福建莆田中考数学试卷及答案(word解析版)

2013年莆田市中考试题数 学（满分150分，考试时间120分钟）注意：本试卷分为“试题”和“答题卡”两部分，答题时请按答题卡中的“注意事项”要求认真作答，答案写在答题卡上的相应位置，一、精心选一选：本大题共8小题，每小题4分，共32分每小题给出的四个选项中有且只有一个选项是符合题目要求的．答对的得4分，答错、不答或答案超过一个的一律得0分．1．（2013年福建莆田，1，3分）2013的相反数是A ．2013B ．－2013C ．.20131D ． 20131 【答案】B2．（2013年福建莆田，2，3分）下列运算正确的是A ．（a ＋b )2＝a 2＋b 2B ．3a 2－2a 2＝a 2C ．－2(a －1)＝－2a －1D ． a 6÷a 3＝a 2【答案】B3．（2013年福建莆田，3，3分）对于一组统计数据：2，4，4，5，6，9．下列说法错误．．的是 A ．众数是4 B ．中位数是5 C ．极差是7 D ．平均数是5【答案】B4．（2013年福建莆田，4，3分）如图，一次函数y ＝(m －2)x －1的图象经过二、三、四象限，则m 的取值范围是A ．m ＞0B ．m ＜0C ．m ＞2D ． m ＜2【答案】D5．（2013年福建莆田，5，3分）如图是一个圆柱和一个长方体组成的几何体，圆柱的下底面紧贴在长方体的上底面上，那么这个几何体的俯视图可能是【答案】C6．（2013年福建莆田，6，3分）如图，将Rt △ABC （其中∠B ＝35°，∠C ＝90°)绕点A 按顺时针方向旋转到△AB 1C 1的位置，使得点C 、A 、B 1在同一条直线上，那么旋转角等于A ．55°B ．. 70°C ．125°D ． 145°（第5题图）AC DB （第4题图）【答案】C7．（2013年福建莆田，7，3分）如图，△ABC 内接于⊙O ，∠A ＝50°，则∠OBC 的度数为A ．400B ． 500C ．800D ． 1000【答案】A8．（2013年福建莆田，8，3分）下列四组图形中，一定相似的是A ．正方形与矩形B ．正方形与菱形C ．菱形与菱形D ．正五边形与正五边形【答案】D二、细心填一填：本大题共8小题，每小题4分，共32分．9．（2013年福建莆田，9，4分）不等式2x －4＜0的解集是____【答案】x ＜210．（2013年福建莆田，10，4分）小明同学在“百度”搜索引擎中输入“中国梦”，搜索到相关的结果个数约为8650000，将这个数用科学记数法表示为___________【答案】8.65×10611．（2013年福建莆田，11，4分）如图，点B 、E 、C 、F 在一条直线上，AB ∥DF ，BE ＝ CF ，请添加一个条件_____________________________________，使△ABC ≌△DEF (写出一个即可)【答案】∠A ＝∠D 或AB ＝DE 或∠ACB ＝∠DFE 或AC ∥DF12．（2013年福建莆田，12，4分）已知在Rt △ABC 中，∠C ＝900，sinA ＝135，则tanB 的值为______________ 【答案】512 13．（2013年福建莆田，13，4分）如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A 、B 、C 、D 的面积分别为2，5，1，2．则最大的正方形E 的面积是____A DB EC F （第11题图）（第7题图） A B 1C BC 1（第4题图）【答案】1014．（2013年福建莆田，14，4分）经过某个路口的汽车，它可能继续直行或向右转，若两种可能性大小相同，则两辆汽车经过该路口全部继续直行的概率为__________． 【答案】41 15．（2013年福建莆田，15，4分）如图，正方形ABCD 的边长为4，点P 在DC 边上且DP ＝1，点Q 是 AC 上一动点，则DQ +PQ 的最小值为_____________【答案】516．