《材料力学》第七章
材料力学第7章讲解
根据对材料的均匀、连续假设进一步推知，拉(压)杆横截面上的内力均匀分布，亦即横
衡方程： Fx 0
-FR + F2 F1 0
A
1 B 2C
FR=F2-F1=50-20=30kN
（2）计算各段轴力，研究AB段，假想
FR
1
2
F F N1
N2
F2
1-1截面将杆件分为两部分，取左端为研
A
究对象，画受力图，列方程：
1
2C
Fx 0 FN1-FR=0 FN1=FR=30kN
30kN
再研究BC段，假想2-2截面将杆件分为两部分， 取右端为研究对象，画受力图，列方程：
8
§7-2 轴向拉（压）时横截面上的内力
例题 试作此杆的轴力图。
40KN
55KN 25KN
20KN
解： 1、为求轴力方便，先求
出约束力 ∑Fx=0
-FR-F1+F2-F3+F4=0 FR=10KN
FR
取横截面1－1左边为分
A 600
B
C
300
500
D
E
400
1800 1 F1=40KN 2 F2=55KN3 F3=25KN 4 F4=20KN
截面法求内力 1）假想沿 m-m 横截面将杆切开，如图a。
2）杆件横截面 m-m 上的内力是一个分布的力系，其合力为 FN
3）由于外力的作用线沿杆的轴线，同二力平衡公理，FN的作用线 也必定沿杆的作用线。
4） FN 为杆件在横截面 m-m 上的轴力。取左半部分为研究对象图b。
Fx 0
FN F
FN F 0 图a F
§7-3 轴向拉（压）时横截面及斜截面上的应力 （1）轴向拉（压）时横截面上的应力
材料力学第七章应力状态和强度理论
x y 2 a 0 2
x y x y 2
x y
2
) x
2
2
例题1: 已知:单元体各侧面应力 x=60MPa,
求: (1) = - 450斜截面上的应力,(2)主应力和主平面
dA
y
x y
2
sin 2 xy cos2
y
yx
应力圆
y
1 R 2
x
y
2
4 2 xy
x
yx xy x
y
R c
x y
2
2
x
xy
x´
dA
yx
y´
y
x y 1 2 2 2
40
x y
2 0.431MPa
sin( 80 ) xy cos(80 )
C
C
C
例题3：已知梁上的M、Q，试用单元体表示截面上1、2、
3、4点的应力状态。
1
2 0
2
1点 2点
1 2 0 3
3Q ＝ 2A
M x Wz
2 xy
x y
2 20.6 0.69 60 0
17.2
x y
2 (
6.4MPa
2 34.4
max(min)
x
17.20
x y
2
) xy
2
2
x
66.4MPa
60 0 60 0 2 ( ) 20.6 2 2 2 66.4(6.4) MPa
材料力学：第七章 弯曲变形
(1) 挠度w大小取决于M, E, I三个参数 应该取较小的M, 较大的E, I
(2) 弯矩M大小取决于载荷\约束分布及梁跨度大小
(3) 截面惯性矩I 大小和截面形状有关,
弹性模量E大小和材料有关
Iz =
y2dA,
A
当A大小一定时, y越大, I 越大
梁的合理刚度设计
选择I 较大的薄壁横截面形状
1 度静不定 选 FBy 为多余力, 去约 束, 写出位移边界条件
－变形协调条件 －物理方程
利用边界条件 解出未知力
列平衡方程,求其他约束力:
－补充方程
分析方法与步骤：
判断梁的静不定度
用多余力代替多余约
束的作用，得相当系统
相当系统
相当系统有多种选择:
计算相当系统在多余约
束处的位移，并根据变形 协调条件建立补充方程。
例题
解：
()
()
例题
例题
解：
()
()
()
例题
图示组合梁，EI=常数，求 wB 与qA
例题
解：
P378, 情况8
()
P377, 情况1,2
()
例题
图示刚架，求截面 C 的铅垂位移
例题
解：
位移w1包括AB弯曲 和AB扭转两部分
例题
矩形截面梁, 自由端承受集中载荷F作用, 该载荷与对 称轴y的夹角为θ, 用叠加法计算自由端求自由端截面形心C
的位移d
解：
例题
一般情况下
挠曲轴与外力作用面一般不重合
§6 简单静不定梁
静不定度与多余约束 简单静不定梁分析方法
静不定度与多余约束
静不定度 4-3= 1
材料力学 第07章 应力状态分析与强度理论
sin2a t xy cos2a
18/95
7.2 平面应力状态分析 主应力 7.2.3 主平面的方位及极值正应力 s x s y s x s y sa cos2a t xy sin2a 2 2 s x s y ds a 上式对a 求导 2 sin2a t xy cos2a da 2 s x s y 若a a0时，导数为 0 sin2a 0 t xy cos2a 0 0 2 2t xy tan2a 0 s x s y
7.2.5 应力圆
t
sx
tyx
sy
sx txy sy
D(sx,txy) 1. 确定点 D (s ,t ) x xy
O
D'(sy,tyx)
C
s
2. 确定点D' (sy,tyx) tyx= －txy 3. 连接DD'与s 轴交于点C 4. 以 C 为圆心，CD（CD'） 为半径画圆。
26/95
7.2 平面应力状态分析 主应力 7.2.5 应力圆
sx sy sz
sxs1 100 MPas 2
0 MPas 3 120 MPa
11/95
7.1 一点的应力状态的概念 单向、二向(平面)、三向(空间)应力状态 三个主应力中仅有一个主应力不为零 单向应力状态
s1
s1
F
A
F
12/95
7.1 一点的应力状态的概念 单向、二向(平面)、三向(空间)应力状态
O
D'(sy,tyx)
C sx－ sx sy/2
s
27/95
7.2 平面应力状态分析 主应力 7.2.5 应力圆 利用应力圆确定角a 斜截面上的正应力和切应力
材料力学笔记(第七章)
材料力学（土）笔记第七章 应力状态和强度理论1．概 述在轴向拉压、圆杆扭转和对称弯曲各章中，构件的强度条件为max []σσ≤或max []ττ≤工作应力由相关的应力计算公式计算材料的许用应力是通过直接试验，测得材料相应的极限应力在受力构件的同一截面上，各点处的应力一般是不同的通过受力受力构件同一点处，不同方位截面上的应力一般也是不同的在一般情况下，受力构件截面内的一点处既有正应力、又有切应力若需对这类点的应力进行强度计算则不能分别按正应力和切应力来建立强度条件，而需综合考虑正应力和切应力的影响 一方面要研究通过该点各不同方位截面上应力的变化规律从而确定该点处的最大正应力和最大切应力及其所在截面的方位受力构件内一点处不同方位截面上应力的集合即通过一点所有不同方位截面上应力的全部状况，称为一点处的应力状态关于材料破坏规律的假设，称为强度理论2．