深圳大学高等数学A_2_期末复习
高数A复习题
微分方程 向量代数 多元函数微分学 重积分 曲线积分 无穷级数
第七章 微分方程
1.定义：
一般地 , n 阶常微分方程的形式是
F(x, y, y',, y(n) ) 0
或 y(n) f (x, y, y',, y(n1) ) ( n 阶显式微分方程)
例1： 3y4 y5 6y'xy 0的阶数为：4
一. 数量积 向量积 混合积
a
b
|
a
||
b
|
cos
a
b
|
a
||
b
|
cos
cos
a
b
,
| a || b |
2.
c
向 a b量 sain与 b(其的中向量为积a为与bc的 夹a 角b)
c
的方向既垂直于a
，又垂直于b
，指向符合
右手系. 向量积也称为“叉积”、“外积”.
关于向量积的说明：
(1)
a
a
0.
(2)
a
//b
( 0 sin 0)
a
b
0.
(a
0,
b 0)
向量积还可用三阶行列式表示
i j k a b ax ay az
bx by bz
3.称定向为义量这设三的已个知混向三量合个的积向混量合a 积、b， 、记c 为，[a数bc量].(a
b)
c
设
a
n M0 M = 0 而M0 M ={x x0, y y0, z z0},
z
n
M
0
M
O
x
y
得: A(x x0) +B( y y0) +C( z z0) = 0 (1)
高数A2总复习资料
(ax bx )i (ay by ) j (az bz )k
a b {ax bx , ay by , az bz }
a
(ax
{ax ,
bx )i
ay ,
(ay
az }
by
)
j
(az
bz
)k
(ax )i (ay ) j (az )k
向量模长的坐标表示式
| a |
的距离为
M0
d
n
M1
(3) 点
到直线
的距离为
M 0 (x0 , y0 , z0 ) d
d M0M1 s s
s (m,n, p)
M1(x1, y1, z1)
i
j
k
1 m2 n2 p2
x1 x0 m
y1 y0 z1 z0
n
p
（4）两直线间的距离
命题1 两平行直线
l1 :
x x1 X
T( x, z) 0
y
0
10、平面
[1] 平面的点法式方程 A( x x0 ) B( y y0 ) C(z z0 ) 0
[2] 平面的一般方程
Ax By Cz D 0
[3] 平面的截距式方程 x yz 1 a bc
z
n
M0 M
o
y
x
M 0( x0 , y0 , z0 )
n { A, B, C}
y)
2z z
xy
( ) y x
f xy ( x, y)
2 z z
yx
( ) x y
f yx (x,
y)
2 z z
y 2
( ) y y
f yy(x, y)
(20191203)高等数学(2)期末复习指导(文本)共11页文档
（2008.12.03）高等数学（2）期末复习指导（文本）赵坚：各位老师，各位同学，大家好！现在是高等数学（2）教学活动时间，欢迎大家的参与。
今天活动的主题是：课程教学答疑和期末复习指导。
考试采取半开卷笔试的形式，考试时间为90分钟。
本学期高等数学（2)考试时间为09年1月9日8：30-10：00试题类型及结构：本课程的考试题型分为四种：填空题、单项选择题、计算题和应用题，相应的分数比例大致为15:15:52:18．命题依据：本课程使用的教学大纲是《中央广播电视大学高等专科高等数学课程教学大纲》．使用的教材为分别是《高等数学（下册）——多元函数微积分》和《高等数学（上册）》中第七章无穷级数中7，8，9节（柳重堪教授主编，中央电大出版社出版，2000年1月）．考试说明是考试命题的依据．第7章无穷级数（7，8，9节傅里叶级数部分）考核知识点：1．傅里叶级数：傅里叶级数的概念、傅里叶系数公式，周期为函数或定义在上的函数的傅里叶级数，狄利克雷定理．2．正弦级数或余弦级数：定义在上的函数展为正弦级数或余弦级数．考核要求：1．熟练掌握周期为或定义在上的函数的傅里叶级数展开，并会利用狄利克雷定理讨论它的收敛性．2．掌握定义在上的函数展开成正弦级数或余弦级数，并会利用狄利克雷定理讨论它的收敛性．第9章空间解析几何与向量代数考核知识点：1．空间直角坐标：空间直角坐标系概念，两点间距离公式．2．向量代数：向量概念，向量的模，单位向量，向量的坐标，方向余弦，向量的加减法，数乘向量，向量的数量积、向量积，两向量的夹角，平行、垂直的条件．3．空间平面：平面的点法式方程，一般方程，点到平面的距离．4．空间直线：直线的标准方程，参数方程，一般方程．平面与直线的位置关系的讨论．5．空间曲面与曲线：球面、椭球面，旋转抛物面，母线平行于坐标轴的柱面、以坐标轴为轴的圆锥面，空间曲线的参数方程．考核要求：1．了解空间直角坐标系概念，掌握两点间的距离公式．2．了解向量、向量的模、单位向量、方向余弦等概念，掌握它们的坐标表示．掌握向量的加减法、数乘向量及它们的坐标表示．了解向量的数量积和向量积概念，掌握它们的坐标表示，熟练掌握向量平行和垂直的判别方法．3．熟练掌握平面的点法式方程，掌握平面的一般方程，会求点到平面的距离．4．熟练掌握空间直线的标准方程，掌握参数方程和一般方程，会进行这三种方程间的互化．掌握用方向向量和法向量讨论平面之间、直线之间以及平面与直线之间的位置关系（平行、垂直、重合等）．5．知道球面、椭球面，旋转抛物面，母线平行于坐标轴的柱面、以坐标轴为轴的圆锥面的方程及图形；知道空间曲线的参数方程．第10章多元函数微分学考核知识点：1．多元函数：多元函数定义，二元函数的几何意义．2．偏导数与全微分：偏导数定义和求法，二阶偏导数，全微分，复合函数的(一阶)偏导数，隐函数的(一阶)偏导数．3．偏导数应用：空间曲线的切线与法平面，曲面的切平面与法线． 4．多元函数极值：二元函数极值的概念，极值点存在的必要条件，拉格朗日乘数法．考核要求：1．知道二元函数的定义和几何意义，会求二元函数的定义域．2．了解偏导数的概念，熟练掌握给定的具体函数的一阶、二阶偏导数的计算方法．掌握复合函数（包括含有函数符号的，如）一阶偏导数的计算方法，会计算隐函数一阶偏导数．掌握全微分的求法．3．会求曲线（参数方程表示）的切线与法平面方程，曲面的切平面与法线的方程．4．了解二元函数极值的概念，知道极值点存在的必要条件，掌握用拉格朗日乘数法求较简单的极值应用问题．第11章重积分考核知识点：1．重积分概念：二重积分的定义，几何意义、性质．2．二重积分的计算：直角坐标系下二重积分的计算方法、极坐标系下二重积分的计算方法．3．二重积分的应用：求立体的体积．考核要求：1．知道二重积分的定义，了解二重积分的几何意义和性质．2．熟练掌握直角坐标系下二重积分的计算方法．会在直角坐标系下交换积分次序．掌握在极坐标系下二重积分的计算方法．3．掌握曲顶柱体的体积的求法，会求由简单曲面围成的空间立体的体积．第12章第二类曲线积分考核知识点：1．曲线积分概念：第二类曲线积分的概念、性质．2．曲线积分计算方法：把曲线积分化为定积分再计算．3．格林公式：用格林公式将曲线积分化为二重积分计算．4．曲线积分与路径无关的条件．考核要求：1．了解第二类曲线积分的概念和性质（线性性质、对积分路径的可加性）．2．掌握把曲线积分化为定积分的计算方法；掌握用格林公式将曲线积分化为二重积分的方法；3．了解曲线积分与路径无关的条件．高数（2）（08）秋期末综合练习一、填空题1．两向量b a ,满足b a //的充分必要条件是 ．2．球心在点)0,1,1(-，半径为2的球面方程为 ．3．设函数2e xy z =，则=∂∂yz ． 4．设函数y x z 22=，则=z d ．5．若改变累次积分的次序，则⎰⎰=xx y y x f x 2d ),(d 10 ． 6．设l 是圆周422=+y x 的正向，则=+-⎰l y x x y d d 21 ． 7．设D 是由封闭曲线l 围成的区域，若在D 内恒有等式 ，则有0d ),(d ),(=+⎰l y y x Q x y x P ．二、单项选择题1．平面053=-+z y x 的位置关系是（ ）．A ．与OXY 面平行B ．与OXZ 面平行C ．经过坐标原点D ．与X 轴垂直2．下列方程中表示锥面的方程是（ ）．A ．22y x z +=B ．222y x z +=C ．1222=++z y xD ．22y z =3．函数yx z arcsin =的定义域为（ ）． A ．11≤≤-y x B ．11<<-yx C ．y x <-1 D ．1<y x 4. 若函数y x z 2=，则=∂∂∂xy z 2（ ）． A ．yx 2 B ． 2x C ．x 2 D ． 22y x -5. =⎰⎰Dy x d d （ ），其中D 是由x 轴、y 轴及直线x y -=1围成的区域．A ．1B ．21C ．31D ．41 6．若)(x f 是以π2为周期的奇函数，则)(x f 的傅氏系数的计算公式是（ ）．A ．),2,1(d sin )(π1,),2,1,0(0π0ΛΛ====⎰n x nx x f b n a n n B ．),2,1(0,),2,1,0(d cos )(π1π0ΛΛ====⎰n b n x nx x f a n n C ．),2,1(d sin )(π2,),2,1,0(0π0ΛΛ====⎰n x nx x f b n a n n D ．),2,1(0,),2,1,0(d cos )(π2π0ΛΛ====⎰n b n x nx x f a n n 三、计算题1．求过点)0,1,1(且平行于直线⎩⎨⎧-=+=-2312z y y x 的直线方程． 2．求过点)1,0,2(且平行于平面52=-y x 的平面方程．3．设),(22y x y x f z +=，求yz ∂∂． 4．设)cos ,e (2y x x f z y =，求y z ∂∂． 5．设z y xz e =，求z d ．6．设y z z x e sin +=，求z d ．7．计算⎰⎰+Dy x y x d d 22，其中D 是区域：由0,422≥≤+x y x ．8． 计算⎰⎰Dy x y d d ，其中D 是由x y x y ==,2围成的区域．9．将函数⎩⎨⎧≤<-≤<=0π,0π0,)(x x x x f 展成周期为π2的傅里叶级数． 10．将函数⎪⎩⎪⎨⎧<<--=≤<=0π,10,0π0,1)(x x x x f 展成周期为π2的傅里叶级数．四、 应用题1．在直线1+=x y 上找一点，使它与点)0,1(A 的距离最短．2．在一个半径为R 的半圆内内接一个矩形，矩形的边长取何值时其面积最大？高数（2）（08）秋期末综合练习参考答案一、填空题1. 0=⨯b a2. 4)1()1(222=+++-z y x3. 2e2xy xy 4. y x x xy d 2d 42+ 5．⎰⎰y y x y x f y d ),(d 10 6．π4 7．y P x Q ∂∂=∂∂ 二、单项选择题1．C 2．B 3. A 4. D 5. B 6．C三、计算题1．解： 因为所求直线的方向向量为：)6,2,1()1,3,0()0,1,2(--=⨯-=n所以直线方程为： 62111z y x =--=-- 2．解： 因为所求平面的法向量为：)0,2,1(-=n 所以平面方程为：022=--y x3．解：设),(v u f z =，其中y x v y x u 22,=+=，得 vz x u z y y v v z y u u z y z ∂∂+∂∂=∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂22 4．解：设),(v u f z =，其中y x v x u y cos ,e 2==，因为 vz y x u z x y v v z y u u z y z y ∂∂-∂∂=∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂sin e 2 5．解 左)d d (21)(d 21)(d z x x z xz xz xz xz +=== 右y z y y y y z z z z z d e d e d e )e (d )e (d +=+==由此得 y xz y x xzx xz y x zz z z z d e 2e 2d e 2d -+--=6．解：等式两端求微分得左z z x x z z x d cos d sin )sin (d +==右y z z z y y y d e d )e (d d )e (d +=+=+=由此得 y z x x z x z z yd 1cos e d 1cos sin d -+--= 7．解：利用极坐标计算 π38d d d d 2022π2π22==+⎰⎰⎰⎰-r r y x y x D θ8．解：将二重积分化为累次积分得 ⎰⎰⎰⎰=xx Dy y x y x y 2d d d d 10 203)d (21d )2(1041022=-==⎰⎰x x x x y xx 9．