多元函数极值与一元函数极值的比较-文档资料
8-8极值
拉格朗日乘数法: 利用隐函数旳概念与求导法
现要谋求目的函数 z f ( x, y) (1)
在约束条件 ( x, y) 0
(2)
下取得 极值旳必要条件.
如函数(1)在( x0 , y0 ) 取得所求旳极值,
那末首先有 ( x0 , y0 ) 0
(3)
由条件 ( x, y) 0 拟定y是x旳隐函数
(最值只能在边界上)
z 1 x x2 2y
①在边界线 x 0, 0 y 1上,
y
z 12y
x y1
dz 2 0, z 1 2 y 单调上升. D
dy
O
x
z(0,0) 1 最小, z(0,1) 3 最大.
②在边界线 y 0, 0 x 1上, z 1 x x2
dz 1 2x, 有驻点 x 1 , 函数值 z( 1 ,0) 3
z 2 4 为极值.
z 6 为极大值, z 2 为极小值.
阐明 偏导数不存在旳点，也可能是极值点.
例 z x2 y2
z
在点(0,0)处旳偏导数不存在,
O• x
y
但(0,0)是函数旳极大值点.
所以，在研究函数旳极值时,除讨论偏导 数为0旳点外,还应研究偏导数不存在旳点.
8.8.2 多元函数旳最值
定理 设z f ( x, y)在点( x0 , y0 ) 有二阶连续偏导数,
又 f x ( x0 , y0 ) 0, f y ( x0 , y0 ) 0,
令 f xx ( x0 , y0 ) A, f xy ( x0 , y0 ) B, f yy ( x0 , y0 ) C ,
则 (1) AC B2 0时, f ( x0 , y0 ) 是极值,
参数 称为拉格朗日乘子, 是一种待定常数.
10.8多元函数的极值及其求法 (2)
多元函数的极值
观察二元函数 z
xy e x2 y2
的图形
一、二元函数的极值及最大值最小值
1、二元函数极值的定义
设 函 数 z f ( x, y) 在 点( x0 , y0 ) 的 某邻域 内 有 定 义 ， 对 于 该 邻 域 内 异 于 ( x0 , y0 ) 的 点 (x, y)：
例2 求内接于半径为 a 的球且有最大体积的长方体。
求函数z f ( x, y)极值的一般步骤：
第一步 解方程组 fx ( x, y) 0, f y ( x, y) 0
求出实数解，得驻点. 第二步 对于每一个驻点 ( x0 , y0 )，
求出二阶偏导数的值 A、B、C 定出 AC B2的符号，再判定是否是极值.
例1 求函数 解：第一步 求驻点。
为极小值;
在点(1,2) 处
AC B2 12 (6) 0,
不是极值；
在点(3,0) 处
AC B2 12 6 0,
在点(3,2) 处
不是极值；
AC B2 12 (6) 0, A 0,
为极大值。
f xx (x, y) 6x 6, f xy (x, y) 0, f yy (x, y) 6 y 6
若满足不等式 f ( x, y) f ( x0 , y0 )，则称函 数在( x0 , y0 )有极大值；
若满足不等式 f ( x, y) f ( x0 , y0 )，则称函 数在( x0 , y0 )有极小值；
极大值、极小值统称为极值。 使函数取得极值的点称为极值点。
例 1 函数 z 3x2 4 y2
分析：
此问题是在 x2 y2 z2 1 的条件下， 求解 f(x, y, z) xy z 的最大值，
多元函数极值
提示: 当(x, y)=(0, 0)时, z=0, 而当(x, y)≠(0, 0) 时, z>0. 因此z=0是函数的极小值.
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一,多元函数的极值及最大值,最小值
极值的定义 设函数z=f(x, y)在点(x0, y0)的某个邻域内有定义, 如果对 于该邻域内任何异于(x0, y0)的点(x, y), 都有 f(x, y)<f(x0, y0)(或f(x, y)>f(x0, y0)), 则称函数在点(x0, y0)有极大值(或极小值)f(x0, y0). 例2 函数z = x2 + y2 在 (0, 0)处有极大值 点 .
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二,条件极值 拉格朗日乘数法
条件极值 对自变量有附加条件的极值称为条件极值. 求条件极值的方法 (1)将条件极值化为无条件极值 有时可以把条件极值问题化为无条件极值问题. 例如, 求V=xyz在条件2(xy+yz+xz)=a2下的最大值.
a2 2xy 由条件2(xy+ yz + xz)=a2 , 解得z = 得 , 于是 2(x+ y) xy a2 2xy V= ( ). 2 (x+ y) 这就把求条件极值问题转化成了求无条件极值问题.