平面应力状态的应力分析·主应力为研究受力构件内任一点处的应力状态，可围绕该点截取一单元体 由于单元体各边长均为无穷小量故单元体各表面上的应力可视为均匀分布，且任意的一对平行的平面上的应力相等平面应力状态：若单元体有一对平面上的应力等于零，即不等于零的应力分量均处于同一坐标平面内当其他两对平面上的正应力和切应力均不等于零时，为平面应力状态的普遍形式研究在普遍形式的平面应力状态下的应力分析即由单元体各面上的已知应力分量来确定其任一斜截面上的未知应力分量并从而确定该点处的最大正应力及其所在截面的方位2.1 斜截面上的应力设一平面应力状态单元体上的应力为x σ、x τ和y σ、y τ前、后两平面上的应力为零，可将该单元体用平面图形表示为求该单元体与前、后两平面垂直的任一斜截面上的应力，应用截面法设斜截面ef 的外法线n 与x 轴间的夹角（方位角）为αα截面上的应力分量用ασ和ατ表示正应力以拉应力为正，压应力为负切应力以其对单元体内任一点的矩为顺时针转向者为正，反之为负假想地沿斜截面ef 将单元体截分为二，取左边部分edf 为研究对象 设斜截面ef 的面积为dA ，斜截面上的应力ασ和ατ均为正值考虑体元平衡，以斜截面的法线n 和切线t 作为参考轴由平衡方程，得0n F =∑，(cos )sin (cos )cos (sin )cos (sin )sin 0x x y y dA dA dA dA dA ασταασααταασαα+-+-= 0tF =∑， (cos )cos (cos )sin (sin )sin (sin )cos 0x x y y dA dA dA dA dA ατταασααταασαα--++=由切应力互等定理可知，x τ和y τ的数值相等据此，可得平面应力状态下任斜截面（α截面）上的应力分量为cos 2sin 222x yx y x ασσσσσατα+-=+- sin 2cos 22x y x ασστατα-=+上面两个式子就是平面应力状态下，任一α截面上应力ασ和ατ的计算公式反映了在平面应力状态下，一点不同方位斜截面上的应力（ασ和ατ）随α角而变化的规律 即一点处的应力状态2.2 应力圆由上述两式可见，当已知一平面应力状态单元体上的应力x σ、x τ和y σ、()y x ττ=时 任一α截面上的应力ασ和ατ均以2α为参变量，从上两式小区参变量2α后，即得2222()()22x yx yx αασσσσσττ+--+=+ 由上式可见，当斜截面随方位角α变化时其上的应力ασ和ατ在στ-直角坐标系内的轨迹是一个圆其圆心位于横坐标轴（σ轴）上，其横坐标为2x yσσ+该圆习惯上称为应力圆，或称为莫尔应力圆下面根据所研究单元体上的已知应力x σ、x τ和y σ、()y x ττ=作出相应的应力圆，并确定α截面上应力ασ和ατ连接1和2两点的直线与轴交于点 以C 点为圆心，1CD 或2CD 为半径作圆该圆圆心的横坐标为2x yσσ+，半径1CD 或2CD 因而该圆就是相应于该单元体应力状态的应力圆由于D 的点坐标为(,)στ，因而，D 代表单元体x 平面上的应力CE就代表α截面上应力ασ和ατ证明如下（略）——教材P215应力圆上的点与单元体上的面之间的对应关系：单元体某一面上的应力，必对应于应力圆上某一点的坐标单元体上任意A ，B 两个面的外法向之间的夹角若为β，则在应力圆上代表该两个面上应力的两点之间的圆弧段所对的圆心角必为2β，且两者转向一致应力圆直观地反映了一点处平面应力状态下任意斜截面上应力随截面方位角而变化的规律 以及一点处应力状态的特征实际应用中，可利用应力圆来理解有关一点处应力状态的一些特征，或分析一点处应力状态2.3 主应力与主平面由应力圆所示，1A 和2A 两点的横坐标分别为该单元体垂直于xy 平面的各截面上正应力中的最大值和最小值，在该两截面上的切应力均等于零 一点处切应力等于零的截面称为主平面主平面上的正应力称为主应力主应力是过一点处不同方位截面上正应力的极值可以证明，必存在这样一个单元体，其三个相互垂直的面均为主平面三个相互垂直的主应力分别记为1σ、2σ和3σ且规定按代数值大小的顺序排列，即123σσσ≥≥研究如何确定该单元体的主平面位置和主应力数值1A 和2A 两点的纵坐标均等于零，而横坐标分别为主应力1σ和2σ 由图可见，1A 和2A 两点的横坐标分别为 11OA OC CA =+，21OA OC CA =-式中，OC 为应力圆圆心横坐标，1CA 为应力圆半径则可得两主应力值为11()2x y σσσ=+11()2x y σσσ=+圆上的1D 点对应x 平面，圆上的1A 点对应1σ主平面 1102D CA α∠=为上述两平面夹角0α的两倍 所示单元体上从x 平面转到1σ主平面的转角为顺时针方向按规定应为负值，由应力圆可得1101tan(2)1()2x x y B D CB τασσ-==- 从而解得表示主应力1σ所在主平面位置的方位角 022arctan x xy τασσ⎛⎫-= ⎪ ⎪-⎝⎭ 由于12A A 为应力圆直径，因而，2σ主平面与1σ主平面相互垂直3．空间应力状态的概念对于受力物体内一点处的应力状态最普遍的情况是所取单元体三对平面上都有正应力和切应力切应力可分解为沿坐标轴方向的两个分量 如x 平面上，有正应力x σ、切应力xy τ和xz τ切应力的两个下标中，第一个下标表示切应力所在平面，第二个下标表示切应力方向 在y 平面上有正应力y σ、切应力yx τ和yz τ；在z 平面上有正应力z σ、切应力zx τ和zy τ 这种应力状态称为一般的空间应力状态在一般的空间应力状态的9个应力分量中，根据切应力互等定理在数值上有xy yx ττ=、yz zy ττ=和zx xz ττ=因而独立的应力分量是6个，即x σ、y σ、z σ、xy τ、yz τ、zx τ可以证明，在受力物体内的任一点处一定可以找到一个主应力单元体其三对相互垂直的平面均为主平面，三对主平面上的主应力分别为1σ、2σ、3σ 空间应力状态时一点处应力状态中最为一般的情况仅一个主应力不等于零的应力状态，称为单轴应力状态对于危险点处于空间应力状态下的构件进行强度计算，通常需确定最大正应力和切应力 当受力物体内某一点处的三个主应力1σ、2σ和3σ均为已知时利用应力圆，可以确定该点处的最大正应力和最大切应力首先，研究与其中一个主平面（例如3σ平面）垂直的斜截面上的应力 应用截面法，沿该斜截面将单元体截分为二，研究其左边部分的平衡由于主应力3σ所在的两平面上是一对自相平衡的力，则该斜截面上的应力σ、τ与3σ无关 于是，这类斜截面上的应力可由1σ和2σ作出的应力圆上的点来表示而该应力圆上的最大和最小正应力分别为1σ和2σ同理，在与2σ（或1σ）主平面垂直的斜截面上的应力σ和τ可用由1σ和3σ（或2σ和3σ）作出的应力圆上的点来表示表示与三个主平面斜交的任意斜截面上应力σ和τ的D 点，必位于上述三个应力圆所围成的阴影范围内在空间应力状态下，该点处的最大正应力（代数值）等于最大的应力圆上A 点的横坐标max 1σσ=最大切应力等于最大的应力圆上B 点的纵坐标，为max 131()2τσσ=- 由B 点的位置可知，最大切应力所在截面与2σ主平面相垂直，并与1σ和3σ主平面互成45°角上述两公式同样适用于平面应力状态（其中有一个主应力等于零）或单轴应力状态（其中有两个主应力等于零），只需将具体问题中的主应力求出，并按代数值123σσσ≥≥排列4．