几何概型习题课习题课
3.3几何概型随堂优化训练课件ppt
解：(1)利用计算器或计算机产生一组 0～1 之间的均匀随 机数 a1＝RAND；
(2)经过伸缩变换，a=a1*3,得到一组[0,3]上的均匀随机数;
(3)统计出[1,2]内随机数的个数N1和[0,3] 内随机数的个数 N；
(4)计算频率NN1，即为所求概率的近似值． 用随机模拟的方法解决与长度有关的几何概
思维突破：本题有两个独立变化量 a，b，一个基本事件就 是一个 a，b 值的确定，即可用有序数对(a，b)表示一个基本事 件，借助平面直角坐标系，把基本事件对应平面直角坐标系下 的一个区域，转为几何概型求解．
解：∵0≤a≤100,0≤b≤100， ∴试验全部结果构成区域为图 D19 中的矩形 OABC，发生 堵塞，即 a＋b>100 的区域为△ACB，显然两部分的面积之比为 1 2.
型问题，关键在于将对应的区域长度转化为随机数的范围[a，b]， 进而在[a，b]上产生随机数．
【变式与拓展】 4．利用随机模拟方法计算图 3-3-4 中阴影部分(曲线 y＝2x 与 x 轴，x＝±1 围成的图形)的面积．
图 3-3-4
解：(1) 利用计算机产生两组[0,1] 上的均匀随机数，a1 ＝ RAND，b1＝RAND；
其中
AE＝
a 2.
∴P(AM<AC)＝AAEB＝
2 2.
确定基本事件集和所求事件集所对应的几何
图形，并正确求相应的几何量，然后按公式计算概率即可．
【变式与拓展】
1．(2013 年湖北)在区间[－2,4]上随机地取一个数 x，若 x 满足|x|≤m 的概率为56，则 m＝________.
解析：方法一：|x|≤m 解得－m≤x≤m. 又因为 x 满足|x|≤m 的概率为56，则显然 m>0. 若 m≤2，则4－2(m－2)＝m3 ＝56，得 m＝52，不符合； 若 m≥4，则 x 满足|x|≤m 的概率为 1，也不符合； 则 2<m<4，故有m4－－((－－22))＝m＋6 2＝56，则 m＝3.
必修三几何概型习题课
（2）由（1）知当且仅当2b≤a且a>0时，函数f(x)=ax2-4bx+1在 区间［1,+∞
a b 8 0 依条件可知试验的全部结果所构成的区域为 a 0 b 0 构成所求事件的区域为三角形部分.
a b 8 0, 由 a b , 2
概率与统计
几何概型习题课
知识梳理
1.几何概型 如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或 体积)成正比，则这样的概率模型叫做几何概型.也就是说：事 件A为区域Ω的某一子区域A，A的概率只与子区域A的几何度量 (长度、面积或体积)成正比，而与A的位置和形状无关.满足以 上条件的试验称为几何概型. 2.在几何概型中，事件A P(A)=构成事件A的区域长度（面积或体积）/试验的全部结果 所构成的区域长度（面积或体积）=μA/μΩ,其中μΩ表示区域Ω的 几何度量，μA表示子区域A的几何度量.
变式探究
4.有一杯2升水中含有一个细菌，有一个小杯从这杯水中取出 0.3升水，则小杯中含有这种细菌的概率是___________ 解析：P点只能在中间一段弧上运动，该弧所对的圆心角为 150°- 45°- 75°= 30°，30/150=1/5
答案：1/5
1.几何概型是区别于古典概型的又一概率模型，几何概型适用 于试验结果是无穷多且事件是等可能发生的概率类型.
解析: 设A={等待的时间不多于10分钟}.我们所关心的事件A恰好是打
开收音机的时刻位于［50，60］时间段内，因此由几何概型的
P（A）=（60-50）/60=1/6
即“等待报时的时间不超过10分钟”的概率为1/6
点评:在本例中，等待的时间X是随机的，可以是0到60之间的任
何一刻，并且是等可能的，我们称X服从［0,60］上的均匀分布， X为［0,60］上的均匀随机数.
第6课时几何概型习题和答案详解
1．若在区间[0，2]中随机地取两个数，则这两个数中较大的数大于12的概率是( )A.916 B.34 C.1516 D.1532答案 C解析 两个数都小于12的概率为116，所以两个数中较大的数大于12的概率是1－116＝1516.2．(2019·河南豫北名校联盟精英对抗赛)已知函数f(x)＝sinx ＋3cosx ，当x ∈[0，π]时，f(x)≥1的概率为( ) A.13 B.14 C.15 D.12 答案 D解析 由f(x)＝sinx ＋3cosx ＝2sin(x ＋π3)≥1及x ∈[0，π]得x ∈[0，π2]，∴所求概率为P ＝π2π＝12. 3．(2019·河南濮阳模拟)在[－6，9]内任取一个实数m ，设f(x)＝－x 2＋mx ＋m ，则函数f(x)的图像与x 轴有公共点的概率等于( ) A.215 B.715 C.35 D.1115 答案 D解析 ∵f(x)＝－x 2＋mx ＋m 的图像与x 轴有公共点，∴Δ＝m 2＋4m>0，∴m<－4或m>0，∴在[－6，9]内取一个实数m ，函数f(x)的图像与x 轴有公共点的概率P ＝[－4－（－6）]＋（9－0）9－（－6）＝1115，故选D. 4．(2016·课标全国Ⅱ，文)某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒．若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为( ) A.710 B.58 C.38 D.310 答案 B解析 记“至少需要等待15秒才出现绿灯”为事件A ，则P(A)＝2540＝58.5．(2019·青岛一模)如图所示，四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个边长为2的大正方形，若直角三角形中较小的锐角θ＝π6.现在向该正方形区域内随机地投掷一枚飞镖，则飞镖落在小正方形内的概率是( ) A.2－32B.32C.14D.12答案 A解析 易知小正方形的边长为3－1，故小正方形的面积为S 1＝(3－1)2＝4－23，大正方形的面积为S ＝2×2＝4，故飞镖落在小正方形内的概率P ＝S 1S ＝4－234＝2－32.6.(2019·河北衡水联考)2017年8月1日是中国人民解放军建军90周年，中国人民银行为此发行了以此为主题的金银纪念币．如图所示是一枚8克圆形金质纪念币，直径22 mm ，面额100元．为了测算图中军旗部分的面积，现用1粒芝麻向硬币内投掷100次，其中恰有30次落在军旗内，据此可估计军旗的面积大约是( ) A.363π10 mm 2 B.363 π5 mm 2C.726π5 mm 2D.363π20mm 2 答案 A解析 向硬币内投掷100次，恰有30次落在军旗内，所以可估计军旗的面积大约是S ＝30100×π×112＝363π10(mm 2)．7．(2018·山西太原五中月考)在区间(0，1)上任取两个数，则两个数之和小于65的概率是( )A.1225B.1625C.1725D.1825答案 C解析 设这两个数是x ，y ，则试验所有的基本事件构成的区域即⎩⎪⎨⎪⎧0<x<1，0<y<1确定的平面区域，满足条件的事件包含的基本事件构成的区域即⎩⎪⎨⎪⎧0<x<1，0<y<1，x ＋y<65，确定的平面区域，如图所示，阴影部分的面积是1－12×(45)2＝1725，所以这两个数之和小于65的概率是1725.8．(2019·安徽淮南一模)《九章算术》是我国古代数学名著，也是古代数学的代表作．书中有如下问题：“今有勾八步，股一十五步，问勾中容圆，径几何？”其意思为：“已知直角三角形两直角边长分别为8步和15步，问其内切圆的径为多少步？”现若向此三角形内投豆子，则豆子落在其内切圆内的概率是( ) A.3π20 B.π20 C.3π10 D.π10答案 A解析 依题意，直角三角形的斜边长为17.设内切圆半径为r ，则由等面积法，可得12×8×15＝12×(8＋15＋17)r ，解得r ＝3，向此三角形内投豆子，豆子落在其内切圆内的概率是P＝π×3212×8×15＝3π20.9．(2019·云南师大附中月考)在棱长为2的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中任取一点M ，则满足∠AMB>90°的概率为( ) A.π24 B.π12 C.π8 D.π6答案 A解析 以AB 为直径作球，球在正方体内的区域体积为V ＝14×43π×13＝π3，正方体的体积为8，∴所求概率P ＝π38＝π24.10．