2017年四川省成都外国语学校自主招生数学试卷含答案

2017年四川省成都外国语学校自主招生数学试卷一、选择题（每小题3分，共30分）1．（3分）下列运算正确的是（）A．a2•a3＝a6B．C．（a≠0）D．2．（3分）若不等式组的解集是x＞3，则m的取值范围是（）A．m＞3 B．m≥3 C．m≤3 D．m＜33．（3分）下列说法中，正确的是（）A．在Rt△ABC中，锐角A的两边都扩大5倍，则cos A也扩大5倍B．若45°＜α＜90°，则sinα＞1C．cos30°+cos45°＝cos（30°+45°）D．若α为锐角，tanα＝，则sinα＝4．（3分）如图（1）是一个水平摆放的小正方体木块，图（2），（3）是由这样的小正方体木块叠放而成，按照这样的规律继续叠放下去，至第七个叠放的图形中，小正方体木块总数应是（）个．A．25 B．66 C．91 D．1205．（3分）下列事件是必然事件的是（）A．方程x2+ax+1＝0有实数根，则a≥2B．＝﹣3有实数根C．当a是一切实数时，D．已知，那么6．（3分）若直线l：y＝kx+b经过不同的三点A（m，n），B（n，m），C（m﹣n，n﹣m），则该直线经过（）象限．A．二、四B．一、三C．二、三、四D．一、三、四7．（3分）如图，一个长为10米的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8米，如果梯子的顶端下滑1米，那么梯子的底端的滑动距离（）A．等于1米B．大于1米C．小于1米D．不能确定8．（3分）把10个相同的球放入编号为1，2，3的三个盒子中，使得每个盒子中的球数不小于它的编号，则不同的方法有（）种．A．10 B．15 C．20 D．259．（3分）给出下列四个命题：（1）如果某圆锥的侧面展开图是半圆，则其轴截面一定是等边三角形；（2）若点A在直线y＝2x﹣3上，且点A到两坐标轴的距离相等，则点A在第一或第四象限；（3）半径为5的圆中，弦AB＝8，则圆周上到直线AB的距离为2的点共有四个；（4）若A（a，m）、B（a﹣1，n）（a＞0）在反比例函y＝的图象上，则m＜n．其中，正确命题的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个10．（3分）两个不相等的正数满足a+b＝2，ab＝t﹣1，设S＝（a﹣b）2，则S关于t的函数图象是（）A．射线（不含端点）B．线段（不含端点）C．直线D．抛物线的一部分二、填空题（每小题3分，共30分）11．（3分）若关于x的分式方程在实数范围内无解，则实数a＝．12．（3分）三角形的两边长为4cm和7cm，则这个三角形面积的最大值为cm2．13．（3分）已知实数x、y满足x2﹣2x+4y＝5，则x+2y的最大值为．14．（3分）二次函数y＝ax2+（a﹣b）x﹣b的图象如图所示，那么化简的结果是．15．（3分）请你将一根细长的绳子，沿中间对折，再沿对折后的绳子中间再对折，这样连续对折5次，最后用剪刀沿对折5次后的绳子的中间将绳子剪断，此时绳子将被剪成段．16．（3分）等腰△ABC的底边BC＝8cm，腰长AB＝5cm，一动点P在底边上从点B开始向点C 以0.25cm/秒的速度运动，当点P运动到PA与腰垂直的位置时，点P运动的时间应为秒．17．（3分）在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝3cm，AC＝4cm，以斜边BC上距离B点3cm的点P 为中心，把这个三角形按逆时针方向旋转90°到Rt△DEF，则旋转前后两个直角三角形重叠部分的面积为cm2．18．（3分）直角坐标系中，点A（0，0），B（2，0），C（0，2），若有一三角形与△ABC全等，且有一条边与BC重合，那么这个三角形的另一个顶点坐标是．19．（3分）如图所示，设M是△ABC的重心，过M的直线分别交AB、AC于点P、Q两点．则＝．20．（3分）某同学为画二次函数y＝ax2+bx+c的图象，先列出一个表格，当x值等间隔增加时，函数值依次为﹣2，2，15，34，62，98，142，194，后来发现有一个值写错了，则这个数是．三、解答题（本大题32分，24、25题10分，26题12分）21．