2020-2021深圳市高二数学上期末试卷带答案
2020-2021学年广东省高二上学期期末数学试卷及答案解析
第 1 页 共 20 页2020-2021学年广东省高二上学期期末数学试卷一．选择题（共12小题，满分60分，每小题5分）1．已知命题P ：∃x 0≥1，x 02+x 0+1≤0，则命题P 的否定为（ ）A ．∃x ≥1，x 2+x +1＞0B ．∀x ≥1，x 2+x +1≤0C ．∀x ＜1，x 2+x +1＞0D ．∀x ≥1，x 2+x +1＞02．过双曲线x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的一个焦点作实轴的垂线，交双曲线于A ，B 两点，若线段AB 的长度恰等于焦距，则双曲线的离心率为（ ） A ．√5+12B ．√102C ．√17+14D ．√2243．已知数列{a n }满足a n +1﹣2a n ＝0，且a 1+a 3+a 5＝21，那么a 3+a 5+a 7＝（ ） A ．212B ．33C ．42D ．844．△ABC 中，a cosA=b cosB=c cosC，则△ABC 一定是（ ）A ．直角三角形B ．钝角三角形C ．等腰三角形D ．等边三角形5．准线方程为y ＝2的抛物线的标准方程是（ ） A ．x 2＝16yB ．x 2＝8yC ．x 2＝﹣16yD ．x 2＝﹣8y6．若抛物线y 2＝2px （p ＞0）的焦点是双曲线x 23p−y 2p=1的一个焦点，则p ＝（ ）A ．2B ．4C ．8D ．167．设a ＞0，b ＞0，则“b ＞a ”是“椭圆x 2a +y 2b =1的焦点在y 轴上”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件8．已知双曲线C ：y 2a −x 2b =1(a ＞b ＞0)的一条渐近线与直线3x ﹣2y ﹣5＝0垂直，则此双曲线的离心率为（ ） A ．√133B ．√132C ．√153 D ．√1529．在△ABC 中，D 为BC 的中点，满足∠BAD +∠C =π2，则△ABC 的形状一定是（ ） A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等边三角形。
2021-2022学年广东省深圳市重点中学高二(上)期末数学试卷(附答案详解)
2021-2022学年广东省深圳市重点中学高二（上）期末数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分） 1. 下列数列中成等差数列的是( )A. 12,13,14 B. lg5，lg6，lg7 C. 1,78,34D. 2，3，52. 已知椭圆y 216+x 24=1，则它的短轴长为( )A. 2B. 4C. 6D. 83. 已知向量e 1⃗⃗⃗ ,e 2⃗⃗⃗ ,e 3⃗⃗⃗ 是两两垂直的单位向量，且a ⃗ =3e 1⃗⃗⃗ +2e 2⃗⃗⃗ −e 3⃗⃗⃗ ,b ⃗ =e 1⃗⃗⃗ +2e⃗ 3，则ā⋅b ⃗ =( )A. 5B. 1C. −1D. 74. 将一张坐标纸折叠一次，使点(2,0)与(−6,8)重合，求折痕所在直线是( )A. x −y −6=0B. x +y +6=0C. x +y −6=0D. x −y +6=05. 已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 2a 3=2a 1，且a 2+a 4=10，则S 3等于( )A. 28B. 26C. 28或−12D. 26或−106. 如图，空间四边形OABC 中，OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ,OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ,OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =c ⃗ ，点M 在OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 上，且OM =2MA ，点N 为BC 中点，则MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =( )A. 12a ⃗ −23b ⃗ +12c ⃗ B. −23a ⃗ +12b ⃗ +12c ⃗ C. 12a⃗ +12b ⃗ −12c ⃗ D. 23a ⃗ +23b ⃗ −12c ⃗7. 双曲线C ：x 2a 2−y 2b2=1(a >0,b >0)的左、右焦点分别是F 1，F 2，直线l ：y =x 与双曲线C 在第一象限的交点为M ，M 在x 轴上的投影恰好是F 2，则双曲线C 的离心率是( )A. √3+12B. √5+1 C. √3+1 D. √5+128.杨辉三角是二项式系数在只角形中的一种几何排列，在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中就有出现．在欧洲，帕斯卡(1623～1662)在1654年发现这一规律，比杨辉要迟了393年．如图所示，在“杨辉三角”中，从1开始箭头所指的数组成一个锯齿形数列：1，2，3，36，4，10，5，…，则在该数列中，第37项是()A. 153B. 171C. 190D. 210二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）9.点P在圆C1：x2+y2=1上，点Q在圆C2：(x−3)2+(y+4)2=16上，则()A. 两个圆心所在的直线斜率为43B. 两个圆相交弦所在直线的方程为3x−4y−5=0C. 两圆公切线有两条D. |PQ|的最小值为010.已知正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为1，下列四个结论中正确的是()A. 直线BC1与直线AD1所成的角为90°B. BD1⊥平面ACD1C. 点B1到平面ACD1的距离为√32D. 直线B1C与平面ACD1所成角的余弦值为√3311.数列{a n}的前n项和为S n，S n=3n−1(n∈N∗)，则有()A. {S n}为等比数列B. a n=2⋅3n−1C. a n ={1,n =12⋅3n−2,n ≥2D. {nS n }的前n 项和为(2n−1)⋅3n +1412. 已知曲线C 的方程为F(x,y)=0，集合T ={(x,y)|F(x,y)=0}，若对于任意的(x 1,y 1)∈T ，都存在(x 2,y 2)∈T ，使得x 1x 2+y 1y 2=0成立，则称曲线C 为Σ曲线．下列方程所表示的曲线中，是Σ曲线的有( )A. x 24+y 23=1 B. x 2−y 2=1 C. y 2=2x D. |y|=|x|+1三、单空题（本大题共4小题，共20.0分） 13. 直线x +√3y −1=0的倾斜角的大小为______．14. 已知{a n }是公差不为零的等差数列，且a 3，a 4，a 6成等比数列，则a 2=______． 15. 在平面直角坐标系xOy 中，双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0的左、右焦点分别为F 1，F 2，点M 是双曲线右支上一点．|OM|=|OF 2|，且|MF 1|=2|MF 2|，则双曲线的渐近线方程为______．16. 希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名．他发现：“平面内到两个定点A ，B 的距离之比为定值λ(λ≠1)的点的轨迹是圆”.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知在平面直角坐标系xOy 中，A(−2,1)，B(−2,4)，点P 是满足λ=12的阿氏圆上的任一点，则该阿氏圆的方程为______；若点Q 为抛物线E ：y 2=4x 上的动点，Q 在直线x =−1上的射影为H ，则12|PB|+|PQ|+|QH|的最小值为______．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分） 17. 已知圆D 经过点A(−1,0)，B(3,0)，C(1,2)．(1)求圆D 的标准方程；(2)若直线l ：3x −4y +2−0与圆D 交于M 、N 两点，求线段MN 的长度．18.已知抛物线C：y2=2px(p>0)上的点M(5,m)到焦点F的距离为6．(1)求抛物线C的方程(2)过点P(2,−1)作直线l交抛物线C于A，B两点，且点P是线段AB的中点，求直线l方程．19.王同学入读某大学金融专业，过完年刚好得到红包6000元，她计划以此作为启动资金进行理投资，每月月底获得的投资收益是该月月初投入资金的20%，并从中拿出1000元作为自己的生活费，余款作为资金全部投入下个月，如此继续．设第n个月月底的投资市值为a n．(1)求证：数列{a n−5000}为等比数列；(2)如果王同学想在第二年过年的时候给奶奶买一台全身按摩椅(商场标价为12899元)，将一年后投资市值全部取出来是否足够？(1.211=7.43,1.212=8.92)20.如图，直三棱柱ABC−A1B1C1中，底面是边长为2的等边三角形，D为棱AC中点．(1)证明：AB1//平面BC1D；(2)若面B1BC1与面BC1D的夹角余弦值为3，求CC1．421. 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1=1，且2S n =(n +1)a n ．(1)求数列{a n }的通项公式； (2)求数列1a n2+a n+12−1的前n 项和T n ，求使不等式2022T n >m 成立的最大整数m 的值．22. 已知点F 1(−1,0)，圆F 2：(x −1)2+y 2=8，点Q 在圆F 2上运动，QF 1的垂直平分线交QF 2于点P ．(1)求动点P 的轨迹的方程C ；(2)过点(0,−13)的动直线l 交曲线C 于A ，B 两点，在y 轴上是否存在定点T ，使以AB 为直径的圆恒过这个点？若存在，求出点T 的坐标，若不存在，请说明理由．答案和解析1.【答案】C【解析】解：对于A，∵2×13≠12+14，∴12,13,14不成等差数列，故A错误；对于B，∵2lg6≠lg5+lg7，∴lg5，lg6，lg7不成等差数列，故B错误；对于C，∵2×78=1+34，∴1,78,34成等差数列，故C正确；对于D，∵2×3≠2+5，∴2，3，5不成等差数列，故D错误．故选：C．利用等差数列的性质直接求解．本题考查等差数列的判断，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.【答案】B【解析】解：椭圆y216+x24=1，可知b=2，所以椭圆的短轴长为4．故选：B．利用椭圆方程求出b得到结果．本题考查椭圆的简单性质的应用，是基础题．3.【答案】B【解析】解：∵向量e1⃗⃗⃗ ,e2⃗⃗⃗ ,e3⃗⃗⃗ 是两两垂直的单位向量，∴e1⃗⃗⃗ ⋅e2⃗⃗⃗ =0，e2⃗⃗⃗ ⋅e3⃗⃗⃗ =0，e1⃗⃗⃗ ⋅e3⃗⃗⃗ =0，则ā⋅b⃗ =(3e1⃗⃗⃗ +2e2⃗⃗⃗ −e3⃗⃗⃗ )⋅(e1⃗⃗⃗ +2e3⃗⃗⃗ )=3e1⃗⃗⃗ 2+6e1⃗⃗⃗ ⋅e3⃗⃗⃗ +2e1⃗⃗⃗ ⋅e2⃗⃗⃗ +4e2⃗⃗⃗ ⋅e3⃗⃗⃗ −e3⃗⃗⃗ ⋅e1⃗⃗⃗ −2e3⃗⃗⃗ 2 =3−2=1．故选：B．由已知直接利用向量的数量积运算求解即可．本题考查平面向量的数量积运算，考查运算求解能力，是基础题．4.【答案】D【解析】解：设A(2,0)，B(−6,8)，由题意可知折痕所在直线是线段AB的垂直平分线，∵k AB=8−0−6−2=−1，∴折痕所在直线的斜率为1，又∵线段AB的中点坐标为(−2,4)，∴折痕所在直线方程为y−4=x+2，即x−y+6=0，故选：D．设A(2,0)，B(−6,8)，由题意可知折痕所在直线是线段AB的垂直平分线，由直线AB的斜率可得折痕所在直线的斜率，再利用中点坐标公式求出线段AB的中点坐标，由点斜式即可求出折痕所在直线方程．本题主要考查了直线的一般方程，考查了中点坐标公式的应用，属于基础题．5.【答案】C【解析】解：根据题意，设等比数列{a n}的公比为q，若a2a3=2a1，即a2a1a3=a4=2，又由a2+a4=10，则a2=8，则有q2=a4a2=14，则q=±12，当q=12时，S3=a2q+a2+a2q=16+8+4=28，当q=−12时，S3=a2q+a2+a2q=−16+8−4=−12，故S3=28或−12；故选：C．根据题意，设等比数列{a n}的公比为q，将a2a3=2a1变形可得a2a1a3=a4=2，求出a2的值，即可得q的值，又由S3=a2q+a2+a2q，计算可得答案．本题考查等比数列的性质以及应用，涉及等比数列的求和，属于基础题．6.【答案】B【解析】 【分析】本题考点是空间向量基本定理，考查了向量的线性运算，解题的关键是根据图形把所研究的向量用三个基向量表示出来，属于基础题．由题意，把OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，OC ⃗⃗⃗⃗⃗ 三个向量看作是基向量，由图形根据向量的线性运算，将MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 用三个基向量表示出来，即可得到答案． 【解答】 解：由题意MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +12BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−23OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12OC ⃗⃗⃗⃗⃗ −12OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−23OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +12OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12OC ⃗⃗⃗⃗⃗ 又OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，OC ⃗⃗⃗⃗⃗=c ⃗ ∴MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−23a ⃗ +12b ⃗ +12c ⃗故选B ．7.【答案】D【解析】解：设原点为O ，因为直线l ：y =x 与双曲线C 在第一象限的交点M 在x 轴上的投影恰好是F 2，所以MF 2⊥F 1F 2，且∠MOF 2=π4，所以|MF 2|=|OF 2|， 将x =c 代入到双曲线方程，可得c 2a 2−y 2b 2=1，解得y =b 2a，即|MF 2|=b 2a，则b 2a=c ，即c 2−ac −a 2=0，即e 2−e −1=0，解得e =1±√52(舍负)，故e =1+√52．故选：D ．根据题意得到∠MOF 2=π4，|MF 2|=|OF 2|，x =c 代入到双曲线方程，解得y =b2a，即|MF 2|=b 2a，则b 2a=c ，即c 2−ac −a 2=0，即e 2−e −1=0，求解方程即可得到结果． 本题主要考查双曲线的性质，考查转化思想与运算求解能力，属于中档题．8.【答案】C【解析】解：每行2个数，则第37项在21行第3个数， 从第3行开始斜行1，3，6，10，…，即为1×22，2×32，3×42，…，(n−1)(n−2)2，则21行第3个数为19×202=190，故选：C ．根据每行的数字个数可得第37项在21行第3个数，再根据所有的斜行规律，即可求出答案．本题考查归纳推理和杨辉三角知识，属于一般基础题．9.【答案】BD【解析】解：根据题意，依次分析选项：对于A ，圆C 1：x 2+y 2=1上，其圆心为(0,0)，半径为1，圆C 2：(x −3)2+(y +4)2=16，其圆心为(3,−4)，半径为4，则两个圆心所在的直线斜率k =−4−03−0=−43，A 错误；对于B ，圆C 2：(x −3)2+(y +4)2=16，即x 2+y 2−6x +8y +9=0，联立两个圆的方程，变形可得3x −4y −5=0，即两个圆相交弦所在直线的方程为3x −4y −5=0，B 正确，对于C ，圆心距|C 1C 2|=√9+16=5=1+4，两圆外切，有3条公切线，C 错误； 对于D ，由C 的结论，两圆外切，则|PQ|的最小值为0，D 正确； 故选：BD ．根据题意，依次分析选项是否正确，即可得答案．本题考查圆方程的综合应用，注意圆的标准方程，属于基础题．10.【答案】BD【解析】解：如图，以D 为坐标原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系，则D(0,0,0)，A(1,0,0)，C(0,1,0)，D 1(0,0,1)， B 1(1,1,1)，C 1(0,1,1)，B(1,1,0)，对于A ，BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,0,1)，AD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,0,1)，BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2，∴BC 1不垂直于AD 1， ∴直线BC 1与直线AD 1所成的角不为90°，故A 错误；对于B ，∵AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,1,0)，AD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,0,1)，B 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,−1,−1)， ∴AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅B 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，AD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅B 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，∴AC ⊥B 1D ，AD 1⊥B 1D ， ∵AC ∩AD 1=A ，∴BD 1⊥平面ACD 1，故B 正确；对于C ，∵B 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,0,−1)，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,1,0)，AD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,0,1)， 设平面ACD 1的法向量n⃗ =(x,y,z)， 则{n ⃗ ⋅AC⃗⃗⃗⃗⃗ =−x +y =0n ⃗ ⋅AD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−x +z =0，取x =1，得n⃗ =(1,1,1)， ∴点B 1到平面ACD 1的距离为d =|B 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ ||n ⃗⃗ |=√3=2√33，故C 错误；对于D ，由C 知平面ACD 1的法向量n ⃗ =(1,1,1)，B 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,0,−1)，∴|cos <B 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,n ⃗ >|=|B 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ ||B 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=√2⋅√3=√63， ∴直线B 1C 与平面ACD 1所成角的余弦值为√1−(√63)2=√33，故D 正确．故选：BD ．以D 为坐标原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法求解．本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．11.【答案】ACD【解析】解：A.∵S n+1S n=3n3n−1=3，a 1=S 1=1，∴{S n }为等比数列，因此A 正确．B .n ≥2时，a n =S n −S n−1=3n−1−3n−2=2×3n−2，n =1时不成立，因此B 不正确．C .结合B 可得，a n ={1,n =12⋅3n−2,n ≥2，因此C 正确．D .nS n =n ⋅3n−1，∴{nS n }的前n 项和A n =1+2×3+3×32+4×33+⋯+n ⋅3n−1， 3A n =3+2×32+3×33+⋯+(n −1)⋅3n−1+n ⋅3n ， ∴−2A n =1+(3+32+33+⋯+3n−1)−n ⋅3n=3n −13−1--n ⋅3n ，∴A n =(2n−1)⋅3n +14，因此D 正确．故选：ACD ．A .利用等比数列的定义即可判断出A 正误．B .n ≥2时，a n =S n −S n−1，验证n =1时是否成立，即可判断出正误．