分式经典题型分类练习题

分式的运算

（一）、分式定义及有关题型 题型一：考查分式的定义

【例1】下列代数式中：y x y

x y x y x b

a b a y x x -++-+--1

,

,,21,2

2

π，是分式的有： .

题型二：考查分式有意义的条件

【例2】当x 有何值时，下列分式有意义

（1）

4

4+-x x （2）

2

32+x x （3）

1

22-x （4）

3||6--x x

（5）x

x 11-

题型三：考查分式的值为0的条件

【例3】当x 取何值时，下列分式的值为0.

（1）

3

1

+-x x （2）

4

2||2--x x （3）

6

53222----x x x x

题型四：考查分式的值为正、负的条件

【例4】（1）当x 为何值时，分式

x

-84

为正；

（2）当x 为何值时，分式2

)

1(35-+-x x 为负；

（3）当x 为何值时，分式

3

2+-x x 为非负数.

练习：

1．当x 取何值时，下列分式有意义：

（1）

3

||61

-x

（2）

1

)1(32

++-x x （3）

x

111+

2．当x 为何值时，下列分式的值为零：

（1）4

|

1|5+--x x

（2）

5

62522+--x x x

3．解下列不等式 （1）

01

2

||≤+-x x （2）

03

252

>+++x x x

（二）分式的基本性质及有关题型

1．分式的基本性质：M

B M A M B M A B A ÷÷=⨯⨯=

2．分式的变号法则：

b

a

b a b a b a =--=+--=-- 题型一：化分数系数、小数系数为整数系数

【例1】不改变分式的值，把分子、分母的系数化为整数.

（1）y x y

x 4

1313221+- （2）

b

a b

a +-04.003.02.0

题型二：分数的系数变号

【例2】不改变分式的值，把下列分式的分子、分母的首项的符号变为正号.

（1）

y

x y

x --+-

（2）b

a a ---

（3）b

a ---

题型三：化简求值题

【例3】已知：511=+

y x

，求

y

xy x y

xy x +++-2232的值. 提示：整体代入，①xy y x 3=+，②转化出y

x

11

+

. 【例4】已知：21=-x

x ，求221

x

x +的值.

【例5】若0)32(|1|2=-++-x y x ，求

y

x 241

-的值. 练习：

1．不改变分式的值，把下列分式的分子、分母的系数化为整数.

（1）

y

x y

x 5.008.02.003.0+-

（2）b a b

a 10

141534.0-+ 2．已知：31=+x x ，求1

242

++x x x 的值.

3．已知：311=-b a ，求

a

ab b b

ab a ---+232的值.

4．若0106222=+-++b b a a ，求b

a b

a 532+-的值. 5．如果21<

x x x |

||1|1+

---. （三）分式的运算

1．确定最简公分母的方法：

①最简公分母的系数，取各分母系数的最小公倍数； ②最简公分母的字母因式取各分母所有字母的最高次幂.

2．确定最大公因式的方法：①最大公因式的系数取分子、分母系数的最大公约数；

②取分子、分母相同的字母因式的最低次幂.

题型一：通分

【例1】将下列各式分别通分. （1）c

b a

c a b ab c 225,

3,2--； （2）a b b b a a 22,--； （3）

2

2,

21,

1

2

2

2

--+--x x x

x x

x x ； （4）a

a -+21

,

2

题型二：约分

【例2】约分：

（1）

322016xy y x -；（3）n m m n --2

2；（3）6

222---+x x x x .

题型三：分式的混合运算

【例3】计算：

（1）4

2232)()()(a

bc ab c c b a ÷-⋅-；

（2）2

2233)()()3(

x

y x y y x y x a +-÷-⋅+； （3）

m

n m

n m n m n n m ---+-+22；

（4）11

2

---a a a ；

（5）8

7

4321814121111x x x x x x x x +-

+-+-+--； （6）)5)(3(1

)3)(1(1)1)(1(1+++

++++-x x x x x x ； （7）)12()2

1444

(222+-⋅--+--x x

x x x x x

题型四：化简求值题

【例4】先化简后求值

（1）已知：1-=x ，求分子)]1

21()144[(4

8

122x x x x -÷-+--的值；

（2）已知：432z y x ==，求22232z

y x xz

yz xy ++-+的值；

（3）已知：0132=+-a a ，试求)1

)(1

(2

2a a a a --的值.

题型五：求待定字母的值

【例5】若1

11

312-+

+=

--x N

x M x x ，试求N M ,的值. 练习：

1．计算

（1）)

1(23

2)1(21)1(252+-+

+--++a a a a a a ； （2）a b ab

b b a a ---

-222； （3）

b

a c c

b a

c b c b a c b a c b a ---++-+---++-232； （4）b a b b a ++-2

2；

（5）)4)(4(b

a ab

b a b a ab b a +-+-+

-；

（6）2

12

1111x x x ++

++-； （7）

)

2)(1(1

)3)(1(2)3)(2(1--+

-----x x x x x x . 2．先化简后求值