解：)(x f 的傅氏系数为 2πd π1d )(π1π0π00===⎰⎰x x x x f a ⎰⎰-==π0π0π0d sin π1sin π1d cos π1x nx n nx x n x nx x a n ]1)1[(π1cos π12π2--==n n nx n ⎰⎰+-==π0π0π0d cos π1cos π1d sin π1x nx n nx x n x nx x b n 1)1(1--=n n故 )ππ(]sin )1()12cos()12(2[4π)(112≤<--+---+=-+∞=∑x nx n x n n x f n n π 10．解：因为)(x f 为奇函数，故0=n a ，Λ,2,1,0=n⎰⎰==ππ00d sin π2d sin )(π2x nx x nx x f b n ])1(1[π2cos π20n n nx n --=-=π故 )ππ()12sin(π)12(4)(1≤<---=∑+∞=x x n n x f n ． 四、 应用题 1．解： 直线1+=x y 上找一点距点)0,1(A 的距离平方为 22)1(),(y x y x f +-=条件函数为 1+=x y作辅助函数 )1()1(),,(22+-++-=y x y x y x F λλ由 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+-=∂∂=-=∂∂=+-=∂∂0102022y x F y yF x x F λλλ解得1,0==y x ，可以断定，直线1+=x y 上点)1,0(M 与点)0,1(A 的距离最短．2． 解： 设矩形的长、宽分别为y x ,2，则矩形的面积为 ),(y x f =xy 2条件函数为 222R y x =+作辅助函数 )(2),,(222R y x xy y x F -++=λλ由 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-+=∂∂=+=∂∂=+=∂∂0022022222R y x F y x yF x y x F λλλ第 11 页 解得R y x 22==，当矩形的长、宽分别为R 2与R 22时面积最大． 马少帅：赵老师好！有什么新指示？赵坚：马老师好，欢迎参加教学活动。
大学《高等数学A》课后复习题及解析答案
大学数学A （1）课后复习题第一章一、选择题1.下列各组函数中相等的是. …….. ……..…………………………………………………………………………………….（ ） A .2ln )(,ln 2)(x x g x x f ==B .0)(,1)(x x g x f ==C .1)(,11)(2-=-⋅+=x x g x x x f D .2)(|,|)(x x g x x f ==2.下列函数中为奇函数的是. ……. …….. …………………………………………………………………………………….（ ）. A .)1ln()(2++=x x x f B .||)(x e x f = C .x x f cos )(= D .1sin )1()(2--=x xx x f3.极限⎪⎭⎫⎝⎛+++∞→22221lim n n n n n 的值为………………………………………………………………………..…….（ ） A ．0 B ．1 C ．21D ．∞ 4.极限xxx x sin lim+∞→的值为.. …….. ……..……………………………………………………………………………...…….（ ）A ．0B ．1C ．2D ．∞5.当0→x 时，下列各项中与 23x 为等价无穷小的是…………………………………………………….（ ）A ．)1(3-xe x B ．x cos 1- C ．x x sin tan - D ．)1ln(x + 6.设12)(-=xx f ，则当0→x 时，有…………………………………………………………………………..…….（ ）. A ．)(x f 与x 是等价无穷小 B ．)(x f 与x 同阶但非等价无穷小 C ．)(x f 是比x 高阶的无穷小 D ．)(x f 是比x 低阶的无穷小7.函数)(x f 在点x 0可导是)(x f 在点x 0连续的____________条件. ………...………………....…..（ ） A .充分不必要 B .必要不充分 C .充要 D .既不充分也不必要8.设函数⎪⎩⎪⎨⎧<≤--<≤≤≤-=01,110,21,2)(2x x x x x x x f ，则下述结论正确的是……………………………………….（ ）A ．在0=x ,1=x 处间断B ．在0=x ,1=x 处连续C ．在0=x 处间断，在1=x 处连续D ．在1=x 处间断，在0=x 处连续 9.极限xx x 10)1(lim -→-的值为.. …….. ……..…………………………………………………………………………………….（ ）A ．1B ．e -C ．e1D ．e 二、填空题10.函数ln y x =的定义域为（用区间表示） . 11. 函数xxy -+=11的定义域为（用区间表示） . 12. 已知x xx f +=1)(，则=))((x f f . 13. 函数x x y 2353+-=的反函数为 .14. =→xx x 1sin lim 20 .15. 当________=α时，αx 与x 2sin 是0→x 时的同阶无穷小.16. 设21)1(lim e kx xx =+→，则=k .17. 设1sin lim0-=→xkxx ，则=k .18. =⎪⎭⎫ ⎝⎛+++∞→11232lim x x x x .9. 设⎪⎩⎪⎨⎧≤+>=0,0,1sin )(2x x a x xx x f 在点0=x 处连续，则=a . 三、解答与证明题20. 求下列数列极限 （1）⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⨯++⨯+⨯∞→)1(1321211lim n n n （2）)12(lim +-+∞→n n n n （3）⎪⎭⎫⎝⎛++++++∞→n n n n n n n n 22221lim （4）n n n nx 10...21lim +++∞→ 21. 求下列函数极限（1）15723lim 2323+++-∞→x x x x x （2）134lim 22++∞→x x x（3）503020)12()23()32(lim ++-∞→x x x x （4）11lim 31--→x x x （5）28lim 32--→x x x （6）)1311(lim 31x x x ---→ （7）)1(lim x x x -++∞→ （8）xx x x ln )1(lim1-→（9）xx x sin ln lim 0→ （10）x xx 3sin 2sin lim 0→（11）30sin tan lim xx x x -→ （12）x x x 10)51(lim -→ 22. 若432lim23=-+-→x ax x x ，求a 的值. 23. 若已知411lim21=-++→x b a x x ，求a,b 值. 24. 当 a 取何值时，函数)(x f 在 x =0 处连续：（1）⎩⎨⎧≥+<=0,0,)(x x a x e x f x . （2）⎪⎩⎪⎨⎧≤+>-+=0),cos(0,11)(x x a x xx x f . 25. 证明（1）方程01423=+-x x 在区间)1,0(内至少有一个根.（2）方程x e x 3=在)1,0(内至少有一个根.第二章一、选择题1、设函数)(x f 在点0x 可导，则=-+→hx f h x f h )()2(lim000( )．（A ） )(0x f '-； (B) )(0x f '； (C) )(20x f '； (D) )(20x f '-． 2、设函数)(x f 是可导函数，且13)1()1(lim-=--→xx f f x ，则曲线)(x f y =在点))1(,1(f 处切线的斜率是 ……………………………………………( )． (A) 3； (B) 1- ； (C) 13 ； (D) 3-．3、设)()()(x a x x f ϕ-=，其中)(x ϕ在a x =处连续，则)(a f '= ………( )． (A) )(a ϕ ； (B)0； (C)a ； (D))(a a ϕ．4、若0x 为函数)(x f 的极值点，则…………………………………………( )． (A)0)(0='x f ； (B)0)(0≠'x f ； (C)0)(0='x f 或不存在； (D))(0x f '不存在．5、设)0)(1ln(≠+=a ax y ，则y ''= ( )．(A)22)1(ax a +； (B)2)1(ax a +； (C)22)1(ax a +-； (D)2)1(ax a +-． 6、由方程5ln =-y xe y 确定的隐函数)(x y y =的导数=dxdy( )． (A)1-y y xe e ； (B)y y xe e -1； (C)yy e xe -1； (D)y y e xe 1-．7、)2sin sin (lim xx x x x +∞→＝ ……………………………………… ( )．(A)2； (B)1； (C)3； (D)极限不存在．8、设x x y =)0(>x 则='y ( )．(A)x x ； (B) x x x ln ； (C) 1-x x ； (D))1(ln +x x x ．9、曲线x y sin 1+=在点)1,0(处的切线方程是…………………………( )． (A)01=--y x (B)01=+-y x (C)01=++y x (D)01=-+y x 10．下列函数在所给区间满足罗尔定理条件的是……………………( )(A) 2(),[0,3]f x x x =∈ (B) 21(),[1,1]f x x x=∈-(C) (),[1,1]f x x x =∈-(D) ()[0,3]f x x =∈ 二、填空题11、 设x x y 2sin 2+=，则=dy ．12、已知x x y n ln )3(=-，(N n n ∈≥,3)，则)(n y ＝ ．13、已知过曲线24y x =-上点P 的切线平行于直线x y =，则切点P 的坐标为 . 14. 已知2)1(='f ，则=-+-→2)1()(lim31x x f x f x .15. 设x a y =(0>a 且1≠a ),则=)(n y .16. 曲线3)1(-=x y 的拐点是 ． 17.设函数)(x f 在0x 处可导，则xx x f x x f x ∆∆--∆+→∆)()(lim000= ．18.设⎩⎨⎧≥+<=0)(x x a x e x f x ，当a =_____时，)(x f 在x = 0处可导．19.若函数5)(23-+-=x x ax x f 在),(+∞-∞上单调递增，则a 的取值范围为 ．20. 设由参数方程⎩⎨⎧-=-=)cos 1()sin (t a y t t a x (其中0>a )确定的函数为)(x y y =，则=dxdy. 三、解答与证明题21.设e x x e y +=，求y '． 22.求下列函数的二阶导数.(1) 设x e y x sin =，求y ''. (2) 设1arctan1xy x-=+，求y ''23. 求曲线21x y =在点（4，2）处的切线方程和法线方程． 24. 讨论下列函数在点0=x 处的连续性和可导性：（1） 0 0 )1ln()(⎩⎨⎧<≥+=x x x x x f ， （2） 0 tan 01sin )(2⎪⎩⎪⎨⎧≤>=x x x xx x f ． 25. 求由方程ln xy x y x e -=所确定的隐函数y 的导数dxdy． 26. 求极限： （1）]1)1ln(1[lim 0x x x -+→； （2）30sin tan lim xx x x -→； （3）)arctan 2(lim x x x -+∞→π； （4）x x x +→0lim ；（5）)1sin 1(lim 0x x x -→； （6）200sin lim xdt t xx ⎰→． 27. 设函数)(x y y =由参数方程⎩⎨⎧-=+=tt y t x arctan )1ln(2所确定，求22dx yd ．28.求函数()(f x x =-. 29. 求函数32332y x x x =-++的凹凸区间、拐点． 30. 已知点)3,1(为曲线1423+++=bx ax x y 的拐点. (1) 求b a ,的值； (2)求函数1423+++=bx ax x y 的极值. 31. 设11xy x-=+，求()n y 32．设b a <<0，证明：a b ab ba a --<+ln ln 222. 33. 设0,()(0)0,x f x f ≥=连续，0'()x f x >当时,存在且'()f x 单调增加，证明：当0x >时函数()f x x 单调增加.34. 