随机微分方程的适定性及微分方程参数的贝叶斯估计方法
几类随机微分方程的参数估计问题
几类随机微分方程的参数估计问题《几类随机微分方程的参数估计问题》一、引言随机微分方程是描述系统随机演化的数学模型，它在金融、生物学、物理学等领域有着广泛的应用。
而参数估计则是通过对模型中的参数进行估计，以使模型更准确地描述实际系统的过程。
本文将围绕几类随机微分方程的参数估计问题展开讨论，并探讨不同类型的参数估计方法。
二、布朗运动下的参数估计布朗运动是一种最简单的随机微分方程模型，它描述了微观粒子在流体中的随机运动。
在布朗运动模型中，参数估计的问题主要集中在漂移项和扩散项的参数估计上。
针对漂移项参数的估计，一般可以通过极大似然估计或贝叶斯估计来实现；而对于扩散项参数的估计，则需要使用波动率的估计方法，例如条件异方差模型等。
三、随机波动率模型的参数估计随机波动率模型是在布朗运动模型的基础上引入了波动率随机性的扩展，常用于金融领域对股票等资产价格的建模。
在随机波动率模型中，参数估计的问题相对复杂，需要涉及到漂移项、扩散项和波动率项的估计。
针对波动率的参数估计尤为重要，常用的方法有GARCH模型、随机波动率模型等，通过这些模型可以对股票价格的波动率进行比较准确的估计。
四、随机微分方程组的参数估计随机微分方程组描述了多个随机变量之间的相互作用，它在经济学、生态学等领域具有重要的应用。
在随机微分方程组的参数估计中，需要考虑多个参数同时估计的问题，这就需要借助联合估计的方法来实现。
常用的方法有极大似然估计、贝叶斯估计等，通过这些方法可以较好地估计多个参数，并且考虑到了参数之间的相互关系。
五、总结与展望在本文中，我们讨论了几类随机微分方程的参数估计问题，并介绍了不同类型的参数估计方法。
通过对布朗运动、随机波动率模型和随机微分方程组的参数估计，我们可以看到参数估计在不同模型中的重要性和复杂性。
未来，随机微分方程的参数估计问题还有待进一步研究，尤其是在多维随机微分方程、非线性随机微分方程等方面的参数估计方法仍有待深入探讨。
贝叶斯估计方法
4.3 Bayes推理的推理公式
Bayes推理的基本原理是：给定一个前面的似然估计后，若又 增加一个证据（测量），则可以对前面的似然估计加以更新。 也就是说，随着测量值的到来，可以将给定假设的先验密度 更新为后验密度。 假设A1，A2，...，An表示n个互不相容的穷举假设，B为一个 事件（或事实，观测等），Bayes公式的形式为：
)P(我
/
Aj
)
P(敌
/
Bk 1,2
)
P( Aj
/
Bk 1,2
)P(敌
/
Aj
)
P(中/
Bk 1,2
)
P( Aj
/
Bk 1,2
)P(中/
Aj
)
可以类似用来计算某些机型（大轰炸机、战斗机、小轰炸机、
民用机型）的后验概率，如
M
P(战斗机
/
Bk 1, 2
)
P( Aj
/
Bk 1, 2
)P(战斗机
/
Aj
)
j 1
12
4.7 Bayes推理的缺点
直接使用概率计算公式有两个困难：
(1) 一个证据 A 的概率是在大量统计数据的基础上得出的， 当所处理的问题比较复杂时，需要非常大的统计量，这使得 定义先验似然函数非常困难；
(2) Bayes 推理要求各证据之间是不相容或相互独立的， 因此若存在多个可能假设和多条件相关事件时，计算复杂性 大大增加。
问题：假定有一个新病人，化验结果为正，是否应将病人断 定为有癌症？求后验概率P(cancer|+)和P(normal|-)
5
Bayes推理应用实例(续)
因此极大后验假设计算如下: P(+|cancer)P(cancer)=0.00784 P(+|normal)P(normal)=0.02976 P(canner|+)=0.00784/(0.00784+0.02976)=0.21 P(-|cancer)P(cancer)=0.00016 P(-|normal)P(normal)=0.96224 P(normal|-)= 0.96224 /(0.00016 +
贝叶斯估计法
贝叶斯估计法贝叶斯估计法是统计学中常用的一种方法，它是基于贝叶斯定理的推论而来的，可以用于估计一个未知参数的值。
其核心思想是先假设一个先验分布，然后根据已知的样本数据和假设的先验分布，通过贝叶斯定理计算后验分布，最终得到对未知参数的估计。
在使用贝叶斯估计法时，我们需要首先定义以下概念：先验分布：指在未观测到数据前，对参数的概率分布的估计。
常见的先验分布有均匀分布、正态分布等。
似然函数：指在已知参数下，给定样本的条件下所有样本出现的概率密度函数，是样本数据给出参数信息的度量。
后验分布：指在已知数据后，对参数的概率分布的估计。
它是在先验分布和似然函数的基础上，通过贝叶斯公式计算得到的。
在实际数据分析中，我们需要对先验分布做出适当的假设，通过先验分布的假设来反映我们对参数的先验认知。
然后根据已知数据和似然函数，计算出参数的后验分布，并用其来估计未知参数。
贝叶斯估计法与点估计法的区别贝叶斯估计法与点估计法是统计学中常用的两种估计方法，它们之间的区别在于：点估计法：通常是求得一个能代表总体参数未知数的值作为估计，例如样本的平均数、中位数等。
点估计法估计参数时，只考虑来自样本的信息。
贝叶斯估计法：将样本和先验信息结合在一起，通过后验分布对未知参数进行估计。
