人教版八年级数学下册 18.2.3正方形

正方形

【总结解题方法提升解题能力】

【知识汇总】

1.正方形：既是特殊的矩形，也是特殊的菱形，所以它既具有矩形的性质，又有菱形的性质.

2.正方形的性质: ①正方形四个角都是90°，四条边相等；

②对角线相等且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角.

3.正方形的判定：①一组邻边相等的矩形是正方形；

②对角线互相垂直的矩形是正方形；

③有一个角是直角的菱形是正方形；

④对角线相等的菱形是正方形.

考点一：正方形的性质

【基础夯实】

1.下列四边形：①正方形、②矩形、③菱形，对角线一定相等的是（）

A．①②③B．①②C．①③D．②③

2.平行四边形，菱形，矩形，正方形都具有的性质是（）

A．对角线相等且互相平分B．对角线相等且互相垂直平分

C．对角线互相平分D．四条边相等，四个角相等

3.正方形面积为36，则对角线的长为（）

A．6 B．C．9 D．

4.正方形的一条对角线长为4，则这个正方形的面积是（）

A．8 B．4C．8D．16

5.如图，已知P是正方形ABCD对角线BD上一点，且BP=BC，则∠ACP度数是（）

A．45°B．22.5°C．67.5°D．75°

6.如图，在正方形ABCD外侧，作等边三角形ADE，AC，BE相交于点F，

则∠BFC为（）

A．75°B．60°C．55°D．45°

7.如图，在边长为2的正方形ABCD中，M为边AD的中点，延长MD至点E，

使ME=MC，以DE为边作正方形DEFG，点G在边CD上，则DG的长为（）

A．B．C．D．

8.如图，正方形ABCD的边长为9，将正方形折叠，使顶点D落在BC边上的点E处，

折痕为GH．若BE：EC=2：1，则线段CH的长是（）

A．3 B．4 C．5 D．6

9.如图．边长为1的两个正方形互相重合，按住其中一个不动，将另一个绕顶点A顺时针旋转45°，则这两个正方形重叠部分的面积是（）

A．B．

C．D．

10.如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，E为BC上一点，CE＝5，

F为DE的中点．若△CEF的周长为18，则OF的长为（）

A．3 B．4

C．D．

11.如图，在正方形ABCD中，AB＝2，延长AB至点E，使得BE＝1，EF⊥AE，EF＝AE．分别连接AF，CF，M为CF的中点，则AM的长为（）

A．2B．3

C．D．

12.如图，将正方形OABC放在平面直角坐标系中，O是原点，A的坐标为（1，），

则点C的坐标为．

13.如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，BE＝2，AE＝3，P是AC上一动点，

则PB+PE的最小值是．

14.有3个正方形如图所示放置，阴影部分的面积依次记为S1，S2，则S1：S2=．

15.如图，将边长都为2cm的正方形按如图所示摆放，点A1、A2、…、A n分别

是正方形的中心，则2019个这样的正方形重叠部分的面积和为．

考点二：正方形的判定

16.小明在学习了正方形之后，给同桌小文出了题目，从下列四个条件：

①AB＝BC，②∠ABC＝90°，③AC＝BD，④AC⊥BD

中选两个作为补充条件，使□ABCD为正方形（如图所示），

现有如下四种选法，你认为其中错误的是（）

A．①②B．①③C．②③D．②④

17.（2015•黑龙江）如图，菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，不添加任何辅助线，

请添加一个条件，使四边形ABCD是正方形（填一个即可）．

考点三：正方形的性质与判定

18.如图，在正方形ABCD中，AC为对角线，点E在AB边上，EF⊥AC于点F，连接EC，AF=3，△EFC的周长为12，则EC的长为．

19.如图，在四边形ABCD中，∠ADC＝∠ABC＝90°，AD＝CD，DP⊥AB于P．若四边形ABCD的面积是18，则

DP的长是．

20.（2018•湘潭）如图，在正方形ABCD中，AF＝BE，AE与DF相交于点O．

（1）求证：△DAF≌△ABE；

（2）求∠AOD的度数．

21.（2018•遵义）如图，正方形ABCD的对角线交于点O，点E、F分别在AB、BC上（AE＜BE），且∠EOF＝90°，

OE、DA的延长线交于点M，OF、AB的延长线交于点N，连接MN．

（1）求证：OM＝ON．

（2）若正方形ABCD的边长为4，E为OM的中点，求MN的长．

22.如图，正方形ABCD中，AC是对角线，今有较大的直角三角板，一边始终经过点B，直角顶点P在射线AC上

移动，另一边交DC于Q．

（1）如图1，当点Q在DC边上时，猜想并写出PB与PQ所满足的数量关系；并加以证明；

（2）如图2，当点Q落在DC的延长线上时，猜想并写出PB与PQ满足的数量关系，请证明你的猜想．

23.如图，已知四边形ABCD为正方形，AB＝，点E为对角线AC上一动点，连接DE，过点E作EF⊥DE．交

射线BC于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．

①求证：矩形DEFG是正方形；

②探究：CE+CG的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．