解超定方程组的矩阵形式为

36 第六章 习题解答与问题

一、习题解答

1．用最小二乘法求解超定方程组

2411353264214

x y x y x y x y +=-=+=+=⎧⎨⎪⎪

⎩⎪⎪

解：超定方程组的矩阵形式为

⎥⎥

⎥⎥

⎦

⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-14631124215342y x 将方程两端同乘以系数矩阵的转置矩阵，可得正规方程组

⎥⎦

⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡6993493330y x 解之，得 x = 2.9774，y = 1.2259。

2．观测一个作直线运动的物体，测得以下数据：

在表中，时间单位为秒，距离单位为米。假若加速度为常数，求这物体的初速度和加速度。 解：设物体运动的初速度和加速度分别为v 0和a ，初始时刻距离为0，则距离函数为

2

02

1)(at t v t S +

= 用后5

可得，v 0 = 10.6576，a = 4.6269 3．用最小二乘法求一个形如 y A e

B x

=的经验公式，使与下列数据相拟合

解：令

z = ln y 。故，所求经

难公式为 = 84.25 e – 0.4564 x

。 4 已知实验观测数据(x i ，y i ) ( i = 1，2，…，m )。令

37

1)(0=x ϕ，∑=-=m

i i x m x x 1

11)(ϕ

取拟合函数为

)()()(1100x a x a x ϕϕϕ+=

试利用曲线拟合的最小二乘法确定组合系数 a 0，a 1 （推导出计算公式）。 解：记

T m x x x )]()()([020100ϕϕϕϕ

= T m x x x )]()()([121111ϕϕϕϕ

=

T m y y y y ][2

1

=

显然，0ϕ

是元素全为“1”的列向量。将所有实验数据的X 坐标代入拟合函数，并令其分别等于实验数据的Y 坐标值，得超定方程组

[]y a

a

=⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡1

010

ϕϕ

将方程组两端同乘以矩阵T ][10

ϕϕ

，得正规方程组 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡),(),(),(),(),(),(10101010

11000y y a a ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ 记∑==m

i i x m x 1

1，由于系数矩阵中两个非对角元素为

0)(),(),(1

1

0110=-=-==∑∑==x m x x x m

i i m i i ϕϕϕϕ

所以

),(),(0000ϕϕϕ y a =，)

,(),(1111ϕϕϕ y a =

5．对某个物体的长度测量n 次后，得n 个近似值 x 1，x 2，……x m ，通常取平均值作为所

求长度的值。试用最小二乘法原理说明其理由。 解：利用最小二乘原理，设物体的长度为x ，记

δk = x – x k ( k = 1，2，……，m )

则残差平方和为

∑=-=m

k k x x x S 1

2)()(

为了求上面函数极小值，由极值必要条件，令S’(x ) = 0，得

0)(1

=-∑=m

k k

x

x

由此得

∑==m

k k x m x 1

1

6．求 f (x ) = e x

在区间[–1，1]上的三次最佳逼近多项式。

解：利用勒让德多项式作基函数，即 P (x ) = a 0 p 0(x ) + a 1 p 1(x ) + a 2 p 2(x ) + a 3 p 3(x )，其

38 中

p 0(x ) = 1，p 1(x ) = x ， 2123)(22-=x x p ，x x x p 2

3

25)(33-=

利用正交性，得系数为

⎰-+==

11)()(2

12),(),(dx x f x p n p p f p a n n n n n ( n = 0，1，2，3) 而

11

11

10)()(----==⎰⎰

e e dx e dx x

f x p x 11

11112)()(---==⎰⎰

e dx xe dx x

f x p x

⎰⎰----=-=

1

1121

127)2123()()(e e dx e x dx x f x p x

e e dx e x x dx x

f x p x 537)2325()()(1113113-=-=---⎰⎰ ≈-⨯=-)(2110e e a 1.1752，≈⨯=-11223

e a 1.1036，

≈-⨯=-)7(2512e e a 0.3578，≈-⨯=-)537(27

13e e a 0.0705

所以，

P (x ) = 1.1752 + 1.1036 x+ 0.3578)2123(2-x +0.0705)2325(3x x -

=0.9963+0.9978 x + 0.5367 x 2 + 0.1762 x

3

7．在著名的高次插值的龙格反例中，2

51

)(x

x f +=在区间[–5，5]上的10次拉格朗日插值出现振荡现象。为了使插值余项极小化，可以利用切比雪夫多项式的极性。试推导11次切比雪夫多项式零点所对应[–5，5]的上的插值结点。 解：由11次切比雪夫多项式零点，得

)2

1112cos(5π

+=k x k ( k = 0，1，2， (10)

二、例题

1

求二次多项式拟合函数

2．利用数据表

012试列出超

定方程组并导出对应的正规方程组（不用求解正规方程组）。