二次函数中考考点分析共12页

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考点12 二次函数(精讲)(解析版)

考点12.二次函数（精讲）【命题趋势】二次函数作为初中三大函数考点最多，出题最多，难度最大的函数，一直都是各地中考数学中最重要的考点，年年都会考查，总分值为15-20分。

而对于二次函数图象和性质的考查，也主要集中在二次函数的图象、图象与系数的关系、与方程及不等式的关系、图象上点的坐标特征等几大方面。

题型变化较多，考生复习时需要熟练掌握相关知识，熟悉相关题型，认真对待该考点的复习。

【知识清单】1：二次函数的相关概念（☆☆）1）二次函数的概念：一般地，形如y =ax 2+bx +c （a ，b ，c 是常数，a ≠0）的函数，叫做二次函数．2）二次函数解析式的三种形式（1）一般式：y =ax 2+bx +c （a ，b ，c 为常数，a ≠0）．（2）顶点式：y =a （x –h ）2+k （a ，h ，k 为常数，a ≠0），顶点坐标是（h ，k ）．（3）交点式：y =a （x –x 1）（x –x 2），其中x 1，x 2是二次函数与x 轴的交点的横坐标，a ≠0．2：二次函数的图象与性质（☆☆☆）解析式二次函数y =ax 2+bx +c （a ，b ，c 是常数，a ≠0）对称轴x =–2b a顶点（–2b a ，244ac b a-）a 的符号a >0a <0图象开口方向开口向上开口向下最值当x =–2b a 时，y 最小值=244ac b a-。

当x =–2b a 时，y 最大值=244ac b a-。

最点抛物线有最低点抛物线有最高点增减性当x <–2ba时，y 随x 的增大而减小；当x >–2ba时，y 随x 的增大而增大当x <–2ba时，y 随x 的增大而增大；当x >–2ba时，y 随x 的增大而减小（1）二次函数图象的翻折与旋转抛物线y=a (x -h )²+k ，绕顶点旋转180°变为：y =-a (x -h )²+k ；绕原点旋转180°变为：y =-a (x+h )²-k ；沿x 轴翻折变为：y =-a (x-h )²-k ；沿y 轴翻折变为：y =a (x+h )²+k ；（2）二次函数平移遵循“上加下减，左加右减”的原则；二次函数图象的平移可看作顶点间的平移，可根据顶点之间的平移求出变化后的解析式．3：二次函数与各项系数之间的关系（☆☆☆）1）抛物线开口的方向可确定a 的符号：抛物线开口向上，a ＞0；抛物线开口向下，a ＜02）对称轴可确定b 的符号（需结合a 的符号）：对称轴在x 轴负半轴，则2b x a =-＜0，即ab ＞0；对称轴在x 轴正半轴，则2bx a=-＞0，即ab ＜03）与y 轴交点可确定c 的符号：与y 轴交点坐标为（0，c ），交于y 轴负半轴，则c ＜0；交于y 轴正半轴，则c ＞04）特殊函数值符号（以x =1的函数值为例）：若当x =1时，若对应的函数值y 在x 轴的上方，则a+b+c ＞0；若对应的函数值y 在x 轴上方，则a+b+c =0；若对应的函数值y 在x 轴的下方，则a+b+c ＜0；5）其他辅助判定条件：1）顶点坐标24,24b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭；2）若与x 轴交点()1,0A x ，()2,0B x ，则可确定对称轴为：x =122x x +；3）韦达定理：1212b x x a c x x a ⎧+=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩具体要考虑哪些量，需要视图形告知的条件而定。

中考备考数学总复习第12讲二次函数(含解析)