应力与应变间的关系在一般的空间应力状态下有6个独立的应力分量与之相应的有6个独立的应变分量x ε、y ε、z ε、xy γ、yz γ、zx γ讨论在线弹性、小变形条件下，空间应力状态下应力分量与应变分量的物理关系通常称为广义胡克定律4.1 各向同性材料的广义胡克定律一般空间应力状态下单元体的6个独立应力分量中，3个正应力分量的正负号规定同前 而3个切应力分量的正负号规定如下：若正面（外法线与坐标轴正向一致的平面）上切应力矢的指向与坐标轴正向一致或负面（外法线与坐标轴负向一致的平面）上切应力矢的指向与坐标轴负向一致则该切应力为正，反之为负线应变以伸长为正，缩短为负切应变均以使直角减小者为正，增大者为负对于各项同性材料，沿各方向的弹性常数E 、G 、ν均分别相同由于各向同性材料沿任一方向对于其弹性常数都具有对称性因而，在线弹性、小变形条件下，沿坐标轴（或应力矢）方向正应力只引起线应变，而切应力只引起同一平面内的切应变线应变与正应力之间的关系可用叠加原理求得在x σ、y σ、z σ分别单独存在时，x 方向的线应变x ε依次分别为'x x E σε=，''y x E σευ=-，'''zx E σευ=-则在x σ、y σ、z σ同时存在时，可得x 方向的线应变同理可得，y 和z 方向线应变，分别为1[()]x x y z Eεσυσσ=-+ 1[()]y y z x Eεσυσσ=-+ 1[()]z z x y E εσυσσ=-+ 切应变与切应力之间的关系分别为xy xy G τγ=yzyz Gτγ= zx zx Gτγ= 上式即为一般空间应力状态下，在弹性、小变形下各向同性材料的广义胡克定律若已知空间应力状态下单元体的三个主应力，则沿主应力方向只有个线应变，无切应变 与主应力1σ、2σ、3σ相应的线应变1ε、2ε、3ε，称为主应变主应变为一点处各方位线应变中的最大与最小值 广义胡克定律可用主应力与主应变表示为11231[()]Eεσυσσ=-+ 22311[()]Eεσυσσ=-+ 33121[()]E εσυσσ=-+ 材料的三个弹性常数存在着如下关系2(1)E G υ=+4.2 各向异性材料的广义胡克定律木材、玻璃钢纤维增强复合材料的力学性能是与受力方向有关即是各向异性材料每一个应力分量将引起所有的6个应变分量4.3 各向同性材料的体应变构件在受力变形后，通常引起体积变化每单位体积的体积变化，称为体应变，用θ表示12312()Eυθσσσ-=++ 任一点处的体应变与该点处的三个主应力之和成正比5．空间应力状态下的应变能密度物体受外力作用而产生弹性变形时在物体内部将积蓄有应变能，每单位体积物体内所积蓄的应变能称为应变能密度在单轴应力状态下，物体内所积蓄的应变能密度为221222E v E εσσεε=== 对于在在线弹性、小变形条件下受力的物体所积蓄的应变能只取决于外力的最后数值，而与加力的顺序无关设一单元体处于空间应力状态，三个主应力按比例加载方式同时由零增至最终值1σ、2σ、3σ对应于每一个主应力，其应变能密度可以视作该主应力在与之相应的主应变上所作的功 而其他两个主应力在该主应变上并不做功 因此，单元体的应变能密度为1122331()2v εσεσεσε=++ 经整理化简后， 2221231223311(2())2v Eεσσσυσσσσσσ=++-++ 一般情况下，单元体将同时发生体积改变和形状改变1231()3m σσσσ=++其中，m σ称为平均应力将主应力单元体分解为两种单元体的叠加在平均应力的作用下，单元体形状不变，仅发生体积改变 且三个主应力之和与原三个主应力之和相等故其应变能密度就等于原单元体的体积改变能密度，即 2222221(2())2V m m m m m m v Eσσσυσσσ=++-++ 21233(12)12()26m E E υυσσσσ--==++ 分解剩下的单元体的三个主应力和为零，故体积不变，仅发生形状改变其应变能密度就等于原单元体的形状改变能密度化简后可得2221223311[()()()]6d v Eυσσσσσσ+=-+-+- 可以证明，应变能密度=体积改变能密度+形状改变能密度V d v v v ε=+对于一般空间应力状态下的单元体，其应变能密度可用6个应力分量来表达在小变形条件下，对应每个应力分量的应变能均等于该应力分量与相应的应变分量乘积之半1(+)2x x y y z z xy xy yz yz zx zx v εσεσεσετγτγτγ=++++6．强度理论及其相当应力关于材料破坏或失效的假设，称为强度理论材料破坏或失效的基本形式有两种类型：一类是在没有明显的塑性变形情况下发生突然断裂，称为脆性破坏一类是材料产生显著的塑性变形而使构件丧失正常的工作能力，称为塑性屈服第一类强度理论是以脆性断裂作为破坏标志的其中包括最大拉应力理论和最大伸长线应变理论①最大拉应力理论（第一强度理论）这一理论假设：最大拉应力t σ是引起材料脆性断裂的因素认为不论处于什么样的应力状态下只要构件内一点处的最大拉应力t σ（即1σ）达到材料的极限应力u σ材料就会发生脆性断裂至于材料的极限应力u σ，则可通过单轴拉伸试样发生脆性断裂的试验来确定按照这一强度理论，脆性断裂的判据是1u σσ=将式右边的极限应力除以安全系数，就得到材料的许用拉应力[]σ按照第一强度理论所建立的强度条件为1[]σσ≤上式中的1σ为拉应力在没有拉应力的三轴压缩应力状态下，不能采用第一强度理论来建立强度条件式中的[]σ为试样发生脆性断裂的许用拉应力不可能通过拉伸试验测得材料发生脆性断裂的极限应力u σ不能单纯地理解为材料在单轴拉伸时的许用应力②最大伸长线应变理论（第二强度理论）这一理论假设：最大伸长线应变t ε是引起材料脆性断裂的因素认为不论处于什么样的应力状态下只要构件内一点处的最大伸长线应变t ε（即1ε）达到材料的极限值u ε材料就发生脆性断裂同理，材料的极限值同样可通过单轴拉伸试验发生的脆性断裂试验来确定若材料直到发生脆性断裂都可近似地看作线弹性，即服从胡克定律u u E σε=式中u σ及时单轴拉伸试样在拉断时其横截面上的正应力脆性断裂的判据为 1uu E σεε==由广义胡克定律可知，在线弹性范围内工作的构件处于空间应力状态下一点处的最大伸长线应变为11231[()]Eεσυσσ=-+ 上式可改写为 1231[()]u E Eσσυσσ-+= 或 123[()]u συσσσ-+= 将上式右边的u σ除以安全因数记得材料的许用拉应力u σ按第二强度理论所建立的强度条件为123[()][]συσσσ-+≤以上分析中引用了广义胡克定律，所以按照这一强度理论所建立的强度条件只适用于构件直到脆断前都服从胡克定律的情况第二类强度理论是以出现塑性屈服或发生显著的塑性变形作为失效标志的其中包括最大切应力理论和形状改变能密度理论③最大切应力理论（第三强度理论）这一理论假设：最大切应力max τ是引起材料塑性屈服的因素即认为不论处于什么样的应力状态下只要构件内一点处的最大切应力max τ达到了材料屈服时的极限值u τ该点处的材料就发生屈服材料屈服时切应力的极限值u τ，同样可以通过单轴拉伸试样发生屈服的试验来确定 对于像低碳钢这一类的塑性材料，在单轴拉伸试验时材料就是沿最大切应力所在的45°斜截面发生滑移而出现明显的屈服现象的这时试样在横截面上的正应力就是材料的屈服极限s σ对于这一类材料，可得材料屈服时切应力的极限值u τ为2s u