弹簧振子的典型特征与解题应用
简谐振动谈谈弹簧振子的运动规律
简谐振动谈谈弹簧振子的运动规律简谐振动是物理学中重要的概念，它描述了许多物体在稳定平衡位置附近的振动行为。
其中，弹簧振子作为最典型的简谐振动系统之一，具有广泛的应用。
本文将详细介绍弹簧振子的运动规律，包括振动方程、周期和频率等方面。
1. 弹簧振子的基本特点弹簧振子由一个质点和一个弹簧组成，质点可以在弹簧的纵向方向上自由振动。
在无外力作用下，质点围绕平衡位置做往复振动。
弹簧振子的振动是一个周期性的过程，具有一定的运动规律。
2. 弹簧振子的振动方程弹簧振子的振动方程可以用简单的数学形式来描述。
假设质点的振动位移为x，并满足线性恢复力的作用，那么弹簧振子的振动方程可以写为：m·x'' + k·x = 0其中m表示质点的质量，k表示弹簧的劲度系数，x''表示加速度二阶导数。
这个方程描述了弹簧振子在任意时刻的振动状态。
3. 弹簧振子的周期和频率根据振动方程，我们可以求解出弹簧振子的周期和频率。
假设弹簧振子的角频率为ω，那么它的周期T和频率f分别可以表示为：T = 2π/ωf = 1/T通过这两个公式，我们可以根据弹簧振子的质量m和弹簧的劲度系数k来计算出它的周期和频率。
4. 弹簧振子的能量变化弹簧振子在振动过程中具有动能和势能，它们相互转化导致能量的变化。
当质点位于最大位移时，动能为零，势能达到最大值；而质点位于平衡位置时，势能为零，动能达到最大值。
这种能量的周期性转化使得弹簧振子保持稳定的振动状态。
5. 弹簧振子的振幅和相位振幅和相位是描述弹簧振子振动特征的重要参数。
振幅表示质点振动时离开平衡位置的最大位移，是一个正数。
相位表示质点在振动过程中所处的位置，可以用角度或时间来表示。
6. 弹簧振子的应用弹簧振子的运动规律在工程和科学研究中有广泛的应用。
例如，弹簧振子被用于设计和制造机械振动系统、测量和控制仪器以及调节和判断物体的质量等方面。
了解弹簧振子的运动规律可以帮助我们更好地理解和应用这些系统和装置。
高中物理机械振动题解技巧
高中物理机械振动题解技巧在高中物理学习中，机械振动是一个重要的知识点。
学生们常常会遇到各种与机械振动相关的题目，而这些题目往往需要一些技巧和方法来解答。
本文将介绍一些解决机械振动题目的技巧，帮助学生们更好地理解和应用这一知识点。
首先，我们来看一个典型的机械振动题目：【例题】一个质量为m的弹簧挂在天花板上，下端挂有一个质量也为m的物体。
当物体静止时，弹簧的长度为L。
现在将物体向下拉伸至弹簧的长度为2L，然后释放，物体开始振动。
求物体振动的周期。
这是一个典型的弹簧振子问题。
解决这类问题的关键在于确定振动的特征量，即周期。
在这个例题中，我们可以使用胡克定律和牛顿第二定律来解决。
首先，根据胡克定律，弹簧的弹性势能与伸长量成正比。
在这个例题中，当物体位于弹簧的最大伸长位置时，弹簧的弹性势能最大，动能为零。
而当物体位于平衡位置时，弹簧的弹性势能为零，动能最大。
因此，物体在振动过程中，动能和弹性势能之间存在周期性的转换。
接下来，我们可以使用牛顿第二定律来分析物体的运动。
在振动过程中，物体受到弹簧的拉力和重力的合力。
根据牛顿第二定律，物体的加速度与受力成正比，与物体的质量成反比。
因此，我们可以得到以下方程：F = ma其中，F为物体受到的合力，m为物体的质量，a为物体的加速度。
在这个例题中，物体受到的合力为弹簧的拉力和重力的合力。
根据胡克定律，弹簧的拉力与伸长量成正比，方向与伸长方向相反。
因此，我们可以得到以下方程：k(2L - L) - mg = ma其中，k为弹簧的劲度系数，g为重力加速度。
将上述方程化简，我们可以得到以下结果：kL = 2ma + mg接下来，我们可以使用周期的定义来求解该题目。
周期T定义为振动一次所需的时间。
根据牛顿第二定律和胡克定律，我们可以得到以下关系：T = 2π√(m/k)将上述关系代入之前得到的方程，我们可以得到以下结果：T = 2π√(2L/g)至此，我们成功地求解了这个机械振动问题，并得到了物体振动的周期。
弹簧振子的运动特征分析
弹簧振子的运动特征分析弹簧振子是一种常见的物理实验装置，用于研究振动现象和力学规律。
其由一个质点和一根弹簧组成，当将质点拉离平衡位置，松手后，质点会围绕平衡位置做周期性振动。
本文将对弹簧振子的运动特征进行分析。
一、运动方程当弹簧振子处于平衡位置时，弹簧不发生形变，质点的受力只有重力，因此质点受到向下的重力而向下运动。
当质点被拉伸或压缩离开平衡位置时，弹簧会产生回复力，将质点拉回平衡位置。
根据牛顿第二定律，质点受到的合力等于其质量乘以加速度。
设质点离平衡位置的位移为x，则质点所受合力可以表示为弹簧回复力和重力之和：m*a = -k*x - mg，其中m为质点的质量，a为质点的加速度，k为弹簧的劲度系数，g为重力加速度。
根据以上方程，可以得到弹簧振子的运动方程为：m*a = -k*x - mg。
二、简谐振动弹簧振子的运动方程满足谐振动的条件，即质点受到的回复力与其位移成正比。
由于回复力的方向与位移方向相反，所以运动方程可以改写为：m*a + k*x = 0。
根据解微分方程的方法，可以得到弹簧振子的位移方程为：x(t) = Acos(ωt + φ)，其中x(t)为质点的位移，A为振幅，ω为角频率，t为时间，φ为初相位。
振幅和初相位的取值与初始条件有关，而角频率则与弹簧的劲度系数和质量有关。
三、共振现象在弹簧振子的运动中，当外界周期性力的频率与弹簧振子的固有频率相等时，会出现共振现象。
共振时，振幅会显著增大，其原因是外界力的周期性作用使得质点获得足够的能量，导致振幅增大。
共振现象在工程领域中经常被利用，如乐器共振、桥梁共振等。
同时，共振现象也需要避免，因为在某些情况下，共振会导致结构的破坏。
