一元函数的最值模型
一元函数的最值与最值问题
一元函数的最值与最值问题一、介绍在数学中，一元函数是指只有一个自变量的函数，即函数的输入仅为一个实数。
最值问题是指确定一元函数在给定定义域范围内的最大值和最小值。
本文将探讨一元函数的最值求解方法和最值问题的应用。
二、一元函数的最值求解方法在求解一元函数的最值问题之前，我们需要了解一些求导相关的基本概念和方法。
1. 导数一元函数的导数描述了函数在某一点上的变化率。
导数可以表示为函数 f(x) 在给定点 x 处的极限值，记作 f'(x) 或 df/dx。
导数有助于确定函数的局部极值点。
2. 求导法则求导法则是求解导数的基本规则，包括常数法则、幂函数法则、和差法则、乘积法则、商法则和复合函数法则。
通过运用这些法则，我们可以计算函数的导数，从而找到函数的极值点。
3. 极值点一元函数的极值点是指函数取得最大值或最小值的点。
极大值点对应函数的最大值，极小值点对应函数的最小值。
极值点可以通过求导和解方程的方法找到，即令导数等于零并解方程。
三、最值问题的应用最值问题在实际生活中具有广泛的应用，尤其在优化和最优化领域中。
下面介绍一些常见的最值问题应用。
1. 最大收益问题在经济学和管理学中，最大收益问题是指在给定约束条件下最大化某种资源的利润或收益。
通过建立数学模型，可以将问题转化为一元函数的最大值问题，并运用最值求解方法找到最优解。
2. 最短路径问题在运输和网络领域中，寻找最短路径是一种常见的最值问题。
通过将道路或网络抽象为图论模型，可以利用一元函数的最值求解方法找到起点到终点的最短路径。
3. 优化设计问题在工程和设计领域中，优化设计问题是指寻找最优解以满足给定约束条件的问题。
例如，在建筑设计中，可以通过优化一元函数的最值来确定最佳材料用量、结构形式等。
四、总结一元函数的最值与最值问题是数学中的重要概念和应用。
本文介绍了一元函数的最值求解方法，包括导数、求导法则和极值点的求解。
同时，我们也探讨了最值问题在实际生活中的应用，如最大收益问题、最短路径问题和优化设计问题等。
一元函数的极值定义
一元函数的极值定义在数学中，一元函数的极值是指函数在定义域内取得的最大值和最小值。
通过求导数，我们可以找到函数的极值点。
极值点可以是函数的局部最大值或局部最小值，也可以是函数的全局最大值或全局最小值。
下面我们将详细介绍一元函数的极值定义及其应用。
一元函数的极值定义对于一个一元函数f(x)，如果在某个点x=a处，f'(a)=0且f''(a)≠0，那么我们称点x=a为函数f(x)的极值点。
如果f''(a)>0，则称点x=a 为函数f(x)的局部最小值点；如果f''(a)<0，则称点x=a为函数f(x)的局部最大值点。
如果f(x)在定义域内的任意点处都比点x=a处的函数值大（或小），则称点x=a为函数f(x)的全局最小值点（或全局最大值点）。
应用一元函数的极值在数学和实际问题中具有重要意义。
在数学中，通过求函数的极值点，我们可以找到函数的最值，进而推导出函数的性质和特点。
在实际问题中，极值点可以用来解决最优化问题，比如在经济学中，找到成本函数或收益函数的最大值点可以帮助企业做出最佳决策；在物理学中，找到能量函数或路径函数的最小值点可以帮助预测物体的运动轨迹。
除了通过求导数的方法找到极值点外，我们还可以通过二分法、牛顿法等数值方法来寻找函数的极值点。
这些方法在实际问题中也有着重要的应用价值。
总结一元函数的极值定义为函数在某个点处取得的最大值或最小值。
通过求导数，我们可以找到函数的极值点，并进一步推导出函数的性质和特点。
极值点在数学和实际问题中都具有重要意义，可以帮助我们解决最优化问题，预测物体的运动轨迹等。
希望通过本文的介绍，读者能对一元函数的极值有一个更加深入的理解。
最值问题详解【一元分析学经典讲义】
16 4096 故 s( ) = 为所有三角形中面积的 最大者 . 3 27
可以用最值证明不等式. 可以用最值证明不等式
注：若区间非闭或无限，且有唯一极值，则该极 若区间非闭或无限，且有唯一极值， 值为最值；此时若有多个极值， 值为最值；此时若有多个极值，先判断区间两端 点或无穷远处函数的变化趋势， 点或无穷远处函数的变化趋势，再考虑从极值中 找最值。 找最值。 例
lim y = +∞
2 + ln x y′ = 2 x
y = x ln x
三、小结
注意最值与极值的区别. 注意最值与极值的区别 最值是整体概念而极值是局部概念. 最值是整体概念而极值是局部概念 实际问题求最值的步骤. 实际问题求最值的步骤
思考题
若 f (a ) 是 f ( x ) 在[a , b ] 上的最大值或最 小值，且 f ′(a ) 存在，是否一定有 f ′( a ) = 0 ？ 存在， 小值，
二、应用举例
例1 求函数 y ຫໍສະໝຸດ 2 x 3 + 3 x 2 − 12 x + 14 的在[−3,4]
上的最大值与最小值 .
解 Q f ′( x ) = 6( x + 2)( x − 1)
解方程 f ′( x ) = 0, 得
x1 = −2, x2 = 1.