(2019·九江模拟)定义：一个矩形，如果从中截取一个最大的正方形，剩下的矩形与原矩形相似，则称这样的矩形为黄金矩形，其宽与长的比为黄金比．如图，现在在黄金矩形ABCD 内随机取一点，则此点取自剩下的矩形EBCF 内部的概率为( )A.3－52B.5－12 C.5－22D.2－12答案 A解析 设AB ＝a ，AD ＝b ，则EB ＝a －b ，b a ＝a －b b ，整理得(b a )2＋b a －1＝0，解得ba ＝5－12(负值已舍去)．∴P ＝b （a －b ）ab ＝1－b a ＝3－52.故选A.11.(2017·课标全国Ⅰ，理)如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图．正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是( ) A.14 B.π8 C.12 D.π4答案 B解析 由题意可知，圆中黑色部分面积与白色部分面积相等．设正方形的边长为a ，则S 正方形＝a 2，S 圆＝π(a 2)2＝π4a 2，S 黑＝π8a 2.∴p ＝S 黑S 正＝π8a 2a2＝π8，故选B. 12．公共汽车在8：00到8：20内随机地到达某站等待乘客，某人8：15到达该站，则他能等到公共汽车的概率为________． 答案 14解析 ∵公共汽车在8：00到8：20内随机地到达某站，故所有基本事件对应的时间总长度L Ω＝20分钟，某人8：15到达该站，记“他能等到公共汽车”为事件A ，则L A ＝5分钟，故P(A)＝520＝14.13．(2019·湖北鄂南一中模拟)在等腰直角三角形ABC 中，∠C ＝90°，在直角边BC 上任取一点M ，则∠CAM<30°的概率是________． 答案33解析 因为点M 在直角边BC 各位置上是等可能出现的，所以测度是长度．设直角边长为a ，则所求概率为3 3aa＝33.14．若在区间[0，10]内随机取出两个数，则这两个数的平方和也在区间[0，10]内的概率是________．答案π40解析将取出的两个数分别用x，y表示，则0≤x≤10，0≤y≤10.如图所示，当点(x，y)落在图中的阴影区域时，取出的两个数的平方和也在区间[0，10]内，故所求概率为14π×10102＝π40.15．(2019·安徽合肥一中模拟)已知关于x的一元二次方程x2＋2ax＋b2＝0.(1)若a是从0，1，2，3四个数中任取的一个数，b是从0，1，2三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率；(2)若a是从区间[0，3]任取的一个数，b是从区间[0，2]任取的一个数，求上述方程有实根的概率．答案(1)34(2)23解析设事件A为“方程有实根”．当a≥0，b≥0时，方程有实根的充要条件为a≥b.(1)由题意知本题是一个古典概型，所有的基本事件为(0，0)，(0，1)，(0，2)，(1，0)，(1，1)，(1，2)，(2，0)，(2，1)，(2，2)，(3，0)，(3，1)，(3，2)，共12个，其中第一个数表示a的取值，第二个数表示b的取值．事件A中包含9个基本事件，∴事件A发生的概率为P ＝912＝34.(2)由题意知本题是一个几何概型．试验的全部结果所构成的区域为{(a，b)|0≤a≤3，0≤b ≤2}，构成事件A的区域为{(a，b)|0≤a≤3，0≤b≤2，a≥b}，∴所求的概率是3×2－12×223×2＝23.16．甲、乙两艘轮船驶向一个不能同时停泊两艘轮船的码头，它们在一昼夜内任何时刻到达是等可能的．(1)如果甲船和乙船的停泊的时间都是4小时，求它们中的任何一条船不需要等待码头空出的概率；(2)如果甲船的停泊时间为4小时，乙船的停泊时间为2小时，求它们中的任何一条船不需要等待码头空出的概率．答案(1)2536(2)221288解析(1)设甲、乙两船到达时间分别为x，y，则0≤x<24，0≤y<24且y－x>4或y－x<－4.作出区域⎩⎪⎨⎪⎧0≤x<24，0≤y<24，y－x>4或y－x<－4.设“两船无须等待码头空出”为事件A，则P(A)＝2×12×20×2024×24＝2536.(2)当甲船的停泊时间为4小时，两船不需等待码头空出，则满足x－y>2或y－x>4，设在上述条件时“两船不需等待码头空出”为事件B，画出区域⎩⎪⎨⎪⎧0≤x<24，0≤y<24，y－x>4或x－y>2.P(B)＝12×20×20＋12×22×2224×24＝442576＝221288.。
(优选)2019年高中数学第三章概率3.3几何概型3.3.1几何概型优化练习新人教A版必修3
3.3.1 几何概型[课时作业] [A 组 学业水平达标]1．如图，A 是圆O 上固定的一点，在圆上其他位置任取一点A ′，连接AA ′，它是一条弦，它的长度小于或等于半径长度的概率为( ) A.12 B.32C.13D.14解析：如图，当AA ′的长度等于半径长度时，∠AOA ′＝π3，由圆的对称性及几何概型得P ＝2π32π＝13.故选C.答案：C2．如图所示，以边长为1的正方形ABCD 的一边AB 为直径在其内部作一半圆．若在正方形中任取一点P ，则点P 恰好取自半圆部分的概率为( ) A.π2 B.12 C.π4 D.π8解析：所求概率P ＝12×π×⎝ ⎛⎭⎪⎫1221×1＝π8.故选D.答案：D3．已知地铁列车每10 min 一班，在车站停1 min ，则乘客到达站台立即乘上车的概率是( ) A.110 B.19 C.111 D.18解析：总的时间段长为10 min ，在车站停1 min ， ∴P ＝110.答案：A4．已知点P ，Q 为圆C ：x 2＋y 2＝25上的任意两点，且|PQ |＜6，若PQ中点组成的区域为M，在圆C 内任取一点，则该点落在区域M 上的概率为( ) A.35 B.925 C.1625 D.25解析：PQ 中点组成的区域M 如图阴影部分所示，那么在C 内部任取一点落在M 内的概率为25π－16π25π＝925，故选B.答案：B5．在区间[0,2]上随机地取一个数x ，则事件“－1 (x ＋12)≤1”发生的概率为( ) A.34 B.23 C.13 D. 14 解析：由－1≤(x ＋12)≤1得，≤log 12(x ＋12)≤12，12≤x ＋12≤2,0≤x ≤32，所以由几何概型概率的计算公式得，P ＝32－02－0＝34，故选A.答案：A6．点A 为周长等于3的圆周上的一个定点，若在该圆周上随机取一点B ，则劣弧 的长度小于1的概率为________．解析：如图可设与的长度等于1，则由几何概型可知其整体事件是其周长3，则其概率是23.答案：237．广告法对插播广告时间有规定，某人对某台的电视节目作了长期的统计后得出结论，他任意时间打开电视机看该台节目，看不到广告的概率约为910，那么该台每小时约有________分钟广告．解析：这是一个与时间长度有关的几何概型，这人看不到广告的概率为910，则看到广告的概率约为110，故60×110＝6.答案：68．已知线段AC ＝16 cm ，先截取AB ＝4 cm 作为长方体的高，再将线段BC 任意分成两段作为长方体的长和宽，则长方体的体积超过128 cm 3的概率为________．解析：依题意，设长方体的长为x cm ，则相应的宽为(12－x )cm ，由4x (12－x )＞128得x 2－12x ＋32＜0,4＜x ＜8，因此所求的概率等于8－412＝13.答案：139．一个路口的红灯亮的时间为30秒，黄灯亮的时间为5秒，绿灯亮的时间为40秒，当你到达路口时，看见下列三种情况的概率各是多少？ (1)红灯亮；(2)黄灯亮；(3)不是红灯亮．解析：在75秒内，每一时刻到达路口亮灯的时间是等可能的，属于几何概型． (1)P ＝红灯亮的时间全部时间＝3030＋40＋5＝25；(2)P ＝黄灯亮的时间全部时间＝575＝115；(3)P ＝不是红灯亮的时间全部时间＝黄灯亮或绿灯亮的时间全部时间＝4575＝35. 10．在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，棱长为1，在正方体内随机取一点M ，求使M ABCD 的体积小于16的概率．解析：设点M 到面ABCD 的距离为h ， 则V M ABCD ＝13S 底ABCD ·h ＝16，即h ＝12.所以只要点M 到面ABCD 的距离小于12时，即满足条件．