四、周期和频率弹簧振子的运动是一种周期性的振动，其周期T与频率f的关系为T = 1/f。
周期是指振动完成一个完整循环所需要的时间，频率是指振动单位时间内所完成的循环次数。
对于弹簧振子而言，其固有频率只与弹簧的劲度系数和质量有关，可以表示为f = 1/(2π)√(k/m)。
弹簧振子的运动特征总结
弹簧振子的运动特征总结弹簧振子是一种常见的物理实验装置，通过对弹簧的振动特征进行观察和分析，可以深入理解振动现象和相关的物理理论。
本文将对弹簧振子的运动特征进行总结，包括振动周期、频率、振动方程、共振现象以及实际应用等方面。
1. 振动周期与频率弹簧振子的振动周期是指振到某一特定点所需的时间，而振动频率则表示单位时间内完成的振动次数。
弹簧振子的振动周期和频率与弹簧的刚度、质量以及受力情况有关。
一般来说，振动周期和频率的计算公式如下：振动周期（T）= 2π√(m/k)振动频率（f）= 1/T = 1/2π√(k/m)其中，m代表弹簧振子的质量，k代表弹簧的刚度。
2. 弹簧振子的振动方程弹簧振子的振动可以用简谐振动方程来描述。
对于单摆弹簧振子，其振动方程可以表示为：m(d^2x/dt^2) + kx = 0其中，m为振子的质量，x为振子离开平衡位置的位移，t为时间，k为弹簧的劲度系数。
这个方程描述了振子在弹性力和可恢复力的作用下做往复运动。
3. 共振现象共振是指当一个振动系统与外部周期性力作用时，振动系统受到的外力频率与自身固有振动频率接近，导致振幅显著增大的现象。
在弹簧振子中，共振现象可以通过改变外界驱动频率来观察。
当外界驱动频率接近振动系统的固有频率时，振动幅度将显著增大，这种现象称为共振。
共振现象在日常生活中有许多实际应用。
例如，音箱就是基于共振原理工作的，通过调整音箱内部的振动系统，使其与音源频率接近，从而产生更大的声音效果。
此外，桥梁、摩天大楼等结构物的抗震设计中也需要考虑共振效应，以保证结构的稳定性。
4. 弹簧振子的实际应用弹簧振子在工程和科研领域有广泛的应用。
其中，弹簧振子的质点具有简单的周期性运动特征，适用于频率测量和时间标准的制备。
弹簧振子也可以作为实验装置，用于研究振动现象和探索振动理论。
此外，弹簧振子在机械振动传感器和控制系统中也扮演着重要的角色。
通过测量振子的位移、速度和加速度等变量，可以获得物体振动的相关信息，从而实现对机械系统进行监测和控制。
弹簧振子的研究与应用
弹簧振子在物理学领域应用
03
举例
机械波传播媒介角色扮演
充当机械波传播媒介
在机械振动系统中，弹簧振子可以作 为波的传播媒介，通过振动的传递来 展示波的传播过程。
揭示波动性质
弹簧振子的振动行为可以揭示波的周 期性、振幅、频率等波动性质，有助 于深入理解波动现象。
简谐运动规律揭示和验证
简谐运动模型
弹簧振子作为简谐运动的典型模 型，其运动规律遵循简谐运动的 基本方程，即位移与时间的关系 符合正弦或余弦函数。
其他工程技术相关领域应用
机械工程
在机械工程中，弹簧振子可用于实现机械系 统的隔振、缓冲和减振等功能，提高机械设 备的运行稳定性和可靠性。
土木工程
在土木工程中，弹簧振子可用于实现建筑物的隔震 、减震和抗震等功能，提高建筑物的安全性和稳定 性。
航空航天工程
在航空航天工程中，弹簧振子可用于实现飞 行器的减振降噪、姿态控制等功能，提高飞 行器的性能和安全性。
求解方法
对于无阻尼自由振动，可以通过求解特征值问题得到振动的频率和振型；对于 有阻尼自由振动和受迫振动，可以采用数值方法（如龙格-库塔法）进行求解。
振幅、频率、相位等参数确定
01
振幅确定
振幅是振动过程中物体离开平衡位置的最大距离，可以通过测量振动过
程中物体的最大位移来确定。
02 03
频率确定
频率是单位时间内振动的次数，可以通过测量振动周期并取倒数来得到 。对于无阻尼自由振动，频率也可以通过公式f=1/(2π)√(k/m)来计算 。
03
探讨了弹簧振子的 应用前景
分析了弹簧振子在机械工程、电 子工程等领域的应用潜力，展示 了其广阔的应用前景。
存在问题和挑战剖析
运用高中物理学中的弹簧振子解决实际问题
运用高中物理学中的弹簧振子解决实际问题当我们提到弹簧振子，很多人可能会联想到物理课堂上的学习内容。
实际上，高中物理学中的弹簧振子理论可以被应用于解决各种实际问题。
本文将讨论如何利用弹簧振子理论解决实际问题，并针对不同场景给出具体的例子。
1. 弹簧振子的基本原理弹簧振子是由弹性介质——弹簧和质点组成的系统。
当质点与弹簧相连并受到位移时，弹簧会产生反向的弹性力，质点受到这种力的作用产生振动。
弹簧振子的振动特性可以用下面的公式描述：\[T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}\]其中，T表示周期，m表示质点的质量，k表示弹簧的劲度系数。
2. 应用场景之一：天体摆钟天体摆钟是利用地球的自转运动和重力作用的一种计时装置。
它的振动部分可以用弹簧振子模型来描述。
根据弹簧振子的周期公式，我们可以知道周期与质点质量的平方根成反比，与弹簧的劲度系数的平方根成正比。
在天体摆钟中，我们可以通过调节质点的质量和弹簧的劲度系数来改变振钟的周期，从而使得摆动的频率与所需计时的周期相匹配。
通过合理设计和调整弹簧振子的参数，可以制造出高精度的钟表。
3. 应用场景之二：汽车悬挂系统在汽车行驶过程中，悬挂系统的设计对乘坐舒适性、操控性和安全性都有很大影响。
弹簧振子理论可以应用于汽车悬挂系统的设计和调整。
通过利用弹簧振子的周期公式，我们可以选取合适的弹簧劲度系数和质量，使得汽车在行驶过程中能够具有合适的减震效果，保证乘坐舒适性。
此外，合理设计悬挂系统的参数，可以使汽车在高速行驶时保持稳定性，提高操控性和安全性。
4. 应用场景之三：物体质量的测量在一些实际问题中，我们需要准确地测量物体的质量，而常用的天平等测量设备有其限制。