C .结合B 可得，即可判断出正误．D .nS n =n ⋅3n−1，利用错位相减法即可判断出正误．本题考查了数列递推关系、等比数列的通项公式与求和公式、错位相减法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．12.【答案】AC【解析】解：对于任意P 1(x 1,y 1)∈T ，存在P 2(x 2,y 2)∈T ，使x 1x 2+y 1y 2=0成立，即OP 1⊥OP 2． 对于A ：x 24+y 23=1的图象关于原点中心对称，∴对于任意P 1(x 1,y 1)∈C ，存在P 2(x 2,y 2)∈C ，使OP 1⊥OP 2.故x 24+y 23=1为∑曲线；对于B ：x 2−y 2=1，当P 1(x 1,y 1)为双曲线的顶点时，双曲线上不存在点P 2(x 2,y 2)∈C ，使OP 1⊥OP 2.故x 2−y 2=1不是∑曲线；对于C ：y 2=2x ，其图象关于y 轴对称，OP 1的垂线一定与抛物线相交，故y 2=2x 为∑曲线；对于D ：当P 1(x 1,y 1)为(0,1)时，曲线上不存在点P 2(x 2,y 2)∈C ，使OP1⊥OP2.故④不是∑曲线；故选：AC．由∑曲线的定义可知，具备∑曲线的条件是对于任意的P1(x1,y1)∈T，都存在P2(x2,y2)∈T，使得x1x2+y1y2=0成立，即OP1⊥OP2.然后逐个验证即可得到答案．本题考查了命题真假的判断与应用，考查了元素与集合的关系，考查了数学转化思想方法，解答的关键是对新定义的理解，是中档题．π13.【答案】56，【解析】解：因为直线x+√3y−1=0的斜率为：−√33所以tanα=−√3，3π．所以直线的倾斜角为：56π．故答案为：56利用直线方程求出斜率，然后求出直线的倾斜角．本题考查直线的一般式方程与直线的倾斜角的求法，考查计算能力．14.【答案】0【解析】解：设{a n}是公差d不为零的等差数列，且a3，a4，a6成等比数列，可得a42=a3a6，即(a1+3d)2=(a1+2d)(a1+5d)，化为a1=−d，则a2=a1+d=0．故答案为：0．设等差数列的公差为d(d≠0)，由等比数列的中项性质和等差数列的通项公式，可得所求值．本题考查等差数列的通项公式和等比数列的中项性质，考查方程思想和运算能力，属于基础题．15.【答案】y=±2x【解析】解：∵|OF1|=|OF2|=|OM|∴∠F1MF2=90°设|MF2|=t，则|F1M|=2t，a=2t−t2=t2，∴t2+4t2=4c2，∴t=2√55c，c=√52t，∴b=t，∴双曲线的渐近线方程为y=±2x．故答案为：y=±2x．依题意可知|OF1|=|OF2|=|OP|判断出∠F1MF2=90°，设出|MF2|=t，则|F1M|=2t，进而利用双曲线定义可用t表示出a，根据勾股定理求得t和c的关系，最后可求得双曲线的渐近线方程．本题主要考查了双曲线的简单性质，考查了学生对双曲线定义的理解和灵活运用，属于基础题．16.【答案】(x+2)2+y2=4√10【解析】解：设P(x,y)，由阿氏圆的定义可得，|PA| |PB|=12，即(x+2)2+(y−1)2(x+2)2+(y−4)2=14，化简得(x+2)2+y2=4，因为|PA||PB|=12，则|PA|=12|PB|，设F(1,0)，则由抛物线的定义可得|QH|=|QF|，所以12|PB|+|PQ|+|QH|=|PA|+|PQ|+|QF|≥|AF|=√10，当且仅当A，P，Q，F四点共线时取等号，所以12|PB|+|PQ|+|QH|的最小值为√10，故答案为：(x+2)2+y2=4，√10．(1)利用直译法直接求出P的轨迹．(2)先利用阿氏圆的定义将12|PB|转化为点P到另一个定点的距离，然后结合抛物线的定义容易求得12|PB|+|PQ|+|QH|的最小值．本题考查抛物线的定义和性质，阿氏圆定义的应用，属于中档题．17.【答案】解：(1)设圆D 的标准方程(x −a)2+(y −b)2=r 2，由题意可得{(−1−a)2+(0−b)2=r (3−a)2+(0−b)2=r 2(1−a)2+(2−b)2=r 2，解得{a =1b =0r =2，所以圆D 的标准方程为(x −1)2+y 2=4． (2)由(1)可知圆>D(1,0)，r =2，所以圆心D(1,0)到直线l ：3x −4y +2=0的距离d =√32+(−4)2=1， 所以|MN|=2√r 2−d 2=2√3．【解析】(1)设圆D 的标准方程(x −a)2+(y −b)2=r 2，将A ，B ，C 三点坐标代入上式方程，即可求解．(2)根据已知条件，结合点到直线的距离公式，以及垂径定理，即可求解． 本题主要考查直线与圆的位置关系，考查计算能力，属于中档题．18.【答案】解：(1)由题设，抛物线准线方程为x =−p2，∴抛物线定义知：5+p2=6，可得p =2，∴C ：y 2=4x.……(5分)(2)由题设，直线l 的斜率存在且不为0， 设：x =k(y +1)+2，联立方程{x =k(y +1)+2y 2=4x ，得y 2=4k(y +1)+8，整理得y 2−4ky −4k −8=0，则y A +y B =4k ，又P 是线段AB 的中点，∴y A +y B =−2，可得4k =−2，即k =−12， 故：2x +y −3=0.…(12分)【解析】(1)结合抛物线的定义，求解p ，得到抛物线方程．(2)设出直线方程，利用直线与抛物线方程联立，结合韦达定理，求解直线的斜率，得到直线方程．本题考查抛物线方程的求法，直线与抛物线的位置关系的应用，是中档题．19.【答案】证明：(1)依题意，第1个月底股票市值为a 1=6000(1+20%)−1000=6200，a n+1=a n (1+20%)−1000=1.2a n −1000，则a n+1−5000a n −5000=1.2a n −6000a n −5000=1.2，又∵a 1−5000=1200，∴数列{a n −5000}是首项为1200，公比为1.2的等比数列． (2)由(1)知a n −5000=1200×1.2n−1，∴a 12−5000=1200×1.211≈8916,即a 12≈8916+5000=13916， ∵a 12≈13916>12899，∴王同学将一年理财投资所得全部取出来是足够的．【解析】(1)依题意，求出第1个股票市值，以及a n+1=1.2a n −1000，再结合等比数列的性质，即可求证．(2)由(1)的结论，求得a 12的值，再通过比较大小，即可求解．本题主要考查数列与函数的综合应用，需要学生较强的综合能力，属于中档题．20.【答案】(1)证明：如图，连B 1C ，使B 1C ∩BC 1=E ，连DE ，由直三棱柱得四边形B 1BCC 1为矩形，所以E 为B 1C 中点， ∵在△AB 1C 中，D 、E 分别为AC 和B 1C 中点，∴DE//AB 1， 又因平面AB 1C ∩平面BDC 1=DE ，DE ⊂面AB 1C ， ∴AB 1//平面BDC 1.⋅⋅⋅⋅⋅(4分)(2)解：设CC 1=a ，以D 为坐标原点如图建系，⋅⋅⋅⋅⋅(5分) 则B 1(√3,,0,,a),B(√3,,0,,0),C 1(0,,1,,a)， 设平面BB 1C 1的法向量m⃗⃗⃗ =(x 1,y 1,z 1) 则{m ⃗⃗⃗ .BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,m ⃗⃗⃗ .BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0⇒{az 1=0,−√3x 1+y 1+az 1=0，故可取m ⃗⃗⃗ =(1,√3,0).⋅⋅⋅⋅⋅(7分)设平面BC 1D 的法向量n ⃗ =(x 2,y 2,z 2)，则{n ⃗ .DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,n ⃗ .BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0⇒{√3x 2=0,−√3x 2+y 2+az 2=0，故可取n⃗ =(0,a,−1)， 因为面B 1BC 1与面BC 1D 的夹角余弦值为34， 所以|m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ ||m⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=34，即：34=√3a2×√a 2+1，解得a =√3，∴CC 1=√3.⋅⋅⋅⋅⋅(12分)【解析】(1)连B 1C ，使B 1C ∩BC 1=E ，连DE ，证明DE//AB 1，然后证明AB 1//平面BDC 1． (2)以D 为坐标原点建立空间直角坐标系，求出平面BB 1C 1的法向量，平面BC 1D 的法向量，利用空间向量的数量积求解面B 1BC 1与面BC 1D 的夹角余弦值为34，推出结果即可． 本题考查直线与平面平行的判定定理的应用，二面角的平面角的求法，考查空间想象能力，转化思想以及计算能力，是中档题．21.【答案】(1)解：由于2S n =(n +1)a n ①，当n ≥2时，2S n−1=na n−1②，①−②得，2a n =(n +1)a n −na n−1，即(n −1)a n =na n−1，整理得ann =a n−1n−1=a 11=1，所以a n =n(n ≥2)，因为a 1=1满足上式，所以a n =n ． (2)证明：由(1)得，1a n2+a n+12−1=1n 2+(n+1)2−1=12n(n+1)=12(1n −1n+1)， 所以T n =1a 12+a 22−1+1a 22+a 32−1+⋯+1a n2+a n+12−1=12[(1−12)+(12−13)+⋯+(1n −1n+1)]=12(1−1n+1)<12，又因为1a n+12+a n 2−1=12(1n −1n+1)>0，所以T n 单调递增，所以T n ≥T 1=14， 故14≤T n <12，所以50512≤2022T n <1011，所以使不等式2022T n >m 成立的最大整数m =505．【解析】(1)利用a n =S n −S n−1(n ≥2)，可得a n =n(n ≥2)，再验证n =1的情况，即可；(2)化简裂项可得1a n2+a n+12−1=12(1n −1n+1)，再结合T n 的单调性，推出14≤T n <12，然后解不等式，即可．本题考查数列的通项公式与前n 项和的求法，熟练掌握利用a n =S n −S n−1(n ≥2)求通项公式，裂项求和法，数列的单调性是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．22.【答案】解：(1)由垂直平分线性质知|PF 1|=|PQ|则|PF 1|+|PF 2|=|PQ|+|PF 2|=|QF 2|=2√2>2|F 1F 2|=2， 由椭圆定义知P 的轨迹是以F 1，F 2为焦点，且长轴长为2√2的椭圆， 所以a =√2,c =1，∴b 2=a 2−c 2=1， ∴点P 的轨迹方程为x 22+y 2=1；(2)设T(0,t)，易得AB 的斜率一定存在，否则不会存在T 满足题意， 设直线AB 的方程为y =kx −13,A(x 1,y 1),B(x 2,,y 2)，则TA⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅TB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1,y 1−t)⋅(x 2,y 2−t)=x 1x 2+(y 1−t)(y 2−t)， =x 1x 2+(kx 1−13)(kx 2−13)−t[k(x 1+x 2)−23]+t 2=(1+k 2)x 1x 2−(13k +tk)(x 1+x 2)+19+23t +t 2=0(∗)，联立{y =kx −13x 22+y 2=1，化为(1+2k 2)x 2−43kx −169=0，易知Δ>0恒成立，∴x 1+x 2=4k 3(1+2k 2),x 1x 2=−169(1+2k 2)代入(∗)式可得：−16(1+k 2)9(1+2k 2)−(13k +kt)×4k3(1+2k 2)+19+23t +t 2=0， 化为t(18t 2−18)k 2+(9t 2+6t −15)=0，∴{18t 2−18=09t 2+6t −15=0，解得t =1， ∴在y 轴上存在定点T(0,1)，使以AB 为直径的圆恒过这个点T ．【解析】(1)如图所示，由|PF 1|+|PF 2|=|QF 1|=R =2√2>|F 1F 2|=2，可得动点P 的轨迹为椭圆，a =√2，c =1，b 2=a 2−c 2.即可得出动点P 的轨迹的方程C ； (2)假设在y 轴上存在定点T(0,t)，使以AB 为直径的圆恒过这个点．设直线AB 的方程为y =kx −13，A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2).与椭圆方程联立可得根与系数的关系，代入上式TA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅TB⃗⃗⃗⃗⃗ =0，解出即可． 本题考查了椭圆的定义及其标准方程、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、圆的性质、向量坐标运算，考查了推理能力与计算能力，属于难题．。
2020-2021深圳宝安区民众学校高二数学上期末一模试题(附答案)
2020-2021深圳宝安区民众学校高二数学上期末一模试题(附答案)一、选择题1．将1000名学生的编号如下：0001，0002，0003，…，1000，若从中抽取50个学生，用系统抽样的方法从第一部分0001，0002，…，0020中抽取的号码为0015时，抽取的第40个号码为（ ） A ．0795B ．0780C ．0810D ．08152．将A ，B ，C ，D ，E ，F 这6个字母随机排成一排组成一个信息码，则所得信息码恰好满足A ，B ，C 三个字母连在一起，且B 在A 与C 之间的概率为（ ） A ．112B ．15C ．115D ．2153．如果数据121x +、221x +、L 、21n x +的平均值为5，方差为16，则数据：153x -、253x -、L 、53n x -的平均值和方差分别为（ ）A ．1-，36B ．1-，41C ．1，72D ．10-，1444．《九章算术》是我国古代的数学名著，体现了古代劳动人民的数学智慧，其中第六章“均输”中，有一竹节容量问题，某教师根据这一问题的思想设计了如图所示的程序框图，若输出m 的值为67，则输入a 的值为( )A ．7B ．4C ．5D ．115．某校从高一(1)班和(2)班的某次数学考试(试卷满分为100分)的成绩中各随机抽取了6份数学成绩组成一个样本，如茎叶图所示.若分别从(1)班、(2)班的样本中各取一份，则(2)班成绩更好的概率为( )A ．1636B ．1736C ．12D ．19366．按照程序框图（如图所示）执行，第3 个输出的数是（ ）A ．6B ．5C ．4D ．37．类比“赵爽弦图”，可类似地构造如图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，设D 为BE 中点，若在大等边三角形中随机取一点，则此点取自小等边三角形的概率是（ ）A ．17B ．14C ．13D ．4138．赵爽是我国古代数学家、天文学家大约在公元222年赵爽为《周碑算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”(以弦为边长得到的正方形是由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成的)类比“赵爽弦图”，赵爽弦图可类似地构造如图所示的图形，它是由个3全等的等边三角形与中间的一个小等边三角形组成的一个大等边三角形，设DF =2AF ，若在大等边三角形中随机取一点，则此点取自小等边三角形的概率是( )A ．B ．C ．D ．9．设数据123,,,,n x x x x L 是郑州市普通职工*(3,)n n n N ≥∈个人的年收入，若这n 个数据的中位数为x ，平均数为y ，方差为z ，如果再加上世界首富的年收入1n x +，则这1n +个数据中，下列说法正确的是（ ）A ．年收入平均数大大增大，中位数一定变大，方差可能不变B ．年收入平均数大大增大，中位数可能不变，方差变大C ．年收入平均数大大增大，中位数可能不变，方差也不变D ．年收入平均数可能不变，中位数可能不变，方差可能不变 10．执行如图所示的程序框图，若输入2x =-，则输出的y =（ ）A ．8-B ．4-C ．4D ．811．袋中装有红球3个、白球2个、黑球1个，从中任取2个，则互斥而不对立的两个事件是( )A ．至少有一个白球；都是白球B ．至少有一个白球；至少有一个红球C ．至少有一个白球；红、黑球各一个D ．恰有一个白球；一个白球一个黑球12．执行如图的程序框图，若输出的4n =，则输入的整数p 的最小值是（ ）A ．4B ．5C ．6D ．15二、填空题13．已知某人连续5次投掷飞镖的环数分别是8，9，10，10，8，则该组数据的方差为______．14．执行如图所示的程序框图，若输入的1,7s k ==则输出的k 的值为_______．15．执行如图所示的伪代码，若输出的y的值为10，则输入的x的值是________．16．某程序框图如图所示，若输入的4t=，则输出的k=______．17．某篮球运动员在赛场上罚球命中率为23，那么这名运动员在赛场上的2次罚球中，至少有一次命中的概率为______．18．期末考试结束后，某老师随机抽取了本班五位同学的数学成绩进行统计，五位同学平均每天学习数学的时间t（分钟）与数学成绩y之间的一组数据如下表所示：时间t（分钟）30407090120数学成绩y3548m8292通过分析，发现数学成绩y与学习数学的时间t具有线性相关关系，其回归方程为0.715ˆyt =+，则表格中的m 的值是___． 19．一只口袋中装有形状、大小都相同的6只小球，其中有3只红球、2只黄球和1只蓝球.若从中1次随机摸出2只球，则2只球颜色相同的概率为____.20．在区间[,]-ππ内随机取出两个数分别记为a 、b ，则函数222()2f x x ax b π=+-+有零点的概率为__________．三、解答题21．某中学高二年级的甲、乙两个班中，需根据某次数学预赛成绩选出某班的5名学生参加数学竞赛决赛，已知这次预赛他们取得的成绩的茎叶图如图所示，其中甲班5名学生成绩的平均分是83，乙班5名学生成绩的中位数是86．（1）求出x ，y 的值，且分别求甲、乙两个班中5名学生成绩的方差、，并根据结果，你认为应该选派哪一个班的学生参加决赛？（2）从成绩在85分及以上的学生中随机抽取2名．求至少有1名来自甲班的概率． 22．为了鼓励市民节约用电，某市实行“阶梯式”电价，将每户居民的月用电量分为二档，月用电量不超过200度的部分按0.5元/度收费，超过200度的部分按0.8元/度收费.某小区共有居民1000户，为了解居民的用电情况，通过抽样，获得了今年7月份100户居民每户的用电量，统计分析后得到如图所示的频率分布直方图.（1）求a 的值；（2）试估计该小区今年7月份用电量用不超过260元的户数；（3）估计7月份该市居民用户的平均用电费用（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）.23．2018年中秋节到来之际，某超市为了解中秋节期间月饼的销售量，对其所在销售范围内的1000名消费者在中秋节期间的月饼购买量(单位：g)进行了问卷调查，得到如下频率分布直方图：()1求频率分布直方图中a 的值；()2以频率作为概率，试求消费者月饼购买量在600g 1400g ～的概率；()3已知该超市所在销售范围内有20万人，并且该超市每年的销售份额约占该市场总量的5%，请根据这1000名消费者的人均月饼购买量估计该超市应准备多少吨月饼恰好能满足市场需求(频率分布直方图中同一组的数据用该组区间的中点值作代表)？24．有20名学生参加某次考试，成绩（单位：分）的频率分布直方图如图所示：（Ⅰ）求频率分布直方图中m 的值；（Ⅱ）分别求出成绩落在[70,80),[80,90),[90,100]中的学生人数；（Ⅲ）从成绩在[80,100]的学生中任选2人，求所选学生的成绩都落在[80,90)中的概率 25．为庆祝党的98岁生日，某高校组织了“歌颂祖国，紧跟党走”为主题的党史知识竞赛。
深圳市深圳实验学校高中部2020-2021学年高二上学期第三阶段(期末)考试数学试题答案
y2），
由
y kx
x2
4
y2
，联立得
4
x2
4 4k 2 1
，
∴ x1
2 4k 2
, 1
x2
2
，
4k 2 1
高二数学试题 第 4页 共 6页
∴ | AB |
1 k 2 | x1 x2 |
1 k2
4
.
1 4k 2
|k1|
又 A 到直线 y kx 的距离 d
2，
1 k2
于是 SABC
1 2
x22
，
②
①×x2－②×x1，得
y
1 2
x1x2
2 ．
即点 M 在直线 l ： y 2 上．
………………………12 分
20．解： (1)如图所示，设直线 EF 与矩形 ABCD 交于 M，N 两点，连接 O1E，O2F，
O1O2，则 ME＝20 米，O1M＝20 3 米．
1
梯形 O1O2FE 的面积为 ×(120+80)×20
(2)设∠AO1E＝θ，θ∈
0，
2
，则
»AE
，
B»C
的长都是
40θ，
EF＝120-2×40sin θ＝120－80sin θ,
高二数学试题 第 3页 共 6页
所以修建费用 f(θ) ＝200×80θ+400×(120－80sin θ) ＝16 000(θ+3－2sin θ),
所以 f'(θ) ＝16 000(1－2cos θ).