f ( −2) = 34; f (4) = 142;
5 、从一块半径为 R 的圆缺片上挖去一个扇形做成一个 漏斗，问留下的扇形的中心角为_________ _________时 漏斗，问留下的扇形的中心角为_________ 时，做 成的漏斗 的容积 为最大 ？ 此问 题的目 标 函数为 ________________考察区间为 考察区间为_______________. ________________考察区间为_______________. 54 2 二、求函数 y = x − ( x < 0 )的最值 . x n 10 三、求数列 n 的最大项 . 2 要造一圆柱形油灌， 四、要造一圆柱形油灌，体积为 V ，问底半径 r 和高 h 等于多少时，才能使表面积最小？这时底直径与 等于多少时，才能使表面积最小？ 高的比是多少？ 高的比是多少？
微积分中的极值与最小极值
微积分中的极值与最小极值微积分是数学中的一门重要课程，其中极值与最小极值是微积分中常见的概念。
在实际问题中，我们常常需要找出函数的极值或最小极值，以便解决问题。
本文将探讨微积分中的极值与最小极值以及其在实际运用中的意义和应用。
一、极值及其定义极值指的是在函数定义域内某一点处函数取得的最大值或最小值。
对于一元函数 f(x)，如果它在 x=a 处取得了一个极大值，那么f(a) 就是该函数在定义域内的一个最大值；如果它在 x=b 处取得了一个极小值，那么 f(b) 就是该函数在定义域内的一个最小值。
通常来说，确定函数的极值需要找到函数的驻点和边界点。
其中，驻点指的是函数导数为零或不存在的点，在这些点上函数可能取得极值；边界点则指的是函数定义域的端点，这些点也可能是函数的极值点。
二、一元函数的最小值对于一元函数 f(x)，如果它在一个区间 [a,b] 内单调递增，那么f(a) 就是该函数在区间 [a,b] 内的最小值；如果它在一个区间 [a,b]内单调递减，那么 f(b) 就是该函数在区间 [a,b] 内的最小值。
此外，如果该函数具有唯一的最小值点 c，那么我们可以使用二次判别法来判定该点是否是函数的最小值点：1. 如果 f''(c) > 0，那么 f(c) 是该函数在其定义域内的一个最小值点；2. 如果 f''(c) < 0，那么 f(c) 不是该函数的极值点；3. 如果 f''(c) = 0，那么需要另外的方法来判定该点是否是函数的最小值点。
三、一元函数的最大值与一元函数的最小值类似，对于一元函数 f(x)，如果它在一个区间 [a,b] 内单调递减，那么 f(a) 就是该函数在区间 [a,b] 内的最大值；如果它在一个区间 [a,b] 内单调递增，那么 f(b) 就是该函数在区间[a,b] 内的最大值。
同样地，如果函数具有唯一的最大值点c，可以使用二次判别法来判定该点是否是函数的最大值点。
一元函数求极值的例题
一元函数求极值的例题《一元函数求极值例题》例题：设函数$f(x)=x^3+5x^2-9x+2$，求$f(x)$的极值点及极值。
解析：要求函数的极值点及极值，需要先求出函数的导数，找到导数为零的点，然后再根据二阶导数的符号确定这些点的极值属性。
首先，求函数$f(x)$的导数$f'(x)$：$$f'(x)=(x^3+5x^2-9x+2)'=3x^2+10x-9$$令导数$f'(x)$为零，得到方程$3x^2+10x-9=0$。
可以使用求根公式或配方法解得$x=1$和$x=-3/3$。
然后，求函数$f(x)$的二阶导数$f''(x)$：$$f''(x)=(3x^2+10x-9)'=6x+10$$分别代入$x=1$和$x=-3/3$，得到$f''(1)=16$和$f''(-3/3)=-8$。
由于$f''(1)>0$，说明在$x=1$处函数$f(x)$取得极小值。
由于$f''(-3/3)<0$，说明在$x=-3/3$处函数$f(x)$取得极大值。
将$x=1$和$x=-3/3$代入函数$f(x)$，得到极值点和极值：$f(1)=1^3+5(1)^2-9(1)+2=-1$$f(-3/3)=(-3/3)^3+5(-3/3)^2-9(-3/3)+2=10/3$所以，函数$f(x)$的极值点为$x=1$，极值为极小值$f(1)=-1$；极值点为$x=-3/3$，极值为极大值$f(-3/3)=10/3$。
总结：求一元函数的极值，需要先求导数，找出导数为零的点，然后根据二阶导数的符号确定极值的属性。
通过这个步骤，可以确定函数的极值点和极值。
通过本例，我们找到了函数$f(x)=x^3+5x^2-9x+2$的极值点为$x=1$，极值为极小值$f(1)=-1$；极值点为$x=-3/3$，极值为极大值$f(-3/3)=10/3$。
一元二次函数的最值
一元二次函数的最值一、知识整理一元二次函数：形如2,0y ax bx c a =++≠的函数称之为一元二次函数。
一元二次函数有三种形式：一般式：2y ax bx c =++ 顶点式：224()24b ac b y a x a a-=++ 两根式：12()()y a x x x x =--例如：2243(2)1(3)(1)y x x x x x =-+=--=--一元二次函数图象形状为抛物线，0a >时开口向上，0a <时开口向下，对称轴为2b x a=-. 判别式24b ac ∆=-，0∆>时图象与x 轴有2个交点； 0∆=时图象与x 轴有1个交点；0∆<时图象与x 轴没有交点.根与系数的关系：（韦达定理） 12b x x a +=-，12c x x a=一元二次函数求最值的解题顺序为：化成一般式，说明开口方向、对称轴，说明单调区间，写出最大最小值。
二、例题精讲例1 求223y x x =--，[0,5]x ∈的最值。
解一：223y x x =--开口向上，对称轴为1x =，()f x 在[0,1]上递减，在(1,5]递增。
故()f x 在1x =处有最小值4-，在5x =处有最大值12.解二：如图可知，()f x 在1x =处有最小值4-，在5x =处有最大值12.例2 求2(1)(3)y x x =--，[0,3]x ∈的值域。