在贝叶斯估计法中，我们对参数的先验知识和数据信息进行综合考虑，最终得到一个更加准确的估计值。
因此，相比于点估计法，贝叶斯估计法更加具有弹性，它不仅可以考虑已知数据的影响，还可以利用专家知识或先验信息来修正估计值，从而提高估计的准确性。
为了说明贝叶斯估计法的实际应用，我们以估计某测试设备的故障率为例进行说明。
假设我们已经收集了100个设备的测试数据，其中有5个出现故障。
我们希望用贝叶斯估计法来估计设备的故障率。
首先，我们需要对故障率做出一个先验分布的估计。
由于我们缺乏关于该设备故障率的信息，因此我们选择假设故障率服从0到1之间的均匀分布，即先验分布为P(θ)=1。
贝叶斯 参数估计 和 非参数估计
贝叶斯参数估计和非参数估计下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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贝叶斯估计
信号的参数估计一般指参数在观测时间内不随时间变化，故是静态估计。
若被估计参量是随机过程或非随机的未知过称，则称为波形估计或状态估计，波形估计或状态估计是动态估计。
3。
2贝叶斯估计贝叶斯估计是基于后验概率分布（posterior distribution)的一类估计方法，其中后验概率分布中采用了先验信息(prior information ）。
所谓先验信息，是指已知待估计参数的概率密度函数0()p θ,不管θ是随机变变量或是未知的固定常数。
而后验概率分布具有下面的形式，00()(|)(),1(|)()p c p X p c p X p d θθθθθθ*==⎰.注意两点:1，0()p θ不必满足标准化条件，即0()1p d θθ=⎰,但是0()p θ必须是非负的，并且0102()()p p θθ代表似真比（ratio of plausibility ），若0102()()1p p θθ>，则说明在1θ和2θ两个值之间我们更倾向于1θ为真值；2，()p θ*实际上就是(|)p X θ,是通过试验得到数据X 以后θ的概率密度函数,仅当()1p d θθ=⎰时有明确的含义.下面讨论中，()p θ代表0()p θ，(|)p X θ代表()p θ*。
类似于信号检测中的问题,贝叶斯估计在参数估计中对于不同的估计结果赋予了不同的代价值，然后求解平均代价最小的情况。
估计误差为θθ-，我们只关心估计误差的代价，于是代价函数()()c c θθθ-=，是估计误差的单变量函数。
典型的代价函数有三种：⑴ 平方型()2()c θθθ=-,它强调了大误差的影响 ⑵ 绝对值()c θθθ=-，给出了代价随估计误差成比例增长 ⑶ 均匀型()10c θεθεθε>⎧=⎨⎩-<<这种代价函数给出了估计误差绝对值大于某个值时，代价等于常数，而估计误差绝对值小于某个值时，代价等于零.在贝叶斯估计中，要求估计误差引起的代价的平均值最小。
参数估计公式最大似然估计贝叶斯估计矩估计
参数估计公式最大似然估计贝叶斯估计矩估计参数估计是统计学中的一个重要问题，它的目标是通过已经观测到的样本数据来估计未知参数的值。
在参数估计中，最大似然估计、贝叶斯估计和矩估计是常用的方法。
下面将分别介绍这三种估计方法及其公式。
一、最大似然估计最大似然估计是一种常用的参数估计方法，它基于样本数据的观测结果，通过寻找参数值使得观测样本出现的概率最大化来估计未知参数的值。
最大似然估计的公式如下所示：$$\hat{\theta}_{MLE} = \arg \max_{\theta} P(X|\theta)$$其中，$\hat{\theta}_{MLE}$表示最大似然估计得到的参数值，$P(X|\theta)$表示给定参数$\theta$下观测样本$X$出现的概率。
二、贝叶斯估计贝叶斯估计是另一种常用的参数估计方法，它基于贝叶斯定理，通过在先验分布和观测数据的基础上更新参数的后验分布来进行参数估计。
贝叶斯估计的公式如下所示：$$P(\theta|X) = \frac{P(X|\theta)P(\theta)}{P(X)}$$其中，$P(\theta|X)$表示给定观测样本$X$后，参数$\theta$的后验分布；$P(X|\theta)$表示给定参数$\theta$下观测样本$X$出现的概率；$P(\theta)$表示参数$\theta$的先验分布；$P(X)$表示观测样本$X$的边缘概率。
三、矩估计矩估计是一种基于样本矩的无偏估计方法，它通过样本矩与理论矩之间的差异来估计未知参数的值。
矩估计的公式如下所示：$$\hat{\theta}_{MME} = g(\overline{X}_n)$$其中，$\hat{\theta}_{MME}$表示矩估计得到的参数值，$g(\cdot)$表示由样本矩计算得到参数的函数，$\overline{X}_n$表示样本的均值。
在实际应用中，最大似然估计常用于样本量较大、参数唯一可估情况下的参数估计；贝叶斯估计常用于样本量较小、先验分布已知情况下的参数估计；矩估计常用于样本量较大、参数个数较多时的参数估计。
6.4贝叶斯估计
6.4贝叶斯估计6.4 贝叶斯估计在统计学中有两个大的学派：频率学派（经典学派）和贝叶斯学派，本书主要介绍频率学派的理论和方法，此小节将度贝叶斯学派做些介绍。