，
f
2 3
22 27
，
f
1
1 2
．
∴函数
广东省深圳市龙华中学2020-2021学年高二数学文期末试卷含解析
广东省深圳市龙华中学2020-2021学年高二数学文期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 一个口袋内装有大小相同的红、蓝球各一个，若有放回地摸出一个球并记下颜色为一次试验，试验共进行三次，则至少摸到一次红球的概率是（）A．B．C．D．参考答案：B【考点】相互独立事件的概率乘法公式．【分析】先求出三次都摸到蓝球的概率，再用1减去此概率，即为所求．【解答】解：试验共进行三次，由于次摸到蓝球的概率都是，则三次都摸到蓝球的概率是=，故至少摸到一次红球的概率是1﹣=，故选：B．【点评】本题考查相互独立事件的概率乘法公式及n次独立重复试验中恰好发生k次的概率公式，所求的事件的概率与它的对立事件的概率之间的关系，属于基础题．2. 将5列车停在5条不同的轨道上，其中列车甲不停在第一轨道上，列车乙不停在第二轨道上，则不同的停放方法有（）A.70种B.72种C.76种D.78种参考答案：D3. 圆x2+y2-4x-5=0和x2+y2+2y =0的位置关系A、相离B、外切C、相交D、内切参考答案：C4. 下列程序执行后输出的结果是（）A．–1 B． 0 C． 1 D． 2参考答案：B5. 若，则下列不等式中不成立的是（）A． B． C． D．参考答案：B略6. 已知等比数列的各项均为正数，公比，记，，则P与Q大小关系是（）A． B． C． D．无法确定参考答案：A略7. 已知a，b，c∈R，且a＞b＞c，则下列不等式一定成立的是（）A．＞B．2a﹣b＜1 C．＞D．lg（a﹣b）＞0参考答案：C【考点】不等式比较大小．【分析】根据对数和指数函数的性质判断B，D，举反例判断A，根据不等式的基本性质判断C．【解答】解：A、当a=﹣1，b=﹣2，显然不成立，本选项不一定成立；B、∵a＞b，则a﹣b＞0．则2a﹣b＞1，本选项不成立；C、由c2+1≥1，故本选项一定成立；D、∵a﹣b＞0，当＜a﹣b＜1时，本选项不成立故选：C【点评】此题考查了不等式的性质，利用了反例的方法，是一道基本题型．8. 设双曲线的一个焦点为 ,虚轴的一个端点为,如果直线与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为（）A. B. C. D.参考答案：B略9. 若一个椭圆的内接正方形有两边分别经过它的两个焦点，则此椭圆的离心率为（）A．B．C．D．参考答案：C【考点】椭圆的简单性质．【分析】由题意可知：椭圆的通径长，则=2c，由椭圆的离心率e=，求得e2+e﹣1=0，根据椭圆的离心率取值范围，即可求得椭圆的离心率．【解答】解：假设椭圆的焦点在x轴上，设椭圆的方程为：（a＞b＞0），由椭圆与正方形的对称性可知：正方形的一边长为椭圆焦距为2c，另一边长为通径长，则=2c，∴a2﹣c2=ac，由椭圆的离心率e=，整理得：e2+e﹣1=0，解得：e=，由椭圆的离心率e＞0，则e=，故选C．10. 如图，EFGH是以O为圆心，1为半径的圆的内接正方形，将一颗豆子随机地掷到圆内，用A表示事件“豆子落在正方形EFGH内”，B表示事件“豆子落在扇形HOE（阴影部分）内”，则P（B|A）=（）A． B． C． D．参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 在平面直角坐标系中，已知三角形顶点和，顶点在椭圆上，则．参考答案：由正弦定理和椭圆的定义可知12. 若一个三角形的内切圆半径为r ，三条边的边长分别为a ，b ，c ，则三角形的面积 S ＝(a ＋b ＋c )r ，根据类比推理的方法，若一个四面体的内切球半径为R ，四个面的面积 分别为S 1，S 2，S 3，S 4，则四面体的体积V ＝____________．参考答案：13. 回文数是指从左到右与从右到左读都一样的正整数．如22，11，3443，94249等．显然2位回文数有9个：11，22，33…，99.3位回文数有90个：101，111，121，…，191，202，…，999．则： （Ⅰ）4位回文数有 个； （Ⅱ）2n+1（n∈N +）位回文数有 个．参考答案：90 ,9×10n.【考点】计数原理的应用．【分析】（I ）利用回文数的定义，四位回文数只需从10个数字中选两个可重复数字即可，但要注意最两边的数字不能为0，利用分步计数原理即可计算4位回文数的个数；（II ）将（I ）中求法推广到一般，利用分步计数原理即可计算2n+1（n∈N +）位回文数的个数【解答】解：（I ）4位回文数的特点为中间两位相同，千位和个位数字相同但不能为零，第一步，选千位和个位数字，共有9种选法；第二步，选中间两位数字，有10种选法； 故4位回文数有9×10=90个故答案为 90（II ）第一步，选左边第一个数字，有9种选法；第二步，分别选左边第2、3、4、…、n 、n+1个数字，共有10×10×10×…×10=10n种选法， 故2n+1（n∈N +）位回文数有9×10n个 故答案为9×10n14. 若f (x )＝(x ＋a )(x －4)为偶函数，则实数a ＝__________.参考答案：4试题分析：∵为偶函数，∴，.考点：偶函数的性质.此处有视频，请去附件查看】15. 设圆C ：（x ﹣3）2+（y ﹣5）2=5，过圆心C 作直线l 交圆于A ，B 两点，与y 轴交于点P ，若A 恰好为线段BP 的中点，则直线l 的方程为 ．参考答案：y=2x ﹣1或y=﹣2x+11【考点】直线与圆相交的性质；直线的一般式方程．【分析】由题意可设直线L 的方程为y ﹣5=k （x ﹣3），P （0，5﹣3k ），设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），联立，然后由方程的根与系数关系可得，x 1+x 2，x 1x 2，由A 为PB 的中点可得x 2=2x 1，联立可求x 1，x 2，进而可求k ，即可求解直线方程 【解答】解：由题意可得，C （3，5），直线L 的斜率存在 可设直线L 的方程为y ﹣5=k （x ﹣3）令x=0可得y=5﹣3k 即P （0，5﹣3k ），设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）联立消去y 可得（1+k 2）x 2﹣6（1+k 2）x+9k 2+4=0由方程的根与系数关系可得，x 1+x 2=6，x 1x 2=①∵A 为PB 的中点∴即x 2=2x 1②把②代入①可得x 2=4，x 1=2，x 1x 2==8∴k=±2∴直线l 的方程为y ﹣5=±2（x ﹣3）即y=2x ﹣1或y=﹣2x+11 故答案为：y=2x ﹣1或y=﹣2x+1116. 如果不等式对任意实数都成立，则实数的取值范围是． 参考答案：略17. 由定积分的几何意义可知dx=___________．参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。
2020-2021学年广东省深圳实验学校高二(上)期末数学试卷
2020-2021学年广东省深圳实验学校高二（上）期末数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）1. “ab <0”是方程ax 2+by 2=c 表示双曲线的( )A. 必要不充分条件B. 充分不必要条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件 2. 设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 4=20，a 5=10，则a 16= ( )A. −32B. 12C. 16D. 323. 函数f(x)=−lnx +2x 2的递增区间是( )A. (−12,0)和(12,+∞) B. (−12,0)∪(12,+∞) C. (−12,0)D. (12,+∞)4. 设双曲线的一个焦点为F ，虚轴的一个端点为B ，如果直线FB 与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为( )A. √2B. √3C. √3+12D. √5+125. 已知函数f(x)=x 2+xsinx ，x ∈(−π2,π2)，则下列式子成立的是( )A. f(−1)<f(12)<f(32) B. f(12)<f(−1)<f(32) C. f(12)<f(32)<f(−1)D. f(32)<f(−1)<f(12)6. 已知双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的两条渐近线与抛物线y 2=2px(p >0)的准线分别交于A 、B 两点，O 为坐标原点．若双曲线的离心率为2，△AOB 的面积为√3，则p =( )A. 1B. 32C. 2D. 37. 已知函数f(x)=x +a2x .若曲线y =f(x)存在两条过(1,0)点的切线，则a 的取值范围是( )A. (−∞,1)∪(2,+∞)B. (−∞,−1)∪(2,+∞)C. (−∞,0)∪(2,+∞)D. (−∞,−2)∪(0,+∞)8. 已知函数f(x)=e x x+k(ln x −x)，若x =1是函数f(x)的唯一极值点，则实数k 的取值范围是( )A. B. C.D.二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）9. 与直线x +y −√2=0仅有一个公共点的曲线是( )A. x 2+y 2=1B.x 22+y 2=1 C. x 2−y 2=1 D. y 2=x10. 对于函数f(x)=lnx x，下列说法正确的有( )A. f(x)在x =e 处取得极大值1e B. f(x)有两个不同的零点 C. f(2)<f(π)<f(3)D. 若f(x)<k −1x 在(0,+∞)上恒成立，则k >111.已知抛物线C：y2=4x，焦点为F，过焦点的直线l抛物线C相交于A(x1,y1)，B(x2,y2)两点，则下列说法一定正确的是()A. |AB|的最小值为2B. 线段AB为直径的圆与直线x=−1相切C. x1x2为定值D. 若M(−1,0)，则∠AMF=∠BMF12.已知数列{a n}，{b n}均为递增数列，{a n}的前n项和为S n，{b n}的前n项和为T n.且满足a n+a n+1=2n，b n⋅b n+1=2n(n∈N∗)，则下列说法正确的有()A. 0<a1<1B. 1<b1<√2C. S2n<T2nD. S2n≥T2n三、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)=2xf′(e)+lnx，则f′(e)=______ ．14.数列{a n}满足a1=1，a1+a2+⋯+a n=n2a n，则数列{a n}的通项公式为______ ．215.光线从椭圆的一个焦点发出，被椭圆反射后会经过椭圆的另一个焦点；光线从双曲线的一个焦点发出，被双曲线反射后的反射光线等效于从另一个焦点射出.如图，一个光学装置由有公共焦点F1，F2的椭圆Γ与双曲线Γ′构成，现一光线从左焦点F1发出，依次Γ′与Γ反射，又回到了点F1，历时t1秒；若将装置中的Γ′去掉，此光线从点F1发出，经Γ两次反射后又回到了点F1，历时t2秒；若t2=4t1，则Γ与Γ′的离心率之比为______ ．16.设a为实数，函数f(x)=x3−ax2+(a2−1)x在(−∞,0)和(1,+∞)都是增函数，则a的取值范围是______ ．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）x2−2x．17.已知函数f(x)=x3+12(1)求函数y=f(x)的图象在x=1处的切线方程；(2)求函数y=f(x)在[−2,1]上的最大值与最小值．18.已知等差数列{a n}满足a2=0，a6+a8=−10(1)求数列{a n}的通项公式}的前n项和．(2)求数列{a n2n−1x2，直线y=kx+2交抛物线C于A，B两点，19.如图，已知抛物线C：y=12O为坐标原点．(1)证明：OA⊥OB；(2)设抛物线C在点A处的切线为l1，在点B处的切线为l2，证明：l1与l2的交点M在一定直线上．20.如图，某大型水上乐园内有一块矩形场地ABCD，AB=120米，AD=80米，以AD，BC为直径的半圆O1和半圆O2(半圆在矩形ABCD内部)为两个半圆形水上主题乐园，BC，CD，DA都建有围墙，游客只能从线段AB处进出该主题乐园．为了进一步提高经济效益，水上乐园管理部门决定沿着AE⏜，FB⏜修建不锈钢护栏，沿着线段EF修建该主题乐园大门并设置检票口，其中E，F分别为AD⏜，BC⏜上的动点，EF//AB，且线段EF与线段AB在圆心O1和O2连线的同侧．已知弧线部分的修建费用为200元/米，直线部门的平均修建费用为400元/米．(1)若EF=80米，则检票等候区域(其中阴影部分)面积为多少平方米？(2)试确定点E的位置，使得修建费用最低．21.已知在平面直角坐标系xOy中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为).F(−√3,0)，且右顶点为D(2,0).设点A的坐标是(1,12(1)求该椭圆的标准方程；(2)过原点O的直线交椭圆于点B、C，求△ABC面积的最大值．ax2−(a+1)x．22.已知函数f(x)=lnx+12(1)当a=1时，求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；ax2有两个不同的零点x1，x2．(2)若函数g(x)=f(x)−12①求实数a的取值范围；②证明：x1⋅x2>e2．答案和解析1.【答案】A【解析】解：若a =1，b =−1，c =0，则不能表示双曲线，不是充分条件， 反之，若方程ax 2+by 2=c 表示双曲线， 则a ，b 异号，是必要条件，故ab <0是方程ax 2+by 2=c 表示双曲线的必要不充分条件， 故选：A ．运用反例，特殊值，结合双曲线的标准方程判断．本题考查了充分必要条件的定义，双曲线的标准方程，属于基础题． 2.【答案】D【解析】 【分析】本题考查等差数列的通项公式，考查等差数列的前n 项和，是基础题．设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，由已知列关于首项与公差的方程组，求出首项与公差，则答案可求． 【解答】解：设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ， 由S 4=20，a 5=10，得{4a 1+6d =20a 1+4d =10，解得a 1=d =2． ∴a 16=a 1+15d =2+15×2=32． 故选：D ．3.【答案】D【解析】解：f(x)的定义域是(0,+∞)， f′(x)=−1x +4x =(2x+1)(2x−1)x ，令f′(x)>0，解得：x >12， 故f(x)在(12,+∞)递增，故选：D ．求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的递增区间即可． 本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用，是基础题． 4.【答案】D【解析】 【分析】本题考查了双曲线的焦点、虚轴、渐近线、离心率，考查了两条直线垂直的条件，考查了方程思想，属于基础题．先设出双曲线方程，则F ，B 的坐标可得，根据直线FB 与渐近线y =ba x 垂直，得出其斜率的乘积为−1，进而求得b 和a ，c 的关系式，进而根据双曲线方程a ，b 和c 的关系进而求得a 和c 的等式，则双曲线的离心率可得． 【分析】解：设双曲线方程为x 2a2−y 2b 2=1(a >0,b >0)，则F(c,0)，B(0,b)直线FB ：bx +cy −bc =0与渐近线y =ba x 垂直， 所以−bc ⋅ba =−1，即b 2=ac 所以c 2−a 2=ac ，即e 2−e −1=0， 所以e =1+√52或e =1−√52(舍去)．故选D ． 5.【答案】B【解析】解：函数f(x)=x 2+xsinx ，x ∈(−π2,π2)，定义域关于原点对称，且f(−x)=(−x)2+(−x)sin(−x)=x 2+xsinx =f(x)．∴函数f(x)为偶函数，∴f(−1)=f(1)．又当x ∈(0,π2)时，f′(x)=2x +sinx +x ⋅cosx >0． ∴f(x)在(0,π2)上为增函数，则f(x)在(−π2,0)上为减函数． ∵12<1<32， ∴f(12)<f(1)<f(32)， 则f(12)<f(−1)<f(32)． 故选：B ．由奇偶性的定义得到函数f(x)为偶函数，求导数得到函数f(x)在(0,π2)上为增函数，则函数在(−π2,0)上为减函数．结合单调性和奇偶性即可判断出答案．本题考查了函数的单调性和奇偶性，考查了函数的单调性与导函数符号之间的关系，是基础题． 6.【答案】C【解析】解：∵双曲线x 2a 2−y 2b 2=1，∴双曲线的渐近线方程是y =±ba x又抛物线y 2=2px(p >0)的准线方程是x =−p2，故A ，B 两点的纵坐标分别是y =±pb2a ，双曲线的离心率为2，所以ca =2， ∴b 2a 2=c 2−a 2a 2=e 2−1=3则ba =√3，A，B两点的纵坐标分别是y=±pb2a =±√3p2，又，△AOB的面积为√3，x轴是角AOB的角平分线∴12×√3p×p2=√3，得p=2．故选：C．求出双曲线x2a2−y2b2=1的渐近线方程与抛物线y2=2px(p>0)的准线方程，进而求出A，B两点的坐标，再由双曲线的离心率为2，△AOB的面积为√3，列出方程，由此方程求出p的值．本题考查圆锥曲线的共同特征，解题的关键是求出双曲线的渐近线方程，解出A，B两点的坐标，列出三角形的面积与离心率的关系也是本题的解题关键，有一定的运算量，做题时要严谨，防运算出错．7.【答案】D【解析】【分析】本题考查过某点的切线方程的求法和切线的个数问题，考查转化思想，属于中档题．对函数求导，设切点坐标，写出切线方程，将点(1,0)代入得到2x02+2ax0−a=0，由题意存在两条切线，可得方程有两个不等实数根，由判别式大于0可得答案．【解答】解：由f(x)=x+a2x ，得f′(x)=1−a2x2，设切点坐标为(x0,x0+a2x)，则切线方程为：y−x0−a2x0=(1−a2x02)(x−x0)又切线过点(1,0)，可得−x0−a2x2=(1−a2x02)(1−x0)，整理得2x02+2ax0−a=0，曲线存在两条切线，故方程有两个不等实根，即满足△=4a2−8(−a)>0，解得a>0或a<−2，故选：D．8.【答案】A【解析】【分析】本题考查由函数的导函数确定极值问题，对参数需要进行讨论，属于中档题．由f(x)的导函数形式可以看出e x−kx=0在(0,+∞)无变号零点，令g(x)=e x−kx，g′(x)=e x−k，需要对k进行分类讨论来确定导函数为0时的根．【解答】解：∵函数f(x)=e xx+k(lnx−x)的定义域是(0,+∞)，∴f′(x)=e x(x−1)x2+k(1−x)x=(e x−kx)(x−1)x2．x=1是函数f(x)的唯一一个极值点∴x=1是导函数f′(x)=0的唯一根．∴e x−kx=0在(0,+∞)无变号零点，令g(x)=e x−kxg′(x)=e x−k ①k≤0时，g′(x)>0恒成立，g(x)在(0,+∞)是单调递增的，g(x)>g(0)=1，g(x)=0无解，②k>0时，g′(x)=0有解为：x=lnk，0<x<lnk时，g′(x)<0，g(x)单调递减，lnk<x时，g′(x)>0，g(x)单调递增，∴g(x)的最小值为g(lnk)=k−klnk，∴k−klnk>0∴k<e，由y=e x和y=ex性质，可得它们切于(1,e)，综上所述，k≤e．故选A．9.【答案】AC【解析】解：直线x+y−√2=0与x2+y2=1相切，所以只有一个公共点；所以A正确；直线x+y−√2=0经过椭圆x22+y2=1的右顶点，经过(0,√2)，所以直线与椭圆x22+y2=1有2个交点，所以B不正确．直线x+y−√2=0平行于双曲线的渐近线，所以直线与双曲线只有一个交点，所以C正确；直线x+y−√2=0与抛物线y2=x有2个交点，所以D不正确；故选：AC．判断直线与圆，椭圆，双曲线已经抛物线的交点个数，即可得到选项．本题考查直线与圆锥曲线的位置关系的判断，是基本知识的考查，基础题．10.【答案】ACD【解析】解：函数的导数f′(x)=1−lnxx2，(x>0)，令f′(x)=0得x=e，则当0<x<e时，f′(x)>0，函数为增函数，当x>e时，f′(x)<0，函数f(x)为减函数，则当x=e时，函数取得极大值，极大值为f(e)=1e，故A正确，当x→0，f(x)→−∞，x→+∞，f(x)→0，则f(x)的图象如图：由f(x)=0得lnx=0得x=1，即函数f(x)只有一个零点，故B错误，由图象知f(2)=f(4)，f(3)>f(π)>f(4)，故f(2)<f(π)<f(3)成立，故C正确，若f(x)<k−1x在(0,+∞)上恒成立，则k>lnxx +1x，设ℎ(x)=lnxx +1x，(x>0)，则ℎ′(x)=−lnxx2，当0<x<1时，ℎ′(x)>0，当x>1时，ℎ′(x)<0，即当x=1时，函数ℎ(x)取得极大值同时也是最大值ℎ(1)═1，∴k>1成立，故D正确故选：ACD．求函数的导数，结合函数单调性，极值，函数零点的性质分别进行判断即可．本题主要考查命题的真假判断，涉及函数的单调性，极值，函数零点问题，求函数的导数，利用导数研究的性质是解决本题的关键． 11.【答案】BCD【解析】解：抛物线C ：y 2=4x ，焦点为F(1,0)，准线方程为x =−1，过焦点的弦中通径最短，所以|AB|的最小值为2p =4，故A 不正确，如图：设线段AB 的中点为D ，过点A ，B ，D 作准线的垂线，垂足分别为A 1，B 1，D 1，由抛物线的定义可得|AA 1|=|AF|，|BB 1|=|BF|， 所以|DD 1|=12(|AA 1|+|BB 1|)=12|AB|，所以以线段AB 为直径的圆与直线x =−1相切，故B 正确； 设直线AB 所在的直线方程为x =ny +1， 由{x =ny +1y 2=4x ，消去x 可得y 2−4ny −4=0， 所以y 1+y 2=4n ，y 1y 2=−4， 所以x 1x 2=(y 1y 2)216=1，故C 正确；所以k AM +k BM =y 1x1+1+y 2x 1+1=y 1(x 2+1)+y 2(x 1+1)(x 1+1)(x 2+1)=y 1(ny 2+2)+y 2(ny 1+2)(x 1+1)(x 2+1)=2ny 1y 2+2(y 1+y 2)(x 1+1)(x 2+1)=0，故D 正确．故选：BCD ．根据抛物线的性质和定义即可判断AB ，根据直线和抛物线的位置关系，利用韦达定理可判断CD ． 本题考查抛物线的简单性质，考查直线与抛物线位置关系的应用，考查计算能力，是中档题． 12.【答案】ABC【解析】解：∵数列{a n }为递增数列； ∴a 1<a 2<a 3； ∵a n +a n+1=2n ， ∴{a 1+a 2=2a 2+a 3=4； ∴{a 1+a 2>2a 1a 2+a 3>2a 2=4−4a 1∴0<a 1<1；故A 正确．∴S 2n =(a 1+a 2)+(a 3+a 4)+⋯+(a 2n−1+a 2n )=2+6+10+⋯+2(2n −1)=2n 2； ∵数列{b n }为递增数列； ∴b 1<b 2<b 3；∵b n ⋅b n+1=2n ∴{b 1b 2=2b 2b 3=4； ∴{b 2>b 1b 3>b 2； ∴1<b 1<√2，故B 正确．