利用弹簧振子的原理，我们可以设计制造出一种称为弹簧测力计的装置。
弹簧测力计利用弹簧振子的原理来测量物体施加的力，从而推算出物体的质量。
通过测量弹簧振子的振动周期或振动频率，结合弹簧的劲度系数，我们可以计算出物体施加的力，并进一步推算出物体的质量。
弹簧振子模型解题赏析
OAD h m 弹簧振子模型解题赏析弹簧振子问题中涉及力和位移、力和运动、功和能等关系问题，能很好的考查学生对相关知识点的掌握及分析问题的能力以及迁移能力。
基本知识点：（1）平衡位置处合力为零，加速度为零，速度达到最大。
（2）正负最大位移处合力最大，加速度最大且方向相反，速度为零。
（3）振动过程具有对称性 1.如图，在一直立的光滑管内放置一劲度系数为k 的轻质弹簧，管口上方O 点与弹簧上端初位置A 的距离为h ，一质量为m 的小球从O 点由静止下落，压缩弹簧至最低点D ，弹簧始终处于弹性限度内，不计空气阻力。
小球自O 点下落到最低点D 的过程中，下列说法中正确的是A ．小球最大速度的位置随h 的变化而变化B ．小球的最大速度与h 无关C ．小球的最大加速度大于重力加速度D ．弹簧的最大压缩量与h 成正比答案：C 【解析】：小球从O 到A 做自由落体运动，刚接触弹簧时加速度为g 且有一定的速度，此后弹力逐渐增大合力逐渐减小，小球做加速度减小的加速运动，直至弹力与重力相等时速度达到最大故最大速度的位置为平衡位置与初始高度h 无关故A 错误。
因系统的机械能守恒故初始高度h 越大其最大速度越大故B 错误。
若小球从A 处由静止下落则初速度为零加速度为g 由对称性可知其最低点比D 点要高，此时加速度最大为g 方向向上；而此问题小球下落到A 时已有一定的速度故运动到最低点D 时其最大加速度要比重力加速度大，故C 正确。
最大压缩量与h 有关但不成正比故D 错误。
2．如图2所示，小球从高处下落到竖直放置的轻弹簧上，从接触弹簧开始到将弹簧压缩到最短的过程中，下列叙述中正确的是( )A ．小球的速度一直减小B ．小球的加速度先减小后增大C ．小球加速度的最大值一定大于重力加速度D ．在该过程的位移中点上小球的速度最大 图2答案：BC 【解析】：小球接触弹簧后，所受弹力逐渐增大，弹力大于重力时，小球加速度向下，仍加速．当弹力大于重力，合力向上，小球向下减速运动，加速度变大，速度变小，直到速度为零，可知BC 正确．3．如图所示，轻质弹簧上端悬挂于天花板，下端系有质量为M 的圆板，处于平衡状态．开始一质量为m 的圆环套在弹簧外，与圆板距离为h ，让环自由下落撞击圆板，碰撞时间极短，碰后圆环与圆板共同向下运动，使弹簧伸长。
高中物理中的弹簧振子问题解析
高中物理中的弹簧振子问题解析弹簧振子是高中物理课程中的重要内容之一，它是力学中的一个经典问题。
弹簧振子的研究对于理解振动现象、能量转化以及波动等方面具有重要意义。
本文将从弹簧振子的基本原理、运动方程、振动频率和能量转化等方面进行解析。
弹簧振子的基本原理是基于胡克定律，即弹簧的伸长量与所受外力成正比。
当弹簧受到拉伸或压缩时，它会产生恢复力，使得弹簧试图回到其平衡位置。
这种恢复力与弹簧的伸长量成正比，而且方向与伸长量相反。
根据牛顿第二定律，弹簧振子的运动可以用运动方程描述。
弹簧振子的运动方程可以表示为：m(d²x/dt²) = -kx，其中m是振子的质量，k是弹簧的劲度系数，x是振子的位移。
这个方程可以通过解微分方程得到振子的位移随时间的变化规律。
当忽略阻尼和外力的影响时，弹簧振子的解是一个简谐振动。
简谐振动的特点是振动频率恒定，且振幅不断变化。
振动频率可以通过振子的质量和弹簧的劲度系数来确定。
频率的公式是ω = √(k/m)，其中ω是角频率，它等于2π乘以振动频率。
这个公式告诉我们，当弹簧的劲度系数增大或质量减小时，振动频率会增大。
弹簧振子的能量转化也是一个重要的研究方向。
在振动过程中，能量在势能和动能之间不断转化。
当振子位于平衡位置时，它的动能最大，势能为零。
而当振子位移最大时，势能最大，动能为零。
在振动过程中，动能和势能不断交替，总能量保持不变。
弹簧振子的能量转化可以通过数学公式来描述。
振子的势能可以表示为Ep = (1/2)kx²，动能可以表示为Ek = (1/2)mv²，其中Ep是势能，Ek是动能，k是劲度系数，x是位移，m是质量，v是速度。
根据能量守恒定律，Ep + Ek = 常数。
这个公式告诉我们，当振子的位移增大时，势能增大，而动能减小；反之，当位移减小时，势能减小，动能增大。
除了基本原理、运动方程、振动频率和能量转化，弹簧振子还有一些其他的研究方向。
如何解决弹簧振子的问题
如何解决弹簧振子的问题如何解决弹簧振子的问题引言：弹簧振子是物理学中常见的一个问题，它具有重要的理论和实际意义。
在解决弹簧振子的问题时，我们需要运用一些基本的物理原理和数学方法。
本文将探讨如何解决弹簧振子的问题，包括弹簧振子的基本原理、解决弹簧振子所需的数学方法等。
1. 弹簧振子的基本原理弹簧振子是由一个悬挂在固定支点上的质点与一根垂直于重力方向的弹簧组成的。
当质点受到外力作用使其偏离平衡位置时，弹簧会受到拉伸或压缩的力，恢复力的产生使质点回复到平衡位置，然后继续做周期性的振动。
2. 解决弹簧振子的数学方法在解决弹簧振子的问题时，我们通常使用简谐振动的理论。
简谐振动是指质点在恢复力的作用下，沿着某一直线做来回往复的振动。
对于单摆和弹簧振子这类简谐振动，我们可以使用以下数学方法进行求解。
2.1. 基本方程基本方程是解决弹簧振子问题的出发点，它描述了质点在振动过程中的状态。
对于弹簧振子而言，基本方程可以表示为：m*a + k*x = 0，其中m是质量，a是加速度，k是弹簧的劲度系数，x是质点相对平衡位置的位移。
2.2. 振动方程振动方程是解决弹簧振子问题的核心方程，它描述了质点在振动过程中的变化规律。