στ=按照这一强度理论，屈服判据为 max 2s u σττ==在复杂应力状态下一点处的最大切应力为 max 131()2τσσ=-式中，1σ和3σ分别为该应力状态中的最大和最小主应力屈服判据可改写为 1311()22s σσσ-= 或 13()s σσσ-= 将上式右边的s σ除以安全因数即得材料的许用拉应力[]σ故按第三强度理论所建立的强度条件为 13()[]σσσ-≤在上式右边采用了材料在单轴拉伸时的许用拉应力这只对于在单轴拉伸时发生屈服的材料才适用脆性材料，不可能通过单轴拉伸试验的到材料屈服时的极限值u τ对于这类材料在三轴不等值压缩的应力状态下发生塑性变形时式子右边的[]σ就不能选用材料在单轴拉伸时的许用拉力④形状改变能密度理论（第四强度理论）这一理论假设：形状改变能密度d v 是引起材料屈服的因素认为不论处于什么样的应力状态只要构件内一点处的形状改变能密度d v 达到了材料的极限值du v该点处的材料就发生塑性屈服对于像低碳钢一类的塑性材料因为在拉伸试验时当正应力达到s σ就会出现明显的屈服现象故可通过拉伸试验来确定材料的du v 值，可用2221223311[()()()]6d v Eυσσσσσσ+=-+-+- 将1s σσ=，230σσ==代入上式，从而求得材料的极限值du v 为2126du s v Eυσ+=⨯ 按照这一强度理论，屈服判据d du v v =可改写为222212233111[()()()]266s E Eυυσσσσσσσ++-+-+-=⨯ 可化简为s σ= 再将上式右边得s σ除以安全因数得到材料的许用拉应力[]σ于是按第四强度理论所建立的强度条件为[]σ 式中，1σ、2σ和3σ是构件危险点的三个主应力式子右边采用材料在单轴拉伸时的许用拉应力因而，只对在单轴拉伸时发生屈服的材料适用试验表明，在平面应力状态下一般地说，形状改变能密度理论较最大切应力理论更符合实验结果由于最大切应力理论是偏于安全的，且较为简单，实践中应用较为广泛四个强度理论所建立的强度条件可统一写作[]r σσ≤式中，r σ是根据不同强度理论所得到的构件危险点处三个主应力的某些组合按某一强度理论的相当应力对于危险点处于复杂应力状态的构件进行强度校核时一方面要保证所用强度理论与在这种应力状态下发生的破坏形式相对应另一方面要求以确定许用应力[]σ的极限应力，也必须与该破坏形式相对应7．莫尔强度理论及其相当应力8．各种强度理论的应用根据试验资料，各种强度理论的适用范围归纳如下①强度理论均仅适用于常温，静荷载条件下的匀质、连续、各向同性的材料对于高温、冲击荷载下或材料带有初始裂纹时的材料强度不适用②不论是脆性或塑性材料，在三轴拉伸应力状态下，都会发生脆性断裂宜采用最大拉应力理论，但对于塑性材料，由于单轴拉伸试验不可能发生脆性断裂所以在按最大拉应力理论进行强度校核时，右边的[]σ不能取用单轴拉伸时的许用拉应力值 而应用发生脆断时的最大主应力1σ除以安全因数 ③对于脆性材料，在二轴拉伸应力状态下应采用最大拉应力理论在复杂应力状态的最大和最小主应力分别为拉应力和压应力的情况下由于材料的许用拉、压应力不等，宜采用莫尔强度理论④对于低碳钢一类的塑性材料，除三轴拉伸应力状态外各种复杂应力状态下都会发生屈服现象，一般以采用形状改变能密度理论为宜但最大切应力理论的物理概念比较直观，计算简捷，计算结果偏于安全因而常用最大切应力理论⑤在三轴应力状态下，不论是塑性材料还是脆性材料通常都发生屈曲失效，故一般采用形状改变能密度理论但脆性材料的单轴拉伸试验不可能发生塑性屈服所以，许用应力[]σ也不能用脆性材料在单轴拉伸时的许用拉应力值根据强度理论可从材料在单轴拉伸时的许用拉应力[]σ来推知材料在纯剪切应力状态下的许用应力 在纯剪切应力状态下，一点处的三个主应力分别为123,0,στσστ===-对于低碳钢一类的塑性材料在纯剪切和单轴拉伸两种应力状态下，材料均发生屈服失效。
材料力学第七章知识点总结
p
σα
α
τα
)
(−
B
各边边长,
d x d y
σ
x
σ
y σ
z
τ
xy
τ
yx
τ
yz
τ
zy
τ
zx
τ
xz
（2) 应力状态的分类
a、单向应力状态：只有一个主应力不等于零，另两个主应力
都等于零的应力状态。
b、二向应力状态：有两个主应力不等于零，另一个主应力
等于零的应力状态。
c、三向应力状态：三向主应力都不等于零的应力状态。
平面应力状态：单向应力状态和二向应力状态的总称。
空间应力状态：三向应力状态
简单应力状态：单向应力状态。
复杂应力状态：二向应力状态和三向应力状态的总称。
纯剪切应力状态：单元体上只存在剪应力无正应力。
y
x
σx
σy
σz
τxy τyx
τyz
τzy τzx
τxz
x
y
σx
σy
τyx
τxy
τ第一个下标表示微面元方向,第二个下标表示面元上力的方向
空间问题简化
为平面问题
α——由o
c
b
σττ
σ
ττ
τ
max τ
min
τα
D
A
H
3040MPa
7.27422
)
7.27(=−−
σ
x
σ
y σ
z
τ
xy
τ
yx
τ
yz
τ
zy
τ
zx
τ
xz
y
x
z。
材料力学第七章 应力状态
主平面的方位：
tan
2a0
2 xy x
y
主应力与主平面的对应关系： max 与切应力的交点同象限
例题：一点处的平面应力状态如图所示。
已知 x 60MPa， xy 30MPa, y 40MPa, a 30。
试求（1）a 斜面上的应力； （2）主应力、主平面； （3）绘出主应力单元体。
x y cos 2a
2
x sin 2a
x
a
x y sin 2a
2
x cos 2a
300
10 30 2
10 30 cos 60020sin 600
2
2.32 MPa
300
10 30 sin 600 2
20cos 600
1.33 MPa
a
20 MPa
c
30 MPa
b
n1
y xy
a x
解：（1）a 斜面上的应力
y xy
a
x
2
y
x
2
y
cos 2a
xy
sin 2a
60 40 60 40 cos(60 ) 30sin(60 )
2
2
a x 9.02MPa
a
x
y
2
sin
2a
xy
cos
2a
60 40 sin(60 ) 30cos(60 ) 2
58.3MPa
2
1.33 MPa
300 600 x y 40 MPa
在二向应力状态下，任意两个垂直面上，其σ的和为一常数。
在二向应力状态下，任意两个垂直面上，其σ 的和为
一常数。
证明： a
x y
材料力学第七章组合变形
P2=406N
外力向形心简化并分解 弯扭组合变形
每个外力分量对应 的内力方程和内力图
M (x)
M
2 y
(
x)M
2 z
(
x)
解续
MMZz ((NNmm)) 71.25
40.6
MMyy ((NNmm)) MT n (（NNmm)）
7.05 120 Mn
+
MM ((NNmm)) Mmax=71.3
41.2
核心边界上的一个角点；
截面角点边界
核心边界上的一条直线；
截面曲线边界
核心边界上的一条曲线。
例：
求右图示矩形截面的截面核心。
解：取截面切线 l1作为中性轴，其截距：
b
az