∵T 2n =b 1+b 2+⋯+b 2n=(b 1+b 3+b 5+⋯+b 2n−1)+(b 2+b 4+⋯+b 2n ) =b 1⋅(1−2n )2+b 2(1−2n )2=(b 1+b 2)(2n −1)≥2√b 1b 2(2n −1)=2√2(2n −1)；∴对于任意的n ∈N ∗，S 2n <T 2n ；故C 正确，D 错误．故选：ABC ．利用代入法求出前几项的关系即可判断出a 1，b 1的取值范围，在求出其前2n 项和的表达式即可判断大小； 本题考查了数列的综合运用，考查学生的分析能力与计算能力．属于中档题．13.【答案】−1e【解析】解：求导得：f′(x)=2f′(e)+1x ， 把x =e 代入得：f′(e)=e −1+2f′(e)， 解得：f′(e)=−e −1， 故答案为：−1e利用求导法则求出f(x)的导函数，把x =e 代入导函数中得到关于f′(e)的方程，求出方程的解即可得到f′(e)的值．本题要求学生掌握求导法则．学生在求f(x)的导函数时注意f′(e)是一个常数，这是本题的易错点．14.【答案】{12,n =12n(n+1),n ≥2【解析】解：∵a 1+a 2+⋯+a n =n 2a n ，∴当n ≥2时，a 1+a 2+⋯+a n−1=(n −1)2a n−1， 两式作差得a n =n 2a n −(n −1)2a n−1，即(n 2−1)a n =(n −1)2a n−1，(n +1)(n −1)a n =(n −1)2a n−1， 即(n +1)a n =(n −1)a n−1， 即a nan−1=n−1n+1，则a 2a 1=13，a3a 2=24，a4a 3=35…a nan−1=n−1n+1，则a 2a 1⋅a 3a 2⋅a4a 3…a nan−1=13⋅24⋅35…n−1n+1=1×2n(n+1)=2n(n+1)，当n =1时，a 1=12，不满足a n ，故a n ={12,n =12n(n+1),n ≥2，故答案为：{12,n =12n(n+1),n ≥2根据条件，利用作差法，以及累积法进行求解即可．本题主要考查数列通项公式的求解，利用作差法以及累积法是解决本题的关键． 15.【答案】1：2【解析】解：在图1中，由椭圆的定义知，BF 1+BF 2=2a 1①， 由双曲线的定义知，AF 2−AF 1=2a 2②，①−②得，BF 1+AF 1+BF 2−AF 2=BF 1+AF 1+AB =2a 1−2a 2， ∴△ABF 1的周长为2a 1−2a 2，在图2中，由椭圆的定义知，△CDF 1的周长为4a 1， ∵光线的速度相同，且t 2=4t 1， ∴t 1t 2=2a 1−2a 24a 1=14， ∴a 1=2a 2，∵椭圆和双曲线共焦点， ∴e 1e 2=c a 1c a 2=a 2a 1=12．故答案为：1：2．在图1中，结合椭圆和双曲线的定义，可推出△ABF 1的周长为2a 1−2a 2，在图2中，由椭圆的定义，可得△CDF 1的周长为4a 1，从而有t1t 2=2a 1−2a 24a 1，再由e =ca ，可得解．本题考查椭圆和双曲线的定义与几何性质，熟练掌握椭圆和双曲线中a 、b 、c 的含义与关系是解题的关键，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．16.【答案】(−∞,−√62]∪[1,+∞)【解析】解：f′(x)=3x 2−2ax +(a 2−1)，其判别式△=4a 2−12a 2+12=12−8a 2，(═)若△=12−8a 2=0，即a =±√62，当x ∈(−∞,a3)，或x ∈(a3,+∞)时，f′(x)>0，f(x)在(−∞,+∞)为增函数， 所以a =±√62；(═)若△=12−8a 2<0，恒有f′(x)>0，f(x)在(−∞,+∞)为增函数， 所以a 2>32，即a ∈(−∞,−√62)∪(√62,+∞)(═)若△12−8a 2>0，即−√62<a <√62，令f′(x)=0，解得x 1=a−√3−2a 23，x 2=a+√3−2a 23， 当x ∈(−∞,x 1)，或x ∈(x 2,+∞)时，f′(x)>0，f(x)为增函数；当x ∈(x 1,x 2)时，f′(x)<0，f(x)为减函数．依题意x 1≥0且x 2≤1． 由x 1≥0得a ≥√3−2a 2，解得1≤a <√62，由x 2≤1得√3−2a 2≤3−a ，解得−√62<a <√62，从而a ∈[1,√62).综上，a 的取值范围为(−∞,−√62]∪[√62,+∞)∪[1，√62)，即a ∈(−∞,−√62]∪[1,+∞)．先对函数f(x)进行求导得到一个二次函数，根据二次函数的图象和性质令f′(x)≥0在(−∞,0)和(1,+∞)成立，解出a 的值．本题主要考查函数的单调性与其导函数的正负情况之间的关系，即当导数大于0时原函数单调递增，当导数小于0时原函数单调递减．17.【答案】解：(1)∵f(x)=x 3+12x 2−2x ，∴f′(x)=3x 2+x −2，∴f(1)=−12，f′(1)=2，∴函数y =f(x)的图象在x =1处的切线方程为：y −(−12)=2(x −1)， 即4x −2y −5=0．(2)令f′(x)=3x 2+x −2=0，得x 1=−1与x 2=23， 当x 变化时，f′(x)、f(x)的变化如下表：所以，x 1=−1与x 2=23是函数在(−2,1)上的两个极值点， 而f(−2)=−2，f(−1)=32，f(23)=−2227，f(1)=−12，∴函数y =f(x)在[−2,1]上的最大值是f(−1)=32，最小值是f(−2)=−2．【解析】(1)求出函数的导数，计算f(1)，f′(1)的值，求出切线方程即可； (2)解关于导函数的方程，求出函数的单调区间，从而求出函数的最值即可．本题考查了切线方程问题，考查函数的单调性，最值问题，考查导数的应用，是中档题． 18.【答案】解：(1)等差数列{a n }的公差设为d ， a 2=0，a 6+a 8=−10，可得a 1+d =0，a 1+5d +a 1+7d =−10， 解得a 1=1，d =−1，则a n =a 1+(n −1)d =1−n +1=2−n ，n ∈N ∗；(2)a n2n−1=(2−n)⋅(12)n−1， 数列{an2n−1}的前n 项和设为S n ，S n =1⋅(12)0+0⋅(12)+(−1)⋅(12)2+⋯+(3−n)⋅(12)n−2+(2−n)⋅(12)n−1，12S n=1⋅(12)+0⋅(12)2+(−1)⋅(12)3+⋯+(3−n)⋅(12)n−1+(2−n)⋅(12)n ， 上面两式相减可得，12S n =1+(−1)[(12)+(12)2+⋯+(12)n−2+(12)n−1]−(2−n)⋅(12)n =1+(−1)⋅12(1−12n−1)1−12−(2−n)⋅(12)n ，可得S n =n ⋅(12)n−1．【解析】(1)等差数列{a n }的公差设为d ，运用等差数列的通项公式，解方程可得首项和公差，即可得到所求通项公式；(2)求得a n2n−1=(2−n)⋅(12)n−1，运用数列的求和方法：错位相减法，结合等比数列的求和公式，化简整理，即可得到所求和．本题考查数列的通项公式的求法，注意运用等差数列的通项和方程思想，考查数列的求和方法：错位相减法，考查运算能力，属于中档题．19.【答案】证明：(1)设A(x 1,12x 12)，B(x 2,12x 22)， 把y =kx +2代入y =12x 2，得x 2−2kx −4=0． 由韦达定理得x 1+x 2=2k ，x 1x 2=−4．∴OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1,12x 12)⋅(x 2,12x 22)=x 1x 2+14(x 1x 2)2=0． ∴OA ⊥OB ．(2)∵y =12x 2，∴y′=x ，故经过点A(x 1,12x 12)的切线l 1的方程为：y −12x 12=x 1(x −x 1)， 即y =x 1x −12x 12，①同理，经过点B(x 2,12x 22)的切线l 2的方程为：y =x 2x −12x 22，②①×x 2−②×x 1，得y =12x 1x 2=−2． 即点M 在直线l ：y =−2上．【解析】(1)设A(x 1,12x 12)，B(x 2,12x 22)，把y =kx +2代入y =12x 2，得x 2−2kx −4=0.利用韦达定理，结合向量的数量积求解证明即可．(2)求出导数y′=x ，利用切线方程，求解M 的坐标，即可得到结果．本题考查直线与抛物线的位置关系的综合应用，函数的导数的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．20.【答案】解：(1)如图，ME =20米，O 1M =20√3米， 梯形O 1O 2FE 的面积为12(120+80)×20√3=2000√3平方米． 矩形AO 1O 2B 的面积为4800平方米．∠AO 1E =π6， 扇形O 1AE 和扇形O 2FB 的面积均为12×π6×1600=400π3平方米，所以阴影部分面积为4800−2000√3−800π3平方米．答：检票等候区域(图中阴影部分)面积为4800−2000√3−800π3平方米．(2)设∠AO 1E =θ,θ∈(0,π2)，则AE⏜=FB ⏜，EF =120−2×40sinθ=120−80sinθ， 修建费用f(θ)=200×80θ+400×(120−80sinθ)=16000(θ+3−2sinθ)， f′(θ)=16000(1−2cosθ)，令f′(θ)=0，则θ=π3，所以，当θ=π3时，即∠AO 1E =π3，修建费用最低． 答：当∠AO 1E 为π3时，修建费用最低．【解析】(1)利用已知条件，转化求解检票等候区域(其中阴影部分)面积．(2)设∠AO 1E =θ,θ∈(0,π2)，则AE⏜=FB ⏜，EF =120−2×40sinθ=120−80sinθ，修建费用f(θ)=200×80θ+400×(120−80sinθ)=16000(θ+3−2sinθ)，利用函数是导数转化求解，最小值即可．本题考查函数的实际应用，函数的导数的应用，考查发现问题解决问题的能力． 21.【答案】解：(1)由已知得椭圆的半长轴a =2，半焦距c =√3，则半短轴b =1． 又椭圆的焦点在x 轴上， ∴椭圆的标准方程为x 24+y 2=1(2)当BC 垂直于x 轴时，BC =2，S △ABC =1 当BC 不垂直于x 轴时，设该直线方程为y =kx ，代入x 24+y 2=1解得B(√4k 2+1√4k 2+1)，√4k 2+1√4k 2+1)， 则|BC|=√1+k 2√1+4k 2，又点A 到直线BC 的距离d =|k−12|√1+k 2，∴△ABC 的面积S △ABC =12|BC|⋅d =√1+4k 2于是S △ABC =√4k 2−4k+14k 2+1=√1−4k4k 2+1要使△ABC 面积的最大值，则k <0由4k4k 2+1≥−1，得S △ABC ≤√2，其中，当k =−12时，等号成立．∴S △ABC 的最大值是√2【解析】本题的考点是直线与圆锥曲线的综合问题，主要考查椭圆的几何性质，考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，求三角形面积的最值，关键是构建模型，利用基本不等式求解．(1)由左焦点为F(−√3,0)，右顶点为D(2,0)，得到椭圆的半长轴a ，半焦距c ，再求得半短轴b ，最后由椭圆的焦点在x 轴上求得方程．(2)当BC 垂直于x 轴时，BC =2，S △ABC =1；当BC 不垂直于x 轴时，设该直线方程为y =kx ，代入椭圆方程，求得B ，C 的坐标，进而求得弦长|BC|，再求原点到直线的距离，从而可得三角形面积模型，再用基本不等式求其最值．22.【答案】解：(1)当a =1时，f(x)=lnx +12x 2−2x ，x ∈(0,+∞)，f′(x)=1x +x −2，∴f′(1)=0，又f(1)=−32，∴曲线y =f(x)在点(1,f(1))处的切线方程是y =−32； (2)函数g(x)=f(x)−12ax 2有两个不同的零点x 1，x 2， 等价于方程a +1=lnx x 有两个不同实根x 1，x 2．①令φ(x)=lnx x，则φ′(x)=1−lnx x 2，∴φ(x)=lnx x 在(0,e)上单调递增，在(e,+∞)上单调递减，则当x =e 时，φ(x)=lnx x取得最大值1e ，由于φ(1)=0，当x ∈(0,1)时，φ(x)<0；当x ∈(1,+∞)，φ(x)>0，φ(x)的大致图象如图所示．当a +1∈(0,1e )，即−1<a <1e −1时，函数g(x)=f(x)−12ax 2有两个不同的零点x 1，x 2， 故实数a 的取值范围是(−1,1e −1)；②证明：不妨设0<x 1<x 2，lnx 1=(a +1)x 1，lnx 2=(a +1)x 2， 两式相加得ln(x 1x 2)=(a +1)(x 1+x 2)，两式相减得ln x2x 1=(a +1)(x 2−x 1)，∴ln(x 1x 2)ln x 2x 1=x 1+x2x 2−x 1．要证x 1⋅x 2>e 2，只需证ln(x 1x 2)=x 1+x 2x 2−x 1ln x2x 1>2，即证ln x 2x 1>2x 2−x 1x2+x 1=2(x 2x 1−1)1+x 2x 1，设t =x 2x 1(t >1)，令F(t)=lnt +4t+1−2， 则F′(t)=(t−1)2t(t+1)>0，∴函数F(t)在(1,+∞)上单调递增，且F(1)=0，∴F(t)>0，即x 1⋅x 2>e 2．【解析】(1)当a =1时，求得f(x)的导函数，得到f′(1)，再求出f(1)，利用直线方程的点斜式求解； (2)函数g(x)=f(x)−12ax 2有两个不同的零点x 1，x 2，等价于方程a +1=lnx x有两个不同实根x 1，x 2．①构造函数φ(x)=lnx x ，利用导数求最值，把问题转化为求a +1的范围，进一步求得a 的范围；②不妨设0<x 1<x 2，lnx 1=(a +1)x 1，lnx 2=(a +1)x 2，可得ln(x 1x 2)ln x 2x 1=x 1+x2x 2−x 1，要证x 1⋅x 2>e 2，只需证ln x 2x 1>2x 2−x 1x2+x 1=2(x 2x 1−1)1+x 2x 1，换元后再由导数证明．本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查利用导数研究函数的单调性和最值，考查函数零点的判定，考查逻辑思维能力与推理论证能力，属难题．。
深圳市2021届高二上学期数学期末考试试题
深圳市2021届高二上学期数学期末考试试题一、选择题1．设向量(,4)a x =-，(1,)b x =-，若向量a 与b 同向，则x =（ ） A ．2B ．-2C ．±2D ．02．执行如下图的程序框图，那么输出S 的值是( )A ．2B ．1C ．12D ．-13．同时投掷两个骰子，向上的点数分别记为，，则方程有两个不等实根的概率为（ ）A ．B ．C ．D ．4．下列直线中，与函数()ln f x x x =+的图象在1x =处的切线平行的是（ ） A ．210x y ++= B ．210x y -+= C ．210x y --=D ．210x y --=5．在等差数列{}n a 中，25812a a a ++=，那么关于x 的方程246()100x a a x +++=（ ）A.无实根B.有两个相等实根C.有两个不等实根D.不能确定有无实根6．已知*n N ∈，设215nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式的各项系数之和为M ，二项式系数之和为N ，若992M N -=，则展开式中x 的系数为（ ）A.-250B.250C.-500D.5007．已知空间向量(,,8)OA x y =，(,3,4)OB z =，OA OB ，且52AB =z 的值为( ) A.5B.-5C.5或-5D.-10或108．如图，在四面体OABC 中，G 是底面∆ABC 的重心，则OG 等于( )A.OA OB OC ++B.111222OA OB OC ++ C.111236OA OB OC ++ D.111333OA OB OC ++9．在ABC ∆中，3AB =，7BC =，120A =︒，则AC =A ．5B ．6C ．8D10．用数学归纳法证明“l+2+3+…+n 3=632n n +，n ∈N*”，则当n=k+1时，应当在n=k 时对应的等式左边加上（ ） A.k 3+1 B.（k 3+1）+（k 3+2）+…+（k+1）3C.（k+1）3D.63(1)(1)2k k +++11．若0a b <<，则下列不等关系中，不能成立的是A.11a b> B.11a b a>- C.1133a b < D.2233a b >12．在平面内，点到直线的距离公式为，通过类比的方法，可求得在空间中，点到平面的距离为（ ）A. B.C.D.二、填空题 13．已知函数，是的导函数，则的值为______．14．在区间[]-12，上随机取一个数x ，则|x|1≤的概率为_________ 15．我国古代名著《庄子·天下篇》中有一句名言“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，其意思为：一尺的木棍，每天截取一半，永远都截不完．现将该木棍依此规律截取，如图所示的程序框图的功能就是计算截取7天后所剩木棍的长度（单位：尺），则①②③处可分别填入的是A.AB.BC.CD.D16．已知00(,)M x y 是双曲线22:12x C y -=上的一点，12,F F 是C 上的两个焦点，若12.0MF MF <，则0y 的取值范围是_______________． 三、解答题 17．已知函数.（1）若函数在上有两个零点，求的取值范围；（2）设，当时，，求的取值范围.18．选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系中，曲线的参数方程为（其中为参数），曲线，以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴建立极坐标系. (Ⅰ)求曲线的普通方程和曲线的极坐标方程； (Ⅱ)若射线与曲线，分别交于两点，求.19．已知的内角的对边分别是.（1）求角； （2）若，求面积的最大值.20．（1）解不等式:（2）设，求证：21．已知圆C ：（x ﹣a ）2+（y ﹣2）2＝4（a ＞0）及直线l ：x ﹣y+3＝0．当直线l 被圆C 截得的弦长为时，求 （Ⅰ）a 的值；（Ⅱ）求过点（3，5）并与圆C 相切的切线方程． 22．在正三棱柱中，点是的中点.（1）求证：面；（2）设是棱上的点，且满足.求证：面面.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除 一、选择题13．14．2 315．B16．(33三、解答题17．(1)；(2).【解析】试题分析：（1）求导，利用导数的变化得到函数的单调区间和极值，利用零点的个数确定极值的符号进行求解；（2）求导，利用导数的符号变化确定函数的最值进行求解.试题解析：（1），∵，∴时，；时，，∴在上是减函数，在上是增函数，∴，∵在上有两个零点，∴，，，∴，，∴.（2），∴时，，；，，∴在上是减函数，在上是增函数，又，，由题意得，∴.18．(1)；.(2).【解析】试题分析：（1）由sin2α+cos2α=1，能求出曲线C1的普通方程，由x=ρcosθ，y=ρsinθ，能求出曲线C2的极坐标方程；（2）依题意设A（），B（），将代入曲线C1的极坐标方程，求出ρ1=3，将（ρ＞0）代入曲线C2的极坐标方程求出，由此能求出|AB|．解析：（Ⅰ）由得.所以曲线的普通方程为.把，代入，得到，化简得到曲线的极坐标方程为.（Ⅱ）依题意可设,曲线的极坐标方程为.将代入的极坐标方程得，解得.将代入的极坐标方程得.所以.19．(1);(2).【解析】试题分析：（1）先根据正弦定理将边角关系统一为边的关系，再根据余弦定理求角；（2）先由余弦定理得，再根据基本不等式得，最后根据三角形面积公式求面积的最大值. 试题解析：（1）因为由正弦定理可得，即由余弦定理可得.因为，所以角.因为，所以又因为，当且仅当时，等号成立所以即，当且仅当时，等号成立所以的面积.20．（1）（2）见解析【解析】【分析】（1）根据零点分段法，分三段建立不等式组，解出各不等式组的解集，再求并集即可.（2）运用柯西不等式，直接可以证明不等式，注意考查等号成立的条件，.【详解】（1）解：原不等式等价于或或即：或或故元不等式的解集为：（2）由柯西不等式得，，当且仅当，即时等号成立.所以【点睛】本题考查绝对值不等式得解法、柯西不等式等基础知识，考查运算能力.含绝对值不等式的解法：（1）定义法；即利用去掉绝对值再解（2）零点分段法：通常适用于含有两个及两个以上的绝对值符号的不等式；（3）平方法：通常适用于两端均为非负实数时（比如）；（4）图象法或数形结合法；21．（Ⅰ）a＝1；（Ⅱ）5x﹣12y+45＝0或x＝3．【解析】【分析】（Ⅰ）根据圆的方程找出圆心坐标与圆的半径，然后利用点到直线的距离公式表示出圆心到直线l的距离d，然后根据垂径定理得到弦心距，弦的一半及圆的半径成直角三角形，利用勾股对了列出关于a的方程，求出方程的解即可得到a的值，然后由a大于0，得到满足题意a的值；（Ⅱ）把（Ⅰ）求出a的值代入圆的方程中确定出圆的方程，即可得到圆心的坐标，并判断得到已知点在圆外，分两种情况：当切线的斜率不存在时，得到x＝3为圆的切线；当切线的斜率存在时，设切线的斜率为k，由（3，5）和设出的k写出切线的方程，根据直线与圆相切时圆心到直线的距离等于圆的半径，利用点到直线的距离公式表示出圆心到切线的距离d，让d等于圆的半径即可列出关于k的方程，求出方程的解即可得到k的值，把k的值代入所设的切线方程即可确定出切线的方程．综上，得到所有满足题意的切线的方程．【详解】解：（Ⅰ）依题意可得圆心C（a，2），半径r＝2，则圆心到直线l：x﹣y+3＝0的距离，由勾股定理可知，代入化简得|a+1|＝2，解得a＝1或a＝﹣3，又a＞0，所以a＝1；（Ⅱ）由（1）知圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2＝4，圆心坐标为（1，2），圆的半径r＝2由（3，5）到圆心的距离为r＝2，得到（3，5）在圆外，∴①当切线方程的斜率存在时，设方程为y﹣5＝k（x﹣3）由圆心到切线的距离d r＝2，化简得：12k＝5，可解得，∴切线方程为5x﹣12y+45＝0；②当过（3，5）斜率不存在直线方程为x＝3与圆相切．由①②可知切线方程为5x﹣12y+45＝0或x＝3．【点睛】此题考查学生掌握直线与圆相切时所满足的条件，灵活运用垂径定理及勾股定理化简求值，灵活运用点到直线的距离公式化简求值，是一道综合题22．（1）见解析;（2）见解析.【解析】试题分析：（1）根据线面平行的判定定理即可证明A1C∥平面AB1D；（2）根据面面垂直的判定定理进行证明即可．试题解析：（1）设，连.因为四边形是矩形，∴是的中点.又是的中点，∴.又面，面，∴面.（2）因为是正三角形，是的中点，∴.∵平面面，又平面面，面.∴面，∵面，∴.又∵，，，面，∴面，又面，∴面面.点睛：垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型.(1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行.(2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直.(3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直.。