解一：2(1)(3)y x x =--2286x x =-+-开口向下，对称轴为2x =，()f x 在[0,2]上递增，在(2,3]上递减，(0)6f =-，(2)2f =，故()f x 的值域为[6,2]-.解二：如图可知，()f x 的值域为[6,2]-.三、练习1、求(21)(1)y x x =--，[0,2]x ∈的值域。
2、求222,[1,3]y x x x =-+-∈-的最大值和最小值。
答案：1、求(21)(1)y x x =--，[0,2]x ∈的值域。
6最值系列之拉普拉斯点
6最值系列之拉普拉斯点拉普拉斯点，又称拉普拉斯极大值和极小值点，是指在曲线上求函数最值时，导数等于零的点。
在数学中，拉普拉斯点是研究函数特性和曲线变化的重要概念。
1. 拉普拉斯点的定义和性质拉普拉斯点定义为函数导数等于零的点。
对于一元函数，若函数的一阶导数等于零，即 f'(x) = 0，那么该点 x 称为拉普拉斯点。
对于多元函数，拉普拉斯点是指梯度向量等于零的点。
拉普拉斯点具有以下性质：- 在拉普拉斯点处，函数的斜率为零，曲线呈水平切线；- 拉普拉斯点可以是函数的极大值、极小值或函数的鞍点；- 拉普拉斯点周围的导数存在符号变化，从正到负或从负到正。
2. 拉普拉斯点的应用拉普拉斯点在数学和科学研究中有广泛的应用，特别是在最优化和优化问题中。
以下是拉普拉斯点的一些应用领域：2.1 函数最值的求解求取函数的最大值或最小值是数学中非常常见的问题。
通过求取函数的拉普拉斯点，我们可以确定函数的极值点，并进一步求解函数的最值。
拉普拉斯点方法是解决函数最值的重要工具之一。
2.2 数据拟合在统计学和数据分析中，数据拟合是常用的技术。
通过拟合曲线，我们可以找到最适合数据集的函数模型。
拉普拉斯点方法可以用于拟合曲线时确定函数的最值点，以提高拟合的准确性。
2.3 优化算法优化算法是在给定约束条件下求取最优解的算法。
拉普拉斯点在优化算法中常用于确定目标函数的极值点，从而指导算法的搜索方向，提高求解的效率和准确性。
3. 总结拉普拉斯点是数学中重要的概念，用于研究函数最值和曲线特性。
通过求解函数的拉普拉斯点，我们可以确定函数的极值点，并且可以应用于函数最值求解、数据拟合和优化算法等领域。
在数学和科学研究中，对拉普拉斯点的理解和应用具有重要意义。
初三最值问题的常用解法及模型
初三最值问题的常用解法及模型一、引言初三数学中最值问题一直是学生们头疼的难题。
最值问题不仅仅是考察学生对知识点的掌握程度，更重要的是考验学生解决实际问题和推理的能力。
在本文中，我们将探讨初三数学中最值问题的常用解法及模型，帮助学生们更好地理解和应对这一难点。
二、常用解法1. 图形法最值问题常常可以通过图形法来解决。
给定一个函数y = f(x)，可以通过画出其图像，然后找出函数的极值点来求解最值问题。
通过观察图像的特点，我们可以更直观地理解函数的最值点在何处，从而得到更准确的解。
2. 性质法有些最值问题可以通过利用函数的性质来解决。
关于一元二次函数的最值问题，我们可以通过一元二次函数的性质，如开口方向、顶点位置等来推导出最值点的位置，从而得到解的方法。
3. 等式法有些最值问题可以通过建立方程或不等式来解决。
通过建立关于未知数的方程或者不等式，我们可以将最值问题转化为解方程或解不等式的问题，从而得到最值点的位置。
三、常用模型1. 长方形面积最大问题给定一段定长的绳子，用这段绳子围成一个长方形，求这个长方形的面积最大是一个最值问题。
通过建立关于长方形面积的函数，然后利用导数的性质找出函数的最值点，从而求解长方形面积最大问题。
2. 等边三角形周长最小问题给定一个定长的线段，求能够围成等边三角形的线段最小是一个常见的最值问题。
通过建立关于等边三角形周长的函数，然后利用导数的性质找出函数的最值点，从而求解等边三角形周长最小问题。
3. 盒子体积最大问题给定一定面积的纸张，通过剪切和折叠，能够制成一个盒子，求使得盒子体积最大的折法是一个典型的最值问题。
通过建立关于盒子体积的函数，然后利用导数的性质找出函数的最值点，从而求解盒子体积最大问题。
四、个人观点和理解最值问题在初三数学中是一个重要的难点，但也是一个可以锻炼学生逻辑思维能力和数学推理能力的好机会。
通过多维度的解法和模型，学生们可以更好地理解和掌握最值问题的解法，并且能够将数学知识与实际问题相结合，培养出更强的数学建模能力。
高考数学一轮总复习教学课件第三章 一元函数的导数及其应用第3节 导数与函数的极值、最值
(4)列表检验f′(x)在f′(x)=0的根x0左右两侧值的符号.
(5)求出极值.
角度三
由函数极值(极值个数)求参数值(范围)
[例3] (1)已知函数f(x)=x3+ax2+bx+a2在x=1处有极小值10,则a+b
等于(
A.-7
√
C.-7或0
零,所以1.5是f(x)的极小值点,所以C正确;而x=-2和x=3,左右两侧
附近的导数值同号,所以-2和3不是函数的极值点,所以B,D错误.故
选AC.
3.(选择性必修第二册P94练习T1改编)已知函数f(x)=2sin x+
sin 2x,则f(x)的最小值是
.
解析:f′(x)=2cos x+2cos 2x=2cos x+2(2cos2x-1)=
当a>0时,令f′(x)=0,所以ex=a,x=ln a,
x
f′(x)
f(x)
(-∞,ln a)
↘
ln a
0
极小值
(ln a,+∞)
+
↗
f(x)在x=ln a处取得极小值f(ln a)=a-aln a-1,无极大值.
运用导数求函数f(x)极值的一般步骤
(1)确定函数f(x)的定义域.
(2)求导数f′(x).
(3)解:①由已知,可得f′(x)=x2+ax-2.
因为函数f(x)的图象在点(1,f(1))处的切线与直线2x+y-1=0平行,
所以f′(1)=a-1=-2,解得a=-1.经验证,a=-1符合题意.
②求函数f(x)的极值.