对于弹簧振子而言，振动方程可以表示为：m*d^2*x/dt^2 + k*x = 0，其中d^2*x/dt^2是质点的加速度。
2.3. 求解方法解决振动方程可以使用不同的数学方法，例如分离变量法、特征根法等。
这些方法根据具体情况的复杂程度和求解精度的要求而选择。
3. 弹簧振子的实际应用弹簧振子不仅在物理学理论研究中有重要的应用，它也广泛应用于实际生活和工程领域。
3.1. 时间测量弹簧振子的周期性振动可以用作时间测量的基础，例如钟表和计时器。
3.2. 力学系统分析弹簧振子作为一种简谐振动系统，可以用于分析和研究其他力学系统的振动特性，例如机械结构的固有频率和振幅。
3.3. 信号处理弹簧振子的振动信号可以用于信号处理和通信系统中，例如声音和电信号的调制和解调。
弹簧振子的谐振特性及其应用
弹簧振子的谐振特性及其应用弹簧振子是物理学中常见的一个模型，它具有谐振特性，广泛应用于各个领域。
本文将探讨弹簧振子的谐振特性及其应用。
1. 弹簧振子的基本原理弹簧振子由一个质点和一个弹簧组成。
当质点受到外力作用时，弹簧会发生形变，产生恢复力。
根据胡克定律，弹簧的恢复力与形变成正比，即F = -kx，其中F为恢复力，k为弹簧的劲度系数，x为形变量。
质点在弹簧的作用下发生振动，形成弹簧振子。
2. 弹簧振子的谐振特性弹簧振子具有谐振特性，即在一定条件下，振动频率与振幅成正比。
谐振频率由弹簧的劲度系数和质点的质量决定。
根据牛顿第二定律，质点的加速度与恢复力成正比，即ma = -kx，其中m为质点的质量，a为加速度。
将这个方程与简谐运动的定义结合，可以得到弹簧振子的谐振频率f = 1 / (2π√(m/k))。
3. 弹簧振子的应用弹簧振子在实际应用中有着广泛的用途。
以下是几个常见的应用示例：3.1 摆钟摆钟是利用弹簧振子的谐振特性来测量时间的装置。
摆钟的摆动频率与摆杆的长度和重力加速度有关，通过调整摆杆的长度和重力加速度，可以使摆钟的摆动频率达到所需的精度。
3.2 振动传感器弹簧振子可以用作振动传感器，用于检测物体的振动状态。
通过测量弹簧振子的振动频率和振幅，可以判断物体的振动频率和振幅，进而分析物体的运动状态和性质。
3.3 悬挂系统弹簧振子在悬挂系统中起到缓冲和减震的作用。
例如，汽车的悬挂系统中常使用弹簧振子来减缓车身的震动，提高行驶的舒适性和稳定性。
3.4 音乐乐器弹簧振子在音乐乐器中应用广泛。
例如，吉他的琴弦就是利用弹簧振子的谐振特性来发出声音的。
通过调整琴弦的张力和长度，可以改变琴弦的振动频率和音调。
4. 弹簧振子的优缺点弹簧振子作为一种物理模型，具有以下优点：结构简单，易于制造和调整；谐振频率可调，适用于不同的应用场景；能够提供稳定的振动状态，具有较好的精度和稳定性。
然而，弹簧振子也存在一些缺点：受到外界干扰较为敏感，容易受到外力的影响而失去谐振状态；振幅受到限制，无法实现过大的振动幅度；在高频率振动下，弹簧的能量损耗较大。
简单弹簧振子研究
简单弹簧振子研究弹簧振子是物理学中的经典问题之一，它是研究振动现象的重要工具。
简单弹簧振子由一个质点和一个弹簧组成，质点在弹簧的拉力作用下发生振动。
本文将围绕简单弹簧振子展开讨论，探索其特性和应用。
1. 弹簧振子的基本原理弹簧振子的运动可分为两个方向：水平和垂直。
在水平方向上，弹簧振子的运动受到弹簧的弹性力和阻尼力的作用。
在垂直方向上，弹簧振子的运动受到重力和弹簧的弹性力的作用。
根据牛顿第二定律，可以得到弹簧振子的运动方程。
2. 弹簧振子的特性弹簧振子的特性包括振动频率、振幅和周期。
振动频率是指单位时间内振动的次数，可以通过振动周期的倒数来计算。
振动周期是指一个完整振动所需要的时间。
振幅是指振动过程中质点离开平衡位置的最大距离。
弹簧振子的特性与弹簧的刚度和质点的质量有关。
刚度越大，振动频率越高，周期越短。
质点的质量越大，振动频率越低，周期越长。
振幅与振动的能量有关，能量越大，振幅越大。
3. 弹簧振子的应用弹簧振子在物理学、工程学和生物学等领域有广泛的应用。
在物理学中，弹簧振子被用来研究振动现象和波动现象。
在工程学中，弹簧振子被用来设计和制造各种振动设备，如振动筛、振动输送机等。
在生物学中，弹簧振子被用来研究生物体的振动特性，如鸟类的振翅和鱼类的游动。
4. 弹簧振子的改进和应用拓展简单弹簧振子的研究还可以拓展到复杂的振动系统，如多自由度振动系统和非线性振动系统。
多自由度振动系统由多个质点和多个弹簧组成，可以模拟更复杂的振动现象。
非线性振动系统的运动方程不满足线性关系，其振动现象更加丰富多样。
此外，弹簧振子的研究还可以应用于工程领域的振动控制和能量回收。
通过改变弹簧的刚度和质点的质量，可以控制振动的频率和振幅，从而减小振动对结构的损伤。
利用振动能量回收技术，可以将弹簧振子的振动能量转化为电能或其他形式的能量，实现能量的高效利用。
总结：简单弹簧振子是物理学中的经典问题，它的研究涉及到振动、波动、能量转化等多个领域。
解析弹簧振子问题的解题思路
解析弹簧振子问题的解题思路弹簧振子是力学中经典的问题之一。
通过解析弹簧振子问题，可以深入理解振动现象，掌握解题的方法和思路。
本文将从弹簧振子的基本原理入手，逐步分析振动的特点以及解题的思路。
一、弹簧振子的基本原理弹簧振子是指将质点与弹簧连接起来，在无外力作用下，弹簧和质点之间的相对位移会出现周期性的变化。
其中，质点的运动受到弹簧的弹性力和恢复力的影响。
弹簧振子的运动方程可以用微分方程表示。
二、振动的特点弹簧振子的振动具有以下特点：1. 频率恒定：在忽略阻力和摩擦的情况下，弹簧振子的频率是固定的，与振幅无关。
这一特点可以通过振动的微分方程进行推导。
2. 幅值与能量关联：弹簧振子的振幅与其能量有关，振幅越大，能量越大。