2020-2021学年广东省深圳市宝安区高二(上)期末数学试卷
2020-2021学年广东省深圳市宝安区高二（上）期末数学试卷1.（单选题，5分）已知数列{a n }的前n 项和为S n ，则“{a n }是等差数列”是“{ Sn n }是等差数列”的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件2.（单选题，5分）已知E 、F 分别为椭圆 x 225 + y 29 =1的左、右焦点，倾斜角为60°的直线l 过点E ，且与椭圆交于A ，B 两点，则△FAB 的周长为（ ）A.10B.12C.16D.203.（单选题，5分）若数列{a n }满足a 1=1，且对于任意的n∈N*都有a n+1=a n +n+1，则 1a 1+1a 2 +……+ 1a 2016 等于（ ） A. 20162017B.20152016 C. 40302016D. 403220174.（单选题，5分）已知椭圆 x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0) 的左右焦点是F 1、F 2，P 是椭圆上一点，若|PF 1|=2|PF 2|，则椭圆的离心率的取值范围是（ ）A. (0，12)B. (13，12)C. [13，1)D. [12，1)5.（单选题，5分）P 是双曲线 x 29 - y 216 =1的右支上一点，M 、N 分别是圆（x+5）2+y 2=4和（x-5）2+y 2=1上的点，则|PM|-|PN|的最大值为（ ）A.6B.7C.8D.96.（单选题，5分）已知正数x ，y 满足x 2+2xy-3=0，则2x+y 的最小值是（ ）A.3B.4C.5D.67.（单选题，5分）已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 9=1，S 18=0，当S n 取最大值时n 的值为（ ）A.7B.8C.9D.108.（单选题，5分）已知抛物线y 2=16x 的焦点为F ，过点F 作直线l 交抛物线于M ，N 两点，则 |NF|9−4|MF| 的最小值为（ ） A. 23B. −23C. −13D. 139.（单选题，5分）如图，在三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，M 为A 1C 1的中点，若 AB ⃗⃗⃗⃗⃗ = a ， AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = c ， BC ⃗⃗⃗⃗⃗ = b ⃗ ，则 BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 可表示为（ ）A.- 12 a + 12 b ⃗ + cB. 12 a + 12 b ⃗ + cC.- 12 a - 12 b ⃗ + cD. 12 a - 12 b ⃗ + c10.（单选题，5分）点P（-3，1）在椭圆x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的左准线上．过点P且方向为a =（2，-5）的光线，经直线y=-2反射后通过椭圆的左焦点，则这个椭圆的离心率为（）A. √33B. 13C. √22D. 1211.（多选题，5分）在△ABC中，D在线段AB上，且AD=5，BD=3，若CB=2CD，cos∠CDB=- √55，则（）A. sin∠CDB=310B.△ABC的面积为8C.△ABC的周长为8+4√5D.△ABC为钝角三角形12.（多选题，5分）若x≥y，则下列不等式中正确的是（）A.2x≥2yB. x+y2≥ √xyC.x2≥y2D.x2+y2≥2xy13.（填空题，5分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若△ABC的面积为a2+b2−c24，则C等于___ ．14.（填空题，5分）侧棱长为3 √3的正三棱锥V-ABC中，∠AVB=∠BVC=∠CVA=40°，过点A 作截面AEF，则截面AEF周长的最小值为___ ．15.（填空题，5分）已知数列{a n}的各项均为正数，a1=2，a n+1-a n= 4a n+1+a n，若数列{ 1a n−1+a n}的前n项和为5，则n=___ ．16.（填空题，5分）如图，F1和F2分别是双曲线x2a2−y2b2=1(a＞0，b＞0)的两个焦点，A和B是以O为圆心，以|OF1|为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且△F2AB是等边三角形，则双曲线的离心率为___ ．17.（问答题，0分）已知a＞b，二次三项式ax2+2x+b≥0对于一切实数x恒成立，又∃x0∈R，使ax02+2x0+b=0成立，求a2+b2a−b的最小值．18.（问答题，0分）已知等比数列{a n}是首项为1的递减数列，且a3+a4=6a5．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若b n=na n，求数列{b n}的前n项和T n．19.（问答题，0分）在平面直角坐标系中，曲线Γ：F（x，y）=0和函数f(x)=14x2的图象关于点（1，2）对称．（1）函数f(x)=14x2的图象和直线y=k•x+4交于A、B两点，O是坐标原点，求证：∠AOB=π2；（2）求曲线Γ的方程；（3）对于（2），依据课本章节《圆锥曲线》的抛物线的定义，求证：曲线Γ为抛物线．20.（问答题，0分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足csinA=asin（C+ π3）．（Ⅰ）求角C的大小；（Ⅱ）若△ABC的面积为3 √3，a-b=1，求c和cos（2A-C）的值．21.（问答题，0分）已知圆M：（x+1）2+y2=1，圆N：（x-1）2+y2=9，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C．（1）求曲线C的方程；（2）过点Q（1，1）作圆M的两条切线，切点分别为A，B，求直线AB被曲线C截得的弦的中点坐标．22.（问答题，0分）已知棱台ABC-A1B1C1，平面AA1C1C⊥平面A1B1C1，∠B1A1C1=60°，∠A1B1C1=90°，AA1=AC=CC1= A1C1，D，E分别是BC和A1C1的中点2（Ⅰ）证明：DE⊥B1C1；（Ⅱ）求DE与平面BCC1B1所成角的余弦值．。
2020-2021深圳市高二数学上期末试卷带答案
8．执行如图所示的程序框图，若输入的 ， ， 依次为 ， ， ，其中 ，则输出的 为( )
A． B． C． D．
9．为了解某社区居民的家庭年收入和年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：
收入 万
12．执行如图所示的程序框图，若输入x=9，则循环体执行的次数为（）
A．1次B．2次C．3次D．4次
二、填空题
13．某市有A、B、C三所学校，各校有高三文科学生分别为650人，500人，350人，在三月进行全市联考后，准备用分层抽样的方法从所有高三文科学生中抽取容量为120的样本，进行成绩分析，则应从B校学生中抽取______人
14．如图，在半径为1的圆上随机地取两点 ，连成一条弦 ，则弦长超过圆内接正 边长的概率是__________．
15．运行如图所示的程序框图，则输出的所有 值之和为___________．
16．某程序框图如图所示，若输入的 ，则输出的 ______．
17．执行如图所示的程序框图，若输入n的值为8，则输出的s的值为_____．
（Ⅰ）求该考场考生中语文成绩为一等奖的人数；
（Ⅱ）用随机抽样的方法从获得数学和语文二等奖的考生中各抽取 人，进行综合素质测试，将他们的综合得分绘成茎叶图（如图），求两类样本的平均数及方差并进行比较分析；
（Ⅲ）已知该考场的所有考生中，恰有 人两科成绩均为一等奖，在至少一科成绩为一等奖的考生中，随机抽取 人进行访谈，求两人两科成绩均为一等奖的概率．
（1）求这20人中有多少人来自丙镇，并估计甲、乙、丙三镇的基层干部走访贫困户户数的中位数（精确到整数位）；
（2）如果把走访贫困户达到或超过35户视为工作出色，求选出的20名基层干部中工作出色的人数，并从中选2人做交流发言，求这2人中至少有一人走访的贫困户在 的概率．
2020-2021深圳市宝安区实验学校高二数学上期末试题(带答案)
2020-2021深圳市宝安区实验学校高二数学上期末试题(带答案)一、选择题1．在区间[]0,1上随机取两个数x ，y ，记P 为事件“23x y +≤”的概率，则(P = ) A ．23B ．12C ．49 D ．292．如图，矩形ABCD 中，点E 为边CD 的中点，若在矩形ABCD 内部随机取一个点Q ，则点Q 取自△ABE 内部的概率等于A ．14B ．13 C ．12D ．233．学校为了解新课程标准提升阅读要求对学生阅读兴趣的影响情况，随机抽取了100名学生进行调查.根据调查结果绘制学生周末阅读时间的频率分布直方图如图所示：将阅读时间不低于30分钟的观众称为“阅读霸”，则下列命题正确的是（ ） A ．抽样表明，该校有一半学生为阅读霸 B ．该校只有50名学生不喜欢阅读 C ．该校只有50名学生喜欢阅读 D ．抽样表明，该校有50名学生为阅读霸4．执行如图的程序框图，那么输出的S 的值是（ ）A．﹣1 B．12C．2 D．15．某工厂对一批新产品的长度(单位：mm)进行检测，如下图是检测结果的频率分布直方图，据此估计这批产品的中位数与平均数分别为( )A．20，22.5B．22.5，25C．22.5，22.75D．22.75，22.75 6．在某地的奥运火炬传递活动中，有编号为1，2，3，L，18的18名火炬手．若从中任选3人，则选出的火炬手的编号能组成3为公差的等差数列的概率为（）．A．151B．168C．1306D．14087．执行如图的程序框图，如果输出的是a=341，那么判断框（）A．4kB ．5k <C ．6k <D ．7k <8．我国古代数学著作《九章算术》中，有这样一道题目：“今有器中米，不知其数，前人取半，中人三分取一，后人四分取一，余米一斗五升.问：米几何？”下图是源于其思想的一个程序框图，若输出的3S =（单位：升），则输入的k =（ ）A ．9B ．10C ．11D ．129．从2名男生和2名女生中任意选择两人在星期六、星期日参加某公益活动，每天一人，则星期六安排一名男生、星期日安排一名女生的概率为( ) A ．13B ．512C ．12D ．71210．在区间,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上随机取一个数x ，cos x 的值介于0到12之间的概率为（ ）A ．13B ．2πC ．12D ．2311．甲、乙两位同学在高一年级的5次考试中，数学成绩统计如茎叶图所示，若甲、乙两人的平均成绩分别是12,x x ，则下列叙述正确的是（ ）A ．12x x >，乙比甲成绩稳定B ．12x x >，甲比乙成绩稳定C ．12x x <，乙比甲成绩稳定D ．12x x <，甲比乙成绩稳定12．执行如图所示的程序框图，若输入x =9，则循环体执行的次数为（ ）A ．1次B ．2次C ．3次D ．4次二、填空题13．已知样本数据为40，42，40，a ，43，44，且这个样本的平均数为43，则该样本的标准差为_________.14．已知2件次品和3件正品放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束，则恰好检测四次停止的概率为_____（用数字作答）．15．已知某人连续5次投掷飞镖的环数分别是8，9，10，10，8，则该组数据的方差为______．16．运行如图所示的程序框图，则输出的所有y 值之和为___________．17．利用计算机产生0~1之间的均匀随机数a ，则使关于x 的一元二次方程20x x a -+=无实根的概率为______．18．某班60名学生参加普法知识竞赛，成绩都在区间[40100]，上，其频率分布直方图如图所示，则成绩不低于60分的人数为___．19．执行如图所示的程序框图，输出的S 值为__________.20．已知下列命题：①ˆ856yx =+意味着每增加一个单位,y 平均增加8个单位 ②投掷一颗骰子实验，有掷出的点数为奇数和掷出的点数为偶数两个基本事件 ③互斥事件不一定是对立事件，但对立事件一定是互斥事件④在适宜的条件下种下一颗种子，观察它是否发芽，这个实验为古典概型 其中正确的命题有__________________.三、解答题21．从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i 个家庭的月收入i x （单位：千元）与月储蓄i y ，（单位：千元）的数据资料，算出101010102111180,20184,720ii i i i i i i i xy x y x ========∑∑∑∑，，附：线性回归方程1221ˆˆˆˆˆˆ,,ni ii nii x y nxyybx a b ay bx xnx ==-=+==--∑∑，其中,x y 为样本平均值. （1）求家庭的月储蓄y 对月收入x 的线性回归方程ˆˆˆybx a =+ ； （2）若该居民区某家庭月收入为7千元，预测该家庭的月储蓄.22．为了了解某省各景区在大众中的熟知度，随机从本省1565:岁的人群中抽取了n人，得到各年龄段人数的频率分布直方图如图所示，现让他们回答问题“该省有哪几个国家AAAAA 级旅游景区？”，统计结果如下表所示： 组号 分组回答正确的人数回答正确的人数占本组的频率第1组 [)1525， a0.5第2组 [)2535， 18x第3组 [)3545， b 0.9 第4组 [)4555， 9 0.36第5组[)5565，3y（1）分别求出,,,a b x y 的值；（2）从第2,3,4组回答正确的人中用分层抽样的方法抽取6人，求第2,3,4组每组抽取的人数；（3）在（2）中抽取的6人中随机抽取2人，求所抽取的人中恰好没有年龄段在[)3545，的概率23．某县一中学的同学为了解本县成年人的交通安全意识情况，利用假期进行了一次全县成年人安全知识抽样调查.已知该县成年人中40%的拥有驾驶证，先根据是否拥有驾驶证，用分层抽样的方法抽取了100名成年人，然后对这100人进行问卷调查，所得分数的频率分布直方图如下图所示.规定分数在80以上（含80）的为“安全意识优秀”.拥有驾驶证 没有驾驶证 合计得分优秀得分不优秀25合计100（1）补全上面22⨯的列联表，并判断能否有超过99%的把握认为“安全意识优秀与是否拥有驾驶证”有关？（2）若规定参加调查的100人中分数在70以上（含70）的为“安全意识优良”，从参加调查的100人中根据安全意识是否优良，按分层抽样的方法抽出5人，再从5人中随机抽取3人，试求抽取的3人中恰有一人为“安全意识优良”的概率.附表及公式：()()()()()22n ad bcKa b c d a c b d-=++++，其中n a b c d=+++.()2P K k≥0.150.100.050.0250.0100.0050.001k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.82824．为了解贵州省某州2020届高三理科生的化学成绩的情况，该州教育局组织高三理科生进行了摸底考试，现从参加考试的学生中随机抽取了100名理科生，，将他们的化学成绩（满分为100分）分为[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]6组，得到如图所示的频率分布直方图.（1）求a的值；（2）记A表示事件“从参加考试的所有理科生中随机抽取一名学生，该学生的化学成绩不低于70分”，试估计事件A发生的概率；（3）在抽取的100名理科生中，采用分层抽样的方法从成绩在[60,80)内的学生中抽取10名，再从这10名学生中随机抽取4名，记这4名理科生成绩在[60,70)内的人数为X，求X 的分布列与数学期望.25．我国是世界上严重缺水的国家之一，某市为了制定合理的节水方案，对家庭用水情况进行了调查，通过抽样，获得了某年100个家庭的月均用水量（单位：t ），将数据按照[0,2)，[2,4)，[4,6)，[6,8)，[8,10]分成5组，制成了如图所示的频率分布直方图.（1）记事件A ：“全市家庭月均用水量不低于6t ”，求()P A 的估计值；（2）假设同组中的每个数据都用该组区间的中点值代替，求全市家庭月均用水量平均数的估计值（精确到0.01）；（3）求全市家庭月均用水量的25%分位数的估计值（精确到0.01）.26．随着互联网经济不断发展，网上开店销售农产品的人群越来越多，网上交易额也逐年增加，某一农户农产品连续五年的网银交易额统计表，如下所示： 年份x 20122013201420152016网上交易额y （万元）5 6 7 8 10经研究发现，年份与网银交易额之间呈线性相关关系，为了计算的方便，农户将上表的数据进行了处理，2011,5t x z y =-=-，得到如表： 时间代号t 1 2 3 4 5 z1235（1）求z 关于t 的线性回归方程；（2）通过（1）中的方程.求出y 关于x 的回归方程；并用所求回归方程预测到2020年年底，该农户网店网银交易额可达多少？（附：在线性回归方程ˆˆˆybx a =+中，()()()1122211ˆ()nni iiii i nniii i x y nx y x x y y b xn x x x ====---==--∑∑∑∑，ˆˆay bx =-）【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【解析】 【分析】由题意结合几何概型计算公式求解满足题意的概率值即可. 【详解】如图所示，01,01x y ≤≤≤≤表示的平面区域为ABCD ， 平面区域内满足23x y +≤的部分为阴影部分的区域APQ ，其中2,03P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，20,3Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 结合几何概型计算公式可得满足题意的概率值为1222233119p ⨯⨯==⨯. 本题选择D 选项.【点睛】数形结合为几何概型问题的解决提供了简捷直观的解法．用图解题的关键：用图形准确表示出试验的全部结果所构成的区域，由题意将已知条件转化为事件A 满足的不等式，在图形中画出事件A 发生的区域，据此求解几何概型即可.2．C解析：C 【解析】 【分析】利用几何概型的计算概率的方法解决本题，关键要弄准所求的随机事件发生的区域的面积和事件总体的区域面积，通过相除的方法完成本题的解答． 【详解】解：由几何概型的计算方法，可以得出所求事件的概率为P=．故选C．【点评】本题考查概率的计算，考查几何概型的辨别，考查学生通过比例的方法计算概率的问题，考查学生分析问题解决问题的能力，考查学生几何图形面积的计算方法，属于基本题型．3．A解析：A【解析】【分析】根据频率分布直方图得到各个时间段的人数，进而得到结果.【详解】根据频率分布直方图可列下表：阅读时间（分）[0,10)[10,20)[20,30)[30,40)[40,50)[50,60]抽样人数（名）10182225205故选A.【点睛】这个题目考查了频率分布直方图的实际应用，以及样本体现整体的特征的应用，属于基础题.4．B解析：B【解析】由题意可得：初如值S=2,k=2015,S=-1,k=2016<2018S=12,k=2017<2018 2,2018S k==输出2,选C.5．C解析：C【解析】【分析】根据平均数的定义即可求出．根据频率分布直方图中，中位数的左右两边频率相等，列出等式，求出中位数即可．6．B解析：B 【解析】 【分析】 【详解】分析：利用组合数列总事件数，根据等差数列通项公式确定所求事件数，最后根据古典概型概率公式求结果.详解：共有318C 17163=⨯⨯种事件数，选出火炬手编号为13(1)n a a n =+-， 由1、4、7、10、13、16，可得4种， 由2、5、8、11、14、17，可得4种， 由3、6、9、12、15、18，可得4种，4311716368p ⨯==⨯⨯．选B ． 点睛：古典概型中基本事件数的探求方法 (1)列举法.(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法.(3)列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化.(4)排列组合法：适用于限制条件较多且元素数目较多的题目.7．C解析：C 【解析】由程序框图可知a=4a+1=1,k=k+1=2; a=4a+1=5,k=k+1=3; a=4a+1=21,k=k+1=4; a=4a+1=85,k=k+1=5; a=4a+1=341;k=k+1=6.要使得输出的结果是a=341,判断框中应是“k<6?”.8．D解析：D 【解析】 【分析】计算出每次循环时各变量的值并与3S =比较后可得对应的k 的值. 【详解】1n =，S k =；2n =，22k k S k =-=； 3n =，263k k k S =-=； 4n =，33124k k kS =-==，所以12k =. 故选：Ｄ. 【点睛】本题以数学文化为背景考虑流程图，此类问题应该根据流程图计算每次循环时各变量的值，从而可得程序终止的条件、输出的结果等，本题属于中档题.9．A解析：A 【解析】设2名男生记为A 1,A 2,2名女生记为B 1,B 2,任意选择两人在星期六、星期日参加某公益活动,共有(A 1,A 2),(A 1,B 1),(A 1,B 2),(A 2,B 1),(A 2,B 2),(B 1,B 2),(A 2,A 1),(B 1,A 1),(B 2,A 1),(B 1,A 2),(B 2,A 2),(B 2,B 1)12种情况,而星期六安排一名男生、星期日安排一名女生共有(A 1,B 1),(A 1,B 2),(A 2,B 1),(A 2,B 2)4种情况,则发生的概率为P=41123=, 故选：A .10．A解析：A 【解析】 因为[,]22x ππ∈-,若1cos [0,]2x ∈,则[,][,]2332x ππππ∈--⋃, ()21233()22P ππππ-⨯∴==--，故选A.11．C解析：C 【解析】 甲的平均成绩11(7378798793)825x =++++=，甲的成绩的方差22222211[(7382)(7882)(7982)(8782)(9382)]50.45s =-+-+-+-+-=；乙的平均成绩21(7989899291)885x =++++=，乙的成绩的方差22222221[(7988)(8988)(8988)(9288)(9188)]21.65s =-+-+-+-+-=.∴12x x <，乙比甲成绩稳定. 故选C .12．C解析：C 【解析】 【分析】根据程序框图依次计算得到答案. 【详解】9,5x y ==，41y x -=>；115,3x y ==，413y x -=>； 1129,39x y ==，419y x -=<；结束. 故选：C . 【点睛】本题考查了程序框图的循环次数，意在考查学生的理解能力和计算能力.二、填空题13．【解析】【分析】由平均数的公式求得再利用方差的计算公式求得即可求解【详解】由平均数的公式可得解得所以方差为所以样本的标准差为【点睛】本题主要考查了样本的平均数与方差标准差的计算着重考查了运算与求解能解析：3【解析】 【分析】由平均数的公式，求得49a =，再利用方差的计算公式，求得2283s =，即可求解. 