2018-2019学年河南省驻马店市驿城区八年级(下)期末数学试卷(解析版)

2018-2019学年河南省驻马店市驿城区八年级（下）期末数学试卷一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的1．（3分）下列图形中，不是中心对称图形的是（）A．B．C．D．2．（3分）若a＞b，则下列结论不一定成立的是（）A．a﹣1＞b﹣1B．C．a2＞b2D．﹣2a＜﹣2b 3．（3分）下列从左到右的变形，是因式分解的是（）A．2（a﹣b）＝2a﹣2bB．a2﹣b2+1＝（a﹣b）（a+b）+1C．x2﹣2x+4＝（x﹣2）2D．2x2﹣8y2＝2（x﹣2y）（x+2y）4．（3分）到三角形三个顶点的距离都相等的点是这个三角形的（）A．三条边的垂直平分线的交点B．三条角平分线的交点C．三条中线的交点D．三条高的交点5．（3分）下列条件中，不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（）A．AB∥CD，AB＝CD B．AB＝CD，AD＝BCC．AB∥CD，∠B＝∠D D．AB∥CD，AD＝BC6．（3分）一个多边形的内角和比它的外角和的2倍还大180°，则这个多边形的边数是（）A．五边形B．六边形C．七边形D．八边形7．（3分）如图，▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AC⊥BC，且AB＝10，AD＝6，则OB的长度为（）A．2B．4C．8D．48．（3分）若解关于x的方程＝1时产生增根，那么常数m的值为（）A．4B．3C．﹣4D．﹣19．（3分）如图，在▱ABCD中，连接AC，按以下步骤作图：分别以点A，C为圆心，以大于AC的长为半径画弧，两弧分别相交于点M，N，作直线MN，交CD于点E，交AB于点F．若AB＝5，BC＝3，则△ADE的周长为（）A．7B．8C．9D．1010．（3分）如图1，在平面直角坐标系中，将▱ABCD放置在第一象限，且AB∥x轴．直线y＝﹣x从原点出发沿x轴正方向平移，在平移过程中直线被平行四边形截得的线段长度l与直线在x轴上平移的距离m的函数图象如图2，那么ABCD面积为（）A．4B．4C．8D．8二、填空题（每小题3分，共15分）11．（3分）若分式的值为0，则x＝．12．（3分）不等式组的最小整数解是．13．（3分）如图，△ABC中，∠B＝70°，∠BAC＝30°，将△ABC绕点C顺时针旋转得△EDC．当点B的对应点D恰好落在AC上时，∠CAE＝．14．（3分）如图，在Rt△ABC中∠BAC＝90°，D，E分别是AB，BC的中点，F在CA 的延长线上∠FDA＝∠B，AC＝6，AB＝8，则四边形AEDF的周长为．15．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，BC＝6，点D是BC边上一动点（不与B、C重合），过点D作DE⊥BC交AB边于点E，将∠B沿直线DE翻折，点B落在射线BC上的点F处，当△AEF为直角三角形时，BD的长为．三、解答题（本大题共8个小题，满分75分）16．（8分）先化简：÷（﹣），然后再从﹣2＜x≤2的范围内选取一个合适的x的整数值代入求值．17．（9分）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，且BD＝CD，DE⊥AB于点E，DF⊥AC 于点F．（1）求证：AB＝AC；（2）若∠BAC＝60°，BC＝6，求△ABC的面积．18．（9分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣3，1），B（﹣1，3），C（0，1）．（1）将△ABC以点C为旋转中心旋转180°，画出旋转后的△A1B1C1；（2）平移△ABC，若点A的对应点A2的坐标为（﹣5，﹣3），画出平移后的△A2B2C2；（3）若△A2B2C2和△A1B1C1关于点P中心对称，请直接写出对称中心P的坐标．19．（9分）已知：如图，E、F是▱ABCD的对角线AC上的两点，AF＝CE．求证：（1）△ABE≌△CDF；（2）ED∥BF．20．