随机信号习题及答案

4. 写出随机过程的两个定义。
5. 随机过程有那两个变化特性，如何理解其随机性？
6. 叙述“狭义平稳”的定义；如何理解这个定义在实际应用中的困难？
7. (a)随机过程的遍历性与平稳性的关系是什么？(b) 简述“狭义遍历”与“宽遍历”的关系。
三、计算题
1 设随机振幅信号为 X (t) = V sinω0t ，其中ω0 为常数；V 是标准正态随机变量。求该随机信号的均值、
①条件数学期望 E[Y X = x] ；②条件数学期望 E[Y X ] 。
10. 已知随机变量 X = cosϕ 和Y = sin ϕ ，式中 ϕ 是在 (0,2π) 上均匀分布的随机变量。讨论 X
和 Y 的相关性及独立性。
11. 已知随机变量 X 的均值 mX = 3 ，方差 σ2X = 2 ，且另一随机变量Y = −6 X + 22 。讨论 X 和
关函数；（3）求该过程的功率谱密度。
5.已知平稳过程 X（t）的自相关函数如下：
(1)RX (τ ) = e−α τ
cos ω0τ
− τ2
；(2)RX (τ ) = be 2α3
分别求过程 X
（t）的功率谱密度。
6. 已 知 平 稳 过 程 X （ t ） 的 自 相 关 函 数 如 下 ： (1)RX (τ ) = 4e−τ cosπτ + cos 3πτ ；
方差、相关函数和协方差函数。
2. 设随机过程 X (t) = Acos(t) + B sin(t) + t ，其中 A 、 B 为两个互不相关的随机变量，且 E{A} = 1 、
E{B} = 2 、 E{A2} = 3、 D{B2} = 4 。求过程 X (t) 的均值、相关函数。
3 设随机过程 Y (t) 和常数 a ，试以Y (t) 的自相关函数表示出另一随机过程， X (t) = Y (t + a) − Y (t) 的自
4-5 设输入随机信号 X (t ) = M + B cos(20t + Θ) ，式中 M 是均值为 5、方差为 64 的高斯随机变量，B 是
均方值为 32 的瑞利随机变量，Θ 是 (0,2π )上均匀分布的随机变量，这三个随机变量相互独立。若系统的
单位冲激响应 h(t ) = δ (t ) − 10e U −10t (t ) ，试求其输出的均值和均方值。
的遍历性。
8 如果随机过程 X (t ) = V cos 4t − ∞ < t < +∞ ，式中V 是随机变量,其均值为 1、方差为 3。求：随机过
程 X (t ) 的均值、方差、相关函数和协方差函数。
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9 若两个随机过程 X (t) = A(t)cost 和Y (t) = B(t)sin t 都是非平稳过程，其中 A(t) 和 B(t) 为相互独立，且
⎪⎩1 x > 1 （0.3，0.7）内的概率；③随机变量 X 的概率密度函数。
4.
设二维随机变量（X，Y）的概率密度为：
f
(x,
y)
=
⎧e−( ⎨
x+
y)
⎩0
0 < x < +∞,0 < y < +∞ 求：① 其它
分布函数 FXY (x, y) ；②（X，Y）落在如图所示的三角形区域内的概率。
y
x+y=1
___。
4. 若 对 应 任 意 两 个 时 刻 t1,t2 ， 均 有 E[X (t1 )Y (t2 )] = mX (t1 )mY (t2 ) ， 则 随 机 过 程 X (t ) 与 Y (t ) ____
____（不相关、独立、正交）；若联合平稳过程 X (t )和Y (t )的互相关函数 RXY (t1,t2 ) = 0 ，则 X (t )与Y (t )
的均值，方差，自相关函数及协方差。
6 设随机过程 X (t) = a cos(ω0t + Θ) ，其中 a ，ω0 为常数，随机相位 Θ 均匀分布于 (0, 2π ) 上。判断 X (t)
是否为平稳随机过程，给出理由。
7 设随机过程 Z (t) = X (t) + Y ，其中 X (t) 是一平稳过程，Y 是与 X (t) 无关的随机变量。试讨论过程 Z (t)
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7. 已知随机变量 X 服从标准高斯分布，求随机变量Y = X 2 的概率密度。
8. 已知二维随机变量 ( X1, X 2 ) 具有联合概率密度：
f
X1X
2
(
x1,
x2
)
=
⎧e−( ⎨ ⎩0
x1 + x2
)
x1 > 0, x2 > 0 其它
新的二维随机变量 (Y1,Y2 ) 是 ( X1, X 2 ) 的函数，满足关系：