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二,条件极值 拉格朗日乘数法
条件极值 对自变量有附加条件的极值称为条件极值. 求条件极值的方法 (1)将条件极值化为无条件极值 (2)用拉格朗日乘数法 在多数情况下较难把条件极值转化为无条件极值, 需要 用一种求条件极值的专用方法, 这就是拉格朗日乘数法. 下面导出函数z=f(x, y)在条件(x, y)=0下取得的极值的必 要条件. 假定f(x, y)及(x, y)有各种所需要的条件.
多元函数基本概念
多元函数基本概念多元函数是数学中常见的概念，它与一元函数相比具有更加复杂的性质和表达方式。
在本文中，将介绍多元函数的基本概念，包括定义域、值域、级数、偏导数以及极值等。
一、定义域和值域在讨论多元函数之前，我们首先需要明确定义域和值域的概念。
对于一个多元函数，其定义域是指所有自变量可以取值的集合，通常用D表示。
而值域则是函数在定义域上所有可能取到的函数值的集合，通常用R表示。
例如，考虑一个二元函数f(x, y)，其定义域可以是实数集合R，而值域也可以是实数集合R。
二、偏导数偏导数是多元函数的一种导数形式，用于描述函数在某个给定自变量上的变化率。
对于一个具有多个自变量的函数f(x1, x2, ..., xn)，其关于第i个自变量的偏导数表示为∂f/∂xi。
偏导数的计算方法与一元函数的导数类似，只需将其他自变量视为常数，对目标自变量求导即可。
需要注意的是，对于每个自变量，都要分别计算其对应的偏导数。
三、级数多元函数的级数是指将多个单变量函数按照一定方式组合而成的函数序列。
常见的多元函数级数有泰勒级数和傅里叶级数等。
泰勒级数是指将一个多元函数在某个点附近展开成幂级数的形式。
通过选择适当的展开点和级数项，可以将函数在该点附近近似表示。
泰勒级数在数学和物理学中有广泛的应用，特别是用于函数的近似计算和数据拟合等方面。
傅里叶级数是指将一个局部有界的周期函数分解成一组正弦和余弦函数的级数。
通过傅里叶级数的展开，可以将周期函数在全局范围内表示，并进行频谱分析和信号处理等操作。
四、极值多元函数的极值是指函数在定义域上取得的最大值或最小值。
与一元函数不同的是，多元函数的极值可能在某些特定点取得，也可能在边界或无穷远处取得。
求解多元函数的极值通常需要使用极值判定条件。
常见的方法有利用偏导数等于零来确定驻点，然后通过二阶偏导数判定极值类型。
同时，还要考虑定义域的边界条件，以确定是否存在边界极值。
总结在本文中，我们介绍了多元函数的基本概念，包括定义域和值域、偏导数、级数以及极值。
多元函数的极值与条件极值
多元函数的极值与条件极值在数学分析中，极值是一个重要的概念。
对于多元函数而言，我们可以通过求取偏导数或利用拉格朗日乘数法来确定其极值点。
在这篇文章中，我们将探讨多元函数的极值以及条件极值。
一、多元函数的极值在开始讨论多元函数的极值之前，我们先来回顾一元函数的极值。
对于一个实数域上的函数f(x)，如果存在x=a，使得在a的某个去心邻域内，函数值小于（或大于）f(a)，则称f(a)是函数f的一个极大（或极小）值。
同样地，我们可以将这一概念推广到多元函数上。
考虑一个定义在n维欧几里得空间上的函数f(x₁,x₂,...,xₙ)，其中x₁,x₂,...,xₙ是实数。
我们称向量x=(x₁,x₂,...,xₙ)为函数f的一个驻点，如果在x的某个邻域内，函数值在x点取得极值。
对于多元函数，我们需通过求取偏导数来判断其极值点。
偏导数的定义如下：对于函数f(x₁,x₂,...,xₙ)，它在x=(a₁,a₂,...,aₙ)处的偏导数∂f/∂xᵢ (i=1,2,...,n)是当变量xᵢ在点(x₁,x₂,...,xₙ)处以及其他变量a₁,a₂,...,aₙ保持不变时的导数。