证明：当0>x 时，x x x x<+<+)1ln(1． 35. 证明:当0x >时,有1x x x e xe <-<成立.第三章一、选择题：1．下列凑微分正确的一个是 （ ） A ．)2(sin cos x d xdx = ； B. )11(arctan 2xd xdx += C ．)1(ln x d xdx = D. )1(12x d dx x -=2．若⎰+=,)(c x dx x f 则⎰-dx x f )32(= （ ）A ．2-3x+c ； B. c x +-31； C. x+c ； D. c x +-2)32(213．在以下等式中，正确的一个是 （ ） A ．⎰=')()(x f dx x f B. ⎰=')(])([x f dx x f C ．⎰=)(])([x f dx x f d D. ⎰='')(])([x f dx x f 4. 设x x f 3sin )(='，则⎰dx x f )(是 （ ）A ．cos3x ； B. cos3x+c ； C.c x +-3cos 31； D.2193sin c x c x++- 5. 若,0(),0x x x f x e x ≥⎧=⎨<⎩，则21()d f x x -=⎰（ ）. A. 13e -- B. 13e -+ C. 3e - D. 3e + 6. 下列定积分是负数的是（ ）（A ）dx x ⎰20sin π(B)dx x ⎰20cos π(C)dx x ⎰ππ2sin (D)dx x ⎰ππ2cos7. 若4)12(1=+⎰dx x a，则a = ( )(A) 3 (B) 2 (C) 0 (D) 48.若⎰∞-=31dx e kx ，则k=( ) (A)31 (B)-31(C) 3 (D)-3 9.=+⎰)1(212x dt t t dx d （ ） （A ）x x+12(B) 212-+x x(C) 241x x + (D) 2512x x +10.若,21)(21)(0-=⎰x f dt t f x且1)0(=f ，则=)(x f （ ） (A)2x e (B)x e 21 (C)x e 2 (D)x e 221 二、填空题： 1．x d xdx 3(arcsin ________312=-）.2．⎰=+________________912dx x .3．若⎰+=,3cos )(c x dx x f 则f （x ）= .4. ⎰='____________________)()(22dx x f x xf . 5. F(x ) =dt t x ⎰+223,则=')1(F _________.6. 极限020cos d limxx t t x→⎰= ；7. 23423sin 1x e xdx x x -++⎰= 8．设()f x 连续，(0)1f =，则曲线0()d xy f x x =⎰在()0,0处的切线方程是 ；三、解答题：1、2x dx 2、⎰-+322x x dx3、⎰+dx x x214、422331.1x x dx x ⎛⎫++ ⎪+⎝⎭⎰ 5、cos 2.cos sin xdx x x -⎰6、dx x x ⎰-42 7、⎰-+211xdx8、⎰xdx x arctan 29、1x ⎰10、10d e ex xx-+⎰11、10x ⎰12、22()e d xx x x --+⎰；13．40d 1cos2xx xπ+⎰；14.41x ⎰；15.1d ln x x x+∞⎰16.2203sin d limx x t t x→⎰；17.求曲线xxe y e y -==,及直线1=x 所围成的平面图形的面积.18. 求由曲线)cos 2(2θ+=a r 所围图形的面积19. 由曲线2y x =和2x y =所围成的图形绕y 轴旋转后所得旋转体体积. 20. 计算曲线)3(31x x y -=上相应于31≤≤x 的一段弧的弧长大学数学A （1）复习题参考答案第一章一、选择题1、D2、A3、C4、B5、C6、B7、A8、C9、D二、填空题10、]3,0( 11、)1,1[- 12、x x21+ 13、)23(2353≠-+=x x x y 14、0 15、1 16、2 17、-1 18、e 19、0三、解答与证明题20（1）⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⨯++⨯+⨯∞→)1(1321211lim n n n )1113121211(lim +-++-+-=∞→n n n 1)111(lim =+-=∞→n n . （2）2111211lim12lim )12(lim=+++=+++=+-+∞→∞→∞→nn n n n n n n n n n . （3）因为 1212222222+≤++++++≤+n n n n n n n n n n n n ，而 11lim lim 2222=+=+∞→∞→n n n n n n n ， 所以121lim 222=⎪⎭⎫⎝⎛++++++∞→n n n n n n nn . （4）因为n nn n n nn n n nn 101010...101010...211010=+++<+++<=，110lim 10lim 1==∞→∞→nn nn ，故1010...21lim =+++∞→n n n n n .21（1）15723lim2323+++-∞→x x x x x 33115723lim x xx x x +++-=∞→53=.（2）331341lim 134lim 2222=++=++∞→∞→xx x x x x . （3）503020)12()23()32(lim ++-∞→x x x x 503020122332lim ⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∞→x x x x 503020)02()03()02(++-=3023⎪⎭⎫⎝⎛=. （4）11lim31--→x x x 1)1)(1(lim333231-++-=→x x x x x 3)1(lim 3321=++=→x x x .（5）12)42(lim 28lim2232=++=--→→x x x x x x . （6）112lim 131lim )1311(lim 2132131-=+++-=--++=---→→→xx x x x x x x x x x . （7）)1(lim x x x -++∞→011lim=++=+∞→xx x .（8）11)1(lim ln )1(lim11=--=-→→x x x x x x x x .（9）0sin lim ln sin lnlim 00==→→xxx x x x . （10）x xx 3sin 2sin lim0→3232lim 32lim 00===→→x x x x . （11）30sin tan limx x x x -→30)cos 1(tan lim x x x x -⋅=→3202lim x x x x ⋅=→21=. （12）xx x 1)51(lim -→ xt 51-== tt t 511lim -∞→⎪⎭⎫ ⎝⎛+511lim -∞→⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+=t t t 5-=e .22 解 由题意知 0)2(lim 23=+-→a x x x ，即06232=+⨯-a ，从而3-=a .23 解 因1→x 时, 012→-x , 而函数极限存在, 则)1(0→→++x b a x即 0lim 1=++→b a x x从而01=++b a （1）故原式=)1)(1)(1(1lim 11lim121a a x x x x x a a x x x ++++--=-+-+→→ aa a x x x +=++++=→141)1)(1(1lim1即41141=+a（2） 由（1）（2）解得1,0-==b a .24 解 （1）因为 a x a x f x x =+=++→→)(lim )(lim 0，1lim )(lim 0==--→→x x x e x f ，而 ,)0(a f = 故要使 )(lim 0x f x -→)(lim 0x f x +→=)0(f =，须且只须 1=a .所以当且仅当1=a 时，函数)(x f 在0=x 处连续．（2）因为 21111lim 11lim )(lim 00=++=-+=+++→→→x xx x f x x x ， a x a x f x x cos )cos(lim )(lim 00=+=--→→，而 ,cos )0(a f = 故要使 )(lim 0x f x -→)(lim 0x f x +→=)0(f =， 须且只须 21cos =a ，即32ππ±=k a )(Z k ∈. 所以当且仅当32ππ±=k a )(Z k ∈时，函数)(x f 在0=x 处连续．25 证 （1）令14)(23+-=x x x f ，则)(x f 在[0,1]上连续， 且,02)1(,01)0(<-=>=f f由零点定理知，),1,0(∈∃ξ使,0)(=ξf 即01423=+-ξξ，所以方程01423=+-x x 在(0,1)内至少有一个根.（2）设x e x f x3)(-=，则)(x f 在]1,0[上连续，且03)1(,01)0(<-=>=e f f ，故由零点定理知方程在)1,0(内至少有一个根.第二章一、选择题1、C2、D3、A4、C5、C6、B7、A8、D9、B 10、D 二、填空题11、dx x x )2cos 2(2+ 12、21x -13、)415,21(- 14、1215、n x a a )(ln 16、(1,0) 17、)(20x f ' 18、1． 19、),31(+∞ 20、t tcos 1sin -.三、解答与证明题21、解：1-+='e x ex e y ．22、解：(1)(sin cos )xy e x x '=+，(sin cos )(cos sin )2cos x x x y e x x e x x e x ''=++-=．(2) 2111111x y x x x '-⎛⎫'=⎪+⎝⎭-⎛⎫+ ⎪+⎝⎭()()2222(1)1(1)(1)(1)1x x x x x x -+--+=⋅+++- 22212(1)(1)x x --==++()1211y x -'⎡⎤''=-+⎢⎥⎣⎦()()22222121x x x x -=+⋅=+23、解：2121-='x y ，所以4121)4(421=='=-x x y ， 所以切线方程为)4(412-=-x y ，法线方程为)4(42--=-x y ． 24、解：（1）因为0)(lim 0=+→x f x ，0)(lim 0=-→x f x ，所以，0)(lim 0=→x f x ．且0)0(=f ，因此，函数在0=x 处连续．10lim 0)0()(lim )0(00'=--=--=++→→+x x x f x f f x x ，10)1ln(lim 0)0()(lim )0(00'=--+=--=+-→→-x x x f x f f x x ，所以函数在0=x 处可导． （2）因为0)(lim 0=+→x f x ，0)(lim 0=-→x f x ，所以，0)(lim 0=→x f x ．且0)0(=f ，因此，函数在0=x 处连续．01sin lim 001sinlim 0)0()(lim )0(0200'==--=--=+++→→→+xx x x x x f x f f x x x ， 10tan lim 0)0()(lim )0(00'=--=--=--→→-x x x f x f f x x ，所以函数在0=x 处不可导．25、解：两边同时对x 求导得，11ln ()xy y x y e y xy x ''--=+，所以，1ln xyxy yye x y x xe--'=+． 26、解：（1）原式＝)1ln()1ln(limx x x x x ++-→＝20)1ln(lim xx x x +-→＝xx x 2111lim 0+-→＝)1(21lim 0x x +→＝21．（2）30sin tan lim x x x x -→=30)1cos 1(sin lim xx x x -→=x x x x x cos )cos 1(sin lim 30⋅-→121lim 320⋅⋅=→x x x x =21． （3）)arctan 2(lim x x x -+∞→πx x x 1)arctan 2(lim -=+∞→π22111limxx x -+-=+∞→11lim 22=+=+∞→x x x .（4）xx x +→0lim =xx xx x x eeln lim ln 00lim +→+=→，0ln lim 0=+→x x x ，所以原极限10=e ．