b 2
ay
4
3
a
并注意到： iz2 Iz / A h2 /12 iy2 I y / A b2 /12
故
h
5 21 z
34
ay
iz2 yP
az
iy2 zP
当偏心外力作用在截面 形心周围一个小区域内， 而对应的中性轴与截面周 边相切或位于截面之外时， 整个横截面上就只有压应 力而无拉应力。
2.截面核心的性质及其确定
(1)性质：是截面的一种几何特征，它只与截面的形状、尺
寸有关，而与外力无关。
(2)确定：根据中性轴方程知，截面上中性轴上的点的坐标
cmax
B
Fp A
MB Wz
Fp 6M B 13.4MPa bh bh2
在 B 截面右边缘处
3、最大拉应力
t
max
Fp A
MB Wz
3.4MPa
4、最大剪应力
《材料力学》第七章课后习题参考答案
题目二
说明杆件在拉伸或压缩时，其 应力与应变的关系。
题目三
一矩形截面梁，长度为L，截面 积为A，弹性模量为E，泊松比 为v，求梁的临界截面转角。
题目四
一圆截面杆，直径为D，弹性模 量为E，泊松比为v，求杆的临 界截面转角。
答案
第一季度
第二季度
第三季度
第四季度
答案一
材料力学的研究对象是 固体，特别是金属和复 合材料等工程材料。其 基本假设包括连续性假 设、均匀性假设、各向 同性假设和小变形假设 。
解析四
圆截面杆的临界截面转角是指杆在受到扭矩作用 时发生弯曲变形的角度。通过弹性力学和材料力 学的知识，我们可以计算出这个角度的值。其中 ，D表示杆的直径，E表示杆的弹性模量，v表示 杆的泊松比。
03
习题三答案及解析
题目
• 题目：一矩形截面简支梁，其长度为L，截面高为h，宽度为b，且h/b=2，梁上作用的均布载荷q=100N/m，试求梁上最大 弯矩值Mmax。
解释了材料力学的基本假设，包括连续性假设、 均匀性假设、各向同性假设和线性弹性假设。这 些假设是材料力学中常用的基本概念，对于简化 复杂的实际问题、建立数学模型以及进行实验研 究具有重要的意义。
题目二解析
强调了材料力学在工程实践中的重要性，说明了 它为各种工程结构的设计、制造、使用和维护提 供了理论基础和实验依据，能够保证工程结构的 可靠性和安全性。这表明了材料力学在工程实践 中的实际应用价值。
题目四解析
解释了材料力学中的应力和应变概念，说明了应 力表示单位面积上的内力，应变表示材料在受力 过程中发生的变形程度。这些概念是材料力学中 的基本概念，对于理解和分析材料的力学行为具 有重要的意义。
THANK YOU
材料力学 第七章 应力状态和强度理论
y
2
2 xy
tan 2a0
2 xy x
y
max
1
2
3
主应力符号与规定： 1 2 3 （按代数值）
§7-3 空间应力状态
与任一截面相对应 的点，或位于应力 圆上，或位于由应 力圆所构成的阴影 区域内
max 1 min 3
max
1
3
2
最大切应力位于与 1 及 3 均成45的截面上
针转为正，顺时针转为负。
tg 2a 0
2 x x
y
在主值区间，2a0有两个解，与此对应的a0也有两个解，其中落
在剪应力箭头所指象限内的解为真解，另一解舍掉。
三、应力圆
由解析法知，任意斜截面的应力为
a
x y
2
a x
x
y
2
y cos2a
2
sin 2a x c
x s os2a
in
2a
广义胡克定律
1、基本变形时的胡克定律
1）轴向拉压胡克定律
x E x
横向变形
y
x
x
E
2）纯剪切胡克定律
G
y
x x
2、三向应力状态的广义胡克定律－叠加法
2
2
1
1
3
3
1
1
E
2
E
3
E
1
1 E
1
2
3
同理
2
1 E
2
3
1
广义胡克定律
3
1 E
3
1
2
7-5, 7-6
§7-4 材料的破坏形式
⒈ 上述公式中各项均为代数量，应用公式解题时，首先应写清已 知条件。
材料力学第七章
若应力状态由主应力表示，并且在max 0 和 min 0 的情况下，则式（7-7） 成为
max min
max
min
2
1 3
2
进一步讨论，由式（7-4）和式（7-6）可知
tan
21
1 tan 20
上式表明1 与 0 之间有如下关系：
1
0
4
可见，切应力取得极值的平面与主平面之间的夹角为 45 。
若三个主应力中，只有一个主应力不等于零，这样的应力状态称为 单向应力状态。若三个主应力中有两个不等于零，称为二向应力状态或 平面应力状态。若三个主应力皆不为零，称为三向应力状态或空间应力 状态。
第二节 平面应力状态分析——解析法
一、斜截面上的应力
图 7-1 所示为平面应力状态的最一般情况。已知 x ， y ， xy 和 yx 。现 在研究图中虚线所示任一斜截面上的应力，设截面上外法向 n 与 x 轴的夹角 为 。
令 d /d 0 ，由式（7-1）可得
x
2
y
sin
2
xy
cos 2
0
解得
（7-3）
tan 20
2 xy x y
通过运算，可以得到斜截面上正应力的极值为
（7-4）
max min
x
y 2
x
2
y
2
2 xy
（7-5）
由式（7-4）可知， 取得极值的角0 有两个，二者相差 90 ，即最大正应 力 max 和最小正应力 min ，二者分别作用在两个相互垂直的截面上。当 0 ， 取得极值时，该斜截面上的切应力 0 ，即正应力就是主应力。
（a）
（b） 图7-6
例 7-4 悬臂梁受力如图 7-7（a）所示。试求截面 n n 上 A 点处的主应力 大小和方向，并按主平面画出单元体。
材料力学 第7章 扭转
T Me
m
m Me
xn
2. 扭矩的符号规定
Me
T
T矢量的方向与截面外法线方 向相同时为正，反之为负。
n
x
T Me
7.2 扭矩和扭矩图
3. 扭矩图 (1) 定义：扭矩随杆轴线变化规律的图线称为扭矩图。 (2) 扭矩图的绘制步骤： ① 确定扭矩随截面位置的变化规律， ② 建立扭矩坐标系， ③ 画扭矩图。
7.2 扭矩和扭矩图
例7-1 已知一传动轴， n =300r/min，主动轮输入 PA=36kW， 从动轮输出 PB=PC=11kW，PD=14kW，求指定截面的扭矩。
解： 1. 计算外力偶矩
MB
B
MA
9549
PA n
1146(N m)
MC
1
2n
C
A
1
2 MA
MD
3
D
3
M B MC 350N m
7.3 圆轴扭转时的应力分析和强度计算
钻杆
7.3 圆轴扭转时的应力分析和强度计算
传动轴
第七章 扭转
7.1 引言 7.2 扭矩和扭矩图 7.3 圆轴扭转时的应力分析和强度计算 7.4 圆轴扭转时的变形计算和刚度设计
7.4 圆轴扭转时的变形计算和刚度设计
一、圆轴扭转时的变形
dφ T dx GIP dφ T dx
WP
πD13 16
D1
3 16Tmax 3 16 1.5 106
π[ τ ]
π 60
50mm
D1
(2) 空心轴
τ max
Tmax WP
[τ]
WP
πD23 (1 16
α4 )
d2
D2
材料力学第七章知识点总结
规律，确定出最大应力，从而全面考虑构件破坏的原因，建 立适当的强度条件。
材料力学
3、一点的应力状态的描述
研究一点的应力状态，可对一个 包围该点的微小正六面体——单 元体进行分析