所有满足点M 到面ABCD 的距离小于12的点组成以面ABCD 为底，高为12的长方体，其体积为12.又因为正方体体积为1，所以使四棱锥M ABCD 的体积小于16的概率为P ＝121＝12.[B 组 应考能力提升]1．如图所示，在一个边长为a ，b (a >b >0)的矩形内画一个梯形，梯形上、下底长分别为a 3与a2，高为b .向该矩形内随机地投一点，则所投的点落在梯形内部的概率为( ) A.112 B.14 C.512 D.712解析：两“几何度量”即为两面积，直接套用几何概型的概率公式．S 矩形＝ab ，S 梯形＝12(13a ＋12a )·b＝512ab ，所以所投的点落在梯形内部的概率为S 梯形S 矩形＝512ab ab ＝512. 答案：C2．如图，矩形ABCD 中，点A 在x 轴上，点B 的坐标为(1,0)．且点C 与点D 在函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≥0－12x ＋1，x ＜0的图象上．若在矩形ABCD 内随机取一点，则该点取自阴影部分的概率等于( )A.16B.14C.38D.12解析：由已知得B (1,0)，C (1,2)，D (－2,2)，F (0,1)，则矩形ABCD 的面积为3×2＝6，阴影部分的面积为12×3×1＝32，故该点取自阴影部分的概率等于326＝14.答案：B3.如图，在圆心角为90°的扇形中，以圆心O 为起点作射线OC ，则使得∠AOC 和∠BOC 都不小于30°的概率是________．解析：将圆心角为90°的扇形等分成三部分：当射线OC 位于中间一部分时，使得∠AOC 和∠BOC 都不小于30°， ∴使得∠AOC 和∠BOC 都不小于30°的概率为：P ＝中间部分的圆心角大小÷整个扇形的圆心角的大小＝30°÷90°＝13，故使得∠AOC 和∠BOC都不小于30°的概率为13.答案：134．如图所示，墙上挂着一块边长为16 cm 的正方形木板，上面画了大、中、小三个同心圆，半径分别为6 cm ，4 cm ，2 cm.某人站在3 m 之外向此板投镖，设投镖击中线上或没有击中木板时都不算，可重投，问： (1)投中大圆内的概率是多少？(2)投中小圆与中圆形成的圆环的概率是多少？ (3)投中大圆之外的概率是多少？解析：整个正方形木板的面积，即基本事件所占的区域总面积D ＝16×16＝256(cm 2)． 设“投中大圆内”为事件A ，“投中小圆与中圆形成的圆环”为事件B ，“投中大圆之外”为事件C ，则事件A 所占区域面积为d A ＝π×62＝36π(cm 2)； 事件B 所占区域面积为d B ＝π×42－π×22＝16π－4π＝12π(cm 2)；事件C 所占区域面积为d C ＝D －d A ＝(256－36π)(cm 2)．由几何概型的概率公式，得(1)P (A )＝d A D ＝36π256＝964π，即投中大圆内的概率为964π.(2)P (B )＝d B D ＝12π256＝364π，即投中小圆与中圆形成的圆环的概率为364π.(3)P (C )＝d C D ＝256－36π256＝1－964π，即投中大圆之外的概率为1－964π.5.设关于x 的一元二次方程x 2＋2ax ＋b 2＝0.(1)若a 是从0,1,2,3四个数中任取的一个数，b 是从0,1,2三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率；(2)若a 是从区间[0,3]内任取的一个数，b 是从区间[0,2]内任取的一个数，求上述方程有实根的概率．解析：设事件A 为“方程x 2＋2ax ＋b 2＝0有实根”，当a ≥0，b ≥0时，此方程有实根的条件是(2a )2－4b 2≥0，即a ≥b .(1)基本事件共有12个，分别是(0,0)，(0,1)，(0,2)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，(3,0)，(3，1)，(3,2)，其中括号内第一个数表示a 的取值，第二个数表示b 的取值． 事件A 中包含9个基本事件，故事件A 发生的概率为P (A )＝912＝34.(2)试验的全部结果所构成的区域为{(a ，b )|0≤a ≤3,0≤b ≤2}，而构成事件A 的区域为{(a ，b )|0≤a ≤3,0≤b ≤2，a ≥b }，即如图所示的阴影部分，所以P (A )＝3×2－12×223×2＝23.。
2017人教a版高中数学必修三3.3.1几何概型练习
几何概型3.3.1 几何概型双基达标 限时20分钟1．如图，边长为2的正方形中有一封锁曲线围成的阴影区域、在正方形中随机撒一粒豆子，它落在阴影区域内的概率为23，则阴影区域的面积为号( )．D ．无法计算解析 由几何概型的概率公式知S 阴S 正＝23，所以S 阴＝23·S 正＝83. 答案 B2．在第1题中若将100粒豆子随机撒入正方形中，恰有60粒豆子落在阴影区域内，这时阴影区域的面积约为 ( )．D ．无法计算解析 因为S 阴S 正＝N 1N ，所以S 阴4＝60100，所以S 阴＝60100×4＝125. 答案 A3．下列概率模型中，几何概型的个数为 ( )． ①从区间[－10,10]内任掏出一个数，求取到1的概率；②从区间[－10,10]内任掏出一个数，求取到绝对值不大于1的数的概率；③从区间[－10,10]内任掏出一个整数，求取到大于1而小于2的数的概率；④向一个边长为4 cm 的正方形ABCD 内投一点P ，求点P 离中心不超过1 cm 的概率．A ．1B ．2C ．3D ．4解析 ①不是几何概型，虽然区间[－10,10]有无穷多个点，但取到“1”只是一个数字，不能组成区域长度；②是几何概型，因为区间[－10,10]和[－1,1]上有无穷多个数可取(知足无穷性)，且在这两个区间内每一个数被取到的机缘是相等的(知足等可能性)；③不是几何概型，因为区间[－10,10]上的整数只有21个(是有限的)，不知足无穷性特征；④是几何概型，因为在边长为4 cm 的正方形和半径为1 cm 的圆内均有无数多个点，且这两个区域内的任何一个点都有可能被投到，故知足无穷性和等可能性．答案 B4．两根相距6 m 的木杆系一根绳索，并在绳索上挂一盏灯，则灯与两头距离都大于2 m 的概率是________．解析 由已知得：P ＝26＝13. 答案 13 5．如图，在一个边长为a 、b (a ＞b ＞0)的矩形内画一个梯形，梯形上、下底别离为13a 与12a ，高为b ，向该矩形内随机投一点，则所投的点落在梯形内部的概率为________．解析 两“几何气宇”即为两面积，直接套用几何概型的概率公式．S 矩形＝ab ，S 梯形＝12(13a ＋12a )·b ＝512ab ，所以所投的点落在梯形内部的概率为S 梯形S 矩形＝512ab ab ＝512. 答案 5126．设有一个等边三角形网格，其中各个最小等边三角形的边长都是4 3 cm ，现用直径等于2 cm 的硬币抛掷到此网格上，求硬币落下后与格线没有公共点的概率．解 记A ＝{硬币落下后与格线没有公共点}，如图，在边长为4 3 cm 的等边三角形内作小等边三角形，使其三边与原等边三角形三边距离都为1，则等边三角形A ′B ′C ′的边长为43－23＝23，由几何概率公式得：P (A )＝3423234432＝14. 综合提高 限时25分钟7．已知地铁列车每10 min 一班，在车站停1 min ，则乘客抵达站台当即乘上车的概率是( )．解析 实验的所有结果组成的区域长度为10 min ，而组成事件A 的区域长度为1 min ，故P (A )＝110. 答案 A8．在面积为S 的△ABC 的边AB 上任取一点P ，则△PBC 的面积大于S4的概率是 ( )．解析 如右图所示，在边AB 上任取一点P ，因为△ABC 与△PBC 是等高的，所以事件“△PBC 的面积大于S 4”等价于事件“|BP |∶|AB | ＞14”．即P (△PBC 的面积大于S 4)＝|PA ||BA |＝34. 答案 C9．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1内随机取点，则该点落在三棱锥A 1－ABC 内的概率是________． 解析 本题为体积型几何概型问题， P ＝VA 1－ABC VABCD －A 1B 1C 1D 1＝16. 答案 1610．