平行四边形的性质知识点-例题-习题

第二十一讲平行四边形的性质【要点梳理】知识点一、平行四边形的定义平行四边形：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形. 平行四边形ABCD记作“Y ABCD”，读作“平行四边形ABCD”.要点诠释：平行四边形的基本元素：边、角、对角线.相邻的两边为邻边，有四对；相对的边为对边，有两对；相邻的两角为邻角，有四对；相对的角为对角，有两对；对角线有两条.知识点二、平行四边形的性质定理平行四边形的对角相等；平行四边形的对边相等；平行四边形的对角线互相平分；要点诠释：（1）平行四边形的性质定理中边的性质可以证明两边平行或两边相等；角的性质可以证明两角相等或两角互补；对角线的性质可以证明线段的相等关系或倍半关系.（2）由于平行四边形的性质内容较多，在使用时根据需要进行选择.（3）利用对角线互相平分可解决对角线或边的取值范围的问题，在解答时应联系三角形三边的不等关系来解决.知识点三、平行线的性质定理1.两条平行线间的距离：（1）定义：两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线间的距离.注：距离是指垂线段的长度，是正值.2．平行线性质定理及其推论夹在两条平行线间的平行线段相等.平行线性质定理的推论：夹在两条平行线间的垂线段相等.【典型例题】类型一、平行四边形的性质例1、如图所示，已知四边形ABCD是平行四边形，若AF、BE分别为∠DAB、∠CBA的平分线．求证：DF＝EC．【答案与解析】证明：∵在Y ABCD中，CD∥AB，∠DFA＝∠FAB．又∵AF是∠DAB的平分线，∴∠DAF＝∠FAB，∴∠DAF＝∠DFA，∴AD＝DF．同理可得EC＝BC．∵在Y ABCD中，AD＝BC，∴DF＝EC．【总结升华】利用平行四边形的性质可以得到对角相等，对边平行且相等，为证明线段相等提供了条件．举一反三：【变式】如图，E、F是平行四边形ABCD的对角线AC上的点，CE＝AF，请你猜想：线段BE与线段DF 有怎样的关系？并对你的猜想加以证明.【答案】证明：猜想：BE ∥DF且BE＝DF.∵四边形ABCD是平行四边形∴CB=AD，CB∥AD∴∠BCE＝∠DAF在△BCE和△DAF中CB ADBCE DAFCE AF=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△BCE≌△DAF∴BE＝DF，∠BEC＝∠DFA∴BE∥DF即BE ∥DF且BE＝DF.例2.（2016·永州）如图，在▱ABCD中，∠BAD的角平分线AE交CD于点F,交BC的延长线于点E．（1）求证：BE=CD；（2）连接BF，若BF⊥AE，∠BEA=60°，AB=4，求平行四边形ABCD的面积．【思路点拨】（1）由平行四边形的性质和角平分线得出∠BAE=∠BEA ，即可证明；（2）证明△ABE 为等边三角形，由勾股定理求出BF ，由AAS 证明△ADF ≌△ECF ，得出△ADF 与△ECF 的面积相等，平行四边形ABCD 的面积=△ABE 的面积，即可得出结果． 【答案与解析】（1）证明：∵在平行四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ∥CD ，AB=CD ，∴∠AEB=∠DAE ，又∵AE 是∠BAD 的角平分线， ∴∠BAE=∠DAE ， ∴∠AEB=∠BAE ， ∴AB=BE ， ∴BE=CD ．（2）解：∵AB=BE ，∠BEA=60°∴△ABE 为等边三角形， ∴AE=AB=4， ∵BF ⊥AE ， ∴AF=EF=2， ∴BF= ∵AD ∥BC ，∴∠D=∠ECF ，∠DAF=∠E ， 在△ADF 和△ECF 中，D ECFDAF E AF EF ∠=∠∠=∠=⎧⎪⎨⎪⎩, ∴△ADF ≌△ECF （AAS ） ∴△ADF 的面积=△ECF 的面积，∴平行四边形ABCD 的面积=△ABE 的面积=11422AE BF ⋅=⨯⨯= 【总结升华】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定、等边三角形的性质与判定、勾股定理；解答本题注意掌握平行四边形的对边平行且相等的性质．