6.4.1 统计推断的基础我们在前面已经讲过，统计推断是根据样本信息对总体分布或总体的特征数进行推断。
事实上，这是经典学派对统计推断的规定，这里的统计推断使用到两种信息：总体信息和样本信息；而贝叶斯学派认为，除了上述两种信息以外，统计推断还应该使用第三种信息：先验信息。
下面我们先把三种信息加以说明。
（1）总体信息总体信息即总体分布或总体所属分布族提供的信息。
譬如，若已知“总体是正态分布”，则我们就知道很多信息。
譬如：总体的一切阶矩都存在；总体密度函数关于均值对称；总体的所有性质由其一、二阶矩决定；有许多成熟的统计推断方法可以供我们选用等。
总体信息是很重要的信息，为了获取此种信息往往耗资巨大。
比如，我国为确认国产轴承寿命分布为威布尔分布前后花了五年时间，处理了几千个数据后才定下的。
（2）样本信息样本信息即抽取样本所得观测值提供的信息。
譬如，在有了样本观测值后，我们可以根据它大概知道总体的一些特征数，如总体均值、总体方差等等在一个什么范围内。
这是最“新鲜”的信息，并且越多越好，希望通过样本对总体分布或总体的某些特征作出比较精确的统计推断。
没有样本就没有统计学而言。
（3）先验信息如果我们把抽取样本看做一次试验，则样本信息就是试验中得到的信息。
实际中，人们在试验之前对要做的问题在经验上和资料上总是有所了解的，这些信息对统计推断是有益的。
先验信息即是抽样（试验）之前有关统计问题的一些信息。
一般说来，先验信息来源于经验和历史资料。
先验信息在日常生活和工作中是很重要的。
先看一个例子。
例6.4.1 在某工厂的产品中每天要抽检n 件以确定该厂产品的质量是否满足要求。
产品质量可用不合格品率p 来度量，也可以用n 件抽查产品中的不合格品件数θ表示。
由于生产过程有连续性，可以认为每天的产品质量是有关联的，即是说，在估计现在的p 时，以前所积累的资料应该是可供使用的，这些积累的历史资料就是先验信息。
随机微分方程的几种参数估计方法
随机微分方程的几种参数估计方法蔡昕芮;王丽瑾【期刊名称】《中国科学院大学学报》【年(卷),期】2017(034)005【摘要】提出3种基于离散观测数据的随机微分方程参数估计的方法。
第1种方法应用于线性随机微分方程。
推导出这类方程的真解的相关运算服从的分布,使观测数据的运算也服从此分布,由此来估计漂移系数与扩散系数中的未知参数。
第2种方法用于Ito型随机微分方程。
推导出Euler-Maruyama格式的数值解的相关运算服从的分布,使观测数据的运算服从此分布,由此来估计参数。
第3种方法用于Stratonovich型随机微分方程。
推导出中点格式的数值解的相关运算服从的分布,使观测数据的运算服从此分布,以此来估计参数。
数值实验验证了这3种方法的有效性。
数值实验显示,Euler-Maruyama格式参数估计的误差约为O（h0.5）阶,中点格式参数估计的误差约为O（h）阶,其中h是数值方法的时间步长。
我们提出的3种估计方法均比文献中已有的EM-MLE方法更精确。
【总页数】9页(P529-537)【作者】蔡昕芮;王丽瑾【作者单位】中国科学院大学数学科学学院,北京100049【正文语种】中文【中图分类】O24【相关文献】1.随机微分方程的几种参数估计方法 [J], 蔡昕芮;王丽瑾2.几种随机微分方程数值方法与数值模拟 [J], 周迎春3.基于极大似然方法的随机微分方程参数估计 [J], 索文莉;李长国;邢炜焱4.分数布朗运动驱动的随机微分方程的参数估计问题 [J], 杨慧; 吕艳; 房永磊5.随机常微分方程的几种数值求解方法及其应用 [J], 李焕荣因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。
贝叶斯网络的参数估计技巧(八)
贝叶斯网络的参数估计技巧贝叶斯网络是一种用于建模概率关系的强大工具，它可以描述随机变量之间的依赖关系，并且可以在不同变量给定的情况下进行推断。
贝叶斯网络的参数估计是构建网络模型的重要步骤，本文将介绍一些常用的参数估计技巧。
一、最大似然估计最大似然估计是一种常用的参数估计方法，它通过最大化给定数据的似然函数来估计参数。
在贝叶斯网络中，最大似然估计通常用于估计条件概率表(CPT)中的参数。
假设我们有一个包含n个样本的数据集D，其中包含了贝叶斯网络中的所有变量，我们可以利用这些数据来估计每个节点的条件概率表。
对于离散型变量，最大似然估计可以通过简单的频率计算来实现。
例如，对于一个二值变量，我们可以计算出两个取值的频率，然后将其作为条件概率表中的参数。
对于连续型变量，最大似然估计通常假设变量服从某种特定的分布，如正态分布或指数分布，然后通过最大化似然函数来估计分布的参数。
二、贝叶斯估计贝叶斯估计是另一种常用的参数估计方法，它利用贝叶斯定理来估计参数。
贝叶斯估计通常用于处理参数较少的情况，或者在数据较少的情况下。
在贝叶斯网络中，贝叶斯估计可以通过引入先验分布来实现，这样可以更好地处理参数估计的不确定性。
对于离散型变量，贝叶斯估计可以通过引入Dirichlet分布作为先验分布来实现。
Dirichlet分布是多项分布的共轭先验，它可以很好地描述离散型变量的概率分布。
对于连续型变量，贝叶斯估计可以通过引入正态分布或者Gamma分布作为先验分布来实现。
三、期望最大化算法期望最大化(EM)算法是一种常用的参数估计方法，它可以处理包含隐变量的数据。