在单元体各面上标上应力 各边边长 dx , dy , dz
——应力单元体
三、几个对应关系
点面对应——应力圆上某一点的坐标值对应着单元体某一截面
上的正应力和切应力；
y
σy
n
τ
H (σα ,τα )
τ yxHτ xy来自αxσx
(σy ,Dτyx)
2α A (σx ,τxy)
c
σ
σx +σ y
2
转向对应——半径旋转方向与截面法线的旋转方向一致； 二倍角对应——半径转过的角度是截面法线旋转角度的两倍。
α =α0
=
−2⎢⎡σ x
⎣
−σ y
2
sin 2α0
+τ xy
cos
2α
0
⎤ ⎥
⎦
=0
=
−2τ α 0
τα0 = 0
tg
2α 0
=
− 2τ xy σx −σ y
可以确定出两个相互垂直的平面——主平面，分别为
最大正应力和最小正应力所在平面。
主平面的方位
(α0 ; α0′ = α0 ± 900 )
主应力的大小
材料力学
四、在应力圆上标出极值应力
τ
τ max
x
R
O σ min
2α12α0A(σx ,τxy)
c
σ
σ
max
(σy ,τyx) D
材料力学第七章
§7-2
平面应力状态分析
一、平面应力状态分析的解析法 1．平面应力状态图示(一般表现形式)：
sy sx sy txy sx sx tyx sx txy sy
tyx
平面应力状态一般表现为：单元体有一对侧面应力 为零，其它四个侧面的应力都平行于该侧面。 (也可能是单向应力状态，需具体计算分析)
用法线平行的轴表示面，如x面为法线平行于 x轴的面；
§7-1
一点的应力状态
二、研究应力状态的方法 2．单元体上的应力分量： 2)各面应力分量共有九个，独立分量有六个； 切应力互等定理：t yz t zy，t zx t xz，t xy t yx
s 11 s 12 s 13 s x t xy t xz 3)应力矩阵： s ij s 21 s 22 s 23 t yx s y t yz t t s s 31 s 32 s 33 zx zy z 3．截取单元体的方法、原则： 用三个坐标轴(笛卡尔或极坐标)在一点截取， 因其微小，统一看成微小长方体； 各个面上的应力已知或可求；
t' s x s y s 's " 2 t xy 2)极值切应力： t '' 2 2
3)极值切应力与主应力方位的关系： 1 —极值切应力平面与 tan 2a 0 主平面成45o tan 2a1
2
§7-2 一、平面应力状态分析的解析法 5．主应力迹线：
§7-2
平面应力状态分析
总
结
任一斜截面上的应力 s x s y s x s y cos 2a t xy sin 2a s a 2 2 s x s y t a sin 2a t xy cos 2a 2 主应力，主平面方位
材料力学第7章
积分一次： Fb 2 EIw1 x C1 2l 积分二次： Fb 3 EIw1 x C1 x D1 6l
11
CB段（a x l）: 弯矩方程：
Fb M 2 x x F x a l
挠曲线近似微分方程：
Fb EIw2 x F x a l Fb 2 F 2 x x a C2 积分一次： EIw2 2l 2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 1 x 0
Fab l b , B 2 6lEI
Fab l a B = 6lEI
Fl 3 Fl 3 Fl 3 2 EI 6 EI 3EI
7
wmax w x l
例题7.2：图示弯曲刚度为EI的简支梁，受集度为q的均布 荷载作用，试求梁的挠曲线方程和转角方程，并确定其最 大挠度和最大转角。 解：由平衡方程得支座反力 ql FA FB 2 建立坐标系，得梁的弯矩方程为 1 1 2 M x qlx qx 2 2 梁挠曲线近似微分方程
1 3 C ql ， D 0 24
9
梁的转角方程
q w (4 x3 6lx 2 l 3 ) 24 EI
梁的挠曲线方程
(5)
qx w ( x3 2lx 2 l 3 ) 24 EI
最大转角
(6)
max
ql 3 A B 24 EI
2
最大挠度
M ( x) F l x
1
挠曲线近似微分方程
EIw M x F l x 2 两次积分，得 1 2 EIw Flx Fx C 2 1 1 3 2 EIw Flx Fx Cx D 2 6
材料力学 第七章 应力状态与强度理论
取三角形单元建立静力平衡方程
n 0
dA ( xdA cos ) sin ( xdA cos ) cos ( y dA sin ) cos ( y dA sin ) sin 0
t 0
dA ( xdA cos ) cos ( xdA cos ) sin ( y dA sin ) sin ( y dA sin ) cos 0
2 2
cos 2 x sin 2
2 x y 2 x y ( ) ( cos 2 x sin 2 )2
2
2
x y
sin 2 x cos 2
( 0) (
x y
2
2
sin 2 x cos 2 )
max x y x y 2 x 2 2 min
2
max
1 3
2
例7-2 试求例7-1中所示单元体的主应力和最大剪应力。
（1）求主应力的值
x 10MPa, y 30MPa, x 20MPa max x y x y 2 2 x min 2
复杂应力状态下（只就主应力状态说明） 有三个主应力
1 , 2 , 3
1
E
由 1引起的线段 1应变 1
由 2引起的线段 1应变 1
2
由 3引起的线段1应变 1
3
E
E
沿主应力1的方向的总应变为：
1 1 1 1
1 42.4 1 3 2 0 MPa 由 max 3 2.4 2
工程力学(材料力学部分第七章)
4 主应力及应力状态的分类
主应力和主平面
切应力全为零时的正应力称为主应力；
主应力所在的平面称为主平面；
主平面的外法线方向称为主方向。
主应力用1 , 2 , 3 表示 (1 2 3 ) 。
应力状态分类
单向应力状态
11
应力状态分类
单向应力状态 二向应力状态(平面应力状态)
三向应力状态(空间应力状态)
D点
由 y 40, yx 60
D'点
画出应力圆
52
圆心坐标
OC x y 80 (40)
2
2
20
半径
R
x
2
y
2
2 xy
80 (40) 2
(60)2
84.85 85
2
53
圆心坐标 OC 20
半径
R 85
1 OA1 OC R
E
105 MPa
3 OC R
65 MPa
D (x ,xy)
x y
2
R 1 2
x y
2
4
2 xy
38
3 应力圆上的点与单元体面上的应力的对应关系 (1) 点面对应
应力圆上某一点 的坐标值对应着 单元体某一方向面上的正应力和切应力。
39
(1) 点面对应
应力圆上某一点的坐 标 值对应着单元体某 一方向面上的正应力 和切应力。
D点对应的面与E点 对应的面的关系
主应力。
从半径CD转到CA1 的角度即为从x轴转
到主平面的角度的
两倍。
44
主应力 即为A1, B1处的正应力。
max min
x
y
2
x
2
材料力学07弯曲应力ppt课件
x
y 26
dA1
s
, b s
顶面有 ,存在.