例3.如图，在▱ABCD 中，点E ，F 分别在边DC ，AB 上，DE=BF ，把平行四边形沿直线EF 折叠，使得点B ，C 分别落在B′，C′处，线段EC′与线段AF 交于点G ，连接DG ，B′G ． 求证：（1）∠1=∠2； (2）DG=B′G ．【思路点拨】（1）根据平行四边形得出DC∥AB，推出∠2=∠FEC，由折叠得出∠1=∠FEC=∠2，即可得出答案；（2）求出EG=B′G，推出∠DEG=∠EGF，由折叠求出∠B′FG=∠EGF，求出DE=B′F，证△DEG≌△B′FG 即可．【答案与解析】证明：（1）∵在平行四边形ABCD中，DC∥AB，∴∠2=∠FEC，由折叠得：∠1=∠FEC，∴∠1=∠2；（2）∵∠1=∠2，∴EG=GF，∵AB∥DC，∴∠DEG=∠EGF，由折叠得：EC′∥B′F，∴∠B′FG=∠EGF，∵DE=BF=B′F，∴DE=B′F，∴△DEG≌△B′FG（SAS），∴DG=B′G．【总结升华】本题考查了平行四边形性质，折叠性质，平行线性质，全等三角形的性质和判定的应用，主要考查学生的推理能力．例4.如图，已知▱ABCD中，F是BC边的中点，连接DF并延长，交AB的延长线于点E．求证：AB=BE．【思路点拨】根据平行四边形性质得出AB=DC，AB∥CD，推出∠C=∠FBE，∠CDF=∠E，证△CDF≌△BEF，推出BE=DC即可．【答案与解析】证明：∵F是BC边的中点，∴BF=CF，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=DC，AB∥CD，∴∠C=∠FBE，∠CDF=∠E，∵在△CDF和△BEF中＝＝＝C FBECDF ECF BF∠∠∠∠⎧⎪⎨⎪⎩∴△CDF≌△BEF（AAS），∴BE=DC，∵AB=DC，∴AB=BE．【总结升华】本题考查了平行四边形性质，全等三角形的性质和判定，平行线的性质的应用，关键是推出△CDF≌△BEF．举一反三：【变式】如图，已知在▱ABCD中，延长AB，使AB=BF，连接DF，交BC于点E．求证：E是BC的中点．【答案】证明：在□ABCD中，AB∥CD，且AB=CD，∴∠CDF=∠F，∠CBF=∠C，∵AB=FB，∴DC=FB，∴△DEC≌△FEB，∴EC=EB，即E为BC的中点．类型二、平行线的性质定理及其推论例5.（1）如图1，已知△ABC，过点A画一条平分三角形面积的直线；（2）如图2，已知l1∥l2，点E，F在l1上，点G，H在l2上，试说明△EGO与△FHO面积相等；（3）如图3，点M在△ABC的边上，过点M画一条平分三角形面积的直线．【思路点拨】（1）根据三角形的面积公式，只需过点A和BC的中点画直线即可；（2）结合平行线间的距离相等和三角形的面积公式即可证明；（3）结合（1）和（2）的结论进行求作．【答案与解析】解：（1）取BC的中点D，过A、D画直线，则直线AD为所求；（2）证明：∵l1∥l2，∴点E，F到l2之间的距离都相等，设为h．∴S△EGH=12GH×h，S△FGH=12GH×h，∴S△EGH=S△FGH，∴S△EGH-S△GOH=S△FGH-S△GOH，∴△EGO的面积等于△FHO的面积；（3）解：取BC的中点D，连接MD，过点A作AN∥MD交BC于点N，过M、N画直线，则直线MN为所求．【总结升华】此题主要是根据三角形的面积公式，知：三角形的中线把三角形的面积等分成了相等的两部分；同底等高的两个三角形的面积相等．举一反三：【变式】有这样的一个定理：夹在两条平行线间的平行线段相等．下面经历探索与应用的过程．探索：已知：如图1，AD∥BC，AB∥CD．求证：AB=CD．应用此定理进行证明求解．应用一、已知：如图2，AD∥BC，AD＜BC，AB=CD．