这一特点在分析振动问题时需要注意，因为振幅的大小会影响振子的运动轨迹和周期。
3. 相位差的存在：当两个弹簧振子同时进行振动时，会存在相位差。
相位差可以影响振动的合成，进而影响振动的特征和模式。
三、解题思路解析弹簧振子问题的思路如下：1. 确定振子的受力情况：分析问题中给出的条件，确定振子受力的情况。
常见的力包括弹簧的弹性力、重力和摩擦力等。
2. 建立运动方程：根据受力情况，建立振子的运动方程。
通常使用牛顿第二定律F=ma来描述振子受力和加速度之间的关系。
3. 求解微分方程：根据运动方程，将其转化为微分方程。
可以通过适当的变量代换和化简来简化微分方程的形式。
4. 求解微分方程的解：对于简单的弹簧振子问题，可以通过代入法或者特解法来求解微分方程。
对于复杂的情况，可以采用数值解法或者近似解法来求解。
5. 分析振动特征：根据求解得到的解析解或者数值解，分析振动的特征。
包括振动的频率、振幅和相位差等。
四、示例分析为了更好地理解解析弹簧振子问题的思路，以下以一个具体的示例进行分析。
假设一个质量为m的物体通过一个弹簧与固定点相连，弹簧的劲度系数为k。
初始时刻，物体在平衡位置上方，下落到平衡位置后又被弹簧弹起。
弹簧振子问题的解题技巧
弹簧振子问题的解题技巧弹簧振子是物理学中一种常见的振动系统，研究弹簧振子的解题技巧对于物理学的学习和应用具有重要意义。
本文将介绍弹簧振子问题的解题技巧，帮助读者更好地理解和掌握这一物理概念。
1. 弹簧振子的基本概念弹簧振子是由质量、弹簧和振幅组成的一个振动系统。
其基本方程可以表示为：m(d^2x/dt^2) + kx = 0其中，m是质量，k是弹簧的弹性系数，x是振子离开平衡位置的位移。
2. 弹簧振子问题的求解步骤（1）列出物体所受合力的方程：根据受力分析，我们可以列出弹簧振子所受合力的方程，这将有助于我们求解振子的运动方程。
（2）解微分方程：将合力的方程代入到弹簧振子的基本方程中，我们可以得到一个二阶线性非齐次常微分方程。
根据方程的特征根，可以得到振子的解。
（3）给定初始条件：根据问题的给定条件，我们可以确定振子的初始位移和初始速度。
将这些初始条件代入到方程的解中，可以得到具体的解析解。
3. 弹簧振子问题的常见解题技巧（1）频率和周期的计算：弹簧振子的频率和周期是解题中常见的要求。
根据振子的质量和弹簧的弹性系数，可以通过公式计算出频率和周期。
（2）阻尼振动的考虑：在实际情况中，弹簧振子往往存在阻尼。
考虑阻尼时，振子的运动方程将包含阻尼系数。
根据阻尼的不同情况，振子可能会呈现过阻尼、临界阻尼和欠阻尼等不同的振动形态。
（3）受迫振动的分析：在某些情况下，弹簧振子可能会受到外力的作用，形成受迫振动。
受迫振动的解题过程需要考虑外力的特性和振子自身的特性，找到受迫振动的解析解。
4. 弹簧振子问题的应用弹簧振子是物理学中一种重要的振动现象，其应用广泛。
在工程领域中，弹簧振子的特性常常被用于设计和优化机械系统；在科学研究中，弹簧振子的模型也被用于解释和预测自然界中的一些现象。
例如，在建筑工程中，设计人员需要考虑弹簧振子的特性，以确保建筑物在地震等外力作用下的稳定性。
在电子设备中，弹簧振子常被用于防震设计，以减小设备在运动中受到的震动。
弹簧振子的周期与频率
弹簧振子的周期与频率
弹簧振子是一种常见的物理现象，它具有一定的周期和频率。
本文将探讨弹簧振子的周期和频率的相关原理和计算方法。
1. 弹簧振子的定义及特点
弹簧振子是由一个弹簧和一个质点组成的物理模型，常用于研究物体的振动现象。
弹簧振子具有以下特点：
- 弹性势能与位移成正比关系，即弹簧的劲度系数越大，振子的周期越小。
- 弹簧振子的周期与振幅无关，即无论振动的振幅大小如何，其周期保持不变。
2. 弹簧振子的周期计算
弹簧振子的周期可以通过以下公式计算：
T = 2π * √(m/k)
其中，T表示周期，m表示质点的质量，k表示弹簧的劲度系数。
3. 弹簧振子的频率计算
弹簧振子的频率可以通过以下公式计算：
f = 1/T
其中，f表示频率，T表示周期。
4. 弹簧振子的实例分析
假设一个弹簧振子系统的质点质量为0.5 kg，弹簧的劲度系数为50 N/m。
根据上述公式，可计算出该弹簧振子的周期和频率：T = 2π * √(0.5/50) ≈ 0.628 s
f = 1/0.628 ≈ 1.592 Hz
这表明，在该实例中，弹簧振子的周期为0.628秒，频率约为1.592赫兹。
5. 弹簧振子的应用
弹簧振子在实际生活和科学研究中有广泛的应用。
例如，弹簧振子的周期和频率对于钟表的准确计时至关重要。
此外，弹簧振子还用于测量和调节机械和电子设备的振动频率。
6. 结论
弹簧振子的周期和频率是描述其振动特性的重要指标。
通过了解弹簧振子的定义、特点以及计算公式，我们可以更好地理解和应用弹簧振子的周期和频率。
弹簧振子简谐振动的特点和运动规律
弹簧振子简谐振动的特点和运动规律弹簧振子是一种经典的简谐振动系统，其运动特点和规律对于理解振动现象具有重要意义。
本文将介绍弹簧振子简谐振动的特点和运动规律。
一、简谐振动的定义简谐振动是指一个物体在一个稳定平衡位置附近以往复运动的振动现象。
在简谐振动中，物体运动的加速度与位移成正比，且方向相反，满足以下的微分方程：u''(t) + ω^2u(t) = 0，其中u(t)表示物体的位移，t表示时间，ω表示振动的角频率。
二、弹簧振子的定义弹簧振子是一种由弹簧和质量构成的振动系统。
通常情况下，弹簧振子由下垂的弹簧和悬挂在弹簧末端的质量块组成。
弹簧振子可以近似地看成是质点在弹性力的作用下做往复运动。
三、弹簧振子简谐振动的特点1. 平衡位置：弹簧振子的平衡位置指的是弹簧没有拉伸或压缩时的位置，此时物体不受外力作用，位于自然长度的位置。
2. 弹簧的弹性力：当弹簧振子离开平衡位置时，弹簧受到拉伸或压缩，产生一个与位移方向相反的弹性力。