在贝叶斯网络中，EM算法通常用于处理包含缺失数据的情况，或者在需要估计隐变量的情况下。
EM算法的基本思想是通过交替进行E步和M步来估计参数。
在E步中，我们通过给定当前参数的估计值来估计缺失数据或者隐变量的后验分布。
在M步中，我们通过最大化完整数据的对数似然函数来更新参数的估计值。
贝叶斯估计的计算过程
贝叶斯估计的计算过程
贝叶斯估计是一种统计分析方法，用于估计随机变量的分布，其中随机变量是未知的或未观测的。
它是以概率论中的贝叶斯定理为基础的，可以用来推断在没有任何先验知识的情况下某个随机变量的分布。
从理论上讲，贝叶斯估计是基于贝叶斯定理，与最大似然估计（MLE）等其他形式估计相比，具有更大的灵活性，能够在没有任何先验知识的情况下推断随机变量的分布。
贝叶斯估计的计算过程通常有以下几个步骤：
1. 首先，需要根据观察到的样本数据来估计未知参数（随机变量的分布）的取值分布。
2. 然后，需要定义一个模型来描述未知的参数，其中通常会采用概率密度函数（PDF）或贝叶斯函数来描述不同的参数。
3. 接着，需要使用维特比算法来求解最可能的模型参数的取值。
4. 最后，需要进行调整，以获得更精确的参数估计，这通常需要使用MCMC方法。
贝叶斯估计通过上述计算过程，可以推断出未知随机变量的分布，从而为数据分析提供基础支持，在实际生活中有着广泛的应用，例如比较不同模型在训练图像上的性能，这种类型的任务通常需要贝叶斯估计来完成。
另外，在自然语言处理（NLP）领域中，贝叶斯估计的有力分析也可以用来推断单词的准确性。
因此，贝叶斯估计在实际使用中非常重要，对于精确估计和分析未知参数及其取值范围非常重要。
贝叶斯方法
第一篇：参数估计概述 1，贝叶斯理论基本介绍 2，马尔科夫蒙特卡洛模拟
第二篇相关软件介绍 1，WinBUGS 2,R and WinBUGS
一 参数估计
在频率派看来，参数是客观存在的固定 常数，统计的任务之一是估计这些参数， 包括点估计和区间估计。
贝叶斯学派认为，参数是随机变量，有 一个概率分布，贝叶斯统计主要任务就 是推断参数在给定数据下的条件分布。
后验分布，根据样本分布和未知参数的先验分 布，在样本已知条件下，求出的未知参数的条 件分布。
1，贝叶斯基本理论
贝叶斯统计中的一些问题：
先验分布的选取 后验分布的计算
1，贝叶斯基本理论
先验分布的选取 （1）客观法：即根据积累的资料对参数的 先验分布做出统计。 （2）主观概率法：包含了经验知识和理论 知识，参杂了个人对参数的了解。 （3）同等无知原则：又称bayes假定。
由样本上的某一p(*,点*) 出发，用Markov chain产生点序列 (0)
对某个m和足够大的(1n)，,..任...一.,函 (数n) 的
期望估计如下：f (x)Βιβλιοθήκη ~Enf
1
n
f ( (t) )
n m tm1
Monte Carlo模拟
常用的MCMC方法
※ Gibbs抽样 ※ Metropolis-Hastings 抽样
vV
v-所有变量的集合，v是其中一个元素，pa(v)-v附近节点
在WinBUGS的模型中，需要描述变量系统 的所有条件分布。
WinBUGS 运行部分
DoodleBUGS
Start WinBUGS Select “Doodle” from menu bar
贝叶斯参数估计
先验分布的选取
有信息的： 已知分布类型、参数等 无信息的： 最大熵、共轭分布、Bayes假设 基于经验的： 利用样本确定先验分布
共轭分布法
例：设 X ~ N ( , 2 ) ， ~ N (10,32 ) 。若从正态总体 X 抽
2
得容量为 5 的样本，算得 x 12.1 ，
1 N x 2 2 0 'exp i 2 2 2 i 1 0 1 N 1 N 0 1 2 ''exp 2 2 2 2 xi 2 2 1 i 0 0
| x) E | x ( E )2 Var ( | x) MSE (
1 2
称为后验方差，其平方根 [Var ( | x)] 称为后验标准差。
经典统计学派对贝叶斯统计的批评
贝叶斯方法受到了经典统计学派中一些人的批评,批 评的理由主要集中在以下三点： • (1) 贝叶斯方法具有很强的主观性而研究的问题需 要更客观的工具。经典统计学是“客观的”, 因此符 合科学的要求。而贝叶斯统计学是“主观的”，因 而(至多)只对个人决策有用。 • (2)应用的局限性,特别是贝叶斯方法有许多封闭型 的分析解法,不能广泛地使用。 • (3)先验分布的误用。
对以上这些批评,贝叶斯学派的回答如下：
几乎没有什么统计分析哪怕只是近似是“客观的” 。因为只有在具有研究问题的全部覆 盖数据时,才会得到明显的“客观性”,此时,贝叶斯分析也可得出同样的结论。但大多数统计 研究都不会如此幸运,以模型作为特性的选择对结论会产生严重的影响。实际上,在许多研究 问题中,模型的选择对答案所产生的影响比参数的先验选择所产生的影响要大得多。 Box(1980)说： “不把纯属假设的东西看作先验…我相信,在逻辑上不可能把模型的假设 与参数的先验分布区别开来。 ” Good(1973)说的更直截了当： “主观主义者直述他的判断,而客观主义者以假设来掩盖其 判断,并以此享受着客观性的荣耀。 ” 杰出的当代贝叶斯统计学家 A.OHagan(1977)的观点是最合适的：劝说某人不加思考地 利用贝叶斯方法并不符合贝叶斯统计的初衷。进行贝叶斯分析要花更多的努力。如果存在只 有贝叶斯计算方法才能处理的很强的先验信息或者更复杂的数据结构。 这时收获很容易超过 付出,由此能热情地推荐贝叶斯方法。另一方面,如果有大量的数据和相对较弱的先验信息, 而且一目了然的数据结构能导致已知合适的经典方法 (即近似于弱先验信息时的贝叶斯分 析)，则没有理由去过分极度地敲贝叶斯的鼓(过分强调贝叶斯方法)。
