角动量守恒定律
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2
第二节 转动动能 转动惯量
例3 一质量为 m 、半径为 R 的均匀圆盘，求通过盘 中心 O 并与盘面垂直的轴的转动惯量 。
解 设圆盘面密度为 ， 在盘上取半径为 ，宽为 dr 的圆环。
r
圆环质量
2
dm 2 π r dr
3
R R
O
r dr
2
圆环对轴的转动惯量
dI r dm 2 π r dr
二、转动惯量 物理意义：转动惯性的量度 计算方法 ：
质量离散分布
I mi ri m r m r
2 2 11 2 2 2
2 2 m r r i i dm i
i
质量连续分布 I
第二节 转动动能 转动惯量
质量连续分布刚体的转动惯量
I mi ri r dm
第一节 刚体定轴转动的描述
转过的圈数
75π N 37.5 r 2π 2π
（2）t
t （ 3）
π 0 t (5 π 6)rad s 1 4 π rad s 1 6
6s 时，飞轮的角速度
6s 时，飞轮边缘上一点的线速度大小 2 2 v r 0.2 4π m s 2.5 m s
第一节 刚体定轴转动的描述
一、刚体
在无论多大的外力作用下形状和大小都保持不变的物体， 即 rij c 。
二、刚体运动基本类型
平动 转动 一般运动
刚体的一般运动 质心的平动
+
绕质心的转动
第一节 刚体定轴转动的描述
三、刚体定轴转动的特点 定轴转动：
刚体上各点都绕同一固定转轴作不同半径 的圆周运动，且在相同时间内转过相同的 角度。
0 t
1 2 2
2 0 0t 1 t 2
x x0 v0t at
2 2 0
v v 2a( x x0 )
2 ( 0 )
2 2 0
第一节 刚体定轴转动的描述
角量与线量的关系
s r
v re
a r a n r
角加速度
d lim t 0 t dt d dt
第一节 刚体定轴转动的描述
匀变速转动公式 当刚体绕定轴转动的角加速度为恒量时，刚体做 匀变速转动 . 刚体匀变速转动与质点匀变速直线运动公式对比 质点匀变速直线运动 刚体绕定轴作匀变速转动
v v0 at
2 2 i
dm
：质量元
对质量线分布的刚体： dm
dl
：质量线密度
对质量面分布的刚体： dm
：质量面密度
：质量体密度
dS
dV
对质量体分布的刚体：dm
第二节 转动动能 转动惯量
例2 一质量为 m 、长为 l 的均匀细长棒，求通过 棒中心并与棒垂直的轴的转动惯量 . O
z
A
r1
A
o1 o2
特点：
质点在垂直转轴平面内作圆周运动； 角位移，角速度和角加速度均相同； 质点的线速度，线加速度不一定相同.
B r2
B
第一节 刚体定轴转动的描述
四、刚体定轴转动的描述
物理量Βιβλιοθήκη Baidu
角坐标
p'
(t )
p
0
转动平面
x
角位移 (t t ) (t ) 角速度
1 0. 5 π rad s , t = 30 s 时， 解 （ 1） 0 设 t = 0 s 时， 0 0 .飞轮做匀减速运动 0 0 5 π π 1 rad s rad s 2
t
30
6
飞轮 30 s 内转过的角度
2 2 0 (5 π) 2 75 π rad 2 2 ( π 6)
I 2 π r dr
3 0 R
而
m π R
2
πR
4
所以
1 2 I mR 2
第二节 转动动能 转动惯量 竿 子 长 些 还 是 短 些 安 全 ？
飞轮的质量为什么 大都分布于外轮缘？
转动惯量的大小取决于刚体的质量、分布及转轴的位置
第二节 转动动能 转动惯量
几种刚体的转动惯量
2
a
an r
e v a
2 a re r en
第一节 刚体定轴转动的描述
例1 一飞轮半径为 0.2m、 转速为150r· min-1， 因受制 动而均匀减速，经 30 s 停止转动 . 试求：（1）角加 速度和在此时间内飞轮所转的圈数；（2）制动开始后 t = 6 s 时飞轮的角速度；（3）t = 6 s 时飞轮边缘上一 点的线速度、切向加速度和法向加速度 .
