2019学年高二数学上学期期中试题理新人教版新版

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河北省石家庄市第二中学2018-2019学年高二上学期期中考试数学(理)试题(含精品解析)

2018-2019学年河北省石家庄二中高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（本题共12个小题，每小题5分，共6分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．双曲线2x2﹣y2=8的实轴长是（）A．2B．2C．4D．42．若平面α与β的法向量分别是，则平面α与β的位置关系是（）A．平行B．垂直C．相交但不垂直D．无法确定3．已知椭圆+=1（a＞b＞0）的右焦点为F（3，0），点（0，﹣3）在椭圆上，则椭圆的方程为（）A． +=1B． +=1C． +=1D． +=14．双曲线﹣y2=1的顶点到其渐近线的距离等于（）A．B．C．D．5．若平面α的一个法向量为=（1，2，2），A=（1，0，2），B=（0，﹣1，4），A∉α，B∈α，则点A到平面α的距离为（）A．1B．2C．D．6．已知直线l1：4x﹣3y+7=0和直线l2：x=﹣1，抛物线y2=4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是（）A．B．C．2D．7．椭圆的焦点F1，F2，P为椭圆上的一点，已知PF1⊥PF2，则△F1PF2的面积为（）A ．8B ．9C ．10D ．128．已知直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，∠ABC =120°，AB =2，BC =CC 1=1，则异面直线AB 1与BC 1所成角的余弦值为（）A ．B ．C ．D ．9．若直线l ：y =ax ﹣1与抛物线C ：y 2=（a ﹣1）x 恰好有一个公共点，则实数a 的值构成的集合为（）A ．{﹣1，0}B ．{﹣1， }C ．{0， }D ．{1，，0}10．直线kx ﹣y ﹣2k +2=0恒过定点A ，若点A 是双曲线﹣=1的一条弦的中点，则此弦所在的直线方程为（）A ．x +4y ﹣10=0B ．2x ﹣y ﹣2=0C ．4x +y ﹣10=0D ．4x ﹣y ﹣6=011．如图F 1、F 2是椭圆C 1： +y 2=1与双曲线C 2的公共焦点，A 、B 分别是C 1、C 2在第二、四象限的公共点，若四边形AF 1BF 2为矩形，则C 2的离心率是（）A ．B ．C ．D ．12．已知椭圆C 1：+=1（a ＞b ＞0）与双曲线C 2：﹣=1（m ＞0，n ＞0）有共同的焦点F 1，F 2，且在第一象限的交点为P ，满足2•=2（其中O 为原点）设C 1，C 2的离心率分别为e 1，e 2当3e 1+e 2取得最小值时，e 1的值为（）A ．B ．C ．D ．二、填空题（本题共4个小题，每题5分，共20分）13．设椭圆C1：+=1（a＞b＞0）的离心率为，长轴长为26，若曲线C2上的点到椭圆C1的两个焦点的距离的差的绝对值等于4，则曲线C2的标准方程为．14．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M为棱AA1的中点，则直线D1B与平面MBC所成角的正弦值为．15．已知F1，F2分别是椭圆+=1（a＞b＞0）的左，右焦点，现以F2（1，0）为圆心作一个圆恰好经过椭圆中心并且交椭圆于点M，N，若过F1的直线MF1是圆F2的切线，则椭圆的长轴长为．16．已知双曲线x2﹣=1（b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，过F2作直线l交双曲线的左支于点A，过F2作直线l的垂线交双曲线的左支于点B，若直线AB过F1，则△ABF2的内切圆圆心到F2的距离为．三、解答题（本题共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）已知椭圆的对称轴为坐标轴且焦点在x轴上，离心率e=，短轴长为4．（I）求椭圆的方程（Ⅱ）过椭圆的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A，B两点，求AB的中点坐标及弦长|AB|．18．（12分）在三棱锥PABC中，PA⊥底面ABC，∠BAC=90°．点D，E，N分别为棱PA，PC，BC的中点，M是线段AD的中点，PA=AC=4，AB=2．（1）求证：MN∥平面BDE；（2）求二面角CEMN的正弦值．19．（12分）已知抛物线y2=﹣x与直线l：y=k（x+1）相交于A、B两点，点O为坐标原点．（1）求的值；（2）若△OAB的面积等于，求直线l的方程．20．（12分）已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率为，则：（Ⅰ）求双曲线C的渐进线方程．（Ⅱ）当a=1时，已知直线x﹣y+m=0与双曲线C交于不同的两点A，B，且线段AB的中点在圆x2+y2=5上，求m的值．21．（12分）已知抛物线y2=4x的焦点为F，过点F的直线交抛物线于A，B两点．（Ⅰ）若，求直线AB的斜率；（Ⅱ）设点M在线段AB上运动，原点O关于点M的对称点为C，求四边形OACB面积的最小值．22．（12分）已知动点M到定直线x=﹣4的距离是它到定点F1（﹣1，0）的距离的2倍．（Ⅰ）求动点M的轨迹方程．（Ⅱ）是否存在过点P（2，1）的直线l与动点M的轨迹相交于不同的两点A，B，满足•=？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．2018-2019学年河北省石家庄二中高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本题共12个小题，每小题5分，共6分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．双曲线2x2﹣y2=8的实轴长是（）A．2B．2C．4D．4【分析】根据题意，将双曲线的方程变形可得标准方程，分析可得其a的值，由双曲线实轴的定义计算可得答案．【解答】解：根据题意，双曲线方程为：2x2﹣y2=8，则其标准方程为：﹣=1，其中a==2，则其实轴长2a=4；故选：C．【点评】本题考查双曲线的几何性质，注意要现将其方程变形为标准方程．2．若平面α与β的法向量分别是，则平面α与β的位置关系是（）A．平行B．垂直C．相交但不垂直D．无法确定【分析】先计算向量与向量的数量积，根据数量积为0得到两向量垂直，从而判断出两平面的位置关系．【解答】解： =﹣2+8﹣6=0∴⊥∴平面α与平面β垂直故选：B．【点评】本题主要考查了向量数量积以及向量垂直的充要条件，同时考查了两平面的位置关系，属于基础题．3．已知椭圆+=1（a＞b＞0）的右焦点为F（3，0），点（0，﹣3）在椭圆上，则椭圆的方程为（）A． +=1B． +=1C． +=1D． +=1【分析】由条件根据椭圆的标准方程和简单性质可得a2﹣b2=9，0+=1，求得a2和b2的值，可得椭圆的方程．【解答】解：由题意可得a2﹣b2=9，0+=1，∴a2=18，b2=9，故椭圆的方程为+=1，故选：D．【点评】本题主要考查椭圆的标准方程和简单性质，属于基础题．4．双曲线﹣y2=1的顶点到其渐近线的距离等于（）A．B．C．D．【分析】求出双曲线的渐近线方程，顶点坐标，利用点到直线的距离求解即可．【解答】解：双曲线﹣y2=1的顶点坐标（，0），其渐近线方程为x±y=0，所以所求的距离为=．故选：C．【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查．5．若平面α的一个法向量为=（1，2，2），A=（1，0，2），B=（0，﹣1，4），A∉α，B∈α，则点A到平面α的距离为（）A．1B．2C．D．【分析】求出，点A到平面α的距离：d=，由此能求出结果．【解答】解：∵平面α的一个法向量为=（1，2，2），A=（1，0，2），B=（0，﹣1，4），A∉α，B∈α，∴=（1，1，﹣2），点A到平面α的距离：d===．故选：C．【点评】本题考查点到平面的距离的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．6．已知直线l1：4x﹣3y+7=0和直线l2：x=﹣1，抛物线y2=4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是（）A．B．C．2D．【分析】如图所示，过点F（1，0）作FQ⊥l1，交抛物线于点P，垂足为Q，过点P作PM⊥l2，垂足为M．则|PF|=|PM|，可知：|FQ是|抛物线y2=4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值．【解答】解：如图所示，过点F（1，0）作FQ⊥l1，交抛物线于点P，垂足为Q，过点P作PM⊥l2，垂足为M．则|PF|=|PM|，可知：|FQ是|抛物线y2=4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值．|FQ|==．故选：A．【点评】本题考查了抛物线的标准方程及其性质、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．7．椭圆的焦点F1，F2，P为椭圆上的一点，已知PF1⊥PF2，则△F1PF2的面积为（）A．8B．9C．10D．12【分析】先设出|PF1|=m，|PF2|=n，利用椭圆的定义求得n+m的值，平方后求得mn和m2+n2的关系，代入△F1PF2的勾股定理中求得mn的值，即可求出△F1PF2的面积．【解答】解：设|PF1|=m，|PF2|=n，由椭圆的定义可知m+n=2a，∴m2+n2+2nm=4a2，∴m2+n2=4a2﹣2nm由勾股定理可知m2+n2=4c2，求得mn=18，则△F1PF2的面积为9．故选：B．【点评】本题主要考查了椭圆的应用，椭圆的简单性质和椭圆的定义．考查了考生对所学知识的综合运用．8．已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ABC=120°，AB=2，BC=CC1=1，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为（）A．B．C．D．【分析】【解法一】设M、N、P分别为AB，BB1和B1C1的中点，得出AB1、BC1夹角为MN 和NP夹角或其补角；根据中位线定理，结合余弦定理求出AC、MQ，MP和∠MNP的余弦值即可．【解法二】通过补形的办法，把原来的直三棱柱变成直四棱柱，解法更简洁．【解答】解：【解法一】如图所示，设M、N、P分别为AB，BB1和B1C1的中点，则AB1、BC1夹角为MN和NP夹角或其补角（因异面直线所成角为（0，]），可知MN=AB1=，NP=BC1=；作BC中点Q，则△PQM为直角三角形；∵PQ=1，MQ=AC，△ABC中，由余弦定理得AC2=AB2+BC2﹣2AB•BC•cos∠ABC=4+1﹣2×2×1×（﹣）=7，∴AC=，∴MQ=；在△MQP中，MP==；在△PMN中，由余弦定理得cos∠MNP===﹣；又异面直线所成角的范围是（0，]，∴AB1与BC1所成角的余弦值为．【解法二】如图所示，补成四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1，求∠BC1D即可；BC1=，BD==，C1D=，∴+BD2=，∴∠DBC1=90°，∴cos∠BC1D==．故选：C．【点评】本题考查了空间中的两条异面直线所成角的计算问题，也考查了空间中的平行关系应用问题，是中档题．9．若直线l：y=ax﹣1与抛物线C：y2=（a﹣1）x恰好有一个公共点，则实数a的值构成的集合为（）A．{﹣1，0}B．{﹣1， }C．{0， }D．{1，，0}【分析】讨论若a=1，当a=﹣1时，将直线方程代入曲线方程，运用判别式为0，解方程即可得到所求值．【解答】解：若a=1，则曲线C为y=0，直线l：y=x﹣1，即有直线与曲线的交点为（1，0），满足题意；若a=0，则曲线C为y2=﹣x，直线l：y=﹣1，即有直线与曲线的交点为（﹣1，﹣1），满足题意；若a≠1，a≠0时，则抛物线y2=（a﹣1）x的对称轴为x轴，由y=ax﹣1与抛物线y2=（a﹣1）x相切，可得：a2x2﹣（3a﹣1）x+1=0，由判别式为0，可得（3a﹣1）2﹣4a2=0，解得a=（a=1舍去），综上可得，a=0，1或．故选：D．【点评】本题考查直线与曲线的交点的个数问题，注意讨论直线与曲线相切或与对称轴平行，考查运算能力，属于中档题和易错题．10．直线kx﹣y﹣2k+2=0恒过定点A，若点A是双曲线﹣=1的一条弦的中点，则此弦所在的直线方程为（）A．x+4y﹣10=0B．2x﹣y﹣2=0C．4x+y﹣10=0D．4x﹣y﹣6=0【分析】求出定点A（2，2），设A是弦P1P2的中点，且P1（x1，y1），P2（x2，y2），利用点差法能求出以A（2，2）为中点的双曲线的弦所在的直线方程．【解答】解：直线kx﹣y﹣2k+2=0恒过定点A（2，2），双曲线﹣=1方程可化为：4x2﹣y2=8，设A（2，2）是弦P1P2的中点，且P1（x1，y1），P2（x2，y2），则x1+x2=4，y1+y2=4．∵P1，P2在双曲线上，∴，∴4（x1+x2）（x1﹣x2）﹣（y1﹣y2）（y1+y2）=0，∴4×4（x1﹣x2）=4（y1﹣y2），∴k==4，∴以A（2，2）为中点的双曲线的弦所在的直线方程为：y﹣2=4（x﹣2），整理得4x﹣y﹣6=0．故选：D．【点评】本题考查直线方程的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意点差法和根的判别式的合理运用．11．如图F1、F2是椭圆C1： +y2=1与双曲线C2的公共焦点，A、B分别是C1、C2在第二、四象限的公共点，若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是（）A．B．C．D．【分析】不妨设|AF1|=x，|AF2|=y，依题意，解此方程组可求得x，y的值，利用双曲线的定义及性质即可求得C2的离心率．【解答】解：设|AF1|=x，|AF2|=y，∵点A为椭圆C1： +y2=1上的点，∴2a=4，b=1，c=；∴|AF1|+|AF2|=2a=4，即x+y=4；①又四边形AF1BF2为矩形，∴+=，即x2+y2=（2c）2==12，②由①②得：，解得x=2﹣，y=2+，设双曲线C2的实轴长为2m，焦距为2n，则2m=|AF2|﹣|AF1|=y﹣x=2，2n=2c=2，∴双曲线C2的离心率e===．故选：D．【点评】本题考查椭圆与双曲线的简单性质，求得|AF1|与|AF2|是关键，考查分析与运算能力，属于中档题．12．已知椭圆C1：+=1（a＞b＞0）与双曲线C2：﹣=1（m＞0，n＞0）有共同的焦点F1，F2，且在第一象限的交点为P，满足2•=2（其中O为原点）设C1，C2的离心率分别为e1，e2当3e1+e2取得最小值时，e1的值为（）A．B．C．D．【分析】由2•=2，故||=2||cos∠POF2，即x P=，由焦半径公式可得：PF1=a+=x P+m⇒e1e2=2，3e1+e2取，当且仅当3e1=e2时取等号，即．【解答】解：∵2•=2，故||=2||cos∠POF2，即x P=由焦半径公式可得：PF1=a+=x P+m⇒2c2=am⇒e1e2=23e1+e2取，当且仅当3e1=e2时取等号，即故选：A．【点评】本题考查了双曲线离心率，属于中档题．二、填空题（本题共4个小题，每题5分，共20分）13．设椭圆C1：+=1（a＞b＞0）的离心率为，长轴长为26，若曲线C2上的点到椭圆C1的两个焦点的距离的差的绝对值等于4，则曲线C2的标准方程为　﹣=1　．【分析】在椭圆C1中，由题设条件能够得到a，b，曲线C2是以F1（﹣5，0），F2（5，0），为焦点，实轴长为4的双曲线，由此可求出曲线C2的标准方程．【解答】解：在椭圆C1中，椭圆C1：+=1（a＞b＞0）的离心率为，长轴长为26，a=13，c=5，b=12，椭圆C1的焦点为F1（﹣5，0），F2（5，0），椭圆方程为：．曲线C2上的点到椭圆C1的两个焦点的距离的差的绝对值等于4，a=2，则c=5，则b=．故C2的标准方程为：，故答案为：．【点评】本题考查圆锥曲线的性质和应用，解题时要注意公式的灵活运用，注意区分椭圆和双曲线的性质．14．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M为棱AA1的中点，则直线D1B与平面MBC所成角的正弦值为．【分析】设正方体ABCD﹣A1B1C1D1中棱长为2，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线D1B与平面MBC所成角的正弦值．【解答】解：设正方体ABCD﹣A1B1C1D1中棱长为2，如图建立空间直角坐标系，则D1（0，0，2），B（2，2，0），M（2，0，1），C（0，2，0），=（﹣2，﹣2，2），=（0，﹣2，1），=（﹣2，0，0），设平面MBC的法向量=（x，y，z），则，取y=1，得=（0，1，2），设直线D1B与平面MBC所成角为θ，则sinθ===．故直线D1B与平面MBC所成角的正弦值为．故答案为：．【点评】本题考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．15．已知F1，F2分别是椭圆+=1（a＞b＞0）的左，右焦点，现以F2（1，0）为圆心作一个圆恰好经过椭圆中心并且交椭圆于点M，N，若过F1的直线MF1是圆F2的切线，则椭圆的长轴长为　+1　．【分析】由题意画出图形，利用椭圆定义可得|MF1|=2a﹣1，则Rt△F1MF2中，由勾股定理求得a，则答案可求．【解答】解：如图，由题意可知，|MF2|=c=1，则|MF1|=2a﹣1，则Rt△F1MF2中，由勾股定理可得（2a﹣1）2+12=4，解得：a=．∴椭圆的长轴长为．故答案为：．【点评】本题考查椭圆的简单性质，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．16．已知双曲线x2﹣=1（b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，过F2作直线l交双曲线的左支于点A，过F2作直线l的垂线交双曲线的左支于点B，若直线AB过F1，则△ABF2的内切圆圆心到F2的距离为　2　．【分析】设内切圆的圆心为I，由直线AF2和直线BF2垂直，运用内角平分线定可得ABF2为等腰直角三角形，运用勾股定理和三角形的等积法，可得半径r，即可得到所求距离．【解答】解：设内切圆的圆心为I，由直线AF2和直线BF2垂直，可得I在x轴上， ====1，可得三角形ABF2为等腰直角三角形，设|AF2|=m，则设|BF2|=m，|AB|=m，即有内切圆的半径r满足r•（4m﹣4）=m2，又m=2m﹣4，解得r=2，m=4+2，即有|IF2|=r=2，故答案为：2．【点评】本题考查双曲线的定义、方程和性质，注意定义法和内角平分线定理的运用，考查三角形的等积法和勾股定理的应用，考查运算能力，属于中档题．三、解答题（本题共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）已知椭圆的对称轴为坐标轴且焦点在x轴上，离心率e=，短轴长为4．（I）求椭圆的方程（Ⅱ）过椭圆的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A，B两点，求AB的中点坐标及弦长|AB|．【分析】（Ⅰ）由已知， =，2b=4，由此能求出椭圆的标准方程．（Ⅱ）椭圆的右焦点为（1，0），直线AB方程为：y=2（x﹣1），由，得3x2﹣5x=0，由此能求出A（0，﹣2），B（），进而能求出|AB|．【解答】解：（Ⅰ）由已知， =，2b=4，∴b=2∵b2=a2﹣c2=5c2﹣c2=4c2=4，∴c2=1，a2=5，∴椭圆的标准方程为： +=1．……………………（4分）（Ⅱ）椭圆的右焦点为（1，0），∴直线AB方程为：y=2（x﹣1）…………………………设A（x1，y1），B（x2，y2），由，得3x2﹣5x=0，解得x1=0，x2=，…………………………（7分）设AB中点坐标为（x0，y0），则=，，所以AB的中点为（），…………………………（9分）∵A（0，﹣2），B（），∴|AB|==．…………………………（10分）【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查弦长的求法，考查椭圆、直线方程、中点坐标公式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．18．（12分）在三棱锥PABC中，PA⊥底面ABC，∠BAC=90°．点D，E，N分别为棱PA，PC，BC的中点，M是线段AD的中点，PA=AC=4，AB=2．（1）求证：MN∥平面BDE；（2）求二面角CEMN的正弦值．【分析】（1）取AB中点F，连接MF、NF，由已知可证MF∥平面BDE，NF∥平面BDE．得到平面MFN∥平面BDE，则MN∥平面BDE；（2）由PA⊥底面ABC，∠BAC=90°．可以A为原点，分别以AB、AC、AP所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系．求出平面MEN与平面CME的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值得二面角CEMN的余弦值，进一步求得正弦值．【解答】（1）证明：取AB中点F，连接MF、NF，∵M为AD中点，∴MF∥BD，∵BD⊂平面BDE，MF⊄平面BDE，∴MF∥平面BDE．∵N为BC中点，∴NF∥AC，又D、E分别为AP、PC的中点，∴DE∥AC，则NF∥DE．∵DE⊂平面BDE，NF⊄平面BDE，∴NF∥平面BDE．又MF∩NF=F．∴平面MFN∥平面BDE，则MN∥平面BDE；（2）解：∵PA⊥底面ABC，∠BAC=90°．∴以A为原点，分别以AB、AC、AP所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系．∵PA=AC=4，AB=2，∴A（0，0，0），B（2，0，0），C（0，4，0），M（0，0，1），N（1，2，0），E（0，2，2），则=（1，2，﹣1），=（0，2，1），设平面MEN的一个法向量为=（x，y，z），由，得，取z=2，得=（4，﹣1，2）．由图可得平面CME的一个法向量为=（1，0，0）．∴cos＜，＞==．∴二面角CEMN的余弦值为，则正弦值为．【点评】本题考查直线与平面平行的判定，考查了利用空间向量求解空间角，考查计算能力，是中档题．19．（12分）已知抛物线y2=﹣x与直线l：y=k（x+1）相交于A、B两点，点O为坐标原点．（1）求的值；（2）若△OAB的面积等于，求直线l的方程．【分析】（1）联立直线与抛物线方程，化为关于y的一元二次方程，由根与系数关系求出A，B两点的横纵坐标的和与积，直接运用数量积的坐标运算求解；（2）直接代入三角形面积公式求解即可【解答】解：（1）设，由题意可知：k≠0，∴，联立y2=﹣x得：ky2+y﹣k=0显然：△＞0，∴，∴=（﹣y12）（﹣y22）+y1y2=（﹣1）2+1=0，（2）∵S△OAB=×1×|y1﹣y2|===，解得：k=±，∴直线l的方程为：2x+3y+2=0或2x﹣3y+2=0．【点评】本题考查了直线和圆锥曲线的关系，考查了平面向量数量积的坐标运算，训练了三角形面积的求法，是中档题．20．（12分）已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率为，则：（Ⅰ）求双曲线C的渐进线方程．（Ⅱ）当a=1时，已知直线x﹣y+m=0与双曲线C交于不同的两点A，B，且线段AB的中点在圆x2+y2=5上，求m的值．【分析】（Ⅰ）由题意通过离心率推出c2=3a2，得到，然后求解双曲线的渐近线方程．（Ⅱ）当a=1时，双曲线C的方程为x2﹣．设A、B两点的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），线段AB的中点为M（x0，y0），联立直线与双曲线方程，利用韦达定理，结合已知条件求解m即可．【解答】（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由题意，得，∴c2=3a2∴b2=c2﹣a2=2a2，即∴所求双曲线C的渐进线方程………………（Ⅱ）由（1）得当a=1时，双曲线C的方程为x2﹣．……6分设A、B两点的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），线段AB的中点为M（x0，y0），由，得x2﹣2mx﹣m2﹣2=0（判别式△＞0），∴x0==m，y0=x0+m=2m，…………（10分）∵点M（x0，y0），在圆x2+y2=5上，∴m2+4m2=5，∴m=±1．……（12分）（本题学生用“点差法”也给分）【点评】本题考查圆锥曲线的综合应用，直线与双曲线的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力．21．（12分）已知抛物线y2=4x的焦点为F，过点F的直线交抛物线于A，B两点．（Ⅰ）若，求直线AB的斜率；（Ⅱ）设点M在线段AB上运动，原点O关于点M的对称点为C，求四边形OACB面积的最小值．【分析】（Ⅰ）依题意F（1，0），设直线AB方程为x=my+1．将直线AB的方程与抛物线的方程联立，得y2﹣4my﹣4=0．由此能够求出直线AB的斜率．（Ⅱ）由点C与原点O关于点M对称，得M是线段OC的中点，从而点O与点C到直线AB的距离相等，所以四边形OACB的面积等于2S△AOB．由此能求出四边形OACB的面积最小值．【解答】（本小题满分13分）（Ⅰ）解：依题意F（1，0），设直线AB方程为x=my+1．…（1分）将直线AB的方程与抛物线的方程联立，消去x得y2﹣4my﹣4=0．…（3分）设A（x1，y1），B（x2，y2），所以y1+y2=4m，y1y2=﹣4．①…（4分）因为，所以y1=﹣2y2．②…联立①和②，消去y1，y2，得．…（6分）所以直线AB的斜率是．…（7分）（Ⅱ）解：由点C与原点O关于点M对称，得M是线段OC的中点，从而点O与点C到直线AB的距离相等，所以四边形OACB的面积等于2S△AOB．…（9分）因为…（10分）=，…（12分）所以m=0时，四边形OACB的面积最小，最小值是4．…（13分）【点评】本题考查直线斜率的求法，考查四边形面积的最小值的求法，综合性强，难度大，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．22．（12分）已知动点M到定直线x=﹣4的距离是它到定点F1（﹣1，0）的距离的2倍．（Ⅰ）求动点M的轨迹方程．（Ⅱ）是否存在过点P（2，1）的直线l与动点M的轨迹相交于不同的两点A，B，满足•=？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．【分析】（Ⅰ）设M（x，y）（x＞﹣4），由题意得==|x+4|=2+，由此能求出动点M的轨迹方程．（Ⅱ）设直线l的方程为y=k（x﹣2）+1，由，得（4k2+3）x2﹣8（2k2﹣k）x+8（2k2﹣2k﹣1）=0，利用根的判别式、韦达定理、向量的数量积，结合已知条件能求出存在直线l满足条件，其方程为x﹣2y=0．【解答】解：（Ⅰ）设M（x，y）（x＞﹣4），由题意得==|x+4|=2+，…………………………（2分）整理得动点M的轨迹方程为： =1．…………………………（4分）（Ⅱ）假设存在符合题意的直线l，由题意知直线斜率存在，设直线l的方程为y=k（x﹣2）+1，由，消去y得（4k2+3）x2﹣8（2k2﹣k）x+8（2k2﹣2k﹣1）=0，由△=64（2k2﹣k）k2﹣32（4k2+3）（2k2﹣2k﹣1）＞0，得6k+3＞0，解得k＞﹣，设A（x1，y1），B（x2，y2），则，x1x2=，…………………………（8分）由，得（x1﹣2）（x2﹣2）+（y1﹣1）（y2﹣1）=，则（x1﹣2）（x2﹣2）（k2+1）=，即[x1x2﹣2（x1+x2）+4]（k2+1）=，所以[﹣+4]（k2+1）=，整理得=，解得k=，…………………………（10分）又k＞﹣，所以k=，故存在直线l满足条件，其方程为y=，即x﹣2y=0．…………………………（12分）【点评】本题考查动点的轨迹方程的求法，考查满足条件的直线方程是否存在的判断与求法，考查根的判别式、韦达定理、向量的数量积等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，是中档题．。

