合工大余丙森2019考研数学一模拟2试卷

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2019年全国硕士研究生入学统一考试
森哥五套卷之数学（一）试卷 （模拟二）
考生注意:本试卷共二十三题,满分150分,考试时间为3小时.
一、选择题：1～8小题,每小题4分,共32分.在每小题给出的四个选项中,只有一个
符合要求,把所选项前的字母填在题后的括号里.
（1）设21
221
()lim
sin
1(1)
n n n x x f x x x x +→∞−=+−，则（ ）． （Ａ）0x =及1x =都是()f x 的第一类间断点 （Ｂ）0x =及1x =都是()f x 的第二类间断点
（Ｃ）0x =是()f x 的第一类间断点，1x =是()f x 的第二类间断点 （Ｄ）0x =是()f x 的第二类间断点，1x =是()f x 的第一类间断点
（2）对于广义积分
2
(0,0)sin cos p q dx
p q x x
π
>>⎰
，下列结论正确的是（ ）.
（A ）01p <<，01q <<时收敛. （B ）01p <<，1q ≥时收敛. （C ）1p ≥，01q <<时收敛. （D ）1p ≥，1q ≥时收敛.
（3）设22
1(+)arctan ,(,)(0,0),)0,x y x y x y f x y ⎧
≠⎪+=⎨⎪⎩
　，（ 其他．，则,)f x y （在点(0,0)处（ ）．
（Ａ）偏导数,)x f x y '（与,)y f x y '（均连续 （Ｂ）偏导数,)x f x y '（与,)y f x y '（均不连续但可微 （Ｃ）不可微但偏导数0,0)x f '（与0,0)y f '（均存在 （Ｄ）连续但偏导数0,0)x f '（与0,0)y f '（均不存在
（4）已知12sin x
y c c x xe
−=++(其中21,c c 为任意常数)是某二阶微分方程的通解，则该方程是（ ）．
（Ａ）sin cos [2)sin +1)cos ]x
x y x y x x x x e −'''⋅+⋅=−−（（ （Ｂ）sin cos [2)sin +1)cos ]x
x y x y x x x x e
−'''⋅+⋅=−−（（ （Ｃ）cos sin [2)sin +1)cos ]x
x y x y x x x x e −'''⋅+⋅=−−（
（ （Ｄ）cos sin [2)cos +1)sin ]x
x y x y x x x x e −'''⋅+⋅=−−（
（
（5）已知矩阵211121112A −−⎛⎫ ⎪=−− ⎪
⎪
−−⎝⎭
与3030000a B a ⎛⎫ ⎪
= ⎪ ⎪⎝⎭合同但不相似，则a 的取值为（ ）．
(A) =3a (B) 90,09a a −<<<< (C) 30,03a a −<<<< (D) 3a =−
（6）已知54⨯矩阵()1234,,,A αααα=，若1(2,1,2,1)T η=−，2(0,1,0,1)T η=是齐次线性方程组0Ax =的基础解系，那么下列命题 ① 13,αα线性无关； ② 1α可由23,αα线性表出；
③
34,αα线性无关； ④ ()11234,,3r ααααα−+=
其中正确的是（ ）．
（A ）①③ （B ）②④ （C ）②③ （D ）①④
（7） 设随机变量(),X Y 在由()()()0,00,11,1，，为顶点的三角形区域内服从均匀分布，则当0y x <≤且
1y ≤时，(),X Y 的联合分布函数(),F x y =( ).
（A ）2
2xy x − （B ） 2
y （C ）2
2x x − （D ） 1 （8）设(0,1)X
N ，{}P X U αα>=;2(1)Y
χ，{}2
(1)P Y αχα>=;
()Z
t n ，{}()P Z t n αα>=;(1,)W F n ，{}(1,)P W F n αα>=，
其中01α<<，现有如下四个命题:
①2
2
2
(1)U ααχ=； ②2
2
(1,)()F n t n αα=； ③1(1,)(1,)1F n F n αα−=； ④2
12
()(,1)1t n F n αα−=
其中正确的个数为（ ）.
（A ） 0 （A ）1 （C ）2 （D ） 3
二、填空题:9～14小题,每小题4分,共24分.把答案填在题中的横线上.
(9) 1
1lim(1)_________.
n n n n
→∞++=
（10）
____________=⎰
.
（11）设2
(1)(2)1z
e x z x y =−++−确定了(,)z z x y =，则(1,0)_______.dz =
（12）222
222(2)(3)_______x y z I ds x y z Γ++−+==++⎰.其中2222,:(0).0,
x y z a a x y ⎧++=Γ>⎨+=⎩
（13）设矩阵A 和B 满足*
28=−A BA BA E ，其中122024001−⎛⎫ ⎪=− ⎪ ⎪⎝⎭
A ，*A 是A 的伴随矩阵，则矩阵
_______.B =
（14）一射手对一目标独立重复地射击4次，若至少命中一次的概率为80
81
，则他第四次射击恰好是第二次命中的概率为 .
三、解答题:15～23小题，共94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
（15）
（本题满分10分）设0x →
时，函数(1tan a bx c x +−+与3
kx 是等价无穷小，求常数,,,a b c k 的值.
（16）（本题满分10分）求函数22(,)(1)x y
z f x y x y e
−−==+−在区域{(,)|0,0,24}D x y x y x y =≥≥+≤上的最大值及最小值．
（17）（本题满分10分）计算D
I xydxdy =⎰⎰，其中D 由直线0,2,2y y x ===−，及
曲线x =所围成.
（18）（本题满分10分）过抛物线2y x =上一点2(,)a a 作切线，其中01a <<，切线与抛物线及x 轴所围图形面积为1S ，切线与抛物线及1y =所围图形面积为2S ，
12S S S =+，
（I ）问a 为何值时，S 最小.（II ）当S 最小时，求1S 绕x 轴旋转所得立体体积.
（19）（本题满分10分）设(0,2
x π
∈）
,证明： (I)
13
sin cos x x x
>; (II)222
14
csc 1x x π<
+−
.
线性方程组Bx=0仅有零解；（II）求A的特征值及特征向量.
（21）（本题满分11分）已知矩阵22082006A a ⎛⎫ ⎪
= ⎪ ⎪⎝⎭
有三个线性无关的特征向量，
（I ） 求参数a 的值; (II) 求正交变换x Qy =化二次型()T f x x Ax =为标准形.
（22）（本题满分11分）设随机变量X 的概率密度函数为
6(1),01,
()0,X x x x f x −<<⎧=⎨
⎩
其他. 在(01)X x x =<<的条件下，Y 在(),1x 上服从均匀分布.
（I ）求随机变量(),X Y 的联合概率密度函数(,)f x y ；（II ）求{1}P X Y +≤；（III ）求()D X Y −.
答案关注新浪微博:@文都考研数学—余丙森 数学一模拟二 答案关注一直播：117035243 11 （23）（本题满分11分）设总体221232(1)(1)X
θθθθ⎛⎫ ⎪−−⎝⎭
，其中(01)θθ<<为未知参数，利用总体X 的如下样本值
1,2,3,1,3，
（I ）求θ的矩估计值ˆM θ；（II ）求θ的最大似然估计值ˆL θ；
（III ）12,,,n X X X 为来自总体X 的简单随机样本，N 表示样本2出现的次数，在ˆL
θθ=时，求()E N .。