【详解】由平均数的公式，可得1(4042404344)436a +++++=，解得49a =， 所以方差为2222222128[(4043)(4243)(4043)(4343)(4343)(4443)]63s =-+-+-+-+-+-=，所以样本的标准差为3s =. 【点睛】本题主要考查了样本的平均数与方差、标准差的计算，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.14．【解析】由题意可知2次检测结束的概率为3次检测结束的概率为则恰好检测四次停止的概率为解析：35【解析】由题意可知，2次检测结束的概率为22225110A p A ==，3次检测结束的概率为31123232335310A C C A p A +==， 则恰好检测四次停止的概率为231331110105p p p =--=--=. 15．【解析】16．【解析】【分析】模拟执行程序框图只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算直到达到输出条件即可得到所有输出的的值然后求和即可【详解】输入第一次循环；第二次循环；第三次循环；第四次循环；退出循环可得所有值 解析：10【解析】 【分析】模拟执行程序框图，只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可得到所有输出的y 的值,然后求和即可. 【详解】 输入2n =-，第一次循环，8,1y n ==-； 第二次循环，3,0y n ==； 第三次循环，0,1y n ==； 第四次循环，1,2y n =-=； 退出循环，可得所有y 值之和为830110++-=，故答案为10. 【点睛】本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.17．【解析】∵方程无实根∴Δ＝1－4a<0∴即所求概率为故填：解析：34【解析】∵方程无实根，∴Δ＝1－4a <0，∴14a >，即所求概率为34.故填：3418．30【解析】由题意可得：则成绩不低于分的人数为人解析：30 【解析】 由题意可得：()400.0150.0300.0250.0051030⨯+++⨯=则成绩不低于60分的人数为30人19．37【解析】根据图得到：n=18S=19n=12S=31n=6S=37n=0判断得到n>0不成立此时退出循环输出结果37故答案为：37解析：37 【解析】根据图得到：n=18,S=19,n=12 S=31,n=6,S=37,n=0,判断得到n>0不成立，此时退出循环，输出结果37. 故答案为：37.20．①③【解析】【分析】由回归直线的方程的意义可判断①；由基本事件的定义可判断②；由互斥事件与对立事件的定义可判断③；由古典概型的定义可判断④【详解】①由回归直线的方程的意义可知意味着每增加一个单位平均解析：①③. 【解析】 【分析】由回归直线的方程的意义可判断①；由基本事件的定义可判断②；由互斥事件与对立事件的定义可判断③；由古典概型的定义可判断④. 【详解】①，由回归直线的方程的意义可知ˆ856yx =+意味着x 每增加一个单位，y 平均增加8个单位，正确；②，由于基本事件是每一个出现的基本实验结果，是不能再分的，而投掷一颗骰子实验，有掷出的点数为奇数还有1，3，5三个基本事件，故掷出的点数为奇数不是基本事件，同理掷出的点数为偶数也不是基本事件，故②是错误的；③，互斥事件不一定是对立事件，但对立事件一定是互斥事件，正确；④，古典概型要求每个基本事件出现的可能性相等，故在适宜的条件下种下一颗种子，观察它是否发芽，不是古典概型．故正确答案为：①③ 【点睛】本题主要考查回归直线的方程的意义、基本事件的定义、互斥事件与对立事件的定义、古典概型的定义，意在考查对基本定义掌握的熟练程度，属于中档题..三、解答题21．（1）0.30.4y x =-；（2）1.7 【解析】 【分析】（1）根据数据，利用最小二乘法，即可求得y 对月收入x 的线性回归方程回归方程ˆˆyb =x ˆa +； （2）将x ＝7代入即可预测该家庭的月储蓄． 【详解】（1）由题意知，10101110,80,20ii i i n xy =====∑∑ ，80208,21010x y ∴==== ∴21082160,1064640n x y n x ⋅⋅=⨯⨯=⋅=⨯=1010211184,720i i ii i x y x ====∑∑ 由1221184160ˆ0.3720640ni ii nii x y nxybxnx ==--===--∑∑.ˆˆ20.380.4ay bx =-=-⨯=- 故所求回归方程为0.30.4y x =- （2）将7x =代入回归方程可以预测该家庭的月储蓄为0.370.4 1.7y =⨯-=（千元）. 【点睛】本题考查线性回归方程的应用，考查最小二乘法求线性回归方程，考查转化思想，属于中档题．22．（1）5a =，27b =，0.9x =，0.2y =；（2）分边抽取2,3,1人；（3）15. 【解析】 【分析】（1）根据数据表和频率分布直方图可计算得到第4组的人数和频率，从而可得总人数；根据总数、频率和频数的关系，可分别计算得到所求结果；（2）首先确定第2,3,4组的总人数，根据分层抽样原则计算即可得到结果；（3）首先计算得到基本事件总数；再计算出恰好没有年龄段在[)3545，包含的基本事件个数，根据古典概型概率公式可求得结果. 【详解】（1）第4组的人数为：9250.36=人，第4组的频率为：0.025100.25⨯＝251000.25n ∴== Q 第一组的频率为0.010100.1⨯= ∴第一组的人数为：0.110010⨯=100.55a ∴=⨯=Q 第二组的频率为0.020100.2⨯= ∴第二组的人数为：0.210020⨯=180.920x ∴== Q 第三组的频率为0.030100.3⨯= ∴第三组的人数为：0.310030⨯=300.927b ∴=⨯=Q 第五组的频率为0.015100.15⨯= ∴第五组的人数为：0.1510015⨯=30.215y ∴== （2）第2,3,4组的总人数为：1827954++=人∴第2组抽取的人数为：186254⨯=人；第3组抽取的人数为：276354⨯=人；第4组抽取的人数为：96154⨯=人 （3）在（2）中抽取的6人中随机抽取2人，基本事件总数为：2615n C ==所抽取的人中恰好没有年龄段在[)3545，包含的基本事件个数为：233m C == ∴所抽取的人中恰好没有年龄段在[)3545，的概率：31155m p n === 【点睛】本题考查利用频率分布直方图计算总数、频数和频率、分层抽样基本方法的应用、古典概型计算概率问题；关键是熟练掌握频率分布直方图的相关知识，能够通过频率分布直方图准确计算出各组数据对应的频率.23．（1）列联表见解析；有超过99%的把握认为“安全意识优秀与是否拥有驾驶证”有关；（2）35P = 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图计算可补全列联表中的数据，根据公式计算可求得2 6.635K >，从而可得结论；（2）根据频率分布直方图计算出“安全意识优良”的人数，根据分层抽样原则可知“安全意识优良”的人中抽取2人；采用列举法列出所有基本事件，找到符合题意的基本事件个数，利用古典概型求得结果. 【详解】（1）由题意可知拥有驾驶证的人数为：10040%40⨯=人 则拥有驾驶证且得分为优秀的人数为：402515-=人由频率分布直方图知得分优秀的人数为：()100100.0150.00520⨯⨯+=人∴没有驾驶证且得分优秀的人数为：20155-=人则没有驾驶证且得分不优秀的人数为：10040555--=人 可得列联表如下：()221001555255122512 6.6354060208096K ⨯⨯-⨯∴==>>⨯⨯⨯∴有超过99%的把握认为“安全意识优秀与是否拥有驾驶证”有关 （2）由频率分布直方图可求得70以上（含70）的人数为：()1000.0200.0150.0051040⨯++⨯=∴按分层抽样的方法抽出5人时，“安全意识优良”的有2人，记为1,2；其余的3人记为,,a b c从中随机抽取3人，基本事件有：()1,2,a ，()1,2,b ，()1,2,c ，()1,,a b ，()1,,a c ，()1,,b c ，()2,,a b ，()2,,a c ，()2,,b c ，(),,a b c 共10个恰有一人为“安全意识优良”的事件有6个∴恰有一人为“安全意识优良”的概率为：63105P == 【点睛】本题考查利用频率分布直方图计算频率和频数、独立性检验的应用、分层抽样的基本原理、古典概型的概率求解，属于中档题. 24．（1）0.025a =（2）0.65（3）详见解析 【解析】 【分析】（1）根据所有的小矩形的面积之和为1得到方程，解得. （2）根据频率分布直方图，计算概率.（3）按分层抽样的规则分别计算出成绩在[60,70)，[70,80)内的人数，在列出分布列，计算出数学期望. 【详解】解：（1）(0.0050.0100.0200.0300.010)101a +++++⨯=Q ，0.025a ∴=，（2）Q 成绩不低于70分的频率为(0.0300.0250.010)100.65++⨯=，∴事件A 发生的概率约为0.65.（3）抽取的100名理科生中，成绩在[60,70)内的有1000.0201020⨯⨯=人，成绩在[70,80)内的有1000.0301030⨯⨯=人，故采用分层抽样抽取的10名理科生中， 成绩在[60,70)内的有4人，在[70,80)内的有6人， 由题可知，X 的可能取值为0，1，2，3，4，46410151(0),21014C P X C ====6441031C C 8(1)C 2101802P X ====，2264410903(2),2107C C P X C ====6441013C C (3)C 21244350P X ====，444101(4)210C P X C ===X ∴的分布列为0123414217352105EX ∴=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=. 【点睛】本题考查频率分布直方图的数据的处理，分层抽样，离散型随机变量的分布列及数学期望的计算，属于中档题.25．（1）0.3；（2）4.92 t .；（3）3.18t 【解析】 【分析】（1）通过频率分布直方图求得[]6,10的频率，由此求得()P A 的估计值.（2）根据由频率分布直方图计算平均数的方法，计算出全市家庭月均用水量平均数的估计值.（3）通过频率分布直方图，计算出累计频率为0.25的位置，从而求得全市家庭月均用水量的25%分位数的估计值. 【详解】（1）由直方图可知()P A 的估计值为()(0.090.06)20.3P A =+⨯=.（2）因为0.06210.11230.18250.09270.0629 4.92⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=. 因此全市家庭月均用水量的平均数估计值为4.92 t .（3）频率分布直方图中，用水量低于2 t 的频率为0.0620.12⨯=. 用水量低于4 t 的频率为0.0620.1120.34⨯+⨯=. 故全市家庭月均用水量的25%分位数的估计值为0.250.1222 3.18()0.22t -+⨯≈.【点睛】本小题主要考查根据频率分布直方图计算频率、平均数、百分位数，属于基础题.26．（1） 1.2 1.4=-z t （2）ˆ 1.22409.6yx =-，14.4万元 【解析】 【分析】（1）利用回归直线方程计算公式，计算出回归直线方程.（2）由（1）求得y 关于x 的回归方程，令2020x =，求得农户网店网银交易额的预测值. 【详解】（1）3t =， 2.2z =，5145i ii t z==∑，52155i i t ==∑，4553 2.2ˆ 1.25559b -⨯⨯==-⨯，ˆˆ 2.2 1.23 1.4a z bt=-=-⨯=- ∴ 1.2 1.4=-z t .（2）2011,5t x z y =-=-，代入 1.2 1.4=-z t ， 得到：5 1.2(2011) 1.4y x -=--，即ˆ 1.22409.6yx =-. 于是，当2020x =时，ˆ 1.220202409.614.4y=⨯-=， 所以预测到2020年年底，该农户网店网银交易额可达14.4万元. 【点睛】本小题主要考查回归直线方程的计算，考查利用回归直线方程进行预测，属于中档题.。
2020-2021深圳市高二数学上期末模拟试题(及答案)
2020-2021深圳市高二数学上期末模拟试题(及答案)一、选择题1．某校为了解高二年级学生某次数学考试成绩的分布情况，从该年级的1120名学生中随机抽取了100 名学生的数学成绩，发现都在[80，150]内现将这100名学生的成绩按照 [80，90），[90，100），[100，110），[110，120），[120，130），[130，140），[140，150]分组后，得到的频率 分布直方图如图所示则下列说法正确的是（ ）A ．频率分布直方图中a 的值为 0.040B ．样本数据低于130分的频率为 0.3C ．总体的中位数（保留1位小数）估计为123.3分D ．总体分布在[90，100）的频数一定与总体分布在[100，110）的频数不相等2．已知回归方程$21y x =+，而试验得到一组数据是(2,5.1)，(3,6.9)，(4,9.1)，则残差平方和是（ ） A ．0.01B ．0.02C ．0.03D ．0.043．如图所给的程序运行结果为41S =，那么判断框中应填入的关于k 的条件是( )A ．7k ≥？B ．6k ≥？C ．5k ≥？D ．6k >？4．己知某产品的销售额y 与广告费用x 之间的关系如下表：若求得其线性回归方程为 6.5ˆˆyx a =+，其中ˆˆa y bx =-，则预计当广告费用为6万元时的销售额是（ ） A ．42万元B ．45万元C ．48万元D ．51万元5．学校为了解新课程标准提升阅读要求对学生阅读兴趣的影响情况，随机抽取了100名学生进行调查.根据调查结果绘制学生周末阅读时间的频率分布直方图如图所示：将阅读时间不低于30分钟的观众称为“阅读霸”，则下列命题正确的是（）A．抽样表明，该校有一半学生为阅读霸B．该校只有50名学生不喜欢阅读C．该校只有50名学生喜欢阅读D．抽样表明，该校有50名学生为阅读霸x+猜想”是指：任取一个自然数，如果它是偶数，6．日本数学家角谷静夫发现的“31我们就把它除以2，如果它是奇数我们就把它乘3再加上1，在这样一个变换下，我们就得到了一个新的自然数．如果反复使用这个变换，我们就会得到一串自然数，猜想就是：反复进行上述运算后，最后结果为1，现根据此猜想设计一个程序框图如图所示，执行该程N=，则输出i值为（）序框图输入的6A．6B．7C．8D．97．袋中装有红球3个、白球2个、黑球1个，从中随机摸出2个球，则与事件“至少有1个白球”互斥但不对立的事件是（）A．没有白球B．2个白球C．红、黑球各1个D．至少有1个红球8．在长为10cm的线段AB上任取一点C，作一矩形，邻边长分別等于线段AC、CB的长，则该矩形面积小于216cm的概率为（）A．23B．34C．25D．139．某校从高一(1)班和(2)班的某次数学考试(试卷满分为100分)的成绩中各随机抽取了6份数学成绩组成一个样本，如茎叶图所示.若分别从(1)班、(2)班的样本中各取一份，则(2)班成绩更好的概率为( )A．1636B．1736C．12D．193610．“微信抢红包”自2015年以来异常火爆，在某个微信群某次进行的抢红包活动中，若所发红包的总金额为8元，被随机分配为1.72元，1.83元，2.28元，1.55元，0.62元， 5份供甲、乙等5人抢，每人只能抢一次，则甲、乙二人抢到的金额之和不低于3元的概率是（）A．310B．25C．12D．3511．运行如图所示的程序框图，若输出的S的值为480，则判断框中可以填()A．60i>B．70i>C．80i>D．90i>12．从2名男生和2名女生中任意选择两人在星期六、星期日参加某公益活动，每天一人，则星期六安排一名男生、星期日安排一名女生的概率为( )A ．13B ．512C ．12D ．712二、填空题13．将函数sin 23cos 2y x x =-的图象向左平移6π个单位长度，得到函数()y g x =的图象，则5()6g π__________.14．现有10个数，其平均数为3，且这10个数的平方和是100，则这组数据的标准差是______．15．若(9)85a =，(5)301b =，(2)1001c =，则这三个数字中最大的是___16．一只口袋中装有形状、大小都相同的6只小球，其中有3只红球、2只黄球和1只蓝球.若从中1次随机摸出2只球，则2只球颜色相同的概率为____.17．某班60名学生参加普法知识竞赛，成绩都在区间[40100]，上，其频率分布直方图如图所示，则成绩不低于60分的人数为___．18．执行如图所示的程序框图，输出的值为__________．19．某校高中生共有900人，其中高一年级300人，高二年级200人，高三年级400人，现采用分层抽样法抽取一个容量为45的样本，那么从高一、高二、高三各年级抽取人数分别为 ． 20．已知下列命题：①ˆ856yx =+意味着每增加一个单位,y 平均增加8个单位②投掷一颗骰子实验，有掷出的点数为奇数和掷出的点数为偶数两个基本事件③互斥事件不一定是对立事件，但对立事件一定是互斥事件④在适宜的条件下种下一颗种子，观察它是否发芽，这个实验为古典概型其中正确的命题有__________________.三、解答题21．随着智能手机的发展，各种“APP”（英文单词Application的缩写，一般指手机软件）应运而生．某机构欲对A市居民手机内安装的APP的个数和用途进行调研，在使用智能手机的居民中随机抽取100人，获得了他们手机内安装APP的个数，整理得到如图所示频率分布直方图．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）从被抽取安装APP的个数不低于50的居民中，随机抽取2人进一步调研，求这2人安装APP的个数都低于60的概率；（Ⅲ）假设同组中的数据用该组区间的右端点值代替，以本次被抽取的居民情况为参考，试估计A市使用智能手机的居民手机内安装APP的平均个数在第几组（只需写出结论）．22．某研究机构对春节燃放烟花爆竹的天数x与雾霾天数y进行统计分析，给出下表数据：x23578y12246（1）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程；（2）试判断y与x之间是正相关还是负相关，并预测燃放烟花爆竹的天数为9天时的雾霾天数约为几天？（参考公式：()()()1122211n ni i i ii in ni ii ix x y y x y nx ybx x x nx====---==--∑∑∑∑$，a y bx=-$$.）23．某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标值越大表明质量越好，现用一种新配方做试验，生产了100件这种产品，并测量了每件产品的质量指标值，得到下面试验结果：质量指标值 [)75,85[)85,95[)95,105[)105,115[)115,125频数62638228（1）将答题卡上列出的这些数据的频率分布表填写完整，并补齐频率分布直方图； （2）估计这种产品质量指标值的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）与中位数（结果精确到0.1）. 质量指标值分组频数 频率 [)75,8560.06[)85,95[)95,105 [)105,115[)115,125合计100124．某校高一举行了一次数学竞赛，为了了解本次竞赛学生的成绩情况，从中抽取了部分学生的分数（得分取正整数，满分为100）作为样本（样本容量为n ）进行统计，按照[)50,60，[)60,70，[)70,80，[)80,90，[]90,100的分组作出频率分布直方图，已知得分在[)50,60，[]90,100的频数分别为8，2．（1）求样本容量n 和频率分布直方图中的,x y 的值； （2）估计本次竞赛学生成绩的中位数；（3）在选取的样本中，从竞赛成绩在80分以上（含80分）的学生中随机抽取2名学生，求所抽取的2名学生中至少有一人得分在[]90,100内的概率．25．某小区为了提高小区内人员的读书兴趣，特举办读书活动，准备进一定量的书籍丰富小区图书站，由于不同年龄段需要看不同类型的书籍，为了合理配备资源，现对小区看书人员进行年龄调查，随机抽取了一天40名读书者进行调查. 将他们的年龄分成6段：[)[)[)[)[)[)20,30,30,40,40.50,50,60,60,70,70,80，后得到如图所示的频率分布直方图，问：（1）在40名读书者中年龄分布在[)30,60的人数； （2）估计40名读书者年龄的平均数和中位数.26．设关于x 的一元二次方程2220x bx a -+=，其中,a b 是某范围内的随机数，分别在下列条件下，求上述方程有实根的概率. （1）若随机数,{1,2,3,4}a b ∈；（2）若a 是从区间[0,4]中任取的一个数，b 是从区间[1,3]中任取的一个数.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【解析】 【分析】由频率分布直方图得的性质求出0.030a =；样本数据低于130分的频率为：0.7；[)80,120的频率为0.4，[)120,130的频率为0.3.由此求出总体的中位数(保留1位小数)估计为：0.50.41203123.30.3-+⨯≈分；样本分布在[)90,100的频数一定与样本分布在[)100,110的频数相等，总体分布在[)90,100的频数不一定与总体分布在[)100,110的频数相等． 【详解】由频率分布直方图得：()0.0050.0100.0100.0150.0250.005101a ++++++⨯=，解得0.030a =，故A 错误；样本数据低于130分的频率为：()10.0250.005100.7-+⨯=，故B 错误；[)80,120的频率为：()0.0050.0100.0100.015100.4+++⨯=， [)120,130的频率为：0.030100.3⨯=．∴总体的中位数(保留1位小数)估计为：0.50.412010123.30.3-+⨯≈分，故C 正确； 样本分布在[)90,100的频数一定与样本分布在[)100,110的频数相等， 总体分布在[)90,100的频数不一定与总体分布在[)100,110的频数相等，故D 错误．故选C ． 【点睛】本题考查命题真假的判断，考查频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是基础题．因为条形分布直方图的面积表示的是概率值，中位数是位于最中间的数，故直接找概率为0.5的即可；平均数是每个长方条的中点乘以间距再乘以长方条的高，将每一个数值相加得到.2．C解析：C 【解析】 【分析】 【详解】 因为残差，所以残差的平方和为（5.1－5）2＋（6.9－7）2＋（9.1－9）2＝0.03.考点：残差的有关计算.3．B解析：B 【解析】 【分析】程序运行结果为41S =,执行程序,当6k =时,判断条件成立,当5k =时,判断条件不成立,输出41S =,即可选出答案. 【详解】根据程序框图,运行如下: 初始10,1k S ==,判断条件成立,得到11011S =+=,1019k =-=; 判断条件成立,得到11920S =+=,918k =-=; 判断条件成立,得到20828S =+=,817k =-=; 判断条件成立,得到28735S =+=,716k =-=; 判断条件成立,得到35641S =+=,615k =-=; 判断条件不成立,输出41S =,退出循环,即6k ≥符合题意. 