高二上学期期中考试数学试卷含答案(共5套)

高二上学期期中考试数学试题本卷分Ⅰ（选择题）、Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中Ⅰ卷1至2页，第二卷2至4页，共150分，考试时间120分钟。

第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、单选题：本题共12个小题，每小题5分1．“”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件2．有下列四个命题：（1）“若，则，互为倒数”的逆命题；（2）“面积相等的三角形全等”的否命题；（3）“若（4）“若，则，则有实数解”的逆否命题；”的逆否命题.其中真命题为（）A．（1）（2）B．（2）（3）C．（4）D．（1）（2）（3）3．若则为（）A．等边三角形B．等腰直角三角形C．有一个内角为30°的直角三角形D．有一个内角为30°的等腰三角形4．已知.若“”是真命题，则实数a的取值范围是A．(1，+∞)B．(－∞，3)C．(1，3)D．5．为的内角，，的对边分别为，，，若，，，则的面积A．B．C．D．6．已知中，，则等于（）A．B．或C．D．或7．等差数列的前项和为，若，则等于（）A．58B．54C．56D．528．已知等比数列中，，，则（）A．2B．C．D．49．已知，则z=22x+y的最小值是A．1B．16C．8D．4）10．若关于的不等式的解集为，则的取值范围是（A．B．C．D．11．当ａ＞０，关于代数式，下列说法正确的是（）A．有最小值无最大值B．有最大值无最小值C．有最小值也有最大值D．无最小值也无最大值12．在△ABC中，AB＝2，C＝，则AC＋BC的最大值为A．B．3C．4D．2第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：共4个小题，每小题5分，共20分13．命题的否定是______________．114．已知的三边长构成公差为 2 的等差数列，且最大角的正弦值为，则这个三角形的周长为________.15．已知数列{a n }的前 n 项和为 S n ，a 1＝1，当 n≥2时，a n ＋2S n －＝n ，则 S 2017的值____ ___16．已知变量满足约束条件若目标函数的最小值为2，则的最小值为__________．三、解答题：共 6 题，共 70 分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。

河南省郑州市2018-2019学年高二上学期期中考试数学(理)试题Word版含答案

河南省郑州市2018-2019学年高二上学期期中考试数学（理）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.在ABC ∆中，2,4a b A π===，则角B = （）A ．6π B ．6π或56π C ．3πD ．56π2. “20x x ><或” 是“11x<” 的（）A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．即不充分也不必要条件3. 已知正项数列 {}n a 中，()22212111,2,22n n n a a a a a n +-===+≥,则6a =（）A ．16B ．4C ．．454. 命题“0,x R n N *∀∈∃∈，使得20n x >”的否定形式是（）A ．0,x R n N *∀∈∃∈,使得20n x ≤B ．,x R n N *∀∈∀∈使得,2n x ≤ C. 00,x R n N *∃∈∃∈,使得 200n x ≤ D ．0,x R n N *∃∈∀∈,使得20n x ≤5. 《莱茵德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一，书中有这样的一道题：把 120个面包分成 5份，使每份的面包数成等差数列，且较多的三份之和恰好是较少的两份之和的 7倍，则最少的那份面包个数为（）A ．4B ．3 C.2 D ． 16. 已知数列n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，8242,14S S ==, 则2016S = （） A ．25222- B ．25322- C.100822- D ．201622-7. 设,a b 是非零实数，若a b > ，则一定有（） A ．11a b < B ．2a ab > C.2211ab a b > D ．11a b a b->- 8. 设等差数列{}n a 的前n 项和 n S ，且满足201620170,0S S ><,对任意正整数n ，都有n k a a ≥，则 k 的值为（）A ．1006B ．1007 C.1008 D ．1009 9. 若实数,x y 满足0xy >，则22x y x y x y+++的最大值为（） A．2 B．24+ D．4-10. 若对于任意的[]1,0x ∈-,关于x 的不等式2320x ax b ++≤恒成立，则222a b +-的最小值为（）A ．15-B ．54 C.45 D ．1411. 在ABC ∆中,角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若(),1cos cos ,23A b C c A b π=-==,则ABC ∆的面积为（）A．D12. 设{},min ,,a a b a b b a b≤⎧=⎨>⎩，若()2f x x px q =++的图象经过两点()(),0,,0αβ ，且存在正整数 n ，使得1n n αβ<<<+成立，则（）A ．()(){}1min ,14f n f n +>B ．()(){}1min ,14f n f n +< C.()(){}1min ,14f n f n += D ．()(){}1min ,14f n f n +≥第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13. 若0,0,2a b a b ab >>+=，则3a b +的最小值为 __________. 14. 已知两个等差数列 {}n a 和{}n b 的前 n 项和分别为,n n S T ，若231n n S nT n =+，则 823746a ab b b b +=++ __________.15. 在ABC ∆中,角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且2,3,4a b c ===，则s i n2s i n CA= _________. 16. 已知数列{}n a 的通项公式为3nn a =，记数列{}n a 的前n 项和为n T ，若对任意的3,362n n N T k n *⎛⎫∈+≥- ⎪⎝⎭恒成立，则实数 k 的取值范围 _________.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分10分）已知命题12:,p x x 是方程210x mx --=的两个实根，且不等式21243a a x x +-≤-对任意的m R ∈恒成立；命题:q 不等式220x x a ++<有实数解．若命题p q ∨为真，p q ∧为假，求实数 a 的取值范围．18. （本小题满分12分）在等比数列{}n a 中，公比1q ≠，等差数列{}n b 满足11243133,,a b a b a b ====. （1）求数列{}n a 的{}n b 通项公式；（2）记n n n c a b =，求数列{}n c 的前n 项和n S .19.（本小题满分12分）某人上午7时，乘摩托艇以匀速()/840vkm h v ≤≤从A 港出发到距100km 的B 港去，然后乘汽车以匀速()/30100wkm h w ≤≤自B 港向距300km 的C 市驶去．应该在同一天下午4至9点到达C 市．设乘坐汽车、摩托艇去目的地所需要的时间分别是,xh yh .（1）作图表示满足上述条件的,x y 范围;（2）如果已知所需的经费()()1003528p x y =+-+-（元），那么,v w 分别是多少时p 最小？此时需花费多少元？20. （本小题满分12分）在ABC ∆中,角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ,()cos25cos 2B A C -+=. （1）求角B 的值；（2）若 1cos 7A =,ABC ∆的面积为求BC 边上的中线长. 21.（本小题满分12分）某城市响应城市绿化的号召，计划建一个如图所示的三角形 ABC 形状的主题公园,其中一边利用现成的围墙BC ，长度为米，另外两边,AB AC 使用某种新型材料围成，已知120,,(,BAC AB x AC y x y ∠===单位均为米）．（1）求 ,x y 满足的关系式（指出,x y 的取值范围）；（2）在保证围成的是三角形公园的情况下，如何设计能使所用的新型材料总长度最短？最短长度是多少？22. （本小题满分12分）设正项数列{}n a 的前n 项和n S ，且满足22n n n S a a =+.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列1221n n n n n a a b a a ++++=+,数列{}n b 的前n 项和为n T ，求证：122n T n <+.河南省郑州市2018-2019学年高二上学期期中考试数学（理）试题参考答案一、选择题（每小题5分，共60分）1-5. ABBDC 6-10.BCDDA 11-12. DB 二、填空题（每小题5分，共20分）13. 7+914 15. 1- 16. 2,27⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭三、解答题17.解：若p 为真,不等式21243a a x x +-≤-对任意的 m R ∈恒成立，243a a +-m R ∈恒成立，2432a a +-≤,解得51a -≤≤,若q 为真,不等式220x x a ++<有解，2440a ∆=->,解得1a <,因为命题p q ∨为真,p q ∧ 为假，所以,p q , 一真一假．（1）p 真q 假，则51,11a a a -≤≤⎧∴=⎨≥⎩.（2）若p 假q 真，则51,51a a a a <->⎧∴<-⎨<⎩或,综上,a 的取值范围是{}|51a a a <-=或.18.解：（1）由已知得： 2234133,3,33,312a q a q b d b d ===+=+,即23333312q d q d=+⎧⎨=+⎩，解得2031d d q q ==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩或 ( 舍) ，所以2d =，所以3,21nn n a b n ==+.19.解：（1）依题意得 100300525,,840,30100,310,22y x v w x y v w ==≤≤≤≤∴≤≤≤≤① 由于乘汽车、摩托艇所需的时间和x y +应在9至 14个小时之间，即914x y ≤+≤ ② 因此，满足①②的点(),x y 的存在范围是图中阴影部分（包括边界）（2）()()100352813132p x y x y =+-+-=--，上式表示斜率为32-的直线，当动直线13132p x y =--通过图中的阴影部分区域（包括边界），通过点A 时，p 值最小．由1410x y x +=⎧⎨=⎩得 104x y =⎧⎨=⎩，即当10,4x y ==时，p 最小．此时，25,30,v w p ==的最小值为 93元． 20.解：（1）由条件知 22cos 15cos 2B B -+=，即22cos 5cos 30B B +-= ，解得 1cos 2B =或cos 3B =-（舍去）又0B π<<， 3B π∴=.（2）由于11cos ,sin sin 3572A A S bc A bc =∴===∴=. ①又由正弦定理得，sinsin 33b cA ππ=⎛⎫+ ⎪⎝⎭,又1sin sin cos ,5732214A A A b c π⎛⎫+=+=∴= ⎪⎝⎭， ② 由① ②知，7,5b c ==，由余弦定理得，8,a BC ==边上的中线AD ==21.解：（1）在ABC ∆中,由余弦定理，得222222cos ,2cos12030000AB AC AB AC A BC x y xy +-=∴+-=，即 2230000x y xy ++=，由正弦定理，得200,200sin ,060,0sin sin sin AB AC BC x C C x C B A ====∴=<<∴<<同理0y <<（2）要使所用的新型材料总长度最短只需x y +最小，由（1）知，()23000x y xy =+-，由于22x y xy +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，当且仅当x y =时，等号成立．所以()()()()2222300044x y x y x y xy x y ++=+-≥+-=，所以200x y +≤，故当,AB AC 边长均为100米时，所用材料长度最短为 200米．22.解：（1）由题意可得221112,2n n n n n n S a a S a a ---=+=+，两式相减得， 22112n n n n n a a a a a --=-++ ，所以22110n n n n a a a a -----=，即()()1110n n n n a a a a --+--=，又因为数列{}n a 为正项数列，所以11n n a a -+=.即数列{}n a 为等差数列，又1n =时，21112a a a =+，所以111,1n a a a n n ==+-=.（2）由（1）知1221n n n b n n ++=+++，又因为121111112212112n n n b n n n n n n ++=+=-++=+-++++++，所以()12111111...22...2...233412n n T b b b n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=++++-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦所以12111 (22222)n n T b b b n n n =+++=+-<++.。