（2013年福建莆田，16，4分）统计学规定：某次测量得到n 个结果x 1，x 2...x n ，当函数y ＝(x －x 1)2+(x －x 2)2+…+（x –x n ）2 取最小值时，对应x 的值称为这次测量的“最佳近似值”若某次测量得到5个结果9.8，10.1，10. 5，10.3，9.8则这次测量的“最佳近似值”为__________________【答案】10.1三、耐心做一做：本大题共9小题，共86分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤17．（2013年福建莆田，17，8分）计算：0)2013(34---+π【答案】解：原式＝2＋3－1＝4 18．（2013年福建莆田，18，8分）先化简，再求值：212)212(22-+-÷---a a a a a a ，其中a ＝3 【答案】解：原式＝22)1(221--⋅--a a a a ＝2)1(22)1)(1(--⋅--+a a a a a ＝11-+a a 当3=a 时，原式＝21313=-+19．（2013年福建莆田，19，8分）莆田素有“文献名邦”之称，某校就同学们对“莆仙历史文化”的了解程度进行随机抽样调查，将调查结果绘制成如下两幅统计图：ABCD PQ （第15题图）（第13题图）根据统计图的信息，解答下列问题：(1)（2分）本次共凋查____名学生；(2)（3分）条形统计图中m ＝____；(3)（3分）若该校共有学生1000名，则该校约有____名学生不了解“莆仙历史文化”；【答案】（1）60（2）18（3）20020．（2013年福建莆田，20，8分）定义：如图1，点C 在线段AB 上，若满足AC 2＝ BC ·AB ，则称点C 为线段AB 的黄金分割点如图2，△ABC 中，AB ＝AC ＝l ，∠4＝360，BD 平分∠ABC 交AC 于点D（1）（5分）求证：点D 是线段AC 的黄金分割点；（2）（3分）求出线段AD 的长【答案】（1） 证明：∵AB ＝AC ，∠A ＝36°∴∠ABC ＝∠C ＝72°∵BD 平分∠ABC ∴∠ABD ＝∠DBC ＝∠A ＝36°∴∠BDC ＝72°，∴BC ＝BD ＝AD∴△BCD ∽△ACB∴BCCD AC BC 即BC 2＝AC ·CD ∴AD 2＝AC ·CD∴点D 是线段AC 的黄金分割点（2）A C B（图1）（图2） （第20题图） AB CD设AD ＝x 则CD ＝1－x由（1）得x 2＝1－x解得 2511--=x （舍去），2512+-=x ∴AD ＝251+- 21．（2013年福建莆田，21，8分）如图，□ABCD 中，AB ＝2，以点A 为圆心，AB 为半径的圆交边BC 于点E ，连接DE 、AC 、AE ．(1)（4分）求证：△AED ≌△DCA ；(2)（4分）若DE 平分∠ADC 且与OA 相切于点E ，求图中阴影部分（扇形）的面积【答案】（1）证明：在□ABCD 中AB ＝DC ，AD ∥BC ，∠B ＝∠CDA∴∠DAE ＝∠AEB∵AB ＝AE∴AE ＝DC ，∠B ＝∠AEB∴∠EAD ＝∠CDA∵AD ＝DA∴△AED ≌△DCA（2） 解：∵DE 与⊙A 相切∴∠AED ＝90°∵DE 平分∠ADC∴∠EAD ＝∠ADC ＝2∠ADE∴∠AEB ＝∠EAD ＝60°∴△ABE 是等边三角形∴∠BAE ＝60°（第20题图） AB CD（第21题图）∴S 阴影＝ππ3236023602=⨯ 22. （2013年福建莆田，22，10分）如图，直线: y ＝x+1与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，点C 与原点O 关于直线l 对称．反比例函数y ＝xk 的图象经过点C ，点P 在反比例函数图象上且位于点C 左侧．过点P 作x 轴、y 轴的垂线分别交直线l 于M 、N 两点．()（4分）求反比例函数的解析式；(2)（6分）求AN ·BM 的值．