一元二次函数模型解初中物理的最值问题
一元二次函数模型解初中物理的最值问题一元二次函数在初中物理中有着广泛的应用，特别是在解决最值问题时，一元二次函数模型能够很好地进行描述和求解。
本文将通过一些物理问题为例，介绍一元二次函数模型在初中物理中的应用，以及如何使用一元二次函数来解决最值问题。
一、一元二次函数模型在初中物理中的应用1.自由落体运动在物理学中，自由落体运动是一个经典的问题。
当一个物体从高处自由落下时，其运动轨迹可以用一元二次函数来描述。
根据自由落体运动的公式，物体下落的距离与时间的关系可以用一元二次函数来表示。
2.抛体运动抛体运动是物理学中另一个重要的问题。
当一个物体在斜面上抛出时，其运动轨迹也可以用一元二次函数来描述。
通过建立合适的坐标系和运动方程，可以将抛体运动表示为一元二次函数的形式。
3.弹簧振子的运动弹簧振子是物理学中常见的振动问题。
当弹簧振子受到外力作用时，其位移与时间的关系可以用一元二次函数来描述。
通过求解一元二次函数的最值，可以得到弹簧振子的最大位移和最大速度等物理量。
二、使用一元二次函数解决最值问题的方法1.建立函数模型要根据物理问题的特点建立合适的一元二次函数模型。
对于自由落体运动问题，可以通过分析自由落体运动的公式，建立物体下落位移与时间的关系的一元二次函数模型。
2.求解最值接下来，可以通过一元二次函数的性质和求最值的方法来解决物理问题中的最值问题。
对于一元二次函数y=ax^2+bx+c（a≠0），其最值可以通过以下公式来求解：最大值为y_max=-Δ/4a最小值为y_min=-Δ/4a其中，Δ=b^2-4ac称为一元二次函数的判别式，根据判别式的正负可以判断函数的最值。
3.解释物理现象要将最值问题的解释与物理现象相结合，得出符合物理意义的结论。
对于自由落体运动的最值问题，可以根据最值的解析结果来分析自由落体运动的最大高度、最大速度等物理量。
三、结语一元二次函数模型在初中物理中有着重要的应用，特别是在解决最值问题时，可以很好地描述物理现象并求解相关物理量。
求最大值的公式
求最大值的公式在数学中，求最大值是一个常见的问题，在不同的数学领域中都有各自的方法来求解。
本文将讨论一些常见的求最大值的方法和相关的数学公式。
一、一元函数求最大值对于一元函数f(x)来说，求解其最大值可以通过求导数的方法来实现。
假设f(x)在区间[a,b]上连续且可导，则可以通过求解f′(x)=0的根来确定f(x)在该区间上的极值点。
极值点中的最大值即为函数f(x)在区间[a,b]上的最大值。
二、二元函数求最大值对于二元函数f(x,y)来说，求解其最大值可以通过偏导数的方法来实现。
假设f(x,y)在一个闭合有界区域D上连续且具有一阶连续偏导数，则可以通过求解$\\frac{\\partial f}{\\partial x}=0$和$\\frac{\\partial f}{\\partial y}=0$的根来确定f(x,y)在该区域上的临界点。
然后在临界点和区域边界处比较f(x,y)的取值，即可确定f(x,y)在这个区域上的最大值。
三、线性规划中的最大值在线性规划中，求解一个线性函数在一个线性约束条件下的最大值也是一种常见的问题。
线性规划问题可以通过建立目标函数和约束条件的数学模型，然后应用线性规划算法来求解。
最终得到的就是目标函数在约束条件下的最大值。
四、最小二乘法中的最大值在统计学和机器学习中，最小二乘法是一个常见的拟合方法。
通过最小二乘法可以得到一个模型函数，然后可以通过求解该模型函数的极值来确定模型的最佳拟合。
通常在最小二乘法中，优化的目标是最小化误差的平方和，这相当于寻找最大似然估计。
结论在数学中，求最大值是一个普遍存在的问题，不同的数学领域有不同的方法和公式来求解最大值。
本文介绍了一元函数、二元函数、线性规划和最小二乘法中求最大值的常见方法和相关公式。
通过深入了解这些方法和公式，我们可以更好地解决实际问题，并优化数学模型的性能。
一个函数最值模型在实际问题中的应用
一个函数最值模型在实际问题中的应用
陈文伟
【期刊名称】《中学数学》
【年(卷),期】2001(000)007
【摘要】@@ 应用题是指有实际背景或有实际意义的数学题.强调数学的应用和培养学生的数学意识,是中学数学教学的任务之一.如何将一个实际问题转化为数学问题,即所谓的"数学建模"是一个难点问题.我们在教学中应有意识地对学生的建模能力加以培养.下面就来看一个函数最值的几何模型.
【总页数】2页(P34-35)
【作者】陈文伟
【作者单位】213002,江苏省常州市北郊中学
【正文语种】中文
【中图分类】G4
【相关文献】
1.函数最值在一些实际问题中的应用 [J], 王利霞
2.三角函数最值在实际问题中的应用 [J], 韦超云;黄仲武
3.一个函数最值模型在实际问题中的应用 [J], 陈文伟
4.应用二次函数求实际问题的最值 [J], 罗俐娟
5.求实际问题中多元函数最值的几点心得 [J], 韩建新
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一元函数的极值
一元函数的极值
一元函数的极值
一元函数的极值是指在函数的所有可能取值中，函数值获得最大或最小值的取值。
它是函数图像中拐点的值。
即在它点，函数值取最大或最小值，而函数的斜率勾股改变符号由正变为负或负变为正，其导数也变成 0。
一元函数有两类极值：最大值和最小值，分别乐称局部极大值和局部极小值，两者的求取方法实际上也是一样的，都可以用微分的求导方法求得。
一元函数求极值的过程有如下几个步骤：
1.t确定函数的微分式：直接利用定义求出，把函数按某一公式表示式；
2.t求解微分式的根：两边同乘以微分式的导数，使得微分式的导数两边同号，然后化简两边，使其变为一元二次方程，求出方程的根；