求解偏导数后，我们可以通过将偏导数相应的变量取0，得到一组等式，从而解得极值点。
二、多元函数条件极值在实际问题中，我们经常会遇到有约束条件的优化问题，这就引出了条件极值的概念。
对于一个满足一组约束条件的多元函数，我们要在满足条件的前提下，找到它的极值点。
拉格朗日乘数法是求解带有约束条件的多元函数极值的常用方法。
设函数f(x₁,x₂,...,xₙ)的约束条件为g(x₁,x₂,...,xₙ)=0。
首先构建拉格朗日函数L(x₁,x₂,...,xₙ,λ)=f(x₁,x₂,...,xₙ)+λg(x₁,x₂,...,xₙ)，其中λ为拉格朗日乘数。
然后，求解函数L的偏导数∂L/∂xᵢ(i=1,2,...,n)和∂L/∂λ，并将它们置为0。
解这组方程，即可得到满足条件的极值点。
一元函数与多元函数基本性质异同性的分析
一元函数与多元函数基本性质异同性的分析一元函数与多元函数是两种不同类型的数学函数，它们在定义、性质及应用方面存在着明显的异同性。
下面我们将对这些异同性进行分析。
一、定义与表达式一元函数指的是只有一个自变量的函数，通常表示为f(x)，其中x是自变量。
其表达式形式为y=f(x)。
二、定义域与值域一元函数的定义域通常是实数集合R，也有特殊情况下只能在某一区间内取值。
值域则可以是实数集合R中的任何一个子集。
多元函数的定义域与值域则需要根据实际情况来确定，通常与函数的具体应用有关。
例如，二元函数f(x,y)在平面上表示的是一个曲面，其定义域与值域可以是平面上的任意一个子集。
三、导数与偏导数一元函数的导数是指在自变量变化时函数值的变化率，通常用f'(x)或dy/dx来表示。
一元函数的导数存在时，该函数在该点可导，导数的值等于该点切线的斜率。
四、极值与最值对于一元函数f(x)，其在某一点x处的极值和最值可以通过导数来判断。
当f'(x)=0时，f(x)有可能取得极值或者最值。
当f'(x)>0(f'(x)<0)时，f(x)在x处取得局部最小值(局部最大值)。
当f'(x)不存在时，不能判断f(x)的极值与最值。
对于多元函数，由于存在多个自变量，因此其极值和最值不易判断。
通常需要使用求偏导数的方法来求出每个自变量的极值，然后再比较得到全局极值与最值。
同时还需要考虑函数的定义域等因素。
五、应用一元函数的应用极为广泛，例如在物理、经济、生物等领域均有应用。
多元函数则在数学、物理、工程等领域中有着广泛的应用，例如在物理系统的建模中，就需要使用多元函数来描述某一系统的状态。
黑塞矩阵的计算也需要使用多元函数的偏导数等概念。
此外，多元函数还广泛用于神经网络等人工智能领域。
极值
x
fx
fy
y
14
f x x 0
极值点必满足
f y y 0 ( x, y) 0
引入辅助函数 F f ( x , y ) ( x , y )
则极值点满足:
辅助函数F 称为拉格朗日( Lagrange )函数. 利用拉格 朗日函数求极值的方法称为拉格朗日乘数法.
思考: 1) 当水箱封闭时, 长、宽、高的尺寸如何? x 提示: 利用对称性可知, x y z 3 V0 2) 当开口水箱底部的造价为侧面的二倍时, 欲使造价
y
最省, 应如何设拉格朗日函数? 长、宽、高尺寸如何?
提示: F 2( x z y z ) 2 x y ( x y z V0 )
2
则: 1) 当AC B 0 时, 具有极值
A<0 时取极大值;
A>0 时取极小值.
AC B 2 0 时, 没有极值. 2) 当
3) 当 AC B 2 0 时, 不能确定, 需另行讨论.
证明见第九节(同济P65，合肥工大P349) .
4
例1. 求函数 解: 第一步 求驻点. 解方程组 得驻点: (1, 0) , (1, 2) , (–3, 0) , (–3, 2) . 第二步 判别. 求二阶偏导数
解方程组
可得到条件极值的可疑点 .
16
例5.
