旅游统计学课件

a12 = a11a22 − a12 a21 。 a22
a 其中， 称为元素 元素. 其中， ij ( i = 1, 2; j = 1, 2) 称为元素.
i 为行标，表明元素位于第 行； 行标，表明元素位于第i j 为列标，表明元素位于第 列. 列标，表明元素位于第j
二阶行列式的计算 ——对角线法则 对角线法则
2 x1 + x2 = 1
解
3 −2 = 3 − ( −4 ) = 7 ≠ 0 因为 D = 2 1 12 − 2 D1 = = 12 − ( −2) = 14 1 1 3 12 D2 = = 3 − 24 = −21 2 1
D1 14 = = 2, 所以 x1 = D 7
D2 −21 x2 = = = −3 D 7
记：
a11 a21
a12 = a11a22 − a12 a21 a22
2、定义 、
a11 有四个数排成两行两列的数表 a21
称表达式
a12 a22
，
a11a22 − a12 a21 为上述数表确定的二阶行列式。 为上述数表确定的二阶行列式。
a12 a22
a11
记作： 记作：
a21
a11 ，即 a21
b1a22 − a12 b2 x1 = a a − a a 11 22 12 21 x = a11b2 − b1a21 2 a11a22 − a12 a21
二元线性方程组
a11 x1 + a12 x2 = b1 a21 x1 + a22 x2 = b2
其求解公式为
4(4 −1) 2
a14 a23 a32 a41 = a14 a23 a32 a41
D3 =
a11wenku.baidu.com0 0 0
a12 a22 0 0 0 a22 a32 a42
a13 a23 a33 0 0 0 a33 a43
a14 a24 a34 a44 0 0 0 a44
= a11a22 a33 a44
a11 a21 D4 = a32 a41
= −14.
例3
求解方程 1 1
2 3 4 9
1 x = 0. x2
解
方程左端
D = 3 x 2 + 4 x + 18 − 9 x − 2 x 2 − 12
= x 2 − 5 x + 6,
由 x2 − 5 x + 6 = 0 得
x = 2 或 x = 3.
三、n 阶行列式
a11 a21 M a n1 a12 a22 M an 2 L a1n L a2 n M L ann 简记作 det(aij ) ，
习题一：1（1）（2）
补充作业：
习题一：1（3）（4）
= a11a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21a32 − a13 a22 a31 − a12 a21a33 − a11a23 a32
注意：对角线法则只适用于二阶与三阶行列式. 注意：对角线法则只适用于二阶与三阶行列式.
1 2 -4 例2 计算行列式 D = -2 2 1 -3 4 -2
号的内容不讲. 注：加*号的内容不讲.
第一讲
行列式的定义
我们从最简单的二元线性方程组出发， 我们从最简单的二元线性方程组出发，探 求其求解公式，并设法化简此公式. 求其求解公式，并设法化简此公式.
一、二阶行列式
1、引例 、
二元线性方程组 由消元法，得 由消元法，
a11 x1 + a12 x2 = b1 a21 x1 + a22 x2 = b2
= a11a22 a33 a44
四个结论（重要）： 四个结论（重要）： (1) 对角行列式
a11 D= a22 O ann
(2)
= a11a22 Lann
a1n D= a n1 a2,n−1 N
= ( −1)
n ( n −1) 2
a1n a2,n−1 L an1
主对角线下侧元素都为0 (3) 上三角形行列式 （主对角线下侧元素都为0）
其中 aij为行列式 的(i, j)元 为行列式D的 ) 1. n 阶行列式共有 n! 项． 个元素的乘积． 2. 每一项都是位于不同行不同列的 n 个元素的乘积． 正负号除外） 3. 每一项可以写成 a1 p1 a2 p2 L anp（正负号除外）. n
思考题： 思考题： −1 = −1成立吗？ 可以有两种理解： 答：符号 −1 可以有两种理解： 若理解成绝对值， 若理解成绝对值，则 −1 = +1 ； 若理解成一阶行列式， 若理解成一阶行列式，则 −1 = −1. 注意：当n = 1时，一阶行列式|a| = a，注意不要与 注意： 时 一阶行列式 ， 绝对值的记号相混淆. 例如： 绝对值的记号相混淆 例如：一阶行列式 −1 = −1 .
二阶行列式的对角线法则 并不适用！ 并不适用！
称为三阶行列式. 称为三阶行列式. 三阶行列式
三阶行列式的计算 ——对角线法则 对角线法则
a11 D = a21 a31
a12 a22 a32
a13 a23 a33
实线上的三个元素的乘积冠正号， 实线上的三个元素的乘积冠正号， 虚线上的三个元素的乘积冠负号. 虚线上的三个元素的乘积冠负号.