第12讲二次函数[锁定目标考试]考标要求考查角度1.理解二次函数的有关概念． 2．会用描点法画二次函数的图象，能从图象上认识二次函数的性质． 3．会运用配方法确定二次函数图象的顶点、开口方向和对称轴，并会求解二次函数的最值问题． 4．熟练掌握二次函数解析式的求法，并能用它解决有关的实际问题． 5．会用二次函数的图象求一元二次方程的近似解. 二次函数是中考考查的重点内容，题型主要有选择题、填空题及解答题，而且常与方程、不等式、几何知识等结合在一起综合考查，且一般为压轴题．命题不仅考查二次函数的概念、图象和性质等基础知识，而且注重多个知识点的综合考查以及对学生应用二次函数解决实际问题能力的考查.[导学必备知识]知识梳理一、二次函数的概念一般地，形如y ＝______________(a ，b ，c 是常数，a ≠0)的函数，叫做二次函数．二次函数的两种形式：(1)一般形式：____________________________；(2)顶点式：y ＝a (x －h )2＋k (a ≠0)，其中二次函数的顶点坐标是________．二、二次函数的图象及性质二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c 为常数，a ≠0) 图象(a ＞0)(a ＜0) 开口方向开口向上开口向下对称轴直线x ＝－b 2a 直线x ＝－b 2a顶点坐标 ⎝⎛⎭⎫－b 2a ，4ac －b 24a ⎝⎛⎭⎫－b 2a ，4ac －b 24a增减性当x ＜－b 2a 时，y 随x 的增大而减小；当x ＞－b 2a 时，y 随x 的增大而增大当x ＜－b 2a时，y 随x 的增大而增大；当x ＞－b 2a时，y 随x 的增大而减小最值当x ＝－b 2a 时，y 有最______值4ac －b 24a 当x ＝－b 2a 时，y 有最______值4ac －b 24a三、二次函数图象的特征与a ，b ，c 及b 2－4ac 的符号之间的关系四、二次函数图象的平移抛物线y＝ax2与y＝a(x－h)2，y＝ax2＋k，y＝a(x－h)2＋k中|a|相同，则图象的________和大小都相同，只是位置不同．它们之间的平移关系如下：五、二次函数关系式的确定1．设一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)．若已知条件是图象上三个点的坐标，则设一般式y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，将已知条件代入，求出a，b，c的值．2．设交点式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．若已知二次函数图象与x轴的两个交点的坐标，则设交点式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，将第三点的坐标或其他已知条件代入，求出待定系数a，最后将关系式化为一般式．3．设顶点式：y＝a(x－h)2＋k(a≠0)．若已知二次函数的顶点坐标或对称轴方程与最大值或最小值，则设顶点式：y＝a(x－h )2＋k (a ≠0)，将已知条件代入，求出待定系数化为一般式．六、二次函数与一元二次方程的关系1．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，当y ＝0时，就变成了ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)．2．ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的解是抛物线与x 轴交点的________．3．当Δ＝b 2－4ac ＞0时，抛物线与x 轴有两个不同的交点；当Δ＝b 2－4ac ＝0时，抛物线与x 轴有一个交点；当Δ＝b 2－4ac ＜0时，抛物线与x 轴没有交点．4．设抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴两交点坐标分别为A (x 1,0)，B (x 2,0)，则x 1＋x 2＝________，x 1·x 2＝________.自主测试1．下列二次函数中，图象以直线x ＝2为对称轴，且经过点(0,1)的是( )A ．y ＝(x －2)2＋1B ．y ＝(x ＋2)2＋1C ．y ＝(x －2)2－3D ．y ＝(x ＋2)2－32. 如图所示的二次函数y=ax 2+bx+c 的图象中，刘星同学观察得出了下面四个结论：(1)b 2-4ac ＞0；(2)c ＞1；(3)2a-b ＜0；(4)a+b+c ＜0.你认为其中错误的有( )A ．2个B ．3个C ．4个D ．1个3．当m ＝__________时，函数y ＝(m －3)xm 2－7＋4是二次函数．4．(上海)将抛物线y ＝x 2＋x 向下平移2个单位，所得新抛物线的表达式是________．5．(广东珠海)如图，二次函数y ＝(x －2)2＋m 的图象与y 轴交于点C ，点B 是点C 关于该二次函数图象的对称轴对称的点．已知一次函数y ＝kx ＋b 的图象经过该二次函数图象上点A (1,0)及点B ．(1)求二次函数与一次函数的解析式；(2)根据图象，写出满足kx ＋b ≥(x －2)2＋m 的x 的取值范围．[探究重难方法]考点一、二次函数的图象及性质【例1】 (1)二次函数y ＝－3x 2－6x ＋5的图象的顶点坐标是( )A ．(－1,8)B ．(1,8)C ．(－1,2)D ．(1，－4)(2)已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ＞0)的对称轴为直线x ＝1，且经过点(－1，y 1)，(2，y 2)，试比较y 1和y 2的大小：y 1________y 2.(填“＞”“＜”或“＝”)解析：(1)抛物线的顶点坐标可以利用顶点坐标公式或配方法来求．∵－b 2a＝－－62×(－3)＝－1， 4ac －b 24a ＝4×(－3)×5－(－6)24×(－3)＝8， ∴二次函数y ＝－3x 2－6x ＋5的图象的顶点坐标是(－1,8)．故选A ．(2)点(－1，y1)，(2，y2)不在对称轴的同一侧，不能直接利用二次函数的增减性来判断y1，y2的大小，可先根据抛物线关于对称轴的对称性，然后再用二次函数的增减性即可．设抛物线经过点(0，y3)，∵抛物线对称轴为直线x＝1，∴点(0，y3)与点(2，y2)关于直线x＝1对称．∴y3＝y2.∵a＞0，∴当x＜1时，y随x的增大而减小．∴y1＞y3.∴y1＞y2.答案：(1)A(2)＞方法总结1.将抛物线解析式写成y＝a(x－h)2＋k的形式，则顶点坐标为(h，k)，对称轴为直线x＝h，也可应用对称轴公式x＝－b2a ，顶点坐标⎝⎛⎭⎪⎫－b2a，4ac－b24a来求对称轴及顶点坐标．2．比较两个二次函数值大小的方法：(1)直接代入自变量求值法；(2)当自变量在对称轴两侧时，看两个数到对称轴的距离及函数值的增减性判断；(3)当自变量在对称轴同侧时，根据函数值的增减性判断．触类旁通1已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图，则下列结论中正确的是()A．a＞0 B．当x＞1时，y随x的增大而增大C．c＜0 D．3是方程ax2＋bx＋c＝0的一个根考点二、利用二次函数图象判断a，b，c的符号【例2】如图，是二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象的一部分，给出下列命题：①a ＋b＋c＝0；②b＞2a；③ax2＋bx＋c＝0的两根分别为－3和1；④a－2b＋c＞0.其中正确的命题是__________．(只要求填写正确命题的序号)解析：由图象可知过(1,0)，代入得到a＋b＋c＝0；根据－b2a＝－1，推出b＝2a；根据图象关于对称轴对称，得出与x轴的交点是(－3,0)，(1,0)；由a－2b＋c＝a－2b－a－b＝－3b＜0，根据结论判断即可．答案：①③方法总结根据二次函数的图象确定有关代数式的符号，是二次函数中的一类典型的数形结合问题，具有较强的推理性．解题时应注意a决定抛物线的开口方向，c决定抛物线与y轴的交点，抛物线的对称轴由a，b共同决定，b2－4ac决定抛物线与x轴的交点情况．当x＝1时，决定a＋b＋c的符号，当x＝－1时，决定a－b＋c的符号．在此基础上，还可推出其他代数式的符号．运用数形结合的思想更直观、更简捷．触类旁通2小明从如图的二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象中，观察得出了下面五个结论：①c＜0；②abc＞0；③a－b＋c＞0；④2a－3b＝0；⑤c－4b＞0，你认为其中正确的结论有()A．2个 B．3个C．4个 D．5个考点三、二次函数图象的平移【例3】二次函数y＝－2x2＋4x＋1的图象怎样平移得到y＝－2x2的图象()A．向左平移1个单位，再向上平移3个单位B．向右平移1个单位，再向上平移3个单位C．向左平移1个单位，再向下平移3个单位D．向右平移1个单位，再向下平移3个单位解析：首先将二次函数的解析式配方化为顶点式，然后确定如何平移，即y＝－2x2＋4x＋1＝－2(x－1)2＋3，将该函数图象向左平移1个单位，再向下平移3个单位就得到y＝－2x2的图象．答案：C方法总结二次函数图象的平移实际上就是顶点位置的变换，因此先将二次函数解析式转化为顶点式确定其顶点坐标，然后按照“左加右减、上加下减”的规律进行操作．触类旁通3将二次函数y＝x2的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位后，所得图象的函数解析式是()A．y＝(x－1)2＋2 B．y＝(x＋1)2＋2 C．y＝(x－1)2－2 D．y＝(x＋1)2－2考点四、确定二次函数的解析式【例4】如图，四边形ABCD是菱形，点D的坐标是(0，3)，以点C为顶点的抛物线y=ax2+bx+c恰好经过x轴上A，B两点．(1)求A，B，C三点的坐标；(2)求经过A，B，C三点的抛物线的解析式．解：(1)由抛物线的对称性可知AE＝BE.∴△AOD≌△BEC．∴OA＝EB＝EA．设菱形的边长为2m，在Rt△AOD中，m2＋(3)2＝(2m)2，解得m＝1.∴DC＝2，OA＝1，OB＝3.∴A ，B ，C 三点的坐标分别为(1,0)，(3,0)，(2，3)． (2)解法一：设抛物线的解析式为y ＝a (x －2)2＋3，代入A 的坐标(1,0)，得a ＝－ 3. ∴抛物线的解析式为y ＝－3(x －2)2＋ 3.解法二：设这个抛物线的解析式为y ＝ax 2＋bx ＋c ，由已知抛物线经过A (1,0)，B (3,0)，C (2，3)三点，得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＋c ＝0，9a ＋3b ＋c ＝0，4a ＋2b ＋c ＝3，解这个方程组，得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－3，b ＝43，c ＝－3 3.∴抛物线的解析式为y ＝－3x 2＋43x －3 3.方法总结用待定系数法求二次函数解析式，需根据已知条件，灵活选择解析式：若已知图象上三个点的坐标，可设一般式；若已知二次函数图象与x 轴两个交点的横坐标，可设交点式；若已知抛物线顶点坐标或对称轴与最大(或小)值，可设顶点式．触类旁通4 已知抛物线y ＝－12x 2＋(6－m 2)x ＋m －3与x 轴有A ，B 两个交点，且A ，B 两点关于y 轴对称．(1)求m 的值；(2)写出抛物线的关系式及顶点坐标．考点五、二次函数的实际应用【例5】我市某镇的一种特产由于运输原因，长期只能在当地销售．当地政府对该特产的销售收益为：每投入x 万元，可获得利润P ＝－1100(x －60)2＋41(万元)．当地政府拟在“十二·五”规划中加快开发该特产的销售，其规划方案为：在规划前后对该项目每年最多可投入100万元的销售，在实施规划5年的前两年中，每年都从100万元中拨出50万元用于修建一条公路，两年修成，通车前该特产只能在当地销售；公路通车后的3年中，该特产既在本地销售，也在外地销售．在外地销售的收益为：每投入x 万元，可获利润Q ＝－99100(100－x )2＋2945(100－x )＋160(万元)． (1)若不进行开发，求5年所获利润的最大值是多少；(2)若按规划实施，求5年所获利润(扣除修路后)的最大值是多少；(3)根据(1)、(2)，该方案是否具有实施价值？解：(1)当x ＝60时，P 最大且为41万元，故五年获利最大值是41×5＝205(万元)．(2)前两年：0≤x ≤50，此时因为P 随x 的增大而增大，所以x ＝50时，P 值最大且为40万元，所以这两年获利最大为40×2＝80(万元)．后三年：设每年获利为y 万元，当地额为x 万元，则外地额为(100－x )万元，所以y ＝P ＋Q ＝⎣⎡⎦⎤－1100(x －60)2＋41＋⎝⎛⎭⎫－99100x 2＋2945x ＋160＝－x 2＋60x ＋165＝－(x －30)2＋1 065，表明x ＝30时，y 最大且为1 065，那么三年获利最大为1 065×3＝3 195(万元)，故五年获利最大值为80＋3 195－50×2＝3 175(万元)．(3)有极大的实施价值．方法总结运用二次函数的性质解决生活和实际生产中的最大值和最小值问题是最常见的题目类型，解决这类问题的方法是：1．列出二次函数的关系式，列关系式时，要根据自变量的实际意义，确定自变量的取值范围．2．在自变量取值范围内，运用公式法或配方法求出二次函数的最大值和最小值．触类旁通5一玩具厂去年生产某种玩具，成本为10元/件，出厂价为12元/件，年销售量为2万件．今年计划通过适当增加成本来提高产品档次，以拓展市场．若今年这种玩具每件的成本比去年成本增加0.7x 倍，今年这种玩具每件的出厂价比去年出厂价相应提高0.5x 倍，则预计今年年销售量将比去年年销售量增加x 倍(本题中0＜x ≤11)．(1)用含x 的代数式表示，今年生产的这种玩具每件的成本为__________元，今年生产的这种玩具每件的出厂价为__________元；(2)求今年这种玩具的每件利润y (元)与x 之间的函数关系式；(3)设今年这种玩具的年销售利润为w 万元，求当x 为何值时，今年的年销售利润最大？最大年销售利润是多少万元？注：年销售利润＝(每件玩具的出厂价－每件玩具的成本)×年销售量．[品鉴经典考题]1．(湖南株洲)如图，已知抛物线与x 轴的一个交点为A (1,0)，对称轴是x ＝－1，则抛物线与x 轴的另一个交点坐标是( )A ．(－3,0)B ．(－2,0)C ．x ＝－3D ．x ＝－2 2．(湖南郴州)抛物线y ＝(x －1)2＋2的顶点坐标是( )A ．(－1,2)B ．(－1，－2)C ．(1，－2)D ．(1,2)3. (湖南娄底)已知二次函数y ＝x 2－(m 2－2)x －2m 的图象与x 轴交于点A (x 1,0)和点B (x 2,0)，x 1＜x 2，与y 轴交于点C ，且满足1x 1＋1x 2＝12.(1)求这个二次函数的解析式；(2)探究：在直线y ＝x ＋3上是否存在一点P ，使四边形P ACB 为平行四边形？如果有，求出点P 的坐标；如果没有，请说明理由．4．(湖南长沙)在长株潭建设两型社会的过程中，为推进节能减排，发展低碳经济，我市某公司以25万元购得某项节能产品的生产技术后，再投入100万元购买生产设备，进行该产品的生产加工．已知生产这种产品的成本价为每件20元．经过市场调研发现，该产品的销售单价定在25元到30元之间较为合理，并且该产品的年销售量y (万件)与销售单价x (元)之间的函数关系式为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧40－x ，25≤x ≤30，25－0.5x ，30<x ≤35(年获利＝年销售收入－生产成本－成本)．(1)当销售单价定为28元时，该产品的年销售量为多少万件？(2)求该公司第一年的年获利W (万元)与销售单价x (元)之间的函数关系式，并说明的第一年，该公司是盈利还是亏损？若盈利，最大利润是多少？若亏损，最小亏损是多少？(3)第二年，该公司决定给希望工程捐款Z 万元，该项捐款由两部分组成：一部分为10万元的固定捐款；另一部分则为每销售一件产品，就抽出一元钱作为捐款．若除去第一年的最大获利(或最小亏损)以及第二年的捐款后，到第二年年底，两年的总盈利不低于67.5万元，请你确定此时销售单价的范围．5. (湖南湘潭)如图，抛物线y ＝ax 2－32x －2(a ≠0)的图象与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于C 点，已知B 点坐标为(4,0)．(1)求抛物线的解析式；(2)试探究△ABC 的外接圆的圆心位置，并求出圆心坐标；(3)若点M 是线段BC 下方的抛物线上一点，求△MBC 的面积的最大值，并求出此时M 点的坐标．[研习预测试题]1．抛物线y ＝x 2－6x ＋5的顶点坐标为( )A ．(3，－4)B ．(3,4)C ．(－3，－4)D ．(－3,4)2．由二次函数y ＝2(x －3)2＋1，可知( )A ．其图象的开口向下B ．其图象的对称轴为直线x ＝－3C ．其最小值为1D ．当x ＜3时，y 随x 的增大而增大3．已知函数y ＝(k －3)x 2＋2x ＋1的图象与x 轴有交点，则k 的取值范围是( )A ．k ＜4B ．k ≤4C ．k ＜4且k ≠3D ．k ≤4且k ≠34．如图，平面直角坐标系中，两条抛物线有相同的对称轴，则下列关系正确的是( )(第4题图) A ．m ＝n ，k ＞h B ．m ＝n ，k ＜h C ．m ＞n ，k ＝hD ．m ＜n ，k ＝h5．如图，已知二次函数y ＝x 2＋bx ＋c 的图象经过点A (－1,0)，B (1，－2)，该图象与x 轴的另一交点为C ，则AC 长为__________．(第5题图)6．抛物线y＝ax2＋bx＋c上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：x …－2－1012…y …04664…从上表可知，下列说法中正确的是__________．(填写序号)①抛物线与x轴的一个交点为(3,0)；②函数y＝ax2＋bx＋c的最大值为6；③抛物线的对称轴是直线x＝1 2；④在对称轴左侧，y随x增大而增大．7．抛物线y＝－x2＋bx＋c的图象如图所示，若将其向左平移2个单位，再向下平移3个单位，则平移后的解析式为__________．8．长江中下游地区发生了特大旱情，为抗旱保丰收，某地政府制定了农户购买抗旱设备的补贴办法，其中购买Ⅰ型、Ⅱ型抗旱设备所的金额与政府补贴的额度存在下表所示的函数对应关系.(1)分别求y1和y2的函数解析式；(2)有一农户同时对Ⅰ型、Ⅱ型两种设备共10万元购买，请你设计一个能获得最大补贴金额的方案，并求出按此方案能获得的最大补贴金额．9．如图，已知二次函数L1：y＝x2－4x＋3与x轴交于A，B两点(点A在点B的左边)，与y轴交于点C．(1)写出二次函数L 1的开口方向、对称轴和顶点坐标；(2)研究二次函数L 2：y ＝kx 2－4kx ＋3k (k ≠0)．①写出二次函数L 2与二次函数L 1有关图象的两条相同的性质；②若直线y ＝8k 与抛物线L 2交于E ，F 两点，问线段EF 的长度是否发生变化？如果不会，请求出EF 的长度；如果会，请说明理由．参考答案【知识梳理】一、ax 2＋bx ＋c (1)y ＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c 是常数，a ≠0) (2)(h ，k )二、小大三、y 轴左右四、形状六、2.横坐标 4.－b a c a导学必备知识自主测试1．C2．D ∵抛物线与x 轴有两个交点，∴b 2－4ac ＞0；与y 轴交点在(0,0)与(0,1)之间，∴0＜c ＜1，∴(2)错；∵－b 2a ＞－1，∴b 2a＜1，∵a ＜0，∴2a ＜b ，∴2a －b ＜0；当x ＝1时，y ＝a ＋b ＋c ＜0，故选D.3．－3 由题意，得m 2－7＝2且m －3≠0，解得m ＝－3.4．y ＝x 2＋x －2 因为抛物线向下平移2个单位，则y 值在原来的基础上减2，所以新抛物线的表达式是y ＝x 2＋x －2.5．解：(1)由题意，得(1－2)2＋m ＝0，解得m ＝－1，∴y ＝(x －2)2－1.当x ＝0时，y ＝(0－2)2－1＝3，∴C (0,3)．∵点B 与C 关于直线x ＝2对称，∴B (4,3)．于是有⎩⎪⎨⎪⎧ 0＝k ＋b ，3＝4k ＋b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧ k ＝1，b ＝－1.∴y ＝x －1.(2)x 的取值范围是1≤x ≤4.探究考点方法触类旁通1.D触类旁通2.C ∵抛物线开口向上，∴a ＞0；∵抛物线与y 轴交于负半轴，∴c ＜0；对称轴在y 轴右侧，a ，b 异号，故b ＜0，∴abc ＞0.由题图知当x ＝－1时，y ＞0，即a －b ＋c ＞0.对称轴是直线x ＝13， ∴－b 2a ＝13，即2a ＋3b ＝0；由⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＋c >0，2a ＋3b ＝0，得c －52b ＞0. 又∵b ＜0，∴c －4b ＞0.∴正确的结论有4个．触类旁通3.A 因为将二次函数y ＝x 2向右平移1个单位，得y ＝(x －1)2，再向上平移2个单位后，得y ＝(x －1)2＋2，故选A.触类旁通4.解：(1)∵抛物线与x 轴的两个交点关于y 轴对称，∴抛物线的对称轴即为y 轴．∴－6－m 22×⎝⎛⎭⎫－12＝0. ∴m ＝±6.又∵抛物线开口向下，∴m －3＞0，即m ＞3. ∴m ＝6.(2)∵m ＝6，∴抛物线的关系式为y ＝－12x 2＋3，顶点坐标为(0,3)．触类旁通5.解：(1)(10＋7x ) (12＋6x )(2)y ＝(12＋6x )－(10＋7x )＝2－x .(3)∵w ＝2(1＋x )(2－x )＝－2x 2＋2x ＋4，∴w ＝－2(x －0.5)2＋4.5.∵－2＜0,0＜x ≤11，∴当x ＝0.5时，w 最大＝4.5(万元)．答：当x 为0.5时，今年的年销售利润最大，最大年销售利润是4.5万元．品鉴经典考题1．A 点A 到对称轴的距离为2，由抛物线的对称性知，另一个交点的横坐标为－3，所以另一个交点坐标为(－3,0)．2．D3．解：(1)由已知得x 1＋x 2＝m 2－2，x 1x 2＝－2m .∵1x 1＋1x 2＝12，即x 1＋x 2x 1x 2＝12， ∴m 2－2－2m ＝12，解得m ＝1或m ＝－2.当m ＝1时，y ＝x 2＋x －2，得A (－2,0)，B (1,0)；当m ＝－2时，y ＝x 2－2x ＋4，与x 轴无交点，舍去．∴这个二次函数的解析式为y ＝x 2＋x －2.(2)由(1)得A (－2,0)，B (1,0)，C (0，－2)．假设存在一点P ，使四边形P ACB 是平行四边形，则PB ∥AC 且PB ＝AC ，根据平移知识可得P (－1,2)，经验证P (－1,2)在直线y ＝x ＋3上，故在直线y ＝x ＋3上存在一点P (－1,2)，使四边形P ACB 为平行四边形．4．解：(1)当x ＝28时，y ＝40－28＝12.所以，产品的年销售量为12万件．(2)①当25≤x ≤30时，W ＝(40－x )(x －20)－25－100＝－x 2＋60x －925＝－(x －30)2－25，故当x ＝30时，W 最大为－25，即公司最少亏损25万元；②当30＜x ≤35时，W ＝(25－0.5x )(x －20)－25－100＝－12x 2＋35x －625＝－12(x －35)2－12.5，故当x ＝35时，W 最大为－12.5，及公司最少亏损12.5万元，综上所述，的第一年，公司亏损，最少亏损是12.5万元；(3)①当25≤x ≤30时，W ＝(40－x )(x －20－1)－12.5－10＝－x 2＋61x －862.5，令W ＝67.5，则－x 2＋61x －862.5＝67.5，化简得x 2－61x ＋930＝0，x 1＝30，x 2＝31，此时，当两年的总盈利不低于6.75万元时，x ＝30.②当30＜x ≤35时，W ＝(25－0.5x )(x －20－1)－12.5－10＝－12x 2＋35.5x －547.5，令W ＝67.5，则－12x 2＋35.5x －547.5＝67.5，化简得x 2－71x ＋1 230＝0，x 1＝30，x 2＝41，此时，当两年的总盈利不低于67.5万元时，30＜x ≤35.所以，到第二年年底，两年的总盈利不低于67.5万元，此时销售单价的范围是30≤x ≤35.5．解：(1)将点B (4,0)代入y ＝ax 2－32x －2(a ≠0)中，得a ＝12.∴抛物线的解析式为y ＝12x 2－32x －2. (2)∵当12x 2－32x －2＝0时，解得x 1＝4，x 2＝－1， ∴A 点坐标为(－1,0)，则OA ＝1.∵当x ＝0时，y ＝12x 2－32x －2＝－2，∴C 点坐标为(0，－2)，则OC ＝2.在Rt △AOC 与Rt △COB 中，OA OC ＝OC OB ＝12， ∴Rt △AOC ∽Rt △COB .∴∠ACO ＝∠CBO .∴∠ACB ＝∠ACO ＋∠OCB ＝∠CBO ＋∠OCB ＝90°.∴△ABC 为直角三角形．∴△ABC 的外接圆的圆心为AB 中点，其坐标为⎝⎛⎭⎫32，0.(3)连接OM .设M 点坐标为⎝⎛⎭⎫x ，12x 2－32x －2，则S △MBC ＝S △OBM ＋S △OCM －S △OBC ＝12×4×⎝⎛⎭⎫－12x 2＋32x ＋2＋12×2×x －12×2×4 ＝－(x －2)2＋4.∴当x ＝2时，△MBC 的面积有最大值为4，点M 的坐标为(2，－3)．研习预测试题1．A 2.C3．D 由题意，得22－4(k －3)≥0，且k －3≠0，解得k ≤4且k ≠3，故选D.4．A5．3 ∵把A (－1,0)，B (1，－2)代入y ＝x 2＋bx ＋c 得⎩⎪⎨⎪⎧1－b ＋c ＝0，1＋b ＋c ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－1，c ＝－2，∴y ＝x 2－x －2，解x 2－x －2＝0得x 1＝－1，x 2＝2， ∴C 点坐标为(2,0)，∴AC ＝3.6．①③④ 由图表可知当x ＝0时，y ＝6；当x ＝1时，y ＝6，∴抛物线的对称轴是直线x ＝12，③正确；∵抛物线与x 轴的一个交点为(－2,0)，对称轴是直线x ＝12，∴抛物线与x 轴的另一个交点为(3,0)，①正确；由图表可知，在对称轴左侧，y 随x 增大而增大，④正确；当x ＝12时，y 取得最大值，②错误． 7．y ＝－x 2－2x 由题中图象可知，对称轴为直线x ＝1，所以－b －2＝1，即b ＝2.把点(3,0)代入y ＝－x 2＋2x ＋c ，得c ＝3.故原图象的解析式为y ＝－x 2＋2x ＋3，即y ＝－(x －1)2＋4，然后向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得y ＝－(x －1＋2)2＋4－3，即y ＝－x 2－2x .8．解：(1)由题意，得5k ＝2，∴k ＝25，∴y 1＝25x ；⎩⎪⎨⎪⎧ 4a ＋2b ＝2.4，16a ＋4b ＝3.2，∴⎩⎨⎧ a ＝－15，b ＝85，∴y 2＝－15x 2＋85x . (2)设该农户t 万元购Ⅱ型设备，(10－t )万元购Ⅰ型设备，共获补贴Q 万元．∴y 1＝25(10－t )＝4－25t ，y 2＝－15t 2＋85t . ∴Q ＝y 1＋y 2＝4－25t －15t 2＋85t ＝－15t 2＋65t ＋4＝－15(t －3)2＋295.∴当t ＝3时，Q 最大＝295. ∴10－t ＝7.即7万元购Ⅰ型设备，3万元购Ⅱ型设备，能获得最大补贴金额，最大补贴金额为5.8万元．9．解：(1)二次函数L 1的开口向上，对称轴是直线x ＝2，顶点坐标(2，－1)．(2)①二次函数L 2与L 1有关图象的两条相同的性质：对称轴为直线x ＝2或顶点的横坐标为2；都经过A (1,0)，B (3,0)两点．②线段EF 的长度不会发生变化．∵直线y ＝8k 与抛物线L 2交于E ，F 两点，∴kx 2－4kx ＋3k ＝8k ，∵k ≠0，∴x 2－4x ＋3＝8，解得x 1＝－1，x 2＝5.∴EF ＝x 2－x 1＝6，∴线段EF 的长度不会发生变化．。