（10分）（1）计算：（π﹣）0+（）﹣2+﹣9sin30°；（2）先化简，再求值：•÷，其中a满足a2﹣a＝0．22．（10分）（1）已知关于x的不等式ax+1＞0（其中a≠0）①当a＝﹣2时，求此不等式的解，并在数轴上表示此不等式的解集；②小明准备了十张形状、大小完全相同的不透明的卡片，上面分别写有整数﹣10、﹣9、﹣8、﹣7、﹣6、﹣5、﹣4、﹣3、﹣2、﹣1，将这10张卡片写有整数的一面向下放在桌面上，从中任意抽取一张，以卡片上的数作为不等式的系数a，求使该不等式没有正整数解的概率；（2）若关于x的不等式ax+b＞0（其中a≠0）a的与（1）②相同，且使该不等式有正整数解的概率为，求b的取值范围．23．（10分）如图，在平面直角坐标系中，点A，B分别在x轴，y轴上，线段OA＝6，OB＝12，C是线段AB的中点，点D在线段OC上，OD＝2CD．（1）C点坐标为；（2）求直线AD的解析式；（3）直线OC绕点O逆时针旋转90°，求出点D的对应点D′的坐标．24．（10分）如图，在等腰梯形ABCD中，∠BCD＝60°，AD∥BC，且AD＝DC，E、F分别在AD、DC的延长线上，且DE＝CF，AF、BE于点P．（1）求证：AF＝BE；（2）请你猜测∠BPF的度数，并证明你的结论．25．（10分）某公司开发的960件新产品，需加工后才能投放市场，现有甲，乙两个工厂都想加工这批产品，已知甲工厂单独加工完成这批产品比乙工厂单独加工完成这批产品多用20天，而乙工厂每天比甲工厂多加工8件产品．在加工过程中，公司需每天支付50元劳务费请工程师到厂进行技术指导．（1）甲，乙两个工厂每天各能加工多少件新产品？（2）该公司要选择省时又省钱的工厂加工，乙工厂预计甲工厂将向公司报加工费用为每天800元，请问：乙工厂向公司报加工费用每天最多为多少元时，才可满足公司要求有望加工这批产品．26．（12分）如图1、2是两个相似比为1：的等腰直角三角形，将两个三角形如图3放置，小直角三角形的斜边与大直角三角形的一直角边重合．（1）在图3中，绕点D旋转小直角三角形，使两直角边分别与AC、BC交于点E，F，如图4．求证：AE2+BF2＝EF2；（2）若在图3中，绕点C旋转小直角三角形，使它的斜边和CD延长线分别与AB交于点E、F，如图5，此时结论AE2+BF2＝EF2是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．（3）如图6，在正方形ABCD中，E、F分别是边BC、CD上的点，满足△CEF的周长等于正方形ABCD的周长的一半，AE、AF分别与对角线BD交于M、N，试问线段BM、MN、DN能否构成三角形的三边长？若能，指出三角形的形状，并给出证明；若不能，请说明理由．四、解答题（本题14分）27．（14分）如图：两个同心圆的圆心是O，AB是大圆的直径，大圆的弦AC与小圆相切于点D，连接OD并延长交大圆于点E，连接BE交AC于点F．（1）已知，且大、小两圆半径差2，求大圆的半径．（2）试判断EC与过B、F、C三点的圆的位置关系，并证明．（3）在（1）的条件下，延长EC、AB交于G，求sin∠G．五、解答题（本题14分）28．（14分）已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的边OA在y轴的正半轴上，OC在x轴的正半轴上，OA＝2，OC＝3．过原点O作∠AOC的平分线交AB于点D，连接DC，过点D作DE⊥DC，交OA于点E．（1）求过点E、D、C的抛物线的解析式；（2）将∠EDC绕点D按顺时针方向旋转后，角的一边与y轴的正半轴交于点F，另一边与线段OC交于点G．如果DF与（1）中的抛物线交于另一点M，点M的横坐标为，那么EF ＝2GO是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；（3）对于（2）中的点G，在位于第一象限内的该抛物线上是否存在点Q，使得直线GQ与AB的交点P与点C、G构成的△PCG是等腰三角形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案一、选择题1、C．