（9分）某文具商店的某种毛笔每支售价25元，书法练习本每本售价5元，该商店为促销正在进行优惠活动活动1：买一支毛笔送一本书法练习本；活动2：按购买金额的九折付款．某学校准备为书法兴趣小组购买这种毛笔20支，书法练习本x（x≥20）本，（1）写出两种优惠活动实际付款金额y1（元），y2（元）与x（本）之间的函数关系式；（2）请问：该校选择哪种优惠活动更合算？21．（10分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AC与BD交于点E，点E是BD的中点，延长CD到点F，使DF＝CD，连接AF，（1）求证：AE＝CE；（2）求证：四边形ABDF是平行四边形；（3）若AB＝2，AF＝4，∠F＝30°，则四边形ABCF的面积为．22．（10分）倡导健康生活推进全民健身，某社区去年购进A，B两种健身器材若干件，经了解，B种健身器材的单价是A种健身器材的1.5倍，用7200元购买A种健身器材比用5400元购买B种健身器材多10件．（1）A，B两种健身器材的单价分别是多少元？（2）若今年两种健身器材的单价和去年保持不变，该社区计划再购进A，B两种健身器材共50件，且费用不超过21000元，请问：A种健身器材至少要购买多少件？23．（11分）如图，已知等边△ABC，点D在直线BC上，连接AD，作∠ADN＝60°，直线DN交射线AB于点E，过点C作CF∥AB交直线DN于点F．（1）当点D在线段BC上，∠NDB为锐角时，如图①①判断∠1与∠2的大小关系，并说明理由；②过点F作FM∥BC交射线AB于点M，求证：CF+BE＝CD；（2）①当点D在线段BC的延长线上，∠NDB为锐角时，如图②，请直接写出线段CF，BE，CD之间的数量关系；②当点D在线段CB的延长线上，∠NDB为钝角或直角时，如图③，请直接写出线段CF，BE，CD之间的数量关系．2018-2019学年河南省驻马店市驿城区八年级（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的1．（3分）下列图形中，不是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．【解答】解：A、是中心对称图形，故本选项不符合题意；B、是中心对称图形，故本选项不符合题意；C、不是中心对称图形，故本选项符合题意；D、是中心对称图形，故本选项不符合题意．故选：C．【点评】本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．2．（3分）若a＞b，则下列结论不一定成立的是（）A．a﹣1＞b﹣1B．C．a2＞b2D．﹣2a＜﹣2b【分析】依据本等式的基本性质，即可得出结论．【解答】解：若a＞b，则a﹣1＞b﹣1，，﹣2a＜﹣2b，；而a2＞b2不一定成立；故选：C．【点评】本题主要考查了本等式的基本性质，不等式两边都乘、除同一个数，要注意只有乘、除负数时，不等号方向才改变．3．（3分）下列从左到右的变形，是因式分解的是（）A．2（a﹣b）＝2a﹣2bB．a2﹣b2+1＝（a﹣b）（a+b）+1C．x2﹣2x+4＝（x﹣2）2D．2x2﹣8y2＝2（x﹣2y）（x+2y）【分析】因式分解就是把多项式转化成几个整式的积的形式，根据定义即可作出判断．【解答】解：A、是整式的乘法，故选项错误；B、结果不是整式的积的形式，故选项错误；C、结果是整式的积的形式，但是左右不相等，故选项错误；D、符合因式分解的定义，故选项正确．故选：D．【点评】本题考查了因式分解的定义．熟练掌握因式分解的定义是解题的关键．4．（3分）到三角形三个顶点的距离都相等的点是这个三角形的（）A．三条边的垂直平分线的交点B．三条角平分线的交点C．三条中线的交点D．三条高的交点【分析】根据线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等解答即可．【解答】解：到三角形三个顶点的距离都相等的点是这个三角形的三条边的垂直平分线的交点，故选：A．【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．5．（3分）下列条件中，不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（）A．AB∥CD，AB＝CD B．