2021年中考数学第十二讲二次函数的图像和性质(33PPT)

【解析】(1)∵抛物线y=ax2-2ax-3+2a2=a(x-1)2+2a2-a-3.
∴抛物线的对称轴为直线x=1.
(2)∵抛物线的顶点在x轴上,
∴2a2-a-3=0,解得a=3 或a=-1,
2
∴抛物线为y= 3x2-3x+3或y=-x2+2x-1.
2
2
(3)∵抛物线的对称轴为x=1,则Q(3,y2)关于x=1对称点的坐标为(-1,y2),
(x-5)2+2上有两个点(x1,y1)和(x2,y2),若x1>x2>5,则
y1____>__y2.
高频考点·疑难突破
考点一二次函数的图象和性质【示范题1】(2020·常德中考)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,下列结论: ①b2-4ac>0;②abc<0; ③4a+b=0;④4a-2b+c>0. 其中正确结论的个数是 ( B ) A.4 B.3 C.2 D.1
二、二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与性质
1.当a>0时
(1)开口方向:向上. (2)顶点坐标: (__2_ba_，4ac b2 ).
4a
(3)对称轴:直线_x_____2b_a_.
(4)增减性:当x<- b 时,y随x的增大而___减__小____;
2a
当x>- b 时,y随x的增大而___增__大____.
考点三二次函数与方程、不等式
【示范题3】(2020·贵阳中考)已知二次函数y=ax2+bx+c的图象经过(-3,0)与
(1,0)两点,关于x的方程ax2+bx+c+m=0(m>0)有两个根,其中一个根是3.则关于x

中考数学复习第3章函数第13讲二次函数的应用课件_1

(1)如图1，问饲养室长x为多少时，占地面积y最大？
(2)如图2，现要求在图中所示位置留2m宽的门，且仍使饲养室的占地面积最大，小敏说：“只要饲养室长比(1)中的长多2m就行了．”请你通过计算，判断小敏的说法是否(shì fǒu)正确．
【思路分析】根据(gēnjù)题意，用含x的代数式表示出饲养室的宽，由矩形的
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解：(1)根据题意，得w＝(x－30)·y＝(－x＋60)(x－30)＝－x2＋ 30x＋60x－1800＝－x2＋90x－1800. 故w与x之间的函数(hánshù)解析式为w＝－x2＋90x－ 1800(30≤x≤60)．
(2)根据题意，得w＝－x2＋90x－1800
＝－(x－45)2＋225. ∵－1＜0，
(4)四检：检验结果的合理性，特别检验是否符合题意．提示►二次函数在实际问题中的应用通常是在一定的取值范围内，一定要注意是否包含顶点坐标，如果顶点坐标不在取值范围内，应按照对称轴一侧的增减性探讨问题结论．
考点2 一次函数、反比例函数与二次函数的综合应用
反比例函数、一次函数作为实际问题的基础，在此可以延伸已知条件，得到与一次函数自变量相关的二次函数，随后运用二次函数的性质去解决问题．
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解：(1)设W＝k1x2＋k2nx， ∴ Q＝k1x2＋k2nx＋100. 由表中数据，得
∴ Q＝－ 1 x2＋6nx＋100.
10
(2)由题意(tí yì)，得450＝1 － ×702＋6×70n＋100.
解得n＝2.
10
(3)当n＝3时，Q＝－ x21 ＋18x＋100.
10
(2)这种双肩包销售单价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？ (3)如果物价部门规定(guīdìng)这种双肩包的销售单价不高于48元，该商店销售这种双肩包每天要获得200元的销售利润，销售单价应定为多少元？

