分式函数中分离出常数.
1）用分离常数法求分式函数的值域
例1：求函数31()2
x f x x +=-(1)x ≤的值域 解：由已知有()()32213277()3.222x x f x x x x ⎡⎤⎣⎦
-++-+=
==+---。
由1x ≤，得 21x -≤-。
所以1102
x -≤
<-。
故函数f(x)的值域为{}:43y x -≤<. 2)用分离常数法判断分式函数的单调性
例2：已知函数f(x)=
(),x a a b x b
+≠+,判断函数f(x)的单调性。
解：由已知有f(x) =()1,x b a b a b x b x b x b
++--=+≠++.所以，当0a b ->时，函数f(x)在(,)b -∞-和(,)b -+∞上是减函数；当a -b<0时，函数f(x)在(,)b -∞-和(,)b -+∞上是增函数。
3)用分离常数法求分式函数的最值
例3：设x>-1,求函数f(x)= 27101
x x x +++的最小值。
解：因为x>-1,所以x+1>0.f(x)= ()()2
11711101x x x +-++-+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦+
()()21514
1x x x ++++=+4(1)51x x =++++4(1)51x x =++++当且仅当, 411
x x +=+，即x=1时，等号成立。
所以当x=1时，f(x)取得最小值9.
二：分离参数法
分离参数法是求参数的最值范围的一种方法。
通过分离参数，用函数的观点讨论主变元的变化情况，由此我们可以确定参数的变化范围。
这种方法可以避免分类讨论的麻烦，从而使问题得以顺利解决。
分离参数法在解决不等式恒成立、不等式有解、函数有零点、函数的单调性中参数的取值范围问题时经常用到。
解题的关键是分离出参数后将原问题转化为求函数的最值或值域问题。
1. 用分离参数法解决函数有零点的问题
例4：已知函数g(x)=
24ax x -+,在[]2,4上有零点，求a 的取值范围 解：因为函数g(x)=
24ax x -+在[]2,4上有零点，所以方程24ax x -+=0在[]2,4上有实根，即方程4a x x =+在[]2,4上有实根，令4()f x x x
=+，则a 的取值范围等价于函数f(x)在[]2,4上的值域。
又()()22
224'()10x x f x x x +-=-=≥在[]2,4上恒成立，所以f(x)在[]2,4上是增函数。
所以 (2)()(4),f f x f ≤≤即4()5f x ≤≤所以45a ≤≤
2. 用分离参数法解决不等式恒成立问题
例5已知不等式2210mx x m --+<对满足22m -≤≤的所有m 都成立，求x 的取值范围。
解：原不等式可以化为2
(1)210x m x --+<，此不等式对22m -≤≤恒成立。
构造函数2()(1)21f m x m x =--+，22m -≤≤，其图像是一条线段。
于是有{2(2)2(1)210},f x x -=---+<和2(2)2(1)210f x x =--+<即
22230x x +->，｜｜｜｜且22210,x x --<解得
1122x -++<< 3．用分离参数法解决函数的单调性问题
例6已知2222()x ax a x
f x +-=在[)1,+∞上是单调增函数，求a 的取值范围。
解：由2()a a x f x x +=-所以2'()1a f x x
=+又f(x)在 [)1,+∞上是增函数,所以'()0f x ≥,于是可得不等式2a x ≥-,对于1x ≥,恒成立。
所以2max (),a x ≥-由1x ≥得21x -≤-。
所以1a ≥-。
4.用分离参数法解决不等式有解的问题
例7：如果关于x 的不等式。
｜x-3｜+｜x-4｜-2a+1<0的解集不是空集，求参数a 的范围。
解：原不等式可转化为｜x-3｜+｜x-4｜<2a-1.又原不等式的解集不是空集，所以（｜x-3｜+｜x-4｜）的最小值小于2a-1.又 ｜x-3｜+｜x-4｜≥｜（x-3）-（x-4）｜=1.且当(x-3)(x-4) ≤0时取等号，所以2a-1>1,即a>1。