AB＝CD，AD＝BCC．AB∥CD，∠B＝∠D D．AB∥CD，AD＝BC【分析】根据平行四边形的判定定理分别进行分析即可．【解答】解：A、∵AB∥CD，AB＝CD，∴四边形ABCD是平行四边形，故此选项不合题意；B、∵AB＝CD，AD＝BC，∴四边形ABCD是平行四边形，故此选项不合题意；C、∵AB∥CD，∠B＝∠D，∴四边形ABCD是平行四边形，故此选项不合题意；D、∵AB∥CD，AD＝BC，不能得出四边形ABCD是平行四边形，故此选项符合题意；【点评】此题主要考查了平行四边形的判定，关键是掌握（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形．（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形．（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形．（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形．6．（3分）一个多边形的内角和比它的外角和的2倍还大180°，则这个多边形的边数是（）A．五边形B．六边形C．七边形D．八边形【分析】根据多边形的内角和公式（n﹣2）•180°与多边形的外角和定理列式进行计算即可求解．【解答】解：设多边形的边数为n，则（n﹣2）•180°﹣2×360°＝180°，解得n＝7．故选：C．【点评】本题考查了多边形的内角和公式与外角和定理，熟记公式与定理列出方程是解题的关键．7．（3分）如图，▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AC⊥BC，且AB＝10，AD＝6，则OB的长度为（）A．2B．4C．8D．4【分析】利用平行四边形的性质和勾股定理易求AC的长，进而可求出OB的长．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC＝AD＝6，OA＝OC，∵AC⊥BC，AB＝10，∴＝＝8，∴AO＝CO＝AC＝4，∴OB＝＝＝2；【点评】本题考查了平行四边形的性质以及勾股定理的运用，熟练掌握平行四边形的性质和勾股定理是解题的关键．8．（3分）若解关于x的方程＝1时产生增根，那么常数m的值为（）A．4B．3C．﹣4D．﹣1【分析】分式方程去分母转化为整式方程，x＝3+m，由分式方程有增根，得到3+m＝2，求出x的值，代入整式方程计算即可求出m的值．【解答】解：方程两边都乘以x﹣2，得：2x﹣5﹣m＝x﹣2，x＝3+m∵方程有增根，∴3+m＝2，m＝﹣1，故选：D．【点评】此题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．9．（3分）如图，在▱ABCD中，连接AC，按以下步骤作图：分别以点A，C为圆心，以大于AC的长为半径画弧，两弧分别相交于点M，N，作直线MN，交CD于点E，交AB于点F．若AB＝5，BC＝3，则△ADE的周长为（）A．7B．8C．9D．10【分析】根据线段的垂直平分线的性质证明DE+AE＝DE+EC＝AC即可解决问题．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC＝3，CD＝AB＝5，由作图可知：EF垂直平分线线段AC，∴EA＝EC，∴△ADE的周长＝AD+DE+AE＝AD+DE+EC＝AD+CD＝3+5＝8，【点评】本题考查作图﹣复杂作图，线段的垂直平分线的性质，平行四边形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．10．（3分）如图1，在平面直角坐标系中，将▱ABCD放置在第一象限，且AB∥x轴．直线y＝﹣x从原点出发沿x轴正方向平移，在平移过程中直线被平行四边形截得的线段长度l与直线在x轴上平移的距离m的函数图象如图2，那么ABCD面积为（）A．4B．4C．8D．8【分析】根据图象可以得到当移动的距离是4时，直线经过点A，当移动距离是7时，直线经过D，在移动距离是8时经过B，则AB＝8﹣4＝4，当直线经过D点，设交AB 与N，则DN＝2，作DM⊥AB于点M．利用三角函数即可求得DM即平行四边形的高，然后利用平行四边形的面积公式即可求解．