中考数学考点14二次函数图像与性质及与a、b、c的关系(解析版)

二次函数图像与性质及与a 、b 、c 的关系【命题趋势】在中考中.二次函数的图像与性质常在选择题和填空题常考；二次函数图像与系数a 、b 、c 的关系常在选择题或填空题的最后一题出现。

【中考考查重点】一、会用描点法画出二次函数的图像.通过图像了解二次函数的性质；二、会用配方法将数字系数的二次函数的表达式化为k ax +=-)h (2y 的形式.并能由此得到二次函数图像的顶点坐标.说出图像的开口方向.画出图像的对称轴。

考点一：二次函数的概念及三种解析式概念形如的函数叫二次函数三种解析式 1. 一般式：；2. 顶点式：（a ≠0）其中（h,k ）为二次函数的顶点坐标3. 交点式：.其中为抛物线与x 轴交点的横坐标图像画法列表、描点、连线1．（2021秋•黔西南州期末）下列各式中.y 是关于x 的二次函数的是（） A ．y ＝4x +2 B ．y ＝（x ﹣1）2﹣x 2 C ．y ＝3x 2+5﹣4x D ．y ＝【答案】C【解答】解：A ．y ＝4x +2.是一次函数.故A 不符合题意； B ．y ＝（x ﹣1）2﹣x 2＝﹣2x +1.是一次函数.故B 不符合题意； C ．y ＝3x 2+5﹣4x ＝3x 2﹣4x +5.是二次函数.故C 符合题意； D ．y ＝等号右边是分式.不是二次函数.故D 不符合题意；故选：C ．考点二：二次函数的图像与性质2．（2021春•岳麓区校级期末）已知二次函数的解析式为y ＝x 2﹣4x +5.则该二次函数图象的顶点坐标是（） A ．（﹣2.1） B ．（2.1）C ．（2.﹣1）D ．（1.2）【答案】B【解答】解：∵二次函数的解析式为y ＝x 2﹣4x +5. ∴x ＝﹣＝﹣＝2.y ＝＝＝1.二次函数图象的顶点坐标为（2.1）. 故选：B ．3．（2020秋•莫旗期末）对于二次函数y ＝（x ﹣1）2+2的图象.下列说法正确的是（）A ．开口向下B ．当x ＝﹣1时.y 有最大值是2C ．对称轴是直线x ＝﹣1解析式对称轴直线（还可以利用.其中为y 值相等的两个点对应的横坐标）求解）顶点坐标2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，增减性当时.在对称轴左侧.y 随x 的增大而减少；在对称轴右侧.y 随x 的增大而增大当a ＜0时.在对称轴左侧.y 随x 的增大而增大；在对称轴右侧.y 随x的增大而减少最值当时.y 有最小值当2bx a =-时.y 有最小值244ac ba-．当a ＜0时.y 有最大值当时.y 有最大值D．顶点坐标是（1.2）【答案】D【解答】解：二次函数y＝（x﹣1）2+2的图象的开口向上.故A错误；当x＝1时.函数有最小值2.故B错误；对称轴为直线x＝1.故C错误；顶点坐标为（1.2）.故D正确．故选：D．4．（2021秋•越秀区期末）在同一平面直角坐标系xOy中.一次函数y＝ax与二次函数y ＝ax2﹣a的图象可能是（）A．B．C．D．【答案】C【解答】解：选项A.直线下降a＜0.抛物线开口向上.a＞0.不符合题意．选项B.直线下降.a＜0.抛物线开口向下a＜0.抛物线与y轴交点在x轴下方.﹣a＜0.即a＞0.不符合题意．选项C.直线上升.a＞0.抛物线开口向上a＞0.抛物线与y轴交点在x轴下方.﹣a＜0.即a＞0.符合题意．选项D.直线上升.a＞0.抛物线开口向下a＜0.不符合题意．故选：C．5．（2021秋•南召县期末）已知（﹣3.y1）.（1.y2）.（5.y3）是抛物线y＝﹣2x2﹣4x+m 上的点.则（）A．y1＞y2＞y3B．y2＞y1＞y3C．y1＝y2＞y3D．y1＞y2＝y3【答案】C【解答】解：∵y＝﹣2x2﹣4x+m＝﹣2（x+1）2+2+m.∴抛物线的开口向下.对称轴是直线x＝﹣1.∴当x＞﹣1时.y随x的增大而减小.∵（﹣3.y1）.（1.y2）.（5.y3）是抛物线y＝﹣2x2﹣4x+m上的点.∴点（﹣3.y1）关于对称轴x＝﹣1的对称点是（1.y3）.∵1＜5.∴y1＝y2＞y3.故选：C6．（2021秋•昭阳区期中）已知二次函数y＝﹣（x﹣k）2+h.当x＞2时.y随x的增大而减小.则函数中k的取值范围是（）A．k≥2B．k≤2C．k＝2D．k≤﹣2【答案】B【解答】解：抛物线的对称轴为直线x＝k.因为a＝﹣1＜0.所以抛物线开口向下.所以当x＞k时.y的值随x值的增大而减小.而x＞2时.y的值随x值的增大而减小.所以k≤2．故选：B．考点三：二次函数图像与a、b、c的关系a、b、c的正负数判断二次函数图像二次项系数a 决定抛物线的开口方向及开口大小⑴当0a>时.抛物线开口向上⑵当0a<时.抛物线开口向下一次项系数b 决定对称轴的位置在二次项系数a确定的前提下.b决定了抛物线的对称轴．（同左异右b为对称轴为y轴）2.根据二次函数图像判断a 、b 、c 关系式与0的关系7．（2021秋•新抚区期末）如图.已知点A （﹣1.0）和点B （1.1）.若抛物线y ＝x 2+c 与线段AB 有公共点.则c 的取值范围是（）A ．﹣1≤c ≤0B ．﹣1≤c ≤C ．﹣1≤c ≤D ．0≤c ≤常数项系数c决定抛物线与y 轴的交点的位置⑴ 当0c >时.抛物线与y 轴的交点在x 轴上方⑵ 当0c =时.抛物线与y 轴的交点为坐标原点⑶ 当0c <时.抛物线与y 轴的交点在x 轴下方ac 4b2-决定抛物线与x 轴的交点个数b2－4ac ＞0时.抛物线与x 轴有2个交点;b2－4ac ＝0时.抛物线与x 轴有1个交点; b2－4ac ＜0时.抛物线与x 轴没有交点决定抛物线与x 轴的交点个数关系式实质2a+b实质式结合a 的正负比较a2b-与1关系 2a+b实质式结合a 的正负比较a2b-与-1关系 a+b+c 实质是令x=1.看纵坐标正负 a -b+c 实质是令x=-1.看纵坐标正负 4a+2b+c 实质是令x=2.看纵坐标正负 4a -2b+c实质是令x=-2.看纵坐标正负【答案】C【解答】解：设AB所在直线为y＝kx+b.将（﹣1.0）.（1.1）代入y＝kx+b得.∴y＝x+.如图.当抛物线与线段AB相切时.令x+＝x2+c.整理得x2﹣x﹣+c＝0.∴Δ＝（﹣）2﹣4（﹣+c）＝0.解得c＝.c减小.抛物线向下移动.当抛物线经过点A（﹣1.0）时.将（﹣1.0）代入y＝x2+c得0＝1+c.解得c＝﹣1.∴﹣1≤c≤满足题意．故选：C．8．（2021秋•肃州区期末）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示.在下列五个结论中：①2a﹣b＜0；②abc＜0；③a+b+c＜0；④a﹣b+c＞0；⑤4a+2b+c＞0．其中正确的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】C【解答】解：∵抛物线开口向上.∴a＞0.∵0＜﹣＜1.∴b＜0.2a﹣b＞0.①不正确.不符合题意．∵抛物线与y轴交点在x轴下方.∴c＜0.∴abc＞0.②不正确.不符合题意．∵x＝1时.y＜0.∴a+b+c＜0.③正确.符合题意．∵x＝﹣1时.y＞0.∴a﹣b+c＞0.④正确.符合题意．∵x＝2时.y＞0.∴4a+2b+c＞0.⑤正确.符合题意．故选：C1．（2021秋•五常市期末）抛物线y＝x2+2x﹣3的对称轴是直线（）A．x＝﹣2B．x＝﹣1C．x＝1D．x＝2【答案】B【解答】解：∵y＝x2+2x﹣3.∴抛物线对称轴为直线x＝﹣＝﹣1.故选：B．2．（2021秋•呼和浩特期末）关于二次函数y＝2x2+4x﹣1.下列说法正确的是（）A．图象与y轴的交点坐标为（0.1）B．当x＜1时.y的值随x值的增大而减小C．图象的顶点坐标为（﹣1.﹣3）D．图象的对称轴在y轴的右侧【答案】C【解答】解：∵y＝2x2+4x﹣1＝2（x+1）2﹣3.∴当x＝0时.y＝﹣1.故选项A错误.该函数的对称轴是直线x＝﹣1.当x＜﹣1时.y随x的增大而减小.故选项B错误.图象的顶点坐标为（﹣1.﹣3）.故选项C正确.图象的对称轴在y轴的左侧.故选项D错误.故选：C．3．（2021春•岳麓区校级期末）已知抛物线y＝﹣（x+1）2上的两点A（﹣4.4.y1）和B （﹣3.3.y2）.那么下列结论一定成立的是（）A．0＜y2＜y1B．0＜y1＜y2C．y1＜y2＜0D．y2＜y1＜0【答案】C【解答】解：∵y＝﹣（x+1）2.∴二次函数图象开口向下.对称轴为直线x＝﹣1.顶点为（﹣1.0）.∵A（﹣4.4.y1）和B（﹣3.3.y2）.∴|﹣1+4.4|＞|﹣1+3.3|.∴y1＜y2＜0.故选：C．4．（2021秋•克东县期末）抛物线y＝x2﹣2x﹣4的顶点M关于坐标原点O的对称点为N.则点N的坐标为（）A．（1.﹣5）B．（1.5）C．（﹣1.5）D．（﹣1.﹣5）【答案】C【解答】解：∵抛物线y＝x2﹣2x﹣4＝（x﹣1）2﹣5.∴该抛物线的顶点M的坐标为（1.﹣5）.∴顶点M关于坐标原点O的对称点为N的坐标为（﹣1.5）.故选：C．5．（2021秋•龙江县期末）对称轴为直线x＝1的抛物线y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数.且a≠0）如图所示.现有结论：①abc＜0.②b2＞4ac.③3a+c＞0.④ac﹣bc+c2＜0．其中结论正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】C【解答】解：∵抛物线开口向上.∴a＞0.∵抛物线对称轴为直线x＝﹣＝1.∴b＝﹣2a＜0.∵抛物线与y轴交点在x轴下方.∴c＜0.∴abc＞0.①错误．∵抛物线与x轴有2个交点.∴b2﹣4ac＞0.∴b2＞4ac.②正确．∵b＝﹣2a.∴y＝ax2﹣2ax+c.由图象可得x＝﹣1时y＞0.∴a+2a+c＝3a+c＞0.③正确．∵c＜0.∴ac﹣bc+c2＜0可整理为a﹣b+c＞0.∵x＝﹣1时y＞0.∴a﹣b+c＞0.④正确．故选：C．1．（2021•兰州）二次函数y＝x2+4x+1的图象的对称轴是（）A．x＝2B．x＝4C．x＝﹣2D．x＝﹣4【答案】C【解答】解：∵二次函数y＝x2+4x+1.∴抛物线对称轴为直线x＝﹣＝﹣2．故选：C．2．（2021•广州）抛物线y＝ax2+bx+c经过点（﹣1.0）、（3.0）.且与y轴交于点（0.﹣5）.则当x＝2时.y的值为（）A．﹣5B．﹣3C．﹣1D．5【答案】A【解答】解：如图∵抛物线y＝ax2+bx+c经过点（﹣1.0）、（3.0）.且与y轴交于点（0.﹣5）.∴可画出上图.∵抛物线对称轴x＝＝1.∴点（0.﹣5）的对称点是（2.﹣5）.∴当x＝2时.y的值为﹣5．故选：A．3．（2021•常州）已知二次函数y＝（a﹣1）x2.当x＞0时.y随x增大而增大.则实数a 的取值范围是（）A．a＞0B．a＞1C．a≠1D．a＜1【答案】B【解答】解：∵二次函数y＝（a﹣1）x2.当x＞0时.y随x增大而增大.∴a﹣1＞0.∴a＞1.故选：B．4．（2021•阜新）如图.二次函数y＝a（x+2）2+k的图象与x轴交于A.B（﹣1.0）两点.则下列说法正确的是（）A．a＜0B．点A的坐标为（﹣4.0）C．当x＜0时.y随x的增大而减小D．图象的对称轴为直线x＝﹣2【答案】D【解答】解：∵二次函数y＝a（x+2）2+k的图象开口方向向上.∴a＞0.故A错误.∵图象对称轴为直线x＝﹣2.且过B（﹣1.0）.∴A点的坐标为（﹣3.0）.故B错误.D正确.由图象知.当x＜0时.由图象可知y随x的增大先减小后增大.故C错误.故选：D．5．（2021•深圳）二次函数y＝ax2+bx+1的图象与一次函数y＝2ax+b在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）A．B．C．D．【答案】A【解答】解：A、由抛物线可知.a＞0.b＜0.c＝1.对称轴为直线x＝﹣.由直线可知.a ＞0.b＜0.直线经过点（﹣.0）.故本选项符合题意；B、由抛物线可知.对称轴为直线x＝﹣.直线不经过点（﹣.0）.故本选项不符合题意；C、由抛物线可知.对称轴为直线x＝﹣.直线不经过点（﹣.0）.故本选项不符合题意；D、由抛物线可知.对称轴为直线x＝﹣.直线不经过点（﹣.0）.故本选项不符合题意；故选：A．6．（2021•阿坝州）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示.下列说法错误的是（）A．a＜0.b＞0B．b2﹣4ac＞0C．方程ax2+bx+c＝0的解是x1＝5.x2＝﹣1D．不等式ax2+bx+c＞0的解集是0＜x＜5【答案】D【解答】解：由图象可知.抛物线开口向下.所以a＜0；对称轴为直线x＝﹣＝2.所以b＝﹣4a.所以b＞0.故A正确．因为抛物线与x轴有两个交点.所以b2﹣4ac＞0.故B正确．由图象和对称轴公式可知.抛物线与x轴交于点（5.0）和（﹣1.0）.所以方程ax2+bx+c ＝0的解是x1＝5.x2＝﹣1.故C正确．由图象可知.不等式ax2+bx+c＞0的解集是﹣1＜x＜5.故D错误．故选：D．7．（2021•雅安）定义：min{a.b}＝.若函数y＝min{x+1.﹣x2+2x+3}.则该函数的最大值为（）A．0B．2C．3D．4【答案】C【解答】解：x+1＝﹣x2+2x+3.解得x＝﹣1或x＝2．∴y＝.把x＝2代入y＝x+1得y＝3.∴函数最大值为y＝3．故选：C．8．（2021•烟台）如图.二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点A（﹣1.0）.B（3.0）.与y 轴交于点C．下列结论：①ac＞0；②当x＞0时.y随x的增大而增大；③3a+c＝0；④a+b≥am2+bm．其中正确的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】B【解答】解：把点A（﹣1.0）.B（3.0）代入二次函数y＝ax2+bx+c.可得二次函数的解析式为：y＝ax2﹣2ax﹣3a.∵该函数图象开口方向向下.∴a＜0.∴b＝﹣2a＞0.c＝﹣3a＞0.∴ac＜0.3a+c＝0.①错误.③正确；∵对称轴为直线：x＝﹣＝1.∴x＜1时.y随x的增大而增大.x＞1时.y随x的增大而减小；②错误；∴当x＝1时.函数取得最大值.即对于任意的m.有a+b+c≥am2+bm+c.∴a+b≥am2+bm.故④正确．综上.正确的个数有2个.故选：B．9．（2021•徐州）如图.点A、B在y＝x2的图象上．已知A、B的横坐标分别为﹣2、4.直线AB与y轴交于点C.连接OA、OB．（1）求直线AB的函数表达式；（2）求△AOB的面积；（3）若函数y＝x2的图象上存在点P.使△P AB的面积等于△AOB的面积的一半.则这样的点P共有个．【答案】（1）y＝+2 （2）6 （3）4【解答】解：（1）∵点A、B在y＝x2的图象上.A、B的横坐标分别为﹣2、4.∴A（﹣2.1）.B（4.4）.设直线AB的解析式为y＝kx+b.∴.解得.∴直线AB的解析式为y＝+2；（2）在y＝+2中.令x＝0.则y＝2.∴C的坐标为（0.2）.∴OC＝2.∴S△AOB＝S△AOC+S△BOC＝+＝6．（3）过OC的中点.作AB的平行线交抛物线两个交点P1、P2.此时△P1AB的面积和△P2AB的面积等于△AOB的面积的一半.作直线P1P2关于直线AB的对称直线.交抛物线两个交点P3、P4.此时△P3AB的面积和△P4AB的面积等于△AOB的面积的一半.所以这样的点P共有4个.故答案为4．1．（2021•龙湾区模拟）下列函数中.是二次函数的是（）A．y＝6x2+1B．y＝6x+1C．y＝D．y＝﹣+1【答案】A【解答】解：A．是二次函数.故本选项符合题意；B．是一次函数.不是二次函数.故本选项不符合题意；C．是反比例函数.不是二次函数.故本选项不符合题意；D．等式的右边是分式.不是整式.不是二次函数.故本选项不符合题意；故选：A．2．（2021•安徽模拟）在平面直角坐标系中.A的坐标为（1.﹣2）.B的坐标为（﹣1.﹣5）.若y关于x的二次函数y＝﹣x2+2mx﹣m2﹣1在﹣1≤x≤1段的图象始终在线段AB 的下方.则m的取值范围是（）A．m＜﹣3B．m＞2C．m＜﹣2或m＞2D．m＜﹣3或m＞2【答案】D【解答】解：∵y关于x的二次函数为y＝﹣x2+2mx﹣m2﹣1.∴顶点式为y＝﹣（x﹣m）2﹣1.∴抛物线顶点为（m.﹣1）.当﹣1≤m≤1时.∵﹣1＞﹣2＞﹣5.∴顶点在线段AB的上方.不符合题意；当m＜﹣1时.若二次函数的图象与线段AB交于点B.则当x＝﹣1时.y＝﹣（﹣1﹣m）2﹣1＝﹣5.解得：m1＝﹣3.m2＝1（舍去）.∴要使二次函数的图象在线段AB的下方.则需要将图象向左平移.∴m＜﹣3.当m＞1时.若二次函数图象与线段AB交于点A.则当x＝1时.y＝﹣（1﹣m）2﹣1＝﹣2.解得：m1＝2.m2＝0（舍去）.∴而要使二次函数始终在线段AB下方.则需要将图象向右平移.∴m＞2.综上所述：m＜﹣3或m＞2．故选：D．3．（2021•陕西模拟）如图.若二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的对称轴为x＝1.与y 轴交于点C．与x轴交于点A、点B（﹣1.0）．则：①二次函数的最大值为1；②4a ﹣2b+c＞0；③b2﹣4ac＞0；④当y＜0时.x＜﹣1或x＞3．其中错误的个数是（）A．I B．2C．3D．4【答案】B【解答】解：∵对称轴为直线x＝1.∴b＝﹣2a.∵B（﹣1.0）.∴A（3.0）.∴a﹣b+c＝0.∴c＝﹣3a.∴y＝ax2﹣2ax﹣3a；①当x＝1时.函数的最大值是a+b+c.故①不正确；②当x＝﹣2时.y＜0.∴4a﹣2b+c＜0.故②不正确；③∵函数与x轴有两个不同的交点.∴Δ＝b2﹣4ac＞0.故③正确；④由图象可知当y＜0时.x＜﹣1或x＞3.故④正确；故选：B．。