四川省成都市电子科技大学实验中学2018-2019学年高二上学期期中理科数学试题

四川省成都市电子科技大学实验中学2018-2019学年高二上学期期中理科数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．在空间直角坐标系中，点B 是(1,2,3)A 在yOz 坐标平面内的射影，O 为坐标原点，则||OB 等于（） ABC．D2．双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的一条渐近线方程为34y x =，则双曲线的离心率为（）. A ．54B ．43C ．53D ．453．已知椭圆2222C :1(0)x y a b a b+=>>的离心率为12，且椭圆C 的长轴长与焦距之和为6，则椭圆C 的标准方程为( )A ．2241256x y +=B ．22142x y +=C ．2212x y +=D ．22143x y +=4．设x ，y 满足约束条件360200,0x y x y x y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥≥⎩，则目标函数32z x y =-+的最小值为()A ．4B ．2-C ．6-D ．8-5．双曲线221916x y -=上一点M 到左焦点1F 的距离为7,N 是1MF 的中点，则||ON =（） A ．132B ．4C ．132或4 D ．132或12 6．下列四个命题,其中说法正确的是（） A ．若p q ∧是假命题,则p q ∨也是假命题B ．命题“若x ,y 都是偶数,则x y +也是偶数”的逆命题为真命题C ．“2340x x --=”是“4x =”的必要不充分条件D ．命题“若2340x x --=,则4x =”的否命题是“若4x ≠,则2340x x --≠”7．已知点P 是以1F 、2F 为焦点的椭圆()222210x y a b a b +=>>上一点，若12PF PF ⊥，21tan 2PF F ∠=，则椭圆的离心率e =（）A ．3B ．13C ．23D ．128．两个圆C 1：x 2＋y 2＋2ax ＋a 2－4＝0(a∈R)与C 2：x 2＋y 2－2by －1＋b 2＝0(b∈R)恰有三条公切线，则ab 的最大值为( ) A ．5B ．92C ．4D ．329．已知圆()()22:1225C x y -+-=及直线()()():21174l m x m y m m R +++=+∈，则直线l 过的定点及直线与圆相交得的最短弦长分别为（）.A ．()3,1，B ．()2,1，C ．()3,1-，D ．()2,1-，10．过点()引直线l 与曲线y =A ，B 两点，O 为坐标原点，当OA OB ⊥值时，直线l 的斜率等于（）.A ．3B ．-C ．3±D11．已知1F ，2F 是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且1223F PF π∠=，则椭圆和双曲线的离心率之积的范围是（）A ．(1)+∞，B ．(0)1，C ．D ．)+∞12．设双曲线2222:1x y C a b-=（0,0a b >>）的左右焦点分别为12,F F ，以12,F F 为直径的圆与双曲线左支的一个交点为P ，若以1OF （O 为坐标原点）为直径的圆与2PF 相切，则双曲线C 的离心率为（）A B ．34-+ C D ．37+二、填空题13．设x ，y 满足约束条件04312x y x x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩，则221y x ++的最大值是______.14．已知点P 在抛物线28x y =上，点(2,4)A -，F 是焦点，则||||PF PA +的最小值为_____________．15．已知圆C 的方程22100x y x +-=，求与y 轴相切且与圆C 外切的动圆圆心P 的轨迹方程______.16．设双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的右焦点为F ，过点F 作与x 轴垂直的直线l 交两渐近线于A 、B 两点，且与双曲线在第一象限的交点为P ，设O 为坐标原点，若(),OP OA OB λμλμ=+∈R ，18λμ=，则该双曲线的离心率为______.三、解答题17．已知命题：2214x y k k +=-表示焦点在x 轴上的椭圆，命题：22131k x k y -+-=（）（）表示双曲线．若或为真，且为假，求k 的取值范围．18．某公司计划2011年在甲、乙两个电视台做总时间不超过300分钟的广告，广告费用不超过9万元.甲、乙电视台的广告收费标准分别为500元/分钟和200元/分钟.假定甲、乙两个电视台为该公司每分钟所做的广告，能给公司带来的收益分别为0.3 万元和0.2万元.问：该公司如何分配在甲、乙两个电视台的广告时间，才能使公司收益最大，最大收益是多少万元？19．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆O ：224x y +=和点(1,1)P -，过点P 的直线l 交圆O 于A B 、两点（1）若||AB =,求直线l 的方程；（2）设弦AB 的中点为M ,求点M 的轨迹方程20．已知抛物线2:2(03)C y px p =<<的焦点为F ，点(,Q m 在抛物线C 上，且||3QF =．（1）求抛物线C 的标准方程及实数m 的值；（2）直线l 过抛物线C 的焦点F ，且与抛物线C 交于,A B 两点，若AOB （O 为坐标原点）的面积为4，求直线l 的方程.21．已知椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>的焦距为点()0,2P 关于直线y x =-的对称点在椭圆E 上.（1）求椭圆E 的方程.（2）如图，过点P 的直线l 与椭圆E 交于两个不同的点C ，D （点C 在点D 的上方），试求COD △面积的最大值.22．P (x 0，y 0)(x 0≠±a )是双曲线E ：22221x y a b-=(a ＞0，b ＞0)上一点，M ，N 分别是双曲线E 的左，右顶点，直线PM ，PN 的斜率之积为15. (1)求双曲线的离心率；(2)过双曲线E 的右焦点且斜率为1的直线交双曲线于A ，B 两点，O 为坐标原点，C 为双曲线上一点，满足OC OA OB λ=+，求λ的值．参考答案1．B 【详解】试题分析：因为点B 是()1,2,3A 在yOz 坐标平面内的射影，所以(0,2,3)B ，OB ∴==B ．考点：空间中两点间的距离公式． 2．A 【分析】由渐近线方程可知34b a ，根据,,a bc 的关系直接求离心率. 【详解】因为由渐近线方程得34ba，22916b a =，222916c a a -=，得222516c a =，54c a =. 所以双曲线的离心率为54. 故选:A. 3．D 【分析】根据椭圆的离心率为12，椭圆的长轴长与焦距之和为6，结合性质222a b c =+ ，列出关于a 、b 、c 的方程组，求出a 、b ，即可得结果.【详解】依题意椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为12得12c a =，椭圆C 的长轴长与焦距之和为6，226a c +=，解得2a =，1c =，则b =所以椭圆C 的标准方程为：22143x y +=，故选D ．【点睛】本题考查椭圆的简单性质与椭圆方程的求法，属于简单题．用待定系数法求椭圆方程的一般步骤；①作判断：根据条件判断椭圆的焦点在x 轴上，还是在y 轴上，还是两个坐标轴都有可能；②设方程：根据上述判断设方程()222210x y a b a b +=>>或22221x y b a+=()0a b >>；③找关系：根据已知条件，建立关于a 、b 、c 的方程组；④得方程：解方程组，将解代入所设方程，即为所求. 4．C 【分析】画出约束条件表示的平面区域，结合图形找出最优解，从而求出目标函数的最小值．【详解】画出约束条件360200,0x y x y x y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥≥⎩表示的平面区域，如图所示；由32z x y =-+得3122y x z =+，平移直线3122y x z =+，由图象可知当直线3122y x z =+经过点A 时，直线的截距最小，此时z 最小；由3600x y y --=⎧=⎨⎩，解得()2,0A ，此时3206min z =-⨯+=-，32z x y ∴=-+的最小值为6-．故选C ．【点睛】本题考查了简单的线性规划的应用问题，是基础题． 5．A 【解析】由题意，左焦点坐标为(−5,0)，右顶点坐标为(3,0)，由于点M 到左焦点的距离为7，故点M 只能在左支上，点M 到右焦点的距离为23713⨯+=，根据中位线定理可得：132ON = 故选A 6．C 【解析】对于A. 若p q ∧是假命题,则p q ，至少有一个为假命题，但当p q ，一真一假时p q ∨也是真命题，A 不正确；对于B. 命题“若x ,y 都是偶数,则x y +也是偶数”的逆命题为：“若x y +都是偶数,则x y ，也是偶数”真命题，易知两个奇数的和也是偶函数，B 不正确；对于C. 由2340x x --=，得4x =或1x =-，所以“2340x x --=”是“4x =”的必要不充分条件正确；对于D. 命题“若2340x x --=,则4x =”的否命题是“若2340x x --≠,则4x ≠”，D 不正确. 故选C. 7．A 【分析】作出图形，利用椭圆的定义以及21tan 2PF F ∠=，可求得143a PF =，223aPF =，结合勾股定理可求得椭圆离心率e 的值. 【详解】点P 是以1F 、2F 为焦点的椭圆()222210x y a b a b+=>>上一点，12PF PF ⊥，1212tan 2PF PF F PF ∠==，122PF PF ∴=， 122PF PF a +=，可得143a PF =，223a PF =，由勾股定理可得2221212PF PF F F +=，即222049a c =，2259c a ∴=，因此，该椭圆的离心率为3e =. 故选：A. 【点睛】本题考查椭圆离心率的计算，考查椭圆定义的应用，考查计算能力，属于中等题. 8．B 【解析】圆C 1：x 2+y 2+2ax+a 2﹣4=0的标准方程为（x+a ）2+y 2=4；圆C 2：x 2+y 2﹣2bx ﹣1+b 2=0的标准方程为x 2+（y ﹣b ）2=1∵两圆外切，=3,∵a 2+b 2≥2ab,∴ab 92≤ , 故选C ． 9．A 【分析】由直线方程有()4270x y m x y +-++-=，进而确定定点，由过定点的直线l 与圆交点的最短弦为圆心与定点连线与l 垂直时所得到的弦，应用几何法求最短弦长即可. 【详解】（1）将直线化为直线系方程：()4270x y m x y +-++-=. 联立方程40x y +-=与270x y +-=，得点()3,1；将点()3,1代入直线方程，不论m 为何值时都满足方程， ∴直线l 恒过点()3,1；（2）当直线l 垂直于圆心(1,2)与定点()3,1所在直线时弦长最短，斜率为2，代入方程得34m =-，此时直线l 方程为250x y --=，所以最短弦为故选：A.【点睛】关键点点睛：由直线方程的特征知直线过定点，再由过定点直线与圆相交的最短弦为该直线与圆心与定点连线垂直时的弦. 10．A 【分析】方法一：利用AOB 的面积，求点到直线的距离，再求直线的斜率；方法二：设直线方程0kx y -+=，利用点到直线的距离求弦长以及面积，利用三角形的面积取得最大值时，求直线的斜率.. 【详解】方法一：根据三角形的面积公式和圆的弦的性质求解.由于y =()2210x y y +=≥，直线l 与()2210x y y +=≥交于AB 两点，如图所示，11sin 22ACB S AOB =∠≤△，且当90AOB ∠=︒时，AOBS取得最大值，此时AB =，点O 到直线l ，则30OCB ∠=︒，所以直线l 的斜角为30°，则斜率为3.方法二：由y ，得()2210x y y +=≥.所以曲线y =x 轴上方的部分（含与x 轴的交点），设直线l 的斜率为k ，要保证直线l 与曲线有两个交点，且直线不与x 轴重合，则01k <<，直线l的方程为(0y k x -=+，即0kx y -+=. 则原点O 到l的距离d =，l 被半圆截得的半弦长为=则ABO S ==△==令211t k =+，则ABO S =△，当3t 4=，即21314k =+时，ABO S 有最大值为12. 此时由21314k =+，解得3k =故选：A【点睛】思路点睛：本题考查直线与圆的位置关系，本题第一种方程，重点是分析几何关系，即点到直线的距离后就可知道斜率，第二种方程，重点是由条件可知当OA OB ⊥时，此时AOB 的面积最小，即用斜率k 表示面积，求最值，得到直线的斜率.11．A【解析】设椭圆方程中的定长为12a ，双曲线方程中的定长为22a ，由题意可得：12112222PF PF a PF PF a ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩，解得：112212PF a a PF a a ⎧=+⎪⎨=-⎪⎩，在12PF F △中应用余弦定理有：()()()()22212121212242cos3c a a a a a a a a π=++-++-，整理可得：2221234a a c +=，则：2212314e e +=，结合()()120,1,1,e e ∈∈+∞取特殊值进行排除：取12e e ==此时12e e =，排除BD 选项，取12e e ==此时12e e =排除C 选项，本题选择A 选项.12．D【解析】试题分析：解：设以1OF （O 为坐标原点）为直径的圆与2PF 相切于点K ,圆心为点M ，1PF m = ，2PF n = ，由题意可知：2222222{4n m am n c c a b -=+==+，解得：{m a a = ，设21PF F α∠=，则tan m n α==，在2Rt MKF中可得：2tan KM KF α==，据此可得：22c b -= ，整理可得：(()422291890c a c a -++= ，则：(()4291890e e -++= ，分解因式有：(()229910e e ⎡⎤--⨯-=⎣⎦，双曲线的离心率1e ≠，故：(2990e --= ，解得：22e == ，双曲线的离心率：e ==本题选择D 选项.点睛：在双曲线的几何性质中，涉及较多的为离心率和渐近线方程．求双曲线离心率或离心率范围的两种方法：一种是直接建立e 的关系式求e 或e 的范围；另一种是建立,,a b c 的齐次关系式，将b 用,a c 表示，令两边同除以a 或2a 化为e 的关系式，进而求解．13．10【分析】画出不等式组表示的平面区域，数形结合即可求出.【详解】约束条件04312x y x x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩，对应的平面区域如下图所示：由于221211y y x x ++=⨯++，其中11y x ++表示的几何意义，表示平面上一定点()1,1Q --与可行域内任一点(),P x y 连线斜率，由图易得当P 为点()0,4A 时，11y x ++取得最大值5，从而221y x ++的最大值10. 故答案为：10.【点睛】方法点睛：线性规划常见类型，（1）y b z x a-=-可看作是可行域内的点到点(),a b 的斜率；（2）z ax by =+，可看作直线a z y x b b =-+的截距问题；（3）()()22z x a y b =-+-可看作可行域内的点到点(),a b 的距离的平方. 14．6【分析】先判确定点A 在抛物线的内部，利用抛物线的定义将PF PA +的最值问题转化成d PA +的最值问题（其中d 为点P 到抛物线的准线距离），结合图形可知d PA +的最小值．【详解】因为()2284-<⨯，所以点A 在抛物线内部．如图，过点P ，A 分别作准线l 的垂线，垂足分别为Q ，B ，则PF PQ =，易知当A ，P ，Q 三点共线时，PF PA +最小，即AB ．易得点A 到准线l 的距离为()44262p ⎛⎫--=--= ⎪⎝⎭．故PF PA +的最小值为6.【点睛】与抛物线上的点到焦点的距离有关的最值问题，一般都是利用抛物线的定义，将到准线距离转化为到准线的距离，然后通过数形结合直接判断出取最值时所满足的条件，这样就能避免繁琐的代数运算．15．()2200y x x =>或()00y x =< 【分析】可得当动圆在y 轴右侧，轨迹为抛物线，当动圆在y 轴左侧，轨迹是x 负半轴，即可得出轨迹方程.【详解】方程22100x y x +-=化为()22525x y -+=，若动圆在y 轴右侧，则动圆圆心到定点()5,0与到定直线5x =-的距离相等，其轨迹是抛物线，方程为()2200y x x =>，若动圆在y 轴左侧，则动圆圆心轨迹是x 负半轴，方程为()00y x =<，综上，动圆圆心P 轨迹方程是()2200y x x =>或()00y x =<. 故答案为：()2200y x x =>或()00y x =<. 【点睛】本题考查抛物线的轨迹方程，解题的关键是通过已知结合抛物线的定义得出轨迹为抛物线.16【分析】先由题中得到双曲线的渐近线方程，设焦点(),0F c ，根据题中条件，求出A 、B 、P 的坐标，根据向量的坐标表示，求出λ，μ；利用18λμ=，得出,,a b c 之间关系，进而可得离心率.【详解】双曲线的渐近线为：b y x a=±，设焦点(),0F c ，因为过点F 作与x 轴垂直的直线l 交两渐近线于A 、B 两点，且与双曲线在第一象限的交点为P ，则,bc A c a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，, bc B c a ⎛-⎫ ⎪⎝⎭，2, b c aP ⎛⎫ ⎪⎝⎭，因为OP OA OB λμ=+，所以()()2, ,bc c a b c aλμλμ⎛⎫⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以1λμ+=，b c λμ-=，解得：2c b c λ+=，2c b cμ-=，又由18λμ=，得：222148c b c -=，即()2222148c c a c --=，则2212a c =，所以22e =，则e =.【点睛】关键点点睛：求解本题的关键在于根据条件先得到A 、B 、P 三点的坐标，根据(),OP OA OB λμλμ=+∈R ，以及18λμ=，利用向量的坐标表示，以及双曲线的性质，即可求解.17．12k <≤或．【解析】试题分析：先分析每个命题为真命题时，k 的取值范围,p 真时有40k k >->即24k <<，q 真时有即13k <<；由p 或q 为真，p 且q 为假可知命题p 与q 一真一假，由“p 真q 假”和“p 假q 真”分别求出k 的取值范围，再求并集即可．试题解析：当p 正确时，40k k >->，即 24k <<；当q 正确时，，即 13k <<；由题设，若p 和q 有且只有一个正确，则（1）p 正确q 不正确，∴24{13k k k <<≤≥或 ∴；（2）q 正确p 不正确，∴24{13k k k ≤><<或 ∴12k <≤； ∴综上所述，若p 和q 有且仅有一个正确，k 的取值范围是12k <≤或．考点：1．逻辑联结词与命题；2．椭圆的标准方程；3．双曲线的标准方程．18．甲电视台做100分钟广告，在乙电视台做200分钟广告，公司的收益最大是70万元．【详解】设公司在甲电视台和乙电视台做广告的时间分别为x 分钟和y 分钟，总收益为z 元，由题意得300{5002009000000.x y x y x y +≤+≤≥≥，，，目标函数为30002000z x y =+．二元一次不等式组等价于300{5290000.x y x y x y +≤+≤≥≥，，，作出二元一次不等式组所表示的平面区域，即可行域．如图：作直线:300020000l x y +=，即320x y +=．平移直线l ，从图中可知，当直线l 过M 点时，目标函数取得最大值．联立300{52900.x y x y ，+=+=解得100200x y ==，． ∴点M 的坐标为(100200)，． max 30002000700000z x y ∴=+=（元）答：该公司在甲电视台做100分钟广告，在乙电视台做200分钟广告，公司的收益最大，最大收益是70万元．19．（1）1x =-或1y =；（2）220x y x y ++-=【分析】（1）考虑直线l 的斜率存在和不存在两种情况：斜率不存在时直接通过点的坐标计算弦长判断是否满足即可；斜率存在时，利用半径、半弦长、圆心到到直线距离构成勾股定理求解直线方程；（2）设(),M x y ，利用向量数量积的坐标运算表示OM MP ⊥，由此可求得关于,x y 的等式，即为M 的轨迹方程.【详解】（1）当l 的斜率不存在时，则:1l x =-，此时y =AB =满足，当l 的斜率存在时，设():11l y k x =++，因为2R =，2AB =1=，，解得0k =，所以:1l y =，综上：l 的方程为1x =-或1y =；（2）设(),M x y ，因为OM MP ⊥且()(),,1,1OM x y MP x y ==---，所以0OM MP ⋅=，所以220x x y y ++-=，所以M 的轨迹方程为220x y x y ++-=.【点睛】（1）圆的问题中，已知弦长求解直线方程时要注意到直线的斜率不存在这种特殊情况；（2）求解轨迹方程的两种思路：<1>借助曲线的定义去求解轨迹方程；<2>根据题意找到等量关系，列出等式并化简得到关于,x y 的最简等式即为轨迹方程.20．(1) 24y x =,2m =(2) 1x =-.【详解】试题分析：（1）由抛物线的定义及点N 的纵坐标为1，得|NF|，结合|NF|=2，求出p 的值，即可求抛物线C 的方程；（2）设直线l 的方程为：y=kx+1，代入抛物线方程，利用弦长公式求出|AB|，再求出O 到AB 的距离，利用△AOB 的面积为4，求出k 的值，即可求直线l 的方程．试题解析：（Ⅰ）因为抛物线C 过点(Q m ，28pm ∴= 又因为3QF =， 32p m +=， 03p <<，解得：2,2p m ==24y x ∴=，2m =；（Ⅱ）24y x =的焦点()1,0F ，设所求的直线方程为：1x my =+由214x my y x=+⎧⎨=⎩，消去x 得：2440y my --= 因为直线l 与抛物线C 交于,A B 两点，216160m ∴∆=+>，设()()1122,,,A x y B x y ，121244y y m y y +=⎧⎨=-⎩，12y y -== 所以AOB的面积为12142OF y y =⨯-==，解得：23,m m =∴=l 的方程为：1x =-.21．（1）2214x y +=；（2）1. 【分析】（1）根据椭圆的焦距为c =()0,2P 关于直线y x =-的对称点在椭圆E 上，得到()2,0-在椭圆E 上，进而得到a 即可.（2）设过点()0,2P 的直线方程为2y mx =+，与椭圆方程联立，求得弦长CD 以及点O 到直线CD 的距离，代入面积公式求解. 【详解】（1）因为椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>的焦距为2c ∴=c =()0,2P 关于直线y x =-的对称点在椭圆E 上，()2,0∴-在椭圆E 上，2a ∴=，2221b a c ∴=-=，2214x y ∴+=. （2）设过点()0,2P 的直线方程为2y mx =+，联立方程组可得22214y mx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消y 可得()221416120m x mx +++=，2430m =->△，设(),C C C x y ，(),y D D D x ，21614C D m x x m ∴+=-+，21214C D x x m =+，CD ∴== ∴点O 到直线CD 的距离d =142COD S CD d ∴=⋅=△，设214m t +=，则4t >，COD S ∴===△ 当8t =时，取得最大值，即为1.【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的三角形最值问题的求法：一般由直线与曲线联立求得弦长及相应点的直线的距离，得到含参数的△OMN 的面积的表达式，再应用基本不等式或函数法求最值． 22．（1）e =；（2）λ＝0或λ＝－4. 【分析】(1) 由点()00()P x y x a ≠±，在双曲线上，2200221x y a b -=，利用000015y y x a x a ⋅=-+化简得到答案.(2)联立方程根据韦达定理得到1221252354c x x b x x ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，设()33,OC x y OC OA OB λ==+，代入数本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。

2019-2020学年北京市中国人民大学附属中学高二上学期期中考试数学试题(解析版)