故选:B. 【点睛】本题考查了程序框图的识别与判断,弄清进入循环体和跳出循环体的条件是解决本题的关键,考查了学生的推理能力,属于基础题.4．C解析：C 【解析】 【分析】由已知求得样本点的中心的坐标，代入线性回归方程求得ˆa，则线性回归方程可求，取6x =求得y 值即可．【详解】()10123425x =++++=，()11015203035225y =++++=，样本点的中心的坐标为()2,22，代入ˆˆa yb x =-，得22 6.529a =-⨯=．y ∴关于x 得线性回归方程为 6.59y x =+．取6x =，可得6.56948(y =⨯+=万元)． 故选：C ． 【点睛】本题考查线性回归方程的求法，考查计算能力，是基础题．解析：A 【解析】 【分析】根据频率分布直方图得到各个时间段的人数，进而得到结果. 【详解】根据频率分布直方图可列下表：故选A. 【点睛】这个题目考查了频率分布直方图的实际应用，以及样本体现整体的特征的应用，属于基础题.6．D解析：D 【解析】分析：由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算n 的值并输出相应的i 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得结论. 详解：模拟程序的运行，可得6,1n i ==，不满足条件n 是奇数，3,2n i ==，不满足条件1n =，执行循环体，不满足n 是奇数，10,3n i ==； 不满足条件1n =，执行循环体，不满足n 是奇数，可得5,4n i ==， 不满足条件1n =，执行循环体，满足条件n 是奇数，16,5n i ==， 不满足条件1n =，执行循环体，不满足n 是奇数，8,6n i ==； 不满足条件1n =，执行循环体，不满足n 是奇数，4,7n i ==； 不满足条件1n =，执行循环体，不满足n 是奇数，2,8n i ==； 不满足条件1n =，执行循环体，不满足n 是奇数，1,9n i ==， 满足条件1n =，退出循环，输出i 的值为9，故选D.点睛：本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.7．C解析：C 【解析】分析：写出从红球3个、白球2个、黑球1个中随机摸出2个球的取法情况，然后逐一核对四个选项即可得到答案详解：从红球3个、白球2个、黑球1个中随机摸出2个球的取法有：2个红球，2个白球，1红1黑，1红1白，1黑1白共五种情况则与事件“至少有1个白球”互斥但不对立的事件是红球，黑球各一个包括1红1白，1黑1白两种情况． 故选C点睛：本题主要考查了互斥事件和对立事件，是基础的概念题，只要理解其概念，结合本题列举出所有情况即可得出结果．8．C解析：C 【解析】 【分析】根据几何概型的概率公式，设AC ＝x ，则BC ＝10﹣x ，由矩形的面积S ＝x （10﹣x ）＜16可求x 的范围，利用几何概率的求解公式求解． 【详解】设线段AC 的长为xcm ，则线段CB 长为(10)cm x -， 那么矩形面积为(10)16x x -<，2x <或8x >，又010x <<， 所以该矩形面积小于216cm 的概率为42105=. 故选：C 【点睛】本题考查几何概型，考查了一元二次不等式的解法，明确测度比为长度比是关键，是中档题．9．C解析：C 【解析】 【分析】由题意从(1)班、(2)班的样本中各取一份，(2)班成绩更好即(2)班成绩比(1)班成绩高，用列举法列出所有可能结果，由此计算出概率。
2021-2022学年广东省深圳市宝安区高二(上)期末数学试卷+答案解析(附后)
2021-2022学年广东省深圳市宝安区高二（上）期末数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共40分。
在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.已知三维数组，，且，则实数( )A.B.C.D. 22.已知双曲线的一条渐近线方程为，其虚轴长是( )A. 16B. 8C. 2D. 13.过点的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为( )A. B.或C.或D.4.在平行六面体中，M 为与的交点，若，，，则与相等的向量是( )A.B.C.D.5.一个动圆与定圆F ：相外切，且与直线l ：相切，则动圆圆心的轨迹方程为( )A. B.C.D.6.已知数列满足，若，则…的值是( )A.B.C.D.7.数学家欧拉在1765年发现，任意三角形的外心、重心、垂心位于同一条直线上，这条直线称为欧拉线．已知的顶点，，若其欧拉线的方程为，则顶点C 的坐标为( )A.B.C.D.8.已知M ，N 为椭圆上关于短轴对称的两点，A ，B 分别为椭圆的上、下顶点，设，分别为直线MA ，NB 的斜率，则的最小值为( )A. B. C. D.二、多选题（本大题共4小题，共20分。
在每小题有多项符合题目要求）9.已知数列满足，，则下列各数不是数列的项的有( )A.B.C.D. 310.已知直线：和直线：，下列说法正确的是( ) A.始终过定点B. 若，则或C. 若，则或2D. 当时，始终不过第三象限11.若公差为d 的等差数列满足，则下列结论正确的为( )A. 数列也是等差数列B.C. D. 13是数列中的项12.已知，为双曲线C ：的左、右焦点，在双曲线右支上取一点P ，使得，直线与y 轴交于点Q ，连接，，的内切圆圆心为I ，则下列结论正确的有( )A.，，P ，I 四点共圆B. 的内切圆半径为1C. I 为线段OQ 的三等分点D.与其中一条渐近线垂直三、填空题（本大题共4小题，共20分）13.已知平面的一个法向量为，点为内一点，则点到平面的距离为__________.14.，，若2是a 与的等比中项，则的最小值为__________.15.已知是椭圆的一个焦点，为上的一点，为坐标原点，若为等边三角形，则的离心率为__________.16.如图，抛物线上的点与x 轴上的点构成等边三角形，，…，…其中点在抛物线上，点的坐为，猜测数列的通项公式为__________.四、解答题（本大题共6小题，共70分。
广东省深圳市龙岗区2020-2021学年高二上学期数学期末考试试卷
广东省深圳市龙岗区2020-2021学年高二上学期数学期末考试试卷一、单选题1.命题“∀x∈R，|x|＋x2≥0”的否定是()A. ∀x∈R，|x|＋x2<0B. ∀x∈R，|x|＋x2≤0C. ∃x0∈R，|x0|＋x02 <0D. ∃x0∈R，|x0|＋x02≥02.复数z满足(1+i)⋅z =−1+i，其中i为虚数单位，则复数z =（）A. 1+iB. 1−iC. iD. −i3.已知1，a1，a2，4成等差数列，1，b1，b2，b3，4成等比数列，则a1+a2b2的值为（）A. 2B. -2C. ±2D. 5 44.设实数x、y满足{y≤x,x+y≤4,y≥−2.则z=2x+y的最小值为（）A. -8B. -6C. 6D. 105.已知双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的右顶点与抛物线y2=8x的焦点重合，且其离心率e=32，则该双曲线的方程为（）A. x 24−y25=1B. x25−y24=1C. y24−x25=1D. y25−x24=16.已知函数f(x)=12x3+ax+4，则“ a>0”是“ f(x)在R上单调递增”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件7.《周髀算经》是中国最古老的天文学和数学著作，它揭示日月星辰的运行规律.其记载“阴阳之数，日月之法，十九岁为一章，四章为一部，部七十六岁，二十部为一遂，遂千百五二十岁”.现恰有30人，他们的年龄(都为正整数)之和恰好为一遂(即1520)，其中年长者年龄介于90至100，其余29人的年龄依次相差一岁，则最年轻者的年龄为（）A. 32B. 33C. 34D. 358.双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左焦点F(−c,0)关于直线y=−ba x的对称点Q在该双曲线上，则双曲线的离心率为（）A. √52B. √5C. √3D. √32二、多选题9.下列说法中正确的有（）A. 不等式a+b≥2√ab恒成立B. 存在a，使得不等式a+1a≤2成立C. 若a,b∈(0,+∞)，则ba +ab≥2 D. 若正实数x，y满足x+2y=1，则2x+1y≥810.如图，正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长是1，下列结论正确的有（）A. 直线BC与平面ABC1D1所成的角为π4B. C到平面ABC1D1的距离为长√22C. 两条异面直线CD1和BC1所成的角为π4D. 三棱锥D1−DAB中三个侧面与底面均为直角三角形11.已知数列{a nn+2n}是首项为1，公差为d的等差数列，则下列判断正确的是（）A. a1＝3B. 若d＝1，则a n＝n2+2nC. a2可能为6D. a1， a2， a3可能成等差数列12.已知P是左右焦点分别为F1,F2的椭圆x 24+y22=1上的动点，M(0,2) ,下列说法正确的有（）A. |PF1|+|PF2|=4B. |PF1|−|PF2|的最大值为2√2C. 存在点P，使∠F1PF2=120°D. |MP|的最大值为2+√2三、填空题13.函数f(x)=lnx在点(1,0)处的切线方程为．14.复数z=(12+4a−a2)−(8a−16)i在复平面上对应的点在第四象限，则实数a的取值范围为．15.数列{a n}中a1=2,a n+1=2a n,S n为{a n}的前n项和，若S n=126，则n= .16.已知双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，A是双曲线上一点，且AF2⊥x轴，若△AF1F2的内切圆半径为(√3−1)a，则其渐近线方程是．四、解答题17.在① S3=12，② 2a2−a1=6，③ a8=16，这三个条件中任选一个，补充在下面试题的空格处中并作答．已知{a n}是公差不为0的等差数列，其前n项和为S n，若▲，且a1、a2、a4成等比数列．（1）.求数列{a n}的通项公式；（2）.设数列{b n}是各项均为正数的等比数列，且b2=a1，b4=a4，求数列{a n+b n}的前n项和T n．18.已知抛物线y2=2px(p>0)的顶点为O，准线方程为x=−12．（1）.求抛物线方程；（2）.若过点D(1,1)的直线l交抛物线于A，B两点，且D为AB的中点，求直线l的方程；（3）.过点(1,0)且斜率为1的直线与抛物线交于P，Q两点，求△OPQ的面积．19.如图，在梯形ABCD中，AB//DC，∠ABC=60°，FC⊥平面ABCD，四边形ACFE为矩形，点M为线段EF的中点，且AD=CD=BC=1，CF=√32.（1）求证：平面BCM⊥平面AMC；（2）求平面MAB与平面FCB所成锐二面角的余弦值.20.设数列{a n}的前n项和为S n，已知a1=1，S n+1−2S n=1，n∈N∗．（1）.证明：{S n+1}为等比数列，求出{a n}的通项公式；（2）.若b n=na n，求{bn}的前n项和T n；（3）.在（2）的条件下判断是否存在正整数n使得T n⋅2n−1=n+50成立？若存在，求出所有n值；若不存在说明理由．21.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1（a>b>0）的一个焦点为F(√3,0)，且该椭圆经过点P(√3,12)．（1）.求椭圆C的方程；（2）.过点F作直线l与椭圆C交于不同的两点A、B，试问在x轴上是否存在定点Q使得直线QA与直线QB恰关于x轴对称？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由．22.已知函数f(x)=xlnx−ax2(a∈R)在定义域内有两个不同的极值点.（Ⅰ）求实数a的取值范围；（Ⅱ）记两个极值点为x1,x2，且x1<x2，求证：x1⋅x2>1 .答案解析部分一、单选题1.【答案】 C2.【答案】 C3.【答案】 A4.【答案】 B5.【答案】 A6.【答案】 A7.【答案】 D8.【答案】 B二、多选题9.【答案】 B,C,D10.【答案】 A,B,D11.【答案】 A,C,D12.【答案】 A,B,D三、填空题13.【答案】 x-y-1=014.【答案】（2,6）15.【答案】 616.【答案】y=±√2x四、解答题17.【答案】（1）解：设{a n}是公差d不为0的等差数列，选① S3=12，可得3a1+3d=12，即a1+d=4，由a1、a2、a4成等比数列，可得a22=a1a4，即(a1+d)2=a1(a1+3d)，解得a1=d=2，则a n=2+(n−1)×2=2n；选② 2a2−a1=6，可得2(a1+d)−a1=6，即a1+2d=6由a1、a2、a4成等比数列，可得a22=a1a4，即(a1+d)2=a1(a1+3d)，解得a1=d=2，则a n=2+(n−1)×2=2n；选③ a8=16，可得a1+7d=16，由a1、a2、a4成等比数列，可得a22=a1a4，即(a1+d)2=a1(a1+3d)，解得a1=d=2，则a n=2+(n−1)×2=2n；（2）解：设等比数列{b n}的公比为q(q>0)，b2=a1=2，b4=a4=8，可得 q 2=b 4b 2=4 ，又 q >0 ，解得 q =2 ，所以 b 1=b2q =1 ，所以 b n =2n−1 ，所以数列 {a n +b n } 的前 n 项和 T n =(2+4+6+⋯+2n)+(1+2+4+⋯+2n−1) =(2+2n)n 2+1−2n1−2=n 2+n +2n −1 .18.【答案】 （1）解：因为 y 2=2px 的准线 x =−p 2 ，所以 −p 2=−12 ，所以 p =1 ，所以 y 2=2x.（2）解：设 A(x 1,y 1) ， B(x 2,y 2) ，则 y 12=2x 1 ； y 22=2x 2 ，两式相减得k =y 1−y 2x 1−x 2=y 1−y 2y 122−y 222=2y 1+y 2 ， 又 D(1,1) 为 A,B 的中点，所以 y 1+y 2=2 ，则 k =1 ， 所以直线方程为 y −1=x −1 ，即 y =x ， 经检验，此时直线与抛物线有两个交点，满足题意.（3）解：由已知得直线的方程为 y =x −1 ， P(x 3,y 3) ， Q(x 4,y 4) ，由 {y =x −1y 2=2x，得 y 2−2y −2=0 ，又 Δ=(−2)2−4×1×(−2)=12>0 ， 所以 y 3+y 4=2 ， y 3y 4=−2 ，所以 PQ =√1+12|y 3−y 4|=√2⋅√(y 3+y 4)2−4y 3y 4=√2⋅√4+8=2√6 ，又 d =1√1+1=√22 ， 所以 S △OPQ =12×2√6×√22=√3 .19.【答案】 （1）证明：在梯形 ABCD 中， AB //DC ， ∠ABC =60° ， AD =BC ， 所以 ∠DAB =60° ， ∠ACD =∠CAB ， 又 AD =CD ，所以 ∠DAC =∠ACD ， 所以 ∠DAC =∠CAB =30° ， 所以 ∠ACB =90° ，所以 AC ⊥BC .又 FC ⊥ 平面 ABCD ， BC ⊂ 平面 ABCD ，所以 FC ⊥BC ， 因为 AC ∩FC =C ， AC ， FC ⊂ 平面 ACFE ， 所以 BC ⊥ 平面 ACFE ，即 BC ⊥ 平面 AMC . 又 BC ⊂ 平面 BCM ，则平面 BCM ⊥ 平面 AMC .（2）解：由（1）知 CA ， CB ， CF 两两垂直，所以以 C 为坐标原点，分别以直线 CA ， CB ， CF 为 x 轴､ y 轴､ z 轴建立空间直角坐标系，因为 BC =1 ， ∠ABC =60° ， CF =√32，所以 AC =√3 ，所以 A(√3,0,0) ， B(0,1,0) ， M(√32,0,√32) ，所以 AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√3,1,0) ， AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√32,0,√32) .设 n⃗ 1=(x,y,z) 为平面 MAB 的一个法向量， 由 {n ⃗ 1⋅AB =0n ⃗ 1⋅AM =0 ，得 {−√3x +y =0−√32x +√32z =0， 解得 {y =√3x z =x ，取 x =1 ，则 n ⃗ 1=(1,√3,1) .因为 n⃗ 2=(1,0,0) 是平面 FCB 的一个法向量， 设平面 MAB 与平面 FCB 所成锐二面角为 θ ， 所以 cosθ=|n ⃗ 1⋅n ⃗ 2||n⃗ 1||n ⃗ 2|=√5=√55. 20.【答案】 （1）解： ∵S n+1−2S n =1 ， ∴S n+1+1=2(S n +1) ， n ∈N ∗ ， 因为 a 1=S 1=1 ，所以可推出 S n +1>0(n ∈N ∗) ．故 S n+1+1S n +1=2 ，即 {S n +1} 为等比数列，且首项为 S 1+1=2 ，公比也为 2 ，∴S n +1=2n ，即 S n =2n −1 ，当 n ≥2 时， a n =S n −S n−1=2n−1 ， a 1=1 也满足此式， ∴a n =2n−1 ；（2）解：因为 b n =n a n =n 2n−1 ， T n =120+221+⋯+n 2n−1 ， ∴12T n =121+222+⋯+n2n ，两式相减得： 12T n =120+121+⋯+12n−1−n2n =1×(1−12n )1−12−n 2n =2−n+22n ， 即 T n =4−n+22n−1 ；（3）解：将 T n =4−n+22n−1 代入 T n ⋅2n−1=n +50 ，得 2n −n −26=0 ．所以 2n =n +26 ，即 n+262n =1 .令 f(n)=n+262n ， f(n +1)−f(n)=n+272n+1−n+262n =−n+252n+1<0 ， 所以，数列 {f(n)} 为单调递减数列， 又 f(1)=272 ， f(2)=7 ， f(3)=298 ， f(4)=3016 ， f(5)=3132， 因为 {f(n)} 为单调递减数列，所以当 n ≥5 ， f(n)<1 ， 所以不存在正整数 n 使得 T n ⋅2n−1=n +50 成立． 21.【答案】 （1）解：法1：【待定系数法】由题意可得 c 2=3=a 2−b 2 ，又因为点在椭圆上得 3a 2+14b2=1 ，联立解得 a 2=4 ， b 2=1 ．所以椭圆 C 的方程为 x 24+y 2=1 ；法2：【定义法】设另一个焦点为 F 1(−√3,0) ，则 △F 1FP 为直角三角形，由勾股定理得 |F 1P|=√14+12=72，所以 2a =|PF|+|PF 1|=4 ，即 a =2 ，由 b 2=a 2−c 2 得 b 2=1 ，所以椭圆 C 的方程为 x 24+y 2=1 ；（2）解：当直线 l 为非 x 轴时，可设直线 l 的方程为 x +my −√3=0 ，与椭圆 C 的方程联立得{x +my −√3=0x 24+y 2=1 ， 整理得 (4+m 2)y 2−2√3my −1=0 ．由 Δ=(2√3m)2+4(4+m 2) =16(m 2+1)>0 ， 设 A(x 1,y 1) ， B(x 2,y 2) ，定点 Q(t,0) (且 t ≠x 1,t ≠x 2) ， 则由韦达定理可得 y 1+y 2=2√3m 4+m 2， y 1y 2=−14+m 2 ． 直线 QA 与直线 QB 恰关于 x 轴对称，等价于 AQ,BQ 的斜率互为相反数． 所以 y 1x 1−t +y 2x 2−t =0 ，即得 y 1(x 2−t)+y 2(x 1−t)=0 ． 又 x 1+my 1−√3=0 ， x 2+my 2−√3=0 ，得 x 1=√3−my 1 ， x 2=√3−my 2所以 y 1(√3−my 2−t)+y 2(√3−my 1−t)=0 ，整理得 (√3−t)(y 1+y 2)−2my 1y 2=0 ． 从而可得 (√3−t)⋅2√3m 4+m 2−2m ⋅−14+m 2=0 ，即 2m(4−√3t)=0 ， 所以当 t =4√33 ，即 Q(4√33,0) 时，直线 QA 与直线 QB 恰关于 x 轴对称成立．特别地，当直线 l 为 x 轴时， Q(4√33,0) 也符合题意．综上，存在 x 轴上的定点 Q(4√33,0) ，满足直线 QA 与直线 QB 恰关于 x 轴对称．22.【答案】 解：（Ⅰ）由题意，方程 f ′(x)=0 在 (0,+∞) 有两个不同根,即方程 1+lnx −2ax =0 有两个不同根；解法1：转化为函数 g(x)=lnx 与函数 y =2ax −1 的图象在 (0,+∞) 上有两个不同交点， 令 g ′(x 0)=1x 0=2a ⇒x 0=12a ,故 g(x) 在 (12a ,ln(12a ) 处的切线方程为： y −ln(12a )=12a (x −12a )代入点 (0,−1) 有： −1−ln(12a )=12a (0−12a )⇒ln(12a )=0⇒12a=1⇒2a =1 可得： 2a ∈(0,1)⇒a ∈(0,12)解法2：转化为函数 g(x)=1+lnx x与函数 y =2a 的图象在 (0,+∞) 上有两个不同交点． g ′(x)=−lnxx 2(x >0) ，故 x ∈(0,1) 时， g ′(x)>0; x ∈(1,+∞), 时， g ′(x)<0; 故 g(x) 在 (0,1) 上单增，在 (1，+∞) 上单减，∴g(x)max =g(1)=1又 g(1e )=0 ，故 x ∈(0,1e ) 时， g(x)<0; x ∈(1e ,+∞) 时， g(x)>0;可得： 2a ∈(0,1)⇒a ∈(0,12) …解法3： f ′′(x)=1x−2a(x >0)① 2a ≤0 时， f ′′(x)>0， 故 f(x) 在 (0，+∞) 上单增， 故 f ′(x)=0 在 (0，+∞) 最多只有一个实根，不合题意；② 2a >0 时，令 f ′′(x)>0⇒x ∈(0，12a ); 令 f ′′(x)<0⇒x ∈(12a ,+∞);故 f ′(x) 在 (0，12a ) 上单增，在 (12a,+∞) 上单减； 故 f ′(x)max =f ′(12a )=1−ln(2a)−1=−ln(2a)>0⇒2a ∈(0,1)当 2a ∈(0,1) 时， f ′(1e )=−2a ⋅1e <0,lim x→+∞f ′(x)→−∞，故 f ′(x) 在 (0，+∞) 上有两个不相等的实根，故 a ∈(0,12)（Ⅱ）由（Ⅰ）知： x 1,x 2 是 1+lnx −2ax =0 的两个根， 故 1+lnx 1−2ax 1=0，1+lnx 2−2ax 2=0⇒2a =lnx 1−lnx 2x 1−x 2要证： x 1⋅x 2>1， ，只需证： lnx 1+lnx 2>0 ， 即证： (2ax 1−1)+(2ax 2−1)>0即证： 2a(x 1+x 2)>2 ，即证： lnx 1−lnx 2x 1−x 2>2x 1+x 2又 0<x 1<x 2, 故上式为： ln x 1x 2<2(x 1−x 2)x 1+x 2=2(x1x 2−1)x 1x2+1(∗)令 t =x 1x 2∈(0,1),ℎ(t)=lnt −2(t−1)t+1,ℎ′(t)=1t −4(t+1)2=(t−1)2t(t+1)2>0 故 ℎ(t) 在 (0,1) 上单增，故 ℎ(t)<ℎ(1)=0, 故 (∗) 式成立，即证.。