一种随机微分方程中布朗运动的方差估计
一种随机微分方程中布朗运动的方差估计李梦雅;曲智林【摘要】随机微分方程已在各个领域广泛应用,其参数估计问题是该领域重要的研究内容之一.利用抽样数据给出了一类随机微分方程中布朗运动的方差估计方法,通过离散方法给出由抽样数据构成方差估算的表达式.实例模拟分析表明:采样区间长度越小,该方法估算的方差误差越小.说明该方法是可行的,具有很好的实际应用价值.【期刊名称】《哈尔滨师范大学自然科学学报》【年(卷),期】2018(034)005【总页数】4页(P29-32)【关键词】随机微分方程;布朗运动;方差估计【作者】李梦雅;曲智林【作者单位】东北林业大学;东北林业大学【正文语种】中文【中图分类】O211.630 引言随着社会发展，随机微分方程在各个领域都有很多应用，其理论广泛应用于经济、生物、物理、自动化等领域.在经济领域中，用于研究期权定价，股票预测[1]等问题；在生物领域中，用于揭示疾病的发生规律[2]以及人口增长模型中模拟人口数量变化方面有较好的效果；在物理领域，主要应用于布朗粒子的逃逸与跃迁问题[3].因此，随机微分方程的研究十分重要.一般情况下，随机微分方程很难求解，尤其是含有未知参数的随机微分方程求解问题更加困难，因此对于随机微分方程未知参数估计研究显得尤为重要.大多数研究主要集中在以下方面：梁学忠[4-6]研究了带有随机初始条件的一阶线性It型随机积分方程的未知参数估计，通过对解的结构进行分析，求得其概率密度函数，利用极大似然法导出未知参数的估计公式.张彩[7]考虑了带有小干扰项ε的随机微分方程，在固定观察时间区间[0,T]内，对方程的参数提出了估计量，并讨论了当ε→0时估计量的一致性和渐近正态性.蒋达清[8]在参数估计的研究模型中，得出正解的存在性唯一性以及参数的极大似然估计，另外得到了参数的极大似然估计的渐近性和相合性.最后，利用鞅大数定律和中心极限定理对参数作了假设检验.李群[9]研究了随机Gilpin-Ayala方程正解的存在性、唯一性及全局吸引性，考虑在K己知，或者可以估计出的条件下，求解It意义下方程中参数r和β极大似然估计的方法，离散化原方程后给出参数的极大似然估计.许文菲[10]根据Euler-Maruyama近似解和Caratheodory近似解的参数表达式，对近似解进行矩估计的相关运算，从而得到近似解p阶矩的相关性质.王素丽，吕艳[11]利用极大似然估计方法，考虑了一类具有小扰动的非线性随机微分方程的参数估计问题，得出当小扰动项ε→0时，未知参数的估计量具有无偏性以及渐近一致性，在ε取得固定值和ε→0的情况下，分别给出了估计量在时间T→∞时的渐近分布，最后数值模拟，验证估计量的无偏性及其渐近正态性.蔡昕芮，王丽瑾[12]推导出线性随机微分方程真解的相关运算服从的分布，使观测数据的运算也服从此分布，由此来估计漂移系数与扩散系数中的未知参数.以上给出的方法均没有从随机抽样数据的角度出发，在估算随机微分方程方面考虑较少，该文主要根据抽样数据提出了一种估算随机微分方程中布朗运动方差的方法.1 理论基础定义(It积分的构造)[13-15]：“噪声”.其中Xt为随机变量，f (t,Xt)，g(t,Xt)为已知函数.用Wt表示噪声项，上式可写成为：(1)一般Wt至少近似地有下列性质:(1)t1≠t2⟹Wt1与Wt2是独立的.(2){Wt}是平稳的，即{Wt1+t,…,Wtk+t}的联合分布与t无关.(3)E[Wt]=0 ，对所有的t成立.定理 (1维It公式)[15-20]设Xt是一个如下的It过程：是[0,∞)×R上的二阶连续可微的函数)，那么Yt=g(t,Xt)也是一个It过程，且满足：这里(dXt)2=(dXt)·(dXt)，由下面的规则来计算：dt·dt=dt·dWt=dWt·dt=0,dWt·dWt=dt对于随机微分方程(1)若系统中白噪声不随时间变化，则可令Wt满足Wt～N(0,σ2)，其中σ未知. 其微分形式为令Δt=tj+1-tj,则Xtj+1=Xtj+f(tj,Xtj)·Δt+g(tj,Xtj)·Δt·Wt(2)两边同时取均值得(3)由(2)-(3)得：(4)令其中k=1,2,…,m其随机项Wt的标准差的估计式为(5)2 数值模拟该文为了验证上述参数估计方法的有效性，选取下列已知的随机微分方程加以模拟分析.其中 Wt～N(0,σ2)(6)此方程等价于dXt=rXtdt+αXtdWt因此应用It积分公式，得到解得：(7)令X0=1,r=0.43,α=0.08,T=3，在区间[0, 3]内，根据Δt取值，相应产生随机数据(见表1).表1 随机数统计表区间长度Δt随机数的个数随机数的均值随机数的标准差0.13000.80480.21501.17780.31001.36830.5601.0364根据所取的随机数由公式(7)得到Xt在tj上的值，该文把其作为实际采样数据.