要设计一个容量为 V0 的长方体开口水箱, 试问
水箱长、宽、高等于多少时所用材料最省？ 解: 设 x , y , z 分别表示长、宽、高,则问题为求x , y , z 使在条件 x y z V0 下水箱表面积 S 2( x z y z ) x y 最小. 令 F 2( x z y z ) x y ( x y z V0 )
关于多元函数的极值和最值计算
关于多元函数的极值和最值计算多元函数的极值和最值计算是高等数学中的重要部分，它涉及到多元函数的极大值和极小值的求解以及在给定区域内的最大值和最小值的确定。
在这篇文章中，我们将详细介绍多元函数的极值和最值计算的方法和步骤。
首先，让我们来了解一下多元函数的概念。
在高等数学中，一个多元函数是指具有多个变量的函数，它通常被表示为f(x1,x2,...,xn)，其中x1,x2,...,xn是变量，f是一个函数。
多元函数与一元函数不同，它的输入变量不再是一个实数，而是多个实数。
因此，多元函数的求解方法也与一元函数有所不同。
下面我们将分别介绍多元函数的极大值和极小值的求解方法。
首先是多元函数的极大值和极小值的求解。
要求解多元函数的极大值和极小值，我们需要找到函数的驻点（即导数等于零的点）以及临界点（即定义域的边界点）。
第一步是计算多元函数的偏导数。
在多元函数中，我们根据变量的个数来计算偏导数。
例如，对于一个两个变量的函数f(x1,x2)，我们需要计算f对x1的偏导数∂f/∂x1和f对x2的偏导数∂f/∂x2第二步是找到偏导数为零的点。
我们将得到一个方程组，其中每个方程都是一个偏导数等于零的方程。
通过求解这个方程组，我们可以找到多元函数的驻点。
第三步是找到临界点。
临界点是指函数定义域的边界点。
我们需要判断多元函数在这些边界点是否存在极值。
为此，我们可以计算函数在边界点处的取值，并与其他驻点的函数值进行比较。
通过这些步骤，我们可以确定多元函数的极大值和极小值。
接下来，让我们介绍多元函数在给定区域内的最大值和最小值的确定方法。
要确定多元函数在给定区域内的最大值和最小值，我们需要利用拉格朗日乘数法。
首先，确定给定区域的边界条件。
给定区域可以是一个封闭区域，也可以是一个开放区域。
第一步是通过拉格朗日乘数法构建一个方程。
这个方程的形式是多元函数加上一个或多个约束条件的等式。
拉格朗日乘子是用来考虑约束条件对函数极值的影响的。
多元函数的极值问题
多元函数的极值问题在数学中，多元函数的极值问题是一个重要的研究领域。
与一元函数的极值类似，多元函数的极值问题也是求函数在一定范围内取得最大值或最小值的问题。
在实际问题中，多元函数的极值问题有着广泛的应用，例如在经济学、物理学、工程学等领域都有着重要的作用。
本文将介绍多元函数的极值问题的基本概念、求解方法以及相关定理。
一、多元函数的定义首先，我们来回顾一下多元函数的定义。
在数学中，多元函数是指自变量不止一个的函数，通常表示为$z=f(x,y)$，其中$x$和$y$是自变量，$z$是因变量。
多元函数的定义域是自变量的取值范围，值域是因变量的取值范围。
二、多元函数的极值定义对于多元函数$z=f(x,y)$，极值的定义与一元函数类似，分为最大值和最小值。
具体定义如下：1. 最大值：如果存在点$(x_0,y_0)$，使得在$(x_0,y_0)$的某个邻域内，对于任意$(x,y)$，都有$f(x,y)\leq f(x_0,y_0)$，则称$f(x_0,y_0)$是函数$f(x,y)$的最大值，点$(x_0,y_0)$是最大值点。
2. 最小值：如果存在点$(x_0,y_0)$，使得在$(x_0,y_0)$的某个邻域内，对于任意$(x,y)$，都有$f(x,y)\geq f(x_0,y_0)$，则称$f(x_0,y_0)$是函数$f(x,y)$的最小值，点$(x_0,y_0)$是最小值点。
三、多元函数的极值求解方法求解多元函数的极值问题，通常可以通过以下步骤进行：1. 求偏导数：对多元函数$z=f(x,y)$，分别对$x$和$y$求偏导数$\frac{\partial f}{\partial x}$和$\frac{\partial f}{\partial y}$。
2. 解方程组：令$\frac{\partial f}{\partial x}=0$和$\frac{\partial f}{\partial y}=0$，解出方程组$\begin{cases} \frac{\partial f}{\partial x}=0 \\ \frac{\partial f}{\partial y}=0 \end{cases}$，得到极值点$(x_0,y_0)$。
函数的极值条件
函数的极值条件前言我们处理的各种优化问题可以大致分为两类：有约束的优化问题和无约束的优化问题。
工程优化问题往往都是有约束的，但经过适当的处理可以用无约束的优化方法加以解决。
因此无约束极值点存在的条件是优化理论的基本问题。
关键字：无约束有约束优化求解无约束优化问题的实质是求解目标函数f(x)在n维空间R n中的极值。