2019-2020学年北京市中国人民大学附属中学高二上学期期中考试数学试题一、单选题1．已知0a b <<.下列不等式恒成立的是( ) A ．0a b +< B ．1a b< C ．1b a> D ．11a b> 【答案】B【解析】给a,b 赋值，判定选项，得答案. 【详解】因为0a b <<，所以令1,1a b =-= A 选项110a b +=-+=，错误；B 选项11ab =-<，正确； C 选项11ba=-<，错误；D 选项1111a b=-<=，错误. 故选：B 【点睛】本题考查不等式的基本性质，可以利用性质变换，也可以用赋值法直接判定，基础题. 2．等差数列{}n a 中，21a =，45a =，则公差d 等于( ) A ．2 B ．12C ．43D ．34【答案】A【解析】由等差数列的性质()m n a a m n d =+-，构建方程，解得答案.【详解】由等差数列的性质可知：422125a a d d =+=+= 所以2d =. 故选：A 【点睛】本题考查等差数列的基本性质，属于基础题.3．椭圆22:143x y C +=的焦距和离心率分别为( )A ．2和14B ．1和14C ．2和12D ．1和12【答案】C【解析】由椭圆的标准方程得,,a b c 的值，代入焦距和离心率的表达式，得答案. 【详解】因为椭圆22:143x y C +=，所以2,a b ==，所以1c =故焦距22c =，离心率12c e a ==. 故选：C 【点睛】本题考查椭圆的简单几何性质，属于基础题.4．等比数列{}n a 中，39a =，51a =，则6a 的值为( ) A ．13B ．13-C ．13±D ．19【答案】C【解析】由等比数列通项公式，由已知求得公比，再由等比数列的性质求得答案. 【详解】由题可知23145191a a q a a q ⎧==⎨==⎩，得211,93q q ==±，所以5613q a a ==±. 故选：C 【点睛】本题考查等比数列求项，涉及等比数列通项公式和性质的应用，属于简单题.5．若双曲线221(0)x y a a-=>的实轴长为2，则其渐近线方程为( )A．y = B．2y x =±C ．12y x =±D ．y x =±【答案】D【解析】由双曲线性质得a ，表示双曲线标准方程，表示渐近线方程即可. 【详解】因为实轴长为2，所以1a =，所以双曲线为221x y -=所以渐近线方程为y x =±. 故选：D 【点睛】本题考查双曲线的简单几何性质，涉及实轴和求渐近线方程，属于基础题. 6．已知Rt ABC V 的斜边长为2.则下列关于ABC V 的说法中，正确的是( )A ．周长的最大值为2+B ．周长的最小值为2+C ．面积的最大值为2D ．面积的最小值为1【答案】B【解析】因为Rt ABC V ，由勾股定理可构建关系式，由基本不等式得到两直角边乘积的最大值，和周长的最小值，既得答案. 【详解】设c 为斜边，所以2224a b c +==，由基本不等式可知2242,2a b ab ab =+≥≤当且仅当a b ==所以a b +≥≥ 由面积公式112S ab =≤，故面积的最大值为1，所以C ，D 选项错误；由周长公式2C a b c =++≥，故周长的最小值为2+. 故选：B 【点睛】本题考查基本不等式在三角形的周长和面积上应用，属于中档题7．已知抛物线22(0)x py p =>的准线被双曲线22132x y -=截得的弦长为6，则该抛物线的焦点坐标是( ) A ．10,32⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．(0,32)C ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．(0,2)【答案】D【解析】由抛物线的准线被双曲线截得的弦长，可表示准线与双曲线的交点坐标，代入即可得到p 值，即可表示抛物线的焦点坐标. 【详解】因为抛物线22(0)x py p =>的准线被双曲线22132x y -=截得的弦长为6所以该准线与双曲线的一个交点坐标表示为3,2p ⎛⎫- ⎪⎝⎭，代入双曲线中2232132p ⎛⎫- ⎪⎝⎭-= 得4p =，所以焦点坐标为()0,2故选：D 【点睛】本题考查抛物线准线与双曲线的相交问题，多见于表示交点坐标，进而求参解决问题，属于中档题.8．已知平面区域330:3300x y x y y -+≥Ω+-≤≥⎪⎩，若圆()()222:(0)C x a y b r r -+-=>与x轴和直线3(1)y x =+均相切，且圆心C ∈Ω，则222ab r a b++的最小值为( ) A ．0 B 33+C ．122- D ．122【答案】C【解析】由约束条件画出可行域，为一个等边三角形，那么圆C 与x 轴和直线3(1)y x =+均相切，则圆心在NMQ ∠的角平分线MP 上移动，且b r =，代入所求关系式中，化简后令OC bk k a==转化到斜率，利用求函数最值的方式，借助双勾函数求得最小值. 【详解】做出约束条件330 :33x yx yy⎧-+≥⎪⎪Ω+-≤⎨≥⎪⎩的可行域如图MNQ△，为一个等边三角形因为3(1)y x=+就是图像中的直线MQ，又因为圆()()222:(0)C x a y b r r-+-=>与x轴和直线3(1)y x=+均相切故其圆心C应在NMQ∠的角平分线MP上移动，且b r=，所以2222221bab r ab b aa ba b a bb a+++==+++，令OCbk ka==，因为圆心C∈Ω，所以0OMk k<=或3OPk k≥=则()()() 2222211111111211212121 ab r k k ka b k k kk kk k ++--==+=+=+++-+-++-++-令())1,,131,t k t U⎡=-∈-∞-+∞⎣，则2221122ab ra b tt+=++++令2m tt=+，则由双勾函数可知(),2222,m U⎡∈-∞-+∞⎣则12222222m∈⎢+-++⎣故2221112222222ab ra b m+⎡=+∈+⎢++-++⎣即2221212,22ab ra b⎡++∈⎢+⎣⎦，所以222ab ra b++的最小值为122.故选：C【点睛】本题考查求函数最值问题，其中涉及线性规划作图分析，非线性的斜率问题，双勾函数值域，还考查了不等式的简单性质，属于难题.二、多选题9．下列结论中，所有正确的结论有( ) A ．若22a b c c>，则22a c b c ->- B ．若,,a b R +∈，则a m ab m b+>+ C ．当(0,)x π∈时，1sin 2sin x x+≥ D ．若*,a b R ∈，1a b +=，则114a b+≥【答案】ACD【解析】A 选项由不等式的基本性质判定； B 选项赋特值判定； C 选项由基本不等式判定； D 选项因为1a b +=，则()1111a b a b a b ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭，化简后由基本不等式判定. 【详解】 A 选项因为22a b c c>，则a b >，不等式两边同减不等号不变，所以22a c b c ->-成立，正确；B 选项赋特值，若1,4,1a b m ===-，左边=11041a m b m +-==+-，右边=14a b =，显然左边<右边，错误；C 选项因为(0,)x π∈，则(]sin 0,1x ∈，由基本不等式可知当且仅当sin 1x =时，1sin 2sin x x+≥成立，正确； D 选项因为1a b +=，则()11112a b a b a b a b ba⎛⎫+=++=++ ⎪⎝⎭，又*,a b R ∈，所以由基本不等式11224a b a b b a +=++≥+=，当且仅当12a b ==时，取等号，正确.故选：ACD 【点睛】本题考查基本不等式的应用，主要是使用的限制和等式的转化，还考查了不等式的简单性质，属于中档题.10．已知数列{}n a ，{}n b 均为递增数列，{}n a 的前n 项和为n S ，{}n b 的前n 项和为n T .且满足12n n a a n ++=，12(N)nn n b b n +⋅=∈，则下列说法正确的有( )A ．101a << B．11b <<C ．22n n S T <D ．22n n S T ≥【答案】ABC【解析】数列{}n a 中12n n a a n ++=，()122122n n a a n n +++=+=+，两式相减得22n n a a +-=，所以数列{}n a 为隔项以2为公差的等差数列形式；数列{}n b 中12n n n b b +⋅=，1122,n n n b b +++⋅=，两式相除得22n nb b +=，所以数列{}n b 为隔项以2为公比的等比数列形式；A 选项中分别用1a 表示23,a a ，由数列{}n a 为递增数列，构建不等式组，解得答案，正确；B 选项中分别用1b 表示23,b b ，由数列{}n b 为递增数列，构建不等式组，解得答案，正确；因为CD 选项中只有一个正确，先利用分组求和，表示22,n n S T ，再取特值分别计算确切值，利用基本不等式比较得答案. 【详解】数列{}n a 中12n n a a n ++=，()122122n n a a n n +++=+=+，两式相减得22n n a a +-= 所以数列{}n a 为隔项以2为公差的等差数列形式；数列{}n b 中12nn n b b +⋅=，1122,n n n b b +++⋅=，两式相除得22n nb b += 所以数列{}n b 为隔项以2为公比的等比数列形式；A 选项因为12n n a a n ++=，所以122324a a a a +=⎧⎨+=⎩即213224a a a a =-⎧⎨=-⎩，又数列{}n a 为递增数列，所以21132224a a a a a a =->⎧⎨=->⎩即112122a a a <⎧⎨-=<⎩，所以101a <<，正确；B 选项因为12nn n b b +⋅=，所以311222b b b b ⎧=⎪⎨⎪⋅=⎩即312122b b b b=⎧⎪⎨=⎪⎩，又数列{}n a 为递增数列，所以2111321121131120221122b b b b b b b b b b b b b ⎧=>⎪⎪>⎧⎪>⇒>⇒⇒<<⎨⎨<<⎩⎪⎪=>⎪⎩因为()()123421213212224n n n n n a a a a a a a a a a a a S L L L --=++++++=+++++++ ()()()221212112222222n n n n na na n a a n n n --⎛⎫⎛⎫=+⋅++⋅=++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()123421213212224n n n n n b b b b b b b b b b b b T L L L --=++++++=+++++++ ()()()()12121212211212n n n b b b b --=+=-+--因为CD 选项中只有一个正确，取特值，当3n =时，2622672n S S ==⨯=()()()6121226621636372n b b b b T S T ==-+=+≥⨯=>=所以C 选项正确，D 选项错误. 故选：ABC 【点睛】本题考查数列的综合问题，涉及由递推公式确定数列关系，递增数列的性质，分组求和求前n 项和，还考查了基本不等式与数列的综合问题，属于难题.11．已知点P 是双曲线22:1169x y E -=的右支上一点，12F F 双曲线E 的左、右焦点，12PF F △的面积为20，则下列说法正确的有( )A ．点P 的横坐标为203B ．12PF F △的周长为803C ．12F PF ∠小于3π D ．12PF F △的内切圆半径为32【答案】ABCD【解析】在焦点三角形中利用1212211222tan2P P F F PF F b S c y r C V V θ=⋅==⋅⋅三种表达形式，可判定ACD 选项正确，由两点间的距离公式表示2PF ，利用双曲线的定义表示1PF ，从而表示12PF F △的周长，即可判定B 选项正确.【详解】因为双曲线22:1169x y E -=，所以1695c =+=又因为12112102022P P F P F S c y y V =⋅=⋅⋅=，所以4P y = 将其代入22:1169x y E -=得2241169x -=，即203x =，所以选项A 正确；所以P 的坐标为20,43⎛⎫± ⎪⎝⎭，由对称性可知22220135433PF ⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭, 由双曲线定义可知1213372833PF PF a =+=+=所以1212133721038033PF F C PF PF c V =++=++=，所以选项B 正确；因为122920tantan22PF F b S V θθ===，所以93tantan 2206θπ=<=，即26θπ<，所以123F PF πθ∠=<，所以选项C 正确；因为1212180122320PF F PF F S r C r V V =⋅⋅=⋅⋅=，所以32r =，所以选项D 正确.故选：ABCD 【点睛】本题考查双曲线的焦点三角形问题，主要涉及面积公式的变形应用和双曲线的定义使用，属于难题.三、填空题12．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若56S =-，615S =，则5a =______. 【答案】13.6【解析】在等差数列中由前n 项和公式，将已知转化为首项和公差，再带入通项公式中，求得答案. 【详解】在等差数列中()()5116115515510626616615152S a d a d S a d a d ⎧-=+⋅=+=-⎪⎪⎨-⎪=+⋅=+=⎪⎩，得1167.4a d =-⎧⎨=⎩，所以51413.6a a d =+=. 故答案为：13.6 【点睛】本题考查等差数列中知三求二，由已知转化为首项和公差，进而表示所求问题，属于简单题.13．已知双曲线22221x y a b-=的一条渐近线为2y x =，则双曲线的离心率为________.【解析】试题分析：根据双曲线的渐近线的方程知2ba=即c ==，所以此双曲线的离心率ce a==. 【考点】双曲线的标准方程、渐近线方程和离心率.14．等比数列{}n a 中，11a =，且2436a a a +=，则5a =________. 【答案】4【解析】在等比数列中，将已知转化为首项和公比求得2q ，再将其带入通项公式中，求得答案. 【详解】因为11a =，所以在等比数列中32422431116a a a a q a q a q q q +=⋅+=+=所以22q =或-3（舍），故425124a a q ===故答案为：4 【点睛】本题考查等比数列中知三求二，由已知转化为首项和公比，进而表示所求问题，属于简单题.15．已知(2,2)A --，(0,2)B ，(2,0)C ，则表示ABC V 内部区域（含边界）的不等式组为______.【答案】22020220x y x y x y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪--≤⎩【解析】由已知点构建可行域，由两点式或点斜式表示边界直线方程，再由特殊点确定不等式组，得答案. 【详解】由已知三点可构建图像，表示ABC V 内部区域（含边界）可分别表示直线方程222:220020AB y l x y x ---=⇒-+=---；():0220BC l y x x y -=--⇒+-=；020:220222AC y l x y x ---=⇒--=--- 由于原点(0,0)O 在该区域内，故可判定该范围的不等式组：22020220x y x y x y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪--≤⎩故答案为：22020220x y x y x y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪--≤⎩【点睛】本题考查由线性规划的可行域逆向表示约束条件的不等式组，属于中档题.16．已知直线:L y x t =-与抛物线2:4C y x =交于,A B 两个不同点，O 为坐标原点，若3OA OB ⋅=-u u u r u u u r，则t 的值为_______. 【答案】1或3【解析】联立直线方程和抛物线方程，由韦达定理表示两根乘积的关系，因为需有两个交点需满足判别式大于零，求出一个参数的限制条件，将x ，y 的是两个乘积关系，代入已知OA OB ⋅u u u r u u u r中解得答案. 【详解】设交点()()1122,,,A x y B x y ，联立方程组24y x t y x=-⎧⎨=⎩，得()22240x t x t -++=因为()222440t t V =+->，即1t >-则1221224x x t x x t +=+⎧⎨⋅=⎩，所以()()()2121212124y y x t x t x x t x x t t ⋅=--=⋅-++=- 所以2121243OA OB x x y y t t u u u r u u u r⋅=⋅+⋅=-=-，即1t =或3，符合0>V故答案为：1或3 【点睛】本题考查直线与抛物线相交关系的问题，常见于联立方程组，表示韦达定理，根据已知向量关系构建方程解决问题，属于中档题.17．已知数列{}n a 满足21k k a a d +-=（d 为常数，1,2k n =⋯，*N n ∈，3n ≥），给出下列四个结论：①若数列{}n a 是周期数列，则周期必为2：②若0d =，则数列{}n a 必是常数列：③若0d >，则数列{}n a 是递增数列：④若0d <，则数列{}n a 是有穷数列，其中，所有错误结论的序号是________. 【答案】①②③④【解析】①当周期为2时31a a =，由21k k a a d +-=表示前三项的关系，整理证得121a a +=-，与实际矛盾，错误；②若0d =，举特例12a =，观察显然不是常数列，错误； ③赋特值1a 1,d 2==，求得2a =④赋特值111,24a d ==-，求得212a =，是无穷数列，错误.【详解】①令周期2T =，则31a a =由题可知221232a a d a a d⎧-=⎪⎨-=⎪⎩，则223221a a a a -=-，即221221a a a a -=-因为()()1212222121a a a a a a a a -=-⋅+=-整理得()()121210a a a a -⋅++=，得121a a +=-，矛盾，所以错误；②若0d =，2110,k k k a a a ++-=显然，可以是，不是常数列，所以错误；③令1a 1,d 2==，由21k k a a d +-=可知2a ==当2a = ④当111,24a d ==-时，有212a ==± 当212a =，则以后各项都可以为12，是无穷数列，所以错误.故答案为：①②③④ 【点睛】本题考查数列的新定义问题，关键在于理解定义表达式，常运用赋值法处理，属于难题.18．已知椭圆2212x y +=上存在相异两点关于直线y x t =+对称，请写出两个符合条件的实数t 的值______．【答案】0或12（答案不唯一在33t -<<内任取两个实数）【解析】由对称性可知，线段AB 被直线y x t =+垂直平分，则AB 的中点M 在直线y x t =+上，且1AB k =-，设直线AB 的方程y x b =-+，联立直线AB 的方程和椭圆方程，由韦达定理表示中点M 的坐标，由相交于相异两点，可由判别式得到b 的取值范围，由M 在直线y x t =+上，用b 表示t ，则任取范围内两个实数即可. 【详解】设2212x y +=上存在关于直线y x t =+对称的两点()()1122,,,A x y B x y 由对称性可知，线段AB 被直线y x t =+垂直平分，则AB 的中点()00,M x y 在直线y x t =+上，且1AB k =- 故可设直线AB 的方程为：y x b =-+联立方程：22223422012y x b x bx b x y =-+⎧⎪⇒-+-=⎨+=⎪⎩由韦达定理可知：()12121243223b x x b y y b x x ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=-+=⎪⎩，即中点M 的坐标为2,33b b ⎛⎫⎪⎝⎭ 由()221612220b b V=-->，得b <<因为M 在直线y x t =+上，所以233333b t t b b t =+⇒=-⇒-<<任取0t =或12（答案不唯一，在33t <<内的任意两个实数均可）【点睛】本题考查直线与椭圆位置关系的综合应用，涉及对称性的性质，属于难题.19．已知*111()1(N )23f n n n=++++∈L L .用数学归纳法证明()22n nf >，请补全证明过程：(1)当1n =时，()1112122f =+>；(2)假设n k =时命题成立，即()22k k f >，则当1n k =+时，()()122k kf f +=+______12k +>，即当1n k =+时，命题成立.综上所述，对任意*N n ∈，都有()22nn f >成立.【答案】111121222kk k L ++++++ 【解析】由已知得1111(2)1232kk f k L L =++++++，进而()1111111112123221222k k k k k f k L L L ++=++++++++++++()1111221222k k k k f L +=++++++，既得答案.【详解】因为*111()1(N )23f n n n =++++∈L L 所以1111(2)1232nn f n L L =++++++所以当n k =时，1111(2)12322kk k f k L L =++++++>当1n k =+时，()1111111112123221222k k kk k f k L L L ++=++++++++++++ ()111112212222k k k k k f L ++=++++>++故答案为：111121222kk k L ++++++ 【点睛】本题考查数学归纳法由第k 项到k +1项，注意已知表达式的使用，属于难题.20．曲线E 是平面内到定点(1,0)A 的距离与到定直线1x =-的距离之和为8的动点P 的轨迹，则点P 的横坐标x 的取值范围是_______；曲线E 上的点到原点的最小距离是________.【答案】[]5,3- 3【解析】①由题表示曲线E 的方程，由去绝对值符号分段表示曲线方程，令0y =，得到图像的端点值，既得答案；②利用两点间的距离表示曲线E 上的点到原点的距离，结合①中的分段曲线表达式代入距离公式中，再由二次函数求得最小值. 【详解】①设动点(),P x y ，由题可得()22118x y x -+++=，所以()22181x y x -+=-+两边同时平方并化简得：221648,11680,1y x x y x x ⎧=-+≥-⎨=+<-⎩，所以0,3,10,5,1y x x y x x ==≥-⎧⎨==-<-⎩ 所以[]5,3x ∈-；②当[]13,x ∈-时，2221648o E d x y x x -=+=-+令()21648g x x x =-+，其在[]13,x ∈-上单调递减，所以()()min 2min 16343383o E d g x g --⨯=+===当[)5,1x ∈--时，2221680o E d x y x x -=+=++显然，当4x =-时，min3o Ed -==>综上所述，曲线E 上的点到原点的最小距离是3. 【点睛】本题考查曲线与方程的综合问题，涉及不标准的抛物线方程表示，以及圆锥曲线中的距离最值问题，属于难题.四、解答题21．等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已如11S =,23S =,nn S b n=. (1)求n a 和n S ；(2）证明：对任意*N n ∈，1n b ≥. 【答案】（1）1112n n n a a q --==；()()()1111221,112nnnn a q S n N q+--===-∈--（2）见解析.【解析】（1）在等比数列中，由n S 定义，表示12,a a ，从而得到公比q ，再将其带入通项公式和等比数列前n 项和公式中，求得n a 和n S ；（2）由（1）可知{}n b 的通项公式，作差讨论，得其是递增数列，表示n b 的最小值，其恰好等于1，即得证；也可以是使用求导法和数学归纳法证明. 【详解】（1）因为111a S ==，221312a S S =-=-=，所以等比数列{}n a 的公比2q =所以1112n n n a a q --==，因为1q ≠，所以()()()1111221,112nnnn a q S n N q+--===-∈--；（2）证明：由（1）可知21n n n S b n n-==所以()()11211212111nn n n n n b b n n n n ++-+---=-=++ 因为n N +∈，显然10n n b b +->，所以{}n b 是递增数列，即min112111n b b -===，故1n b ≥.【点睛】本题考查数列的综合问题，涉及等比数列求通项公式，数列中联系函数思想证明不等式，属于较难题.22．某商家耗资4500万元购进一批VR （虚拟现实）设备，经调试后计划明年开始投入使用，由于设备损耗和维护，第一年需维修保养费用200万元，从第二年开始，每年的维修保并费用比上一年增40万元.该设备使用后，每年的总收入为2800万元. (1)求盈利额y （万元）与使用年数x 之间的函数关系式；(2)该设备使用多少年，商家的年平均盈利额最大？最大年平均盈利额是多少？【答案】（1）22026204500y x x =-+-；（2）15年；2020万元.【解析】（1）由等差数列求和公式表示总保养费，再由盈利额等于总收入减去总保养费再减去购买设备的资金构建关系式；（2）表示年平均盈利额的表达式，利用基本不等式求最值，得答案. 【详解】（1）由题可知每年的保养费是以200万元为首项，40万元为公差，逐年递增的等差数列形式，所以x 年的总保养费()2120040201802x x x S x x x -=+⋅=+万元，x 年的总收入为2800x 万元，所以盈利额()2228004500202620450080210x x x y x x =--=-+-+ 故关系式为22026204500y x x =-+-；（2）由（1）可知年平均盈利额220262045004500202620y x x Z x x x x-+-===--+由基本不等式可知450020600x x +≥=，当且仅当15x =时取等号，所以450020262060026202020Z x x=--+≤-+= 故该设备使用15年，商家的年平均盈利额最大，最大年平均盈利额是2020万元. 【点睛】本题考查了函数的实际应用，根据实际构建函数模型，其中涉及等差数列求和，基本不等式求最值，属于较难题.23．已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的离心率为12，过右焦点(1,0)F 作两条互相垂直的直线12,L L ，分别交椭圆E 于A B 、和C D 、四点.设AB CD 、的中点为M N 、. (1)求椭圆E 的方程；(2)直线MN 是否经过定点？若是，求出定点坐标；若否，请说明理由.【答案】（1）22143x y +=；（2）直线MN 经过定点，定点坐标为4,07⎛⎫ ⎪⎝⎭，理由见解析. 【解析】忘记书写（1）根据题意确定出c 与e 的值，利用离心率公式求出a 的值，进而求出b 的值，代入椭圆方程得答案；（2）由直线AB 与CD 斜率存在，设为k ，表示出AB 方程，设出A 与B 坐标，进而表示出M 的坐标，联立直线AB 与椭圆方程，消去y 得关于x 的一元二次方程，利用韦达定理表示出M ，同理表示N ，根据M ,N 的横坐标相同求出k 的值，得到此时MN 斜率不存在，直线恒过定点；若直线MN 斜率存在，表示MN 的斜率，进而表示直线MN 的方程，令0y =，求出x 的值，得到直线MN 恒过定点；显然直线AB 或CD 斜率不存在，也成立，综上，得到直线MN 恒过定点，求出坐标即可. 【详解】（1）因为椭圆的右焦点(1,0)F ，所以1c =，又离心率12c e a ==，所以2a =，即b =故椭圆E 的方程为22143x y +=（2）当直线AB 和CD 斜率存在时设直线AB 方程为：()1y k x =-，再设()()1122,,,A x y B x y则有中点1212,122x x x x M k ⎛++⎫⎛⎫- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ 联立方程()221143y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩，消去y 得：()22223484120k x k x k +-+-=由韦达定理得： 2122834k x x k +=+，所以M 的坐标为22243,3434k k k k⎛⎫- ⎪++⎝⎭将上式中的k 换成1k -，同理可得N 的坐标为2243,4343k k k ⎛⎫ ⎪++⎝⎭若222443443kk k=++，即1k=±，43,77M⎛⎫±⎪⎝⎭，此时直线MN斜率不存在，直线过定点4,07⎛⎫⎪⎝⎭；当1k≠±时，即直线MN斜率存在，则()32222422332121213443441211213443MNk kk k kk kkk kkk k-----++===⋅---++直线MN为22232144312143k ky xk k k-⎛⎫-=⋅-⎪+-+⎝⎭令0y=，得()()22222733412144437437743kkxk k k+--=+⋅=⋅=+++此时直线MN过定点4,07⎛⎫⎪⎝⎭显然当直线AB或CD斜率不存在时，直线MN就是x轴，也会过4,07⎛⎫⎪⎝⎭综上所述：直线MN经过定点，定点坐标为4,07⎛⎫⎪⎝⎭【点睛】本题考查椭圆与直线位置关系的综合应用，求椭圆方程应由已知转化求得，几何关系证明应表示所需要证明的关系，注意运算技巧，属于难题.24．正整数数列{}n a的前n项和为n S，前n项积n T，若*N(1,2,)iiTi nS∈=L，则称数列{}n a为“Z数列”.(1)判断下列数列是否是Z数列，并说明理由；①2，2，4，8；②8，24，40，56(2)若数列{}n a是Z数列，且22a=.求3S和3T；(3)是否存在等差数列是Z 数列？请阐述理由. 【答案】(1) ①是；②不是；理由见解析；（2）33816S T =⎧⎨=⎩或331648S T =⎧⎨=⎩；（3）存在.【解析】(1)根据新定义的Z 数列，需要满足*N (1,2,)i iT i n S ∈=L ，所以分别计算两个数列的i T ，i S ，相比观察得答案； (2)由Z 数列的定义可知**2233,N N T T m n S S =∈=∈，分别表示13,a a ，由正整数数列可分别求得,m n ，即得13,a a ，从而得答案；(3) 假设存在这样的等差数列是Z 数列，且此数列是特殊的常数列，则至少三项，分别表示所以22*2222,N 3T p S a p p q T a q qS ⎧=⎪=⎧⎪⇒∈⎨⎨=⎩⎪=⎪⎩，所以a 是2和3的公倍数，令1236,6,6a a a ===，显然该等差数列是Z 数列，所以存在；此后类比推理，可到n项. 【详解】(1) ①由题可知，此时有该数列满足*N (1,2,)iiT i n S ∈=L ，所以是Z 数列； ②同理可得：该数列中*33N T S ∉，所以不是Z 数列. (2) 因为数列{}n a 是Z 数列，那么()121121**123131231322,N ,N 22a a a m a a a m n a a a a a n a a a a a ⋅⎧==⎪++⎪∈∈⎨⋅⋅⋅⎪==⎪++++⎩，则1322442m a m n a m n mn ⎧=⎪⎪-⎨⎪=⎪-+⎩ 又因为数列{}n a 是正整数数列，若*1N a ∈，则11,2m a ==，所以*344424N n n a m n mn n =+-Î=-，则324n a =⎧⎨=⎩或3312n a =⎧⎨=⎩ 当1324a a =⎧⎨=⎩时，31233123816S a a a T a a a =++=⎧⎨=⋅⋅=⎩；同理当13212a a =⎧⎨=⎩时，331648S T =⎧⎨=⎩ 故33816S T =⎧⎨=⎩或331648S T =⎧⎨=⎩ (3) )假设：存在这样的等差数列是Z 数列，且此数列是特殊的常数列，则至少三项所以222*1232122222=1,,N 333T a a p S a a p T a p q a q S a T a a q S a ⎧===⎪=⎧⎪=⇒∈⎨⎨=⎩⎪===⎪⎩，所以a 是2和3的公倍数令1236,6,6a a a ===，显然该等差数列是Z 数列，所以存在；同理，如果是四项，则需满足每项是2，3，4的公倍数，如12，12，12，12如此类推的有限等差数列，可以有无穷多个，且当为n 项时，则各项为2,3,4,n L 的公倍数故存在等差数列是Z数列.【点睛】本题考查数列的新定义问题，关键在于理解定义，充分体现数学中的转化思想，还考查了借助反证法特殊化证明命题，属于难题.。