若方程(6)不含有Wt，其解为(8)现给出了Xt和Yt的值(如图1～图4所示).图1 Δt=0.1,Xt和Yt与时间t的关系图2 Δt=0.2,Xt和Yt与时间t的关系图3 Δt=0.3,Xt和Yt与时间t的关系图4 Δt=0.5,Xt和Yt与时间t的关系将作为抽样数据，利用公式(4)和公式(5)分别计算出Δt不同取值下Wt标准差σ的估计值(见表2).表2 σ估计值的对比表Δtσ^σ|σ-^σ|0.10.80480.83390.02910.21.17781.05720.12060.31.36831.25640.11190.51.0 3641.78130.7449从表2中可以看出，当X0、r、α不变时，Δt越小，该文给出的估算σ的方法较好，Δt越大，其估算结果有较大误差.其中，当Δt≤0.3时，其误差结果较小.当Δt=0.1时，误差结果最小.3 结论该文利用抽样数据给出了一类随机微分方程中布朗运动方差的估计方法，理论推导是可行的，从实际模拟上看效果较好，说明该方法具有一定的实用价值.研究中，该文给出的方法只针对于σ是常数的情况，因此此方法有一定的局限性.同时，Δt 的取值同样影响最后的估算结果，该文没有讨论Δt具体的取值结果对最后估算的结果影响大小.参考文献【相关文献】[1] 孔文涛.亚式期权的定价模型及算法研究 [D]. 华南理工大学，2012.[2] 栾施. 关于一类污染治理的单种群模型的数学研究 [D].辽宁师范大学,2012.[3] 孙亚茹.两个随机微分方程模型动力学行为的研究 [D]. 山西师范大学,2017.[4] 梁学忠.一阶线性随机微分方程未知参数的估计 [D] .哈尔滨电工学院,1988.[5] 梁学忠.线性随机微分方程未知参数的估计 [J] .哈尔滨电工学院学报, 1989, 12(1): 81-88.[6] 梁学忠.一类连续型随机数学模型的参数估计 [J].大连民族学院学报, 2003(1): 82-84.[7] 张彩.带有小干扰项随机微分方程的参数估计 [J].高校应用数学学报A辑:中文版, 2002(1): 91-97.[8] 蒋达清. 随机微分方程中的参数估计与假设检验问题 [D]. 东北师范大学, 2006.[9] 李群.一类随机微分方程的参数估计 [D].中国人民大学, 2011.[10] 许文菲.随机微分方程解的矩估计 [D].河南师范大学, 2015.[11] 王素丽,吕艳.一类非线性随机微分方程的参数估计 [J].吉林大学学报, 2017.[12] Cai Xinrui, Wang Lijin. Some methods of parameter estimation for stochastic differential equations [M]. Journal of University of Chinese Academy of Sciences, 2017.[13] 唐月月. 正倒向随机微分方程的参数估计[D].山东大学,2017.[14] 孟丽新. 随机微分方程的适定性及微分方程参数的贝叶斯估计方法[D].东北师范大学,2016.[15] Casabán M C, Cortés J C, Navarro-Quiles A, et al. Computing probabilistic solutions of the Bernoulli random differential equation [J]. Journal of Computational and Applied Mathematics, 2017, 309.[16] Jimenez J C, Mora C, Selva M. A weak Local Linearization scheme for stochastic differential equations with multiplicative noise [J]. Journal of Computational and Applied Mathematics, 2017,313.[17] 弗里德曼.吴让泉译.随机微分方程及其应用:第1卷[M] .北京:科学出版社, 1983.[18] 蔡尚峰.随机控制理论[M].上海交通大学出版社,1987.40.[19] Berbt.刘金山,吴付科,译.随机微分方程导论与应用[M]. 北京：科学出版社, 2007.[20] Zakian P, Khaji N, Kaveh A. Graph theoretical methods for efficient stochastic finite element analysis of structures [J]. Computers and Structures, 2017,178.。
第31章贝叶斯估计
边缘后验分布常常既不对称也非“单峰”(unimodal)，这与古典学 派的统计量不同。
18
2．后验分布的各阶矩 根据后验分布，可以计算其各阶矩，比如均值、中位数、方差等。 3．点估计 在贝叶斯分析中， 未知参数 被视为随机变量， 而非一个固定的点， 故点估计(point estimation)在贝叶斯分析中不那么重要， 关注的重点是 的整个后验分布。 后验均值(posterior mean)或后验中位数(posterior median)常常被作 为点估计来汇报。
15