3.t替换函数中的变量：将求出的解替换到原函数中，求出函数值，然后比较函数值的大小，即可求出极大值或极小值；
4.t判断函数的极值：把函数求出的最大值或最小值替换到函数中，求出函数的导数，根据函数的导数正负判断函数是极大值还是极小值。
确定函数的极值要熟悉求导法，认真分析函数微分求出的根和极值，利用定义求出函数的极值，同时也要牢记解导数结果的几条公式，
对于极值的判定也要仔细观察函数导数的正负。
一元函数的最值与最值的求解
一元函数的最值与最值的求解在数学中，一元函数是指只有一个自变量的函数。
求解一元函数的最值，即找到函数在给定定义域上的最大值和最小值，是数学中的一项重要任务。
本文将介绍一元函数最值的求解方法，并列举一些常见的数学问题来加深理解。
一、最值的定义在给定的定义域上，对于函数f(x)，若存在x0使得对于任意的x∈D，都有f(x0)≥f(x)（或f(x0)≤f(x)），则f(x0)称为函数f(x)在定义域D上的最大值（或最小值）。
最大值和最小值统称为最值。
二、最值的求解方法1. 导数法导数是函数的一阶微商，可以帮助我们判断函数在某一点的斜率和变化趋势。
根据函数在区间内的导数变化情况，可以找出函数的最值点。
步骤：a. 求出函数的导数f'(x)。
b. 解方程f'(x)=0，得到函数的驻点。
c. 将驻点带入原函数f(x)中，得到函数的最值。
2. 极值法极值是函数在自变量的某个值处的最大值或最小值。
使用极值法求解一元函数最值时，需要先找到函数的极值点，然后将这些点代入函数中进行比较。
步骤：a. 求出函数的导数f'(x)。
b. 解方程f'(x)=0，得到函数的驻点。
c. 求出驻点处的函数值f(x)，得到极值点。
d. 将极值点与区间端点处的函数值进行比较，得到最值。
3. 函数图像法函数图像是函数在坐标系中的可视化表达，通过观察函数图像的变化趋势，可以直观地找到函数的最值。
步骤：a. 将函数图像绘制在坐标系中。
b. 观察函数图像的变化趋势，找到函数的最大值和最小值点。
三、实例分析下面列举几个数学问题，用不同的方法求解一元函数的最值。
1. 问题一：f(x) = x^2 - 4x + 3，求f(x)的最值。
解答：a. 导数法：f'(x) = 2x - 4，令f'(x) = 0，得到x = 2。
将x = 2代入f(x)中，得到f(2) = -1，故f(x)的最小值为-1。
b. 极值法：同导数法，得到驻点x = 2。
关于一元函数最值的几种求法
关于一元函数最值的几种求法
发表时间：2012-01-12T10:36:07.287Z 来源：《中小学教育》2012年2月总第88期供稿作者：张红岩
[导读] 求函数最值一直是中学数学内容中的难点，这是因为其解题方法灵活，题型多变，涉及的数学知识点广泛，技巧性强等张红岩甘肃省庆阳市理工中等专业学校745000
求函数最值一直是中学数学内容中的难点，这是因为其解题方法灵活，题型多变，涉及的数学知识点广泛，技巧性强等，使学生不易掌握。
一、利用配方法求函数的最值：
适用类型有解析式中含有二次函数或者形如y=af2（x）+bf（x）+c，均可用此法求解。
评注：以上两例的配方法应用中包括了变量代换，在此类型题目中二者配合使用，能使配方法发挥更广泛的作用。
二、利用判别式法求函数最值：
适用类型是解析式为分式形式且分子、分母有一个是二次函数，另一个为一、二次均可。
评注：该题型在使用判别式之前，需要注意x的二次项系数是否为0的情况。
评注：此题是利用变量代换和判别式法配合使用，使问题迎刃而解。
三、利用向量求函数的最值
类型1：y=p a-x+q x-b型（a>b，p，q同号）。
类型2：y=（px+r）+q ax2+bx+c型（b2-4ac>0）。
当且仅当a与b同向平行时等号成立。
点评：向量作为一个数学工具，应用越来越广泛，用向量解题，方法新颖，运算快捷，是拓展学生思维的一个有效途径。
四、利用复数求函数的最值
五、利用等差数列求函数最值
评注：利用等差数列求函数最值方法新颖，独具创新，对培养学生的思维、拓展学生的视野具有很大帮助。
一元函数最值的求法
一元函数最值的求法一元函数最值的求法是在高中数学中的重要内容，其涉及到单调性、导数、二次函数等多个知识点。
本文将详细介绍一元函数最值的求法。
一、单调性及奇偶性在求解一元函数最值之前，需要先了解单调性和奇偶性的概念。
单调性是指函数在定义域上的增减关系，可以分为递增和递减两种情况。
奇偶性是指函数的定义式中是否存在$x$的奇偶性，可以分为奇函数和偶函数两种情况。
1. 奇函数的定义区间必定包括原点；2. 函数在原点处对称；3. 如果$x$属于定义区间，则$-x$也属于定义区间；4. 对于任何$x$值，有$f(-x)=-f(x)$。
知道了单调性和奇偶性的概念，就可以通过函数的性质来判断其最值了。
二、利用导数求最值利用导数求解一元函数的最值是比较常用的方法。
在求解函数的最值时，需要先求出函数的导数，然后通过对导数进行分析得到函数的最值。
1. 求导数首先需要求出函数的导数。
对于一元函数$f(x)$，其导数为：$$f'(x)=\lim\limits_{\Delta x \rightarrow 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}$$如果函数$f(x)$在$x$处可导，则$f'(x)$表示函数在$x$处的切线斜率。
如果$f'(x)>0$，则函数在$x$处递增；如果$f'(x)<0$，则函数在$x$处递减；如果$f'(x)=0$，则函数在$x$处取得极值。
2. 求极值通过求导得到函数的导数后，需要对导数进行分析，从而确定函数的极值。
对于一元函数$f(x)$：1. 当$f'(x)>0$时，函数在$x$处递增；需要注意的是，$f'(x)=0$只能说明函数可能取得极值，而不能确定其是最大值还是最小值。