四川省成都市郫都区2019-2020学年高二上学期期中考试数学(理)试题含解析

四川省成都市郫都区2019-2020学年度上期期中考试高二数学（理）试题一、选择题（本大题共12小题）1.直线x+y-1=0的倾斜角为（）A. B. C. D.2.抛物线y=4x2的焦点坐标是（）A. B. C. D.3.双曲线的一个焦点到它的渐近线的距离为（）A. 1B.C.D. 24.下列说法正确的是（）A. 命题“3能被2整除”是真命题B. 命题“,”的否定是“,”C. 命题“47是7的倍数或49是7的倍数”是真命题D. 命题“若a、b都是偶数,则是偶数”的逆否命题是假命题5.已知α、β是两个不同的平面，直线a⊂α，直线b⊂β，命题p：a与b没有公共点，命题q：α∥β，则p是q的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件6.直线l1：x+ay+6=0与l2：（a-2）x+3y+2a=0平行，则a的值等于（）A. 或3B. 1或3C.D.7.设m、n是两条不同的直线α，β，γ，是三个不同的平面，下列四个命题中正确的序号是（）①若m⊥α，n∥α，则m⊥n②若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β③若m∥α，n∥α，则m∥n④若α∥β，β∥γ，m⊥α，则m⊥γA. 和B. 和C. 和D. 和8.若直线y=kx+1与圆x2+y2=1相交于P、Q两点，且∠POQ=120°（其中O为原点），则k的值为（）A. B. C. D.9.一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A. 1B. 3C. 6D. 210.已知圆，圆，则这两个圆的公切线条数为（）A. 1条B. 2 条C. 3 条D. 4 条11.在平面直角坐标系中，A，B分别是x轴和y轴上的动点，若以AB为直径的圆C与直线2x+y-4=0相切，则圆C面积的最小值为（）A. B. C. D.12.已知椭圆的左右焦点分别为F1，F2，点Q为椭圆上一点．△QF1F2的重心为G，内心为I，且，则该椭圆的离心率为（）A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题）13.已知x、y满足不等式组，则z=3x+y的最大值为______．14.体积为4π的球的内接正方体的棱长为______．15.椭圆+=1与双曲线-=1有公共的焦点F1，F2，P是两曲线的一个交点，则cos∠F1PF2= ______ ．16.抛物线x2=2py（p＞0）上一点A（，m）（m＞1）到抛物线准线的距离为，点A关于y轴的对称点为B，O为坐标原点，△OAB的内切圆与OA切于点E，点F为内切圆上任意一点，则的取值范围为______．三、解答题（本大题共6小题）17.已知p：方程x2+2mx+（m+2）=0有两个不等的正根；q：方程表示焦点在y轴上的双曲线．（1）若q为真命题，求实数m的取值范围；（2）若“p或q”为真，“p且q”为假，求实数m的取值范围．18.在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且2cos A cos C（tan A tan C-1）=1．（Ⅰ）求B的大小；（Ⅱ）若，，求△ABC的面积．19.已知在等比数列{a n}中，a1=2，且a1，a2，a3-2成等差数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若数列{b n}满足：，求数列{b n}的前n项和S n．20.如图，多面体ABCDEF中，底面ABCD是菱形，∠BCD=60°，四边形BDEF是正方形且DE⊥平面ABCD．（Ⅰ）求证：CF∥平面ADE；（Ⅱ）若AE=，求多面体ABCDEF的体积V．21.已知动点M（x，y）满足：．（1）求动点M的轨迹E的方程；（2）设过点N（-1，0）的直线l与曲线E交于A，B两点，点A关于x轴的对称点为C（点C与点B不重合），证明：直线BC恒过定点，并求该定点的坐标．22.已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，且过点（1，）．（1）求椭圆C的方程；（2）设与圆O：x2+y2=相切的直线l交椭圆C于A，B两点，求△OAB面积的最大值，及取得最大值时直线l 的方程．答案和解析1.【答案】D【解析】解：设直线x+y-1=0的倾斜角为α．直线x+y-1=0化为．∴tanα=-．∵α∈[0°，180°），∴α=150°．故选：D．利用直线的倾斜角与斜率的关系即可得出．本题考查了直线的倾斜角与斜率的关系，属于基础题．2.【答案】C【解析】解：抛物线y=4x2的标准方程为x2=y，p=，开口向上，焦点在y轴的正半轴上，故焦点坐标为（0，），故选：C．把抛物线y=4x2的方程化为标准形式，确定开口方向和p值，即可得到焦点坐标．本题考查抛物线的标准方程，以及简单性质的应用；把抛物线y=4x2的方程化为标准形式，是解题的关键．3.【答案】C【解析】解：根据题意，由双曲线的方程为，可得焦点坐标为（-2，0）（2，0），渐近线的方程为y=±x；结合双曲线的对称性，其任一个焦点到它的渐近线的距离相等，故只需计算一个焦点到其中一条渐近线的距离即可，其距离为d==，故选：C．根据双曲线的方称可得其焦点坐标与渐近线的方程，由于双曲线的对称性，只需计算一个焦点到其中一条渐近线的距离即可，由点到直线的距离公式，计算可得答案．本题考查双曲线的性质，解题时注意结合双曲线的对称性，只需计算一个焦点到其中一条渐近线的距离即可．4.【答案】C【解析】解：对于A，3不能被2整除，∴“3能被2整除”是假命题，A错误；对于B，“∃x0∈R，x02-x0-1＜0”的否定是“∀x∈R，x2-x-1≥0”，∴B错误；对于C，47不是7的倍数，49是7的倍数，∴“47是7的倍数或49是7的倍数”是真命题，C正确；对于D，“若a、b都是偶数，则a+b是偶数”是真命题，则它的逆否命题也是真命题，∴D错误．故选：C．A，3不能被2整除，判断A是假命题；B，写出命题的否定，即可判断B是假命题；C，由47不是7的倍数，49是7的倍数，利用复合命题的真假性判断即可；D，根据原命题与它的逆否命题真假性相同，判断即可．本题考查了命题真假的判断问题，是基础题．5.【答案】B【解析】解：当a，b都平行于α与β的交线时，a与b无公共点，但α与β相交．当α∥β时，a与b一定无公共点，∴q⇒p，但p⇒/q故选：B．利用量平面平行的定义推出a与b没有公共点；a与b没有公共点时推不出α∥β，举一个反例即可．利用充要条件定义得选项．本题考查两个平面平行的定义：两平面无公共点；充要条件的判断．6.【答案】D【解析】解：因为两条直线平行，两直线的斜率都存在，故它们的斜率相等，由，解得：a=-1，故选：D．直接利用两直线平行的充要条件，列出方程求解，解得a的值．本题考查两直线平行的条件，要注意特殊情况即直线斜率不存在的情况，要进行检验．7.【答案】D【解析】解：由m、n是两条不同的直线α，β，γ，是三个不同的平面，知：∵m⊥α，n∥α，∴m⊥n，故①正确；∵α⊥γ，β⊥γ，∴α∥β或α与β相交，故②不正确；∵m∥α，n∥α，∴m与n相交、平行或异面，故③不正确；∵α∥β，β∥γ，∴α∥γ，∵m⊥α，∴m⊥γ，故④正确．故选：D．由m、n是两条不同的直线α，β，γ，是三个不同的平面，知：m⊥α，n∥α⇒m⊥n；α⊥γ，β⊥γ⇒α∥β或α与β相交；m∥α，n∥α⇒m与n相交、平行或异面，故③不正确；α∥β，β∥γ⇒α∥γ，由m⊥α，知m⊥γ．本题考查平面的基本性质及其推论，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．8.【答案】A【解析】解：如图，直线过定点（0，1），∵∠POQ=120°∴∠OPQ=30°，⇒∠1=120°，∠2=60°，∴k=±．故选：A．直线过定点，直线y=kx+1与圆x2+y2=1相交于P、Q两点，且∠POQ=120°（其中O为原点），可以发现∠QOx的大小，求得结果．本题考查过定点的直线系问题，以及直线和圆的位置关系，是基础题．9.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查由三视图求几何体的体积，在三个图形中，俯视图确定锥体的名称，即是几棱锥，正视图和侧视图确定锥体的高，注意高的大小，侧视图是最不好理解的一个图形，注意图形上的虚线部分，根据体积公式得到结果．【解答】解：由三视图知，几何体是一个四棱锥，四棱锥的底面是一个直角梯形，直角梯形的上底是1，下底是2，垂直于底边的腰是2，一条侧棱与底面垂直，这条侧棱长是2，∴四棱锥的体积是=2.故选D．10.【答案】D【解析】解：根据题意，圆C1：x2+y2+2x-4y+1=0，即（x+1）2+（y-2）2=4，其圆心为（-1，2），半径r1=2，圆C2：（x-3）2+（y+1）2=1，其圆心为（3，-1），半径r2=1，则有|C1C2|==5＞r1+r2，两圆外离，有4条公切线；故选：D．根据题意，分析两圆的圆心与半径，进而分析两圆的位置关系，据此分析可得答案．本题考查圆与圆的位置关系以及两圆的公切线，关键是分析两圆的位置关系，属于基础题．11.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查了直线与圆的位置关系，考查圆的面积的最小值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意数形结合思想的合理运用.由已知得|OC|=|CE|=r，过点O作直线2x+y-4=0的垂直线段OF，交AB于D，交直线2x+y-4=0于F，则当D恰为AB中点时，圆C的半径最小，即面积最小.【解答】解：如图，设AB的中点为C，坐标原点为O，圆半径为r，由已知得|OC|=|CE|=r，过点O作直线2x+y-4=0的垂直线段OF，交AB于D，交直线2x+y-4=0于F，则当D恰为OF中点时，圆C的半径最小，即面积最小.此时圆的直径为O（0，0）到直线2x+y-4=0的距离为：d==，此时r=，∴圆C的面积的最小值为：S min=π×（）2=.故选A.12.【答案】A【解析】解：椭圆的左右焦点分别为F1（-c，0），F2（c，0），设Q（x0，y0），∵G为△F1QF2的重心，∴G点坐标为G（，），∵，则∥，∴I的纵坐标为，又∵|QF1|+|QF2|=2a，|F1F2|=2c，∴=•|F1F2|•|y0|，又∵I为△F1QF2的内心，∴||即为内切圆的半径，内心I把△F1QF2分为三个底分别为△F1MF2的三边，高为内切圆半径的小三角形，∴=（|QF1|+|F1F2|+|QF2|）||，即×2c•|y0|=（2a+2c）||，∴2c=a，∴椭圆C的离心率为e=，∴该椭圆的离心率，故选：A．由题意，设Q（x0，y0），由G为△F1QF2的重心，得G点坐标为（，），利用面积相等可得，×2c•|y0|=（2a+2c）||，从而求椭圆的离心率．本题考查了椭圆的标准方程及其性质、三角形的重心与内心的性质、三角形面积计算公式、向量共线定理，考查了推理能力与计算能力，属于难题．13.【答案】9【解析】解：作出x、y满足不等式组表示的平面区域，得到如图的三角形及其内部，其中A（2，3），设z=F（x，y）=3x+y，将直线l：z=3x+y进行平移，当l经过点A时，目标函数z达到最大值，∴z最大值=F（2，3）=9．故答案为：9．作出题中不等式组表示的平面区域，再将目标函数z=2x+y对应的直线进行平移，可得当x=2，y=3时，求出z=3x+y取得最大值．本题给出二元一次不等式组，求目标函数z=3x+y的最大值，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识，属于基础题．14.【答案】2【解析】解：设球的半径为R，正方体的棱长a，则=4，∴R3=，∴R=，则由正方体的性质可知，正方体的体对角线=2R=2，∴a=2，故答案为：2．先确定球的半径，利用球的内接正方体的对角线为球的直径，即可求得结论．本题考查球的内接正方体，解题的关键是利用球的内接正方体的对角线为球的直径，属于基础题．15.【答案】【解析】解：由题意设焦点F2（2，0）、F1（-2，0），∴3+b2=4，求得b2=1，双曲线-=1，即双曲线-y2=1．不妨设点P在第一象限，再根据椭圆、双曲线的定义和性质，可得|PF1|+|PF2|=2，|PF1|-|PF2|=2，可得|PF1|=+，|PF2|=-，且|F1F2|=4．再由余弦定理可得cos∠F1PF2=即=，故答案为：．不妨设点P在第一象限，再根据椭圆、双曲线的定义和性质，可得|PF1|+|PF2|=2，|PF1|-|PF2|=2，求得|PF1|和|PF2|的值，根据|F1F2|=4，利用余弦定理可得cos∠F1PF2的值．本题主要考查椭圆、双曲线的定义和性质及其标准方程，余弦定理的应用，属于中档题．16.【答案】【解析】解：因为点在抛物线上，所以，点A到准线的距离为，解得或p=6．当p=6时，，故p=6舍去，所以抛物线方程为x2=y，∴，所以△OAB是正三角形，边长为，其内切圆方程为x2+（y-2）2=1，如图4，∴．设点F（cosθ，2+sinθ）（θ为参数），则，∴．故答案为：．利用点在抛物线上，求出m，点A到准线的距离为，求出p，即可解出抛物线方程，设点F（cosθ，2+sinθ）（θ为参数），化简数量积，求解范围即可．本题考查抛物线的简单性质，直线与抛物线的位置关系圆的方程的应用，考查转化思想以及计算能力．17.【答案】解：（1）由已知方程表示焦点在y轴上的双曲线，则，得，得m＜-3，即q：m＜-3．（2）若方程x2+2mx+（m+2）=0有两个不等的正根则，解得-2＜m＜-1，即p：-2＜m＜-1．因p或q为真，所以p、q至少有一个为真．又p且q为假，所以p，q至少有一个为假．因此，p，q两命题应一真一假，当p为真，q为假时，，解得-2＜m＜-1；当p为假，q为真时，，解得m＜-3．综上，-2＜m＜-1或m＜-3．【解析】（1）根据双曲线的标准方程进行求解即可．（2）根据复合命题真假关系得到p，q两命题应一真一假，进行求解即可．本题主要考查复合命题的真假应用，根据条件求出命题为真命题的等价条件是解决本题的关键．18.【答案】解：（Ⅰ）由2cos A cos C（tan A tan C-1）=1得：2cos A cos C（-1）=1，∴2（sin A sin C-cos A cos C）=1，即cos（A+C）=-，∴cos B=-cos（A+C）=，又0＜B＜π，∴B=；（Ⅱ）由余弦定理得：cos B==，∴=，又a+c=，b=，∴-2ac-3=ac，即ac=，∴S△ABC=ac sin B=××=．【解析】（Ⅰ）已知等式括号中利用同角三角函数间基本关系切化弦，去括号后利用两角和与差的余弦函数公式化简，再由诱导公式变形求出cos B的值，即可确定出B的大小；（Ⅱ）由cos B，b的值，利用余弦定理列出关系式，再利用完全平方公式变形，将a+b以及b的值代入求出ac的值，再由cos B的值，利用三角形面积公式即可求出三角形ABC面积．此题考查了余弦定理，三角形面积公式，两角和与差的余弦函数公式，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．19.【答案】解：（Ⅰ）等比数列{a n}的公比设为q，a1=2，a1，a2，a3-2成等差数列，可得2a2=a1+a3-2，即为4q=2+2q2-2，解得q=2，则a n=a1q n-1=2n，n∈N*；（Ⅱ）=+2log22n-1=+2n-1，则数列{b n}的前n项和S n=（++…+）+（1+3+…+2n-1）=+n（1+2n-1）=1-+n2．【解析】（Ⅰ）等比数列{a n}的公比设为q，由等差数列中项性质和等比数列的通项公式，解方程可得q，进而得到所求通项公式；（Ⅱ）求得=+2log22n-1=+2n-1，由数列的分组求和和等差数列、等比数列的求和公式，计算可得所求和．本题考查等差数列中项性质和等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列分组求和，以及化简整理的运算能力，属于中档题．20.【答案】（Ⅰ）证明：∵底面ABCD是菱形，∴AD∥BC，∵四边形BDEF是正方形，∴DE∥BF，∵BF∩BC=B，∴平面ADE∥平面BCF，∵CF⊂平面BCF，∴CF∥平面ADE．（Ⅱ）解：连结AC，交BD于O，∵四边形BDEF是正方形且DE⊥平面ABCD．∴DE⊥平面ABCD，又AC⊂平面ABCD，∴AC⊥DE，∵底面ABCD是菱形，∴AC⊥BD，又BD∩DE=D，∴AC⊥平面BDEF，∵AE=，∠BCD=60°，∴AD=DE=BD=1，∴AO=CO=，∴多面体ABCDEF的体积：V=2V A-BDEF=2×=2×=．【解析】（Ⅰ）由已知得AD∥BC，DE∥BF，从而平面ADE∥平面BCF，由此能证明CF∥平面ADE．（Ⅱ）连结AC，交BD于O，由线面垂直得AC⊥DE，由菱形性质得AC⊥BD，从而AC⊥平面BDEF，进而多面体ABCDEF的体积V=2V A-BDEF，由此能求出多面体ABCDEF的体积V．本题考查线面平行证明，考查多面体的体积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．21.【答案】解：（1）由已知，动点M到点P（-1，0），Q（1，0）的距离之和为2，且|PQ|＜2，所以动点M的轨迹为椭圆，而a=，c=1，所以b=1，所以，动点M的轨迹E的方程：+y2=1．（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），则C（x1，-y1），由已知得直线l的斜率存在，设斜率为k，则直线l的方程为：y=k（x+1），由，得（1+2k2）x2+4k2x+2k2-2=0，所以x1+x2=-，x1x2=，直线BC的方程为：y-y2=（x-x2），所以y=x-，令y=0，则x====-2，所以直BC与x轴交于定点D（-2，0）．【解析】（1）分别求出a，b，c的值，求出M的轨迹方程即可；（2）输出直线l的方程为：y=k（x+1），联立直线和椭圆的方程，根据根与系数的关系，求出定点D的坐标即可．本题考查了求椭圆的轨迹方程问题，考查直线和椭圆的关系以及韦达定理的应用，是一道中档题．22.【答案】解：（1）由题意可得，e==，a2-b2=c2，点（1，）代入椭圆方程，可得+=1，解得a=，b=1，即有椭圆的方程为+y2=1；（2）①当k不存在时，x=±时，可得y=±，S△OAB=××=；②当k存在时，设直线为y=kx+m（k≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），将直线y=kx+m代入椭圆方程可得（1+3k2）x2+6kmx+3m2-3=0，x1+x2=-，x1x2=，由直线l与圆O：x2+y2=相切，可得=，即有4m2=3（1+k2），|AB|=•=•=•=•=•≤•=2，当且仅当9k2= 即k=±时等号成立，可得S△OAB=|AB|•r≤×2×=，即有△OAB面积的最大值为，此时直线方程y=±x±1．【解析】（1）运用椭圆的离心率公式和点满足椭圆方程，解方程可得a，b，进而得到椭圆方程；（2）讨论①当k不存在时，②当k存在时，设直线为y=kx+m，A（x1，y1），B（x2，y2），将直线y=kx+m代入椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，以及直线和圆相切的条件：d=r，结合基本不等式即可得到所求面积的最大值和直线l的方程．本题考查椭圆的方程的求法，注意运用离心率公式和点满足椭圆方程，考查三角形的面积的最大值，注意运用分类讨论的思想方法，联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，以及直线和圆相切的条件：d=r，和基本不等式的运用，属于中档题．。

宁夏银川三沙源上游学校2019-2020学年高二数学上学期期中检测试题理(含解析)