【解答】解：根据图象可以得到当移动的距离是4时，直线经过点A，当移动距离是7时，直线经过D，在移动距离是8时经过B，则AB＝8﹣4＝4，如图1，当直线经过D点，设交AB与N，则DN＝2，作DM⊥AB于点M．∵y＝﹣x与x轴形成的角是45°，又∵AB∥x轴，∴∠DNM＝45°，∴DM＝DN•sin45°＝2×＝2，则平行四边形的面积是：AB•DM＝4×2＝8．【点评】本题考查了函数的图象，根据图象理解AB的长度，正确求得平行四边形的高是关键．二、填空题（每小题3分，共15分）11．（3分）若分式的值为0，则x＝2．【分析】分式的值是0的条件是，分子为0，分母不为0．【解答】解：∵x2﹣4＝0，∴x＝±2，当x＝2时，x+2≠0，当x＝﹣2时，x+2＝0．∴当x＝2时，分式的值是0．故答案为：2．【点评】分式是0的条件中特别需要注意的是分母不能是0，这是经常考查的知识点．12．（3分）不等式组的最小整数解是﹣2．【分析】先解不等式组，求出解集，再找出最小的整数解即可．【解答】解：，解①得x≤，解②得x＞﹣3，不等式组的解集为﹣3＜x≤，不等式组的最小整数解为﹣2，故答案为﹣2．【点评】本题考查了不等式组的解法及整数解的确定．求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．13．（3分）如图，△ABC中，∠B＝70°，∠BAC＝30°，将△ABC绕点C顺时针旋转得△EDC．当点B的对应点D恰好落在AC上时，∠CAE＝50°．【分析】利用旋转的性质得出AC＝CE，以及利用三角形内角和得出∠BCA的度数，利用等腰三角形的性质得出答案．【解答】解：∵△ABC中，∠B＝70°，则∠BAC＝30°，将△ABC绕点C顺时针旋转得△EDC，点B的对应点D恰好落在AC上，∴∠BCA＝180°﹣70°﹣30°＝80°，AC＝CE，∴∠BCA＝∠DCE＝80°，∴∠CAE＝∠AEC＝（180°﹣80°）×＝50°．故答案为：50°．【点评】此题主要考查了旋转的性质以及等腰三角形的性质，得出∠CAE＝∠AEC是解题关键．14．（3分）如图，在Rt△ABC中∠BAC＝90°，D，E分别是AB，BC的中点，F在CA 的延长线上∠FDA＝∠B，AC＝6，AB＝8，则四边形AEDF的周长为16．【分析】根据勾股定理先求出BC的长，再根据三角形中位线定理和直角三角形的性质求出DE和AE的长，进而由已知可判定四边形AEDF是平行四边形，从而不难求得其周长．【解答】解：在Rt△ABC中，∵AC＝6，AB＝8，∴BC＝10，∵E是BC的中点，∴AE＝BE＝5，∴∠BAE＝∠B，∵∠FDA＝∠B，∴∠FDA＝∠BAE，∴DF∥AE，∵D、E分别是AB、BC的中点，∴DE∥AC，DE＝AC＝3，∴四边形AEDF是平行四边形∴四边形AEDF的周长＝2×（3+5）＝16．故答案为：16．【点评】本题考查了三角形中位线定理的运用，熟悉直角三角形的性质、等腰三角形的判定以及平行四边形的判定．熟练运用三角形的中位线定理和直角三角形的勾股定理是解题的关键．15．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，BC＝6，点D是BC边上一动点（不与B、C重合），过点D作DE⊥BC交AB边于点E，将∠B沿直线DE翻折，点B落在射线BC上的点F处，当△AEF为直角三角形时，BD的长为2或4．【分析】Rt△ABC中，根据特殊锐角三角函数值可求得AB＝4，然后由翻折的性质可求得∠AEF＝60°，从而可求得∠EAF＝30°，故此AE＝2EF，由翻折的性质可知：BE ＝EF，故此AB＝3BE，所以EB＝，最后在Rt△BED中利用特殊锐角三角函数值即可求得BD的长．当点F在BC的延长线上时，∠AEF＝90°，然后依据角平分线的性质可得到ED＝AE，然后再证明△BED∽△BAC，最后依据相似三角形的性质求解即可．【解答】解：∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，∴，即．∴AB＝4∵∠B＝30°，DE⊥BC，∴∠BED＝60°．由翻折的性质可知：∠BED＝∠FED＝60°，∴∠AEF＝60°．∵△AEF为直角三角形，∴∠EAF＝30°．