（5）)1sin 1(lim 0x x x -→ x x x x x sin sin lim 0-=→20sin lim xx x x -=→x x x 2cos 1lim 0-=→2sin lim 0x x →=0=． （6）2sin lim x dt t x x ⎰→=x x x 2sin lim 0→=21．27、解：22111221dy dy t dt t dx t dx dt t -+===+, 22221()12241d dy d y t dt dx dx t dx t dt t +===+.28、解：函数定义域为),(+∞-∞.'()f x =，令'()0f x =，得驻点1=x ，1x =-为不可导点.由上表可以看出，函数在),1(),1,(+∞--∞上单调上升,函数在(1,1)-上单调下降；函数在1-=x 处取得极大值0)1(=-f ，在1=x 处取得极小值343)1(-=f ， 29、解：函数定义域为),(+∞-∞.2363y x x '=-+,666(1)y x x ''=-=-， 令0y ''=,得x =1.当1x >时，0y ''>；当1x <时，0y ''<，所以函数的拐点为（1，3），在（-∞，1）上是凸的；在（1，+∞）上是凹的． 30、解：(1)b ax x y ++='232,a x y 26+=''.由条件，有⎩⎨⎧+=+++=ab a 2601413，解得9,3-=-=b a .(2)149323+--=x x x y ，函数定义域为),(+∞-∞.)3)(1(3963)(2-+=--='x x x x x f ，)1(666)(-=-=''x x x f .令0)(='x f ，得稳定点 11-=x ，32=x . 又012)1(<-=-''f ，012)3(>=''f故149323+--=x x x y 在点1-=x 处取极大值，极大值为19)1(=-f ， 在点3=x 处取极小值，极小值为13)3(-=f .31. 解：122111x y x x--+==-+++()2121(1)y x '=-+，()()()312121y x ''=--+ ()()()41212(3)1y x '''=---+…… ()n y()()1121!1nn n x +=-+32. 证明：令x x f ln )(=， 则)(x f 在],[b a 上连续，在),(b a 内可导.所以由Lagrange 中值定理知，),(b a ∈∃ξ，使)()()(ξf ab a f b f '=--，即ξ1ln ln =--a b a b .又由),(b a ∈ξ，故22211ba ab +>>ξ.. 即222ln ln ba aa b a b +>--. 33. 证明：1）令()(0)f x F x x x=>()2'()()(2)'()xf x f x F x x-=2(0)0'()[()(0)]f xf x f x f x =-- 2'()'()(0)xf x xf x xξξ-<<微分中值定理 '()'()f x f xξ-=当0x >时，'()f x 单调增加 ∴'()'(),'()'()0f f x f x f ξξ<->即故有()'()0.(0,)f x F x x>+∞即在单调增加 34. 证明：令)1ln()(u u f +=，则)(u f 在],0[x 上满足Lagrange 中值定理条件，故),0(x ∈∃ξ，使)0)(()0()(-'=-x f f x f ξ，即)0(11)01ln()1ln(-+=+-+x x ξ，即ξ+=+1)1ln(x x . 又由),0(x ∈ξ，故x xx x <+<+ξ11，即x x xx <+<+)1ln(1. 35. 证明：令()[],0,t f t e t x =∈,()t f t e =在[]0,x 应用拉格朗日中值定理 ()00,0x e e e x x ξ-=-<ξ<x e 是单调增函数，0x e e e ξ∴<<，故有1xxx e xe <-<,0x > 证毕第三章一、选择题1-5 DCBDA 6-10 CBCDC 二、填空题 1．3 2． 11arctan 33x C + 3. -3sin3x 4． 221()+C 4f x5． -2 6． -1 7． 0 8．y x =三、解答题1. 572222=557x dx x dx dx x x C --=-+⎰⎰2.2111=23(3)(1)41311ln ||43dx dx dx dx x x x x x x x Cx ⎛⎫=- ⎪+-+--+⎝⎭-=++⎰⎰⎰⎰3. 22221(1)1=ln |1|+C 1212x d x dx x x x +=+++⎰⎰ 4. 42232233113arctan .11x x dx x dx x x C x x ⎛⎫++⎛⎫=+=++ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎰⎰5.22cos 2cos sin (cos sin )sin cos .cos sin cos sin x x x dx dx x x dx x x C x x x x-==+=-+--⎰⎰⎰ 6.dx x x ⎰-42=c xx +--)2arccos 24(tan 227.⎰-+211xdx =cxx x +-+-211arcsin8.⎰xdx x arctan 2=c x x x x +++-)1ln(6161arctan 312239．令t x tan =，则1x ⎰=3344111cos d ln sin 21cos t t t t ππππ-=+⎰=10. 10d e e x x x -+⎰=112200e 1d de e 1e 1x x x x x =++⎰⎰1arctan(e )arctan e 4xπ==-11.10x ⎰=102⎰2121216π===⎰12. 22()e d xx x x --+⎰=22220002e d 2de 2e2e d xxx x x x x x x ----=-=-+⎰⎰⎰262e =-13.40d 1cos2x x x π+⎰=442001d d tan 2cos 2x x x x x ππ=⎰⎰ 444000111ln 2tan tan d lncos 228284x x x x x πππππ=-=+=-⎰14. 41x⎰412ln x =⎰4112x x ⎤=-⎥⎦⎰124ln 2x ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦⎰ 14218ln 22d x x -=-⎰8ln24=-15. ee 11d d(ln )ln(ln )ln ln e x x x x xx +∞+∞+∞===+∞⎰⎰ 16. 22220322000sin d 2sin 22(2)8=333lim lim lim x x x x t t x x x x x →→→==⎰17.如图所示，解方程组xxy e y e -⎧=⎨=⎩，得交点(0,1)，所求面积为11100()d []2x x x x A e e x e e e e---=-=+=+-⎰18.解：∵1D ：⎩⎨⎧+<<<<)cos 2(200θπθa r∴12220141122[2(2cos3)]4[4(sin 3sin 6)1823212D D S S a d a a ππθθπθθθπ==+=+++=⎰19. 思路： 该平面图形绕y 轴旋转而成体积V 可看作1D ：⎩⎨⎧≤≤≤≤yx y 010绕y 轴旋转而成的体积1V ，减去2D ：⎩⎨⎧≤≤≤≤2010y x y 绕y 轴旋转而成的立体体积2V 所得，见图解： πππ103)()(102221021=-=-=⎰⎰dy y dy y V V V20.解：12y '==， ∴3432322(21)214)1(113123313122-=+=+=-+='+=⎰⎰⎰x x dx x x dx x x dx y s ba。
高等数学A(二)(答案及得分详解)
高等数学A （二）带答案一、单项选择题（每小题3分，共30分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10答案 B B A A D B C C BA 得分1、设三个向量,,a b c 满足关系式0a b c ++= ，则a b ⨯= （ ）。
(A) c b ⨯ (B) b c ⨯ (C) a c ⨯ (D) b a ⨯2、函数()22,y x y x f +=在点)2,1(处沿向量→l =（ ）的方向导数最大。
(A) )2,1( (B) )4,2( (C) )4,4( (D) )2,2(3、函数()y x f ,在点()00,y x 处偏导数都存在且连续是()y x f ,在该点处可微的（ ）条件。
(A) 充分 (B) 必要 (C) 充分必要 (D) 既不充分也不必要4、空间曲线3,1,1t z tt y t t x =+=+=在对应于1=t 的点处的切线方程是（ ）。
(A) 12142121-=--=-z y x (B) 121411-=--=z y x (C) 02184=-+-z y x (D) 0284=++-z y x 5、取}01),({22>≤+=x y x y x D ，，则下面二重积分中其值为0的是 （ ）。
(A) ()σd y x D ⎰⎰+22 (B) ()σd xy x D⎰⎰+23(C) ()σd y x D ⎰⎰+33 (D) σd y x D ⎰⎰sin cos6、()=+⎰ds y x L22（ ），其中L 为圆周222=+y x 。
(A) π2- (B) π24 (C) 238π (D) 17、设曲面∑为上半球面2222x y z R ++=0)z ≥（，曲面1∑是曲面∑第一卦限的部分，则下面等式成立的是（ ）。
(A) 14xdS xdS ∑∑=⎰⎰⎰⎰(B)14ydS xdS ∑∑=⎰⎰⎰⎰ (C) 14zdS xdS ∑∑=⎰⎰⎰⎰(D) 14xyzdS xyzdS ∑∑=⎰⎰⎰⎰ 8、下列级数中，绝对收敛的是（ ）。
高等数学A(下册)期末考试试题
高等数学A(下册)期末考试试题大题 一 二 三 四 五 六 七 小题1 234 5得分一、填空题：（本题共5小题，每小题4分，满分20分，把答案直接填在题中横线上）1、已知向量a r 、b r满足0a b +=r r r ，2a =r ，2b =r ，则a b ⋅=r r ．2、设ln()z x xy =，则32zx y∂=∂∂ ． 3、曲面229x y z ++=在点(1,2,4)处的切平面方程为 ．4、设()f x 是周期为2π的周期函数，它在[,)ππ-上的表达式为()f x x =，则()f x 的傅里叶级数 在3x =处收敛于 ，在x π=处收敛于 ．5、设L 为连接(1,0)与(0,1)两点的直线段，则()Lx y ds +=⎰ ．※以下各题在答题纸上作答，答题时必须写出详细的解答过程，并在每张答题纸写上：姓名、学号、班级． 二、解下列各题：（本题共5小题，每小题7分，满分35分）1、求曲线2222222393x y z z x y⎧++=⎪⎨=+⎪⎩在点0M (1,1,2)-处的切线及法平面方程． 2、求由曲面2222z x y =+及226z x y =--所围成的立体体积．3、判定级数11(1)lnn n n n∞=+-∑是否收敛？如果是收敛的，是绝对收敛还是条件收敛？ 4、设(,)sin x z f xy y y =+，其中f 具有二阶连续偏导数，求2,z zx x y∂∂∂∂∂． 5、计算曲面积分,dS z ∑⎰⎰其中∑是球面2222x y z a ++=被平面(0)z h h a =<<截出的顶部． 三、（本题满分9分） 抛物面22z x y =+被平面1x y z ++=截成一椭圆，求这椭圆上的点到原点的距离的最大值与最小值．（本题满分10分）计算曲线积分(sin )(cos )x x Le y m dx e y mx dy -+-⎰，其中m 为常数，L 为由点(,0)A a 至原点(0,0)O 的上半圆周22(0)x y ax a +=>．四、（本题满分10分）求幂级数13nn n x n∞=⋅∑的收敛域及和函数．五、（本题满分10分）计算曲面积分332223(1)I x dydz y dzdx zdxdy ∑=++-⎰⎰，其中∑为曲面221(0)z x y z =--≥的上侧．六、（本题满分6分）设()f x 为连续函数，(0)f a =，222()[()]t F t z f xy z dv Ω=+++⎰⎰⎰，其中t Ω是由曲面z =与z =所围成的闭区域，求 3()lim t F t t +→．-------------------------------------备注：①考试时间为2小时；②考试结束时，请每位考生按卷面→答题纸→草稿纸由表及里依序对折上交； 不得带走试卷。
高等数学A2期末复习要点
第七章 微分方程一、教学要求：掌握可分离变量的方程、可降阶微分方程的解法，一阶线性微分方程的解法；二阶常系数齐次线性微分方程的解法。