此时需要使用导数符号法或判别式法来求解。
导数符号法：对于一元函数$f(x)$，若在$x_0$处$f'(x_0)=0$，则有：判别式法：对于一元二次函数$y=ax^2+bx+c$，其判别式为$\Delta=b^2-4ac$。
一元函数极值与最值的求法
Ｙ － ． Ｎ ｆ “ 。 ） ０ ， 故 存 在 正 数 ， ‘ 当 ｕ 。 ） 时 ， 厂 ＿ 与
厂 ） － ｆ（ Ｘ 。 ） ＜ ｏ ， 即 厂在 。 取得极 大值． 同 样对 ， （ Ｘ ｏ ） ＞ ０ ， 可 得，在 。 取得极小 值．
＋
值点的集合是｛ Ｉ ＝ Ａ ＋ ｋ ｚ ｝ ． 当ｋ为偶数时函数厂 ） 取得最大值：８ ＋
√ ２ ， 当 ｋ为奇数时 ） 取得最小值 ：８ 一 √ ２ ．
２利 用 换 元 法 求 函 最 值
例６已 知 函 数 厂 ） ＝ ａ ｓ ｍ ｘ ＋ ÷ ｓ ｉ ｎ ３ ｘ 在 ＝ 处 取 得 极 值 ， 求 口 的 值
０ （ １ ） 同 号 ． 所以 ， 当 ， “ 。 ） ＜ ０ 时 ， 上 式 取 负 值 ， 从 而 对 任意 ∈ ｕ（ Ｘ ０ ； ’ ） 有
厂 ’ ） Ｃ Ｏ Ｓ Ｘ — ｓ ｉ ｎ ｘ ， 令厂 。 ） ０ ，得 ｙ ｔ ＋ ｋ （ ｋ∈ ｚ ） ． 则函数 厂 ） 极
值与最值。 １利 用 单 调 性 求 函 数 极 值 与 最 值
．
．
・
．
一
手 １ － ＜ ４ ＂ ２ ｓ ｉ ｎ Ｏ ｆ ＋ 三 卜 ２ ＜ 一
ａ
２
求函数极值与最值 的最直接 最明了的方法就是利用函数 的单调性， 或
者 再 以图 表 作 为 工 具 。 数 形 结合 ， 然 后 得 到 所 求 的极 值 与 最 值 结 果 ．
法， 每种 方 法给 出 了相 应 的例 题 。 关键词： 函数 极 值 ； 函数最值 ； 一 元 函数 ： 换 元 法
求 函数 极值与最值的方法有很 多， 我们重 点讨论一元函数极值 与最值
一元线性绝对值函数最值的算法、程序及应用
所 以 ２Ｉ ａｆ ＋５ ａ・ ｂ一３＝ ０ Ｉ ． Ｉ ａ 一
３ ・ｂ 一 ４ ＝ ０． ａ
联解 ＩＩ 翟口６一 ， 立得 ｎ √ ， ＝言 ＝ ・
所 以 ｃｓ＜ 。
５
＝ 一
，
， 玖公 瓦 口 该公 式 可 作 这样 的 理 Ｊ 嗣 埋
＞＝
●
————＇ ．
评 注 在 传 统 的三 角 教 材 中推 导 两 角 差 的余 弦公式 时 ， 过程 比较 复杂 ， 而利 用单 位
向量 的数 量 积证 明就 简 明得多 ．
３ 应 用单 位 向量定 义 从数 形 上 来 深 层次 理 解巧 解题
一
所 以 （ ｎ—ｂ ・ ａ＋３ ） ０ （ ２ ） （ ｂ的夹角 的余 弦值 等 于 与
ａ ｂ方 向相同的两个单位 向量 的数量积 ， 、 这 结果还说 明 向量 的夹 角与该 向量 的长度 无 关． 例 ５ （ １ 届“ 第 ５ 希望杯” 数学邀请赛试
题 ）已知 ａ ｂ均 为非 零 向 量 ， 满 足 （ ａ — 、 且 ２
ｉ ｌ ＝
以下定 理得 出结论 ． 定理 １ 若 ｆ ）＝ ｍ１ 一口１ ＋ｍ２ （ ｌ Ｉ Ｉ２一 口 ， ． ７ ２Ｉｍｌ＞ ０ ｍ２＞ ０ 口ｌ 口 ， ， ， ＜ ２则 １ 当 ｍｌ ｍ２ ， ． ＞ 时 函数 厂 ） ．＝ 口 （ 在２ ７ ｌ
．
问题 的讨 论
・
（ ａ＋ ｂ ）＝ ０ ，
即 ２ ＋５ ｎ ａ． ｂ一３ ＝ ０ ａ ｂ ． 一３ ａ． ｂ
４ｂ ＝ ０．
又 ａ ＝ Ｉａ Ｉ ｂ ＝ Ｉｂ Ｉ ＝ １． ．
已知非零向量压 ， 则与 方向相同的
单位 向 量可 以表 示 为 量 ｎ ｂ的夹 角 ｃｓ 、 ｏ０＝ ＣＳ ｃｓ ＝ Ｏ ｏ０ ‘ ・ ．由此 ， 零 向 非 可 以写 为
函数最值的几何解法
函数最值的几何解法霍梦园;王韵【摘要】给出了应用两点间距离、点到直线的距离、斜率、几何图形、平面向量解决复合三角函数、一元函数、多元函数最值的方法.这些方法充分体现了运用几何模型解题的优越性和重要性,深化了学生对几何的内涵与外延的认识.【期刊名称】《高师理科学刊》【年(卷),期】2011(031)005【总页数】4页(P33-36)【关键词】几何模型;最值;应用【作者】霍梦园;王韵【作者单位】重庆师范大学数学学院,重庆401331;重庆师范大学数学学院,重庆401331【正文语种】中文【中图分类】O182.1求函数的最大值和最小值是高中数学代数部分的重要内容，也是高考中的常考题型，解法丰富多变，对于一些较繁琐的代数问题，用常规的代数方法显得很困难.给出了应用两点间距离、点到直线的距离、斜率、几何图形、平面向量解决复合三角函数、一元函数、多元函数最值的方法，这些方法充分体现了运用几何模型解题的优越性和重要性，深化了对几何的内涵与外延的认识.（1）形如的函数的几何意义是x轴上的动点P到两个定点A与B的距离之和，其中A与B在x轴的同侧，当P，A，B三点共线时，y取最小值（2）形如（其中：A1=A2，B1=B2不同时成立）的函数的几何意义是x轴上的动点P到两个定点A与B的距离之差，其中A与B在x轴的异侧，且，当P，A，B三点共线时，y取最大值例1 求函数的最小值.解函数解析式可以改写为，当x变化时，它表示动点P(x, 0)到两点A(1, 2)与B(2,1)的距离之和（见图1），当P点在x轴上移动，有当且仅当P，A，B3点共线时等号成立，而P，A，B3点共线的条件是.所以，当x取时，y=取最小值，最小值为形如的函数可变形为，用几何法求解最大值和最小值.例2 已知x 2+y2=1,求的最大值和最小值.分析本题所给的函数含有绝对值，联想到点到直线的距离公式.解，表示单位圆x2+y2=1上的动点P(x, y)到直线j：3x+4y-15=0的距离的5倍.