如图所示，在直角坐标系内，射线OT 落在60°角的终边上，任作一条射线OA ，则射线OA 落在∠xOT 内的概率是________．解析 记事件A 为“射线OA 落在∠xOT 内”，因为∠xOT ＝60°，周角为360°，故P (A )＝60°360°＝16. 答案 1611．设关于x 的一元二次方程x 2＋2ax ＋b 2＝0.(1)若a 是从0,1,2,3四个数中任取的一个数，b 是从0,1,2三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率；(2)若a 是从区间[0,3]任取一个数，b 是从区间[0,2]任取一个数，求上述方程有实根的概率．解 设事件A 为“方程x 2＋2ax ＋b 2＝0有实根”，当a ≥0，b ≥0时，此方程有实根的条件是a ≥b .(1)全集Ω＝{(0,0)，(0,1)，(0,2)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，(3,0)，(3,1)，(3,2)}，其中第一个数表示a 的取值，第二个数表示b 的取值，事件A ＝{(0,0)，(1,0)，(1,1)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，(3,0)，(3,1)，(3,2)}，故P (A )＝912＝34. (2)实验的全数结果所组成的区域为{(a ，b )|0≤a ≤3，0≤b ≤2}，而组成A 的区域为{(a ，b )|0≤a ≤3,0≤b ≤2，a ≥b }，如图所示的阴影部份，所以P (A )＝3×2－12×223×2＝23. 12．(创新拓展)国家安全机关监听录音机记录了两个间谍的谈话，发觉30 min 长的磁带上，从开始30 s 处起，有10 s 长的一段内容包括间谍犯法的信息．后来发觉，这段谈话的一部份被某工作人员擦掉了，该工作人员宣称他完尽是无心中按错了键，使从此处起往后的所有内容都被擦掉了．那么由于按错了键使含有犯法内容的谈话被部份或全数擦掉的概率有多大？解 记A ＝{按错键使含有犯法内容的谈话被部份或全数擦掉}，A 发生就是在0到23min 时刻段内按错键．P (A )＝2330＝145.。
2021年高考数学专题复习 第45讲 几何概型练习 新人教A版
2021年高考数学专题复习第45讲几何概型练习新人教A版[考情展望] 1.考查与长度、面积、体积等有关的几何概型计算.2.主要以选择题和填空题形式考查，一般为中低档题．一、几何概型的定义如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型．二、几何概型的两个基本特点几何概型的特点几何概型与古典概型的区别是几何概型试验中的可能结果不是有限个，它的特点是试验结果在一个区域内均匀分布，故随机事件的概率大小与随机事件所在区域的形状位置无关，只与该区域的大小有关．三、几何概型的概率公式P(A)＝构成事件A的区域长度面积或体积试验的全部结果所构成的区域长度面积或体积.1．某路公共汽车每5分钟发车一次，某乘客到乘车点的时刻是随机的，则他候车时间不超过2分钟的概率是( )A.35B.45C.25D.15【解析】 试验的全部结果构成的区域长度为5，所求事件的区域长度为2，故所求概率为P ＝25.【答案】 C2．有四个游戏盘，将它们水平放稳后，在上面扔一颗玻璃小球，若小球落在阴影部分，则可中奖，小明要想增加中奖机会，应选择的游戏盘是( )【解析】 P (A )＝38，P (B )＝28，P (C )＝26，P (D )＝13，∴P (A )＞P (C )＝P (D )＞P (B )． 【答案】 A图10－6－13．如图10－6－1，矩形ABCD 中，点E 为边CD 的中点．若在矩形ABCD 内部随机取一个点Q ，则点Q 取自△ABE 内部的概率等于( )A.14 B.13 C.12D.23【解析】 “点Q 取自△ABE 内部”记为事件M ，由几何概型得P (M )＝S △ABES 矩形ABCD＝12·|AB |·|AD ||AB |·|AD |＝12.【答案】 C4．在棱长为2的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，点O 为底面ABCD 的中心，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1内随机取一点P ，则点P 到点O 的距离大于1的概率为________．【解析】 记“点P 到点O 的距离大于1”为事件A ，则事件A 发生时，点P 位于以O 为球心，以1为半径的半球外．又V 正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1＝23＝8，V 半球＝12·43π·13＝23π.∴所求事件概率P (A )＝8－23π8＝1－π12.【答案】 1－π125．(xx·陕西高考)图10－6－2如图10－6－2，在矩形区域ABCD 的A ，C 两点处各有一个通信基战，假设其信号的覆盖范围分别是扇形区域ADE 和扇形区域CBF (该矩形区域内无其他信号来源，基站工作正常)．若在该矩形区域内随机地选一地点，则该地点无信号的概率是( )A ．1－π4 B.π2－1 C ．2－π2D.π4【解析】 取面积为测度，则所求概率为P ＝S 图形DEBFS 矩形ABCD ＝2×1－π×12×14×22×1＝2－π22＝1－π4. 【答案】 A6．(xx·福建高考)利用计算机产生0～1之间的均匀随机数a ，则事件“3a －1＞0”发生的概率为________．【解析】 选择区间长度为测度求解几何概型．由题意知0≤a ≤1.事件“3a －1＞0”发生时，a ＞13且a ≤1，取区间长度为测度，由几何概型的概率公式得其概率P ＝1－131＝23.【答案】 23考向一 [186] 与长度有关的几何概型在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π2上随机取一个数x ，则sin x ＋cos x ∈[1，2]的概率是( )A.12B.34C.38D.58【思路点拨】 先化简不等式，确定满足2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4∈[1，2]且在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π2内x 的范围，根据几何概型利用长度之比可得结论．【尝试解答】 ∵sin x ＋cos x ∈[1，2]，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤22，1，∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π2， ∴在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π2内，满足sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤22，1的x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴事件sin x ＋cos x ∈[1，2]的概率为P ＝π2－0π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝34.【答案】 B规律方法1 1.解答本题的关键是确定x 的取值范围，这需要用到三角函数的单调性． 2．几何概型有两个特点：一是无限性，二是等可能性．基本事件可以抽象为点，尽管这些点是无限的，但它们所占据的区域都是有限的，因此可用“比例解法”求解几何概型的概率．对点训练 已知函数f (x )＝log 2x ，若在[1,4]上随机取一个实数x 0，则使得f (x 0)≥1成立的概率为( )A.13B.12C.23D.34【解析】 解不等式log 2x ≥1，可得x ≥2，∴在区间[1,4]上随机取一实数x ，该实数x 满足不等式1≤log 2x 的概率为4－24－1＝23.【答案】 C考向二 [187] 与面积有关的几何概型如图10－6－3所示，在一个边长为1的正方形AOBC 内，曲线y ＝x 和曲线y ＝x2围成一个叶形图(阴影部分)，向正方形AOBC 内随机投一点(该点落在正方形AOBC 内任何一点是等可能的)，则所投的点落在叶形图内部的概率是________．