最短路径问题(珍藏版纯word版)

第11讲：轴对称

【问题概述】初中数学最值问题是每年中考必出题，更是图论研究中的一个经典算法问题，旨在寻找图（由结点和路径组成的）中两结点之间的最短路径。

【问题原型】“将军饮马”，“造桥选址”，“费马点”．

【涉及知识】“两点之间线段最短”，“垂线段最短”，“三角形三边关系”，“轴对称”，“平移”．

【出题背景】角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等．

【解题思路】找对称点实现“折”转“直”，近两年出现“三折线”转“直”等变式问题考查．一．【十二个基本问题】

在直线l上求一点

+PB 值最小。

【问题2】作图

在直线l上求一点

A+PB 值最小．

【问题3】“将军饮马”作图

在直线l1 、l2 上分别

求点M、N，使△PMN

周长最小．

【问题 4】作图

在直线l1、l2上分别求

M 、N ，使四

PQMN的周长最小。

直线m∥ n，在m、

上分别求点M、N，使

m，且AM+MN+BN

值最小。

【问题 6】作图

在直线l上求两点M、

在左），使MN a，并使

+MN+NB 的值最小

作图

l1上求点A，在l2

B，使P A+AB值最小．

【问题 8】作图

A 为l1上一定点，B

上；A 为l1上一定点，

B 为l2上一定点，在

上求点M在l1上求点N

作图

在直线l上求一点

PA－的值最小

PB

二．“一次对称”常见模型:在直线 l 上求一点 PB PA －的值最大作图

在直线 l 上求一点 PB －的值最大 .【问题 12】“费马点”作图

ABC 中每一内角都小120°，在△ABC 内求一点P ，使 P A +PB +PC 最小．

【精品练习】

1．如图所示，正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，则这个最小值为（）

A.23

B. 26

C.3

D.6

2．如图，在边长为2 的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，若将△ACD绕点A旋转，当AC′、AD′分别与BC、CD交于点E、F，则△CEF的周长的最小值为（）

A.2

B.23

C.2＋3

D. 4

3．四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，∠C＝70°，在BC、CD上分别找一点M、N，使△AMN的周长最小时，

∠AMN+∠ANM的度数为（）A．120°B．130°C．110°D．140°

4．如图，在锐角△ABC中，AB＝42，∠BAC＝45°，∠BAC＝45°，∠BAC的平分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是__________。

5．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝6，点E在AB边上，点D在BC边上（不与点B、C重合），且ED＝AE，则线段AE的取值范围是__________。

6．如图，∠AOB＝30°，点M、N分别在边OA、OB上，且OM＝1，ON＝3，点P、Q分别在边OB、OA上，则MP＋PQ＋QN的最小值是_________．（注“勾股定理”：直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方，即Rt△ABC中，∠C＝90°，则有AC2+BC 2

2）

=AB

7．如图，三角形△ABC中，∠OAB＝∠AOB＝15°，点B在x轴的正半轴，坐标为B( 63，0)．OC 平分∠AOB,点M 在OC 的延长线上，点N 为边OA 上的点，则MA＋MN 的最小值__________。

8．已知A（2，4）、B（4，2）．C在y轴上，D在x轴上，则四边形ABCD的周长最小值为__________。

此时C、D两点的坐标分别为__________。

9．已知A（1，1）、B（4，2）．（1）P为x轴上一动点，求P A+PB的最小值和此时P点的坐标；（2）P为x轴上一动点，求P A PB的值最大时P点的坐标；

（3）CD为x轴上一条动线段，D在C点右边且CD＝1，求当AC+CD+DB的最小值和此时C点的坐标；

10．点C为∠AOB内一点．（1）在OA求作点D，OB上求作点E，使△CDE的周长最小，请画出图形；（2）在（1）的条件下，若∠AOB＝30°，OC＝10，求△CDE周长的最小值和此时∠DCE的度数．

11．（1）如图①，△ABD 和△ACE 均为等边三角形，BE、CE 交于 F，连 AF，求证：AF+BF+CF ＝CD；（2）在△ABC 中，∠ABC＝30°，AB＝6，BC＝8，∠A，∠C 均小于 120°，求作一点P，使 PA+PB+PC 的值最小，试求出最小值并说明理由．

12．荆州护城河在 CC＇处直角转弯，河宽相等，从 A 处到达 B 处，需经过两座桥 DD＇、EE＇，护城河及两

桥都是东西、南北方向，桥与河岸垂直．如何确定两座桥的位置，可使 A 到 B 点路径最短？