两截面M 不等—— s 不等
(X 0)
左侧面
dx
N1
M
A1 sdA1 I z
A1 ydA1
右侧面
MS
z
Iz
dM
S
* z
, b( dx ) 0
Iz
FS
,
dM dx
S
z
Izb
FS
S
z
Izb
(∵切应力互等 )
2s
h
2 ( bdy )y s
bh2
M
0
4
s
4M bh2
2. 按沿梁高线性分布:
s max
M h2 Iz
s
6M bh2
s1 2 s2 3
(相差三分之一)
13
[例2]:
15KN
6KN
求B截面K点应力
B
1m
1m
解： M
3
6kNm
s
My Iz
90
K 90
60
120 ( 拉? 压应力? )
IZ
bh3 12
第七章 弯曲应力
§1 弯曲正应力 §2 正应力强度条件 §3 弯曲剪应力 §4 剪应力强度条件 梁的合理截面 §5 非对称截面梁弯曲弯曲中心 §6 考虑塑性的极限弯矩
1
概述
＋
－F
Q
Fa
－
M
CD段：只有弯矩没有剪力－ 纯弯曲
AC和BD段：既有弯矩又有剪力－ 剪切弯曲
2
剪力FS
弯矩M
切应力τ
正应力s
先分析纯弯梁横截面的正应力s ，
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
等直杆拉伸时，设轴向拉力为P 轴横截面的面积为A 等直杆拉伸时，设轴向拉力为P，轴横截面的面积为A。 横截面B 上的应力为: 横截面B-B上的应力为:
σ=
P A
K-K面的正应力σα和切应力τα: 面的正应力σ 和切应力τ
1 τ α = σ sin2α 2
σ α = σ cos α
第七章 应力和应变分析 强度理论
基本要求: 基本要求: 1.熟悉应力状态的概念 熟悉应力状态的概念； 1.熟悉应力状态的概念； 2.掌握用解析法和图解法计算二向应力状态下斜截面的应力 掌握用解析法和图解法计算二向应力状态下斜截面的应力、 2.掌握用解析法和图解法计算二向应力状态下斜截面的应力、主 应力及最大最小切应力； 应力及最大最小切应力； 3.了解三向应力状态，会计算最大切应力； 3.了解三向应力状态，会计算最大切应力； 了解三向应力状态 4.了解广义胡克定律 了解广义胡克定律； 4.了解广义胡克定律； 5.会应用四种强度理论进行复杂应力状态下构件的强度计算 会应用四种强度理论进行复杂应力状态下构件的强度计算。 5.会应用四种强度理论进行复杂应力状态下构件的强度计算。 重点： 重点： 1.解析法和图解法计算二向应力状态下斜截面的应力 主应力； 解析法和图解法计算二向应力状态下斜截面的应力、 1.解析法和图解法计算二向应力状态下斜截面的应力、主应力； 2.四种强度理论及其应用。 2.四种强度理论及其应用。 四种强度理论及其应用 难点： 难点： 1.应力状态的概念 应力状态的概念； 1.应力状态的概念； 2.解析法和图解法 解析法和图解法； 2.解析法和图解法； 3.强度理论的讨论 强度理论的讨论。 3.强度理论的讨论。 课时： 课时： 8学时
§7.1 应力状态概述
一、一点处的应力状态 二、原始单元体 主单元体、 三、主单元体、主应力
一、一点处的应力状态
在前面讨论扭转和弯曲时，我们知道， 在前面讨论扭转和弯曲时，我们知道， 应力在横截面上各点的分布是不相同的。 应力在横截面上各点的分布是不相同的。 因此我们有必要研究其上每一点的情况。 因此我们有必要研究其上每一点的情况。 通过受力构件内一点的应力随着所取 截面方位的不同而变化。所以有必要研究 截面方位的不同而变化。 过一点的所有截面上的应力情况。 过一点的所有截面上的应力情况。
为什么要研究一点的应力状态? 为什么要研究一点的应力状态? 判断受力构件上哪一点、沿哪个方向的应力最大？ 1. 判断受力构件上哪一点、沿哪个方向的应力最大？哪 个点、哪个方向最危险？ 个点、哪个方向最危险？从而解决构件在复杂应力状态下的 强度计算提供条件，解决其强度问题。 强度计算提供条件，解决其强度问题。 2.解释变形构件的变形现象和破坏原因。 2.解释变形构件的变形现象和破坏原因。 解释变形构件的变形现象和破坏原因 3.在弹性力学、 3.在弹性力学、塑性力学和断裂力学等学科的研究中都要 在弹性力学 广泛用到应力状态理论。 广泛用到应力状态理论。 要研究一点的应力状态， 要研究一点的应力状态， 通常要围绕该点截取微小正 六面体——单元体。 单元体。 六面体 单元体
2
构件受力时，通过构件内任一点所作截面上的应力， 构件受力时，通过构件内任一点所作截面上的应力， 随着截面的方位改变而改变。因此， 随着截面的方位改变而改变。因此，为了解决构件的强度问 题我们必须研究杆件受力后， 题我们必须研究杆件受力后，通过某点不同方位截面的应力 变化规律。我们称，构件受力后， 变化规律。我们称，构件受力后，通过其内某一点的各截面 的在该点处的应力情况称为该点处的应力状态。 的在该点处的应力情况称为该点处的应力状态。
§7.2 二向和三向应力状态的实例
一、二向应力状态的实例 研究锅炉或其他圆筒形容器(薄壁圆筒)的应力状态。若封闭薄壁圆 筒所受内压力为p，则沿圆筒轴线作用于筒底的总压力为F
F=p
πD 2
4
（1）用横截面截取圆筒右部分 为研究对象,F力作用下,计算横截面 上应力σ’,属于轴向拉伸问题。
F 4 = pD = A πDδ 4δ （2）用相距为l的两个横截面和 包含直径的纵向平面，从圆筒中截 取一部分(图7.2c)。若在筒壁的纵 向截面上应力为σ”，则内力为
FS图 M图
σ=
τ=
FS S I zb
*
My Iz
C
F S* τ= S Izb
三、主单元体、主应力 主单元体、