广东省深圳市光明区2020-2021学年高二上学期数学期末考试试卷
广东省深圳市光明区2020-2021学年高二上学期数学期末考试试卷一、单选题1.已知 p:∀x ∈R ， 4x >x 3 ，则为 ¬p （ ）A. ∀x ∈R ， 4x ≤x 3B. ∀x ∈R ， 4x <x 3C. ∃x 0∈R ， 4x 0>x 03D. ∃x 0∈R ， 4x 0≤x 032.已知 a <0<b ，则下列不等式成立的是（ ）A. −a <−bB. a 2<b 2C. a −2c <b −2cD. 1a >1b3.已知等比数列 {a n } 中， a 2=2 ， a 5=4√2 ，则 a 1= （ ）A. 1B. √2C. 2D. 2√24.已知点 A(−7,0),B(7,0) ，动点P 满足 |PA|+|PB|=16 ，则点P 的轨迹为（ ）A. 椭圆B. 双曲线C. 抛物线D. 圆5.已知 p:∀x ∈[1,2] ， a ≥1x， q:a 2+2a −3≥0 ，则p 是q 的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6.在等差数列 {a n } 中，若 a 2+a 4+a 6=48 ， a 12+a 14+a 16=93 ，则 a 3+a 15= （ ）A. 24B. 32C. 43D. 477.如图，抛物线 y 2=2px 的焦点为F ，准线为l ，点M 为抛物线上一点， |MF|=2 ， MN ⊥l ，垂足为N ，若 ∠MFN =π3，则p=（ ）A. 12B. 1C. √3D. 2√3 8.已知 {a n } 为各项均是正数的等比数列， a 3a 8+a 4a 7=16 ，则 log 2a 1+log 2a 2+⋯+log 2a 10= （ ）A. log 2121B. 10C. 4+log 2121D. 15二、多选题9.已知双曲线 C:x 24−y 29=1 ，则下列结论正确的有（ ） A. 焦点在y 轴上 B. 实轴长为4 C. 虚轴长为6 D. 离心率为 √13310.如图，在棱长为2的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，P ，Q 分别为棱BC ，CC 1的中点，则以下四个结论正确的是（ ）A. AD 1//PQB. A 1D ⊥PQC. 直线B 1Q 与AD 1所成角的余弦值为 3√1010D. Q 到平面AB 1P 的距离为 √6211.已知椭圆 C:x 24+y 23=1 的左、右两个焦点分别为F 1 ， F 2 ， P 为椭圆上一动点，M (1,1) ，则下列结论正确的有（ ）A. △PF 1F 2 的周长为6B. △PF 1F 2 的最大面积为 √3C. 存在点P 使得 PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0D. |PM|+|PF 1| 的最大值为512.如图，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是边长为2的正方形， △PAD 为正三角形，平面PAD ⊥平面ABCD ，点E 为底面ABCD 的中心，点F 为线段PA 上的动点，则下列结论正确的是（ ）A. AP ⊥CDB. 存在点F ，使得 CF ⊥PBC. 存在点F ，使得 CF =2√23PB D. 存在点F ，使得直线CF 与直线PE 为异面直线 三、填空题13.双曲线 x 24−y 236=1 的渐近线方程为 . 14.若实数x ，y 满足 {x +y ⩽2,y ⩽2x +2,y ⩾x −1,则 z =x +3y 的最小值为 .15.已知 x >0 ， y >0 ，且 4x +25y =1 ，则 x +y 的最小值为 . 16.已知数列 {a n } 满足 a n+1=a n 2−a n ， a 1=12，数列 {b n } 满足 b n =2n−1a n a n+1 ， {b n } 的前n 项和为S n ， 则S 10= .四、解答题17.已知 p:x 2−8x +7≤0 ， q:2m ≤x ≤m +3 .（I ）是否存在m ，使得p 是q 的充要条件？若存在，求m 的值，若不存在，请说明理由：（II ）从下面三个条件中任选一个，求m 的取值范围.①p 是q 的必要条件 ②q 是p 的充分条件 ③ ¬p 是 ¬q 的充分条件18.已知等比数列 {a n } 的前n 项和为 S n ，且 a 2=2 ， S 5−S 4=16 ，等差数列 {b n } 满足： b 2=a 2+a 3 ， b 3=a 3+a 4 .（1）.求 b n ；（2）.若 c n =a n +b n ，求数列 {c n } 的前 n 项和 T n .19.已知抛物线 C:y 2=2px 的焦点为F ，且满足p>1，点 P(x 0，1) 在抛物线C 上，且 |PF|=54 . （I ）求抛物线C 的标准方程；（II ）若过点A （2，0）且斜率为1的直线l 与抛物线C 相交于M ，N 两点，求△ FMN 的面积. 20.已知函数 f(x)=2x 2+bx −(a +2) ， a,b ∈R .（I ）若关于x 的不等式 f(x)<0 的解集为 (2,3) ,求a ，b 的值；（II ）若 a =b ，解关于x 的不等式 f(x)>0 .21.如图，三棱锥P—ABC中，PA ⊥平面ABC，AC⊥BC，AC=BC=2，点M为PB的中点. （I）求证：平面PAC ⊥平面PBC；（II）若二面角P—AC—M的余弦值为3√1313，求直线MC与平面PAC所成角的正弦值.22.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为√32，设椭圆C的左、右焦点分别为F1， F2，左、右顶点分别为A，B，且|F2A|，1，|F2B|为等比数列.（1）.求椭圆C的方程；（2）.过点P（4，0）作直线l与椭圆交于M，N两点（直线l与x轴不重合），设直线AM，BN的斜率分别为k1， k2，判断k1k2是否为定值？若是，求出该值；若不是，请说明理由.答案解析部分一、单选题1.【答案】 D2.【答案】 C3.【答案】 B4.【答案】 A5.【答案】 A6.【答案】 D7.【答案】 B8.【答案】 D二、多选题9.【答案】 B,C10.【答案】 A,B,D11.【答案】 A,B,D12.【答案】 A,C三、填空题13.【答案】 y=±3x14.【答案】 -1515.【答案】 4916.【答案】1023 2050四、解答题17.【答案】解：（I）由x2−8x+7≤0，解得：1≤x≤7，若p是q的充要条件，则{2m=1m+3=7，即{m=1 2m=4，此时方程组无解，即不存在m，使p是q的充要条件；（II）设命题p对应的集合为A=[1,7]，命题q对应的集合为B=[2m,m+3]，若选①，p是q的必要条件，则B⊆A，当B=∅时，2m>m+3，即 m >3 成立；当 B ≠∅ 时， m ≤3 且 {2m ≥1m +3≤7， 解得： 12≤m ≤3 ， 综上所述： m ∈[12,+∞) ； 若选择②，q 是p 的充分条件，则 B ⊆A ，当 B =∅ 时， 2m >m +3 ，即 m >3 成立；当 B ≠∅ 时， m ≤3 且 {2m ≥1m +3≤7， 解得： 12≤m ≤3 ， 综上所述： m ∈[12,+∞) ； 若选择③， ¬p 是 ¬q 的充分条件，即q 是p 的充分条件，则 B ⊆A ，当 B =∅ 时， 2m >m +3 ，即 m >3 成立；当 B ≠∅ 时， m ≤3 且 {2m ≥1m +3≤7， 解得： 12≤m ≤3 ， 综上所述： m ∈[12,+∞) . 18.【答案】 （1）解： S 5−S 4=a 5=16 ，所以 a 5a 2=q 3=8⇒q =2 ，即 a n =2×2n−2=2n−1 . 所以 {b 2=a 2+a 3=2+22=6b 3=a 3+a 4=22+23=12⇒{b 1+d =6b 1+2d =12⇒{b 1=0d =6 ， 所以 b n =6n −6 .（2）解： c n =a n +b n =2n−1+6n −6 ， T n =(20+0)+(21+6)+(22+12)+⋯(2n−1+6n −6)=(20+21+⋯+2n−1)+(0+6+⋯+6n −6)=1−2n 1−2+(6n−6)n 2=2n +3n 2−3n +1 . 19.【答案】 解：（I ）抛物线C 焦点为 F(p 2,0) ； P(x 0，1)所以由|PF|=54得x0+p2=54又1=2px0联解得p=12或p=2因为p>1，所以p=2抛物线C的标准方程y2=4x（II）过点A（2，0）且斜率为1的直线l方程为y=x−2设M(x1,y1),N(x2,y2){y=x−2y2=4x，联解得x2−8x+4=0，x1+x2=8，x1x2=4，MN=√1+1√(x1+x2)2−4x1x2=4√6，F(1,0)到直线的距离为d=1√2所以△FMN的面积为12d×|MN|=12×1√24√6=2√320.【答案】解：（I）∵关于x的不等式f(x)<0的解集为(2,3)，故f(x)=0的两个根分别为2和3，即f(2)=2×22+2b−(a+2)=2b−a+6=0，f(3)=2×32+3b−(a+2)=3b−a+16=0，解得：a=−14,b=−10，故a=−14,b=−10 .（II）当a=b时，f(x)=2x2+ax−(a+2)，令f(x)>0，即2x2+ax−(a+2)>0，即(2x+a+2)(x−1)>0，令(2x+a+2)(x−1)=0，解得：x1=−1−a2,x2=1，当x1>x2时，即a<−4时，原不等式的解集为：{x|x<1或x>−a2−1}；当x1=x2时，即a=−4时，原不等式的解集为：{x|x≠1}；当x1<x2时，即a>−4时，原不等式的解集为：{x|x<−a2−1或x>1}；综上所述：当a<−4时，原不等式的解集为：{x|x<1或x>−a2−1}；当a=−4时，原不等式的解集为：{x|x≠1}；当a>−4时，原不等式的解集为：{x|x<−a2−1或x>1} .21.【答案】解：（I）因为PA ⊥平面ABC，所以PA⊥BC，又 AC ⊥BC ，而 PA ∩AC =A ，所以 BC ⊥ 平面 PAC ，又 BC ⊂ 平面 PBC ，所以平面PAC ⊥ 平面PBC ；（II ）根据题意，以 A 点为原点，以垂直于 AB 的射线为 x 轴，以 AB 所在直线为 y 轴， 以 AP 所在直线为 z 建立如图空间直角坐1标系，所以 A(0,0,0) ， B(0,2√2,0),C(√2,√2,0) ，设 P 点坐标为 (0,0,a) ，则 M(0,√2,a 2) ， 所以 AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,0,a) （ a >0 ）， AC⃗⃗⃗⃗⃗ =(√2,√2,0) ， 设平面 PAC 的法向量为 n 1⃗⃗⃗⃗ =(x 1,y 1,z 1) ，由 {AP ⋅n 1=0AC ⋅n 1=0可得 n 1⃗⃗⃗⃗ =(1,−1,0) ， AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,√2,a 2) ， 设 n 2⃗⃗⃗⃗ =(x 2,y 2,z 2) ，由 {AM ⋅n 2=0AC ⋅n 2=0，可得 n 2⃗⃗⃗⃗ =(1,−1,2√2a ) ， cos〈n 1⃗⃗⃗⃗ ,n 2⃗⃗⃗⃗ 〉=n 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |n 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||n 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√2⋅√2+8a 2=3√1313 ， 解得 a 2=9 ，而 a >0 ，所以 a =3 ，所以 M(0,√2,32) ， MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(√2,0,−32) ， 由平面 PAC 的法向量 n 1⃗⃗⃗⃗ =(1,−1,0) ，设直线MC 与平面PAC 所成角 θ ，所以 sinθ=|cos〈MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,n 1⃗⃗⃗⃗ 〉|=|MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n1⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|n 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||=√2√172⋅√2=2√1717 . 22.【答案】 （1）解：由题意得 {e =c a =√32(a −c)(a +c)=12 ，故 {a =2c =√3 ， 又 b 2=a 2−c 2=1 ，故椭圆C 的方程为： x 24+y 2=1 .（2）解：由题意，设直线l ： x =ty +4 ， M(x 1,y 1) ， N(x 2,y 2) ，联立 {x 24+y 2=1x =ty +4 ，得 (t 2+4)y 2+8ty +12=0 ， 则 Δ=64t 2−48(t 2+4)>0 ，即 t 2>12 ， 由韦达定理得： y 1+y 2=−8t t 2+4 ， y 1y 2=12t 2+4，结合 x =ty +4 ，得： x 1+x 2=32t 2+4 ， x 1x 2=−4t 2+64t 2+4， 故 k 1k AN =y 1y 2(x 1+2)(x 2+2)=y 1y 2x 1x 2+2(x 1+x 2)+4=112 ， 因点 N 在椭圆上，故 y 22=1−x 224 ， 则 k 2k AN =y 22x 22−4=1−x 224x 22−4=−14 ， 因此 k 1k 2=k 1k AN k 2k AN =112−14=−13 ， 故 k 1k 2 为定值 −13.。
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21．
一个盒子中装有4张卡片，每张卡片上写有1个数字，数字分别是1、2、3、4，现从盒子中随机抽取卡片.
(Ⅰ)若一次从中随机抽取3张卡片，求3张卡片上数字之和大于或等于7的概率；
(Ⅱ)若第一次随机抽取1张卡片，放回后再随机抽取1张卡片，求两次抽取的卡片中至少一次抽到数字2的概率.
22．为了鼓励市民节约用电，某市实行“阶梯式”电价，将每户居民的月用电量分为二档，月用电量不超过200度的部分按0.5元/度收费，超过200度的部分按0.8元/度收费.某小区共有居民1000户，为了解居民的用电情况，通过抽样，获得了今年7月份100户居民每户的用电量，统计分析后得到如图所示的频率分布直方图.
2．已知回归方程 ，而试验得到一组数据是 ， ， ，则残差平方和是（ ）
A．0.01B．0.02C．0.03D．0.04
3．七巧板是古代中国劳动人民的发明，到了明代基本定型．清陆以湉在《冷庐杂识》中写道：近又有七巧图，其式五，其数七，其变化之式多至千余．如图，在七巧板拼成的正方形内任取一点，则该点取自图中阴影部分的概率是（）
A． B． C． D．
11．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如 .（注：如果一个大于1的整数除1和自身外无其他正因数，则称这个整数为素数.）在不超过11的素数中，随机选取2个不同的数，其和小于等于10的概率是（）
A． B． C． D．
18．已知集合 2，3， ， ，集合A、B是集合U的子集，若 ，则称“集合A紧跟集合B”，那么任取集合U的两个子集A、B，“集合A紧跟集合B”的概率为______．
19．为了了解 名学生早晨到校时间，计划采用系统抽样的方法从全体学生中抽取容量为 栋样本，则分段间隔为__________．
20．为了研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据（单位： ）的分组区间为 ， ， ， ， ，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组， ，第五组，如图是根据试验数据制成的频率分布直方图，已知第一组与第二组共有20人，第三组没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为__________．
A．20，22.5B．22.5，25C．22.5，22.75D．22.75，22.75
8．执行如图所示的程序框图，若输入的 ， ， 依次为 ， ， ，其中 ，则输出的 为( )
A． B． C． D．
9．为了解某社区居民的家庭年收入和年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：
收入 万
（1）求这20人中有多少人来自丙镇，并估计甲、乙、丙三镇的基层干部走访贫困户户数的中位数（精确到整数位）；
（2）如果把走访贫困户达到或超过35户视为工作出色，求选出的20名基层干部中工作出色的人数，并从中选2人做交流发言，求这2人中至少有一人走访的贫困户在 的概率．
24．随着手机的普及，大学生迷恋手机的现象非常严重.为了调查双休日大学生使用手机的时间，某机构采用不记名方式随机调查了使用手机时间不超过10小时的50名大学生，将50人使用手机的时间分成5组： ， ， ， ， 分别加以统计，得到下表，根据数据完成下列问题：
A． B．
C． D．
4．下面的程序框图表示求式子 × × × × × 的值, 则判断框内可以填的条件为（）
A． B． C． D．
5．若执行如图所示的程序框图，则输出S的值为( )
A． B． C． D．
6．执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）
A．1B．-1C．0D．-2
7．某工厂对一批新产品的长度(单位： )进行检测，如下图是检测结果的频率分布直方图，据此估计这批产品的中位数与平均数分别为( )
2020-2021深圳市高二数学上期末试卷带答案
一、选择题
1．将1000名学生的编号如下：0001，0002，0003，…，1000，若从中抽取50个学生，用系统抽样的方法从第一部分0001，0002，…，0020中抽取的号码为0015时，抽取的第40个号码为（）
A．0795B．0780C．0810D．0815
由几何概型中的面积型可得：
，
所以 ，
故选：B．
【点睛】
本题考查了圆的面积公式、正方形的面积公式及几何概型中的面积型，属简单题．
11．A
解析：A
【解析】
【分析】
先列出不超过11的素数,再列举出随机选取2个不同的数的情况,进而找到和小于等于10的情况,即可求解
【详解】
不超过11的素数有:2,3,5,7,11,共有5个,
7．C
解析：C
【解析】
【分析】
根据平均数的定义即可求出．根据频率分布直方图中，中位数的左右两边频率相等，列出等式，求出中位数即可．
8．C
解析：C
【解析】
【分析】
由框图可知程序的功能是输出三者中的最大者，比较大小即可.
【详解】
由程序框图可知a、b、c中的最大数用上为增函数，
∴ ＜ ， ＜
故最大值为 ，输出的 为
故选：C
【点睛】
本题主要考查了选择结构．算法是新课程中的新增加的内容，也必然是新高考中的一个热点，应高度重视．程序填空也是重要的考试题型，这种题考试的重点有：①分支的条件②循环的条件③变量的赋值④变量的输出．
9．A
解析：A
【解析】
【分析】
由已知求得 ， ，进一步求得 ，得到线性回归方程，取 求得 值即可．
26．某洗车店对每天进店洗车车辆数x和用次卡消费的车辆数y进行了统计对比，得到如下的表格：
车辆数x
10
18
26
36
40
用次卡消费的车辆数y
7
10
17
18
23
Ⅰ 根据上表数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程； 的结果保留两位小数
Ⅱ 试根据 求出的线性回归方程，预测 时，用次卡洗车的车辆数．
参考公式：由最小二乘法所得回归直线的方程是 ；其中， ， ．
【详解】
结合流程图可知程序运行过程如下：
首先初始化数据： ，
此时不满足 ，执行循环： ；
此时不满足 ，执行循环： ；
此时不满足 ，执行循环： ；
此时不满足 ，执行循环： ；
此时不满足 ，执行循环： ；
此时满足 ，输出 .
本题选择B选项.
【点睛】
本题主要考查循环结构流程图的识别与运行过程，属于中等题.
由题意结合流程图可知流程图输出结果为 ，
，
.
本题选择C选项.
【点睛】
识别、运行程序框图和完善程序框图的思路：
(1)要明确程序框图的顺序结构、条件结构和循环结构．
(2)要识别、运行程序框图，理解框图所解决的实际问题．
(3)按照题目的要求完成解答并验证．
6．B
解析：B
【解析】
【分析】
由题意结合流程图运行程序，考查 是否成立来决定输出的数值即可.
12．执行如图所示的程序框图，若输入x=9，则循环体执行的次数为（）
A．1次B．2次C．3次D．4次
二、填空题
13．某市有A、B、C三所学校，各校有高三文科学生分别为650人，500人，350人，在三月进行全市联考后，准备用分层抽样的方法从所有高三文科学生中抽取容量为120的样本，进行成绩分析，则应从B校学生中抽取______人
判断框成立， ， ；
判断框成立， ， ；
判断框成立， ， ；
判断框成立， ， ；
判断框成立， ， ；
判断框不成立，输出 .
只有B满足题意，故答案为B.
【点睛】
本题考查了程序框图，属于基础题。
5．C
解析：C
【解析】
【分析】
首先确定流程图的功能为计数 的值，然后利用裂项求和的方法即可求得最终结果.
【详解】
（Ⅰ）求该考场考生中语文成绩为一等奖的人数；
（Ⅱ）用随机抽样的方法从获得数学和语文二等奖的考生中各抽取 人，进行综合素质测试，将他们的综合得分绘成茎叶图（如图），求两类样本的平均数及方差并进行比较分析；
（Ⅲ）已知该考场的所有考生中，恰有 人两科成绩均为一等奖，在至少一科成绩为一等奖的考生中，随机抽取 人进行访谈，求两人两科成绩均为一等奖的概率．
使用时间/时
大学生/人
5
10
15
12
8
（1）完成频率分布直方图，并根据频率分布直方图估计大学生使用手机时间的中位数（保留小数点后两位）；
（2）用分层抽样的方法从使用手机时间在区间 ， ， 的大学生中抽取6人，再从这6人中随机抽取2人，求这2人取自不同使用时间区间的概率.
25．某机构组织语文、数学学科能力竞赛，每个考生都参加两科考试，按照一定比例淘汰后，按学科分别评出一二三等奖．现有某考场的两科考试数据统计如下，其中数学科目成绩为二等奖的考生有 人．
随机选取2个不同的数可能为: , , , , , , , , , ,共有10种情况,
其中和小于等于10的有: , , , , ,共有5种情况,
则概率为 ,
故选:A
【点睛】
本题考查列举法求古典概型的概率,属于基础题
12．C
解析：C
【解析】
【分析】
根据程序框图依次计算得到答案.
【详解】
， ； ， ；
， ；结束.
【点睛】
本题考查几何概型概率公式计算事件的概率，解题的关键在于弄清楚两个正方形边长之间的等量关系，考查分析问题和计算能力，属于中等题.
4．B
解析：B
【解析】
【分析】
根据题意可知该程序运行过程中， 时，判断框成立， 时，判断框不成立，即可选出答案。
【详解】
根据题意可知程序运行如下： ， ；
判断框成立， ， ；
考点：残差的有关计算.
3．B