【答案】解：（1）∵直线l ：y ＝x ＋1∴A （－1,0），B （0,1）∴OA ＝OB ＝1，∴∠OAB ＝45°∵点O 、C 关于直线l 对称，连接AC ，则∠CAB ＝∠OAB ＝45°，AC ＝OA ＝1∴AC ⊥OA ，C （－1,1）∴反比例函数的解析式为y ＝x1- （2）设P （a ，b ），则ab ＝－1过点M 、N 分别作ME ⊥y 轴于点E ，NF ⊥x 轴于点F易证△MEB ，△AFN 为等腰直角三角形∴BM ＝－2aAN ＝2b∴AN ·BM ＝－2ab ＝223．（2013年福建莆田，23，10分）如图所示，某学校拟建一个含内接矩形的菱形花坛（花坛为轴对称图形）矩形的四个顶点分别在菱形四条边上，菱形的边长AB ＝4米，∠ABC ＝60°．设AE ＝x 米(0＜x ＜4)，矩形的面积为米2．(1)（5分）求S 与x 的函数关系式；ll(2)（5分）学校准备在矩形内种植红色花草，四个三角形内种植黄色花草已知红色花草的价格为20元／米2，黄色花草的价格为40元／米2．当x 为何值时，购买花草所需的总费用最低，并求出最低总费用（结果保留根号）？【答案】解：（1）过点A 作AM ⊥EH 于点M由轴对称性的性质得：AE ＝AH ，BE ＝BF ，∠EAM ＝60°∴EM ＝AE ·sin 60°＝x 23 ∴EH ＝x 3∵∠B ＝60°∴△BEF 为等边三角形∴EF ＝BE ＝4－x∴S ＝)4(3x x -⋅即S ＝x x 3432+-（2）解法一：∵红色花草价格比黄色花草便宜．∴当矩形面积最大时，购买花草的总费用最低．S ＝34)2(32+--x ∴当x ＝2时，S 最大＝34 易得S 四边形ABCD ＝38此时四个三角形的面积为343438=-∴最低总费用为：324034403420=⨯+⨯（元）解法二：设购买花草所需的总费用为W 元，易得S 四边形ABCD ＝38则＝40（S -38）＋20S BFG D H AE（第23题图） M BFG DH AE（第23题图）＝S 203320-∴W ＝33203803202+-x x＝3240)2(3202+-x ∴当x ＝2时，W ＝3240答：当x ＝2时，购买花草所得的总费用最低，最低总费用是3240元24．（2013年福建莆田，24，12分）如图抛物线y =ax 2+bx +c 的开口向下与x 轴交于点A (－3,0)和点B （1,0）与y 轴交于点C ,顶点为D（1）（2分）求顶点D 的坐标（用含a 的代数式表示）（2）若△ACD 的面积为3（3）①(4分）求抛物线的解析式（4）②（6分）将抛物线向右平移，使得平移后的抛物线与原抛物线相交于点P ，且∠P AB =∠DAC ,求平移后抛物线的解析式【答案】解：（1）∵抛物线经过点A （－3，0）和B （1，0）∴y ＝a （x ＋3）（x －1）＝a (x ＋1)2－4a∴顶点D （－1，－4a ）（2）解法一：由（1）得C （0，－3a ）∴S ＝a a 29)3(321-=-⨯⨯ 连接OD ，则S 四边形ADCO ＝S △ADO ＋S △DCO＝a a a 215)3(121)4(321-=-⨯⨯+-⨯⨯ ∴S ＝3)29(215=---a a 解得a ＝－1 ∴y ＝－x 2－2x ＋3解法二：（第24题图）过点D 作DE ∥y 轴交AC 于点E∵A （－3,0），C （0，－3a ）设直线AC ：y ＝kx ＋m则⎩⎨⎧-==+-am m k 303 解得⎩⎨⎧-=-=a m a k 3 ∴y ＝－ax －3a∴E （－1，－2a ）∴DE ＝－2a∴S △ACD ＝S △ADE ＋S △CDE＝33)2(21=⨯-⨯a 解得a ＝－1∴y ＝－x 2－2x ＋3②过点D 作DF ⊥y 轴于点F设平移后的抛物线解析式为y ＝－（x －h ）2＋4∵a ＝－1，则C （0,3），D （－1,4）∴△CDF 和△AOC 都是等腰直角三角形∴∠ACD ＝90°，CD ＝2，AC ＝23∴tan ∠DAC ＝31=AC CD 分两种情况讨论：（1）当点P 在x 轴上方时设为P 1，若直线AP 