图10－6－3【思路点拨】 利用积分求出阴影部分的面积，根据几何概型公式求解． 【尝试解答】 由{ y ＝x y ＝x 2得{ x ＝0y ＝0或{ x ＝1，y ＝1，故点C 的坐标为(1,1)，∴阴影部分的面积为S ＝⎠⎛01(x －x 2)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23x 32－13x 3|10＝13，而正方形的面积为1，故所求的概率P ＝S 阴影S 正方形＝13.【答案】 13规律方法2 1当试验的结果构成的区域为长度、面积、体积等时，应考虑使用几何概型求解.2利用几何概型求概率时，关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的寻找，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域.对点训练 如图10－6－4，图10－6－4矩形OABC 内的阴影部分是由曲线f(x)＝sin x(x∈(0，π))及直线x ＝a(a∈(0，π))与x 轴围成，向矩形OABC 内随机投掷一点，若落在阴影部分的概率为316，则a 的值是________．【解析】 ⎠⎛0a sin x d x ＝－cos x |a0＝1－cos a ＝316×a×8a ＝32，∴cos a ＝－12，∴a＝2π3.【答案】2π3考向三 [188] 与体积有关的几何概型在球O 内任取一点P ，使得P 点在球O 的内接正方体中的概率是( ) A.112π B.13π C.233π D.312π【思路点拨】 先根据球的内接正方体的体对角线长即为球的直径求出边长，然后分别求出球和正方体的体积，最后利用几何概型的概率公式进行计算即可．【尝试解答】 设球的半径为R ，则球O 的内接正方体的体对角线为2R根据边长为a 的正方体的体对角线长为3a ，可知正方体的体对角线为2R ，则正方体的边长为2R 3＝23R3球的体积为4πR 33，球O 的内接正方体的体积为⎝⎛⎭⎪⎫23R 33＝83R39∴在球O 内任取一点P ，使得P 点在球O 的内接正方体中的概率是83R394πR 33＝233π 【答案】 C规律方法3 求解几何概型的概率问题，一定要正确确定试验的全部结果构成的区域，从而正确选择合理的测度，进而利用概率公式求解.对点训练 一只小蜜蜂在一个棱长为4的正方体内自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体中心的距离不超过1，称其为“安全飞行”，则蜜蜂“安全飞行”的概率是( )A.π64 B.π48 C.π16 D.π12【解析】 正方体的体积为64，与正方体中心的距离不超过1构成半径为1的球，体积为4π3，即P ＝4π364＝π48，故选B.【答案】 B规范解答之二十二 概率与函数相结合的综合问题 ————[1个示范例]————[1个规范练]————(12分)(xx·潍坊模拟)已知关于x 的二次函数f (x )＝ax 2－4bx ＋1.(1)设集合P ＝{1,2,3}和Q ＝{－1,1,2,3,4}，分别从集合P 和Q 中随机取一个数作为a 和b ，求函数y ＝f (x )在区间[1，＋∞)上是增函数的概率；(2)设点(a ，b )是区域⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －8≤0，x ＞0，y ＞0内的一点，求函数y ＝f (x )在区间[1，＋∞)上是增函数的概率．【规范解答】 (1)∵函数f (x )＝ax 2－4bx ＋1的图象的对称轴为直线x ＝2b a，要使f (x )＝ax 2－4bx ＋1在区间[1，＋∞)上为增函数，当且仅当a ＞0且2ba≤1，即2b ≤a .2分若a ＝1，则b ＝－1； 若a ＝2，则b ＝－1或1； 若a ＝3，则b ＝－1或1.∴事件包含基本事件的个数是1＋2＋2＝5.5分 而满足条件的数对(a ，b )共有3×5＝15个 ∴所求事件的概率为515＝13.6分(2)由(1)知，当且仅当2b ≤a 且a ＞0时，函数f (x )＝ax 2－4bx ＋1在区间[1，＋∞)上为增函数，8分 依条件可知试验的全部结果所构成的区域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ，b⎪⎪⎪a ＋b －8≤0，a ＞0，b ＞0，构成所求事件的区域为三角形.9分 由⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b －8＝0，b ＝a 2，得交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫163，83，10分∴所求事件的概率为P ＝12×8×8312×8×8＝13.12分【名师寄语】 本例中先将f x在[1，＋∞上为增函数转化为满足条件2b ≤a 且a ＞0，然后再联系已知条件，将问题转化为几何概型，实现了知识的逐步迁移，这种转化迁移的思想值得注意，另外，对于二次函数f x ＝ax 2＋bx ＋ca ≠0，在某一区间[m ，＋∞上单调递增的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，－b2a≤m ， 切勿漏掉a ＞0.已知关于x 的二次函数f (x )＝ax 2－8bx ＋1设点(a ，b )是区域⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －6≤0x ＞0y ＞0内的随机点，求函数y ＝f (x )在区间[2，＋∞)上是增函数的概率．【解】 (1)∵函数f (x )＝ax 2－8bx ＋1的图象的对称轴为x ＝4b a.∴要使f(x)＝ax2－8bx＋1在区间[2，＋∞)上为增函数，当且仅当a＞0且4ba≤2，即2b≤a，且a＞0时，函数f(x)＝ax2－8bx＋1在区间[2，＋∞)上为增函数，依条件可知试验的全部结果所构成的区域为：⎩⎪⎨⎪⎧a＋b－6≤0a＞0b＞0，对应图中的△AOC及其内部，其中A(6,0)，C(0,6)而构成所求事件的区域为△AOB部分及其内部，如图所示．由⎩⎪⎨⎪⎧a＋b－6＝0b＝a2解得交点为B(4,2)．∴函数在区间[2，＋∞)上是增函数的概率为P＝S△AOBS△AOC＝12×6×212×6×6＝13.21778 5512 唒 q22225 56D1 囑21055 523F 刿28476 6F3C 漼_35789 8BCD 词25882 651A 攚B134003 84D3 蓓30708 77F4 矴24904 6148 慈。
几何概型练习苏教版必修
第8课时7.3.3 几何概型(3)
分层训练
1、如图，某人向圆内投镖，如果他每次都投入圆内，那么他投中正方形区域的概率为（ ）
A ．
2
π B ．1π
C ．23
D ．13
2、现有100ml 的蒸馏水，假定里面有一个细菌，现从中抽取20ml 的蒸馏水，则抽到细菌的概率为（ ）
A ．1100
B ．120
C ．110
D ．15
3、一艘轮船只有在涨潮的时候才能驶入港口，已知该港口每天涨潮的时间为早晨5:00至6：00和下午4：30至5：30，则该船在一昼夜内可以进港的概率是__________
4、一只蚂蚁在三边长分别为3，4，5的三角形的边上爬行，某时刻该蚂蚁距离三角形的三个顶点的距离均超过1的概率为（ ） A.43 B.21 C.31 D.3
2 5、若过正三角形ABC 的顶点A 任作一条直线L ，则L 与线段BC 相交的概率为_______
拓展延伸
6、往一边长为6厘米的正方形桌面上随机地扔一半径为1厘米的质地均匀的小圆片,求圆片在桌面上与桌面四周无交点的概率.
7、从(0,1)中随机地取两个数,求两数平方和小于14
的概率.
本节学习疑点：
7.3.3 几何概型(3)
1、A
2、D
3、1/12
4、B
5、1/3
6、94
6422==P 7、 1/2
8、设两数分别为,x y ,则 22140101x y x y ⎧+<⎪⎪<<⎨⎪<<⎪⎩,211()42116P ππ⋅⋅==。
高二数学3.3.1几何概型练习新人教A版必修3
) ，故所求概率为
4π 1
＝
π .
4
S
6．在面积 S 为△ ABC的边 AB上任取一点 P，则△ PBC的面积大于 4的概率是 (
)
1
1
A.
B.
4
2
3
2
C.
D.
