九年级数学竞赛讲座 第五讲 一元二次方程的整数整数解

第五讲 一元二次方程的整数整数解

在数学课外活动中，在各类数学竞赛中，一元二次方程的整数解问题一直是个热点，它将古老的整数理论与传统的一元二次方程知识相结合，涉及面广，解法灵活，综合性强，备受关注，解含参数的一元二次方程的整数解问题的基本策略有： 从求根入手，求出根的有理表达式，利用整除求解；

从判别式手，运用判别式求出参数或解的取值范围，或引入参数(设△=2k )，通过穷举，逼近求解；

从韦达定理入手，从根与系数的关系式中消去参数，得到关于两根的不定方程，借助因数分解、因式分解求解；

从变更主元入人，当方程中参数次数较低时，可考虑以参数为主元求解．

注：一元二次方程的整数根问题，既涉及方程的解法、判别式、韦达定理等与方程相关的知识，又与整除、奇数、偶数、质数、合数等整数知识密切相关． 【例题求解】

【例1】若关于x 的方程054)15117()9)(6(2=+----x k x k k 的解都是整数，则符合条件的整数是的值有 ____________个．

思路点拨 用因式分解法可得到根的简单表达式，因方程的类型未指明，故须按一次方程、二次方程两种情形讨论，这样确定是的值才能全面而准确．

注：系数含参数的方程问题，在没有指明是二次方程时，要注意有可能是一次方程，根据问题的题设条件，看是否要分类讨论．

【例2】 已知a 、b 为质数且是方程0132=+-c x x 的根，那么b

a

a b +

的值是( ) A ．

22127 B ．22125 C ．22123 D ．22

121

思路点拨 由韦达定理a 、b 的关系式，结合整数性质求出a 、b 、的值．

【例3】 试确定一切有理数，使得关于x 的方程01)2(2=-+++r x r rx 有根且只有整数根． 思路点拨 由于方程的类型未确定，所以应分类讨论．当0≠r 时，由根与系数关系得到关于r 的两个等式，消去r ，利用因式(数)分解先求出方程两整数根． 【例4】

当m 为整数时，关于x 的方程01)12()12(2=++--x m x m 是否有有理根?如果有，求出m 的值；如果没有，请说明理由．

思路点拨 整系数方程有有理根的条件是为完全平方数．

设△=22224)12(544)12(4)12(n m m m m m =+-=+-=--+(n 为整数)解不定方程，讨论

m 的存在性．

注：一元二次方程02=++c bx ax (a ≠0)而言，方程的根为整数必为有理数，而△=ac b 42-为完全平方数是方程的根为有理数的充要条件．

【例5】 若关于x 的方程0)13()3(22=-+--a x a ax 至少有一个整数根，求非负整数a 的值．

思路点拨 因根的表示式复杂，从韦达定理得出的a 的两个关系式中消去a 也较困难，又因a 的次数低于x 的次数，故可将原方程变形为关于a 的一次方程．

学历训练

1．已知关于x 的方程012)1(2=--+-a x x a 的根都是整数，那么符合条件的整数a 有 ． 2．已知方程019992=+-m x x 有两个质数解，则m ＝ ．

3．给出四个命题：①整系数方程02=++c bx ax (a ≠0)中，若△为一个完全平方数，则方程必有有理根；②整系数方程02=++c bx ax (a ≠0)中，若方程有有理数根，则△为完全平方数；③无理数系数方程02=++c bx ax (a ≠0)的根只能是无理数；④若a 、b 、均为奇数，则方程02=++c bx ax 没有有理数根，其中真命题是 ．

4．已知关于x 的一元二次方程0)12(22=+-+a x a x (a 为整数)的两个实数根是1x 、2x ，则21x x -= ．

5．设rn 为整数，且4

6．已知方程015132)83(222=+-+--a a x a a ax (a ≠0)至少有一个整数根，求a 的值．

7．求使关于x 的方程01)1(2=-+++k x k kx 的根都是整数的k 值．

8．当n 为正整数时，关于x 的方程0763*******=-+-+-n n x nx x 的两根均为质数，试解此方程．

9．设关于x 的二次方程4)462()86(2222=+--++-k x k k x k k 的两根都是整数，试求满足条件的所有实数k 的值．

10．试求所有这样的正整数a ，使得方程0)3(4)12(22=-+-+a x a ax 至少有一个整数解．

参考答案