我们先来看看一元函数的极值条件。
1.无约束优化问题的极值条件1.1一元函数的极值条件由高等数学可知，任何一个单值、连续、可微的一元函数f(x)在给定区间内某点x=x∗有极值的必要条件，是它在该点处的一阶导数为零，即：f′(x∗)=0即函数的极值必须在驻点处取得。
此条件是必要的，但不是充分的，也就是说驻点不一定就是极值点。
如图1.1-1所示，x=0是驻点，但a b图1.1-1其中图a中的x∗点是极小值点，而图b中的x∗并不是极值点。
驻点是否为极值点，还需要函数在该点的二阶导数来判断。
驻点为极小值点的充分条件是，x∗满足不等式：f′′(x∗)>0驻点为极大值点的充分条件是，x∗满足不等式：f′′(x∗)<0若：f′′(x∗)=0则x∗是否为极值点，还需要逐次检验其更高阶导数的符号。
开始不为零的导数阶数为偶数，则为极值点；若为奇次，则为拐点，而不是极值点。
1.2二元函数的极值条件对于二维无约束优化问题，即对二元函数f(x)=f(x1，x2)来说，若在X∗（x1∗，x2∗）处取得极值，其必要条件是：ðf(x1，x2)ðx1=df(x1，x2∗)dx1|x1=x1∗=0ðf(x1，x2)ðx2=df(x1∗，x2)dx2|x2=x2∗=0写成梯度形式可得：∇f(x)=[ðf(x1，x2)ðx1，ðf(x1，x2)ðx2]T=0为推得二元函数极值存在的充分条件，将二元函数f(x)在驻点x∗=[x1∗，x2∗]T作泰勒二次近似展开，得到近似表达式为：f(x)=f(x∗)+[∇f(x∗)]T(x−x∗)+12(x−x∗)T∇2f(x∗)(x−x∗)因为驻点满足∇f(x∗)=0，故由上式可得：f(x)−f(x∗)=12(x−x∗)T∇2f(x∗)(x−x∗)当f(x)−f(x∗)>0，则由上式可知，应有：12(x−x∗)T∇2f(x∗)(x−x∗)>0此时，x∗为极小值。
多元函数的极值与最值
z
该函数在原点处连续，但有
f xy (0,0) 1
f yx (0,0) 1
问题：曲面在点(0,0)附近 的形状是怎样的呢 ？
在Dxy: x y 1 上考虑
2 2
.
o
曲面过x轴 ，过y轴 曲面关于x轴对称，
.
x
y
曲面关于y轴对称 y x y x 曲面关于直线 对称,关于直线 对称 z0 z0
函数在D内只有唯一的驻点 3 2 , 3 2 ), ( 因此可断定当x 3 2 , y 3 2时，A取得最小值。
3 3
2 当水箱的长为 2m、宽为 2m、高为3 3 2m时，水箱 2 3 2 所用的材料最省。 (即体积一定的长方体中 立方体的表面积最小 )
例5
有一宽为24cm的长方形铁板，把它两 多元函数最值举例 边折起来做成一断面为 等腰梯形的水槽。问怎 样的折法才能使断面的 面积最大？
一、多元函数极值
2. 引例 引例1
z (0, y ) x0
z
z ( x,0) y0
o
δ
y
z
1 4 1 2
2
e
x2 y2 2
x
( 1、 2 0, 常数) (( x, y ) )
2
z (0,0) 1 /(2 1 2 ) z 故z (0,0)
设f ( x, y) x y 3x 3 y 9 x的极值。
3 3 2 2
3 x 2 6 x 9 0且f y 3 y 2 6 y 0 解：f x P ( 3,0), P2 (3,2), P3 (1,0), P4 (1,2)为驻点 1 A f xx 6 x 6, B f xy 0, C f yy 6 y 6
多元函数的极值及最值(参考)-28页精品文档
, y m ,则高为
2 xy
m
,
则水箱所用材料的面积为
2xy2 x2 y
令 Ax2(yx22)0得驻点 (3 2,3 2) Ay2(xy22)0
根据实际问题可知最小值在定义域内应存在, 因此可
断定此唯一驻点就是最小值点. 即当长、宽均为 3 2
高为
3
2 23
2
3
2
时,
水箱所用材料最省.
令
y
Fxy2(xy)0
z
F =2(xy yz zx) a2 0
解得唯一驻点( 6a, 6a, 6a)，由题意，知矩形的长
宽高各为
6 6
a
666
时，其体积最大。
推广
拉格朗日乘数法可推广到多个自变量和多 个约束条件的情形.
例如, 求函数 uf(x,y,z)在条件 (x,y,z)0,
多元函数的最值应用
一、最值应用问题
依据
函数 f 在闭域上连续
函数 f 在闭域上可达到最值
最值可疑点
驻点 边界上的最值点
特别, 当区域内部最值存在, 且只有一个极值点P 时,
f (P) 为极小(大) 值
f (P) 为最小(大)值
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1、多元函数的最值
与一元函数相类似，我们可以利用函数的 极值来求函数的最大值和最小值.
(x,y,z)0下的极值. 设 F f ( x , y , z ) 1 ( x , y , z ) 2 ( x , y , z )
解方程组
可得到条件极值的可疑点 .