中考数学常考易错点《二次函数》知识点梳理

中考数学常考易错点《二次函数》知识点梳理《二次函数》是中考数学中的重要知识点之一，也是考试中容易出错的部分。

为了帮助同学们复习和避免常见错误，下面将对《二次函数》的知识点进行梳理，详细介绍其中的易错点。

《二次函数》是形如y = ax² + bx + c的函数，其中a、b和c是常数，并且a ≠。

它的图像是一个开口向上或向下的抛物线。

下面我们来逐个讲解常见易错点。

1.函数的定义域和值域：在解析式中，x可以取任意实数值，所以函数的定义域是全体实数集R。

而在图像上，如果a>，则函数的值域是[,+∞)；如果a<，则函数的值域是(-∞,]。

错误经常出在对值域的判断上，容易忽略函数的开口方向。

2.抛物线的开口和对称轴：当a>时，抛物线开口向上，对称轴是x=-b/2a；当a<时，抛物线开口向下，对称轴是x=-b/2a。

易错点在于判断抛物线的开口方向和对称轴的判断。

3.抛物线的顶点和轴对称性：顶点坐标为(-b/2a,f(-b/2a))，其中f(x) = ax² + bx + c。

抛物线与对称轴关于顶点具有轴对称性，即对称轴上的点到顶点的距离与对称轴上的点到抛物线的距离相等。

4.求解方程和不等式：与二次函数相关的方程和不等式是中考数学考试中的常见题型。

对于二次方程ax² + bx + c = ，可以使用因式分解、配方法和求根公式等方法求解。

对于二次不等式ax² + bx + c > 或ax² + bx + c < ，可以通过画图法或求解方程法来确定解集。

5.函数的增减性和极值：二次函数的增减性与a的正负有关，当a>时，函数递增；当a<时，函数递减。

相应地，函数的极值与抛物线的开口方向相反，开口向上时有最小值，开口向下时有最大值。

6.函数与坐标轴的交点：函数与x轴的交点称为零点，可以通过求解方程ax² + bx + c = 来求得。

中考考点_二次函数知识点汇总(全)

. .内容：1、一元一次函数；2、一元二次函数；3、反比例函数★ 二次函数知识点一、二次函数概念：1．二次函数的概念：一般地，形如2 y ax bx c（ a ，b ，c 是常数， a 0 ）的函数，叫做二次函数。