根据胡克定律，弹簧的弹性力与位移成正比，满足F = -kx，其中F表示弹性力，k表示弹簧的弹性系数，x表示位移。
3. 复原力与加速度成正比：根据牛顿第二定律F = ma，弹簧振子受到的复原力与加速度成正比，复原力越大，加速度越大，反之亦然。
4. 振动周期：弹簧振子从一个极端位置到另一个极端位置并返回所需的时间称为振动周期T。
振动周期与振动频率f之间满足关系：T =1/f。
5. 振动频率：振动频率是指单位时间内所发生的振动个数，用赫兹（Hz）表示。
弹簧振子的振动频率与弹簧的弹性系数k和质量m有关，频率f与角频率ω之间满足关系：ω = 2πf = √(k/m)。
四、弹簧振子简谐振动的运动规律1. 幅度：弹簧振子的振动范围称为振幅A。
2. 相位：弹簧振子的相位表示振动的进行状态。
相位可以用角度或时间表示。
3. 位移-时间关系：弹簧振子的位移随时间变化的函数关系叫做位移-时间关系，通常表示为u(t)。
理论力学中的弹簧振子分析
理论力学中的弹簧振子分析弹簧振子是理论力学中的一个经典物理问题，它被广泛应用于各个领域，包括物理学、工程学和生物学等。
弹簧振子被用来研究物体在弹性力的作用下的振动行为，它的振动特性可以通过各种方法进行分析。
一、弹簧振子的基本概念弹簧振子是由一个弹簧和一个质点组成的系统。
弹簧作为系统的劲度体，负责提供恢复力，质点则作为弹簧的受力对象，负责执行振动运动。
在分析弹簧振子时，我们通常假设弹簧是理想的弹性体，即其满足胡克定律，即弹力与弹簧伸长（或压缩）的距离成正比。
二、弹簧振子的运动方程在理论力学中，我们可以通过运动方程来描述弹簧振子的振动行为。
对于一个弹簧振子系统，在没有外力作用下，其运动方程可以表示为：m * d²x/dt² + k * x = 0其中m表示质点的质量，k表示弹簧的劲度系数，x表示质点的位移。
这是一个二阶线性齐次微分方程，解该方程可得到弹簧振子的振动规律。
三、弹簧振子的频率和周期弹簧振子的频率和周期是描述其振动特性的两个重要参数。
频率f 表示单位时间内完成振动的次数，周期T表示完成一次完整振动所需的时间。
在弹簧振子的分析中，我们可以通过运动方程的解来求得其振动的频率和周期。
基于弹簧振子的运动方程，可得到如下的频率和周期公式：f = 1 / (2π) * √(k / m)T = 1 / f其中π为圆周率，k为弹簧的劲度系数，m为质点的质量。
四、弹簧振子的振动模式根据弹簧振子的特性，可将其振动模式分为简谐振动和非简谐振动两种类型。
简谐振动是指当弹簧振子受到恢复力作用时，质点的振动以恒定的频率和振幅进行。
这种振动模式的特点是振幅不变，且各个时刻的位移值可以由正弦或余弦函数表达。
非简谐振动则是指当振动频率较大或振幅较大时，弹簧振子的振动无法再被简单的正弦或余弦函数所描述。
在这种情况下，振动的位移与时间的关系变得更加复杂。
五、弹簧振子在工程和生物学中的应用弹簧振子的研究不仅仅只限于理论分析，在工程和生物学等领域中也有广泛的应用。
高考物理中的弹簧振子解析振动的规律
高考物理中的弹簧振子解析振动的规律弹簧振子是高考物理中一个重要的概念，研究物体在弹簧的作用下发生的振动现象。
本篇文章将从理论分析到实际应用，详细解析弹簧振子的规律。
一、弹簧振子的基本理论弹簧振子是由质量均匀分布的弹簧和附着其上的质点组成，当质点受到外力推动离开平衡位置时，会产生振动。
弹簧振子的基本理论可以用简谐振动来描述。
1. 简谐振动的定义简谐振动是指物体在恢复力的作用下以相同的频率周期性地前后摆动的振动。
在弹簧振子中，弹簧的弹力起到恢复力的作用。
2. 弹簧振子的基本方程当弹簧振子受到力F的作用时，弹簧的弹力F = -kx，其中k为弹簧的劲度系数，x为质点离开平衡位置的位移。
根据牛顿第二定律，可以得到弹簧振子的基本方程：m*a = -k*x，其中m为质点的质量，a为加速度。
3. 弹簧振子的解析解根据上述方程，可以推导出弹簧振子的解析解。
令x = A*cos(ωt + φ)，其中A为振幅，ω为角频率，t为时间，φ为初相位。
代入弹簧振子的基本方程，可得到振动的角频率和周期与弹簧的劲度系数与质量有关。
二、弹簧振子的实际应用弹簧振子的概念不仅存在于物理理论中，也具有广泛的实际应用价值。
以下将介绍几个与弹簧振子相关的实际应用场景。
1. 弹簧测力计弹簧振子可用于测量力的大小。
当外力作用在弹簧振子上时，弹簧发生变形，从而产生振动。
通过测量振动的频率或周期，可以间接地计算出外力的大小。
2. 扭摆钟扭摆钟利用弹簧振子的特性来测量时间。
它采用了弹簧的扭转力来驱动钟摆的摆动，使钟摆保持准确的节奏。
3. 车辆悬挂系统汽车的悬挂系统中采用了弹簧振子的原理。
弹簧振子能够缓解路面不平带来的冲击，并保持车辆稳定性。
通过调整弹簧的劲度系数和振动特性，可以使车辆行驶更加舒适。
三、探究弹簧振子的规律为深入了解弹簧振子的规律，可以通过实验来验证并进行探究。
1. 弹簧振子的自由振动可以通过改变质量和初始位移长度来测量自由振动的周期、频率和振幅。
《弹簧振子》模型
“弹簧振子”模型太原市第十二中学 姚维明模型建构：【模型】常见弹簧振子及其类型问题在简谐运动中，我们对弹簧振子（如图1，简称模型甲）比较熟悉。
在学习过程中，我们经常会遇到与此相类似的一个模型（如图2，简称模型乙）。
认真比较两种模型的区别和联系，对于培养我们的思维品质，提高我们的解题能力有一定的意义。
【特点】①弹簧振子做简谐运动时，回复力F=-kx ，“回复力”为振子运动方向上的合力。
加速度为mkx a -= ②简谐运动具有对称性，即以平衡位置（a=0）为圆心，两侧对称点回复力、加速度、位移都是对称的。
这是解题的关键。
模型典案：【典案1】把一个小球挂在一个竖直的弹簧上，如图2。
当它平衡后再用力向下拉伸一小段距离后轻轻放手，使小球上下振动。