为 SY (ω ) = 2 S X (ω )(1 + cos ωT )
X(t)
Y(t)=X(t)+ X(t-T)
+
延迟 T
X(t-T)
第 7 题的图
9.设随机过程 Y (t) = aX (t) sin ω0t ，其中 a,ω0 皆为常数， X (t) 为具有功率谱密度 SX (ω) 的平稳过程， 求过程Y (t) 的功率谱密度
Y1
=
X1
+ 2
X2
， Y2
=
X1
− X2 2
求：①二维随机变量 (Y1,Y2 ) 的联合概率密度 fY1Y2 ( y1, y2 ) ；②边缘密度 fY1 ( y1) 和 fY2 ( y2 ) ，说明
Y1 与Y2 是否相互独立。 9. 已知随机变量 X 服从（0，1）的均匀分布，随机变量 Y 服从（X，1）的均匀分布。求
x 0
5. （续上题）求③边缘分布函数 FX (x) 和 FY ( y) ；④求边缘概率 f X (x) 和 fY ( y) 。 6. （ 续 上 题 ） ⑤ 求 条 件 分 布 函 数 FX (x y) 和 FY ( y x) ； ⑥ 求 条 件 概 率 密 度 f X (x y) 和
fY ( y x) 。
布，试问该信号是否具有平稳性？证明之。 第三章 平稳随机过程的谱分析
一．简答题 1 给出平稳过程的功率谱密度的性质。 2 简述功率谱密度与自相关函数的关系，写出相互转换的数学关系表达式。 3 简述互功率谱密度与互相关函数的关系，写出相互转换的数学关系表达式。 4 简述功率谱密度的采样定理。 5 什么是理想白噪声。 6 什么是带限白噪声。 7 色噪声的定义。 二．计算题
10.
平稳随机过程 X (t) 和Y (t) 的互功率谱密度函数为 SXY (ω) =
10 4 + j5ω
，
求对应的互功率谱密度函数 SYX (ω) 。
第四章
4-1 设确定性随机信号为 X (t ) = M + B cos(20t + Θ)其中 M、B、 Θ 是随机变量。将 X (t )输入到单位冲 激响应为 h(t ) = 10e U −10t (t )的系统的输入端，求系统输出随机信号的表达式。 4-2 已知系统的单位冲激响应 h(t ) = 5e−3tU (t )，设其输入随机信号为 X (t) = M + 4 cos(2t + Θ), (− ∞ < t < ∞) ，其中 M 是随机变量， Θ 是 (0,2π )上均匀分布的随机变量，
求：① X 的分布函数 F (x) ；② P{X ≤ 0.5}， P{1 < X ≤ 1.5}， P{1 ≤ X ≤ 1.5}；③随机变量
Y = 3X + 1的分布函数。
⎧0 x < 0 3. 已知随机变量 X 的分布函数为： FX (x) = ⎪⎨kx2 0 ≤ x < 1，求：①系数 k；②X 落在区间
相关函数。
4 设随机过程 X (t) = Acosω0t ， Y (t) = B sin ω0t 。而其中 A 、 B 为相互独立的随机过程，且它们均值
为零、方差皆为σ 2 。证明 Z (t) = X (t) + Y (t) 是宽平稳的随机过程。
5 设随机过程Y (t) = a cos(ω0t + Θ) ，其中 a ，ω0 为常数，随机相位 Θ 均匀分布于 (0, 2π ) 上。求过程Y (t)
(2)RX (τ ) = 16e−2τ − 8e−4τ ，分别求过程 X（t）的功率谱密度。
7 已知平稳过程的自相关函数 Rx (τ ) = 5 + 4e−3τ cos2 2τ ，求其功率谱密度
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8.若系统的输入 X（t）为平稳随机过程，系统的输出为 Y(t)=X(t)+ X(t-T)。试着证过程 Y(t)的功率谱密度
，反之则
；一个广义平稳的
正态过程必定是
。
2. 广义遍历的信号______（是、不是、不一定是）广义平稳随机信号；反之，广义平稳的随机信号_______
（是、不是、不一定是）广义遍历的随机信号。
3. 任意维的概率密度函数为高斯分布的噪声称为____
____；而如果一个随机过程的功率谱密度是
常数，则称它为_
P(
A0
)
=
P(
A1)
=
1 2
，求：①B
端接收到
0
码及
1
码的概率
P(B0 )
及
P(B1)
；②当分别收到
0 和 1 码后，判断原来发送的是什么码的概率？ 即求：P( A1 / B0 ) 、P( A1 / B1) 、P( A0 / B0 )
和 P( A0 / B1) 。 2. 随机变量 X 的分布律为
X0 1 2 P 0.2 0.1 0.7
且 M 和 Θ 相互独立，求输出信号的表达式。