当样本容量越来越大时，先验分布所起的作用越来越小。 此结论在一般情况下也成立。回到后验分布密度核的一般表达式：
p ( | y ) L( ; y ) ( ) L( ; y1 , , yn ) ( ) L( ; y1 ) L( ; yn ) ( )
(假设样本为 iid)
(展开平方项) (根据 合并同类项) * h h y (定义 h h h* ， ) h 2 2h h* y 2 h 2 h h ( 2 2 ) h* y 2 h 2 (提取公因子 h ) h ( 2 2 2 ) h 2 h* y 2 h 2 (配方) h ( ) 2 (去掉不含 的常数项)
31.3 贝叶斯估计的一个例子 记随机样本为 y ( y1 y2 yn ) ，其中 yi ~ N ( , 2 ) ，方差 2 已知，而 均值 未知。
1 n ˆ y y。 古典学派选择 使似然函数最大化，得到 MLE i 1 i n
8
贝叶斯学派则要额外地设定 的先验分布。 为了计算方便，选择先验正态分布，即 ~ N ( , 2 ) ，其中先验均值 与先验方差 2 为已知常数。 如果 2 较大，就表示先验分布的不确定性较大。 目标是求出后验分布 p( | y ) 。把此计算过程分为以下三步。 第一步 写出先验分布密度 ( ) 。 在贝叶斯分析中，使用方差的倒数有时更为方便。
贝叶斯方法(估计,推断,决策)
p ( x1 , L , xn ,θ ) π (θ x1 ,L, xn ) = p ( x1 , L, xn ) = p ( x1 , L, xn θ )π (θ )
∫ p( x ,L, x
1
n
θ )π (θ )dθ
这就是贝叶斯公式的密度函数形式， 这就是贝叶斯公式的密度函数形式，其中 π (θ x1 ,L , xn )称为θ的后验密度函数，或 称为θ的后验密度函数， 后验分布。 后验分布。而
பைடு நூலகம்
p ( x1 , L , xn ,θ ) = p ( x1 , L , xn θ )π (θ )
在这个联合密度函数中。 在这个联合密度函数中。当样本 X 1 , L , X n 给定之后，未知的仅是参数θ 给定之后，未知的仅是参数θ了，我们关心的是样本 给定后， 的条件密度函数，依据密度的计算公式， 给定后，θ的条件密度函数，依据密度的计算公式， 容易获得这个条件密度函数
贝叶斯统计学首先要想方设法先去寻求θ的先验 分布。先验分布的确定大致可分以下几步： 第一步，选一个适应面较广的分布族作先验分布族， 使它在数学处理上方便一些，这里我们选用β分布 族
Γ(a + b) a 1 π (θ ) = θ (1 θ )b 1 ,0 ≤ θ ≤ 1, a < 0, b > 0 Γ(a )Γ(b)
1 x n
Γ ( n + 2) π (θ x) = θ x (1 θ ) n x ,0 < θ < 1 Γ( x + 1)Γ(n x + 1)
即
θ X ~ Be( x + 1, n x + 1)
拉普拉斯计算过这个概率,研究男婴的诞生 比例是否大于0.5?如抽了251527个男婴,女婴 241945个
贝叶斯估计方法
贝叶斯估计方法引言：贝叶斯估计方法是一种常用的统计学方法，用于通过已知的先验概率和观测到的证据来计算后验概率。
它在概率推理、机器学习、人工智能等领域都有广泛的应用。
本文将介绍贝叶斯估计方法的原理、应用场景以及常见的算法。
一、贝叶斯估计方法的原理贝叶斯估计方法基于贝叶斯定理，根据先验概率和观测到的证据来计算后验概率。
其基本思想是将不确定性表示为概率分布，并通过观测数据来更新这个分布。
具体而言，贝叶斯估计方法可以分为两个步骤：1. 先验概率的选择：根据领域知识或经验，选择合适的先验概率分布。
先验概率可以是均匀分布、正态分布等。
2. 观测数据的更新：根据观测到的证据，通过贝叶斯定理更新先验概率分布，得到后验概率分布。
二、贝叶斯估计方法的应用场景贝叶斯估计方法在各个领域都有广泛的应用，下面介绍几个常见的应用场景：1. 文本分类：在文本分类中，可以使用贝叶斯估计方法来计算给定文本属于某个类别的概率。
通过观测到的文本特征，可以更新先验概率分布，从而得到后验概率分布，进而进行分类。
2. 信号处理：在信号处理中，可以使用贝叶斯估计方法来估计信号的参数。
通过观测到的信号样本，可以更新先验概率分布，从而得到后验概率分布，进而估计信号的参数。
3. 异常检测：在异常检测中，可以使用贝叶斯估计方法来判断观测数据是否属于正常情况。
通过观测到的数据，可以更新先验概率分布，从而得到后验概率分布，进而进行异常检测。
三、常见的贝叶斯估计算法1. 最大似然估计法（MLE）：最大似然估计法是贝叶斯估计方法的一种常见算法。
它通过最大化观测数据的似然函数，来估计参数的值。
最大似然估计法通常在先验概率分布为均匀分布时使用。
2. 最大后验估计法（MAP）：最大后验估计法是贝叶斯估计方法的另一种常见算法。
它通过最大化后验概率函数，来估计参数的值。
最大后验估计法通常在先验概率分布为正态分布时使用。
3. 贝叶斯网络：贝叶斯网络是一种图模型，用于表示变量之间的依赖关系。
贝叶斯估计
后验分布是三种信息的综合,先验分布反应人们在抽样前 对参数的认识,后验分布反应人们在抽样后对参数的认识 Bayes统计推断原则:对参数 所作任何推断(参数估计,假 设检验等)都必须建立在后验分布基础上.