4
3
[ 答案 ] C
1 [ 解析 ] 如图， 设点 C 到边 AB的距离为 h，则 S ＝ △ABC | AB| · h，S△PBC
2
1
1
1
184 23 P( A) ＝ 600＝ 75≈0.31.
[ 点评 ] 解决此类题的关键：
(1) 根据题意确定是与面积 ( 体积 ) 有关的几何概型； (2) 找出或构造出对应的几何图形，求出面积 ( 体积 ) ．
能力提升
一、选择题
1．在腰长为 2 的等腰直角三角形内任取一点，则该点到此三角形的直角顶点的距离小于
1
的概率为 ( )
π
π
π
A. 16 B. 8 C. 4
π D. 2
[ 答案 ] B
[ 解析 ] 该点到此三角形的直角顶点的距离小于
1πຫໍສະໝຸດ 为半径的 4圆内，所以所求的概率为 8 .
1，则此点落在以直角顶点为圆心， 1
2．一只蚂蚁在边长分别为 小于 1 的地方的概率为 (
3,4,5 的三角形区域内随机爬行，则其恰在离三个顶点距离都不 )
1
1
1
A. B.
C.
D.
3
6
2
4
[ 答案 ] B
[ 解析 ] 体积型几何概型问题．
VA1－ABC 1
P＝
VABC－D
＝ A1B1C1D1
几何概型习题课
7.（1）x和y取值都是区间[1,4]中的整数， 任取一个x的值和一个y的值， 求 “ x – y ≥1 ”的概率。
y 4 3 2 1
作直线 x - y=1
古典概型
P=3/8
-1
1
2
3
4
x
（2）x和y取值都是区间[1,4]中的实数， 任取一个x的值和一个y的值， 求 “ x – y ≥1 ”的概率。
2
(2)由(1)知当且仅当 2b≤a 且 a＞0 时， 函数 f(x)＝ax2－4bx＋1 在区间[1，＋∞)上为增函数， 依条件可知试验的全部结果所构成的区域为
a＋b－8≤0 {(a，b)|a＞0 }， b＞0
构成所求事件的区域为三角形区域． a＋b－8＝0 16 8 由 a 得交点坐标为 ( ， )， 3 3 b＝ 2 1 8 × 8× 2 3 1 ∴所求事件的概率为 P＝ ＝ . 1 3 ×8×8 2
1 A. 3
2 B. 3
1 C. 9
2 D. 9
题组四：与面积有关的几何概型（重点）
4、设在区间[0，2]中随机地取两个数，求下 列事件的概率.
15 (1)两个数中较大的大于1/2；16 (2)两数之和大于3/4. 119 128
练习:分别在区间[1,6]和[2,4]内任取一实 数，依次记为m和n，则 m n
正解 射线 CD 在∠ACB 内是均匀分 布的，故∠ACB＝90° 可看成试验的所有 结果构成的区域， 在线段 AB 上取一点 E， 使 AE＝AC，则∠ACE＝67.5° 可看成所求 事件构成的区域，所以满足条件的概率为 67.5° 3 ＝ . 90° 4
知 能 层 层 练 1． (2011· 福州质检)在如图所示的正方形中随机掷一粒豆子， 豆 子落在正方形内切圆的上半圆(图中阴影部分)中的概率是( )
几何概型习题课(李锦万)
2a
O r
M
ar P ( A) a
3.国家安全机关监听录音机记录了两个间谍的谈话， 发现30min的磁带上，从开始30s处起，有10s长的一段内 容包含间谍犯罪的信息．后来发现,这段谈话的部分被某 工作人员擦掉了，该工作人员声称他完全是无意中按错 了键，使从此后起往后的所有内容都被擦了．那么由于 按错了键使含有犯罪内容的谈话被部分或全部擦掉的概 率有多大？
2a
解:
记“豆子落在圆内”为 事件A,
2
圆的面积 πa π P(A) 2 正方形面积 4a 4 π 答 豆子落入圆内的概率为 . 4 我们在正方形中撒了n颗豆子，其中有m颗豆
4m 子落在圆中，则圆周率 的值近似等于 n
2.两根相距8m的木杆上系一根拉直绳子, 并在绳子上挂一盏灯,求灯与两端距离都 大于3m的概率.
解：设事件A：硬币不与任一平行线 相碰。为了确定硬币的位置，由硬 币中心O向靠得最近的平行线引垂线 OM,垂足为M,线段OM的长度取值范 围是[0，a]，其长度就是几何概型定 义中试验全部结果所构成的区域的 长度。只有当 r OM a 时，硬币不 与平行线相碰，其长度就是子区域A 的几何度量。
。
配套练习：
1.
在一个边长为a,b(a>b>0）的矩形内画一个
1 1 a与 a 梯形，梯形上下底分别为 ，高为b,向 3 2
该矩形内随投一点，求所投得点落在梯形内部的 概率。
2：平面上画了一些彼此相距2a的 平行线，把一枚半径r<a的硬币任意 掷在这个平面上，求硬币不与任何一 条平行线相碰的概率．
24
解：设事件A={有一艘轮船 停靠泊位必须等待一段时 间}。以x轴和y轴分别表示 甲乙两船到达泊位的时间.
10[1].09.15高二数学(理)《几何概型+习题课》(实用)精品文档41页
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三角形内角分别为∠A、 ∠B、 ∠C.
设∠A＝x， ∠B＝y，则 A
00
x y
,
0 (x y)
B
C
湖南长郡卫星远程学校
制作 06
2010年下学期
思考：在一个圆上任取三点A、B、C, 求能构
成锐角三角形的概率.
解：在一个圆上任取三点A、B、C，构成的
三角形内角分别为∠A、 ∠B、 ∠C.
2010年下学期
回顾小结
1.几何概型的特点 2.古典概型与几何概型的区别. 3.几何概型的概率公式. 4.求几何概型概率的基本步骤 5.几何概型的四种类型
湖南长郡卫星远程学校
制作 06
2010年下学期
拓展延伸
“抛阶砖”是国外游乐场的典型游戏之 一。参与者只须将手上的“金币”(设“金币” 的直径为 r)抛向离身边若干距离的阶砖平面上， 抛出的“金币”若恰好落在任何一个阶砖(边长 为a的正方形)的范围内(不与阶砖相连的线重叠)， 便可获奖.
随堂练习
1.在区间[0,10]中任意取一个数，则它与4
之和大于10的概率是( 2 )
5
2.若过正三角形ABC的顶点A任作一条直
线L，则L与线段BC相交的概率为( )
3.在正方形ABCD内随机取一点P，
则：∠APB ＞ 90°的概率是(
)
∠APB = 90°的概率是(
)
湖南长郡卫星远程学校
制作 06
随堂练习
1.在区间[0,10]中任意取一个数，则它与4
之和大于10的概率是( )
2.若过正三角形ABC的顶点A任作一条直
线L，则L与线段BC相交的概率为( )
3.在正方形ABCD内随机取一点P，
几何概型习题课
例1．一个实验是这样做的，将一条5米长的绳 子随机地切断成两条，事件T表示所切两段绳 子都不短于1米的事件，考虑事件T发生的概率。
例2．（CB对讲机问题）（CB即CitizenBand市 民波段的英文缩写）两个CB对讲机持有者，莉 莉和霍伊都为卡尔货运公司工作，他们的对讲 机的接收范围为25公里，在下午3:0O时莉莉正 在基地正东距基地30公里以内的某处向基地行 驶，而霍伊在下午3：00时正在基地正北距基地 40公里以内的某地向基地行驶，试问在下午3： 0O时他们能够通过对讲机交谈的概率有多大？
例 3. 在区间 [ 1，]上随机取一个数 1 介于 0 到 1 3 1 2 A. B. 2 之间的概率为 1 2 2 3
x， cos
πx 2
的值
C.
D.