试证明小球的振动是简谐振动。
〖证明〗设弹簧劲度系数为k ，不受拉力时的长度为l 0，小球质量为m ，当挂上小球平衡时，弹簧的伸长量为x 0。
由题意得mg=kx 0容易判断，由重力和弹力的合力作为振动的回复力假设在振动过程中的某一瞬间，小球在平衡位置下方，离开平衡位置O 的距离为x,取向下的方向为正方向则回复力F=mg+[-k(x 0+x)]=mg-kx 0-kx= -kx根据简谐运动定义，得证比较：（1）两种模型中，弹簧振子都是作简谐运动。
这是它们的相同之处。
(2）模型甲中，由弹簧的弹力提供回复力。
因此，位移(x)，回复力(F)，速度(v)，加速度(a)，各量大小是关于平衡位置O 点对称的。
(3)模型乙中，由弹簧的弹力和重力两者的合力提供回复力。
弹簧的弹力大小关于平衡位置是不对称．．．的，这点要特别注意。
但是，回复力（加速度）大小关于平衡位置是对称．．的。
在解题时我们经常用到这点。
【典案2】如图3所示，质量为m 的物块放在弹簧上，弹簧在竖直方向上做简谐运动，当振幅为A 时，物体对弹簧的最大压力是物重的1.8倍，则物体对弹簧的最小压力是物重的多少倍？欲使物体在弹簧振动中不离开弹簧，其振幅最大为多少？〖解析〗1)选物体为研究对象，画出其振动过程的几个特殊点，如图4所示，O 为平衡位置，P 为最高点，Q 为最低点。
弹簧振子
.
13
此课件下载可自行编辑修改，此课件供参考！ 部分内容来源于网络，如有侵权请与我联系删除！感谢你的观看！
曲线可以看出，当驱动力的频率小于该物体的固有频率时，增大
驱动力频率，振幅增大，直到驱动力频率等于系统固有频率时，
振动物体发生共振，振幅最大。在此之后若再增大驱动力频率，
则振动物体的振幅减小。所以本. 题的正确答案为D。
12
例17.如图所示，在一根张紧的水平绳上，悬挂有 a、b、c、d 、e五个单摆，让a摆略偏离平衡位置后无初速释放，在垂直纸
平衡位置:
BOC
（1）.周期：
T 2 m k
量和弹簧的劲度决定。
与振幅无关，只由振子质
（2）.可以证明：竖直放置的弹簧振子的振动也是简谐
运动，周期公式也是 T 2 m 。这个结论可以直接使
用。
k
（3）.在水平方向上振动的弹簧振子的回复力是弹簧的 弹力；在竖直方向上振动的弹簧振子的回复力是弹簧弹 力和重力的合力。
A．逐渐增大 B．先逐渐减小后逐渐增大；
C．逐渐减小 D．先逐渐增大后逐渐减小
解析：此题可以由受迫振动的共振曲线图来判断。
受迫振动中物体振幅的大小和驱动力频率与系统固有频率之差有
关。驱动力的频率越接近系统的固有频率，驱动力与固有频率的
差值越小，作受迫振动的振子的振幅就越大。当外加驱动力频率
等于系统固有频率时，振动物体发生共振，振幅最大。 由共振
.
7
五．受迫振动和共振 1、受迫振动 ⑴受迫振动是物体在周期性驱动力作用下的振动．做 受迫振动的物体，振动稳定后的周期或频率总等于驱 动力的周期或频率，而与物体的固有周期或频率无 关．
⑵振幅特征：驱动力的频率与物体的固有频率相差较 大时，振幅较小．驱动力的频率与物体的固有频率相 差较小时，振幅较大．驱动力的频率与物体的固有频 率相等时，振幅最大．
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
弹簧振子的典型特征与解题应用
高炜
弹簧振子与单摆是中学物理中研究简谐运动的两个理想模型，但由于在平时的教学和学习中，单摆的地位比弹簧振子更突出一些，致使许多学习者轻视了弹簧振子的应有的地位。
各类考试中涉及到弹簧振子的题目又较多，因此，研究弹簧振子的典型特征并积极利用这些特征解题是极其重要的。
典型特征1：在振动的过程中，振子在任意一点与该点关于平衡位置的对称点上，回复力F 与回复加速度a 大小相等，方向相反。
例1. 如图1所示，质量为3m 的框架，放在一水平台秤上，一轻质弹簧上端固定在框架上，下端拴一质量为m 的金属小球，小球上下振动，当小球振动到最低点时，台秤的示数为5mg ，求小球运动到最高点时，台秤的示数为_____________，小球的瞬时加速度的大小为_____________。
s
图1
解析：当小球运动到最低点时，台秤示数为5mg ，即框架和小球这一整体对台秤压力的大小为5mg ，由牛顿第三定律知，台秤对这一整体的支持力也为5mg 。
由牛顿第二定律可知小球在该时刻有向上的加速度，设该时刻小球加速度大小为a ，此时框架的加速度大小为0，则对框架与小球这一整体应用牛顿第二定律得：
()F F M m g F mg m a m N N 合=-+=-=⨯+⨯430
解得：a g =
由弹簧振子的典型特征1知识，小球运动到最高点，即最低点的对称点时，小球加速度的大小也为g ，方向竖直向下，所以该时弹簧处于原长，台秤的示数为框架的质量3mg 。
典型特征2：如图2所示，O 为平衡位置，假设一弹簧振子在A 、B 两点间来回振动，振动周期为T ，C 、D 两点关于平衡位置O 点对称。
从振子向左运动到C 点开始计时，到向右运动到D 点为止，即振子由C →A →C →O →D 的运动时间为t T =2。
图2
例2. 如图3所示，一轻质弹簧与质量为m 的物体组成弹簧振子，在竖直方向上A 、B 两点间做简谐振动，O 为平衡位置，振子的振动周期为T 。
某一时刻，物体正通过C 点向上运动（C 点在平衡位置上方h 高处），从此时刻开始半个周期内，下列说法正确的是（ ）
图3
（1）重力对物体的做功为2mgh ；
（2）重力对物体的冲量大小为
mgT 2； （3）加速度方向始终不变；
（4）回复力做功为2mgh 。
A. （1）（2）（3）
B. （2）（4）
C. （3）（4）
D. （1）（2）
