概率论与数理统计习题8详细解答

习 题八

8.1某油品公司的桶装润滑油标定重量为10千克。商品检验部门从市场上随机抽取10

桶，称得它们的重量(单位：千克)分别是10.2,9.7,10.1,10.3,10.1,9.8,9.9,10.4,10.3,9.8. 假设每桶油实际重量服从正态分布.试在显着性水平01.0=α下，检验该公司的桶装润滑油重量是否确为10千克，试给出检验的p 值的计算公式.

解：问题归结为检验如下假设

10:10:10≠↔=μμH H 此处n=10，01.0=α，S=0.246.25.321=⎪⎭

⎫

⎝⎛-αn t ，于是拒绝域为 253.010

246.025.325.30=⨯

=⨯

≥-n

S X μ

而253.006.01006.100<=-=-μX ，所以我们接受原假设，即桶装润滑油重量确为10千克。可以算得，该检验的P 值为

{}5.0771.010/246.01006.10/10

=≥=⎪⎭

⎪

⎬⎫

⎪⎩⎪

⎨

⎧-≥--n T P n S X P μ 8.2假设香烟中尼古丁含量服从正态分布，现从某牌香烟中随机抽取20支，其尼古丁含量的平均值6.18=X 毫克，样本标准差S=2.4毫克，取显着性水平01.0=α，我们能否接受“该种香烟的尼古丁含量的均值18=μ毫克” 的断言 ?

解：问题归结为检验如下假设 18:18:10≠↔=μμH H 此处n=20，01.0=α，S=2.4.86.221=⎪⎭

⎫

⎝⎛-αn t ，于是拒绝域为 53.120

4.286.29.2||0=⨯

=⨯

≥-n

S X μ

而53.16.0186.18||0<=-=-μX ，所以我们接受原假设，即我们接受“该种香烟的尼古丁含量的均值18=μ毫克”的断言.

8.3(1)考虑正态总体),(2

σμN 和假设检验问题 0100::μμμμ>↔≤H H

证明:当2

σ已知时，则拒绝域为 ασ

μZ n

X ≥

-0

的检验的显着性水平为α。 若2

σ未知 则拒绝域为 )(10ασ

μ-≥

-n t n

X

的检验的显着性水平为α.

(2)在习题8.2中， 对4.2=σ毫克和S=2.4毫克两种情况，我们能否接受“该牌的香烟尼古丁含量不超过17.5毫克”的断言?

证明：(1)取显着水平α>0，对于正态总体),(2

σμN 和假设检验问题 0100::μμμμ>↔≤H H

因0H 中的均值μ都比1H 中的μ小，所以从直观上看，较合理的检验法则应当是：若观察值X 与0μ的差过分大，即0μ-X >c 时，我们拒绝接受0H .采用与书中类似的讨论，可以推出

ασ

Z n

c =

于是拒绝域为 ασ

μZ n

X ≥

-0

类似地，当2

σ未知 则拒绝域为 )(10ασ

μ-≥

-n t n

X .

(2) 第1种情况，4.2=σ，问题归结为检验如下假设

5.17:18:10>↔=μμH H

此处n=20，01.0=α，4.2=σ.33.2=αZ ，于是拒绝域为 25.120

33.24.20=⨯

=≥-n

Z X ασ

μ

而25.11.15.176.180<=-=-μX ，所以我们接受原假设，即我们接受“该种香烟的尼

古丁含量的均值5.17=μ毫克”的断言.

第2种情况，S=2.4，问题归结为检验如下假设

5.17:18:10>↔=μμH H

此处n=20，01.0=α，S=2.4.33.21=-n t ，于是拒绝域为 36.153.220

4.2)(10=⨯=

≥

--αμn t n

S X

而36.11.175.16.180<=-=-μX ，所以我们接受原假设，即我们接受“该种香烟的尼古丁含量的均值5.17=μ毫克”的断言.

8.4 设某厂生产的产品尺寸服从正态分布),(2

σμN ，规定标准尺寸为120毫米，现从该厂抽得5件产品 测量其尺寸分别为

119,120,119.2,119.7,119.6

试判断产品是否符合规定要求,即检验假设120:120:10≠↔=μμH H (显着性水平

α=0.05).

解：问题归结为检验如下假设

120:120:10≠↔=μμH H

此处n=5，05.0=α，经计4.0=S .查表78.2)025.0(1=-n t ，于是拒绝域为 497.078.25

4.0)(||210=⨯=

≥

--αμn t n

S X

而样本观察值5.119=X ，497.05.0|1205.119|||0>=-=-μX ，所以我们不接受原假设，即可判断产品不符合规定要求.

8.5设甲、乙两煤矿所产的煤中含煤粉率分别为)5.7,(1μN 和)6.2,(2μN

为检验这两个煤矿的煤含煤粉率有无明显差异，从两矿中取样若干份，测试结果如下：

甲矿 ：24.3,20.8,23.7,21.3,17.4， 乙矿 ：18.2,16.9,20.2,16.7

试在显着性水平α=0.05下，检验“含煤粉率无差异” 这个假设。

解：问题归结为检验如下假设

211210::μμμμ≠↔=H H

此处55.72

1==，m σ；46.22

2==，m σ，查表得96.12/=αZ ，在显着性水平α=0.05下的拒绝域为