2、C．3、D．4、C．5、D．6、A．7、B．8、B．9、B．10、B．二、填空题11、1．12、14．13、．14、﹣1．15、33．16、7秒或25秒．17、1.44cm2．18、（2，2）或（3，）或（﹣1，）19、1．20、15．三、解答题21．【解答】解：（1）原式＝1+9+3﹣9×＝；（2）原式＝••（a+1）（a﹣1）＝a2﹣a﹣2，当a2﹣a＝0时，原式＝0﹣2＝﹣2．22．【解答】解：（1）①当a＝﹣2时，∴﹣2x+1＞0，∴﹣2x＞﹣1，∴x＜0.5②由ax+1＞0可得：x＜﹣，要使ax+1＞0无正整数解，则﹣＜1，所以a的值为：﹣10、﹣9、﹣8、﹣7、﹣6、﹣5、﹣4、﹣3，﹣2，﹣1，取a＝﹣1，不等式ax+1＞0的解为x＜1，不等式没有正整数解．取a＝﹣2，不等式ax+1＞0的解为x＜，不等式没有正整数解．取a＝﹣3，不等式ax+1＞0的解为x＜，不等多没有正整数解．取a＝﹣4，不等式ax+1＞0的解为x＜，不等式没有正整数解．…∴整数a取﹣1至﹣10中任意一个整数时，不等式没有正整数解．P（不等式没有正整数解）＝1．（2）∵若关于x的不等式ax+b＞0（其中a≠0）a的与（1）②相同，∴ax＞﹣b，x＜﹣，∴当b＝6时，∵取a＝﹣1，不等式ax+b＞0的解为x＜b，∴x＜6，不等式有正整数解．取a＝﹣2，不等式ax+b＞0的解为x＜，∴x＜3，不等式有正整数解．取a＝﹣3，不等式ax+b＞0的解为x＜，∴x＜2，不等式有正整数解．取a＝﹣4，不等式ax+b＞0的解为x＜，∴x＜1.5，不等式有正整数解．取a＝﹣5，不等式ax+b＞0的解为x＜，∴x＜1.2，不等式有正整数解．取a＝﹣6，不等式ax+b＞0的解为x＜，∴x＜1，不等式没有正整数解．…∴整数a取﹣1至﹣10中任意一个整数时，要使该不等式有正整数解的概率为，∴当5＜b≤6时，不等式有正整数解的概率为．23．【解答】解：（1）（3，6）；（2）作CE⊥x轴于点E，DF⊥x轴于点F，则OE＝OA＝3，CE＝OB＝6，∵DF∥CE，，得OF＝2，DF＝4，∴点D的坐标为（2，4），设直线AD的解析式为y＝kx+b．把A（6，0），D（2，4）代入得，解得，∴直线AD的解析式为y＝﹣x+6．（3）作D′M⊥x轴于点M，由旋转可知：∠DOD’＝90°，OD＝OD’，∴∠MOD′+∠DOF＝90°，∵∠ODF＝90°，∴∠ODF+∠DOF＝90°，∴∠ODF＝∠MOD’，∴△MOD′≌△DOF，（7分）∴D′M＝OF＝2，OD′＝DF＝4，又∵点D′在第二象限，∴D′点坐标为（﹣4，2）．24．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是等腰梯形，∴AB＝DC，又∵AD＝DC，∴BA＝AD（等量代换），又∵∠BAE＝∠ADF（等腰梯形的性质），∵AD＝DC，DE＝CF，∴AD+DE＝DC+CF，∴AE＝DF（等量代换），在△BAE和△ADF中，，∴△BAE≌△ADF（SAS），∴BE＝AF（对应边相等）；（2）解：猜想∠BPF＝120°．∵由（1）知△BAE≌△ADF（已证），∴∠ABE＝∠DAF（对应角相等）．∴∠BPF＝∠ABE+∠BAP＝∠BAP+∠EAF＝∠BAE（等量代换）．∵AD∥BC，∠DCB＝∠ABC＝60°（已知），∴∠BPF＝∠BAE＝180°﹣60°＝120°（等量代换）．25．【解答】解：（1）设甲工厂每天加工x件，则乙工厂每天加工（x+8）件，由题意得：﹣20＝，解之得：x1＝﹣24，x2＝16．经检验，x1，x2均为所列方程的根，但x1＝﹣24（不合题意，舍去），此时x+8＝24．答：甲工厂每天加工16件，乙工厂每天加工24件．（2）由（1）可知加工960件产品，甲工厂要60天，乙工厂要40天．所以甲工厂的加工总费用为60×（800+50）＝51000（元），设乙工厂报价为每天m元，则乙工厂的加工总费用为40（m+50）元，由题意得：40（m+50）≤51000，解之得m≤1225，答：乙工厂所报加工费每天最多为1225元时，可满足公司要求，有望加工这批产品．26．