∴AE＝2EF．由翻折的性质可知：BE＝EF，∴AB＝3BE．∴EB＝．在Rt△BED中，∠B＝30°，∴，即．∴BD＝2．如图所示：当点F在BC的延长线上时．∵△AEF为直角三角形，∴∠EAF＝90°，∴∠EFA＝30°．∴∠EFD＝∠EFA．又∵ED⊥BF，EA⊥AF，∴AE＝DE．∵BC＝6，∠ACB＝90°，∠B＝30°，∴AB＝4，AC＝2设DE＝x，BE＝4﹣x．∵DE∥AC，∴，，解得：x＝．∴BD＝DE＝4故答案为：2或4．【点评】本题主要考查的是翻折的性质和特殊锐角三角函数值的应用，掌握翻折的性质和特殊锐角三角函数值是解题的关键．三、解答题（本大题共8个小题，满分75分）16．（8分）先化简：÷（﹣），然后再从﹣2＜x≤2的范围内选取一个合适的x的整数值代入求值．【分析】先将原分式进行化解，化解过程中注意不为0的量，根据不为0的量结合x的取值范围得出合适的x的值，将其代入化简后的代数式中即可得出结论．【解答】解：÷（﹣）＝÷＝×＝．其中，即x≠﹣1、0、1．又∵﹣2＜x≤2且x为整数，∴x＝2．将x＝2代入中得：＝＝4．【点评】本题考查了分式的化解求值，解题的关键是找出x的值．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，先将原分式进行化简，再代入数据求值即可．17．（9分）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，且BD＝CD，DE⊥AB于点E，DF⊥AC 于点F．（1）求证：AB＝AC；（2）若∠BAC＝60°，BC＝6，求△ABC的面积．【分析】（1）根据角平分线上的点到角两边的距离相等得出DE＝DF，根据题意还知道∠DEB＝∠DFC，BD＝CD，从而得出△DEB≌△DFC，进而得出∠B＝∠C，即可得出结论AB＝AC；（2）得出△ABC是等边三角形，求出AD长，则答案可求出．【解答】证明：（1）∵AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，∴DE＝DF，且BD＝CD，∴Rt△DEB≌Rt△DFC（HL），∴∠B＝∠C，∴AB＝AC．（2）解：∵AB＝AC，BD＝CD，∴AD⊥BC，∴∠BAC＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴AC＝BC＝6，∴CD＝3，在Rt△ACD中，AD＝＝3，∴△ABC的面积为＝9．【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，角平分线上的点到角两边的距离相等，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．18．（9分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣3，1），B（﹣1，3），C（0，1）．（1）将△ABC以点C为旋转中心旋转180°，画出旋转后的△A1B1C1；（2）平移△ABC，若点A的对应点A2的坐标为（﹣5，﹣3），画出平移后的△A2B2C2；（3）若△A2B2C2和△A1B1C1关于点P中心对称，请直接写出对称中心P的坐标．【分析】（1）依据以点C为旋转中心旋转180°，即可画出旋转后的△A1B1C1；（2）依据点A的对应点A2的坐标为（﹣5，﹣3），即可画出平移后的△A2B2C2；（3）依据中心对称的性质，即可得到对称中心P的坐标．【解答】解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求；（2）如图所示，△A2B2C2即为所求；（3）如图所示，点P即为所求，对称中心P的坐标为（﹣1，﹣1）．【点评】本题主要考查了利用平移变换以及旋转变换进行作图，根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．19．（9分）已知：如图，E、F是▱ABCD的对角线AC上的两点，AF＝CE．求证：（1）△ABE≌△CDF；（2）ED∥BF．【分析】（1）根据已知条件得到AE＝CF，根据平行四边形的性质得到∠DCF＝∠BAE，根据全等三角形的判定定理即可得到结论；（2）根据全等三角形的性质得到BE＝DF，∠AEB＝∠CFD，根据平行四边形的判定和性质即可得到结论．