总体均值的区间估计

令 1 A1 ，即


1 n
n i 1
Xi

X,
得 的矩估计量为 ˆ X ．
例2 设总体 X 服从参数为 的指数分布，其
概率密度为
ex , x 0,
f (x) 0 , x 0,
其中 0 为未知，又设 X1, X 2 ,, X n 为 X 的 样本，求 的矩估计量．
解
由于1

E(X )
1

,
令
，1 A1
即
1 1 n
n i1 X i X ,
因此得到 的矩估计量为 ˆ 1 ．
X
例3 设总体 X 在区间 [a, b] 上服从均匀分
布，a 与 b 为未知，X1 ，X2 ，，Xn是来自总体
X 的样本，求 a 与 b 的矩估计量．

ˆk ˆk (x1, x2 ,, xn ).
上述估计未知参数的方法就叫做矩估计法．
例1 设总体 X 服从参数为 的泊松分布，其中 >0 为未知，又设X1, X2, …,Xn为 X 的样本，求 的矩估计量．
解 X ~ (), E(X ) , 即1 E(X ) ,
(Xi

X
)2.
注 此例说明，无论总体 X 服从什么分
布，样本均值 X 都是总体均值 的矩估计量， 样本二阶中心矩就是总体方差 2 的矩估计
量．
例5 某厂生产一批铆钉，现要检验铆钉头部直径，从这批产品中随机抽 取12只，测得头部直径（单位：mm）如下：
13.30 13.38 13.40 13.43 13.32 13.48 13.54 13.31 13.34 13.47 13.44 13.50
令
12

A1, A 2,
即



A1
2

2
1 n

n i 1
A2
X
i
1 n
X,
n
X
i 1
2 i
.
解此方程组得到 与 2 的矩估计量为
ˆ A1 X ,
ˆ 2

A2
A12
1 n
n i1
X
2 i

X
2

1 n
n i1
d ln L( ) 0 d
（2）
中解出 ˆ 就是θ的极大似然估计值，称方程 （2）为极大似然方程．
例6 设总体 X ~ ( )，X1, X2 , … , Xn 为总体
X 的样本，求 的极大似然估计量．
解 设样本值为x1, x2 , …, xn. 由于 X 的分布律为
成立，则称 ˆ ˆ(x1, x2,, xn ) 为θ的极大( 或最大 )似然估计值，相应的统
计量 ˆ ˆ(X1, X2,, Xn称) 为θ的极大( 或最大 )似然估计量．
我们规定，使得 dL( ) 0的 ˆ就是θ的
d
极大似然估计值．由于ln x是单增函数，所以
与 L( ) 有ln 相L(同 )的驻点，因此只需从

(13.38 13.41)2

( 13.50
13.41)2
0.0059 .
三、极大似然估计法
1．设总体X为离散型随机变量，其分布律为
PX xk p(xk , ), k 1,2,
其中θ为未知参数，取值范围为 ．设 X1, X2, ,
Xn为n来自 X 的样本，则 X1, X2,,Xn 的联合分布律
(Xi

X )2
,
3
n
n i 1
(Xi

X)2 .
例4 设总体 X 的均值为 ，方差为 2， 且 0，但 与 均未知，又设总体 X 的一 个样本为（X1, X2 , , Xn），求 与 2的矩估
计量．
解 1 E( X ) ,
2 E( X 2 ) D( X ) E( X )2 2 2

ˆk ˆk ( X1, X 2 ,, X n ).
以此作为未知参数 1, 2 ,, k 的估计量，称为矩估计量．
如果样本观察值为（ x1, x2, …,xn ），则
得未知参数 1, 2 ,, k 的矩估计值为
ˆ1 ˆ1 (x1, x2 ,, xn ), ˆ2 ˆ2 (x1, x2 ,, xn ),
解 令 即
整理得
1 2

E(X ) a b , 2
E( X 2 ) D( X ) E( X )2

(b a)2 12

(a b)2 4

1 A1, 2 A2 ,
a

b 2

wenku.baidu.comA1

1 n
n i 1
Xi

X,


(b

a)
2
12
即
1 (1, 2 ,, k )


1 n
n i 1
Xi,


2
(
1
,
2
,,
k
)

1 n
n i 1
X
2 i
,

k (1, 2 ,, k )


1 n
n i 1
X
k i

从上述方程组中解出1, 2 ,, k ，分别记作
ˆ1 ˆ1 ( X1, X 2 ,, X n ), ˆ2 ˆ2 ( X1, X 2 ,, X n ),
为 p(xi , ) ．又设 x1, x2, , xn 为一组样本值，
令 i1
n
L( ) L(x1, x2 ,, xn , ) p(xi , ), i 1
称 L(θ)为样本的似然函数．
（1）
若有ˆ ˆ(x1, x2 ,, xn ) ，使得对一切 ，有 L(ˆ) L( )

(a b)2 4

A2

1 n
n i 1
X
2 i
,
a b 2A1,
b a
12( A2 A12 ) .
于是得到 a、b 的矩估计量为 aˆ A1 3( A2 A12 ) X
bˆ A1 3( A2 A12 ) X
3
n
n i 1
设铆钉头部直径这一总体 X 服从正态分布 N ( , 2 ) ，试求 与 2 的矩估计
值．
解 由例4可得
ˆ x 1 ( 13.30 13.38 13.50 ) 13.41, 12
ˆ
2

1 12
12 i1
( xi

x
)2

1 [(13.3113.41)2 12