【解答】证明：（1）连CD，如图4，∵两个等腰直角三角形的相似比为1：，而小直角三角形的斜边等于大直角三角形的直角边，∴点D为AB的中点，∴CD＝AD，∠4＝∠A＝45°，又∵∠1+∠2＝∠2+∠3＝90°，∴∠3＝∠1，∴△CDF≌△ADE，∴CF＝AE，同理可得△CED≌△BFD，∴CE＝BF，而CE2+CF2＝EF2，∴AE2+BF2＝EF2；（2）结论AE2+BF2＝EF2仍然成立．理由如下：把△CFB绕点C顺时针旋转90°，得到△CGA，如图5∴CF＝CG，AG＝BF，∠4＝∠1，∠B＝∠GAC＝45°，∴∠GAE＝90°，而∠3＝45°，∴∠2+∠4＝90°﹣45°＝45°，∴∠1+∠2＝45°，∴△CGE≌△CFE，∴GE＝EF，在Rt△AGE中，AE2+AG2＝GE2，∴AE2+BF2＝EF2；（3）线段BM、MN、DN能构成直角三角形的三边长．理由如下：把△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABP，点N的对应点为Q，如图∴∠4＝∠2，∠1+∠3+∠4＝90°，BP＝DF，BQ＝DN，AF＝AP，∵△CEF的周长等于正方形ABCD的周长的一半，∴EF＝BE+DF，∴EF＝EP，∴△AEF≌△AEP，∴∠1＝∠3+∠4，而AQ＝AN，∴△AMQ≌△AMN，∴MN＝QM，而∠ADN＝∠QBA＝45°，∠ABD＝45°，∴∠QBN＝90°，∴BQ2+BM2＝QM2，∴BM2+DN2＝MN2．四、解答题27．【解答】解：（1）∵∠ABE＝∠ACE，，∴tan∠ACE＝，而OD⊥AC，∵大、小两圆半径差为2，∴DE＝2，故AD＝DC＝2，在Rt△AOD中，可求得DO＝1，半径AO＝3；（2）EC是过B、F、C三点的切线．证明：连接BC，设过B、F、C三点的圆的圆心为O′，则⊙O′的直径为BF，连接O′C，则O′C＝O′F，∠O′FC＝O′CF，∵AE＝CE，∴∠ECF＝∠CBF，而∠O′FC+∠CBF＝90°，∠O′CF+∠ECF＝90°，即∠ECO′＝90°，故EC是⊙O′的切线．（3）过C作CM∥AB交DE于N，过N作HN⊥EC，∵BC∥DO，∴四边形ONCB为平行四边形，∴ON＝BC＝2，∴NE＝1，又Rt△EHN中，可求得NH＝，∵NC＝OB＝3，在Rt△NCH中，sin∠G＝sin∠HCN＝．五、解答题28．【解答】解：（1）由已知，得C（3，0），D（2，2），∵∠ADE＝90°﹣∠CDB＝∠BCD，∴AD＝BC．AD＝2．∴E（0，1）．设过点E、D、C的抛物线的解析式为y＝ax2+bx+c（a≠0）．将点E的坐标代入，得c＝1．将c＝1和点D、C的坐标分别代入，得解这个方程组，得故抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+1；（2）EF＝2GO成立．∵点M在该抛物线上，且它的横坐标为，∴点M的纵坐标为．设DM的解析式为y＝kx+b1（k≠0），将点D、M的坐标分别代入，得，解得∴DM的解析式为y＝﹣x+3．∴F（0，3），EF＝2．过点D作DK⊥OC于点K，则DA＝DK．∵∠ADK＝∠FDG＝90°，∴∠FDA＝∠GDK．又∵∠F AD＝∠GKD＝90°，∴△DAF≌△DKG．∴KG＝AF＝1．∵OC＝3，∴GO＝1．∴EF＝2GO；（3）∵点P在AB上，G（1，0），C（3，0），则设P（t，2）．∴PG2＝（t﹣1）2+22，PC2＝（3﹣t）2+22，GC＝2．①PG＝PC，则（t﹣1）2+22＝（3﹣t）2+22，解得t＝2．∴P（2，2），此时点Q与点P重合，∴Q（2，2）．②若PG＝GC，则（t﹣1）2+22＝22，解得t＝1，∴P（1，2），此时GP⊥x轴．GP与该抛物线在第一象限内的交点Q的横坐标为1，∴点Q的纵坐标为，∴Q（1，）．③若PC＝GC，则（3﹣t）2+22＝22，解得t＝3，∴P（3，2），此时PC＝GC＝2，△PCG是等腰直角三角形．过点Q作QH⊥x轴于点H，则QH＝GH，设QH＝h，∴Q（h+1，h）．∴（h+1）2+（h+1）+1＝h．解得h1＝，h2＝﹣2（舍去）．∴Q（，）．综上所述，存在三个满足条件的点Q，即Q（2，2）或Q（1，）或Q（，）．。