理解齐次方程的概念；线性微分方程解的性质及解的结构定理。
二、练习题：1、方程的通解中应包含的任意常数的个数为（ ）（A ） 2 （B ） 4 （C ） 3 （D ） 02、微分方程是( )微分方程．A ．一阶线性齐次B ．一阶线性非齐次C ．可分离变量D ．二阶线性齐次3、已知，，是方程的三个解，则通解为 ( ) ABC D4、已知是某二阶非齐次常微分方程的三个解，则该方程的通解为（ ）A ．B ．C ．D ．5、微分方程不是 ( )A. 线性方程B. 非齐次线性方程C. 可分离变量方程D. 齐次方程6、下面哪个不是微分方程的解（ ）（A ） （B ） （C ） （D ） 7、微分方程的通解是 8、微分方程的通解是222(1)1xxd ye e dx+⋅+=2(1)0y dx x dy --=x y cos =xe y =x y sin =()()()xf y x Q dx dyx P dxy d =++22xc e c x c y x sin cos 321++=()()x x e x c e x c y -+-=sin cos 21()x c x c e c c y x sin cos 12121--++=()x c x c e c c y xsin cos 12121++++=2,sin ,1x y x y y ===221sin 1x C x C y ++=2321sin x C x C C y ++=21221sin C C x C x C y --+=212211sin C C x C x C y --++=0ydx xdy -=''5'60y y y +-=65x x e e -+x e 6x e -6x x e e -+01=+''y 044=+'+''y y y9、微分方程的通解为 10、微分方程满足初始条件的解为 11、微分方程的通解是12、微分方程的通解是 13、微分方程的通解为 14、方程x x y sin +=''的通解是=y 15、微分方程04=+''y y 的通解为16、求微分方程25)1(12+=+-x x y dx dy 的通解 17、求微分方程x e y dx dy-=+的通解 18、求方程1sin '+=xy y x x的通解．第八章 向量代数与空间解析几何一、教学要求：掌握向量的运算（线性运算、数量积、向量积）；单位向量、方向数与方向余弦、向量的坐标表达式及其运算；平面方程和直线方程及其求法；两个向量垂直与平行的条件。
高等数学A2复习题(2018-new)
高等数学A （2）复习题一、空间解析几何1. 设→→→→+-=k j i a 2，→→→→-+=k j i b 3， 求：(1) 与→a ，→b 均垂直的单位向量；(2) )()23(b a b a ρρρ⨯•-→；(3) 向量→a 的方向余弦。
2. 已知三角形的顶点为A )2,1,3(-、B )2,2,4(、C )3,0,1(，求此三角形的面积。
3. 已知 →→→→+-=k j i a 3，→→→→+-=k j i b 2，计算以→a ，→b 为邻边的平行四边形的面积。
4. 平行四边形ABCD 的两边为b a AB ϖρ2+=→--，3AD a b =-u u ur r r ，其中2,3==b a ρρ，并且a b ⊥r r ，求：(1)b a ρρ+；(2) 平行四边形ABCD 面积。
5. 求由yOz 平面上曲线 223y z -= 绕Oz 轴旋转一周所得的曲面方程。
6. 求过点)2,3,1(-且平行于平面132=-+z y x 的平面方程。
7. 求点)2,2,1(0-P 与平面11435=-+z y x 的距离。
8. 求直线 41112:1--==+z y x L 与 22221:2-=-+=z y x L 的夹角。
9. 求过点)5,3,2(-且与平面 13=+y x 垂直的直线方程。
10. 求过点），，（4120-P 且与直线 ⎩⎨⎧=---=-+-022012z y x z y x l ： 平行的直线方程。
11. 求平面1x z -=与xOy 平面的夹角。
12. 求过点)3,2,1(且与直线223032+12=0x y z x y z ++-=⎧⎨-+⎩垂直的平面方程。
二、多元函数微分学1．求极限 （1）x xyy x sin lim)2,0(),(→；（2）xyxy y x 11lim)0,0(),(-+→；（3）2222)0,0(),(cos 1)(limyx y x y x +-+→；（4）y x y x xye xy +→+)1ln(lim )0,1(),(；（5）2222)0,0(),(1sin)(limy x y x y x ++→。
高等数学A（二）期末复习题
⾼等数学A（⼆）期末复习题⾼等数学A （⼆）期末复习题⼀、填空题1、设(1,2,1),(2,3,1)a b =-=r r ，则a br r .2、过点()3,4,1-且与直线5123--==-z y x 平⾏的直线⽅程为。
3、⽅程b az y x =+-2224，当0=a ，2=b ；4-=a ，2-=b ；0=a ，0=b 时依次表⽰的曲⾯是，，。
4、曲线222212z x y z x y ì?=+?í?=--??在xoy ⾯内的投影曲线的⽅程是。
5、设22y xy x u +-=，()1,10P ，()=0P u grad , du = 。
6、设,3ln sin 2=-z y y x 则=??xz ，=??y z 。
7、交换积分次序 ()1,dxf x y dy -=蝌。
8、=--??≤+dxdy y x y x 122221 。
9、设D 是xoy 平⾯内的⼀块密度为()y x ,µ的薄板，质量M = 。
10、()=++?ydy e dx my y ex L其中L 为沿上半圆周()0222>=+a ax y x 从点()0,2a A 到点()0,0O 的⼀段弧。
⼆、选择题1、直线37423zy x =-+=-+与平⾯3224=--z y x 的关系是（）（A ）平⾏，但直线不在平⾯上（B ）直线在平⾯上（C ）垂直相交（D ）相交但不垂直 2、下列曲⾯中是旋转抛物⾯的是（）（A ）0422=-+z y x（B ）04222=-+z y x （C ）042222=-+z y x（D ）04222=-+z y x3、()xyz f u =，f 可微，则=??xu （）（A ）dx df （B ）()xyz f ' （C ）()xyz f yz ' （D ）dxdf yz 4、设22z xy u -=，u 在点()1,1,2-处的⽅向导数的最⼤值为（）（A ）62 （B ）4 （C ）()1,1,2-u grad （D ）6 5、设4:22≤+y x D ，f 在D 上连续，则()=+??dxdy y x f D22（）（A ）()ρρρπ?d f 22 （B ）()ρρρπ?ρρπd f 2022 （D ）()ρρρπ?d f 146、⽤格林公式计算()dy xy dx y x c22+-?，其中:c 沿圆222R y x =+逆时针⽅向绕⼀周，则得（）（A ）24203R d d R π-=ρρθ-π（B ）??=D dxdy 00 （C ）2)(422R dxdy y x D π=+?? （D ）3232R d d D π=θρρ??7、若级数()nn n x a 20-∑∞=在2-=x 处收敛，则此级数在5=x 处（）（A ）必发散（B ）必条件收敛（C ）必绝对收敛（D ）敛散性不能确定第⼋章：向量代数与空间解析⼏何1、求过点A （0，1，2）且与直线L ：21111zy x =--=-垂直相交的直线⽅程。
深圳大学大一期末高数线代复习资料
文档来源为:从网络收集整理.word 版本可编辑.欢迎下载支持.深圳大学期末考试试卷开/闭卷 闭A/B 卷 A课程编号课程名称高等数学B(1)学分 4命题人(签字) 审题人(签字) 2006 年 12 月10日高等数学B （1）21试卷一.选择与填空题(每题3分，共18分)1.当0x →时，)sinx x (x +与2x 比较是（ ） A . 同阶但不等价无穷小 B . 等价无穷小 C . 高阶无穷小 D . 低阶无穷小2.曲线3x x y 3-=上切线平行于x 轴的点有（ ） A .(0,0) B .(1,2) C .(-1,2) D .(1,-2)3.若c e x dx )x (f -x 2+=⎰ 则=)x (f （ ）。
A . e x x B . x 2e x C . x 2xe D . )x -2x (e 2-x4.求极限3()1lim xx x x →∞+-=______________________。
5.设x e 是)x (f 的原函数，则⎰=dx )x (xf __________。
6.曲线2)1(12--=x x y 的铅垂渐近线是____________。
二.计算题：（每题6分，共48分）1.求极限4x 23x x lim 222x -+-→2.求极限)x1sinx 1(lim 0x -→ 3 .e sin tan x y x x =+ 求dxdy。
4. 设y x e x y +=,y 是x 的函数，求'y ；5.设()e f x y = 求y '' ；6. 322sin , x y x y =设 求d ；7. 求2ln(1)x dx +⎰； 8. 求⎰-dx e x 3x 2；三.设f (x )=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>=<01sin 0 (0sin 1x x x x k x x x 常数） 问当k 为何值时，函数在x =0处连续？为什么？（7分）四、ln(1) 01xx x x x<+<>+ 利用拉格朗日中值定理证明不等式对一切成立．（7分） 五. 判定曲线x x e y -=的单调性、极值、凹向及拐点 （10分） 六. 某厂每批生产某种商品x 单位的费用为 2005x )x (C += （元） 得到的收益是201x .010x )x (R -= （元）求:1.生产10个单位时的边际成本和边际收益.2.每批应生产多少单位时才能使利润最大。
高等数学A(2)复习题(统一版、2017年)(1)
7、求过点 (0,1,3) 且与平面 : x 2 y 2 z 1 0 垂直的直线方程，并求出直线与平面的交点坐标.
x 1 y 1 z 垂直相交的直线的方程． 3 2 1 x3 y 2 z 9、求过点 M 0 (1,0,2) 且与平面 3 x 4 y z 6 0 平行，又与直线 L : 垂直的直线方程. 1 4 1
16、过点 ( 2,1,3) 且垂直于直线
x 1 y z 1 的平面方程为 1 2 1
．
17、设一平面通过 z 轴和点 (3,1, 2) ，则其方程为_____________________. 18、 直线
x 2 y 1 z 与平面 2 x 4 y 3 z 2 的位置关系为 1 2 2
38、函数 z x 2 y 2 在点（1,2）处沿从点 A（1,2）到点 B（2,2＋ 3 ）的方向的方向导数等于
2y 39、函数 z xe 在点 P(1,0) 处沿从点 P(1,0) 到点 Q( 2,1) 的方向的方向导数等于
40、函数 z ye 2 x 在点（0,1）处沿向量 {
x 2u 2u 1、设 u arctan ，求 2 , . y x xy
u l
M
. .
xe 2 y 在点 P(1, 0) 处沿从点 P(1, 0) 到点 Q(2, 1) 的方向的方向导数为
2、求三元函数 u x 的全微分 du
y z z 3、设函数 z f ( x 2 y , ), 求 , . x x y
x 0 y 0
xy 2 xy 4 sin xy x
=
26、极限 lim
x 0 y 2
.
27、极限 28、 lim x 0
高等数学(二)期末复习
第四章 不定积分
一. 不定积分
1. 原函数与不定积分的定义
f ( x ) 在区间 I F ′ ( x ) = f ( x ) ∀x ∈ I
设函数 则称 记作
上有意义， 上有意义，若存在 或
F ( x) 是 f ( x)
F ( x ) 使得 dF ( x ) = f ( x ) dx ∀x ∈ I
f ( x ) 在 [ a, b] 上的定积分在几何上表示由曲线 y = f ( x ) 所围成的曲边梯形的面积. x = b, y = 0 所围成的曲边梯形的面积
函数
和直线
x = a,
5.关于函数可积的三个定理 关于函数可积的三个定理 定理1. 定理 如果函数 定理2. 定理 如果函数 在区间 上可积. [a, b]上可积
比较容易计算时， 那么可以利用公式把计算前者转化为计算后者. 比较容易计算时， 那么可以利用公式把计算前者转化为计算后者 (4) 利用分部积分公式时 关键是把被积函数中的一部分看成 利用分部积分公式时,
v′, 并和dx凑成微分
dv, 从而把被积表达式改写成 udv的形式就可.
