高中数学必修一 指数运算性质及指数函数
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第8课时 指数运算性质及指数函数
知识点一 分数指数幂 给定正实数a ，对于任意给定的整数m ，n (m ，n 互素)，存在唯一的正实数b ，使得b n ＝a m
，我们把b 叫作a 的m
n
次幂，记作b ＝m
n a .
指数运算性质 一般地，在研究实数指数幂的运算性质时，约定底数为大于零的实数.当a >0，b >0时，有： (1)a m ·a n ＝ ；(2)(a m )n ＝ ；(3)(ab )n ＝ ，其中m ，n ∈R . 例1 计算下列各式(式中字母都是正数).
(1)10.5
23
3
277(0.027)21259-
⎛⎫⎛⎫
+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
；
2)2
115113
3
6
6
2
2
(2)(6)(3)a b a b a b ÷－－；
21
5
2.5
30.064-0
⎡⎤-π.⎢⎥⎣⎦
（） 知识点二 指数函数
一般地，函数 叫作指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是R .
注意①底数是大于0且不等于1的常数；②指数函数的自变量必须位于指数的位置上；③a x 的系数必须为1；④指数函数等号右边不会是多项式，如y ＝2x ＋1不是指数函数. 知识点三 指数函数的图像和性质
例2 (1)下列函数中是指数函数的是________.(填序号) ①y ＝2·(2)x ；②y ＝2
x －1
；③y ＝⎝⎛⎭
⎫π2x
；④y ＝1
3x
-；⑤y ＝1
3x . (2)若函数y ＝(a 2－3a ＋3)·a x 是指数函数，则实数a ＝________. (3)若函数y ＝(2a －3)x 是指数函数，则实数a 的取值范围是________. 例3 (1)函数y ＝a x －1
a
(a >0，且a ≠1)的图像可能是( )
(2)函数f (x )＝1＋a x －
2(a >0，且a ≠1)恒过定点________.
(3)已知函数y ＝3x 的图像，怎样变换得到y ＝⎝⎛⎭⎫13x ＋1
＋2的图像？并画出相应图像.
跟踪训练3 (1)已知函数f (x )＝4＋a x ＋
1(a >0，且a ≠1)的图像经过定点P ，则点P 的坐标是( ) A.(－1,5) B.(－1,4) C.(0,4) D.(4,0) 例4 比较下列各题中两个值的大小. (1)1.7－2.5
，1.7－
3；(2)1.70.3，1.50.3；(3)1.70.3，0.83.1.
跟踪训练4 比较下列各题中的两个值的大小.
(1)0.8－0.1
，1.250.2；(2)⎝⎛⎭
⎫1π－π，1；(3)0.2－3
，(－3)0.2.
例5 (1)不等式4x <42
－3x
的解集是________.
(2)解关于x 的不等式：a 2x ＋
1≤a x －
5(a >0，且a ≠1).
例6 判断f (x )＝2213x x
⎛⎫ ⎪⎝⎭
－的单调性，并求其值域.
反思感悟研究y ＝a f (x )型单调区间时，要注意a >1还是0 当a >1时，y ＝a f (x )与f (x )的单调性相同.当0 跟踪训练6 求函数y ＝223 x x a ＋－的单调区间. 课后作业 1.化简23 8的值为( ) A.2 B.4 C.6 D.8 2.下列根式与分数指数幂的互化正确的是( ) A.－x ＝12 ()x －(x >0) B.12 63 =y y (y <0) C.3 34 41=x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭ － (x >0) D.1 33=x x －(x ≠0) 3.式子a 2a · 3 a 2 (a >0)经过计算可得到( ) A.a B. 1a 6 C.5a 6 D.6 a 5 4.计算12 4－⎝⎛⎭⎫12－1 ＝________. 5.下列各函数中，是指数函数的是( ) A.y ＝(－3)x B.y ＝－3x C.y ＝3x － 1 D.y ＝⎝⎛⎭⎫13x 6.若函数y ＝(2a －1)x (x 是自变量)是指数函数，则a 的取值范围是( ) A.a >0，且a ≠1 B.a ≥0，且a ≠1 C.a >12，且a ≠1 D.a ≥1 2 7.函数f (x )＝a x －b 的图像如图所示，其中a ，b 均为常数，则下列结论正确的是( ) A.a >1，b <0 B.a >1，b >0 C.00