第二章 教学基本要求
第二章 刚体的转动
第二章 刚体的转动
第二章 教学基本要求
第二章 刚体的转动
一、掌握描述刚体定轴转动的三个物理量——角 位移、角速度、角加速度以及角量与线量的关系； 并能运用匀变速转动方程进行具体计算。
二、理解转动惯量物理意义，并能进行具体计算。
三、掌握刚体转动定律并能具体运用。 四、理解角动量的概念和角动量定理，掌握角动 量守恒定律并能具体运用。 五、了解陀螺的进动现象。
第二节 转动动能 转动惯量
三、平行轴定理
质量为 m 的刚体，如果对其质 心轴的转动惯量为 I C ，则对任一与 该轴平行，相距为 d 的转轴的转动 惯量
该点的切向加速度和法向加速度
π 2 2 a r 0.2 ( )m s 0.105 m s 6 2 2 2 2 an r 0.2 4 m s 31.6m s
第二节 转动动能 转动惯量
一、转动动能
1 1 2 1 2 2 2 Ek mi vi ( mi ri ) I 2 i 2 i 2
l 2
O
l 2
r
dr
dr O´
O´
l
解 设棒的线密度为 ，取一距离转轴 OO´ 为 2 2 处的质量元 dm dr dI r dm r dr
r
I 2
l/2
0
1 2 如转轴过端点垂直于棒 I r dr ml 0 3
l 2
1 3 1 2 ml r dr l 12 12
第二节 转动动能 转动惯量
例3 一质量为 m 、半径为 R 的均匀圆盘，求通过盘 中心 O 并与盘面垂直的轴的转动惯量 。
解 设圆盘面密度为 ， 在盘上取半径为 ，宽为 dr 的圆环。
r
圆环质量
2
dm 2 π r dr
3
R R
O
r dr
2
圆环对轴的转动惯量
dI r dm 2 π r dr
二、转动惯量 物理意义：转动惯性的量度 计算方法 ：
质量离散分布
I mi ri m r m r
2 2 11 2 2 2
2 2 m r r i i dm i
i
质量连续分布 I
第二节 转动动能 转动惯量
质量连续分布刚体的转动惯量
I mi ri r dm
第一节 刚体定轴转动的描述
转过的圈数
75π N 37.5 r 2π 2π
（2）t
t （ 3）
π 0 t (5 π 6)rad s 1 4 π rad s 1 6
6s 时，飞轮的角速度
6s 时，飞轮边缘上一点的线速度大小 2 2 v r 0.2 4π m s 2.5 m s
第一节 刚体定轴转动的描述
一、刚体
在无论多大的外力作用下形状和大小都保持不变的物体， 即 rij c 。
二、刚体运动基本类型
平动 转动 一般运动
刚体的一般运动 质心的平动
+
绕质心的转动
第一节 刚体定轴转动的描述
三、刚体定轴转动的特点 定轴转动：
刚体上各点都绕同一固定转轴作不同半径 的圆周运动，且在相同时间内转过相同的 角度。
0 t
1 2 2
2 0 0t 1 t 2
x x0 v0t at
2 2 0
v v 2a( x x0 )
2 ( 0 )
2 2 0
第一节 刚体定轴转动的描述
角量与线量的关系
s r
v re
a r a n r
角加速度
d lim t 0 t dt d dt
第一节 刚体定轴转动的描述
匀变速转动公式 当刚体绕定轴转动的角加速度为恒量时，刚体做 匀变速转动 . 刚体匀变速转动与质点匀变速直线运动公式对比 质点匀变速直线运动 刚体绕定轴作匀变速转动
v v0 at
2 2 i
dm
：质量元
对质量线分布的刚体： dm
dl
：质量线密度
对质量面分布的刚体： dm
：质量面密度
：质量体密度
dS
dV
对质量体分布的刚体：dm
第二节 转动动能 转动惯量
例2 一质量为 m 、长为 l 的均匀细长棒，求通过 棒中心并与棒垂直的轴的转动惯量 . O
z
A
r1
A
o1 o2
特点：
质点在垂直转轴平面内作圆周运动； 角位移，角速度和角加速度均相同； 质点的线速度，线加速度不一定相同.
B r2
B
第一节 刚体定轴转动的描述
四、刚体定轴转动的描述
物理量Βιβλιοθήκη Baidu
角坐标
p'
(t )
p
0
转动平面
x
角位移 (t t ) (t ) 角速度
1 0. 5 π rad s , t = 30 s 时， 解 （ 1） 0 设 t = 0 s 时， 0 0 .飞轮做匀减速运动 0 0 5 π π 1 rad s rad s 2
t
30
6
飞轮 30 s 内转过的角度
2 2 0 (5 π) 2 75 π rad 2 2 ( π 6)
I 2 π r dr
3 0 R
而
m π R
2
πR
4
所以
1 2 I mR 2
第二节 转动动能 转动惯量 竿 子 长 些 还 是 短 些 安 全 ？
飞轮的质量为什么 大都分布于外轮缘？
转动惯量的大小取决于刚体的质量、分布及转轴的位置
第二节 转动动能 转动惯量
几种刚体的转动惯量
2
a
an r
e v a
2 a re r en
第一节 刚体定轴转动的描述
例1 一飞轮半径为 0.2m、 转速为150r· min-1， 因受制 动而均匀减速，经 30 s 停止转动 . 试求：（1）角加 速度和在此时间内飞轮所转的圈数；（2）制动开始后 t = 6 s 时飞轮的角速度；（3）t = 6 s 时飞轮边缘上一 点的线速度、切向加速度和法向加速度 .
第二章 教学基本要求
第二章 刚体的转动
第二章 刚体的转动
第二章 教学基本要求
第二章 刚体的转动
一、掌握描述刚体定轴转动的三个物理量——角 位移、角速度、角加速度以及角量与线量的关系； 并能运用匀变速转动方程进行具体计算。
二、理解转动惯量物理意义，并能进行具体计算。
三、掌握刚体转动定律并能具体运用。 四、理解角动量的概念和角动量定理，掌握角动 量守恒定律并能具体运用。 五、了解陀螺的进动现象。
第二节 转动动能 转动惯量
三、平行轴定理
质量为 m 的刚体，如果对其质 心轴的转动惯量为 I C ，则对任一与 该轴平行，相距为 d 的转轴的转动 惯量
该点的切向加速度和法向加速度
π 2 2 a r 0.2 ( )m s 0.105 m s 6 2 2 2 2 an r 0.2 4 m s 31.6m s
第二节 转动动能 转动惯量
一、转动动能
1 1 2 1 2 2 2 Ek mi vi ( mi ri ) I 2 i 2 i 2
l 2
O
l 2
r
dr
dr O´
O´
l
解 设棒的线密度为 ，取一距离转轴 OO´ 为 2 2 处的质量元 dm dr dI r dm r dr
r
I 2
l/2
0
1 2 如转轴过端点垂直于棒 I r dr ml 0 3
l 2
1 3 1 2 ml r dr l 12 12