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例6. 要设计一个容量为 V 0 的长方体开口水箱, 试问 水箱长、宽、高等于多少时所用材料最省？
多元函数极值与一元函数极值的比较
多元函数极值与一元函数极值的比较
• 解 首先我们定义函数，即键入： • 运行，然后我们求出该函数的驻点，因此我们键入：
g x_, y_ : 3 x E^ y x ^3 E^ 3 y
• 运行后即得到唯一的驻点（1，0）（注意，由于 该函数不是多项式函数，故在解方程组时有报错信 息，一般此时应该用命令“FindRoot”。
f x_, y_ : x ^2 1 ^ 2 x ^2 y x 1 ^2
多元函数极值与一元函数极值的比较
• 并运行，再求出驻点，即键入：
Solve D f x, y , x 0, D f x, y , y 0 , x, y
• 运行后即得驻点为，而在这两点上函数值为f（-1， 0）=f（1，2）=0
• 显然这两点是最大值点，从而这两点必是极大值 点。由于函数已没有其他的驻点，因而它也不可 能有极小值点。
算
则该驻点为极值点，而此时 gxg xyygx 2和 y 个， gxg xy只 ygx 2要 y0,
• 即键入： gx,的 x 符号确 极 定 小 了 g值 xx 该 0 时 点 驻 ） （ 点 或为 g 极 xx0 时 大
D g x, y , x, 2 D g x, y , y, 2
D g x, y , x, y ^ 2 .
多元函数极值与一元函数极值的比较
• 例 1 （1）证明：函数在原点处连续，而且 在原点处的偏导数fx和fy 都存在（即沿x 轴和y轴方向导数都存在），但原点处其他 方向的方向导数都不存在；（2）利用计算 机作出该函数在原点附近的图形，并从图 上验证（1）的结论。
多元函数极值与一元函数极值的比较
• 解：由于 f (x,是y) 初等函数，其定义域为R2， 故函数在原点处连续，
多元函数的极值和最值
最值的应用场景
经济学：研究商品价格、供需关系等，预测市场变化 物理学：计算物体运动轨迹、能量变化等，解释自然现象 工程学：优化设计、控制参数等，提高产品性能和效率 统计学：分析数据分布、预测未来趋势等，辅助决策制定
THANKS
汇报人：XX
极值的判定条件
二阶导数测试：判断一阶导数是否变号 边界条件：检查边界点的函数值 鞍点：判断函数值在边界点的变化趋势 实际应用：根据具体问题选择合适的判定条件
极值的应用场景
经济学：研究价格、供需关系等变量的极值点，预测市场变化。 物理学：分析力学、电磁学等领域中，利用极值原理研究物理现象。 工程学：优化设计、机械制造等领域中，利用极值寻找最优解，提高性能和效率。 统计学：在数据分析和预测中，利用极值理论进行异常值检测和数据处理。
最值求解的步骤
确定多元函数的定义域
对多元函数进行一阶偏导数的 求解
求解多元函数的一阶偏导数为 0的点，得到驻点
判断驻点是否为极值点，若不 是，则继续寻找其他驻点
Part Three
多元函数的极值和 最值的联系与区别
极值和最值的定义和性质比较
极值定义：函数在某点的值大于或小于其邻近点的值，称为该点的极值。
多元函数的极值和最值
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目录
01 多 元 函 数 的 极 值
02 多 元 函 数 的 最 值
03 多 元 函 数 的 极 值 和
最值的联系与区别
Part One
多元函数的极值
极值的定义和性质
极值的概念：函数在某点的值大于或小于其邻近点的值 极值的性质：极值点处导数为零或不存在，且单调性改变 极值的判定：通过一阶、二阶导数或海涅定理等判定方法 极值的分类：极大值和极小值
9-8多元函数的极值及其求法
例2 求函数 f ( x, y ) x 2 y (4 x y ) 在由直线 x y 6， 0， 0 所围闭区域 D 上的最值． x y ( 1995) y 解 先求函数在D 内的驻点， x y6 f x 2 x y(4 x y ) x 2 y 0 ，D 解方程组 2 2 f y x (4 x y ) x y 0 o x à ÷ ò D Ú ¨º ×ã ( 2,1) ¬ Ç f ( 2,1) 4 £ µ Ç Ó Ä Î Ò ¤µ £Ò ¬
则有二元函数极值的定义
设函数 f ( x, y ) 在点 P0 ( x0 , y0 ) 的某个邻域内有定义，
且对该邻域内任一异于P0 ( x0 , y0 ) 的点 P ( x, y )， 均有 f ( x, y ) f ( x0 , y0 )，( 或 f ( x, y ) f ( x0 , y0 ) )，
求函数 z f ( x , y ) 极值的一般步骤：
第一步 解方程组 f x ( x , y ) 0， f y ( x, y ) 0 .
求出实数解，得驻点.
Ú ú ¼ µ ¶ °
Ú ù ¼ µ È °
Ú ¿ º ö ¤ã Ô Ã Ò · ×µ ( x0 , y0 ) ´ £ ¦ ¬
求出二阶偏导数的值 A、B、C.