例4：两人相约7点到8点在某地会面，先到者等候另一 人20分钟，过时离去．则 求两人会面的概率为 A．
1 3
B．
4 9
C．
5 9
D．
7 10
高中数学 第三章 概率 3.3 几何概型专项讲解与训练(含解析)新人教A版必修3
3.3 几何概型一．理论基础 1．几何概型设D 是一个可度量的区域(例如线段、平面图形、立体图形等)，每个基本事件可以视为从区域D 内随机地取一点，区域D 内的每一点被取到的机会都一样；随机事件A 的发生可以视为恰好取到区域D 内的某个指定区域d 中的点．这时，事件A 发生的概率与d 的测度(长度、面积、体积等)成正比，与d 的形状和位置无关．把满足这样条件的概率模型称为几何概型． 2．在几何概型中，事件A 的概率计算公式P (A )＝d 的测度D 的测度.3．几何概型试验的两个基本特点(1)无限性：在一次试验中，可能出现的结果有无限多个； (2)等可能性：每个结果的发生具有等可能性．二.通法提炼题型一 与长度、角度有关的几何概型例1 (1)在区间[－1,1]上随机取一个数x ，求cos π2x 的值介于0到12之间的概率．(2)如图所示，在△ABC 中，∠B ＝60°，∠C ＝45°，高AD ＝3，在∠BAC 内作射线AM 交BC 于点M ，求BM <1的概率．cosπ2x的值介于0到12之间的概率为232＝13.(1)在区间[－2,3]上随机选取一个数X，则X≤1的概率为________．(2)在半径为1的圆内的一条直径上任取一点，过这个点作垂直于直径的弦，则弦长超过圆内接等边三角形边长的概率是________．【答案】(1)35(2)12【解析】(1)在区间[－2,3]上随机选取一个数X，则X≤1，即－2≤X≤1的概率为P＝35.(2)记事件A为“弦长超过圆内接等边三角形的边长”，如图，不妨在过等边三角形BCD的顶点B的直径BE 上任取一点F作垂直于直径的弦，当弦为CD时，就是等边三角形的边长(此时F为OE中点)，弦长大于CD 的充要条件是圆心O到弦的距离小于OF，由几何概型公式得：P(A)＝12×22＝12.题型二与面积、体积有关的几何概型例2 (1)设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧0≤x≤2，0≤y≤2表示的平面区域为D，在区域D内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是________．(2)有一个底面圆的半径为1、高为2的圆柱，点O为这个圆柱底面圆的圆心，在这个圆柱内随机取一点P，则点P到点O的距离大于1的概率为________．思维点拨求随机点所在区域与所有区域的面积或体积比．【答案】 (1)4－π4 (2)23(1)在区间[－π，π]内随机取出两个数分别记为a ，b ，则函数f (x )＝x 2＋2ax －b 2＋π2有零点的概率为________．(2)在棱长为2的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点O 为底面ABCD 的中心，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1 内随机取一点P ，则点P 到点O 的距离大于1的概率为________． 【答案】 (1)1－π4 (2)1－π12【解析】 (1)由函数f (x )＝x 2＋2ax －b 2＋π2有零点， 可得Δ＝(2a )2－4(－b 2＋π2)≥0，整理得a 2＋b 2≥π2， 如图所示，(a ，b )可看成坐标平面上的点，试验的全部结果构成的区域为Ω＝{(a ，b )|－π≤a ≤π，－π≤b ≤π}，其面积S Ω＝(2π)2＝4π2.事件A 表示函数f (x )有零点，所构成的区域为M ＝{(a ，b )|a 2＋b 2≥π2}， 即图中阴影部分，其面积为S M ＝4π2－π3，故P (A )＝S M S Ω＝4π2－π34π2＝1－π4. (2)V 正＝23＝8，V 半球＝12×43π×13＝23π，V 半球V 正＝2π8×3＝π12， 故点P 到O 的距离大于1的概率为1－π12.题型三 生活中的几何概型问题例3 甲、乙两船驶向一个不能同时停泊两艘船的码头，它们在一昼夜内到达该码头的时刻是等可能的．如果甲船停泊时间为1 h ，乙船停泊时间为2 h ，求它们中的任意一艘都不需要等待码头空出的概率． 思维点拨 当基本事件受两个连续变量控制时，一般是把两个连续变量分别作为一个点的横坐标和纵坐标，这样基本事件就构成了平面上的一个区域，即可借助平面区域解决．(4)结论：将解出的数学模型的解转化为题目要求的结论．某校早上8：00开始上课，假设该校学生小张与小王在早上7：30～7：50之间到校，且每人在该时间段的任何时刻到校是等可能的，则小张比小王至少早5分钟到校的概率为________．(用数字作答)【答案】9 32三．归纳总结1．区分古典概型和几何概型最重要的是看基本事件的个数是有限个还是无限个．2．转化思想的应用对一个具体问题，可以将其几何化，如建立坐标系将试验结果和点对应，然后利用几何概型概率公式．(1)一般地，一个连续变量可建立与长度有关的几何概型，只需把这个变量放在坐标轴上即可；(2)若一个随机事件需要用两个变量来描述，则可用这两个变量的有序实数对来表示它的基本事件，然后利用平面直角坐标系就能顺利地建立与面积有关的几何概型；(3)若一个随机事件需要用三个连续变量来描述，则可用这三个变量组成的有序数组来表示基本事件，利用空间直角坐标系建立与体积有关的几何概型．四、巩固练习1．从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，则这2个点的距离不小于该正方形边长的概率为________．【答案】3 5【解析】 取两个点的所有情况为10种，所有距离不小于正方形边长的情况有6种，概率为610＝35.2．设p 在[0,5]上随机地取值，则方程x 2＋px ＋p 4＋12＝0有实根的概率为________．【答案】 35【解析】 一元二次方程有实数根⇔Δ≥0，而Δ＝p 2－4⎝ ⎛⎭⎪⎫p 4＋12＝(p ＋1)(p －2)，解得p ≤－1或p ≥2，故所求概率为P ＝[0，5]∩{－∞，－1]∪[2，＋∞}的长度[0，5]的长度＝35.3．在区间[－1,4]内取一个数x ，则2x －x 2≥14的概率是________．【答案】 35【解析】 不等式2x －x 2≥14，可化为x 2－x －2≤0，则－1≤x ≤2，故所求概率为2－－14－－1＝35.4．已知△ABC 中，∠ABC ＝60°，AB ＝2，BC ＝6，在BC 上任取一点D ，则使△ABD 为钝角三角形的概率为______．【答案】 125．如图，在圆心角为直角的扇形OA B 中，分别以OA ，OB 为直径作两个半圆．在扇形OAB 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是________．【答案】 1－2π【解析】 设分别以OA ，OB 为直径的两个半圆交于点C ，OA 的中点为D ，如图，连结OC ，DC . 不妨令OA ＝OB ＝2， 则OD ＝DA ＝DC ＝1.在以OA 为直径的半圆中，空白部分面积S 1＝π4＋12×1×1－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－12×1×1＝1， 所以整体图形中空白部分面积S 2＝2. 又因为S 扇形OAB ＝14×π×22＝π，所以阴影部分面积为S 3＝π－2. 所以P ＝π－2π＝1－2π.6．已知集合A ＝{α|α＝n π9，n ∈Z }，若从A 中任取一个元素均可作为直线l 的倾斜角，则直线的斜率小于零的概率是________． 【答案】 497．在区间[－2,4]上随机地取一个数x ，若x 满足|x |≤m 的概率为56，则m ＝________.【答案】 3【解析】 由|x |≤m ，得－m ≤x ≤m .当m ≤2时，由题意得2m 6＝56，解得m ＝2.5，矛盾，舍去．当2<m <4时，由题意得m －－26＝56，解得m ＝3. 即m 的值为3.8．在区间[1,5]和[2,4]上分别各取一个数，记为m 和n ，则方程x 2m 2＋y 2n2＝1表示焦点在x 轴上的椭圆的概率是________．【答案】 129．小波通过做游戏的方式来确定周末活动，他随机地往单位圆内投掷一点，若此点到圆心的距离大于12，则周末去看电影；若此点到圆心的距离小于14，则去打篮球；否则，在家看书．则小波周末不．在家看书的概率为________． 【答案】1316【解析】 ∵去看电影的概率P 1＝π×12－π×122π×12＝34， 去打篮球的概率P 2＝π×142π×12＝116， ∴不在家看书的概率为P ＝34＋116＝1316.10．已知向量a ＝(－2,1)，b ＝(x ，y )．(1)若x ，y 分别表示将一枚质地均匀的正方体骰子(六个面的点数分别为1,2,3,4,5,6)先后抛掷两次时第一次、第二次出现的点数，求满足a ·b ＝－1的概率； (2)若x ，y 在连续区间[1,6]上取值，求满足a ·b <0的概率．。