宁夏银川三沙源上游学校2019-2020学年高二数学上学期期中检测试题理（含解析）一.选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1.已知椭圆22116x y m +=上的一点P 到椭圆一个焦点的距离为3,到另一焦点距离为7,则m 等于（） A. 10 B. 5 C. 15 D. 25【答案】D 【解析】【分析】根据椭圆上一点到椭圆两焦点距离和为2a 可得答案. 【详解】解：237a =+，得5a =，故2525m ==，故选：D.【点睛】本题考查椭圆的定义的应用，是基础题.2.已知首项为正的等比数列{}n a 的公比为q ，则“01q <<”是“{}n a 为递减数列”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】【分析】根据已知条件可得10a >，11n n a a q -=，根据充分条件和必要条件判断方法，即可判断出结果．【详解】由题意知10a >，11n n a a q -=，当01q <<时，数列{}n a 为递减数列，反之也成立．所以“01q <<”是“{}n a 为递减数列”的充要条件．故选：C【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件判断，同时考查等比数列的单调性，属于基础题．判断p 是q 的什么条件，需要从两方面分析：一是由条件p 能否推得条件q ；二是由条件q 能否推得条件p ．3.若曲线22111x y k k+=-+表示椭圆，则k 的取值范围是( )A. 1k >B. 1k <-C. 11k -<<D.10k -<<或01k <<【答案】D 【解析】【分析】根据椭圆标准方程可得101011k k k k ->⎧⎪+>⎨⎪-≠+⎩，解不等式组可得结果.【详解】曲线22111x y k k+=-+表示椭圆，101011k k k k ->⎧⎪∴+>⎨⎪-≠+⎩，解得11k -<<，且0k ≠，k 的取值范围是10k -<<或01k <<，故选D ．【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程以及不等式的解法，意在考查对基础知识掌握的熟练程度，属于简单题.4.下列有关命题的说法错误的是（） A. 若“p q ∨”为假命题，则,p q 均为假命题 B. “1x =”是“1x ≥”的充分不必要条件 C. “1sin 2x =”的必要不充分条件是“6x π=” D. 若命题200:,0p x R x ∃∈≥，则命题2:,0p x R x ⌝∀∈<【答案】C 【解析】【分析】根据复合命题真假的判断方法判断A ；根据充分条件和必要条件可判断B 、C ；根据含有一个量词的命题的否定可判断D ．【详解】对A ，“p q ∨”为假命题，则p 和q 均为假命题，故A 正确；对B ，当“1x =”时，“1x ≥”成立；当“1x ≥”时，“1x =”不一定成立，故“1x =”是“1x ≥”的充分不必要条件，故B 正确；对C ，当“1sin 2x =”时，26x k ππ=+或52()6πx k πk Z =+∈，故“6x π=”不一定成立；当“6x π=”时，“1sin 2x =”成立，故“1sin 2x =”的充分不必要条件是“6x π=”；故C 错误；对D ，若命题200:,0p x R x ∃∈≥，则命题2:,0p x R x ⌝∀∈<，故D 正确．故选：C【点睛】本题主要考查命题的真假判断，同时考查复合命题，充分条件和必要条件及含有一个量词的命题的否定，属于基础题．5.河南洛阳的龙门石窟是中国石刻艺术宝库之一，现为世界文化遗产，龙门石窟与莫高窟、云冈石窟、麦积山石窟并称中国四大石窟．现有一石窟的某处“浮雕像”共7层，每上层的数量是下层的2倍，总共有1016个“浮雕像”，这些“浮雕像”构成一幅优美的图案，若从最下层往上“浮雕像”的数量构成一个数列{}n a ，则()235log a a ⋅的值为（） A. 8 B. 10C. 12D. 16【答案】C 【解析】【分析】数列{}n a ，是等比数列，公比为2，前7项和为1016，由此可求得首项1a ，得通项公式，从而得结论．【详解】最下层的“浮雕像”的数量为1a ，依题有：公比()717122,7,101612a q n S -====-，解得18a=，则()12*82217,n n n a n n N -+=⨯=≤≤∈，57352,2a a ∴==，从而()()571212352352222,log log 212a a a a ⋅=⨯=∴⋅==，故选C ．【点睛】本题考查等比数列的应用．数列应用题求解时，关键是根据题设抽象出数列的条件，然后利用数列的知识求解．6.若x ，y 满足32x x y y x ≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，，，则x + 2y 的最大值为A 1 B. 3 C. 5 D. 9【答案】D 【解析】试题分析：如图，画出可行域，2z x y =+表示斜率为12-的一组平行线，当2z x y =+过点()3,3C 时，目标函数取得最大值max 3239z =+⨯=，故选D.【名师点睛】本题主要考查简单的线性规划．解决此类问题的关键是正确画出不等式组表示的可行域，将目标函数赋予几何意义.求目标函数的最值的一般步骤为：一画、二移、三求．常见的目标函数类型有：（1）截距型：形如z ax by =+.求这类目标函数的最值时常将函数z ax by =+转化为直线的斜截式：a zy x b b =-+，通过求直线的截距z b的最值间接求出z 的最值；（2）距离型：形如()()22z x a y b =-+-；（3）斜率型：形如y b z x a -=-，而本题属于截距形式.7.关于x 的不等式0ax b -<的解集是()1,+∞，则关于x 的不等式()()30ax b x +->的解集是( ) A. ()(),13,-∞-+∞ B. ()1,3C. ()1,3-D. ()(),13,-∞⋃+∞【答案】C 【解析】关于x 的不等式0ax b -<,即ax b <的解集是()1,,0a b +∞∴=<，∴不等式()()30ax b x +->,可化为()()130x x +-<，解得13x ，∴所求不等式的解集是()1,3-,故选C.8.命题p ： 0x ∀>，10x x +>2﹣2；命题q ：0 x ∃>0，200210x x -+≤，下列选项真命题的是( ) A. p q ∧￢B. p q ∧C. p q ∨￢D.p q ∧￢￢【答案】A 【解析】【分析】根据()2110x x x +=-≥22-，所以可知p 假q 真，然后根据真值表，逐一验证，可得结果.详解】命题20210p x x x -∀+：＞，＞；是假命题，因为1x ＝时不成立；命题2000:0,210q x x x ∃>-+≤，当01x ＝时，命题成立，所以是真命题． p q ∧￢，是真命题；A 正确p q ∧是假命题；B 错p q ∨￢是假命题；C 错p q ∧￢￢是假命题；D 错故选：A ．【点睛】本题考查命题真假以及真值表的应用，识记真值表，属基础题. 9.设102m <<，若(12)m m k -恒成立，则k 的最小值为( ) A. 1 B. 12 C. 14D.18【答案】D 【解析】【分析】设函数()()12f m m m =-，求函数的最大值得到答案.【详解】设函数()()2211122248f m m m m m m ⎛⎫=-=-+=--+⎪⎝⎭，故()max 1148f m f ⎛⎫== ⎪⎝⎭.故18k ≥. 故选：D .【点睛】本题考查了不等式恒成立问题，转化函数的最值问题是解题的关键.10.椭圆221169x y +=中，以点()1,2M 为中点的弦所在直线斜率为（）A. 916-B.932C.964D. 932-【答案】D 【解析】【分析】根据题意设出直线的方程，将直线的方程与椭圆的方程联立消去y ，利用根与系数关系求出12+x x ，然后代入1212x x +=即可求出直线的斜率．【详解】设以点()1,2M 为中点的弦所在直线斜率为k ，则直线的方程为2(1)y k x -=-，即2y kx k =+-，由2221169y kx k x y =+-⎧⎪⎨+=⎪⎩得2222(169)(6432)64800k x k k x k k ++-+--=，设所求直线与椭圆交于11(,)A x y ，22(,)B x y ，所以21226432169k k x x k -+=-+，所以2122321612169x x k k k +-=-=+，解得932k =-．故选：D【点睛】本题主要考查直线与椭圆的位置关系，通常情况是采用“设而不求”、“整体代入”的方法求解．另外，本题也可采用“点差法”来求解．11.已知各项均为正数的等比数列{}n a 满足7652a a a =+，若存在两项m n a a ，使得1a ，则14m n+的最小值为（） A. 32 B.53 C. 94D. 256【答案】A 【解析】65a q a =，275a q a =，即220q q --=，q > ，解得2q22221111616m n m n a a a a q a +-=⇔=，2216m n +-=，6m n +=，()141416m n m n m n ⎛⎫+=++⨯ ⎪⎝⎭141355662n m m n ⎛⎛⎫=++≥+= ⎪ ⎝⎭⎝ ，等号成立的条件为6{4m n n m m n+== ，解得24m n =⎧⎨=⎩ ，所有14m n + 的最小值是32，故选A.【点睛】本题考查了等比数列和基本不等式求最值的简单综合，等比数列中任两项间的关系，熟练掌握公式 n mn m a a q -=⋅ ，基本不等式常考的类型，已知和为定值，求积的最大值，经常使用公式22a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，已知积为定值，求和的最小值，a b +≥ ，已知和为定值，求和的最小值，例如：已知正数,x y ，35x y xy += ，求34x y + 的最小值，变形为13155y x += ，再()13343455x y x y y x ⎛⎫+=+⨯+ ⎪⎝⎭，构造1来求最值.12.椭圆22221(0)x y a b a b+=>>，12,F F 为椭圆的左、右焦点，O 为坐标原点，点P 为椭圆上一点，24OP a =，且1122,,PF F F PF 成等比数列，则椭圆的离心率为（） A.24 B.23C.63D.64【答案】D 【解析】设()P x y ，，则2222||8a OP x y =+=，由椭圆定义，2121|2|PF PF a PF +=⇒+22||PF2122?4PF PF a +=，又∵1122PF F F PF ，，成等比数列，∴12·PF PF =2212||4F F c =，∴222212||||84PF PF c a ++=，∴222()()x c y x c +++-22284y c a ++=，整理得222252x y c a ++=，即222223652884a c c c a e a a +=⇒=⇒==，故选D ．【点睛】本题主要考查椭圆的定义及性质，以及等比数列的性质，考查了学生综合分析能力，属于中档题，首先此题需要依据题中三个线段成等比数列的条件得到1122PF F F PF ，，之间的关系，再根据椭圆的基本性质，即可得到关于,a c 的方程，从而得到椭圆的离心率. 二.填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.椭圆221132x y m m +=--的焦距为6，则m = ．【答案】3或12 【解析】【详解】试题分析：椭圆221132x y m m +=--的焦距为6即，椭圆221132x y m m +=--的焦点可能在轴上或在轴上，当焦点在轴上时解得；当焦点在轴上时，解得，综上m=3或12考点：椭圆的性质14.若命题“∃t ∈R，t 2-2t -a ＜0”是假命题，则实数a 的取值范围是 ______. 【答案】(],1-∞- 【解析】【详解】命题“∃t ∈R，t 2-2t-a ＜0”是假命题，等价于∀t∈R，t 2-2t-a≥0是真命题， ∴△=4+4a≤0，解得a≤-1． ∴实数a 的取值范围是（-∞，-1]．故答案为（-∞，-1]．15.一动圆与圆22650x y x +++=外切，同时与圆226910x y x +--=内切，则动圆圆心的轨迹方程为___________.【答案】2213627x y +=【解析】【分析】求出两个圆的圆心与半径，设出动圆的圆心与半径，判断动圆的圆心轨迹，推出结果即可．【详解】圆x 2+y 2+6x +5＝0的圆心为A （﹣3，0），半径为2；圆x 2+y 2﹣6x ﹣91＝0的圆心为B （3，0），半径为10；设动圆圆心为M （x ，y ），半径为x ；则MA ＝2+r ，MB ＝10﹣r ；于是MA +MB ＝12＞AB ＝6所以，动圆圆心M 的轨迹是以A （﹣3，0），B （3，0）为焦点，长轴长为12的椭圆．a ＝6，c ＝3，b 2＝a 2﹣c 2＝27；所以M 的轨迹方程为2213627x y +=故答案为2213627x y +=【点睛】本题考查轨迹方程的求法，考查椭圆定义的应用，考查分析问题解决问题的能力，转化思想的应用．16.已知等比数列{}{},n n a b ，满足1112233,1,2,3a a b a b a b a =-=-=-=，若数列{}n a 唯一，则a =_____. 【答案】13【解析】【分析】设数列{}n a 的公比为q (0)q ≠，则1n n a aq -=，将123,,b b b 分别用,a q 表示，然后根据2213b b b =得到关于q 的一元二次方程，进而将问题转化为为函数243y q q =-+与1y a=仅有一个交点，即可求出结果．【详解】设数列{}n a 的公比为q (0)q ≠，则1n n a aq -=，由题意得111b a =+，2222b a aq =+=+，23333b a aq =+=+，因为数列{}n b 是等比数列，所以2213b b b =，即22(2)(1)(3)aq a aq +=++，整理得24310aq aq a -+-=，又0a ≠，所以2143q q a-+=，因为问题可转化为函数243y q q =-+与1y a=仅有一个交点，如图由题意得，13a =或11a =-，即13a =或1a =-，而当1a =-时，1110b a =+=，不符合题意，故1a =-舍去，所以13a =．故答案为：13【点睛】本题主要考查等比中项的应用，同时考查函数与方程的思想，属于难题．三.解答题（共70分）17.已知命题p ：方程2220x x m -+=有两个不相等的实数根；命题q ：124m +<．()1若p 为真命题，求实数m 的取值范围；()2若p q ∨为真命题，p q ∧为假命题，求实数m 的取值范围．【答案】（1）2m <；（2）[)1,2.【解析】【分析】（1）若p 为真命题，则应有840m ∆=->，解得实数m 的取值范围；（2）若p q ∨为真命题，p q ∧为假命题，则p ，q 应一真一假，进而实数m 的取值范围.【详解】（1）若p 为真命题，则应有840m ∆=->，解得2m <；（2）若q 为真命题，则有12m +<，即1m <，因为p q ∨为真命题，p q ∧为假命题，则p ，q 应一真一假.①当p 真q 假时，有21m m <⎧⎨≥⎩，得12m ≤<； ②当p 假q 真时，有21m m ≥⎧⎨<⎩，无解，综上，m 的取值范围是[12，）.18.已知椭圆()222210x y a b a b +=>>4，椭圆与直线2y x =+相交于,A B 两点.（1）求椭圆的方程；（2）求弦长AB .【答案】(1) 221164x y +=；(2)5 【解析】【分析】(1)根据c e a ==，24b =及222a b c =+解方程组即可求出,a b ，进而求出椭圆的方程；(2)将椭圆的方程与直线2y x =+联立解出交点坐标，然后利用两点间距离即可求出弦长AB ．【详解】(1)由已知得222224c a b a b c ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得42a b =⎧⎨=⎩，所以椭圆的方程为221164x y +=． (2)由2221164y x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得02x y =⎧⎨=⎩或16565x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，不妨设(0,2)A ，166(,)55B --，所以||5AB ==．【点睛】本题主要考查求椭圆的方程及求直线与椭圆相交的弦长，属于基础题．19.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 9=81，a 3+a 5=14．（1）求数列{a n }的通项公式；（2）设b n =11n n a a +，若{b n }的前n 项和为T n ，证明：T n ＜12．【答案】（1）a n =2n -1（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据等差数列的性质可知，S 9=9a 5=81，a 3+a 5=14，即可求出a 3=5，a 5=9，因而可求出公差2d =，故可求得通项公式．（2）由n b 的形式可知，采用裂项相消法求出数列{b n }的前n 项和，即可证明．【详解】（1）设等差数列{a n }的公差为d ，由S 9=9a 5=81，得a 5=9，又由a 3+a 5=14，得a 3=5，由上可得等差数列{a n }的公差d 5353a a -=-=2， ∴a n =a 3+（n -3）d =2n -1；（2）由题意得，()()111111212122121n n n b a a n n n n +⎛⎫===- ⎪-+-+⎝⎭. 所以111111123352121n T n n ⎛⎫=-+-++- ⎪-+⎝⎭ (11112212)n ⎛⎫=-< ⎪+⎝⎭．【点睛】本题主要考查利用等差数列的性质求通项公式以及裂项相消法求和的应用，意在考查学生的数学计算能力，属于基础题．20.命题p ：函数()()22lg 430y x ax a a =-+->有意义；命题q ：实数x 满足302x x -<-. （1）当1a =且p q ∧为真时，求实数x 的取值范围；（2）若p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，求实数a 的取值范围.【答案】(1)(2,3)；(2)[1,2]【解析】【分析】(1)首先将命题p ，q 化简，然后由p q ∧为真可得p ，q 均为真，取交集即可求出实数x 的取值范围；(2)将p ⌝是q ⌝的充分不必要条件转化为p 是q 的必要不充分条件，进而将问题转化为(2,3)(,3)a a ⊂≠，从而求出实数a 的取值范围．【详解】(1)若命题p 为真，则22430x ax a -+->，解得3(0)a x a a <<>，当1a =时，命题:13p x <<，若命题q 为真，则(2)(3)0x x --<，解得23x <<，所以:23q x ，因为p q ∧为真，所以p ，q 均为真，所以1323x x <<⎧⎨<<⎩，所以23x <<，所以实数x 的取值范围为(2,3)．(2) 因为p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，所以p 是q 的必要不充分条件，所以(2,3)(,3)a a ⊂≠，所以233a a ≤⎧⎨>⎩或233a a <⎧⎨≥⎩，所以12a ≤≤，所以实数a 的取值范围是[1,2]．【点睛】本题主要考查根据真值表判断复合命题中的单个命题的真假，根据充分不必要条件求参数的取值范围，同时考查一元二次不等式的解法，分式不等式的解法．第(2)问关键是将问题等价转化为两个集合间的真包含关系．21.已知椭圆()222210x y a b a b +=>>C 的长轴长为4. （1）求椭圆C 的方程；（2）已知直线:l y kx =C 交于,A B 两点，是否存在实数k 使得以线段AB 为直径的圆恰好经过坐标原点O ？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由.【答案】(1) 2214x y +=；(2) 存在实数k 使得以线段AB 为直径的圆恰好经过坐标原点O ，理由见解析．【解析】【分析】(1)由长轴长为4，可得求出2a =，再结合c e a ==222b a c =-，即可求出21b =，从而求出椭圆C 的方程；(2) 设11(,)A x y ，22(,)B x y ，将直线l 的方程与椭圆C 的方程联立消去y ，利用根与系数的关系求出12x x +，12x x ，再由以线段AB 为直径的圆恰好经过坐标原点O ，可得0OA OB ⋅=，即12120x x y y +=，将12x x +，12x x 整体代入即可求出k ．【详解】(1)因为椭圆C 的长轴长为4，所以24a =，所以2a =，又c e a ==c =2221b a c =-=，所以椭圆C 的方程为2214x y +=． (2)存在实数k 使得以线段AB 为直径的圆恰好经过坐标原点O ．证明：设11(,)A x y ，22(,)B x y ，由2214y kx x y ⎧=⎪⎨+=⎪⎩，得22(41)80k x +++=，因为直线:l y kx =+C 交于,A B 两点，所以222)4(41)864320k k ∆=-⨯+⨯=->，所以2k <-或k >所以12x x +=，122841x x k =+，所以2212121212234(()341k y y kx kx k x x x x k -=++=++=+ 因为以线段AB 为直径的圆恰好经过坐标原点O ，所以OA OB ⊥，所以0OA OB ⋅=，即12120x x y y +=，所以22283404141k k k -+=++，解得2k =±所以存在实数2k =±AB 为直径的圆恰好经过坐标原点O ．【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程及直线与椭圆的位置关系，属于中档题．22.已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的右焦点F ，且椭圆的右顶点P 到F 的距离为3-(1)求椭圆的方程；(2)设直线l 与椭圆交于,A B 两点，且满足PA PB ⊥，求PAB ∆面积的最大值．【答案】(1)2219x y +=；(2)38 【解析】【分析】(1)根据已知条件可得c =3a c -=-222b a c =-，即可求出,a b ，进而求出椭圆的方程；(2) 根据已知条件，利用点斜式设出直线PA ，PB 的方程，与椭圆的方程联立消去y ，利用，求出||PA，||PB，可得422118(1)=98292k kS PA PkBk+++=，再对分母进行配凑为222218(1)9(1)64k kSk k+=++后利用基本不等式，即可求出PAB∆面积的最大值．【详解】(1)由已知得c=3a c-=-3a=，所以2221b a c=-=，所以椭圆的方程为2219xy+=．(2)根据题意可知，直线PA，PB的斜率均存在且不为0，(3,0)P不妨设直线PA的方程为(3)(0)y k x k=->，则直线PB的方程为()13y x k=--，由()22319y k xxy⎧=-⎪⎨+=⎪⎩得2222(9)54(1180)9k x k x k-+-=+，2222(54)4(91)(819)36k k k∆=--+-=，由弦长公式可得2169PAk=+同理可得22661991kPBkk==+⋅+，所以PAB∆的面积为：22222422221118(1)18(1)18(1)2(9)(9)9(1)649829k k k k k kS PA PBk k k kk k+++==+=+++=++22218(1)3=48(1)8k kk k+≤=+，当且仅当23(1)8k k+=，即k=时，PAB∆面积取得最大值38.【点睛】本题主要考查求椭圆的方程，直线与椭圆的位置关系，弦长公式及基本不等式求最值．。

湖南省2019-2020学年高二上学期期中考试数学(理)试题

期中考试高二数学(理科)试卷满分：150分时量：120分钟一、选择题（每小题5分，共60分）1、抛掷两枚骰子各一次，记第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数的差为X，则“X>4”表示试验的结果为()A．第一枚为5点，第二枚为1点B．第一枚大于4点，第二枚也大于4点C．第一枚为6点，第二枚为1点D．第一枚为4点，第二枚为1点2、袋中有大小相同的5只钢球，分别标有1,2,3,4,5五个号码，有放回地依次取出2个球，设两个球号码之和为随机变量X，则X所有可能值的个数是()A．25B．10C．9D．53、已知变量x,y之间满足线性相关关系y 1.3x 1，且x,y之间的相关数据如下表所示：则m=（）x1234A．0.8B．1.8C．0.6D．1.64、在二项式(x21)x5的展开式中，含x4的项y0.1m 3.14的系数是（）A.-10B.10C.-5D.55、从6个盒子中选出3个来装东西，且甲、乙两个盒子至少有一个被选中的情况有（）A．16种B．18种C．22种D．37种9116、根据历年气象统计资料，某地四月份吹东风的概率为，下雨的概率为，既吹东风又3030下雨的概率为830，则在吹东风的条件下下雨的概率为（）A．9882B．C．D．1111957、已知X~B(n,p),E(X)8,D(X) 1.6,则n与p的值分别是（）A．100、0.08 B．20、0.4C．10、0.2D．10、0.81118、甲射击命中目标的概率是，乙命中目标的概率是，丙命中目标的概率是.现在三人234同时射击目标，则目标被击中的概率为()A.32B.43C.47D.5109、正态分布N(μ，σ)，N(μ，σ)，N(μ，σ)(其中σ，σ，σ均大于0)所对应的密度函数111222333123图象如下图所示，则下列说法正确的是()[222①N (μ，σ)111 A．μ最大，σ最大11C．μ最大，σ最大13②N(μ，σ)③N(μ，σ)222333B．μ最大，σ最大33D．μ最大，σ最大3110、某射手射击所得环数的分布列如下:已知的数学78910期望E ()8.9,则y的值()P x0.10.3y A．0.2B．0.4C．0.6D．0.811、假设每架飞机的引擎在飞行中出现故障率为1p，且各引擎是否有故障是独立的，已知4引擎飞机中至少有3引擎正常运行，飞机就可以成功飞行；2引擎飞机要2个引擎全部正常运行，飞机也可以成功飞行，要使4引擎飞机比2引擎飞机更安全，则p的取值范围是（）2 A．(,1)31B．(,1)32C．(0,)31D．(0,)312、一个质点从原点出发，每秒必须向右、或向左、或向上、或向下跳一个单位长度，则此质点在第8秒末到达点P（4,2）的跳法种数是（）A．98B．448C．1736D．196二、填空题（每题5分，共20分）113、若随机变量~B(5,),则D ()314、已知离散型随机变量X的分布列为X0 1 2p141q q2则q的值为_______________15、将5名学生分配到3个不同的社区参加社会实践活动，每个社区至少分配一名学生的方案种数为16、已知(x 2)9a a x a x2a x90129，则(a 3a 5a 7a 9a )135792(2a 4a 6a 8a )24682=三、简答题（第17题10分，其余每题12分，共70分）17、用1、2、3、4、5、6、7这7个数字组成没有重复数字的四位数．（10分）（1）这些四位数中偶数有多少个？（2）能被5整除的有多少个？（3）这些四位数中大于6500的有多少个？22218、某射手每次射击击中目标的概率是23，且各次射击的结果互不影响。

理科高二年级数学上册期中考试卷

理科高二年级数学上册期中考试卷想要学习好就一定不可以偷懒哦，今天小编就给大家分享一下高二数学，希望大家多多参考一下哦高二数学上期中理科联考试题第I卷共60分一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1、若设，则一定有( )A. B. C. D.2、命题“对任意，都有”的否定为 ( ).对任意，都有 .不存在，使得.存在，使得 .存在，使得3、已知x1，x2∈R，则“x1>1且x2>1”是“x1+x2>2且x1x2>1”的( )A.充分且不必要条件B.必要且不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4、等差数列的前项和为，且，，则公差等于 ( ).-2 . -1 . 1 . 25、原点和点(1，1)在直线x+y﹣a=0两侧，则a的取值范围是( )A.0≤a≤2B.026、钝角三角形的面积是，，，则 ( ). 1 . 2 . . 57、在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且b2+c2=a2+bc.若sin B•sin C=sin2A，则△ABC的形状是( )A.钝角三角形B.直角三角形C.等边三角形D.等腰直角三角形8、《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女子善织，日益功，疾，初日织五尺，今一月织九匹三丈(1匹=40尺，一丈=10尺)，问日益几何?”其意思为：“有一女子擅长织布，每天比前一天更加用功，织布的速度也越来越快，从第二天起，每天比前一天多织相同量的布，第一天织5尺，一月织了九匹三丈，问每天增加多少尺布?”若一个月按30天算，则每天增加量为( )A. 尺B. 尺C. 尺D. 尺9、已知满足线性约束条件则的最大值为( )A、 B、 C、 D、10、若是等差数列，首项则使前n项和成立的最大自然数是( )A.2 012B.2 013C.2 014D.2 01511、已知函数f(x)=4x2﹣1，若数列前n项和为Sn，则S2015的值为( )A. B. C. D.12、若两个正实数x，y满足 + =1，且不等式x+A. B. C. D.第Ⅱ卷共90分二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡中的横线上13、在中，角A,B,C所对边长分别为a,b,c，若1. 则c=14、中，角A,B,C成等差数列，则。

山西省太原市2018-2019学年高二上学期期中考试数学试题(解析版)

山西省太原市2018-2019学年高二上学期期中考试数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分。

）1.在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点的坐标为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据关于yOz平面对称，x值变为相反数，其它不变这一结论直接写结论即可．【详解】在空间直角坐标系Oxyz中，点A（1，2，3）关于yOz平面对称的点的坐标为（﹣1，2，3）．故选：A．【点睛】本题考查空间向量的坐标的概念，考查空间点的对称点的坐标的求法，属于基础题．2.由下列主体建筑物抽象得出的空间几何体中为旋转体的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】利用旋转体的定义、性质直接求解．【详解】在A中，主体建筑物抽象得出的空间几何体不为旋转体，故A错误；在B中，主体建筑物抽象得出的空间几何体为旋转体，故B正确；在C中，主体建筑物抽象得出的空间几何体不为旋转体，故C错误；在D中，主体建筑物抽象得出的空间几何体不为旋转体，故D错误．故选：B．【点睛】本题考查旋转体的判断，考查旋转体的定义及性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．3.已知，则直线AB的倾斜角为（）A. 0°B. 90°C. 180°D. 不存在【答案】B【解析】【分析】由直线经过A（0，1），B（0，﹣1）两点，直线AB的斜率不存在，从而能求出直线AB的倾斜角．【详解】∵直线经过A（0，1），B（0，﹣1）两点，∴直线AB的斜率不存在，∴直线AB的倾斜角90°．故选：B．【点睛】本题考查直线的倾斜角的求法，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．4.下列四面体中，直线EF与MN可能平行的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】利用异面直线判定定理可确定A，B错误；利用线面平行的性质定理和过直线外一点有且仅有一条直线与已知直线平行，可判定D错误．【详解】根据过平面内一点和平面外一点的直线，与平面内不过该点的直线异面，可判定A，B中EF，MN异面；D中，若EF∥MN，则过EF的平面与底面相交，EF就跟交线平行，则过点N有两条直线与EF平行，不可能；故选：C．【点睛】此题考查了异面直线的判定方法，线面平行的性质等，难度不大．5.已知点在直线上，若，则直线的斜率为（）A. 2B. ﹣2C.D.【答案】A【解析】【分析】由点A（2，3）在直线11：2x+ay﹣1＝0上，求出直线l1：2x﹣y﹣1＝0，再由l2∥l1，能示出直线l2的斜率．【详解】∵点A（2，3）在直线11：2x+ay﹣1＝0上，∴2×2+3a﹣1＝0，解得a＝﹣1，∴直线l1：2x﹣y﹣1＝0，∵l2∥l1，∴直线l2的斜率k＝2．故选：A．【点睛】本题考查直线的斜率的求法，考查直线与直线平行的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．6.设为三条不同的直线，为三个不同的平面，则下列结论成立的是（）A. 若且，则B. 若且，则C. 若且，则D. 若且，则【答案】C【解析】【分析】在A中，a与c相交、平行或异面；在B中，α与γ相交或平行；在C中，由线面垂直的判定定理得b⊥α；在D 中，a与β相交、平行或a⊂β．【详解】由a，b，c为三条不同的直线，α，β，γ为三个不同的平面，知：在A中，若a⊥b且b⊥c，则a与c相交、平行或异面，故A错误；在B中，若α⊥β且β⊥γ，则α与γ相交或平行，故B错误；在C中，若a⊥α且a∥b，则由线面垂直的判定定理得b⊥α，故C正确；在D中，若α⊥β且a∥α，则a与β相交、平行或a⊂β，故D错误．故选：C．【点睛】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．7.已知圆C的一条直径的端点坐标分别是和，则圆C的方程是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】利用中点公式求得圆心坐标，再求出半径，可得圆C的方程．【详解】圆C的一条直径的端点坐标分别是（4，1）和（﹣2，3），故利用中点公式求得圆心为（1，2），半径为，故圆的方程为（x﹣1）2+（y﹣2）2＝10，故选：C．【点睛】本题主要考查求圆的方程的方法，关键是求出圆心和半径，属于基础题．8.一个长方体由同一顶点出发的三条棱的长度分别为2，2，3，则其外接球的表面积为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用长方体的外接圆直径为体对角线，容易得解．【详解】长方体的外接球直径即为长方体的体对角线，由题意，体对角线长为：，外接球的半径R＝，＝17π，故选：B．【点睛】此题考查了长方体的外接球面积，属容易题．一般外接球需要求球心和半径，首先应确定球心的位置，借助于外接球的性质，球心到各顶点距离相等，这样可先确定几何体中部分点组成的多边形的外接圆的圆心，过圆心且垂直于多边形所在平面的直线上任一点到多边形的顶点的距离相等，然后同样的方法找到另一个多边形的各顶点距离相等的直线（这两个多边形需有公共点），这样两条直线的交点，就是其外接球的球心，再根据半径，顶点到底面中心的距离，球心到底面中心的距离，构成勾股定理求解，有时也可利用补体法得到半径，例：三条侧棱两两垂直的三棱锥，可以补成长方体，它们是同一个外接球.9.已知满足不等式组，则的最大值为（）A. 12B. 16C. 18D. 20【答案】B【解析】【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z的最大值．【详解】作出x，y满足不等式组对应的平面区域，由z＝5x+2y，得y＝x+z，平移直线y＝x+z，由图象可知当直线y＝x+z，经过点B时，直线y＝x+z的截距最大，此时z最大．由，得A（2，3），此时z的最大值为z＝5×2+2×3＝16，故选：B．【点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．利用线性规划求最值的步骤：(1)在平面直角坐标系内作出可行域．(2)考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形．常见的类型有截距型（型）、斜率型（型）和距离型（型）．(3)确定最优解：根据目标函数的类型，并结合可行域确定最优解．(4)求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值。