【解答】证明：（1）∵AF＝CE，∴AF﹣EF＝CE﹣EF，即AE＝CF，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD，∴∠DCF＝∠BAE，在△ABE与△CDF中，，∴△ABE≌△CDF（SAS）；（2）∵△ABE≌△CDF，∴BE＝DF，∠AEB＝∠CFD，∴∠BEF＝∠DFE，∴BE∥DF，∴四边形DEBF是平行四边形，∴ED∥BF．【点评】本题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键．20．（9分）某文具商店的某种毛笔每支售价25元，书法练习本每本售价5元，该商店为促销正在进行优惠活动活动1：买一支毛笔送一本书法练习本；活动2：按购买金额的九折付款．某学校准备为书法兴趣小组购买这种毛笔20支，书法练习本x（x≥20）本，（1）写出两种优惠活动实际付款金额y1（元），y2（元）与x（本）之间的函数关系式；（2）请问：该校选择哪种优惠活动更合算？【分析】（1）y1（元）＝毛笔总价钱+（x﹣20）本练习本总价钱；y2（元）＝（毛笔总价钱+练习本总价钱）×0.9，根据这两个相等关系列式即可；（2）比较（1）中的关系式即可，要注意分情况讨论．【解答】解：（1）y1＝25×20+（x﹣20）×5＝5x+400；y2＝（25×20+5x）×0.9＝4.5x+450．（2）①y1＞y2时，即5x+400＞4.5x+450，解得：x＞100；②y1＝y2时，即5x+400＝4.5x+450，解得：x＝100；③y1＜y2时，即5x+400＜4.5x+450，解得x＜100．答：当购买100本时，两种优惠活动付款相同；当购买超过100本时，活动2比较合算；当购买不足100本时，活动2比较合算，活动1比较合算．【点评】本题考查了一次函数的实际应用，解决本题的关键是读懂题意，找到符合题意的不等关系式，及所求量的等量关系．要会用分类的思想来讨论求得方案的问题．本题要注意根据y1＝y2，y1＜y2，y1＞y2，三种情况分别讨论，找出每种情况中的合理的选择．21．（10分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AC与BD交于点E，点E是BD的中点，延长CD到点F，使DF＝CD，连接AF，（1）求证：AE＝CE；（2）求证：四边形ABDF是平行四边形；（3）若AB＝2，AF＝4，∠F＝30°，则四边形ABCF的面积为6．【分析】（1）根据平行线的性质得出∠ADE＝∠CBE，根据全等三角形的判定得出△ADE ≌△CBE，根据全等三角形的性质得出即可；（2）根据平行四边形的判定推出即可；（3）求出高DQ和CH，再根据面积公式求出即可．【解答】（1）证明：∵点E是BD的中点，∴BE＝DE，∵AD∥BC，∴∠ADE＝∠CBE，在△ADE和△CBE中∴△ADE≌△CBE（ASA），∴AE＝CE；（2）证明：∵AE＝CE，BE＝DE，∴四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD，∵DF＝CD，∴DF＝AB，即DF＝AB，DF∥AB，∴四边形ABDF是平行四边形；（3）解：过C作CH⊥BD于H，过D作DQ⊥AF于Q，∵四边形ABCD和四边形ABDF是平行四边形，AB＝2，AF＝4，∠F＝30°，∴DF＝AB＝2，CD＝AB＝2，BD＝AF＝4，BD∥AF，∴∠BDC＝∠F＝30°，∴DQ＝DF＝＝1，CH＝DC＝＝1，∴四边形ABCF的面积S＝S平行四边形BDFA +S△BDC＝AF×DQ+＝4×1+＝6，故答案为：6．【点评】本题考查了平行四边形的性质和判定，三角形的面积等知识点，能综合运用定理进行推理是解此题的关键．22．（10分）倡导健康生活推进全民健身，某社区去年购进A，B两种健身器材若干件，经了解，B种健身器材的单价是A种健身器材的1.5倍，用7200元购买A种健身器材比用5400元购买B种健身器材多10件．（1）A，B两种健身器材的单价分别是多少元？（2）若今年两种健身器材的单价和去年保持不变，该社区计划再购进A，B两种健身器材共50件，且费用不超过21000元，请问：A种健身器材至少要购买多少件？