随机信号分析(常建平李海林)习题答案解析

0.0001 ，若每天有 1000 辆汽车进
出汽车站，问汽车站出事故的次数不小于
2 的概率是多少？
二项分布
n=1
- 分布 (0 1)
n
,p 0,np=
泊松分布
n
成立 ， 0 不成立
,p q
高斯分布
实际计算中，只需满足
，二项分布就趋近于泊松分布 n 10 p 0.1
ke PX k ＝
k!
＝ np
汽车站出事故的次数不小于
2 的概率
P(k 2) 1 P k 0 P k 1
0.1
P(k 2) 1 1.1e 答案
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完美 WORD 格式
1-12
已知随机变量 ( X , Y) 的概率密度为
(3 x
f (x, y)
XY
ke
0
0
4 y) , x
,
0, y 其它
求： ① 系数 k ？② ( X ,Y) 的分布函数？ ③ P{0 X 1,0 X 2} ？
第③问
fx Fx
1x 2e
0 x
1x
e 2
0 x
x f ( x)dx
1
x
x
e dx
2
x0
***
1 x
e 2
x0
01
x e dx 2
1 x
x
e dx
02
***
1
x0
1
e
2
x x0
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完美 WORD 格式 1-11 某繁忙的汽车站， 每天有大量的汽车进出。 设每辆汽车
在一天内出事故的概率为
PX n1
m,Y n
m3 3e
n2 2e
m!
n!
n1
n2
2
e
n!
② P X m,Y n ＝ P X m P Y n
即 X、 Y 相互独立
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1-18 已知随机变量
完美 WORD 格式
XX 1, 2,
X 相互独立，概率密度分别为
, nX X
X 相互独立，概率密度分别为
fx f x 1 ( 1 ), 2 ( 2 ),
第③问 方法一：
联合分布函数 FXY (x, y) 性质：
若任意四个实数
a a b b ，满足 1, 2 , 1, 2a a b b ，满足
a1 a2,b 1 b2 ，则
P{a X a ,b Y b }
1
21
FXY(a,b ) 2
FXY(a ,b) 2
FXY(a ,b ) 2
FXY(a ,b) 11
y
y
0
1
1
e
e
y
3
2
1
0
else
1-17 已知随机变量 X,Y 的联合分布律为
P X m,Y n
m ne 5
32Baidu Nhomakorabea
, m,n 0,1,2,
m! n!
***
求： ① 边缘分布律
***
P X m (m 0,1,2, ) 和
②条 件分布律 P X m |Y
和 n
PY
n|X
m？
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P Y n (n 0,1,2,
| h ' 2 ( y) | f X [h 2 ( y)]
X Ye
答案 :
f (y) Y
2 ln y
1 2
e
y0
2y
0
else 0
2
e f (z)
Z else
2 z
2 z0
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完美 WORD 格式
1-16 已知随机变量
X 和 X 相互独立，概率密度分别为
1
2
f (x)
1-13 已知随机变量 ( X ,Y) 的概率密度为
f (x, y)
1 , 0 x 1, y
x
0,
其它
①求 条件概率密度
f
( x | y) X
和 f Y ( y | x)
？② 判 断 X 和 Y 是否独
立？给出理由 。
先求边缘概率密度 f X (x) 、 f Y ( y)
注意上下限的选取
f (x) X
12
P{ 0 X 1,0 Y 2} FXY(1,2) F XY(0,0) FXY(1,0) F XY(0,2)
21
方法二： 利 用
P{( x , y )
D}
P{ 0 X 1,0 Y 2}
21
f XY x,y dxdy 00
f XY u , v dudv D
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完美 WORD 格式
2 X1 1
1
1
x
1
e2
,
x0 1
f
x
() X2
2
1
1
x
2
e3
x
3
,
0
2
0
,x
0，
1
0
,x 0
2
求随机变量 Y
X1 X 2 的概率密度？
Y
解：设
1
Y
2
f
y,y
6 YY 1 2 12
YX X
1
2
X
任意的
1
(
11
1
yy
12
e
y
36 1
求反函数，求雅克比 )
0 y
2
0
else
J ＝－ 1
fy Y1 1
1
1
P 0.3 X 0.7
P X 0.7
F 0.7
F 0.3
f (x) X
d F (x) X
dx
2x
0 x1
0
else
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完美 WORD 格式
x
1-10 已知随机变量 X 的概率密度为
()
(
)
f x ke
x
X
（拉普拉斯分布），求：
①系数 k
② X 落在区间 (0,1) 内的概率
1-9 已知随机变量 X 的分布函数为
F (x) X
完美 WORD 格式
0, 2
kx ,
x0 0x1
1,
x1
求：① 系 数 k ； ② X 落在区间 (0.3,0.7) 内的概率； ③随机变量 X 的概率密度。
解： 第 ① 问 利用 FX (x) 右连续的性质
k ＝1
第②问 第③问
P 0.3 X 0.7
)？
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分析：
P X m,Y n
泊松分布
PX k
完美 WORD 格式
m ne 5 32
m 3e
n 3
2e
m!n!
m!
n!
2 , m,n 0,1,2,
ke
,
0,1,2,
k k!
PX k
k e e
k
! k0
k! k 0
k
ee
1
k0
P19 （ 1－ 48）
解：①
PX m
P X m,Y n
n1
同理
PY n
③ 随 机变量 X
的分布函数
解： 第①问 第②问
f x dx 1
1 k
2
Px X 1
x
Fx
Fx
2
2
x 2
f 1
x 1
x dx
随机变量 X 落在区间 ( x 1, x 2 ] 的概率 P{ x 1 X x2 } 就是曲线 y f x 下的曲边
梯形的面积。
P0 X 1 P0 X 1
1
1
1e
2
1
f x dx 0
X
3
6
7
求： ①X 的分布函数
P 0.2 0.1 0.7 ② 随机变量 Y 3X 1 的分布律
1-15 已知随机变量 X 服从标准高斯分布。 求：①随机变量 Z X 的概率密度？ 的概率密度？ ② 随机变量
分析 : ① f Y (y)
h '(y)
f X h( y)
② f Y ( y) | h' 1 (y) | f X [h 1 ( y)]
f
x,y dy
XY
f (y) Y
f
x,y dx
XY
x
dy , 0 x 1 x
0, else
2x ,0 x 1
0
else
，
1
dx , 0 y
y1
1 dx , 1 y 0
y
0
, else
1 | y| 0
1y1 else
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1-14 已知离散型随机变量 X 的分布律为