求证：∠B=∠C；应用二、已知：如图3，AD∥BC，AC⊥BD，AC=4，BD=3．求：AD与BC两条线段的和．【答案】探索：证明：如图1，连接AC，∵AD∥BC，∴∠DAC=∠BCA∵AB∥CD．∴∠BAC=∠DCA在△ABC和△CDA中，，∴△ABC≌△CDA（ASA），∴AB=CD；应用一：证明：如图2，作DE∥AB交BC于点E，∵AD∥BC，∴AB=DE∵AB=CD，∴DE=CD，∴∠DEC=∠C∵DE∥AB，∴∠B=∠DEC，∴∠B=∠C；应用二、解：如图3，作DF∥AC交BC的延长线于点F∵AD∥BC，∴AC=DF、AD=CF，∵DF∥AC，∴∠BDF=∠BEC，∵AC⊥BD，∴∠BDF=∠BEC=90°，在Rt△BDF中，由勾股定理得：BF=5，故BC+AD=BC+CF=BF=5．【巩固练习】一.选择题1. 如图所示，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且AB≠AD，则下列式子不正确的是（）A.AC⊥BDB.AB＝CDC. BO＝ODD.∠BAD＝∠BCD2. 已知平行四边形ABCD中，∠B=4∠A，则∠C=（）A．18° B．36° C．72° D．144°3. 如图，在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD的顶点A、B、D的坐标分别为（0，0）、（4，0）、（2，4），则顶点C的坐标是（）A．（4，6）B．（4，2）C．（6，4）D．（8，2）4. 如图，A、P是直线m上的任意两个点，B、C是直线n上的两个定点，且直线m∥n；则下列说法正确的是（）A．AB∥PC B．△ABC的面积等于△BCP的面积C．AC=BP D．△ABC的周长等于△BCP的周长5. 平行四边形的一边长是10cm，那么它的两条对角线的长可以是（）A.4cm和6cmB.6cm和8cmC.8cm和10cmD.10cm和12cm6.如图，在Y ABCD中，BF平分∠ABC，交AD于点F，CE平分∠BCD，交AD于点E，AB=6，EF=2，则BC长为（）A．8 B．10 C．12 D．14二.填空题7. 如图所示，在Y ABCD中，对角线相交于点O，已知AB＝24 cm，BC＝18 cm，△AOB的周长为54 cm，则△AOD的周长为________cm．8. 已知Y ABCD，如图所示，AB＝8cm，BC＝10cm，∠B＝30°，Y ABCD的面积为________．9．在Y ABCD中，CA⊥AB，∠BAD＝120°，若BC＝10cm，则AC＝______，AB＝______．10. 如图，在△ABC中，AB=AC=5，D是BC边上的点，DE∥AB交AC于点E，DF∥AC交AB于点F，那么四边形AFDE的周长是．11．如图所示，平行四边形ABCD的周长是18cm，对角线AC、BD相交于点O，若△AOD与△AOB的周长差是5cm，则边AB的长是_______cm．12．如图所示，平行四边形ABCD中，BE⊥AD，CE平分∠BCD，AB=10，BC=16，则AE=__________.三.解答题13．如图所示，点E，F是平行四边形ABCD对角线BD上的点，BF=DE．求证：AE=CF．14. 如图，ABCD是平行四边形，P是CD上一点，且AP和BP分别平分∠DAB和∠CBA．（1）求∠APB的度数；（2）如果AD=5cm，AP=8cm，求△APB的周长．15. 如图，点G、E、F分别在平行四边形ABCD的边AD、DC和BC上，DG=DC，CE=CF，点P是射线GC上一点，连接FP，EP．求证：FP=EP．【答案与解析】 一.选择题 1.【答案】A ； 2.【答案】B ；【解析】∵四边形ABCD 是平行四边形，∴∠C=∠A ，BC ∥AD ， ∴∠A+∠B=180°， ∵∠B=4∠A ， ∴∠A=36°， ∴∠C=∠A=36°，故选B .3.