过圆心O作j的垂线，分别与单位圆交于A，B两点（见图2），点A到j的距离最大，点B到j的距离最小.这是因为原点O到j的距离，所以，直线AB的方程为4x-3y=0，解方程组得或.因此当x=3/5，y=4/5时，有最大值，当x=-0.6，y=-0.8，有最小值形如的函数，可以看成经过2点(x, y)，(a, b)的直线的斜率，其中：(a, b)是定点；(x, y)是动点，因而可借助斜率解题.例3 已知a＞b＞0，θ为锐角，求z=asecθ-b tan θ的最小值[1].分析本题函数为三角函数形式，可把它变形为分式，转化成斜率.解，在直角坐标系内，它表示定点Q(0, a)与动点P(-cos θ,bsinθ)连线的斜率，令，消去参数θ得又θ为锐角，则动点P的轨迹C是椭圆在第二象限部分（见图3），过点Q作曲线C的切线l，切点为A.设l方程为y=kx+a(k＞0)，由可得(k2+b2)x2+2kax+a2-b2=0.由Δ=(2ka)2-4(k 2+b2)(a 2-b2)=0可知，k2=a 2-b 2，因为 k＞0，所以，因此可得A的横坐标为，所以.由于θ为锐角，故，所以z=asecθ-b tan θ有最小值例4 已知实数x，y，且(x -2)2+y2=3，求的最大值和最小值.分析，它表示经过两点(x, y)，(0, 0)的直线的斜率.解方程(x -2)2+y 2=3表示以C(2, 0)为圆心，以为半径的圆（见图4），表示该圆上的动点P(x,y)与原点O(0, 0)连线的斜率.过原点O作圆C的2条切线，切点分别为A，B，则OA斜率为所求最大值，OB斜率为所求最小值.因为所以，因而又所以点A，B的坐标分别为.因此，当x=0.5，时，有最大值当时，有最大值形如的函数的最小值和的最大值可以考虑构造向量来解题[2].例5 求函数的最小值.解显然，令P(x, 0)，A(1, 1)，B(-1, 1)，则，于是，当且仅当反向时等号成立，即，此式无解，故函数的最小值不是2.此时变换点，则有.同样有，当且仅当与反向时等号成立，(1-x, 1)=λ(-1-x，-1）(λ＜0），所以λ=-1，故x=0时，取得最小值若不是求以上类型的题目时，可考虑用构造几何图形的方法来解题.例6 设m, n, p为正实数，且m2+n2-p 2=0，求的最小值.解法1 构造边长为m+n的正方形ABCD，点E,F, G,H 分正方形各边为长度比为m∶n的2部分（见图5）.显然EFGH是边长为p的正方形，由图5可知，且EG≥AD（当HD=HA 时，即m=n时等号成立），所以，即故的最小值为解法2 构造如图6的圆，其中：O为圆心；AB为直径.CD⊥AB ，垂足为D，设AC=m，BC=n，则AB2=AC2+BC2=m2+n2，又m2+n2-p 2=0，所以AB=p，由直角三角形的面积关系可知，AC⋅BC=CD ⋅AB，所以所以故最小值为定理[3] 设曲线L的方程为，函数F(x, y, z )，G(x, y, z )具有连续的一阶偏导数，且（或），P为曲线L外一点，Q点在曲线L上，线段PQ为点P到曲线L的最短距离，则PQ为曲线L在点Q处的法线.例7[4] 设抛物面z=x 2+y2被平面x+y+z =1截成一椭圆，求原点到这椭圆的最长与最短距离.解设所求点P(x, y, z )，由定理可知，向量=(x, y, z)为椭圆在该点的法向量.为求点P，先求椭圆在点P的切向量.构造方程组，对x求偏导并整理得所以切向量[5]，由向量与向量垂直可得亦即(x-y)(1+2z)=0.若1+2z=0，则z=-0.5，与z=x2+y 2≥0矛盾，故必有y=x，将y=x与联立，并解之得，因此最短距离为，最长距离为【相关文献】[1] 冯米鸿.求复合三角函数最值时的几何解法[J].科技资讯，2008（22）：145-146[2] 王红梅，蔡明星.构造平面向量，求解根式问题[J].数学教学，2006（6）：26-27[3] 华东师范大学数学系.数学分析（下册）[M].北京：高等教育出版社，1991[4] 滕兴虎，滕加俊，周华任，等.一类函数极值问题解法的说明[J].高师理科学刊，2008，28（2）：36-37[5] 滕兴虎，滕加俊，周华任，等.微积分辅导及习题精讲（下册）[M].西安：陕西师范大学出版社，2005。
关于求最值的一些模式
二、在CFD理论的基础上，根据辊道窑的实际热工特征，建立了辊道窑的三维数学模型，主要包括气体流动可实现性κ-ε标准方程湍流模型、PDF化学反应燃烧模型和DO辐射传 热模型；而数学模型的离散主要采用有限体积法思想，利用—阶迎风离散格式得到网格模型内各节点上的离散控制方程组，最后采用SIMPLE算法求解离散控制方程组。
科 教 论 坛
中国科教创新导刊 ２００８ ＮＯ．０７
Ｃｈｉｎａ Ｅｄｕｃａｔｉｏｎ Ｉｎｎｏｖａｔｉｏｎ Ｈｅｒａｌｄ
关于求最值的一些模式
王宝珍 （黄淮学院数学系 河南省驻马店 ４６３０００）
摘 要： 一类求平面上一动点的一元函数沿规定路径变化的最值问题可利用等高线与所规定路径相切的模式来求， 而多元函数可利用局
本文链接：/Periodical_rdsta200807113.aspx 授权使用：中共汕尾市委党校(zgsw)，授权号：d2d4e078-a661-45c2-99f8-9dc8011d8d74
下载时间：2010年8月4日
部变动的模式来求； 许多有关最大最小几何问题的解可用平均定理来求
关键词： 最值 等高线 相切 局部变动 模式 平均定理
中图分类号： Ｇ６３３．６
文献标识码： Ａ
文章编号：１６７３－９７９５（２００８）０３（ａ）－０１２９－０１