这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数 a 0 ，而b ，c 可以为零．二次函数的定义域是全体实数．2. 二次函数 2 y ax bx c 的结构特征：⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量 x 的二次式， x 的最高次数是 2．⑵ a ，b ，c 是常数， a 是二次项系数， b 是一次项系数， c 是常数项．二、二次函数的基本形式：21. 二次函数基本形式：二次函数 y axbx c2用配方法可化成： y a x hk的形式，其中b 2 a， k 4 a c 4 ab2h.2.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：①y ax 2 2 ；② y axk；③y a x h 2 2；④ y a x hk2 ；⑤ y axbxc三、二次函数的性质：1、2 y ax 的性质：a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。

a 的符号开口方向顶点坐标对称轴性质x时， y 随 x 的增大而增大； x 0 时， y 0a向上 0，0 y 轴随 x 的增大而减小； x 0 时， y 有最小值 0 ．a 向下0，0 y轴x 0 时， y 随 x 的增大而减小； x 0 时，yWord 完美格式. .随x 的增大而增大；x 0 时，y 有最大值0 ．3.2y ax c 的性质：上加下减。

a 的符号开口方向顶点坐标对称轴性质x 时， y 随 x 的增大而增大； x 0 时，ya 向上0，c y轴随x 的增大而减小；x 0 时，y 有最小值 c ．x 时， y 随 x 的增大而减小； x 0 时，ya 向下0，c y轴随x 的增大而增大；x 0 时，y 有最大值 c ．2y a x h4.的性质：左加右减。

第二十二章《二次函数》知识点总结人教版数学九年级上册

《二次函数》知识点总结【知识点1 二次函数的表达式】1. 一般式： . 顶点坐标： . 对称轴： .2. 顶点式： .顶点坐标： . 对称轴： . 【知识点2 二次函数的图象与性质】 1. 二次项系数a 决定抛物线的开口方向；①当0>a 时，抛物线的； ②当0<a 时，抛物线的； ③ ||a 越大，抛物线的开口 .3.常数项c 决定抛物线与y 轴交点的位置 . ①当0=c ，抛物线与y 轴交于； ②当0>c ，抛物线与y 轴交于； ③当0<c ，抛物线与y 轴交于 .5.根据a 、b 、c 的符号，画出二次函数的草图:①已知 a <0、b <0、c <0 ②已知 a>0、b <0、c >0 6.描述下面二次函数c bx ax y ++=2的增减性：【知识点3 抛物线与坐标轴的交点】 1. 抛物线c bx ax y ++=2与x 轴的交点个数，即02=++c bx ax . ①当，抛物线与x 轴有两个交点； ②当，抛物线与x 轴有1个交点； ③当，抛物线与x 轴有没有交点；2.求抛物线c bx ax y ++=2与x 轴的交点的过程： 3.求抛物线c bx ax y ++=2与y 轴的交点的过程：4.函数 y = ax 2 + bx + c 的图象如图，那么 ①方程 ax 2 + bx + c =2 的根是 ______________;2.系数a 和b 共同决定抛物线对称轴的位置 . ①a 和b 同号，对称轴在原点的； ②a 和b 异号， .4.根据图象判断出a 、b 、c 的符号：方法总结：第一步：求出对称轴；第二步：用箭头在对称轴两侧标出上升和下降；第三步：描述增减性.①当时，随的增大而减小； ②当时，随的增大而增大；∵轴上的点，为零，∴ . ∵轴上的点，为零，∴ .②不等式 ax 2 + bx + c >0 的解集是 ___________; ③不等式 ax 2 + bx + c <2 的解集是 _________.④ a + b + c 0 ，4a 2 b + c 0 ， 9a +3 b + c 0 .【知识点4 抛物线的平移】二次函数 y = ax 2 + bx + c 的平移口诀：“上下平移，；左右平移， .” 【 * *知识点5 抛物线的对称 ** 】抛物线c bx ax y ++=2关于x 轴对称的解析式为 . 抛物线c bx ax y ++=2关于y 轴对称的解析式为 . 【 * *知识点6 二次函数图象的画法 ** 】画出二次函数3-2-2x x y =的的图象.【典型例题】1.m2+1+2x −是二次函数，则m 的值为( )C. −1D. 1或−12.【求顶点坐标】抛物线y =2(x −3)4的顶点坐标是( ) A. (3,4)B. (−3,4)C. (3,−4)D. (2,4)3.【与坐标轴的交点】抛物线y =−x 2+4x −4与坐标轴的交点个数为( ) A. 0B. 1C. 2D. 34.【平移】将函数y =x 2的图象用下列方法平移后，所得的图象不经过点A(1,4)的方法是( ) A. 向左平移1个单位 B. 向右平移3个单位C. 向上平移3个单位D. 向下平移1个单位5.【平移】抛物线y =x 2+6x +7可由抛物线y =x 2如何平移得到的( )A. 先向左平移3个单位，再向下平移2个单位B. 先向左平移6个单位，再向上平移7个单位C. 先向上平移2个单位，再向左平移3个单位D. 先向右平移3个单位，再向上平移2个单位 6.【图象与性质】对于抛物线y =−3(x +1)2−2，下列说法正确的是( ) A. 抛物线开口向上 B. 当x >−1时，y 随x 的增大而减小 C. 函数最小值为−2D. 顶点坐标为(1,−2)7.【增减性】已知(−3,y 1)，(−1,y 2)，(2,y 3)是抛物线y =−3x 2+6x +m 上的三个点.则( ) A. y 1<y 3<y 2B. y 3<y 2<y 1C. y 1<y 2<y 3D. y 2<y 1<y 38.【最值】已知二次函数y=x2−4x+2，关于该函数在−1≤x≤3的取值范围内，下列说法正确的是( )A. 有最大值−1，有最小值−2B. 有最大值0，有最小值−1C. 有最大值7，有最小值−1D. 有最大值7，有最小值−29.【系数与图象】二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)与一次函数y=ax+c在同一坐标系中的图象大致为( )A. B. C. D.10.【求解析式】如图所示，已知二次函数y=ax2+bx+c的图象，求二次函数的解析式．11.如图，已知二次函数y=ax2−4x+c的图象经过点A(−1,−1)和点B(3,−9)．(1)求该二次函数的解析式、对称轴及顶点坐标；(2)点C是抛物线与x轴的一个交点，点D是抛物线与y轴的交点，求三角形ACD 的面积；(3)已知点M（x1，y1）和N（1+x1，y2）在抛物线对称轴的右侧，判段y1和y2的大小.12.在运动会比赛时，九年级的一名男同学推铅球，已知铅球经过的路线是某二次函数图象的一部分(如图所示)，如果这名男同学的出手处A点的坐标为(0,2)，铅球路线的最高处B点的坐标为(6,5)．(1)求出这个二次函数的解析式；(2)请求出这名男同学比赛时的成绩？13.如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m．(1)建立平面直角坐标系，求抛物线的解析式；(2)如果水面下降1m，则水面宽度是多少米？14.某商场一种商品的进价为每件30元，售价为每件50元．每天可以销售48件，为尽快减少库存，商场决定降价促销．(1)若该商品连续两次下调相同的百分率后售价降至每件40.5元，求两次下降的百分率；(2)经调查，若该商品每降价2元，每天可多销售16件，那么每天要想获得最大利润，每件售价应多少元？最大利润是多少？。

[精]中考数学考点专题-二次函数

中考数学考点专题-二次函数二次函数1．二次函数的概念：一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系：y=ax2+bx+c(a≠0，a、b、c为常数)，则称y为x的二次函数。

抛物线叫做二次函数的一般式。

2.二次函数y=ax2 +bx+c(a≠0)的图像与性质（1）对称轴：（2）顶点坐标：（3）与y轴交点坐标（0，c）（4）增减性：当a>0时，对称轴左边，y随x增大而减小；对称轴右边，y随x增大而增大；当a<0时，对称轴左边，y随x增大而增大；对称轴右边，y随x增大而减小。

3.二次函数的解析式三种形式。

（1）一般式y=ax2 +bx+c(a≠0).已知图像上三点或三对、的值，通常选择一般式.（2）顶点式已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式。

（3）交点式已知图像与轴的交点坐标、，通常选用交点式。

4．根据图像判断a,b,c的符号（1）a 确定开口方向：当a>0时，抛物线的开口向上；当a<0时，抛物线的开口向下。

（2）b ——对称轴与a 左同右异。

（3）抛物线与y轴交点坐标（0，c）5．二次函数与一元二次方程的关系抛物线y=ax2 +bx+c与x轴交点的横坐标x1, x2 是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根。

抛物线y=ax2 +bx+c，当y=0时，抛物线便转化为一元二次方程ax2 +bx+c=0 >0时，一元二次方程有两个不相等的实根，二次函数图像与x轴有两个交点；=0时，一元二次方程有两个相等的实根，二次函数图像与x轴有一个交点；<0时，一元二次方程有不等的实根，二次函数图像与x轴没有交点。

6．函数平移规律：左加右减、上加下减.图像平移步骤（1）配方为：，确定顶点（h,k）（2）对x轴，左加右减；对y轴，上加下减。

7.二次函数的对称性二次函数是轴对称图形，有这样一个结论：当横坐标为x1, x2 其对应的纵坐标相等，那么对称轴【例题1】（2019湖北荆州）二次函数y＝﹣2x2﹣4x+5的最大值是．【答案】7【解析】y＝﹣2x2﹣4x+5＝﹣2（x+1）2+7，即二次函数y＝﹣x2﹣4x+5的最大值是7，故答案为：7．【例题2】（2019广西贺州）已知抛物线的对称轴是直线，其部分图象如图所示，下列说法中：①；②；③；④当时，，正确的是（填写序号）．【答案】①③④【解析】根据图象可得：，，对称轴：，，，，，故①正确；把代入函数关系式中得：，由抛物线的对称轴是直线，且过点，可得当时，，，故②错误；，，即：，故③正确；由图形可以直接看出④正确．故答案为：①③④．【例题3】（2019贵州省毕节市）某山区不仅有美丽风光，也有许多令人喜爱的土特产，为实现脱贫奔小康，某村织村民加工包装土特产销售给游客，以增加村民收入．已知某种士特产每袋成本10元．试销阶段每袋的销售价x（元）与该士特产的日销售量y（袋）之间的关系如表：x（元）152030…y（袋）252010…若日销售量y是销售价x的一次函数，试求：（1）日销售量y（袋）与销售价x（元）的函数关系式；（2）假设后续销售情况与试销阶段效果相同，要使这种土特产每日销售的利润最大，每袋的销售价应定为多少元？每日销售的最大利润是多少元【答案】见解析。

二次函数的十二个考点

二次函数的十二个考点
1. 二次函数的基本形式：y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数。

2. 二次函数的图像特征：开口方向、顶点位置、对称轴等。

3. 二次函数的顶点形式：y = a(x - h)^2 + k，其中(h, k)为顶点坐标。

4. 二次函数的零点：即方程y = ax^2 + bx + c的解。

5. 二次函数的判别式：Δ = b^2 - 4ac，用于判断二次函数的零点情况。

6. 二次函数的平移：对二次函数进行平移变换，改变顶点位置。

7. 二次函数的拉伸和压缩：改变二次函数的开口大小。

8. 二次函数的对称性：二次函数关于其顶点的对称性。

9. 二次函数的最值问题：求解二次函数的最大值或最小值。

10. 二次函数与直线的关系：求解二次函数与直线的交点。

11. 二次函数的应用：在实际问题中，如抛物线的轨迹、物体的抛射问题等。

12. 二次函数的图像变换：通过改变a、b、c的值，观察二次函数图像的变化。

二次函数中考考点分析.docx

二次函数中考考点分析二次函数是初等函数屮的重要函数，衣解决各类数学问题和实际问题屮有着广泛的应用，是近几年河北屮考热点z—。

学习二次函数，对于学生数形结合、函数方程等重要数学思想方法的培养，对拓宽学生解题思路、发展智力、培养能力具有I-分重要意义。

二次函数主要考查表达式、顶点坐标、开口方向、对称轴、最大（小）值、用二次函数模型解决生活实际问题。

其中顶点坐标、开口方向、对称轴、最大（小）值、图象与坐标轴的交点等主要以填空题、选择题出现。

利用二次函数解决生活实际问题以及二次函数与几何知识结合的综合题以解答题形式出现：一类是二次图象及性质的纯数学问题，如2010年河北中考11题,2009河北中考22题,2007河北中考22题;一类是利用二次函数性质结合其它知识解决实际问题的题目,如2010年河北中考26题,2008河北中考25题, 2006河北中考24题。