（5）一般说来，根据不同的被积函数，我们是按照以下的顺序 ）一般说来，根据不同的被积函数，我们是按照以下的顺序: 依次考虑取作
b a
∫ f ( x ) dx = f ( c )( b − a )
ak ( k = 1, 2,L , n )
设函数 (8) 定积分的线性性质: 设 f k ( x ) 定积分的线性性质 为任意常数， 为任意常数，则
上连续， ( x ) 在[ a, b] 上连续， 则∃c ∈ [ a,
b ] , 使得
一、 定积分的概念 上有界， = f ( x ) 在区间 [ a, b ] 上有界，将区间 [ a, b ] 任意分成 个小区间，分点 任意分成n个小区间 个小区间， 依次为 a = x0 < x1 < x2 < L < xn = b, 在每一个小区间 [ xi −1 , xi ]上任意取一点 ci , 设y 作乘积 f ( ci ) ∆xi 分法如何， 分法如何， 1. 定积分的定义
高数A(二)复习试卷解答
上海大学高数A （二）复习试卷解答一、 求下列导数与极限（1）⎰=x xdt t x F cos sin 2cos )(π 求：)(x F '解: )sin (cos cos )cos (cos sin )(22x x x x x F ππ--=' （2）⎰=2sin ln )(x xdx x x Φ 求：)(x Φ'解: x x x x sin ln sin ln 2)(2-='Φ （3）设)(x f 为连续的偶函数，且⎰⎰+=-x x dt t f dt t f x g 1)()()( 求：)('x g解: 0)()()()()('=+-=+--=x f x f x f x f x g（4）xdt t t x x cos 1)1ln(lim)sin(02-+⎰>- 解:2)s i n (2lim sin )sin(]1)ln[sin()cos(2limsin 2)cos()sin(]1)ln[sin(lim cos 1)1ln(lim 3222202220)sin(02==+=⋅⋅+=-+>->->->-⎰x x x x x x x x x x x x x x dt t t x x x x x （5）dt tt x xx ⎰+∞→31221lim解: 31131lim 31lim 1lim1lim 2022203220112233=+=+=++→→→=∞→⎰⎰uu u u u dttt dtttx u u u u uxxx （6）求：⎰-=20arctan )1()(x dt t t x f 的极值点。
解:2)1(,2)1(,0)0(1)1(4a r c t a n )21(22)(11)1(2a r c t a n )(2a r c t an )1(2)(1,1,00a r c t a n )1(22a r c t a n )1()(422222222223212222ππ-=''-=-''=''+-+-=⋅+-+-+-=''=-===-=⨯-='f f f x x x x x x x x x x x x x x x f x x x x x x x x x x f又当01<<-x 时，0)(<'x f ，当10<<x 时，0)(>'x f 所以1,1,0321=-==x x x 都是极值点。
高数 A2 期末考查的知识点
高数A2期末考查的知识点第八章向量代数与空间解析几何约20分（1）了解空间直角坐标系；（2）掌握向量的基本概念、向量的分解与向量的坐标、方向余弦与方向数；（3）理解投影定理。
（4）掌握向量的线性运算性质、向量积、混合积、两向量的夹角及两向量平行与垂直的条件（重点向量积）。
（5）会求平面方程的点法式、一般式、及截距式（重点）；（6）会求两平面的夹角；（7）了解两平面平行与垂直的条件；（8）会求点到平面的距离、（重点掌握）空间直线方程（一般式、点向式、参数式）、两直线的夹角；（9）理解两直线平行与垂直的条件；（10）会求直线与平面的夹角及交点；（11）理解直线与平面平行、垂直的条件；（12）会平面束方程的思想，求解数学问题（重点）。
（13）了解曲面方程、球面方程、旋转曲面的方程（包括圆锥面）、母线平行于坐标轴的柱面方程及空间曲线的方程（一般式、参数式）等概念；（14）会求空间曲线在坐标面上的投影；（3）掌握椭球面、抛物面及双曲面的定义及性质。
第九章多元函数微分法及其应用约23分（1）知道平面点集和n维空间的有关概念；（2）知道多元函数、多元函数的极限和多元函数连续的概念；（3）了解二元函数、二元函数极限、二元函数连续（重点）、二元函数间断点的概念；（4）知道多元函数在有界闭区域上的有界性，最大值最小值定理和介值定理。
（5）理解偏导数与偏导数的几何意义；（6）了解高阶偏导数的定义，知道二阶混合偏导数相等的充分条件；（7）理解全微分的定义，可微、可导与连续之间的关系，了解全微分形式的不变性（重点）；（8）掌握多元复合函数的求导法则，会求多元复合函数的一、二阶偏导数；（9）了解方程和方程组所定的隐函数存在定理的条件与结论，会求方程和方程组所定的隐函数的的导数（重点）；（10）会求空间曲线的切线与法平面的方程，曲面的切平面与法线的方程（重点）；（11）了解方向导数与梯度的概念以及导数、方向导数和梯度之间的联系，会用偏导数求函数的方向导数和梯度；（12）了解二元函数极值与条件极值的概念，掌握二元函数极值、条件极值和最值的求法（重点）。
高等数学期末总复习PPT课件
函数性质
包括有界性、单调性、奇偶性、 周期性等，这些性质反映了函数 图像的形态和变化趋势。
常见函数类型
包括一次函数、二次函数、指数 函数、对数函数、三角函数等， 每种函数都有其独特的图像和性 质。
极限概念与性质
01
极限定义
极限是描述当自变量趋近于某个 特定值时，函数值趋近于某个确 定值的过程。
极限性质
空间曲面与平面的交线
求空间曲面与给定平面的交线方程，以及交 线的性质。
空间曲面与曲面的交线
求两空间曲面的交线方程，以及交线的性质。
08
多元函数微分学及其应用举 例
多元函数概念及性质
多元函数定义
设D为一个非空的n 元有序数组的集合， f为某一确定的对应规则。若对于每一个有序数组( x1,x2,…,xn)∈D，通 过对应规则f，都有唯一确定的实数y与之对应，则称对应规则f为定义在D上的n元函数。
全微分计算方法
全微分反映的是多元函数在某一点附近的全增量与自变量增量之间的线性关系。对于多元函数z=f(x,y)， 其在点(x0,y0)处的全微分dz可以用公式dz=∂z/∂xΔx+∂z/∂yΔy计算。
多元函数极值问题求解方法
无条件极值求解方法
通过求解多元函数的驻点（即偏导数等 于零的点），然后利用二阶偏导数判断 驻点是否为极值点。若驻点的二阶偏导 数矩阵正定，则该点为极小值点；若负 定，则为极大值点；若不定，则需要进 一步判断。
多元函数的性质
包括有界性、单调性、周期性、连续性等。这些性质在研究和应用多元函数时非常重要。
偏导数和全微分计算方法
偏导数计算方法
偏导数反映的是多元函数沿坐标轴方向的变化率，可以通过求导法则和链式法则进行计算。对于多元函数 z=f(x,y)，其关于x的偏导数记为∂z/∂x或fx(x,y)，关于y的偏导数记为∂z/∂y或fy(x,y)。
18-19高数A-2期末A卷参考答案04
[9 乳岸训获丈茅2018-2019学年第二学期本科试卷 课程名称:高等数学（A ・2）期末A 卷参考答案 提示：请将答案写在答题纸上，写在试卷页或草稿纸上的无效。
交卷 时请将答题纸（5-6页）和试卷页分开上交。
写在背面或写错位置的一 定要在原题位1注明写到了答题纸何处。
一、填空题（3分X5=15分）1. 设厶为任意一条逆时针方向的简单闭曲线，则曲线积分^dv + 2dy=_0 ____________ :2. 设2为柱而A -2 + / = 1^O<2<1之间的部分，则曲而积分JJdS=_2/r —:r30 才 _ [ x3. 已知级数工匕的部分和为，贝IJ 级数工知的和s= 1:H-12“J4. 如果幕级数工％疋与的收敛半径分别是2和3,且色h b 「则幕级数71-1H-!£（勺一的收敛半径为 2:/I-15. 微分方程（y ）3+/ = 1是 2 阶微分方程.二、单项选择题（3分X8=24分）1. 若空间区域。
由抛物面z = x 2+y 2及平面z = 11羽成，则。
的体枳不可以表示• • •为(A )・I Jl_I(A) JH(1—F —y'Hvdydz ： (B) L 时一存d)L+$z ： Q (C) d drj 1, rdz ；(D) J ： dz JJ d.vdy.rx 2^y 2<z2. 设厶为直线y = 2x + l 上从点(0,1)到点(1,3)的一段，则对弧长的曲线积分£ xds = ( B ).3. 设厶为曲线y = \nx 上从点（1,0）到点（e,l ）的一段，则对坐标的曲线积分（A ） e ： （B ） 1： （C ） e-1： （D ） ----- ・24•设2为柱Wix 2 + y 2=R 2在0<^< 1之间的部分的外侧，则下列积分为零的是C ).第1页（共6页）□jp(A) J (:皿:（B ）[点皿；(C) L$皿:(D)£：(y-l)dy.年级:2018专业:理工机电计算机类专业课程号:K1101004552. 若空间区域。
高数A(下)总复习(同济七版)
《高等数学A》(第二学期)期末总复习一、微分方程(一)一阶微分方程：形如(,,)0F x y y ，(,)y f x y 或(.)(,)0M x y dx N x y dy初值问题：00(,),x x y f x y yy 注：一阶方程的通解必须且只能含有一个任意常数1． 可分离变量方程：()()f x dx g y dy ，两边同时积分可得通解 2．齐次方程：dy y dx x，令y u x ，y xu ，dy du u x dx dx ()du dx u u x ，可分离变量形式 3．一阶线性微分方程： 形如()()dyP x y Q x dx，()0Q x ：齐次；()0Q x ：非齐次. (1)齐次：()0()||()dy dy P x y P x dx ln y P x dx lnC dx y通解：()P x dxy Ce(2)非齐次①常数变易法：先求相应齐次形式的通解，令其任意常数为变量，再代入原方程以确定该变量②公式解：()()()P x dxP x dx y e Q x e dx C(二)可降阶的高阶微分方程(1)()()n y f x 型：连续积分；(2)(,)y f x y 型(不显含y 的方程)：设y p ，则(,)y p p f x p (3)(,)y f y y 型(不显含x 的方程)：设y p ，则dp y p dy (,)dyp f y p dy(三)二阶线性微分方程的解的结构 1．齐次：()()0y P x y Q x y ，通解：1122()()y C y x C y x ，其中12(),()y x y x 为该方程两个线性无关的特解． 2．非齐次：()()()y P x y Q x y f x通解：()*()y Y x y x ，其中()Y x 为对应的齐次方程的通解，*()y x 为原方程的一个特解．3．设**12(),()y x y x 分别为1()()()y P x y Q x y f x 与2()()()y P x y Q x y f x 的特解， 则***12()()y y x y x 为12()()()()y P x y Q x y f x f x ＋的特解．(四)二阶常系数线性微分方程1.齐次：0y py qy ，其中,p q 都为常数(1)特征方程20r pr q 特征根12,?r r(2)通解：12112121212121,2()(cos sin )r x r x r x x C e C e r r y C C x e r r e C x C x r i2.非齐次：()y py qy f x ，其中,p q 都为常数(1)先求出对应的齐次方程0y py qy 的通解：()Y Y x ； (2)后求原非齐次方程的特解：A、()()x m f x e P x 型：令*()k x m y x e Q x ，其中k 是特征方程的根 的重数B、()[()cos ()sin ]x l n f x e P x x P x x 型：令*[()cos ()sin ]k x m m y x e Q x x R x x ，其中max{,}m l n ，k 是特征根i 的重数.注意事项1) 积分法主要方程类型：可分离变量方程(分离变量后直接积分)、齐次方程(令u y x )、一阶线性方程(公式法)、伯努利方程1()n zy 、可降阶方程(不显含x ：,p y p y 与不显含y ：,p y y p dp dy ) 2) 碰到一个方程都是从可分离变量方程开始判断形式，认清形式最关键3) 二阶常系数非齐次线性微分方程的求解利用解的结构结论：非齐次通解(两线性无关特解的线性组合)=齐次通解+非齐次解；求解步骤为：齐次方程 特征方程 特征根 齐次通解；设非齐次特解形式 代入原方程 求得非齐次特解 非齐次通解二、向量代数与空间解析几何(一)向量代数1.点(,,)M x y z 向量(,,)OM x y z xi yj zk；2.点111222(,,),(,,)A x y z B x y z 向量212121(,,)AB x x y y z z； 3.向量运算及其坐标形式：设(,,),(,,)x y z x y z a a a a b b b b，则(,,)x x y y z z a b a b a b a b；(,,)x y z a a a a （ 为数）；||||cos(,)x x y y z z a b a b a b a b a b a b ；x y z x y zi j ka b a a a b b b ，(||||||sin(,),,)a b a b a b a b b a b a ；以向量a 和b为邻边的平行四边形面积公式：||S a b//y x z x y z b b b a b a a a（对应坐标成比例，一向量某个坐标为零，另一向量相应坐标亦为零）； 0a b a b ；//0a b a b ； cos(,)||||a b a b a b ； ||cos(,)a b b a b Prj . (二)曲面、空间曲线及其方程1.