§1.2贝叶斯公式的密度函数形式
例:为了提高某产品质量,公司经理考虑投资100万改进设 备,下属部门提出两种实施意见: 意见1:改进生产设备后,高质量产品占90% 意见2:改进生产设备后,高质量产品占70% 但经理根据以往两部门建议情况认为.意见1的可信度只 有40%,而形式
3. 从贝叶斯观点看，样本 x ( x1 , xn ) 的产生要分两步 进行。首先设想从先验分布 ( ) 产生一个样本 ' ，这一步 是“老天爷”做的，人们是看不到的，故用“设想”二字。
' 第二步是从总体分布 p( x | ) 产生一个样本 x ( x1, xn ) ，
p ( x; ) ， 它表示在参数空间 { } 中不同的 对应不
同的分布。可在贝叶斯统计中记为 p( x | ) ，它表示 在随机变量 给定某个值时，总体指标 X 的条件分 布。 2、 根据参数 的先验信息确定先验分布 ( ) (prior distribution)。这是贝叶斯学派在最近几十年里重点 研究的问题。已获得一大批富有成效的方法。
( )( ) ， 确定的随机变量 X 的分布称为贝塔分 ( )
布，记为 beta( , ) 贝塔分布 beta( , ) 的均值 E ( X ) ，
方差 Var ( X ) ( )2 ( 1)
当 1 时，贝塔分布退化为 [0,1] 区间上的均匀分布。
i 1 K
Bayes 公式(后验概率公式 )：P ( i | x)
随机变量和贝叶斯公式
随机变量和贝叶斯公式
随机变量和贝叶斯公式在概率论中具有重要的作用。
随机变量是概率论中的基本概念，它是一个可以取到不同值的变量，每个取值都有对应的概率。
随机变量可以分为离散随机变量和连续随机变量。
离散随机变量可以取有限个或者可数个值，而连续随机变量可以取某个区间内的任何值。
贝叶斯公式则是概率论中的一条基本定理，用于计算条件概率。
它是以英国数学家托马斯·贝叶斯的名字命名的。
贝叶斯公式描述了在已知一些先验信息的情况下，如何通过新的观察或证据来更新我们对事件发生概率的估计。
这个公式可以表示为：P(AB) = (P(BA) P(A)) / P(B)，其中P(AB)表示在事件B已经发生的条件下，事件A发生的概率（后验概率）；P(BA)表示在事件A已经发生的条件下，事件B发生的概率（似然）；P(A)和P(B)分别表示事件A和事件B发生的先验概率。
贝叶斯公式提供了一种从已知证据和先验知识出发，来推断新信息的方法。
在实际应用中，它被广泛应用于机器学习、统计推断、决策理论等领域，是理解和预测不确定性问题的有力工具。
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随机微分方程的适定性及微分方程参数的贝叶斯估计方法
本论文主要研究了以下两个方面的内容。
一是讨论了随机薛定谔方程解的适定性,包括解的爆破性质和整体解的存在性和唯一性；二是用贝叶斯惩罚B样条方法给出了几类常微分方程模型中参数(常值参数以及时变参数)的估计.关于这些问题的研究背景和动机我们在第一章中给予介绍。
微分方程的数学理论研究在物理学,医学,生物学,金融学等应用科学中发挥着重要作用。
薛定谔方程是一类特殊的微分方程,其在原子、分子、固体物理、核物理、化学等领域中被广泛应用.然而,在现实生活中,很多事情都是不确定的,是受随机因素干扰的,本文在第一部分考虑了在噪声影响下的薛定谔方程即随机薛定谔方程的解的动力学性质。
具体来说,在第二章,我们讨论了在可加噪声和二次位势双重作用下,随机薛定谔方程解的爆破性质,我们得到了不管位势是排斥型还是吸引型,任意有限能量的初值均可能产生爆破解,并且爆破时间可以任意小.这与确定型薛定谔方程不同,对确定性方程来说,排斥型位势具有阻止解爆破的效应。
因此,这部分结果表明,噪声对薛定谔方程解的动力学行为的影响比位势的影响要强。
与爆破性质对应的,我们在第三章讨论了在Stratonovich型乘积噪声影响下的薛定谔-泊松方程组整体解的适定性。
与确定型薛定谔-泊松方程组不同的是,我们建立了随机意义下的交换子估计,进而得到了薛定谔-泊松方程组整体解的存在性和唯一性。
在研究随机薛定谔方程适定性的过程中我们发现,方程中的参数对解的动力学性质产生了重要影响,甚至不同参数会导致方程具有完全不同的动力学行为。
这就提示我们在应用微分方程的数学理论之前,应当首先确定微分方程中的参数.为此,本文第二部分提出了一种非参数统计方法——贝叶斯惩罚B样条法,根据观测数据去估计微分方程模型中的参数,这其中包括估计常值参数和时变参数两种情形。
我们在第四章中介绍了贝叶斯惩罚B样条法的一般理论,并且考虑了对于2×2的线性方程组及非线性方程组(Lotka-Volterra模型),在所有状态变量的观测数据均已知的情形下,用贝叶斯惩罚B样条法,对模型中含有的参数进行估计,模拟结果表明该方法对模型中的参数估计有效。
流行病模型是微分方程中应用较多且与现实生活关系较为密切的一类模型,在本文的第五章我们考虑了流行病模型中参数的估计问题。
估计此类模型中的参数与第四章中参数的估计最大的不同是：对于流行病模
型,我们通常只有部分状态变量甚至只有一个状态变量的观测数据。
本文在只有一个状态变量的观测数据情形下,首先通过数值模拟对Kermack-Mckendrick模型中的参数进行估计,发现此时贝叶斯惩罚B样条法仍然有效,并且比最小二乘法的估计效果好,其次,我们还做了一个实例研究。
即,利用国家卫生和计划生育委员会公布的中国大陆从2004年1月到2014年12月共132个月的患丙肝疾病的人数的数据,对Zhang和Zhou在2012年针对中国大陆丙肝疾病提出的丙肝(HCV)流行病模型中的参数进行估计,估计结果表明贝叶斯惩罚B样条方法在只有部分状态变量的数据可观测时,对模型中的参数估计仍然有效。
众所周知,微分方程中含有的参数通常会随着时间的变化而变化,我们称之为时变参数。
我们在上述研究的基础上,在本文的第六章,又进一步考虑了用贝叶斯惩罚B样条法对模型中的时变参数进行估计,与常值参数估计的不同之处是,我们需要首先将待估的时变参数利用B样条进行展开,将时变参数转化为常值参数,然后再进行估计。
本文通过模拟对HIV模型中的时变参数进行估计,说明了贝叶斯惩罚B样条法对微分方程中时变参数的估计仍然有效,同时还通过对Hong和Lian文中模型的时变参数进行估计,说明了对于该模型贝叶斯惩罚B样条法较比两阶段局部多项式法有较高的估计精度。