¶ Ó » Ð
f ( x , y ) f ( x0 , y0 ) ¬ £
Ì ±µ µ y y0 £ x x0 Ê £ Ó Ø ð Ø ± ¬ ±¬ Ð
f ( x , y0 ) f ( x0 , y0 ) £ ¬
´ ¶ Ò Ô ¹ Ê f ( x , y0 ) Ô x x0 ´ Ó » ´ Ö £ Ó ÷ º ª ¯ ù Ú ¦ Ð « ó µ ¬ Ë Ò f x ( x0 , y0 ) 0 º 类似地可证 f y ( x0 , y0 ) 0 . ù Ô £
函数的极值 的作用
函数的极值是高等数学中微分学理论的一个重要的组成部分，它在数学教学、工农业生产、工程技术及科学实验等方面，常常会遇到这样一类的问题：在一定条件下，怎样使“产品最多”、“用料最省”, “成本最低”、“效率最高”等，这类问题在数学上可归结为求某一函数的最大值或最小值问题，本文介绍了一元函数、多元函数的极大值和极小值问题，通过典型例题阐明函数极大值和极小值的求法及其在经济中的应用。
1 一元函数的极值定义①：设函数（）在区间（）内有定义，（），若在的某去心邻域内有：（）≤（）（或（）≥（）），则称（）是函数（）的一个极大值（或极小值），称为（）的极大值点（或极小值点）。
极大值与极小值统称为函数的极值，极大值点与极小值点统称为函数的极值点。
一元函数极值的求法比较简单，极值是一个函数的最大值或最小值。
在数学分析中，函数的最大值和最小值（最大值和最小值）被统称为极值（极数），是给定范围内的函数的最大值和最小值。
如果一个函数在一点的一个定义域内处处都有确定的值，而以该点处的值为最大（小），这函数在该点处的值就是一个极大（小）值。
如果它比邻域内其他各点处的函数值都大（小），它就是一个严格极大（小）。
该点就相应地称为一个极值点或严格极值点。
极值与最值的关系:函数的极大值和极小值概念是局部性的. 如果是函数的一个极大值, 那只是就附近的一个局部范围来说, 是的一个最大值; 如果就的整个定义域来说, 不一定是最大值. 对于极小值情况类似.设函数在闭区间上连续, 则函数的最大值和最小值一定存在. 函数的最大值和最小值有可能在区间的端点取得, 如果最大值不在区间的端点取得, 则必在开区间内取得, 在这种情况下, 最大值一定是函数的极大值. 因此, 函数在闭区间上的最大值一定是函数的所有极大值和函数在区间端点的函数值中最大者. 同理, 函数在闭区间[a, b]上的最小值一定是函数的所有极小值和函数在区间端点的函数值中最小者.二、最大值和最小值问题设在内的驻点和不可导点(它们是可能的极值点)为, 则比较的大小, 其中最大的便是函数在上的最大值, 最小的便是函数在上的最小值.求最大值和最小值的步骤(1).求驻点和不可导点;(2).求区间端点及驻点和不可导点的函数值,比较大小,那个大那个就是最大值,那个小那个就是最小值;注意:如果区间内只有一个极值,则这个极值就是最值.(最大值或最小值)例3-30 求函数在上的最大值和最小值解由于因此函数在上的最大值为最小值为例3-31 求函数在上的最大值与最小值.解由于,所以求得在(-3, 4)内的驻点为，不可导点为而，,极值是一个函数的最大值或最小值。
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1 0.5 0 -0.5 -1 -1 -0.5
1 0.5 0 0 -0.5 0.5 1 -1
多元函数极值与一元函数极值的比较
• 极值 • 例 2 对一元可导函数而言，如果有有限个驻点， 则在两个极大值之间必存在极小值点；但一般说来 这个结论对于二元连续函数不成立。考虑可导函数
2 2 2 2 f ( x , y ) ( x 1 ) ( x y x 1 )
1 3 ln x 3 ln x 3
1 3
1 3
Plot3D Sign x y
Abs x y
^ 1 3 ,
x, 1, 1 , y, 1, 1 , PlotPoints
30
多元函数极值与一元函数极值的比较
• 运行后即得图13，从 图上看到了除x轴和y 轴着两个方向以外， 其它方向的铅直平面 与曲面的交线在原点 处均形成一个尖点， 故方向导数不存在。
• 运行后即得驻点为，而在这两点上函数值为f（-1， 0）=f（1，2）=0 • 显然这两点是最大值点，从而这两点必是极大值 点。由于函数已没有其他的驻点，因而它也不可 能有极小值点。 • 下面，我们作出函数的图形，即键入：
Plot3D f x, y , x, 2, 2 , y, 1, 4 , PlotRange 4, 0 , PlotPoints 30