曲面及其方程:(,,)0F x y z ，旋转曲面【绕谁不换谁， 正负根号里没有谁；作图时先画母线然后绕其轴旋转之】，柱面【柱面三缺一，缺谁母线就平行于谁；作图时先画准线结合母线特点得柱面】；要熟悉常见的二次曲面及其方程并会作图(重点：球面，圆柱面，锥面，抛物面)2.空间曲线及其方程：一般方程（面交式）、参数方程(只有一个参数)；3.曲线（曲面或空间立体）在坐标面上的投影：投xOy 便两两联立消去z ，其余类推. (三)平面方程与直线方程 1.平面方程(1)一般方程：0Ax By Cz D ，其中(,,)n A B C为其一法向量．(2)点法式方程：法向量(,,)n A B C，点000(,,)M x y z ，则000()()()0A x x B y y C z z ．(3)截距式方程：1x y za b c，主要用于画图. (4)平面束方程：过直线111122220A xB yC zD A x B y C z D 的平面束方程为：11112222()()0A x B y C z D A x B y C z D ：过该直线的除第2个平面外的所有平面.2.直线方程(1)点向式方程：方向向量(,,)s m n p，点0000(,,)M x y z L ，则000x x y y z z m n p； (2)参数式方程：000x x mty y nt z z pt（注：主要用于求交点坐标）；(3)一般式方程：1111222200A x B y C z D A x B y C z D3.面面、线线、线面关系：确定了相应的方向向量或法向量之后，其夹角便转化为向量之间的夹角4.距离：点0000(,,)M x y z 到平面0Ax By Cz D 的距离：d主要题型（1）向量数量积的运算或求夹角；(2)计算三角形面积（3）求解直线方程和平面方程.注意事项1) 本章的向量是自由向量，与起点无关，可任意平移2) 空间直角坐标系利用右手准则建立，xyz 要满足这样的循环关系x y z x 3) 数量积是个数量，向量积是个向量，重点掌握它们的坐标形式4) 数量积可用于求向量夹角(介于0到 之间)，向量积可用于确定方向及计算三角形或平行四边形面积 5) 一个方程(一个等号)是一个面，两个方程(两个等号)是条曲线 6) 平面主要抓住法向量，直线主要抓住方向向量三、多元函数的微分学及其应用(一)极限与连续二重极限常用求法：夹逼准则、等价无穷小、有理化，不可用洛必达法则；注：特殊方向法只能证极限不存在 连续性①一切多元初等函数在其定义区域内都是连续的；②有界闭区域上的连续函数必有最值. (二)偏导数1.显函数：(,)z f x y a．定义：0000000(,)(,)(,)limx x f x x y f x y f x y x，00(,)y f x y 定义类似；要掌握定义法求偏导b．求导法则：对x 求偏导，暂时视y 为常量；对y 求偏导，暂时视x 为常量c．高阶偏导数：22(,)xx z z f x y x x x ；2(,)xy z z f x y x y y x定理：二阶混合偏导在其连续时相同.d．复合函数的求导法则（链式法则）：若(,)z f u v 具有连续偏导数，而(,)u g x y 与(,)v h x y 都具有偏导数，则复合函数[(,),(,)]z f g x y h x y 的偏导数为：12u x v x x x z z u z vf u f v fg fh x u x v x ，12u y v y y yz z u z v f u f v f g f h y u y v y注①解题时，要注意偏导数以及导数的写法，并按顺序遍历每一个中间变量；②111,,f f f 等都具有相同的中间变量.2.隐函数（要诀：方程两边同时对自变量求导；一个方程确定一个因变量，剩下的全为自变量）(1)一个方程的情形：二元方程可确定一个一元隐函数：(,)0F x y :x ydy F dx F 公式法 三元方程可确定一个二元隐函数：(,)(,)0,z z x y y x z zF z F zF x y z x F y F 公式法：，(2)方程组的情形：三元方程组确定两个一元隐函数：()()(,,)0,(,,)0y y x z z x x F x y z dy dz G x y z dx dx对求导四元方程组可确定两个二元隐函数：(,)(,)(,,,)0(,,,)0u u x y v v x y F x y u v G x y u v对x (或y )求偏导得,u vx x（或,u v y y ） (三)全微分：可微函数(,)z f x y 的全微分为：z zdz dx dy x y. 定义为：0000[(,)(,)]()z f x x y y f x y A x B y o，其中全微分存在之证明：计算 z A x B y ，证明是否趋近于0，其中,A B 为该点处的两个偏导数. (四)几何应用（重点把握切向量和法向量） 1． 曲线的切线与法平面a、 若曲线 的参数方程为：()()()x x t y y t z z t，点0000(,,)M x y z t t ，则切向量为000((),(),())T x t y t z t ，切线方程为000000()()()x x y y z z x t y t z t；法平面方程为000000()()()()()()0x t x x y t y y z t z z b、 若曲线 的方程为：()()y f x z g x ，点000(,,)M x y z ，则切向量为00(1,(),())T y x z xc、 若曲线 的方程为一般方程：(,,)0(,,)0F x y z G x y z，点000(,,)M x y z ，则切向量为00(1,(),())T y x z x （利用隐函数求导法，方程两边对x 求导，解方程组可得,dy dzdx dx）．(注：该法若无解，需改换其它自变量求导) 【另解：利用三阶行列式计算 x y z x y zij k T F F F G G G】2． 曲面的切平面与法线a、 若曲面 的方程为(,,)0F x y z ，点000(,,)M x y z ，则法向量为：((),(),())x y z n F M F M F M，切平面方程为：000000000000(,,)()(,,)()(,,)()0x y z F x y z x x F x y z y y F x y z z z ； 法线方程为：000000000000(,,)(,,)(,,)x y z x x y y z z F x y z F x y z F x y zb、 若曲面 的方程为(,)z f x y ，点000(,,)M x y z ，则法向量为：0000((,),(,),1)x y n f x y f x y，切平面方程为：0000000(,)()(,)()()0x y f x y x x f x y y y z z ； 法线方程为：0000000(,)(,)1x y x x y y z z f x y f x y(五)方向导数与梯度 （以二元函数为例）(1)方向导数：设(,)z f x y 可微分，(cos ,cos )l e，则000000(,)(,)cos (,)cos x y x y f f x y f x y l(2)梯度：(,)((,),(,))x y f x y f x y f x y grad ，沿梯度方向，方向导数取得最大值，该值即为梯度的模.(六)极值 (1)无条件极值：设(,)z f x y ，由(,)0(,)0x y f x y f x y解得驻点00(,)x y ，令000000(,),(,),(,)xx xy yy A f x y B f x y C f x y ，然后利用,,A B C 判定驻点是否极值：20AC B 有极值，0A 极小，0A 极大；20AC B 无极值；20AC B 用此法无法判定．(2)条件极值：(,)z f x y 在条件(,)0x y 下的极值：构造拉格朗日函数，令(,)(,)(,)L x y f x y x y ，联立方程(,)0(,)0(,)0x y L x y L x y x y，其解00(,)x y 为可能的极值点．是否为真正的极值点，一般可由问题的本身性质来判定．(3)闭区域上最值问题：内部区域令一阶偏导为零得驻点；边界通过代入法或拉格朗日乘数法求可疑点.注意事项1) 二重极限与一元函数极限的本质区别在于前者趋近方向有无数多个，而后者只有左右两个 2) 特殊方向法只能用于证明二重极限不存在，绝对不能用于求二重极限3) 掌握右边的关系图4) 求切线和法平面主要抓住曲线切向量，求切平面和法线主要抓住曲面法向量 5) 沿梯度方向，方向导数取得最大值，最大值为梯度模长四、积分的计算与应用(一)二重积分1.直角坐标：(,)D I f x y dxdy 2121():()()()12():()()()12(,),(,),b y x a x b D a y x y x y y x dx y c y d D cx y x y x x y dx f x y dy dy f x y dx若若注(1)利用可任意平移的穿线来确定积分顺序及积分上下限；要先对x 求积分，则画平行于x 轴的穿线 (2)若积分区域不只一条穿线，则适当分割之；(3)常考题型：交换二次积分的积分顺序．2.极坐标： cos ,sin (cos ,sin )x y d d d DI f d d， 注(1)被积函数或积分区域中含有22xy 的都可以考虑极坐标法(2)积分顺序： ；（3）先确定 的范围，后固定 ，选取从极点出发的穿线来确定 .(注：此处的穿线为一条由极点出发的射线，可绕极点任意旋转) 3.对称性(1)奇偶对称性：若积分区域D 关于x 轴对称， 1(,),0D x y D y ，则①当(,)f x y 是关于y 的奇函数，有(,)0Df x y dxdy ；②当(,)f x y 是关于y 的偶函数，有1(,)2(,)DD f x y dxdy f x y dxdy .(2)轮换对称性：若积分区域D 关于直线y x 对称，则(,)(,)DDf x y dxdy f y x dxdy .4.应用： 平面面积DA dxdy ；曲顶柱体体积DV d 上顶下底； a注：求立体体积，不一定要画出立体的准确图形，但一定要会求出坐标面上的投影区域，并知道立体的底和顶的方程.曲面面积xyD A dS（yzD或zxD ）(二)三重积分1.投影法（先一后二法） 1221(,,)|(,)(,),(,)(,)(,)(,,)xy xyx y z z x y z z x y x y Dz x y z x y D I dxdy f x y z dz确定区域：先将立体区域 投影到xOy 平面上，选取平行于z 轴的穿越线确定z 的上下限.2.截面法（先二后一法）(,,)|,(,)(,,)z zx y z c z d x y D dc D I dz f x y z dxdy主要适用于(1)被积函数(,,)f x y z 仅含一种或不含自变量，比如只含z (2)截面应易计算其面积3.柱面坐标 cos ,sin ,x y z zdv d d dzI (cos ,sin ,)f z d d dz； 积分顺序：z ；确定积分上下限同上述投影法，取平行于z 轴的穿线；, 同极坐标.4.球面坐标 2sin cos ,sin sin ,cos sin x r y r z r dv r drd d I2(sin cos ,sin sin ,cos )sin f r r r r drd d积分顺序：r ；(1)将闭区域 投影至xOy 平面，以确定 的范围(2)在半平面c 内确定 的范围(3)固定, ，画一条从原点出发的穿越线，以确定r 的范围.5.对称性(1)奇偶对称性：设积分区域 关于xOy 平面对称①若(,,)f x y z 关于z 为奇函数，则(,,)0f x y z dv；②若(,,)f x y z 关于z 为偶函数， 1(,,),0x y z z ，1(,,)2(,,)f x y z dv f x y z dv.(2)轮换对称性：区域轮换对称即可.(三)曲线积分1.第一类曲线积分（对弧长）a、平面曲线：(,)L f x y ds :(),()L x x t y y t t[(),()]()f x t y tb、空间曲线：(,,)f x y z ds :(),(),()x x t y y t z z t t[(),(),()]()f x t y t z t 2.第二类曲线积分（对坐标），主要考虑平面曲线：(,)(,)L I P x y dx Q x y dyi)参数法：:(),()L x x t y y t ,:t (或t 由 变化到 ){[(),()]()[(),()]()}I P x t y t x t Q x t y t y t dtii）格林(Green)公式：(,)(,)()L D Q PP x y dx Q x y dy dxdy x y；不闭则补之(常取折线)． 注意条件：偏导数处处连续，L 为D 的正向边界曲线．定理：设函数(,),(,)P x y Q x y 在单连通区域D 内处处具有连续的偏导数，则下列命题相互等价： (1)沿D 内任意闭曲线C ，(,)(,)C P x y dx Q x y dy 0 ；(2)(,)(,)L P x y dx Q x y dy 在D 内与路径无关；(3)(,)(,)P x y dx Q x y dy 在D 内为某函数(,)u x y 的全微分，即存在函数(,)u x y ，使得du Pdx Qdy ； (4)在D 内恒有：P Qy x. 这里(,)u x y 可由下列两种方法求得：①线积分法：00(,)(,)(,)(,)(,)x y x y u x y P x y dx Q x y dy C ；选取特殊路径，一般是折线路径. ②偏积分法：由du Pdx Qdy ，得(,)uP x y x； 两边对x 求偏积分可得(,)(,)(,)()u x y P x y dx f x y C y两边对y 求偏导可得(,)()y u f x y C y y ，再由(,)uQ x y y，可解得()C y ，从而得(,)u x y ． (四)曲面积分1.