有些情况，单元体上的各侧面都无切应力， 有些情况，单元体上的各侧面都无切应力，像这种切应力 等于零的面称为主平面 主平面上的正应力称为主应力 主平面。 主应力。 等于零的面称为主平面。主平面上的正应力称为主应力。主平 面的法线方向称为主方向 主方向。 面的法线方向称为主方向。三对相互垂直的面都是主平面的单 主单元体。 元体称为主单元体 元体称为主单元体。 通过受力构件的任意点皆可找到三个相互垂直的主平面， 通过受力构件的任意点皆可找到三个相互垂直的主平面， 因而每一点都有三个主应力。通常用σ 因而每一点都有三个主应力。通常用 1、σ2、σ3代表该点的 三个主应力，并以σ 代表代数值最大的主应力， 三个主应力，并以 1代表代数值最大的主应力，σ3代表代数 值最小的主应力， 值最小的主应力，即σ1>σ2>σ3。 三个主应力皆不为零时， 三个主应力皆不为零时，称三向应力状态或空间应力状态 ； 三个主应力中有二个不为零, 三个主应力中有二个不为零,称二向应力状态或平面应力状态 ； 三个主应力中只有一个不为零，称单向应力状态。 三个主应力中只有一个不为零， 单向应力状态。 单向应力状态称为简单应力状态， 单向应力状态称为简单应力状态，二向应力状态和三向应力 状态统称为复杂应力状态。 状态统称为复杂应力状态。
2 FN − pDl = 2σ ′′δl − pDl = 0
pD σ ′′ = 2δ σ’作用的截面就是直杆轴向拉伸的横截面，没有切应力。又 因内压力是轴对称载荷，所以在σ”作用的纵向截面上也没有切应 力。在单元体ABCD的第三个方向上，有作用于内壁的内压力p 和作用于外壁的大气压力，它们都远小于σ’和σ”，可以认为等于 零，这样，σ”和σ’皆为主应力。 该状态为二向应力状态。
ห้องสมุดไป่ตู้
这也是一个二向应力状态 二向应力状态。 二向应力状态
§7.3
二向应力状态分析——解析法 解析法 二向应力状态分析
研究应力状态的方法有解析法和图解法两种。 研究应力状态的方法有解析法和图解法两种。本节用解 析法讨论二向应力状态下，在已知原始单元体后， 析法讨论二向应力状态下，在已知原始单元体后，如何确定 过该点的其它任一截面上的应力，并确定主应力和主平面。 过该点的其它任一截面上的应力，并确定主应力和主平面。 设一原始单元体如图示，其上作用着已知的应力， 设一原始单元体如图示，其上作用着已知的应力，x面 上的正应力和切应力σx 和τxy，y面上的正应力和切应力σy 上的正应力和切应力σ 面上的正应力和切应力σ 和τyx(τyx＝-τxy)。
二、三向应力状态的实例
在滚珠轴承中，接触点A处(图7.3a)，以垂直和平行于压力F的 平面截取单元体，如图7.3b所示。 在滚珠与外圈的接触面上，有接 触应力σ3。由于σ3的作用，单元体将 向周围膨胀，于是引起周围材料对它 的约束应力σ2和σ1。所取单元体的三 个相互垂直的面皆为主平面，且三个 主应力皆不等于零，于是得到三向应 力状态。 与此相似，桥式起重机大梁两端的 滚动轮与轨道的接触处，火车车轮与钢 轨的接触处，也都是三向应力状态。
F=p
πD 2
4
容器截面上的内力为 FN = πDδ ⋅ σ 由平衡方程
FN − F = 0 pD σ= 4δ 由容器的对称性，包含直径的任意截面上皆无切应力，且正 应力都等于由上式算出的σ(图7．4c)。与σ相比，如再省略半径 方向的应力，三个主应力将是 σ 1 = σ 2 = σ ,σ 3 = 0
1 τ α = σ sin2α 2 1 τ β = σ sin2 β 2
σ α = σ cos 2α
求出
N σ=F
σ β = σ cos 2 β
A
任一单元体
原始单元体
又如矩形截面悬臂梁，在梁上边缘A 又如矩形截面悬臂梁，在梁上边缘A、B、C点处截 取单元体，其原始单元体如图： 取单元体，其原始单元体如图： 应该指出： 应该指出： 1.认为单元体各面上的应 1.认为单元体各面上的应 力均匀分布； 力均匀分布； 2.认为单元体平行面上应 2.认为单元体平行面上应 力的大小和性质都是一样的， 力的大小和性质都是一样的， 任意一对平行侧面上的应力代 表着通过所研究的点与侧面平 行的面上的应力。 行的面上的应力。 3.单元体处于平衡状态 单元体处于平衡状态。 3.单元体处于平衡状态。 借助于截面法和静力平衡条件， 借助于截面法和静力平衡条件， 可求出单元体任何斜截面上的 应力，从而确定点的应力状态， 应力，从而确定点的应力状态， 这是研究一点处应力状态的基 本方法。 本方法。
按照关于主应力记号的规定，
σ 1 = σ ′′ = 150MPa , σ 2 = σ ′ = 75MPa , σ 3 = 0
例7.2 圆球形容器(图7.4a)的壁厚为δ，内径为D，内压为p。试 求容器壁内的应力。 解：用包含直径的平面把容器分成两个半球，其一如图7.4b所 示。半球上内压力的合力F
一、斜截面上的应力
已知，取任意斜截面ef ef的方位角 设σx 、σy、τxy和τyx已知，取任意斜截面ef的方位角 α>0，用截面法求ef面上的正应力σ 和切应力τ ef面上的正应力 α>0，用截面法求ef面上的正应力σα和切应力τα。
1.假想沿截面ef把单元体分成二部分，研究三棱柱aef部 1.假想沿截面ef把单元体分成二部分，研究三棱柱aef部 假想沿截面ef把单元体分成二部分 aef 分的平衡。 ef面的面积为dA， af面和ae面的面积应分 面的面积为dA 面和ae 分的平衡。设ef面的面积为dA，则af面和ae面的面积应分 别是dAsinα dAcosα。 dAsinα和 别是dAsinα和dAcosα。