欧拉曾经说过：由于这个世界构造完美无 缺， 并由最聪名的造物主创立， 以至于在这个 世界上无论什么事情都包含着极大或极小的 道理 而极大或极小的问题也许比其它较为 困难的数学问题更为吸引人，这可能是出于十 分朴素的理由 尽管每个人都有自己的问 题， 但这些问题大都是些极大或极小的问题 我们总希望以尽可能低的代价来达到某个目 标， 或者以一定的努力来获得尽可能大的效 果 所以数学上关于极大和极小的问题， 通 常能使我们日常生活中的问题理想化，更容易 引起我们的兴趣
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拓展思考：
在我国，汽车正逐步走进千家万户，汽车行业正 一般地，汽车由于发动机转速的不同，其最佳效果也 成为我国的一个朝阳产业。但中国的汽车市场竞 争仍然十分激烈。随着燃油费的不断上涨，汽车 不一样。若这辆汽车发动机的效率为 p 0.768 0.00012v 。 的油耗成为了购车族关注的焦点。改进发动机的 请问小王 确定汽车的最佳速度。 性能，降低油耗，抑或研发新能源汽车已经成为 当前汽车制造商研发的重点课题。在这些课题研 究中，不可避免地要对汽车的各项指标进行定量 检测与分析，而这些均离不开数学这一强大的工具。
令 R ( x ) 0 ， 得驻点 x 2.5 。 把 x 2.5 代入， 得到最大收入 R 31.25 元。
四、模型求解
四、模型求解
Fminsearch是求函数最小值，需将 R(x)=30+x-0.2x2转换成 -R(x)=-30-x+0.2x2。 选择x=3为初始点，在其周围寻找最小 值。
拓展思考：
1.如果本周采摘，每棵树可采摘约15kg， 问题1的其他条件不变。问第几周采摘， 老王的收入最高？ 2.分析苹果现有产量与采摘周数之间的关 系。 3.如果考虑分期采摘，是否会提高收入？
光纤收费标准模型
某地有多家有线电视公司。有限公司A的光纤收 费标准是14元/（月*户），目前它拥有5万个 用户。某位投资顾问预测，若公司每月降低1 元的光纤收费，则可增加5000个新用户。 （1）请根据这一预测，为公司制定收费标准， 以获得最大利益。 （2）如果公司每月每户降低1元的光纤收费，只 增加1000个新用户，又该如何制定收费标准？
拓展思考：
1、如果通过调研发现，该公司最多只能拥 商品的销售量在一定程度上受商品价格的影响。 有5.7万个用户，问该如何制定收费标 一般来说，降低商品价格会增加销售量，所以并 准。
不是商品的价格越高，企业获利越高。科学合理 2、试分析最佳收费与每降低1元的新增客 地确定商品的价格会使企业获得最佳收益。
2
生产调度模型
佳韵体育专用器材厂收到生产8000个跳水板的订 单。公司目前拥有3台生产跳水板的自动化设 备，每台机器每小时可以生产30个跳水板，每台 机器运转的折旧费是160元，每个跳水板的材料 费为20元。生产过程中，需要一个操作人员全程 管理这些设备，操作人员的劳务费为30元/h。 1、请表示生产8000个跳水板的总费用。 2、问公司购置几台这样的设备，可使成本最低。
微分模型-一元函数最值模型
吕 靖
预备知识
一元函数导数和微分
学习目标
1、掌握建立（一元和多元）函数最值模 型的方法； 2、掌握用求函数驻点的方法求函数的最 值。
教学内容
一、一元函数的最值模型 二、分段函数的最值模型 三、多元函数的最值模型
一元函数的最值模型
在实际生产和生活中，常常遇到求“成 本最低”、“产量最大”、“收入最 高”、“利润最大”、“效率最高”、 “用料最省”、“时间最短”等问题。这 类问题在数学上就是求函数的最大值、 最小值问题，统称为最值问题。
炼油厂 2.5km X 10km
P 灌装点
三、模型的分析与建立
第x周采摘时每棵树可采摘的苹果数量为 Q(x)=10+x 此时，苹果的销售单价为 p(x)=3-0.2x 所以第x周采摘时农户所得收入为 R(x)=Q(x)p(x)=(10+x)(3-0.2x) =30+x-0.2x2
四、模型求解
方法一 :将收入函数求导 ，得：
R ( x ) 1 0.4 x
一元函数的最值模型
它是数学上一类常见的优化问题，这类 问题可以表示为以下模型： Max(min)f(x)
其中y=f(x)为目标函数，max(min)分别表 示求最大（最小）值。求解此类问题可 以利用微积分学中的导数知识或是借助 于MATLAB求解。
水果的最佳采摘时间模型
又是一个苹果成熟的季节，老王正 为采摘和出售苹果的时间犯愁。如果本 周采摘每棵树可采摘约10kg苹果，此 时，批发商的收购价为3元/kg。如果每 推迟一周采摘，则每棵树的产量会增 加1kg，但批发商收购价格会减少0.2 元/kg。8周后，苹果会因为熟透而开始 腐烂。问老王第几周采摘，收入最高？
户数量之间的关系。
最佳车速模型
小王准备租用一辆载重为 5t 的货车将一批货物从成 都运往都江堰。为节省高速公路费，他安排司机走老 路。若货车 以 xkm / h(40 x 65) 的速度行驶 ， 每升柴油 可 供货车行驶 400 km ，而此时柴油的价格是 5.36 元 /L，司 x 机的劳务费 是 30 元/h.假设从成都到都江堰的路程为 45km， 请型准备
此题为求第几周采摘，老王每棵苹果树的 收入最高，其中 收入=产量*单价
二、模型假设与变量说明
1、假设采摘按整周考虑，不考虑分期采摘 的情形； 2、假设老王采摘苹果后立即卖给批发商； 3、假设本周每棵树可采摘10kg，且最近8 周内每推迟一周，一棵苹果树会多长出 等质的苹果1kg； 4、假设第x周采摘时每棵树的收入为R(X) 元，x=0对应本周。
作业：
【油管铺设问题】某石化公司要铺设 一根石油管道，将石油从炼油厂输 送到河对岸的石油灌装点，如图， 炼油厂附近有条宽2.5km的河，灌装 点在炼油厂对岸沿河下游10km处。 如果在水中铺设管道的费用为6万 元/km，在河边铺设管道的费用为4 万元/km。试在河边找一点P，使铺 设管道费用最低。