解析：由振子的典型特征2知，振子经过C 点向上运动半个周期后，振子振动到了C 点关于O 点对称的点E ，CE h =2，所以重力做功2mgh ；重力对物体的冲量大小为mgT 2；弹簧振子的加速度的方向总指向平衡位置，故该题目中振子的加速度的方向先竖直向下再竖直向上；因C 、E 两点是关于平衡位置对称的点，振子在两点的动能相等，故回复力对振子不做功，答案应选D 。
典型特征3：弹簧振子在振动过程中，机械能守恒，即在振动过程中，振子在任意位置，弹簧振子的机械能不变，弹簧振子的机械能表现为振子的动能与弹簧储存的弹性势能之和。
设弹簧劲度系数为k ，振子的振幅为A ，弹簧振子的机械能大小为E kA =12
2。
例 3. 两根完全一样的弹簧与一根细线将甲、乙两滑块连在光滑的水平面上，（绳上有张力），如图4所示，甲的质量大于乙的质量。
当线突然断开后，两滑块都做简谐振动，在振动过程中（ ）
图4
A. 甲的振幅一定大于乙的振幅
B. 甲的振幅一定小于乙的振幅
C. 甲的最大速度一定小于乙的最大速度
D. 甲的最大速度一定大于乙的最大速度
解析：由力的平衡知识知道，在细线剪断前，两弹簧上的拉力大小相等，由胡克定律知道，两弹簧的伸长量相等。
即在细线剪断后，两弹簧振子的振幅A 相等，因两弹簧振子的弹簧劲度系数相等，由典型特征3知道，在细绳剪断的瞬间，两弹簧振子具有相等的弹性势能E kA =12
2，当振子运动到平衡位置时，弹性势能完全转化为振子的动能，设振子的最大速度为v ，由机械能守恒得：
1212
22kA mv = 因为m m 甲乙>，所以v v 甲乙<
故答案应选C 。
典型特征4：弹簧振子的振动周期为T m k
=2π
，其中m 为振子的质量，k 为弹簧劲度系数。
例4. 如图5所示，在光滑的水平面上，有滑块A 和B ，A 和B 的质量均为10g ，现有一轻质弹簧固定在两滑块右方的墙壁上，弹簧的劲度系数为k N m =2/。
开始时两滑块均静止，现给A 滑块一冲量，使其以10m/s 的速度向右滑行，并与B 相碰后，与B 粘在一起，求弹簧与墙有作用力的时间。
图5
解析：滑块A 向右与滑块B 相碰粘合在一起，由动量守恒知，两者以5m/s 的速度向右运动，A 、B 两滑块整体与弹簧作用时间即弹簧与墙存在作用力的时间。
两滑块整体与弹簧相互作用时，两者组成了一个弹簧振子，两滑块整体与弹簧的作用时间t 为弹簧振子周期T 的一半，即t T =2。
T m k
=2π，已知m m m kg k N m A B =+==0022./， 代入周期公式得：T s =≈020628..π 所以弹簧与墙存在作用力的时间：t T s =
=2
0314.
综合运用
例5. 质量为m 的钢板与直立弹簧的上端连接，弹簧的下端固定在地面上，平衡时，弹簧的压缩量为x 0，如图6所示，一物块从钢板的正上方距30x 的A 处自由下落，打在钢板上并立刻与钢板一起振动，但不粘连，它们到达最低点后又向上运动，已知物块的质量也为m ，它们恰好能回到O 点。
若物块的质量为2m ，仍从A 处自由下落，则物块与钢板回到O 点时，还具有向上的速度。
求物块向上运动到达的最高点与O 点的距离。
图6
解析：根据自由落体可得物块下落30x 高度所获得的速度v 0，即
v g x gx 000236==·
（1）质量为m 的物体与质量为m 的钢板碰撞后的速度为v 1，可用动量守恒求出（因碰撞时间极短，可以认为物体与钢板碰撞过程中满足动量守恒）：
()mv m m v 01=+ 解得：v v gx 1001212
6== 设弹簧的压缩量为x 0时的弹性势能为E p ，当物块与钢板一起向下运动到最低点又向上运动到O 点时，它们的动能为零，弹簧的弹性势能也是零，与刚碰撞完时比较，由机械能守恒得：
()E m v mgx p +=12
22120 得：()E mgx m gx mgx p =-⎛⎝ ⎫⎭⎪=212212612
0020· （2）若用质量为2m 的物块与钢板m 碰撞，碰后的速度v 2依然可由动量守恒求出： ()2202mv m m v =+ 解得：v v gx 2002323
6== 由于v v 21>，刚碰撞完时物块（质量为2m ）、钢板与弹簧系统的机械能（其中弹簧的机械能依然是E p ）较前次为大，因此当物块与钢板一起向下运动到最低点又向上运动到O 点时，它们仍有动能，设此时速度为v ，由机械能守恒：
()()E m v mgx m v p +=+123312
32202 其中E mgx p =
120，可得v gx =0，方向向上。
自O 点以上，物块（质量为2m ）与钢板m 将分离。
这是因为两者不粘连，物块将只受重力作用、加速度为g ；而钢板除受重力外，还将受向下的弹力作用，加速度向下且大于g 。
因此物块将做竖直上抛运动直至上升到最大高度，它向上运动到最高点与O 点的距离为：
h v g gx g x ===200222
对应练习：
1. 一轻质弹簧上端悬挂在天花板上，一端系一质量为M的平板，处于平衡状态，如图7所示。
一质量为m的均匀环套在弹簧上与平板的距离为h，让环自由下落，撞击平板，已知碰后环与板以相同的速度向下运动，则（）
图7
A. 若碰撞时间极短，则碰撞过程中环与板的总动量守恒
B. 若碰撞时间极短，则碰撞过程中环与板的机械能守恒
C. 环撞击板后，板新的平衡位置与h的大小无关
D. 在碰后板与环一起下落的过程中，它们减少的动能等于克服弹簧弹力做的功
2. 如图8所示的升降机箱底有若干个弹簧，设某次事故中，升降机吊索在空中断裂，忽略摩擦力，则升降机在弹簧下端触地后直到最低点的一段运动过程（设弹簧被压缩过程中处于弹簧的弹性限度内）（）
图8
A. 升降机的速度不断减小
B. 升降机的加速度不断增大
C. 先是弹力做的负功小于重力做的正功，然后弹力做的负功大于重力做的正功
D. 到最低点时，升降机加速度的值一定大于重力加速度的值。
答案：
1. A、C
2. C、D。