考点1：二次函数的有关概念一般的，形如y=ax?+bx+c （a,b,c是常数，洋0）的函数叫做二次函数。

例口取哪些值时，函数》==（加2一用）"+血兀+ （加+1）是以x为白变量的二次函数？（1）抛物线的形状二次函数y=ax?+bx+c （a^O）的图像是一条抛物线，当a>0时，抛物线开口向上；当avO时，抛物线开口向下。

（2）抛物线的平移二次函数y=ax?|nj右平移h个单位，向上平移k个单位后得到新的二次函数y=a（x- h）2+k,进一步化简计算得到二次函数y=ax?+bx+co新函数与原来函数形状相同，只是位置不同。

（3）抛物线与坐标轴的交点抛物线与x轴相交时y=0,抛物线与y轴相交时x=0。

（4）抛物线y=ax2+bx+C中a、b、c的作用a决定当开口方向，a>0时，抛物线开口向上；当avO时，抛物线开口向下。

a和b共同决定对称轴。

C决定与y轴交点。

（5）抛物线顶点坐标、对称轴、最大（小）值顶点式：y=a （x-h ）2+k 顶点坐标触,k ）,射称轴>诽,最大（小）值kp 兀抠西2y=ax?+bx+c 顶点坐标' 加 Aa 7 ,对称轴一 2「最大（小）例1.（2008河北屮考9题）如图4,正方形曲CD 的边长为10,四个全等的小正方形的例2. （2009河幷屮考9题）某车的刹车距离y（m ）（x>0）,若该车某次的刹车距离为5 m,则开始刹车时的速度ft. 若小正力形的边长为x 函获牙系的"倒图象龙图4A. o 10>XB. 0 y = — x 间满足二次函数 20 A. 40 m/sC. 10 m/s A例3. （2010河北中考11题）如点A, B 均在抛物线上, "+加+c 的对称轴为“2且AB 与x 轴华彳亍,、4中点A 的"坐标为（0, 3）,则点B 的坐标为E5A. (2, 3)B. (3, 2)C. (3, 3)D. $4, 3）例4. （2011河北屮考8題）厂小球被抛出后，距离地面的高度h （米）和飞行时间t （秒）满足卞面函数哭系式h 二- t-1尸+6,则小球距离地血的最大高度是（0】）• 7弈例5. （2009\迥堀屮呀22题）已知抛物线八处2 +加经过点A （-3, - 3）和点尸（/・30),且/工0・（1）若该抛物线的对称轴经过点力，如图12,请通过观察图象，指出此时y 的最小值, 并写出/的值；（2）若心-4,求小心的值，并指出此时抛物线的开口方向；（3）頁接写出使该抛物线开口向下的t 的一个值.与开始刹车时的速度X （m/s ） Z对询啪］正方的顶点1@0, 且0 < 1 阴影部分的面稗曲°5辭注押行或垂 C. D. io x 则能反映o ” B. ：S(F I 3/ \ 1 A. 1米 A I 图12例6. （2011河北屮考26题）厂\/ 了坐标系屮，点P 从原点O 出发，沿 x 轴向右以每秒1个单位长的速度迄” ~ ' I 物线y=x 2+bx+c 经过点O 和点P,已知矩形ABCD 的三个顶点为A （l,（ , （1）求c, b （用含t 的代数式表示）（2）当4vtv5时，设抛物线分别与线段AB,CD 交于点M, N① 在点P 的运动过程屮，你认为ZAMP 的大小是否会变化？若变化，说明理由；若不变，求出ZAMP 的值 21② 求AMPN 的面积S 与t 的函数关系式，并求t 为何值时，S= 8（3）在矩形ABCD 的内部（不含边界），把横、纵坐标都是整数的点称为“好点”，若抛物线将这些“好点”分成数量相等的两部分，请直接写出t 的取值范围。

2020人教版数学中考考点(3.4)：二次函数(含答案)

2020人教版数学中考考点（3.4）：二次函数【★★★★】总分：100分班级:__________ 姓名：__________ 学号：__________ 得分：__________说明：（1）本节考点：二次函数的图象、性质及应用，二次函数的三种形式，待定系数法；（2）最大难度：☆☆☆☆一、选择题（共10小题；共30分）1. 如果将抛物线向下平移个单位，那么所得新抛物线的表达式是A. B.C. D.2. 若二次函数的图象经过，，，，，则，，的大小关系是A. B. C. D.3. 已知二次函数，当时，的值随值的增大而减小，则实数的取值范围是A. B. C. D.4. 对于抛物线，当时，，则这条抛物线的顶点一定在A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限5. 以为自变量的二次函数的图象不经过第三象限，则实数的取值范围是A. B. 或C. D.6. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过平移得到抛物线，其对称轴与两段抛物线所围成的阴影部分的面积为A. B. C. D.7. 已知二次函数的图象如图所示，给出以下结论：①；②；③；④．其中所有正确结论的序号是A. ③④B. ②③C. ①④D. ①②③8. 定义：若点在函数的图象上，将以为二次项系数，为一次项系数构造的二次函数称为函数的一个“派生函数”．例如：点在函数的图象上，则函数称为函数的一个“派生函数”．现给出以下两个命题：（1）存在函数的一个“派生函数”，其图象的对称轴在轴的右侧（2）函数的所有“派生函数”的图象都经过同一点，下列判断正确的是A. 命题（1）与命题（2）都是真命题B. 命题（1）与命题（2）都是假命题C. 命题（1）是假命题，命题（2）是真命题D. 命题（1）是真命题，命题（2）是假命题9. 如图，正方形的边长为，动点，同时从点出发，以的速度分别沿和的路径向点运动，设运动时间为（单位：），四边形的面积为（单位：），则与之间函数关系可以用图象表示为A. B.C. D.10. 如图，在四边形中，，，，设的长为，四边形的面积为，则与之间的函数关系式是A. B. C. D.二、填空题（共6小题；共18分）11. 把抛物线向右平移个单位，然后向上平移个单位，则平移后抛物线的解析式为．12. 如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长是，宽是，抛物线的最高点到路面的距离为米，该抛物线的函数表达式为．13. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴的负半轴于点．点是轴正半轴上一点，点关于点的对称点恰好落在抛物线上．过点作轴的平行线交抛物线于另一点．若点的横坐标为，则的长为．14. 已知二次函数中，函数值与自变量的部分对应值如下表：则关于的一元二次方程的根是．15. 如图，抛物线与轴交于点，点，点是抛物线上的动点．若是以为底的等腰三角形，则点的坐标为．16. 已知二次函数的图象如图所示，给出以下结论：①；②；③；④；⑤，其中结论正确的是．（填正确结论的序号）三、解答题（共5小题；共52分）17. 校运会上，小明参加铅球比赛，若某次试掷，铅球飞行的高度与水平距离之间的函数关系式为．求：（1）铅球的出手时的高度；（2）小明这次试掷的成绩．18. 某商店购买一批单价为元的日用品，如果以单价元销售，那么半月内可以售出件．据销售经验，提高销售单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高一元，销售量相应减少件．如何提高销售价，才能在半月内获得最大利润?19. 如图，某公路隧道横截面为抛物线，其最大高度为米，底部宽度为米．现以点为原点，所在直线为轴建立直角坐标系．（1）直接写出点及抛物线顶点的坐标；（2）求这条抛物线的解析式；（3）若要搭建一个矩形“支撑架” ，使，点在抛物线上，，点在地面上，则这个“支撑架”总长的最大值是多少?20. 如图，在矩形中，，，是上的一个动点（不与，重合），过点的反比例函数的图象与边交于点．（1）当为的中点时，求该函数的解析式；（2）当为何值时，的面积最大，最大面积是多少?21. 如图，抛物线与轴交于，两点（在的左侧），与轴交于点，已知对称轴．（1）求抛物线的解析式；（2）将抛物线向下平移个单位长度，使平移后所得抛物线的顶点落在内（包括的边界），求的取值范围；（3）设点是抛物线上任意一点，点在直线上，能否成为以点为直角顶点的等腰直角三角形?若能，求出符合条件的点的坐标；若不能，请说明理由．答案第一部分1. C2. D 【解析】经过，，二次函数的对称轴，，，与对称轴的距离最远，最近，，．3. D 【解析】如图，抛物线开口向下，在对称轴右侧的值随值的增大而减小，所以为了满足题意，直线必须在对称轴或对称轴的右侧，建立不等式即可．4. C5. A【解析】因为二次函数的图象不经过第三象限，所以抛物线在轴的上方或在轴的下方经过一、二、四象限，当抛物线在轴的上方时，因为二次项系数，所以抛物线开口方向向上，所以，，解得；当抛物线在轴的下方经过一、二、四象限时，设抛物线与轴的交点的横坐标分别为，，所以，所以，①，②，③由①得，由②得，所以此种情况不存在，所以．6. B 【解析】根据抛物线解析式计算出的顶点坐标，过点作轴于点，根据抛物线的对称性可知阴影部分的面积等于矩形的面积，然后求解即可．7. B 【解析】时，；时，；因为，所以；因为，，，所以．8. C 【解析】（1）因为在上，所以和同号，所以对称轴在轴左侧，所以存在函数的一个“派生函数”，其图象的对称轴在轴的右侧是假命题．（2）因为函数的所有“派生函数”为，所以时，，所以所有“派生函数”为经过原点，所以函数的所有“派生函数”，的图象都进过同一点，是真命题．9. B 【解析】①时，；②时， .10. C【解析】过点作，垂足为 .设，则 .，，.而，，.， ..在中，，，即，又四边形的面积三角形的面积三角形的面积，．第二部分11.12.13.【解析】当时，，解得，，则，点关于点的对称点为，点的横坐标为，点的坐标为，抛物线解析式为，当时，，则，当时，，解得，，则，的长为．14. ；15.【解析】依题意，得，因为三角形是等腰三角形，所以，点在线段的垂直平分线上，线段的垂直平分线为：，解方程组：即：，解得：，所以，点的坐标为．16. ①②⑤【解析】函数与轴有两个交点，则其相应方程的判别式大于；由图象得，，对称抽；又解析式可以写成，当时，；且当时，．第三部分17. （1）当时，，铅球的出手时的高度为．（2）由题意可知，把代入解析式得：，解得，（舍去），即该运动员的成绩是米．18. 设销售单价为元，销售利润为元．根据题意，得当时，最大，这时，．所以，销售单价提高元，才能在半月内获得最大利润元．19. （1），．（2）根据顶点的坐标，可设抛物线的解析式为．将点代入解析式求得．所以这条抛物线的解析式为（3）设点的坐标为，则，．设这个支架的总长为．根据题意，得．则当时，最大所以这个"支撑架"总长的最大值是米．20. （1）在矩形中，，，，为的中点，，点在反比例函数的图象上，，该函数的解析式为．（2）由题意知，两点坐标分别为，，．当时，有最大值，最大值21. （1）因为抛物线的对称轴，，所以，因为抛物线过点，所以当时，．又因为抛物线过点，，所以所以所以抛物线的解析式为：．（2）因为，，所以直线解析式为，因为，所以顶点坐标为，因为对于直线，当时，；将抛物线向下平移个单位长度，所以当时，抛物线顶点落在上；当时，抛物线顶点落在上，所以将抛物线向下平移个单位长度，使平移后所得抛物线的顶点落在内（包括的边界），则．（3）设，，①当点在轴上方时，过点作垂直于轴，交轴与点，过点作垂直于的延长线于点，如图1．因为，所以是以点为直角顶点的等腰直角三角形，所以，，则，，在和中，所以，所以，因为，根据点坐标可得，且，所以，解得：或，所以或．②当点在轴下方时，过点作垂直于于点，过点作垂直于的延长线与点，如图 2．同理可得，所以，所以，，则，解得或．所以或．综上可得，符合条件的点的坐标是，，或．。