2019_2020学年深圳市高级中学高中部高二上学期期中数学试卷及答案版

A向右平移芒3 个单位长度 C. 向左平移巴6 个单位长度
B. 向右平移竺个单位长度 D. 向左平移？3 个单位长度
;l ,
如图，正方体ABCD
-
A1B1C1趴的棱长为a,M、N分别为A1B和AC上的点，A
1
M〉
1 -------+
= -A
3
1
B
,
---+ 1----+
AN=-AC I 则MN与平面BB1C1C的位置关系是（）．
A. - 1X020 +- 9y12 =1
B.
L+
100
兰
91
=1
c 邑25 十兰16 =1
巴2 25
＋
1ly
2 6
＝
1
设向量r1
=
-+
(3, 邓），b为单位向量，且
d//=
(
).
A (享， — 严(— 享，；） C. (-享，书
B. (卢）
D. (古）或（－亨分）
力，．已知函数!(工）是偶函数，当兀 >0时，!(兀）＝咬，则下列函数在区间(—oo,O) 上与函数!(工）的单调
角为（）． B
A. 30°
B. 45°
C. 60°
C1 D. 90°
在!::::.ABC中，A=巴，AB=3y13,AC=3,D在边BC上，且CD=2DB,则AD= ( ) .
6
A. 2-/7
B. yl2I
C. 5
D湿
第2页（共5页）
— 设椭圆mX 2 + — y4 =1 (m2 > 4)与双曲线—22 -— y42 =1在第一象限的交点为T I Fi I 凡为其共同的左

北京市海淀区中关村中学2018-2019学年高二上学期期中考试数学(理)试题Word版含解析

北京市海淀区中关村中学2018-2019学年上学期期中考试高二数学（理）试题一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，每题只有一个正确答案，请将正确答案的序号涂在答题卡上）1．线段AB 在平面α内，则直线AB 与平面α的位置关系是（）．A ．AB α⊂B ．AB α⊄C ．线段AB 的长短而定D ．以上都不对【答案】A【解析】∵线段AB 在平面α内， ∴直线AB 上所有的点都在平面α内，∴直线AB 与平面α的位置关系是：直线AB 在平面α内，即AB α⊂，故选A ．2．如图，1111ABCD A B C D -为正方体，下列结论错误．．的是（）．DABC C 1D 1B 1A 1A ．BD ∥平面11CB D B ．1AC BD ⊥C ．1AC ⊥平面11CB DD ．异面直线AD 与1CB 角为60︒【答案】D【解析】异面直线AD 与CB 所成的角为45︒，所以结论错误，故选D ．3．ABC △的斜二侧直观图如下图所示，则ABC △的面积为（）．A ．1B ．2CD ．以上都不对【答案】B【解析】根据斜二测画法的原则可知：ABC △为直角三角形，底为2，高为2，所以面积是2，故选B ．4．下列说法正确的是（）．A ．a b ∥，b a αα⊂⇒∥B ．a b ⊥，b a αα⊂⇒⊥C ．a α⊥，b a b α⊥⇒∥D ．αβ⊥，a a βα⊂⇒⊥【答案】C【解析】由线面垂直的性质定理可知：a α⊥，b α⊥，则a b ∥，故选C ．5．已知三棱锥的主视图与俯视图如图所示，俯视图是边长为2的正三角形，则该三棱锥的左视图可能是（）．俯视图主视图2211A ．1122 B ．32 C ．22D ．22【答案】B【解析】根据正视图和俯视图，作出该三棱锥的几何直观图，如图所示，223O DABC则侧视图为直角三角形，且底边边长为||AD =，高为||2OC =，故选B ．6．把正方形ABCD 沿对角线AC 折起，当以A ，B ，C ，D 四点为顶点的三棱锥体积最大时，直线BD 和平面ABC 所成的角的大小为（）．A ．90︒B ．60︒C ．45︒D ．30︒【答案】C【解析】DACO折叠后的三棱锥如图，易知当平面ACD 垂直于平面ABC 时三棱锥的体积最大，设AC 的中点为O ，则DBO ∠即为所求，而DOB △是等腰直角三角形，所以45DBO ∠=︒，故选C ．7．如下图所示，已知A ，B ，C 三点不共线，P 为平面ABC 内一定点，O 为平面ABC 外任一点，则下列能表示向量OP 的为（）．A BCOPA ．22OA OB OC ++ B ．32OA AB AC -- C ．23OA AB AC +-D ．32OA AB AC +-【答案】D【解析】以AP 为对角线，以AB ，AC 所在直线为邻边做平行四边形，则32AP AB AC =-，∴32OP AP AO AB AC OA =-=-+，故选D ．8．如下图在直三棱柱111ABC A B C -中，π2BAC ∠=，11AB AC AA ===，已知G 与E 分别为11A B 和1CC 的中点，D 与F 分别为线段AC 和AB 上的动点（不包括端点），若GD EF ⊥，则线段DF 长度的取值范围为（）．DGABC EFC 1B 1A 1A．⎫⎪⎭B．⎣⎦C．D．【答案】A【解析】建立如图所示的空间直角坐标系，则(0,0,0)A ，10,1,2E ⎛⎫ ⎪⎝⎭，1,0,12G ⎛⎫⎪⎝⎭，(,0,0)F x ，(0,,0)D y ．∵GD EF ⊥，∴210x y +-=，∴DF∵01x <<，01y <<， ∴102y <<， ∴当25y =时，线段DF，当0y =时，线段DF 长度的最大值是1，（因为不包括端点，故0y =不能取，即DF 长度不能等于1），故线段DF的长度的取值范围是：⎫⎪⎭，故选A ．二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．请把结果填在答题纸中）9．已知αβ⊥，平面α与平面β的法向量分别为m ，n ，且(1,2,5)m =-，(3,6,)n z =-，则z =__________．【答案】3【解析】∵αβ⊥，且平面α与平面β的法向量分别为m ，n ， ∴(1,2,5)(3,6,)31250m n z z ⋅=--=--+=，解得：3z =．10．已知正四棱锥V ABCD -的底面面积为16，一条侧棱长为，则它的斜高．．为__________．【答案】6【解析】设VO 为正四棱锥V ABCD -的高，连接OB ，则VO OB ⊥，VD ABCO∵底面正方形ABCD 的面积为16， ∴4BC =，OB =又∵VB =∴6VO =， ∴正四棱锥V ABCD -的高为6．11．若一个圆锥的底面半径为1，侧面积是底面积的2倍，则该圆锥的体积为__________．【解析】设圆锥的母线长为l ，∵2ππS r ==底，【注意有文字】∴π2πS rl ==侧，【注意有文字】 ∴2l =，∴圆锥的高h∴圆锥的体积11π33V S h ==⨯底．【注意有文字】12．若一个底面是正三角形的三棱柱的主视图如下图所示，则其表面积等于__________．【答案】6+【解析】由题意知三棱柱的底面是一个边长为2的正三角形，侧棱长是1，且侧棱与底面垂直，∴三棱柱的表面积是：12232162⨯⨯⨯⨯=+13．二面角的棱上有A 、B 两点，直线AC 、BD 分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB ．已知4AB =，6AC =，8BD =，CD =__________．DA BC【答案】60︒【解析】E CBA D如图，过点B 作BE AC ∥，使得BE AC =，连接CE ，DE ，则四边形ABEC 为平行四边形， ∴6BE AC ==，BE AB ⊥，CE AB ∥，CE AB =，而BD AB ⊥，∴DBE ∠即是二面角AB αβ--的平面角， ∵BE AC ∥，AC AB ⊥，BD AB ⊥，CE AB ∥， ∴BE CE ⊥，BD CE ⊥， ∴CE ⊥平面BDE ， ∴CE DE ⊥，在Rt CDE △中，4CE AB ==，CD =∴DE ==在BDE △中，2221cos 22BE BD DE DBE BE BD +-∠==⋅，∴60DBE ∠=︒，故该二面角的大小为60︒．14．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，P 为BC 的中点，Q 为线段1CC 上的动点，过点A ，P ，Q 的平面截该正方体所得的截面为S ，则下列命题正确的是__________（写出所有正确命题的编号）．A 1①当102CQ <<时，S 为四边形；②当12CQ =时，S 为等腰梯形；③当34CQ =时，S 与11C D 的交点R 满足114C R =；④当314CQ <<时，S 为五边形； ⑤当1CQ =时，S．【答案】①②④ 【解析】①项，12CQ =时，S 为APQD ，而102CQ <<时，线段1DD 上同理，存在一点，与PQ 平行，此时，S 为四边形，且是梯形，故命题①为真；M Q P D 1C 1A 1B 1CB AD②项，1AP D Q =，1AD PQ ∥，1APQD 是等腰梯形，故命题②为真；③项OQPD 1C 1A 1B 1C B AD当34CQ =时，如图所示，0AP DC =， ∵点P 是BC 的中点，∴CO CD AB ==， ∴1113C R C Q CO QC ==， ∴S 与11CD 的交点R 满足113C R =，故命题③为假．④项，如图所示，S 为五边形，故命题④为真；QP D 1C 1A 1B 1CB AD⑤项，如图所示，S2=， DAB C B 1A 1C 1D 1PQ故命题⑤为假．综上所述，命题正确的是：①②④．三、解答题（本大题共3小题，共30分，写出必要的解答过程） 15．已知向量(2,1,2)a =--，(1,1,4)b =-．（I ）计算23a b -和23a b -．（II ）求,a b ．【答案】见解析【解析】解：（I ）232(2,1,2)3(1,1,4)(4,2,4)(3,3,12)(1,5,8)a b -=----=----=-．2|23|1(a b -=+=（2）cos ,||||33a b a b a b ⋅===⨯，又[],0,πa b ∈，故π,4a b =．16．如图，四棱锥P ABCD -的底面是边长为1的正方形，侧棱PA ⊥底面ABCD ，且2PA =，E 是侧棱PA 上的动点．A BCPE（I ）如果E 是PA 的中点，求证PC ∥平面BDE ．（II ）是否不论点E 在侧棱PA 的任何位置，都有BD CE ⊥？证明你的结论．【答案】见解析【解析】OECBA（1）证明：连接AC 交BD 于O ，连接EO ， ∵四边形ABCD 是正方形， ∴O 是AC 的中点，又∵E 是PA 的中点， ∴PC OE ∥，∵PC ⊄平面BDE ，OE ⊂平面BDE ， ∴PC ∥平面BDE ．（2）不论点E 在何位置，都有BD CE ⊥，证明如下： ∵四边形ABCD 是正方形， ∴BD AC ⊥，∵PA ⊥底面ABCD ，且BP ⊂平面ABCD ， ∴BD PA ⊥，又∵ACPA A =，∴BD ⊥平面PAC ，∵不论点E 在何位置，都有CEC 平面PAC ， ∴不论点E 在何位置，都有BD CE ⊥．17．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是菱形，且120ABC ∠=︒，点E 是棱PC 的中点，平面ABE 与棱PD 交于点F ．D ABC EF P（1）求证：AB EF ∥．（2）若2PA PD AD ===，且平面PAD ⊥平面ABCD ，求①二面角E AF D --的锐二面角的余弦值．②在线段PC 上是否存在一点H ，使得直线BH 与平面AEF 所成角等于60︒，若存在，确定H 的位置，若不存在，说明理由．【答案】见解析【解析】（1）证明：∵AB CD ∥，CD ⊂平面PCD ，AB ⊄平面PCD ， ∴AB ∥平面PCD ，又∵AB ⊂平面ABEF ，且平面ABEF 平面PCD EF =，∴AB EF ∥，（2）①取AD 的中点O ，连接PO ，OB ，BD ， ∵ABCD 是菱形，且120ABC ∠=︒，PA PD AD ==， ∴ABD △，PAD △是等边三角形， ∴PO AD ⊥，OB AD ⊥，又平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD 平面ABCD AD =，PO ⊂平面PAD ，∴PO ⊥平面ABCD ，以O 为原点，以OB ，OD ，OP 为坐标轴建立空间坐标系O xyz -，则：(0,1,0)A =-，(0,1,0)D，P，B，C，E ⎝⎭，10,2F ⎛ ⎝⎭．30,2AF ⎛= ⎝⎭，1,02EF ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭，设平面AEF 的法向量为(,,)n x y z =，则： 00n AF n EF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，∴302102y y ⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，令1x =得：(1,3,3)n =-； ∵OB ⊥平面PAD ，∴(3,0,0)OB =为平面PAD 的一个法向量．∴cos ,||||13OB n OB n OB n ⋅===故二面角E AF D -- ②假设PC 上存在点H 便得直线BH 与平面AEF 所成角等于60︒，则BH 与n 所成夹角为30︒，设(,2)(01)CH CP λλλ==-≤≤，则：(,22)BH BC CH λ=+=-，cos ,||||13BH n BH n BH n ⋅===，化简得：2191260λλ--=，解得：λλ， ∴线段PC 上存在一点H ，使得直线BH 与平面AEF 所成的角等于60︒．。