0 a23 0
0
0 0 a33 a43
a14 0 0
0
0 0 0 a44
D3 =
解：
D1 =
a11 0 0 0 0 0 0 a41
0 a22 0 0 0 0 a32 0
0 0 a33 0 0 a23 0 0
0 0 0 a44 a14 0
= a11a22 a33 a44
D2 =
0 = ( −1) 0
例： 计算行列式
D1 =
a11 0 0 0 a11 0 0 0
0 a22 0 0 a12 a22 0 0
0 0 a33 0 a13 a23 a33 0
0 0 0 a44 a14 a24 a34 a44
0 0 D2 = 0 a41
a11 a21 D4 = a32 a41
0 0 a32 0
0 a22 a32 a42
a11 D= 0 M 0
a11 D= a21 M an 1
a12 L a1 n a22 L a2 n M 0 0
M
O
M
= a11a22 Lann
L ann
L O
主对角线上侧元素都为0 (4) 下三角形行列式 （主对角线上侧元素都为0）
0 0
M
a22 L
= a11a22 Lann
an 2 L ann
作业：
(a11a22 − a12a21 ) x1 = b1a22 − a12b2 (a11a22 − a12a21 ) x2 = a11b2 − b1a21 a11b2 − b1a21 x2 = a11a22 − a12a21
当 a11a22 − a12 a21 ≠ 0 时，该方程组有唯一解
b1a22 − a12b2 x1 = a11a22 − a12a21
第一章 行列式
内容提要
§1 §*2 §3 §*4 §5 §6 §7
•行列式是线性代 行列式是线性代 数的一种工具！ 数的一种工具！ •学习行列式主要 学习行列式主要 就是要能计算行列 式的值. 式的值.
二阶与三阶行列式 全排列及其逆序数 行列式的概念. 行列式的概念. n 阶行列式的定义 对换 行列式的性质及计算 性质及计算. 行列式的性质及计算. 行列式的性质 行列式按行（列）展开 行列式按行（ 克拉默法则 —— 线性方程组的求解. 线性方程组的求解.
我们引进新的符号来表示“ 我们引进新的符号来表示“四个 数分成两对相乘再相减” 数分成两对相乘再相减”.
a11
数表 a
21
a12 a22
a11
记号 a 21
a12 a22
b1a22 − a12 b2 x1 = a a − a a 11 22 12 21 x = a11b2 − b1a21 2 a11a22 − a12 a21
二元线性方程组
a11 x1 + a12 x2 = b1 a21 x1 + a22 x2 = b2
求解公式为 请观察，此公式有何特点？ 请观察，此公式有何特点？ 分母相同，由方程组的四个系数确定. 分母相同，由方程组的四个系数确定 分子、 分子、分母都是四个数分成两对相乘再 相减而得. 相减而得
主对角线 副对角线
a11 a21
a12 = a11a22 − a12 a21 a22
即：主对角线上两元素之积－副对角线上两元素之积 主对角线上两元素之积－
a11 x1 + a12 x2 = b1 二元线性方程组 a21 x1 + a22 x2 = b2
若令
D= a11 a21 a12
(方程组的系数行列式) 方程组的系数行列式)
解
按对角线法则，有 按对角线法则，
D = 1 × 2 × ( −2 ) + 2 × 1 × ( −3 ) + ( −4) × ( −2 ) × 4
− 1 × 1 × 4 − 2 × ( −2 ) × ( −2 ) − ( −4 ) × 2 × ( −3 )
= −4 − 6 + 32 − 4 − 8 − 24
二、三阶行列式
设有9个数排成 个数排成3行 列的数表 定义 设有 个数排成 行3列的数表
a11 a21 a31
引进记号 主对角线 副对角线
a12 a22 a32
a13
a13 a23 a33
原则：横行竖列 原则：
a11 a21 a31
a12 a22 a32
a23 = a11a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21a32 − a13 a22 a31 − a12 a21a33 − a11a23 a32 a33
a22
D1 =
b1 b2
a12 a22
D2 =
a11 a21
b1 b2
则上述二元线性方程组的解可表示为
b1a22 − a12 b2 D1 x1 = = a11a22 − a12 a21 D a11b2 − b1a21 D2 x2 = = a11a22 − a12 a21 D
例1
求解二元线性方程组 3 x1 − 2 x2 = 12