中考数学二次函数考点解析

中考数学二次函数考点解析中考数学二次函数考点解析I.定义与定义表达式普通地，自变量x和因变量y之间存在如下关系：y=ax^2+bx+c(a，b，c为常数，a0，且a决议函数的启齿方向，a0时，启齿方向向上，a0时，启齿方向向下,IaI还可以决议启齿大小,IaI越大启齿就越小,IaI越小启齿就越大.)那么称y为x的二次函数。

二次函数表达式的左边通常为二次三项式。

II.二次函数的三种表达式普通式：y=ax^2+bx+c(a，b，c为常数，a0)顶点式：y=a(x-h)^2+k [抛物线的顶点P(h，k)]交点式：y=a(x-x)(x-x ) [仅限于与x轴有交点A(x ，0)和 B(x，0)的抛物线]注：在3种方式的相互转化中，有如下关系:h=-b/2a k=(4ac-b^2)/4a x,x=(-bb^2-4ac)/2aIII.二次函数的图像在平面直角坐标系中作出二次函数y=x^2的图像，可以看出，二次函数的图像是一条抛物线。

IV.抛物线的性质1.抛物线是轴对称图形。

对称轴为直线 x = -b/2a。

对称轴与抛物线独一的交点为抛物线的顶点P。

特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴(即直线x=0)2.抛物线有一个顶点P，坐标为：P ( -b/2a ，(4ac-b^2)/4a )当-b/2a=0时，P在y轴上;当= b^2-4ac=0时，P在x轴上。

3.二次项系数a决议抛物线的启齿方向和大小。

当a0时，抛物线向上启齿;当a0时，抛物线向下启齿。

|a|越大，那么抛物线的启齿越小。

4.一次项系数b和二次项系数a共同决议对称轴的位置。

当a与b同号时(即ab0)，对称轴在y轴左;当a与b异号时(即ab0)，对称轴在y轴右。

5.常数项c决议抛物线与y轴交点。

抛物线与y轴交于(0，c)6.抛物线与x轴交点个数= b^2-4ac0时，抛物线与x轴有2个交点。

= b^2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点。

= b^2-4ac0时，抛物线与x轴没有交点。

二次函数中考考点

二次函数的图像和性质1.二次函数的定义：形如的函数叫二次函数。

限制条件（1）自变量的最高次数是；（2）二次项系数。

2．二次函数的解析式（表达式）——三种形式，重点是前两种。

（1）一般式：；（2）顶点式：y=a（x-h）2+k（a≠0），此时二次函数的顶点坐标为（，），对称轴是。

注意：顶点形式的最大优点是直接从解析式看出顶点坐标和对称轴，比较方便。

离开它用一般形式也可以。

（3）交点式（两点式）：设x1、x2是抛物线与x轴的两个交点的横坐标，则y=a（x-x1）（x-x2）此时抛物线的对称轴为直线x=221xx。

（4）对称点式：，其中（），（）为抛物线上关于对称轴对称的两个点。

注意：①当顶点在X轴上（即抛物线与X轴只有一个交点（0，x1））时，函数表达式为。

这个交点是抛物线的什么点？②是不是任意一个二次函数都可以写成交点形式？在什么条件下才有交点式？③利用这种形式只是解决相关问题要简便一些，直接用一般形式也可以。

实际上利用一般形式和顶点坐标公式可以解决二次函数的多数问题。

▲三种二次函数的解析式的联系：针对一般形式而言，顶点式：y=a（x-h）2+k（a≠0）中，h= ；k=当Δ=b2-4ac 时，才有两根式。

3、二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与性质 ----抛物线的特征---待定系数a,b,c的作用二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象是一条线，它是一个对称图形，抛物线与对称轴的交点叫抛物线的点。

这个结论成立的条件是自变量的取值范围是。

（1）形状----开口大小。

由决定，越大，开口越。

（2）开口方向：由决定。

当a>0时，函数开口方向向；当a<0时，函数开口方向向；（3）对称轴：直线x= ；注意：一次函数的图象是直线，但直线的解析式不一定是一次函数。

例如与坐标轴平行（垂直）的直线的解析式是X=K，或Y=K，它们为什么不是一次函数呢？（4）顶点坐标公式：（，）；利用顶点坐标公式的注意事项：当求得顶点横坐标后，可以用纵坐标公式，也可以不用纵坐标公式，而直接将横坐标代入哪里求得纵坐标。

2020重庆中考数学复习课件12第三章第四节二次函数的基本性质

A．1 B．2 C．3 D．4
考点二二次函数图象的平移
例3 (2019·绍兴)在平面直角坐标系中，抛物线y＝(x＋5)(x－3)经过变换后得到抛物线y＝(x＋3)(x－5)，则这个变换可以是( ) A．向左平移2个单位 B．向右平移2个单位 C．向左平移8个单位 D．向右平移8个单位
【分析】先将两个二次函数化为顶点式，再确定顶点的平移方向和单位长度，即可得解．【自主解答】∵抛物线C1：y＝(x＋5)(x－3)＝(x＋1)2－16，顶点坐标是 (－1，－16)，抛物线C2：y＝(x＋3)(x－5)＝(x－1)2－16，顶点坐标是 (1，－16)，∴将C1向右平移2个单位可得到C2.故选B.
x1 x2 2
－b 2a (－ b ，4ac b2 ) 2a 4a
(2)利用解析式判断函数图象 y
❷根据二次函数图象判断相关结论
＞
＜
＞
＞
＜
＞
＞
＝
＞
＞
＜
＞
＝
＝
＜
＝
❸二次函数图象与a，b，c的特殊关系
1
－2
知识点三二次函数图象的平移
❶平移的步骤：将抛物线解析式转化成顶点式y＝a(x－h)2＋k，确定其顶点坐标，再保持抛物线形状不变，平移其顶点坐标即可．
1．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，则下列结论中正确的是( ) A．abc＜0 B．2a＋b＜0 C．b2－4ac＜0 D．a＋b＋c＜0
2．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c＋2的图象如图所示，顶点为(－1， 0)．下列结论：①abc＜0；②b2－4ac＝0；③2a－b＝0；④4a－2b＋c＞ 0，其中正确的结论个数是( )
1．将抛物线y＝x2＋2向右平移1个单位后，所得新抛物线与y轴的交点坐

中考数学专题《二次函数》复习课件(共54张PPT)

当x b 时, y最小值为 4ac b2
2a
4a
y=ax2+bx+c(a<0)
b 2a
,
4ac 4a
b2
直线x b
2a
由a,b和c的符号确定
a<0,开口向下
在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小.
当x b 时, y最大值为 4ac b2
2a
例1：已知二次函数 y 1 x2 x 3
2
2
（1）求抛物线开口方向，对称轴和顶点M的坐标。
（2）设抛物线与y轴交于C点，与x轴交于A、B两
点，求C，A，B的坐标。
（3）x为何值时，y随的增大而减少，x为何值时，
y有最大（小）值，这个最大（小）值是多少？
（4）x为何值时，y<0？x为何值时，y>0？
写出满足此条件的抛物线的解析式.
解:抛物线y=ax2+bx+c与抛物线y=-x2-3x+7的形状相同
a=1或-1 又顶点在直线x=1上,且顶点到x轴的距离为5,
二次函数复习
二次函数知识点：
• 1、二次函数的定义 • 2、二次函数的图像及性质 • 3、求解析式的三种方法 • 4、a，b，c及相关符号的确定 • 5、抛物线的平移 • 6、二次函数与一元二次方程的关系 • 7、二次函数的应用题 • 8、二次函数的综合运用
1、二次函数的定义
• 定义： y=ax² ＋ bx ＋ c （ a 、 b 、 c 是常数， a ≠ 0）
a= ___. -2
2、二次函数的图像及性质
y
y
0
x
0
x
抛物线顶点坐标对称轴

二次函数中考复习题型总结归纳

中考专题之二次函数考点一：二次函数解析式【知识点】三种解析式形式 1.一般式：2+y ax bx c =+(a ≠0)．若已知条件是图象上的三个点，则设所求二次函数为2y ax bx c =++，将已知条件代入，求出a 、b 、c 的值．2.交点式（双根式）：12()()(0)y a x x x x a =--≠．若已知二次函数图象与x 轴的两个交点的坐标为(x 1，0)，(x 2，0)，设所求二次函数为12()()y a x x x x =--，将第三点(m ，n)的坐标(其中m 、n 为已知数)或其他已知条件代入，求出待定系数，最后将解析式化为一般形式． 3.顶点式：2()(0)y a x h k a =-+≠．若已知二次函数图象的顶点坐标或对称轴方程与最大值(或最小值)，设所求二次函数为2()y a x h k =-+，将已知条件代入，求出待定系数，最后将解析式化为一般形式．【经典例题】例1 已知一条抛物线经过点（0，0），（2，4），（4，0）,求这个函数关系式。

【变式练习】1．已知二次函数的图象经过A （0，3）、B （1，3）、C （－1，1）三点，求该二次函数的解析式。

2．已知抛物线过A （1，0）和B （4，0）两点，交y 轴于C 点且BC ＝5，求该二次函数的解析式。

3．已知二次函数的图象的顶点坐标为（1，－6），且经过点（2，－8），求该二次函数的解析式。

4．已知二次函数的图象的顶点坐标为（1，－3），且经过点P（2，0）点，求二次函数的解析式。

5．二次函数的图象经过A（－1，0），B（3，0），函数有最小值－8，求该二次函数的解析式。

考点二：二次函数图像【知识点】一、各种形式的二次函数的图像性质如下表：1.抛物线c bx ax y ++=2中的系数c b a ,,（1）a 决定开口方向，几个不同的二次函数，如果二次项系数a 相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同.当0>a 时，抛物线开口向上，顶点为其最低点；当0<a 时，抛物线开口向下，顶点为其最高点. （2）b 和a 共同决定抛物线对称轴的位置：当0=b 时，对称轴为y 轴；当a 、b 同号时，对称轴在y 轴左侧；当a 、b 异号时，对称轴在y 轴右侧.（3）c 决定抛物线与y 轴交点位置：当0=c 时，抛物线经过原点；当0>c 时,相交于y 轴的正半轴；当0<c 时,则相交于y 轴的负半轴. （4）.抛物线与x 轴的交点设二次函数c bx ax y ++=2的图像与x 轴的两个交点的横坐标1x 、2x ，是对应一元二次方程02=++c bx ax 的两个实数根.抛物线与x 轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式来判定：（1）240b ac ->⇔抛物线与x 轴有两个交点；（2）240b ac -=⇔抛物线与x 轴有一个交点（顶点在x 轴上）；（3）240b ac -<⇔抛物线与x 轴没有交点. 要点诠释：当x ＝1时，函数y ＝a+b+c ；当x ＝-1时，函数y ＝a-b+c ；当a+b+c ＞0时，x ＝1与函数图象的交点在x 轴上方，否则在下方；当a-b+c ＞0时，x ＝-1与函数图象的交点在x 轴的上方，否则在下方． 2.求抛物线的顶点、对称轴的方法（1）公式法：a b ac a b x a c bx ax y 442222-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++=，顶点是），（ab ac a b 4422--，对称轴是直线ab x 2-=。