上学期数学高二年级期中试题

上学期数学高二年级期中试题大家在学习的时候一定要结合题目来学习哦，今天小编就给大家分享一下高二数学，有喜欢的一起来参考一下吧高二数学上学期期中试卷阅读一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.过点，斜率是3的直线的方程是( )A. B. C. D.2.在正方体中，若是的中点，则直线垂直于( )A. B. C. D.3.在同一直角坐标系中，表示直线与正确的是( )A B C D4.若有直线、和平面、，下列四个命题中，正确的是( )A.若，，则B.若，，，，则C.若，，则D.若，，，则5.直线与的交点坐标为( )A. B. C. D.6.一个棱长为1的正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A. B. C. D.7.两圆和的位置关系是( )A. 相交B. 内切C. 外切D. 外离8.P、Q分别为与上任一点，则的最小值为( )A. B. C. 3 D. 69.已知，若直线过点与线段有公共点，则直线的斜率的取值范围是( )A. B. C. D.10圆上的点到直线的距离的最大值是( )A. B. C. D.11.正方体的全面积为,它的顶点都在球面上，则这个球的表面积是( )A. B. C. D.12.过点引直线与曲线交于A，B两点，O为坐标原点，当△AOB 的面积取最大值时，直线的斜率等于( )A. B. C. D.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.)13.直线过定点，定点坐标为.14.如图，正方形O'A'B'C'的边长为1，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的面积是.15.已知 , .16.将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角A-BD-C，下面四个结论：(1)AC⊥BD;(2)△ACD是等边三角形;(3)二面角B-AC-D的余弦值为 ;(4)AB与CD所成的角为60°.则正确结论的序号为.三、解答题(本大题共6小题，共75分，解答时应写出文字说明、证明过程或解题步骤)17.(本小题满分10分)已知两直线，当为何值时，(1)直线∥ ;(2)直线 .18.(本小题满分12分)如图，直三棱柱中，，∠ACB=90°，AA1= ，D，F 分别是A1B1、BB1中点.(1)求证：C1D⊥AB1 ;(2)求证：AB1⊥平面C1DF.19.(本小题满分12分)如图1，在四棱锥中，底面，面为正方形，为侧棱上一点，为上一点.该四棱锥的正(主)视图和侧(左)视图如图2所示.(1)证明：∥平面 ;(2)证明：平面平面 .20.(本小题满分12分)已知圆的圆心坐标，直线：被圆截得弦长为.(1)求圆的方程;(2)从圆外一点向圆引切线，求切线方程.21. (本小题满分12分)如图，在直三棱柱中，是上的一点，，且.(1)求证：平面;(2)若，求点到平面的距离.22.(本小题满分12分)已知直线：，半径为4的圆与直线相切，圆心在轴上且在直线的右上方.(1)求圆C的方程;(2)过点M (2，0)的直线与圆C交于A，B两点(A在轴上方)，问在轴正半轴上是否存在定点N，使得轴平分∠ANB?若存在，请求出点N的坐标;若不存在，请说明理由.高二数学答案一、选择题1-5 DBADD 6-10 DBCCB 11-12 BA二、填空题13、(0，-3) 14、 15、 16、(1)(2)(4)三、解答题17.解、(1)若l1∥l2，则……4分解之得m=-1.……5分(2)若l1⊥l2，则1•(m-2)+3m=0，……9分∴m= .……10分18. (1)证明：如图，∵ ABC—A1B1C1是直三棱柱，∴ A1C1=B1C1=1，且∠A1C1B1=90°.又 D是A1B1的中点，∴ C1D⊥A1B1. ………3分∵ AA1⊥平面A1B1C1，C1D 平面A1B1C1，∴ AA1⊥C1D，∴ C1D⊥平面AA1B1B.∴C1D⊥AB1 ………6分(2)证明：连结A1B，∵D，F分别是A1B1，BB1的中点，∴DF∥A1B.又直角三角形A1B1C1中，A1B12= A1C12+ B1C12，∴A1B1= ，∴A1B1= AA1，即四边形AA1B1B为正方形，∴A1B⊥AB1，即AB1⊥DF ………9分又(1)已证C1D⊥平面AA1B1B，∴C1D⊥AB1 ………10分又DF C1D=D，∴AB1⊥平面C1DF. ………12分19.解(1)证明：取中点，连结，. ………1分由正(主)视图可得为的中点，所以∥ ，.……2分又因为∥ ，，所以∥ ， .所以四边形为平行四边形，所以∥ . ………………4分因为平面，平面，所以直线∥平面. ………………6分(2)证明：因为平面，所以 .因为面为正方形，所以 .所以平面.……………8分因为平面，所以 .因为，为中点，所以 .所以平面.……10分因为∥，所以平面. ………………11分因为平面，所以平面平面. ………………12分20.解(1)设圆的标准方程为：圆心到直线的距离：，………2分则………4分圆的标准方程：………6分(2)①当切线斜率不存在时，设切线：，此时满足直线与圆相切.………7分②当切线斜率存在时，设切线：，即………8分则圆心到直线的距离：………9分解得：………10分则切线方程为：………11分综上，切线方程为：………12分21.解(1)如图，连接，交于点，再连接，………1分据直棱柱性质知，四边形为平行四边形，为的中点………2分，∵当时，，∴是的中点，∴，………3分又平面，平面，∴平面.………4分(2)∵是中点，∴点到平面与点到平面距离相等，∵平面，∴点到平面的距离等于点到平面的距离，即等于点到平面距离相等，设距离为d.………6分………8分………12分22.解(1)设圆心，………1分则.………3分所以圆C的方程为x2+y2=16. ………4分(2)当直线AB⊥x轴时，x轴平分∠ANB.………5分当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y=k(x-2)， (6)分假设符合题意，又设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得(k2+1) x2-4k2x+4k2-16=0，………7分所以………8分若x轴平分∠ANB，则kAN=-kBN ………9分即⇒2x1x2-(t+2)(x1+x2)+4t=0………11分所以存在点N为(8，0)时，能使得∠ANM=∠BNM总成立.………12分第一学期高二数学考试试卷题一. 选择题(共12小题，60分)1.在空间直角坐标系中，已知M(﹣1，0，2)，N(3，2，﹣4)，则MN的中点P到坐标原点O的距离为( )A. B. C.2 D.32.已知集合A={(x，y)|y=5x}，B={(x，y)|x2+y2=5}，则集合A∩B中元素的个数为( )A.0B.1C.2D.33.设a，b是空间中不同的直线，α，β是不同的平面，则下列说法正确的是( )A.a∥b，b⊂α，则a∥αB.a⊂α，b⊂β，α∥β，则a∥bC.a⊂α，b⊂α，b∥β，则a∥βD.α∥β，a⊂α，则a∥β4.如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为( )A.20πB.24πC.28πD.32π5.一个水平放置的三角形的斜二侧直观图是等腰直角三角形A′B′O′，若O′B′=1，那么原△ABO的面积是( )A. B.C. D.6.在下列图形中，G、H、M、N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH、MN是异面直线的图形有( )A.1个B.2个C.3个D.4个7.已知等比数列{an}中，各项都是正数，且，，成等差数列，则等于( )A.6B.7C.8D.98.下列函数在其定义域上既是奇函数又是减函数的是( )A.f(x)=﹣x|x|B.f(x)=log0.5xC.f(x)=﹣tanxD.f(x)=3x9.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0，|φ|< )的图象如图所示，则tanφ=()A. B.C. D.10.已知函数f(x)的部分图象如图所示，则该函数的解析式可能是( )A.f(x)=B.f(x)=C.f(x)=D.f(x)=11.在三棱锥P﹣ABC中，△ABC为等边三角形，PA⊥平面ABC，且PA=AB，则二面角A﹣PB﹣C的平面角的正切值为( )A. B. C. D.12.已知Rt△ABC中，∠A=90°，AB=2，BC=4，若AM是BC边上的高，垂足为M，点P在△ABC内部或边界上运动，则的取值范围是( )A.[﹣4，0]B.[﹣3，0]C.[﹣2，0]D.[﹣1，0]二. 填空题(共4小题，20分)13.已知数列{an}的前n项和Sn=n2+n，那么它的通项公式为an= .14.若x>0，y>0，且log2x+log2y=2，则的最小值为.15.如图，四边形ABCD中 .将四边形ABCD沿对角线BD折成四面体A'﹣BCD，则四面体A'﹣BCD体积的最大值为.16.如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1，则下列四个命题：①P在直线BC1上运动时，三棱锥A﹣D1PC的体积不变;②P在直线BC1上运动时，直线AP与平面ACD1所成角的大小不变;③P在直线BC1上运动时，二面角P﹣AD1﹣C的大小不变;④M是平面A1B1C1D1上到点D和C1距离相等的点，则M点的轨迹是过D1点的直线;其中正确的命题编号是.三. 解答题(共6小题，70分)17.(10分)已知三角形ABC的顶点坐标为A(0，3)，B(﹣2，1)，C(4，3)，M是BC边上的中点.(1)求BC边的中线所在的直线方程;(2)求点C关于直线AB对称点C’的坐标.18.(12分)已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，半径为2.(1)设圆锥的母线长为4，求圆锥的体积;(2)设PO=4，OA、OB是底面半径，且∠AOB=90°，M为线段AB的中点，如图.求异面直线PM与OB所成的角的正切值.19.(12分)锐角△ABC中内角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量，，且∥ .(1)求B的大小;(2)如果b=2，求△ABC的面积S△ABC的最大值.20.(12分)如图，已知AA1⊥平面ABC，BB1∥AA1，AB=AC=3，BC= ，AA1= ，BB1= ，点E和F分别为BC和A1C的中点.(1)求证：EF∥平面A1B1BA;(2)求证：平面AEA1⊥平面BCB1;(3)求直线A1B1与平面BCB1所成角的大小.21.(12分)已知过点A(0，1)且斜率为k的直线l与圆C：交于点M、N两点.(1)求k的取值范围;(2)若，其中O为坐标原点，求|MN|.22.(12分)已知函数y=f(x)，x∈D，如果对于定义域D内的任意实数x，对于给定的非零常数m，总存在非零常数T，恒有f(x+T)>m•f(x)成立，则称函数f(x)是D上的m级类增周期函数，周期为T.若恒有f(x+T)=m•f(x)成立，则称函数f(x)是D上的m级类周期函数，周期为T.(1)试判断函数是否为(3，+∞)上的周期为1的2级类增周期函数?并说明理由;(2)已知T=1，y=f(x)是[0，+∞)上m级类周期函数，且y=f(x)是[0，+∞)上的单调递增函数，当x∈[0，1)时，f(x)=2x，求实数m的取值范围.参考答案1-6 ACDCCB 7-12DACCAB13. 2n 14. 15. 16. ①③④17.解：(1)x+y-3=0(2)设点C关于直线AB对称点C′的坐标为(a，b)，则AB为线段CC′的垂直平分线，由直线AB的方程为：x﹣y+3=0，故，解得：a=0，b=7，即点C关于直线AB对称点C′的坐标为C’(0，7)18.解：(1)∵圆锥的顶点为P，底面圆心为O，半径为2，圆锥的母线长为4，∴圆锥的体积V= == .(2)19.解：(1)∵ =(2sinB，﹣ )， =(cos2B，2cos2 ﹣1)且∥ ，∴2sinB(2cos2 ﹣1)=﹣ cos2B，∴2sinBcosB=﹣ cos2B，即sin2B=﹣ cos2B，∴tan2B=﹣，又B为锐角，∴2B∈(0，π)，∴2B= ，则B= ;(2)当B= ，b=2时，由余弦定理cosB= 得：a2+c2﹣ac﹣4=0，又a2+c2≥2ac，代入上式得：ac≤4(当且仅当a=c=2时等号成立)，∴S△ABC= acsinB= ac≤ (当且仅当a=c=2时等号成立)，则S△ABC的最大值为 .20.(1)证明：连接A1B，在△A1BC中，∵E和F分别是BC和A1C的中点，∴EF∥A1B，又∵A1B⊂平面A1B1BA，EF⊄平面A1B1BA，∴EF∥平面A1B1BA;(2)证明：∵AB=AC，E为BC中点，∴AE⊥BC，∵AA1⊥平面ABC，BB1∥AA1，∴BB1⊥平面ABC，∴BB1⊥AE，又∵BC∩BB1=B，∴AE⊥平面BCB1，又∵AE⊂平面AEA1，∴平面AEA1⊥平面BCB1;(3)取BB1中点M和B1C中点N，连接A1M，A1N，NE，∵N和E分别为B1C和BC的中点，∴NE平行且等于 B1B，∴NE平行且等于A1A，∴四边形A1AEN是平行四边形，∴A1N平行且等于AE，又∵AE⊥平面BCB1，∴A1N⊥平面BCB1，∴∠A1B1N即为直线A1B1与平面BCB1所成角，在△ABC中，可得AE=2，∴A1N=AE=2，∵BM∥AA1，BM=AA1，∴A1M∥AB且A1M=AB，又由AB⊥BB1，∴A1M⊥BB1，在RT△A1MB1中，A1B1= =4，在RT△A1NB1中，sin∠A1B1N= = ，∴∠A1B1N=30°，即直线A1B1与平面BCB1所成角的大小为30°21.(1)由题意可得，直线l的斜率存在，设过点A(0，1)的直线方程：y=kx+1，即：kx﹣y+1=0.由已知可得圆C的圆心C的坐标(2，3)，半径R=1.故由 <1，故当(2)设M(x1，y1);N(x2，y2)，由题意可得，经过点M、N、A的直线方程为y=kx+1，代入圆C 的方程(x﹣2)2+(y﹣3)2=1，可得 (1+k2)x2﹣4(k+1)x+7=0，∴x1+x2= ，x1•x2= ，∴y1•y2=(kx1+1)(kx2+1)=k2x1x2+k(x1+x2)+1= •k2+k• +1= ，由• =x1•x2+y1•y2= =12，解得 k=1，故直线l的方程为 y=x+1，即 x﹣y+1=0.圆心C在直线l上，MN长即为圆的直径.所以|MN|=2.22.解：(1)∵(x+1﹣1)﹣(x﹣1)2=﹣(x2﹣3x+1)<0，即)(x+1﹣1)<(x﹣1)2，∴ > ，即 >2 ，即 f(x+1)>2f(x)对一切x∈(3，+∞)恒成立，故函数f(x)= 是(3，+∞)上的周期为1的2级类增周期函数.(2)∵x∈[0，1)时，f(x)=2x，∴当x∈[1，2)时，f(x)=mf(x﹣1)=m•2x﹣1，…当x∈[n，n+1)时，f(x)=mf(x﹣1)=m2f(x﹣2)=…=mnf(x﹣n)=mn•2x﹣n，即x∈[n，n+1)时，f(x)=mn•2x﹣n，n∈N*，∵f(x)在[0，+∞)上单调递增，∴m>0且mn•2n﹣n≥mn﹣1•2n﹣(n﹣1)，即m≥2.高二上学期数学期中试题试卷第Ⅰ卷(选择题，共40分)一、选择题:在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知数列则是它的(A)第项 (B)第项 (C)第项 (D)第项2.已知命题，命题，则命题是命题成立的(A)充分必要条件 (B)充分不必要条件(C)必要不充分条件 (D)既不充分也不必要条件3.已知椭圆的两个焦点是，过点的直线交椭圆于两点，在中，若有两边之和是，则第三边的长度为(A)3 (B)4 (C)5 (D)64.已知是单调递增的等比数列，满足，则数列的前项和(A) (B)(C) (D)5.已知椭圆的两个焦点为，点在椭圆上，是直角三角形，则的面积为(A) (B) 或4 (C) (D) 或46.已知，且，则的最小值为(A)100 (B)10 (C)1 (D)7.已知双曲线的右焦点为，点在双曲线的渐近线上，是腰长为的等腰三角形( 为原点)，，则双曲线的方程为(A) (B)(C) (D)8.设椭圆的左、右焦点分别为，点在椭圆的外部，点是椭圆上的动点，满足恒成立，则椭圆离心率的取值范围是(A) (B) (C) (D)第Ⅱ卷(非选择题，共110分)二、填空题:本大题共6小题，每小题5分，共30分.9.设等差数列的前项和为，若，则 __________.10.已知数列满足，且，则 __________.11.设直线与双曲线相交于两点，分别过向轴作垂线，若垂足恰为双曲线的两个焦点，则实数 __________.12.已知，且，则的最小值为___________.13.已知数列满足，，，则 _______.14.已知椭圆与双曲线有公共焦点，为与的一个交点，，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，若，则 _______.三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(本小题满分13分)解关于的不等式 .16.(本小题满分13分)已知数列满足，且 .(Ⅰ)求证：数列是等比数列，并求的通项公式;(Ⅱ)求数列的前项和.17.(本小题满分13分)设各项均为正数的数列满足 .(Ⅰ)求的通项公式;(Ⅱ)设，，求的前n项和 .18.(本小题满分13分)已知椭圆的长轴长为，点在椭圆上.(Ⅰ)求椭圆的方程.(Ⅱ)设斜率为的直线与椭圆交于两点，线段的垂直平分线与轴交于点，且点的横坐标取值范围是，求的取值范围.19.(本小题满分14分)已知椭圆的右焦点为，离心率为 .(Ⅰ)求椭圆的方程;(Ⅱ)设直线与椭圆有且只有一个交点，且与直线交于点，设，且满足恒成立，求的值.20.(本小题满分14分)已知数列的前项和为，，且，为等比数列， .(Ⅰ)求和的通项公式;(Ⅱ)设，数列的前项和为，若对均满足，求整数的最大值.2018～2019学年度第一学期期中七校联考高二数学参考答案第Ⅰ卷(选择题，共40分)一、选择题:在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.第Ⅱ卷(非选择题，共80分)二、填空题:本大题共6小题，每小题5分，共30分.9.6 10. 11. 12. 13. 4 14.三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(本小题满分13分)解：(1)当时，有，即 (2)(2)当时， .①当，即时，. (4)②当，即时，且 (6)③当，即时，方程两根，，且，所以或 (9)综上，关于的不等式的解集为：当时，解集为当时，解集为且当时，解集为或当时，解集为 (13)16.(本小题满分13分)解：(Ⅰ)证明：由已知得，所以数列是等比数列， (2)公比为2，首项为所以 (4)(Ⅱ)数列的前项和即记，，则 (5)(1)(2)(1)-(2)得 (6) (8) (9) (11)所以数列的前项和 (13)17.(本小题满分13分)解：(Ⅰ)由题设知 . (1)当时，有 (3)整理可得因为数列各项均为正数， (5)所以数列是首项为1，公差为2的等差数列，所以的通项公式为 . (6)(Ⅱ)由， (9)所以 (11). (13)18.(本小题满分13分)解：(Ⅰ)椭圆的长轴长为4，则所以， (1)因为点在椭圆上，所以，所以. (3)故椭圆的标准方程为. (4)(Ⅱ)设直线的方程为，设，的中点为，由消去，得， (6)所以即 (7)，故，,即 (9)所以线段的垂直平分线方程为， (10)故点的横坐标为，即所以符合式 (11)由 (12)所以 (13)19.(本小题满分14分)解：(Ⅰ)设椭圆的焦距为，由已知有 ,又由，得，故椭圆的标准方程为. (3)(Ⅱ)由消去得， (5)所以，即. (6)设，则，即. (8)因为，所以 (9)由恒成立可得，即恒成立， (11)故 (13)所以 . (14)20.(本小题满分14分)解：(Ⅰ)由题设知 .当时，有 (1)整理得 (2)故 (4)经检验时也成立，所以的通项公式为. (5)设等比数列的公比为 .由，可得，所以，故所以的通项公式为. (7)(Ⅱ)因为 (9) (11)因为所以，即单调递增 (12)故 (13)即，所以. (14)。

黑龙江省伊春市伊美区第二中学2019-2020学年高二上学期期中考试数学(理)试题含答案

黑龙江省伊春市伊美区第二中学2019-2020学年高二上学期期中考试数学（理）试题含答案伊美区二中2019—2020学年度第一学期第二阶段（期中）考试高二数学(理）试题(考试时间120分钟,满分150分）一选择题(60分，每题5分）1、在复平面内，复数z＝＋i3所对应的点位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2、如果命题“p q∧”是假命题，“p⌝”是真命题，那么( ）A．命题p一定是真命题B．命题q一定是真命题C．命题q一定是假命题D．命题q可以是真命题也可以是假命题3 、“240x>”的（）x x->”是“4A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要4、已知点A(1，2），B（2,1），则线段AB的垂直平分线的方程是（）A．x＋y－3＝0 B．x－y＋1＝0 C．x－y＝0 D．x＋y ＝05、命题“∀x∈R，｜x|＋x2≥0”的否定是(）A．∀x∈R,｜x｜＋x2＜0 B．∀x∈R,｜x｜＋x2≤0C．∃x0∈R，|x0｜＋x＜0 D．∃x0∈R,|x0｜＋x≥06、焦点在x轴上，长、短半轴长之和为10，焦距为4,则椭圆的方程为（）A．＋＝1 B．＋＝1 C．＋＝1 D．＋＝1 7、已知抛物线x2＝4y上的一点M到此抛物线的焦点的距离为2,则点M的纵坐标是(）A．0 B．C．1 D．28、已知双曲线－y2＝1(a〉0）的右焦点与抛物线y2＝8x的焦点重合，则此双曲线的渐近线方程是（）A．y＝±x B．y＝±x C．y＝±x D．y＝±x9、若直线:40-+=被圆222l x y-+-=截得的弦长为4，则(1)(3)C x y r:圆C的半径为( )A．2B．2 C．6D．610、设F1，F2分别是双曲线x2－＝1的左、右焦点,P是双曲线上的一点，且3|PF1｜＝4|PF2|，则△PF1F2的面积等于(）A．4B．8C．24 D．4811.已知椭圆的方程是x2＋2y2－4＝0，则以M（1，1)为中点的弦所在直线的方程是()A．x＋2y－3＝0 B．2x＋y－3＝0 C．x－2y＋3＝0 D．2x －y＋3＝012。

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2019学年度高二第一学期中期考试题（卷）数学（理科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟. 请将答案填在答题卡上.第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．某校高中生共有900人，其中高一年级300人，高二年级200人，高三年级400人，现采用分层抽样抽取一个容量为45的样本，那么高一、高二、高三各年级抽取人数分别为（）A ．15,5,2B ．15,15,15C ．10,5,30D ．15,10,20 2．已知5件产品中有2件次品，其余为合格品，现从这5件产品中任取2件，恰有一件次品的概率为( )A ．0.4B ．0.6C ．0.8D ．13．已知命题:p x ∀∈R ，sin 1x ≤，则（）A ．:p x ⌝∃∈R ，sin 1x ≥B ．:p x ⌝∀∈R ，sin 1x ≥C ．:p x ⌝∃∈R ，sin 1x >D ．:p x ⌝∀∈R ，sin 1x > 4．“k>3”是“方程11322=-+-k y k x 表示双曲线”的( ) A.充分不必要条件 B.充要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件5．下列说法错误的是（）A ．对于命题01,:2>++∈∀x x R x p ，则01,:0200≤++∈∃⌝x x R x pB ．“1=x ”是“0232=+-x x ”的充分不必要条件C ．若命题q p ∧为假命题，则q p ,都是假命题D ．命题“若0232=+-x x ，则1=x ”的逆否命题为：“若1≠x ，则0232≠+-x x ”6．已知双曲线的方程为19422=-x y ，则下列关于双曲线说法正确的是（）A ．虚轴长为4B ．焦距为52C ．离心率为323D ．渐近线方程为032=±y x7．如图，在正方形围栏内均匀撒米粒，一只小鸡在其中随意啄食，此刻小鸡正在正方形的内切圆中的概率是( )A ．14B ．π4C ．13D ．π38．当4=n 时，执行如图所示的程序框图，输出的S 值为（）A ．6B ．8C ．14D ．309．若某校高一年级8个班参加合唱比赛的得分如茎叶图所示，则这组数据的中位数和平均数分别是( )A ．91.5和91.5B ．91.5和92C ．91和91.5D ．92和9210．抛物线)0(22>=p px y 上的动点Q 到其焦点的距离的最小值为1，则=p （）A ．21B ．1C ．2D ．411．已知抛物线212y x =的焦点与椭圆2212y x m +=的一个焦点重合，则m =（）A ．74B ．12764C ．94D ．1296412．已知点(3,8)M 在双曲线C ：22221(0,0)-x y a b a b=>>上，C 的焦距为6，则它的离心率为（）A ．2B ．3C ．4D ．5第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．静宁一中开展小组合作学习模式，高二某班某组王小一同学给组内王小二同学出题如下：若命题“02,2≤++∈∃m x x R x ”是假命题，求m 的范围。

王小二略加思索，反手给了王小一一道题：若命题“02,2>++∈∀m x x R x ”是真命题，求m 的范围。

你认为，两位同学题中m 的范围是否一致？__________（填“是”或“否”）14．椭圆225x＋29y =1上一点M 到左焦点1F 的距离为2，N 是M 1F 的中点，则ON 等于15．已知F 1、F 2是椭圆的两个焦点，过F 1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A 、B 两点，若△ABF 2是正三角形，则这个椭圆的离心率是______16．若A(3，2)，F 为抛物线x y 22=的焦点，P 为抛物线上任意一点，则PA PF +的最小值为_______三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. （本小题满分10分）已知命题:p 关于x 的方程有实数根,命题:q 方程表示双曲线.（1）若q 是真命题，求m 的取值范围;（2）若命题()p q ⌝∧是真命题，求m 的取值范围.18.（本小题满分12分）已知椭圆:E 22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为()1,0F c -，()2,0F c ，直线x c = 交椭圆E 于A ，B 两点，1ABF ∆的周长为16，12AF F ∆的周长为12. （1）求椭圆E 的标准方程与离心率；（2）若直线l 与椭圆E 交于,C D 两点，且()2,2P 是线段CD 的中点，求直线l 的一般方程.222(1)0x m x m --+=22112x y m m +=-+19. （本小题满分12分）已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为()0,2,右顶点为()0,3.（1）求双曲线C 的方程；（2）若直线l ：2+=kx y 与双曲线C 恒有两个不同的交点A 和B ，且∙>2(其中O 为坐标原点)，求实数k 取值范围.20.（本小题满分12分）某高校在2018年的自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩，按成绩分组：第1组[75，80)，第2组[80，85)，第3组[85，90)，第4组[90，95)，第5组[95，100]得到的频率分布直方图如图所示．（1）分别求第3，4，5组的频率；（2）若该校决定在笔试成绩高的第3，4，5组中用分层抽样抽取6名学生进入第二轮面试求第3，4，5组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试?（3）在(2)的前提下，学校决定在这6名学生中随机抽取2名学生接受甲考官的面试，求第4组至少有一名学生被甲考官面试的概率．21. （本小题满分12分）已知椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 经过点)3,0(，离心率为21，左、右焦点分别为)0,(1c F -、)0,(2c F .（1）求椭圆方程; （2）若直线m x y l +-=21:与椭圆交于A 、B 两点,与以21F F 为直径的圆交于C 、D 两点，且满足435=CD AB ,求直线l 的方程.22.（本小题满分12分）设椭圆22221(0)x y a b a b +=>> 的右顶点为A ，上顶点为B .||AB （1）求椭圆的方程；（2）设直线:(0)l y kx k =<与椭圆交于,P Q 两点，l 与直线AB 交于点M ，且点P ，M 均在第四象限.若BPM △的面积是BPQ △面积的2倍，求k 的值.2018--2019学年高二第一学期期中试题（理科）数学参考答案及评分标准一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分12分）（1）-2<m<1; ---------------------------5分 (2)1/2<m<1. ---------------------------10分 18．（本小题满分12分）解：（1）由题知222416{2212 a a c a b c =+==+，解得4{2a b c ===.---------------------------3分∴椭圆E 的标准方程为2211612x y +=，离心率12c e a ==..---------------------------5分（2）由（1）知()()2,3,2,3A B -，易知直线l 的斜率存在，设为k ，设()()1122,C x y D x y ，，,则2211222211612{ 11612x y x y +=+=， 2222121201612x x y y --∴+=.---------------------------7分∴()()()()1212121201612x x x x y y y y -+-++=，又()2,2P 是线段CD 的中点 ∴12124,4x x y y +=+=121234y y k x x -∴==--，.------------ ---------------10分故直线l的方程为()3224y x -=--，化为一般形式即：34140x y +-=----------------------12分19.（本题满分12分）.20．（本小题满分12分）解：(1)由题设可知，第3组的频率为0.0650.3⨯=第4组的频率为0.0450.2⨯=，第5组的频率为0.0250.1⨯=．……………3分.------------------5分-----------------------7分--------------------------8分--------------------10分------------------12分(3)设第3组的3位同学为1A ，2A ，3A ，第4组的2位同学为1B ，2B ，第5组的1位同学为1C ．则从六位同学中抽两位同学有： ……………9分1213111211(,),(,),(,),(,),(,),A A A A A B A B A C 23212221(,),(,),(,),(,),A A AB A B A C313231(,),(,),(,),A B A B A C 121121(,),(,),(,),B B B C B C 共15种可能．……………10分其中第4组的2位同学为1B ，2B 至少有一位同学入选的有：11122122(,),(,),(,),(,),A B A B A B A B 3112321121(,),(,),(,),(,),(,),A B B B A B B C B C 共9种所以第4组至少有一名学生被甲考官面试的概率为93155……………12分 21.（本小题满分12分）……………..5分…………………8分…………………11分 …………………12分22. （本小题满分12分）（I）解：设椭圆的焦距为2c，由已知得2259ca=，又由222a b c=+，可得23.a b=由||AB==,从而3,2a b==.所以，椭圆的方程为22194x y+=. ……………5分（II）解：设点P的坐标为11(,)x y，点M的坐标为22(,)x y，由题意，21x x>>，点Q的坐标为11(,).x y--由BPM△的面积是BPQ△面积的2倍，可得||=2||PM PQ，从而21112[()]x x x x-=--，即215x x=. ……………7分易知直线AB的方程为236x y+=，由方程组236,,x yy kx+=⎧⎨=⎩消去y，可得2632xk=+.由方程组221,94,x yy kx⎧+⎪=⎨⎪=⎩消去y，可得1x=.由215x x=，可得5(32)k=+，两边平方，整理得2182580k k++=，解得89k=-，或12k=-. ……………10分当89k=-时，290x=-<，不合题意，舍去；当12k=-时，212x=，1125x=，符合题意.所以，k的值为12-. ……………12分。