古典概型与几何概型习题课(实用)共19页
数a1,b
1
（２）进行平移变换 a=a1+1
01 2
x
（３）数出落在阴影内的点数Ｍ，用
几何概型公式计算阴影部分的面积．
巩固练习
1.(07广东)在一个袋子中装有分别标有１，２，３，４， ５的五个小球，这些小球除标注的数字外完全相同。现从 中取出两个小球，则取出的小球标注的数字之和为３或６
的概率是 0.3
END
1/2 变式１：在半径为１的圆内任取一点，以该点为 中点作弦，则其长度超过该圆内接正三角形的边
长 3 的概率是多少？ 1/4
弦产生的方式不同，其概率也可能不同
变式２：Ａ为圆周上一定点，在圆周上等可2 能的
任取一点与Ａ连结，求弦长超过半径的 倍的 概率是多少？ 1/2
灵犀一点
注：
（1）几何概型：基本事件无限个，事 件发生等可能。
古典概型与几何概型习题课(实用)
时间反复无常，鼓着翅膀飞逝
古典概型与几何概型 ------习题课
例1、从含有两件正品a,b和一件次品c的3件产 品中每次任取一件,取出后不放回,连续取两次, 求取出的两件产品中恰有一件次品的概率。2/3
变式１：将上题“取出后不放回”改为“每次取 出后放回”，则取出的两件产品中恰有一件次品 的概率4。/9
（2）几何概型常用的测度：长度、面 积、体积。
（3）几何概型的解题方法：数形结合。 如：一维、长度常和数轴结合，二维、 面积常和坐标系结合。
例3、甲乙两艘船驶向一个不能同时停泊两艘轮船的码头, 它们在一昼夜内到达的时间是等可能的,如果甲船的停泊 时间是4小时,乙船的停泊时间是2小时,求它们中一艘船 停泊时必须等待一段时间的概率. 67/288
（1）求合唱团学生参加活动的人均次数； ２．３
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（Δ>0,即a>b）.A包含的取值结果：
(1,0),(2,0),(2,1),(3,0),(3,1),(3,2),
即A包含的基本事件数为6,
P (A) = 6 = 1 .
∴方程f(x)=0有两个不相等实根的概率
12 2
(2)∵a从区间[0,2]中任取一个数,
b从区间[0,3]中任取一个数,则试
验的全部结果构成区域 Ω={(a,b)|
解： (1)∵a取集合{0,1,2,3}中任一个元素,b取集合
{0,1,2}中任一个元素,用（a,b）表示一个取值结果。
全部取值结果：
(0,0),(0,1),(0,2),(1,0),(1,1),(1,2),(2,0),
(2,1),(2,2),(3,0),(3,1),(3,2),
设“方程f(x)=0有两个不相等的实根”为事件A,
(2)两数之和大于3/4.
119
128
2m.分和别n，在则区m间[1的n,6概]和率[2为,4_]_内__任. 取一实数，3依次记为
5
3.一只海豚在水池中自由游弋，水池为长30m、宽
2率0.m的长方形，求此刻海豚嘴尖离岸边不超过2m2的3 概
75
求几何概型下概率的步骤：
1、把基本事件转化为与之对应的区域D； 2、把随机事件A转化为与之对应的区域d； 3、利用几何概型概率公式计算。
题型一：与长度有关的几何概型
1.在面积为 S 的△ABC 的边 AB 上任取一点 P，则△PBC
的面积大于S4的概率为
( C)
1
1
A.4
B.2
3
2
C.4
D.3
1.(约会问题) 两人相约于傍晚 7 时到 8 时在公园见
面，先到者等候 20 分钟就可离去，设二人在这段时
间内的各时刻到达是等可能的，且二人互不影响。求
两人能够见面的概率。
y
解：以 7 点为坐标原点， 60
S
小时为单位。x，y 分别表示
A
20
两人到达的时间，( x，y )
x
构成边长为 60的正方形S。 o
的概率
P(B) =
SM SΩ
=
4 =
6
2. 3
小结：
在几何概型中，事件A的概率计算公式为：
用几何概率公式计算概率时，关键是构造出随 机事件所对应的几何图形，并对几何图形进行相 应的几何度量.
作业：
1、设在区间[0，2]中随机地取两个数，求下列事件的
概率.
15
(1)两个数中较大的大于1/2； 16
0≤a≤2,0≤b≤3},这是一个矩形
区域,其面积 SΩ= 2? 3 6.
设“方程f(x)=0没有实根”为事件B,则事件B所构成
的区域为M={(a,b)|0≤a≤2,0≤b≤3,a<b},即图中
阴影部分的梯形,其面积
SM =6-
1创2 2
2= 4.
由几何概型的概率计算公式可得方程f(x)=0没有实根
几何概型 ------源自复习回顾1.古典概型与几何概型的区别与联系.
相同：两者基本事件的发生都是等可能的；
不同：古典概型要求基本事件有有限个， 几何概型要求基本事件有无限多个.
2.古典概型与几何概型的概率计算公式.
P（A）=
A包含的基本事件数 总的基本事件个数
m n
求古典概型下概率的步骤：
（1）计算所有基本事件的总结果数n． （2）计算事件A所包含的结果数m． （3）计算P(A)=m/n
分布的是CM在∠ACB内的任一位置，
因此基本事件的区域应是∠ACB，所
以P(AM＜AC)＝
ACC'的大小3 ACB的大小 4
2. M是半径为R的圆周上一个定点，在圆周上等 可能地任取一点N，连结MN，则弦MN的长度超 过 2R的概率是________．
解析：连若结改圆为心OR与？M点，作弦
MN使∠MON＝90°，这样的点有两 个，分别记为N1，N2，仅当点N在 不包含点M的半圆弧上取值时，满 足MN> R2，此时∠N1ON2＝180°， 故所求的概率为＝0.5.
20
60
他们能见面应满足 | x – y | ≤ 20 ，因此，
p
=
A 的面积
—————
=1–
4 ——
=
5/9 。
S 的面积
9
2. 已知函数f(x)=x2-2ax +b2,a,b∈R.
(1)若a从集合{0,1,2,3}中任取一个元素,b从集合 {0,1,2}中任取一个元素,求方程f(x)=0有两个不 相等实根的概率； (2)若a从区间[0,2]中任取一个数,b从区间[0,3] 中任取一个数,求方程f(x)=0没有实根的概率.
答案：0.5
题型三：与体积有关的几何概型
1、已知棱长为2的正方体，内切球O，若
在正方体内任取一点，则这一点不在球内
的概率为_______.
1
6
2、用橡皮泥做成一个直径为6cm的小球， 假设橡皮泥中混入了一个很小的沙砾，试 求这个沙砾距离球心不小于1cm的概率.
26 27
题型四：与面积有关的几何概型
2.函数 f(x)x2x2,x[5,5]那 , 么任取
x0[5， 5]，使 f(x0)0的概率是C
A.1
B.2
C. 3
3
10
D .2 5
题型二：与角度有关的几何概型
1.在等腰直角三角形ABC中，直角顶点为C，在△ABC
的内部任作一条射线CM，与线段AB交于点M，求
AM＜AC的概率．
解：由于在∠ACB内作射线CM，等可能