数学人教版八年级下册正方形课件

人教版 八年级下册
18.2 正方形
导入新课
平行四边形
有一个角为直角 矩形 邻边相等
？
菱形
是什么？
新课学习
正方形
两组互相垂直的平行线围成矩形ABCD
A
D
A
D
B
C
B
C
正方形是特殊的矩形
邻边相等的矩形。
新课学习
正方形
★正方形是特殊的菱形 一个角是直角的菱形。
新课学习
பைடு நூலகம்
正方形的性质
轴对称图形，有4条对称轴 四边相等 AB=BC=CD=DA
1、对称性 2、边
A O
D(B)
3、角
四角相等 ∠A=∠B=∠C=∠D=90°
B
C(A)
4、对角线
相等，且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角。
新课学习
正方形的判定
1、定义法
A D A D
平行四边形
B
C
一组邻边相等
一个内角是直角
B
正方 形
C
∵ □ABCD中，AB=BC且∠A=90°， ∴ABCD为正方形
因此AG⊥CF。
达标检测
5.如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D是 BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC垂足分别为E，F．求 证：四边形DEAF是正方形
达标检测 解析：∵DE⊥AB，DF⊥AC
∴∠AED=90°，∠AFD=90°
∵∠BAC=90°∴∠EDF=90°∴□AEDF是矩形 在△BDE和△CDF中 ∵AB=AC∴∠ABC=∠ACB ∵DE⊥AB，DF⊥AC ∴∠DEB=∠DFC 又∵D是BC的中点∴BD=DC∴△BDE≌△CDF
达标检测
A
分析：阴影部分的面积=S△ACD-S△MEC，△ACD和△MEC都 是等腰直角三角形，利用面积公式即可求解．
达标检测
3.如图，四边形ABCD是正方形，以CD为边作等边三角形CDE，
BE与AC相交于点M，则∠AMD的度数是（ B ） A．75° C．54° B．60° D．67.5°
分析：连接BD，根据BD，AC为正方形的两条对角线可知AC
相等，且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角。 正方形的判定
达标检测 1.如图，有一平行四边形ABCD与一正方形CEFG，其中E 点在AD上．若∠ECD=35°，∠AEF=15°，则∠B的度数为 何？（ C ） A．50B．55C．70D．75 分析：由平角的定义求出∠CED的度数，由三角形内角和定理求 出∠D的度数，再由平行四边形的对角相等即可得出结果．
为BD的垂直平分线，所以∠AMD=AMB，要求∠AMD，求
∠AMB即可．
达标检测
4.已知正方形ABCD，E为BC上任一点延长AB至F，使 BF=BE，连AE并延长交CF于G，求证：AG⊥CF．
达标检测
解析：如图， ∵BE=BF，∴∠BFE=45°
∵∠CAB=45°，
∴FH⊥AC，
又CB⊥AF，
∴E是△ACF的垂心，
∴四边形ABCD是正方形；
知识巩固 解：（2）如图2所示：
已知：四边形ABCD是矩形，对角线AC⊥BD；
求证：四边形ABCD是正方形； 证明：∵四边形ABCD是矩形，对角线AC⊥BD， ∴∠BAD=∠ABC=∠BCD=∠CDA=90°，四边形ABCD是菱形， ∴AB=BC=CD=DA，
∴四边形ABCD是正方形．
知识巩固 3.已知△ABC，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F． （1）四边形AEDF是什么四边形？ （2）当△ABC满足什么条件时，四边形AEDF是矩形？ （3）当线段AD满足什么条件时，四边形AEDF是菱形？
（4）当△ABC满足什么条件时，四边形AEDF是正方形？
知识巩固 解：（1）∵DE∥AC，DF∥AB ∴四边形AEDF是平行四边形；
∴DE=DF∴□AEDF是正方形
（2）由矩形的性质和已知条件得出
∠BAD=∠ABC=∠BCD=∠CDA=90°，四边形ABCD是菱形， 得出AB=BC=CD=DA，即可得出结论．
知识巩固 解：（1）如图1所示：
已知：四边形ABCD是菱形，∠A=90°；
求证：四边形ABCD是正方形； 证明：∵四边形ABCD是菱形，∠A=90°， ∴AB=CD=BC=DA，四边形ABCD是矩形， ∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°，
新课学习
2、菱形法
A B
菱形
C
一内角是直角
D
A
D
B
正方 形
C
∵ 菱形ABCD中，∠A=90°，
∴ABCD为正方形
新课学习
3、矩形法
A D A D
矩形
B C
一组邻边相等
B
正方形
C
∵ 矩形ABCD中，AB=BC，
∴ABCD为正方形.
新课学习 例5 求证：正方形的两条对角线把这个正方形分
成四个全等的等腰直角三角形．
知识巩固 解析：（1）连接AF
在Rt△AEF和Rt△ABF中，
∵AF=AF，AE=AB， ∴Rt△AEF≌Rt△ABF， ∴BF=EF；
知识巩固
2.证明：
（1）有一个角是直角的菱形是正方形； （2）对角线垂直的矩形是正方形。 分析：（1）由菱形的性质和已知条件得出AB=CD=BC=DA， 四边形ABCD是矩形，得出∠A=∠B=∠C=∠D=90°，即可得 出结论；
结论很重要！
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矩形
平行四边形
有一组邻边相等且有一个角是直角
正方形
菱形
新课学习
平行四边形 正
矩形
方
形
菱形
知识巩固 1.在正方形ABCD的对角线AC上点E，使AE=AB，过E作 EF⊥AC交BC于F， 求证：（1）BF=EF；（2）BF=CE。
分析：连接AF，要求BF=EF，求证△AEF≌△ABF，可以求证EF=BF （2）根据（1）的结论，要求BF=CE，求证△CEF为等腰直角三角 形即可
（2）∵一个角为直角的平行四边形为矩形，
∴∠BAC=90°时，四边形AEDF是矩形； （3）∵菱形对角线互相垂直， ∴当AD⊥EF时，四边形AEDF是菱形； （4）∵正方形既是菱形又是矩形，
∴∠BAC=90°且AD⊥BC时，四边形AEDF是正方形．
课堂小结 正方形的性质 轴对称图形，有4条对称轴
四边相等 四角相等
已知：如图四边形ABCD是正方形，
A
D
对角线AC、BD交于点O。
求证： △ ABO、 △ BCO、 △ CDO、 △ DAO是全等的等腰直角三角形。
O B
C
新课学习
证明：∵四边形ABCD是正方形， ∠B=90°
∴AC=BD，AC ⊥ BD,AO=BO=CO=DO
∴△ ABO、 △ BCO、 △ CDO、 △ DAO是等腰 直角三角形，且△ABO≌△BCO≌ △ CDO ≌ △ DAO