第一类曲面积分（对面积）设:(,)z z x y ，(,)xy x y D，则(,,)[,,(,)]xyD I f x y z dS f x y z x y2.第二类曲面积分（对坐标）：(,,)(,,)(,,)I P x y z dydz Q x y z dzdx R x y z dxdy(1)高斯(Gauss)公式：(P Q RPdydz Qdzdx Rdxdy dxdydz x y z若不闭则补之，一般补平面．注意条件：偏导数处处连续及方向性： 为 的整个边界曲面的外侧． (2)投影法：注意垂直性， 垂直于被投影面,则积分为零．若不垂直，则(,,):(,)[(,),,]yzD P x y z dydz x x y z P x y z y z dydz【前正后负】(,,):(,)[,(,),]zxD Q x y z dzdx y y z x Q x y z x z dzdx【右正左负】(,,):(,)[,,(,)]xyD R x y z dxdy z z x y R x y z x y dxdy【上正下负】(2)化为第一类曲面积分：(cos cos cos )Pdydz Qdzdx Rdxdy P Q R dS注意事项1) 线和面积分的第一类的与方向无关，第二类的与方向有关2) 曲线与曲面积分可以将曲线或曲面方程代入被积函数，重积分一定不能代入3) 非封闭曲线上的第二类曲线积分的计算常用格林公式：先补辅助线，注意曲线方向与已知曲线一致；一般补折线4) 非封闭曲面上的第二类曲面积分的计算常用高斯公式：先补辅助面，辅助面的设定要有三个元素，分别是方程、侧和范围(即投影区域)；注意侧要保证一致对外或一致对内 5) 积分的实际意义1. 定积分：曲边梯形的面积、旋转体的体积、曲线长度、直线质量、恒力沿直线作功2. 二重积分：曲顶柱体的体积、平面质量3. 三重积分：立体质量4.第一类曲线积分：曲线质量5. 第二类曲线积分：变力沿曲线作功6. 第一类曲面积分：曲面质量7.第二类曲面积分：变速度流体流过曲面的流量五、级数(一)常数项级数及其收敛性1.定义：1n n u收敛（发散） lim n n s 存在（不存在）【部分和12n n s u u u 】2.基本性质：(1)1(0)n n ku k 与1n n u具有相同的敛散性；(2)1n n u 与1n n v 都收敛 1()n n n u v收敛；(3)改变有限项的值不影响级数的敛散性； (4)收敛的级数可以任意加括号； (5)若1n n u收敛，则lim 0n n u ；反之未必； (6)若lim 0n n u，则1n n u发散.3.特殊级数的收敛性【必须牢记之】：①调和级数11n n发散； 1111n n n 条件收敛；②p 级数11p n n ：当1p 时收敛，当1p 时发散； 1111n pn n：1p 时绝对收敛，当1p 时条件收敛. ③等比级数（几何级数）0n n aq，当||1q 时发散，当||1q 时收敛，且0(||1)1n n aaq q q． 4.正项级数审敛法：1n n u，其中0(1,2,)n u nI、1n n u收敛 部分和n s 有界；II、比较审敛法：(1)()n n u v n N ，若1n n v 收敛，则1n n u收敛；(2)极限形式：lim(0)nn nu l l v ，1n n u 和1n n v 具有相同的敛散性； 若0l ，则1n n v收敛，1n n u也收敛；若l ， 1n n v发散，1n n u也发散. 【可利用无穷小的比较记忆】III、比值(根值)审敛法：1lim)n n n nu u ，当1 时收敛；当1() 时发散；而当1时用此法不能判定其收敛性，转而用II 或I．5.交错级数 1(1)(0,1,2,)n n n n u u n：一般项绝对值{}n u 单调递减趋于零．6.任意项级数 1n n u（n u 为任意常数）：综合以上各方法来判断发散或收敛（绝对收敛，条件收敛）(二)幂级数 0()nn n n n u x a x或00()n n n a x x1.收敛半径： (1)若0n a 【不缺项】：1lim (lim n n n n a a ，,01,00,R (2)若缺项：如200()n n n n n u x a x ，由1()lim1()n n n u x u x ，解得收敛区间． 2.收敛域：先求收敛半径R ，可得收敛区间(,)R R ，再讨论端点x R 处的收敛性可得所求的收敛域3.幂级数和函数的求法：先求收敛域，再利用幂级数的运算性质（加减乘除四则运算，逐项求导，逐项积分，和函数的连续性）以及换元法，然后代已知的展开式，可得所求的和函数． 注：主要参照等比级数4.函数展开成幂级数 00()()n n n f x a x x()x I1）直接展开法：【利用泰勒展开定理】求导数得系数，写出泰勒级数，求其收敛域，最后记得判定余项趋于零，便可得到所求的展开式．2）间接展开法：利用幂级数的运算性质（加减乘除四则运算，逐项求导，逐项积分）以及换元法，然后代已知的展开式，可得所求的展开式．注：了解以下6个常用的展开式（重点是前两个）： ①01(||1)1n n x x x 、01(1)(||1)1n n n x x x ; ②0(||)!n x n x e x n ③210sin (1)(||)(21)!n n n x x x n ; ④20cos (1)(||)(2)!nn n x x x n⑤10ln(1)(1)(11)1n nn x x x n ⑥1222(1)(1)(1)(1)112!!m n n n m m m m m m m m n x C x C x C x mx x x n (三)傅里叶级数：只列举2T 情形，一般周期2T l 类似．1.傅里叶级数展开式：01()(cos sin )2n n n a f x a nx b nx 2.傅里叶系数： 1()cos (0,1,2,)n a f x nxdx n ，1()sin (1,2,)n b f x nxdx n(1)当()f x 为奇函数时，00(0,1,22()(1,2,3)n n a n b f x sinnxdx n) 此时级数变为1n n b sinnx ，称为正弦级数 (2)当()f x 为偶函数时，02()(0,1,20(1,2,3)n n a f x cosnxdx n b n ) 此时级数变为01cos 2n n a a nx ，称为余弦级数 3、收敛性条件：在一个周期内(1)处处连续或只有有限个第一类间断点；(2)只有有限个极值点．4、和(函数)： 01(cos sin )2n n n a a nx b nx ()()()()()2f x x f x f x f x x f x 为的连续点为的间断点 5.函数展开成傅里叶级数的题型(1)若()f x 为2T 的周期函数，则对()f x 验证收敛定理的条件，求出()f x 的间断点，利用收敛定理，写出()f x 的傅里叶级数的收敛性，再求出傅里叶系数，最后写出所求的傅里叶级数展开式．注意：必须写出展开式成立的范围，在展开式不成立的点（必为间断点）必须指明傅里叶级数的收敛性．(2)若()f x 只在[,] 上有定义，则必须对()f x 进行周期延拓，然后对周期延拓后所得的函数()F x 的傅里叶级数展开式限制在[,] 上讨论．(3)若()f x 只在[0,] 上有定义，对()f x 进行奇(偶)周期延拓，可得正弦（余弦）级数．。
高等数学A(二)B期末考卷及解答海大
高等数学A(二)B期末考卷及解答海大一、选择题（每题1分，共5分）1. 设函数f(x)在x=0处可导，且f'(0)=2，则下列选项中正确的是（）A. lim(x→0) [f(x)f(0)]/x = 0B. lim(x→0) [f(x)f(0)]/x = 2C. lim(x→0) [f(x)f(0)]/x = 1D. lim(x→0) [f(x)f(0)]/x = 22. 设函数f(x)在区间[0,1]上连续，且满足0≤f(x)≤1，则下列选项中正确的是（）A. ∫(0,1) f(x) dx = 0B. ∫(0,1) f(x) dx = 1C. ∫(0,1) f(x) dx = 0.5D. 无法确定3. 设矩阵A为3阶方阵，且|A|=3，则下列选项中正确的是（）A. A可逆B. A不可逆C. A的行列式为0D. A的行列式为34. 设函数y=f(x)在点(x0,y0)处的切线方程为yy0=2(xx0)，则下列选项中正确的是（）A. f'(x0)=0B. f'(x0)=1C. f'(x0)=2D. f'(x0)不存在5. 设函数f(x)在区间[a,b]上可导，且f'(x)>0，则下列选项中正确的是（）A. f(x)在[a,b]上单调递增B. f(x)在[a,b]上单调递减C. f(x)在[a,b]上取得最大值D. f(x)在[a,b]上取得最小值二、判断题（每题1分，共5分）1. 函数f(x)在x=0处可导，则f(x)在x=0处连续。
（）2. 若函数f(x)在区间[a,b]上可导，则f(x)在[a,b]上一定连续。
（）3. 矩阵A的行列式为0，则A不可逆。
（）4. 二重积分的值与积分次序无关。
（）5. 若函数f(x)在区间[a,b]上单调递增，则f'(x)>0。
（）三、填空题（每题1分，共5分）1. 设函数f(x)=x^33x，则f'(x)=______。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
《高等数学A(2)》期末复习题
一.填空题(每题3分，共24分)
1.函数)122ln()arccos(2222-+++=y x y x u 的定义域是
2.函数z y x xy z y x u 62332222--++++=在原点沿)1,2,1(=方向的方向导数 为
3.过点)1,2,1(-且平行于直线
1
3121-=-=+z
y x 的直线方程是 4.设y
xe z =，则=∂∂∂y
x u
2
5.设}|),{(222R y x y x D ≤+=，则积分⎰⎰=+-D y x dxdy e )(2
2 . 6.设⎩⎨
⎧≤<+≤<--=.
0,1,0,
1)(2
ππx x x x f ， 则其以π2为周期的傅里叶级数在π=x 处收敛于 .
7. 已知 2)(=⋅⨯c b a ，则=⋅-⨯+c b a b a
)]()[( . 8. 幂级数∑∞
=-1
4)1(n n n
n
n x 的收敛半径是 .
二.单项选择题：(每题3分，共24分) 1.下列各极限都存在,则(0,0)y f 定义为( ).
A. x x f y x f x ∆∆+-∆+∆+→∆
)0,0()0,0(lim 0
B. x
f x f x ∆-∆+→∆)
0,0()0,0(lim 0 C. x f y x f x ∆-∆+∆+→∆)0,0()0,0(lim 0 D. x f y f x ∆-∆+→∆)0,0()0,0(lim 0 2 .函数(,)z f x y =在点00(,)x y 处的两个一阶偏导数都连续是函数(,)f x y 在该点处连续的( )条件.
A.必要非充分
B.充分必要
C. 充分非必要
D.非充分也非必要 3. 设函数22)(2),(y x y x y x f -+-=的驻点为( ) A. )1,1( B. )1,1(- C. )1,1(- D. )1,1(--
4. 函数)cos(y x x z -=，=dz ( ).
A. dy y x x dx y x x y x )sin())sin()(cos(-+---
B. dy y x x dx y x x y x )sin())sin()(cos(---+-
C. dy y x x dx y x x y x )sin())sin()(cos(-+-+-
D. dy y x x dx y x x y x )sin())sin()(cos(----- 5. =⎰⎰-dx y x f dy y 2
10
1
0),(( ).
A. dy y x f dx x ⎰⎰-2
10
1
0),( B.
dy y x f dx y ⎰⎰
-1
010),(2
C. dy y x f dx x ⎰⎰-2
10
1
0),( D.
dy y x f dx x ⎰
⎰+210
1
),(
6. 设S 表示上半球面0 ,4222≥=++z z y x ，则曲面积分⎰⎰S d σ的几何意义是( )
A.上半球体的体积
B. z 平面上圆域0 ,422==+z y x 的面积
C.上半球面0 ,4222≥=++z z y x 的表面积
D. 以上选项都不对 7. 设∑∞
=1n n a 是正项级数，则下列结论正确的是( )
A. 若0lim
=∞
→n n na ，则级数 ∑∞
=1
n n
a
收敛
B. 若存在非零常数λ，使得λ=∞
→n n na lim ， 则级数∑∞
=1
n n a 发散 C. 若级数∑∞
=1n n a 收敛，则0lim 2=∞
→n n a n D. 若级数∑∞
=1
n n a 发散，则存在非零常数λ，使得λ=∞
→n n na lim 8. 微分方程x e x y y y 2444+=+'-''的特解具有形式( ) A. x e Bx A 22+ B. x e Cx B Ax 22++ C. x e Cx Bx Ax 222++ D. x Cxe B Ax 22++
三．（8分） 设函数),(y x z 由方程z xy xyz 2)arctan(=+确定，求x z ∂∂，y
z
∂∂。
四．（10分） 计算三重积分⎰⎰⎰Ωzdxdydz ，其中Ω是由22y x z +=与2=z 所围的立体。
五．（10分） 计算⎰⎰∑
zdxdy ，其中∑是由)0,0,1(A ，)0,1,0(B ，)1,0,0(C 为顶点的三
角形平面的上侧。
六．（8分） 设数列}{n b 满足0>n b ， ,2,1=n ，且级数∑∞
=12
n n a 收敛，证明级数
∑∞
=+-1
2
)1(n n
n n
b n a 绝对收敛。
七．（8分） 修建一座容积为V ，形状为长方体的水池。
已知水池侧壁单位面积的造价是池底每单位造价的2/1，问如何设计长，宽，高使它的总造价最低。
（用拉格朗日乘数法求解）
八．（8分） 计算曲线积分⎰-++C
dy y y x dx x y )sin 3()3(222，C 为曲线2x y =上
从点)1,1(-A 到点)1,1(B 的一段。