1交y 轴于点M ，n（第24题图）（第24题图）∵tan ∠M 1AO ＝tan ∠DAC ＝31 ∴M 1（0,1） 则直线AP 1：y ＝131+x 令321312+--=+x x x 解得3,3221-==x x （舍去） ∴Ｐ1（32，911） 解法一：带入得：4)32(9112+--=h 解得1,3721-==h h （舍去） ∴4)37(2+--=x y 解法二：∵平移后的抛物线与原抛物线关于直线x ＝32对称 ∴应向右平移310个单位，∴4)37(2+--=x y （2）当点P 在x 轴下方时设为P 2，同理可得M 2（0，－1）则直线AP 2：131--=x y 令321312+--=--x x x 解得3,3421-==x x （舍去） ∴P 2（34，913-） 解法一：代入得：4)34(9132+--=-h 解得1,31121-==h h （舍去） ∴4)311(2+--=x y 解法二：∵平移后的抛物线与原抛物线关于直线x ＝34对称 ∴应向右平移314个单位，∴4)311(2+--=x y 综所述：平移后的抛物线解析式4)37(2+--=x y 或4)311(2+--=x y 25．（2013年福建莆田，25，14分）在Rt △ABC 中，∠C =90°，D 为AB 边上一点，点M 、N 分别在BC 、AC 边上，且DM ⊥DN .作MF ⊥AB 于点F ,NE 垂直AB 于点E(1)特殊验证：4分）如图1，若AC =BC ,且D 为AB 中点，求证：DM =DN ,AE =DF(2)拓展研究：若AC ≠BC①（6分）如图2，若D 为AB 中点，（1）中的两个结论有一个仍成立，请指出并加以证明②（4分）如图3若BD ＝kAD ,条件中“点M 在BC 边上”改为“点M 在线段CB 的延长线上”，其它条件不变，请探究AD 与DF 的数量关系并加以证明．【答案】（1）证明：连接CD∵AC ＝BC ，∠ACB ＝90°，AD ＝BD∴∠4＝∠A ，CD ＝AD ,∠2＋∠3＝90°又∵∠1＋∠3＝90°，∴∠1＝∠2∴△DMC ≌△DNA ∴DM ＝DN又∠DEN ＝∠DFM ＝90° ∴∠2＋∠5＝∠6＋∠5 ∴∠2＝∠6∴△DMF ≌△NDE ∴NE ＝DF又∵NE ＝AE ∴AE ＝DF（2）①答：AE ＝DF解法一：由（1）证明可知：△DEN ∽△MFD ∴DFEN MF DE = 即MF ·EN ＝DE ·DF 同理△AEN ∽△MFB ∴BF EN MF AE = 即MF ·EN ＝AE ·BF ∴DE ·DF ＝AE ·BF∴（AD －AE ）·DF ＝AE ·（BD －DF ）AD ·DE ＝AE ·BD ∴DF ＝A解法二：作DP ⊥BC 于点P ，DQ ⊥AC 于点Q ∵D 为AB 中点 ∴DQ ＝PC ＝PB易证△DMF ∽△NDE ∴DNDM NE DF = A E D F BM CN（图2）QP A E D FB CMN （图1） 13 245 6A E D FE DF B A D E B F M C N M C N CMN（第25题图） （图1） （图2）（图3）易证△DMP ∽△DNQ ∴PB DP DQ DP DN DM == ∴PBDP NE DF = 易证△AEN ∽△DPB∴BPDP NE AE = ∴NEDF NE AE = ∴AE ＝DF ②DF ＝kAE （或＝DF k 1） 解法一：由①同理可得：DE ·DF ＝AE ·BF∴（AE －AD ）·DE ＝AE ·（DF －BD ）AD ·DF ＝AE ·BDk ADBD AE DF == 即DF ＝kAE解法二：作DP ⊥BC 于点P ，DQ ⊥AC 于点Q .易证△AQD ∽△DPB 得K BD AD PB DQ 1== 即PB ＝kDQ由①同理可得：NEDF DQ DP DN DM == ∴PBkDP NE DF = 又∵PB DP NE AE = ∴NE kAE NE DF = ∴DF ＝kAEA D EB F M CN（图3）P Q。