【答案】C ；【解析】∵平行四边形ABCD 的顶点A 、B 、D 的坐标分别为（0，0）、（4，0）、（2，4），∴DC=AB=4，DC ∥AB ，∴C 的横坐标是4+2=6，纵坐标是4， 即C 的坐标是（6，4）． 故选C.4.【答案】B ；【解析】解：AB 不一定平行于PC ，A 不正确；∵平行线间的距离处处相等，∴△ABC 的面积等于△BCP 的面积，B 正确； AC 不一定等于BP ，C 不正确；△ABC 的周长不一定等于△BCP 的周长，D 不正确， 故选：B ．5.【答案】D ；【解析】设两条对角线的长为22a b ，.所以10a b +>,2220a b +>,所以选D.6.【答案】B ；【解析】因为∠AFB ＝∠FBC ，∠ABF ＝∠FBC ，所以AF ＝AB ＝6；同理可证：DE ＝DC ＝6；EF ＝AF+DE-AD＝2，即6+6-AD=2，解得AD=10.二.填空题7.【答案】48；【解析】因为四边形ABCD 是平行四边形，所以OD ＝OB ，AD ＝BC ＝18cm ．又因为△AOB 的周长为54cm ，所以OA ＋OB ＋AB ＝54cm ，因为AB ＝24cm ，所以OA ＋OB ＝54－24＝30(cm )，所以OA ＋OD ＝30(cm )，所以OA ＋OD ＋AD ＝30＋18＝48(cm )．即△AOD 的周长为48cm ．8.【答案】40；【解析】过点A 作AH ⊥BC 于H ．在Rt △ABH 中，∠B ＝30°，AB ＝8cm ，∴AH ＝12AB ＝4(cm )． ∴ABCD S =Y BC ·AH ＝10×4＝40(2cm )．9.【答案】53cm ，5；【解析】由题意，∠DAC ＝∠BCA ＝30°，AB ＝12BC=5，2210553AC =-=.11 第二十一讲 平行四边形的性质10．【答案】10；【解析】解：∵AB=AC=5，∴∠B=∠C，由DF∥AC，得∠FDB=∠C=∠B，∴FD=FB，同理，得DE=EC ．∴四边形AFDE 的周长=AF+AE+FD+DE=AF+FB+AE+EC=AB+AC=5+5=10．故答案为10．11．【答案】2；【解析】∵四边形ABCD 是平行四边形，∴OA=OC ，OB=OD ，∵△AOD 的周长=OA+OD+AD ，△AOB 的周长=OA+OB+AB ，又∵△AOD 与△AOB 的周长差是5，∴AD=AB+5，设AB=x ，AD=5+x ，则2（x+5+x ）=18，解得x=2，即AB=2．故答案为2．12.【答案】6；【解析】∵平行四边形ABCD ，∴AD ∥BC ，AD=BC=16，AB=CD=10，∴∠DEC=∠ECB ，∵CE 平分∠DCB ，∴∠DCE=∠BCE ，∴∠DEC=∠DCE ，∴DE=DC=AB=10，∴AE=16-10=6，故答案为：6．三.解答题13.【解析】证明：∵四边形ABCD 为平行四边形，∴BC=AD，BC∥AD，∴∠EDA =∠FBC ，在△AED 和△CFB 中，AD BC ADE CBF BF DE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△AED ≌△CFB （SAS ），∴AE=CF ．14.【解析】解：（1）∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥CB ，AB ∥CD∴∠DAB+∠CBA=180°， 又∵AP 和BP 分别12第二十一讲 平行四边形的性质15.【解析】 证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，∴∠DGC=∠GCB （两直线平行，内错角相等）， ∵DG=DC ，∴∠DGC=∠DCG ，∴∠DCG=∠GCB ，∵∠DCG+∠DCP=180°，∠GCB+∠FCP=180°， ∴∠DCP=∠FCP ，∵在△PCF 和△PCE 中＝＝＝CE CFFCP ECP CP CP∠∠⎧⎪⎨⎪⎩，∴△PCF ≌△PCE （SAS ），∴PF=PE ．。