多元函数极值与一元函数极值的比较
• 解 首先我们定义函数，即键入： • 运行，然后我们求出该函数的驻点，因此我们键入：
g x_, y_ : 3 x E^ y x ^3 E^ 3 y
• 运行后即得到唯一的驻点（1，0）（注意，由于 该函数不是多项式函数，故在解方程组时有报错信 息，一般此时应该用命令“FindRoot”。
-2 -1
0
1ห้องสมุดไป่ตู้
0 -1 -2 -3 -4 -2
3 2 -1 1 0 1 2 0 -1
4
-1
0
1
2
3
2 0 -1 -2 -3 -4 4
多元函数极值与一元函数极值的比较
• 通过这两个最高点作垂直于xoy面的截面，截立 体所截的截线上存在最低点，但这最低点却不是 整个图形的（局部）最低点。 • 3 极值与最大（小）值 • 例 3 对一元连续函数而言，如果有唯一驻点，且 该点是极大（小）值点，则此极大小值点必是函 数的最大（小）值点；但一般而言，这个结论二 元连续函数不成立。现对函数证明它有唯一驻点； 且此驻点为极大值点，但此函数无最大值。然后 用计算机画出这个函数的图形，并从图上观察为 什么会出现这个情况。
xx yy 2 xy xx yy 2 xy
x , x
xx
xx
D g x, y , x, 2 x 1, y 0
D g x, y , y, 2 D g x, y , x, 2 . x
D g x, y , x, y 1, y 0
^2 .
多元函数极值与一元函数极值的比较
• 运行可得 “/.”表示代入，上述程序即表示把x=1.y=0，代 入计算相应的值。 • 接下来，我们再来观察它的图形，即键入：
实验11 多元函数极值与一元函数极值的比较
• 内容提要 • 本实验通过几个具体的例子，说明多元函数极 值中存在着一些与一元函数极值不同的现象，并 通过图形把这些现象显示出来，从而加深对它们 的理解。 • 实验步骤 • 1. 方向导数 • 我们知道，对于二元函数若其偏导数连续，则 它在任意方向上的方向导数都存在，但是若其偏 导数存在而不连续，则它在某些方向上的方向导 数就可能不存在，请看下面的例子。
32 3 3
0 时的极限不存在时，即 函数在其它方向 {cos ， sin } 上的方向导
多元函数极值与一元函数极值的比较
• 下面我们作出函数的图形，由于 Mathematica中 x 定义为函数 ，而 • 在x<0时无定义，故我们首先把函数变形 为 x (sgn x )| x| 在作图，即键入：
Solve D g x, y , x 0, D g x, y , y 0 , x, y
多元函数极值与一元函数极值的比较
• 请读者做一下，作时请先分别定义两个偏导函数， 例如定义: ,y • 关于x的偏导函数可用“gy x_, y_ : Evaluate D g x, y ”）， 根据极值的充分条件，我们在驻点（1，0）处计 gg g和个，只要 gg g 0 , 算 则该驻点为极值点，而此时 g的符号确定了该驻点为 极小值点（ g 0 时）或极大 g 0 时 • 即键入：
多元函数极值与一元函数极值的比较
• 例 1 （1）证明：函数在原点处连续，而且 在原点处的偏导数fx和fy 都存在（即沿x 轴和y轴方向导数都存在），但原点处其他 方向的方向导数都不存在；（2）利用计算 机作出该函数在原点附近的图形，并从图 上验证（1）的结论。
多元函数极值与一元函数极值的比较
y) • 解：由于 f (x,是初等函数，其定义域为 R2， 故函数在原点处连续， x , 0 ) 0 ,f ( 0 , y ) 0 , 故在原点处 f 0 ， x y • 而由于 f( 而 f cos sin 0 cos sin f ( cos , sin ) f ( 0 , 0 ) 3 ( 0 ,, , ) 22
• 证明它仅有两个极大值点。然后用计算机画出这个 函数的图形，并从图上观察为什么会出现这个情况。 • 解： 首先我们定义函数，即键入：
f x_, y_ : x ^2 1 ^2 x ^2 y x 1 ^2
多元函数极值与一元函数极值的比较
• 并运行，再求出驻点，即键入：
Solve D f x, y , x 0, D f x, y , y 0 , x, y
多元函数极值与一元函数极值的比较
• 运行后即得图14（a）。为了使输出的图形更直 观，我们改变观察点，即键入：
Plot3D f x, y , x, 2, 2 , y, 1, 4 , PlotRange 4, 0 ,
• 运行后得图14（b）
PlotPoints
30, ViewPoint
2.504, 2.105, 0.867