【分析】（1）设A种型号健身器材的单价为x元/套，B种型号健身器材的单价为1.5x 元/套，根据“B种健身器材的单价是A种健身器材的1.5倍，用7200元购买A种健身器材比用5400元购买B种健身器材多10件”，即可得出关于x，y的分式方程，解之即可得出结论；（2）设购买A种型号健身器材m套，则购买B种型号的健身器材（50﹣m）套，根据总价＝单价×数量结合这次购买两种健身器材的总费用不超过21000元，即可得出关于m 的一元一次不等式，解之取其最小值即可得出结论．【解答】解：（1）设A种型号健身器材的单价为x元/套，B种型号健身器材的单价为1.5x元/套，根据题意，可得：，解得：x＝360，经检验x＝360是原方程的根，1.5×360＝540（元），因此，A，B两种健身器材的单价分别是360元，540元；（2）设购买A种型号健身器材m套，则购买B种型号的健身器材（50﹣m）套，根据题意，可得：360m+540（50﹣m）≤21000，解得：m≥33，因此，A种型号健身器材至少购买34套．【点评】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．23．（11分）如图，已知等边△ABC，点D在直线BC上，连接AD，作∠ADN＝60°，直线DN交射线AB于点E，过点C作CF∥AB交直线DN于点F．（1）当点D在线段BC上，∠NDB为锐角时，如图①①判断∠1与∠2的大小关系，并说明理由；②过点F作FM∥BC交射线AB于点M，求证：CF+BE＝CD；（2）①当点D在线段BC的延长线上，∠NDB为锐角时，如图②，请直接写出线段CF，BE，CD之间的数量关系；②当点D在线段CB的延长线上，∠NDB为钝角或直角时，如图③，请直接写出线段CF，BE，CD之间的数量关系．【分析】（1）①根据等边三角形的性质∠ABC＝∠ACB＝60°，根据已知条件得到∠1+∠ADC＝120°，∠ADC+∠2＝120°，根据等式的性质即可得到结论．②通过△MEF≌△CDA即可求得ME＝CD，因为通过证四边形BCFM是平行四边形可以得出BM＝CF，从而证得CF+BE＝CD．（2）①当∠NDB为锐角时结论：CF+CD＝BE．作FM∥BC，得出四边形BCFM是平行四边形，然后通过证得△MEF≌△CDA即可求得．②当∠NDB为钝角或直角时，结论：CD＝CF﹣BE．证明类似．【解答】（1）①解：结论：∠1＝∠2，理由：∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°∵∠ADN＝60°，∴∠1+∠ADC＝120°，∠ADC+∠2＝120°，∴∠1＝∠2；②证明：如图①，过点F作FM∥BC交射线AB于点M，∵CF∥AB，∴四边形BMFC是平行四边形，∴BC＝MF，CF＝BM，∴∠ABC＝∠EMF，∠BDE＝∠MFE，∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°，BC＝AC，∴∠EMF＝∠ACB，AC＝MF，∵∠ADN＝60°，∴∠BDE+∠ADC＝120°，∠ADC+∠DAC＝120°，∴∠BDE＝∠DAC，∴∠MFE＝∠DAC，在△MEF与△CDA中，，∴△MEF≌△CDA（AAS），∴CD＝ME＝EB+BM，∴CD＝BE+CF；（2）解：①∠NDB为锐角时，结论：CF+CD＝BE．理由：如图②，作FM∥BD交AE于M．由（1）证得四边形BMFC是平行四边形，∴BC＝MF，CF＝BM，由（1）证得△MEF≌△CDA（AAS），∴CD＝ME＝EB﹣BM，∴CF+CD＝BE，②当∠NDB为钝角或直角时，CD＝CF﹣BE．理由：如图③，作FM∥BD交AE于M．由（1）证得四边形BMFC是平行四边形，∴BC＝MF，CF＝BM，由（1）证得△MEF≌△CDA（AAS），∴CD＝ME＝BM﹣BE，∴CD＝CF﹣BE．【点评】本题属于三角形综合题，考查了等边三角形的性质，平行四边形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，30°角所对的直角边等于斜边的一半，正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．。