江西省2021年高二数学上学期期中考试卷(七)

江西省2021年高二数学上学期期中考试卷（七）（文科）（考试时间120分钟满分150分）一．单项选择题（每小题5分，共60分）1．复数等于（）A．4 B．﹣4 C．4i D．﹣4i2．曲线y=x3在点（1，1）处的切线与x轴及直线x=1所围成的三角形的面积为（）A．B．C．D．3．下列不等式中恒成立的是（）A．≤﹣2 B．≥2 C．≥2 D．≥4．在空间中，a、b是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，下列说法正确的是（）A．若a∥α，b∥a，则b∥αB．若a∥α，b∥α，a⊂β，b⊂β，则β∥αC．若α∥β，b∥α，则b∥βD．若α∥β，a⊂α，则a∥β5．已知过点P（2，2）的直线与圆（x﹣1）2+y2=5相切，且与直线ax﹣y+1=0垂直，则a=（）A．B．1 C．2 D．6．函数y=x2﹣lnx的单调递减区间为（）A．（﹣1，1]B．（0，1]C．[1，+∞）D．（0，+∞）7．若点P到直线x=﹣1的距离比它到点（2，0）的距离小1，则点P的轨迹为（）A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线8．如图，若一个空间几何体的三视图中，正视图和侧视图都是直角三角形，其直角边均为1，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．19．运行如图所示的程序框图，则输出k的值是（）A．4 B．5 C．6 D．710．函数的最大值是（）A．B．π﹣1 C．πD．π+111．命题p：∃x∈R，使得3x＞x；命题q：若函数y=f（x﹣1）为偶函数，则函数y=f（x）关于直线x=1对称，则（）A．p∨q真B．p∧q真C．￢p真D．￢q假12．已知抛物线C的方程为x2=y，过点A（0，﹣1）和点B（t，3）的直线与抛物线C没有公共点，则实数t的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）B．（﹣∞，﹣）∪（，+∞）C．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）D．（﹣∞，﹣）∪（，+∞）二．填空题（每小题5分，共20分）13．设某大学的女生体重y（单位：kg）与身高x（单位：cm）具有线性相关关系，根据一组样本数据（x i，y i）（i=1，2，…，n），用最小二乘法建立的回归方程为=0.85x ﹣85.71，给定下列结论：①y与x具有正的线性相关关系；②回归直线过样本点的中心（，）；③若该大学某女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kg；④若该大学某女生身高为170cm，则可断定其体重必为58.79kg．其中正确的结论是．14．二维空间中圆的一维测度（周长）l=2πr，二维测度（面积）S=πr2，观察发现S′=l；三维空间中球的二维测度（表面积）S=4πr2，三维测度（体积）V=πr3，观察发现V′=S．则四维空间中“超球”的三维测度V=8πr3，猜想其四维测度W=．15．过点（，0）引直线l与曲线y=相交于A，B两点，O为坐标原点，当△AOB的面积取最大值时，直线l的斜率等于．16．若函数f（x）=x3﹣3x+a有3个不同的零点，则实数a取值范围是．三．解答题（10分+12分+12分+12分+12分+12分，共70分）17．已知函数f（x）=|ax﹣2|+|ax﹣a|（a＞0）．（I）当a=1时，求f（x）≥x的解集；（Ⅱ）若不存在实数x，使f（x）＜3成立，求a的取值范围．18．已知命题p方程2x2+ax﹣a2=0在[﹣1，1]上有解；命题q：只有一个实数x0满足不等式x02+2ax0+2a≤0，若命题“p∨q”是假命题，求实数a的取值范围．19．已知一条直线过点P（2，﹣3）与直线2x﹣y﹣1=0和直线x+2y﹣4=0分别交于点A，B．且点P为线段AB的中点，求这条直线的方程．20．如图所示，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分别为DD1、DB的中点．（Ⅰ）求证：EF⊥B1C；（Ⅱ）求三棱锥B1﹣EFC的体积．21．已知△ABC中，点A，B的坐标分别为A（﹣，0），B（，0）点C在x轴上方．（1）若点C坐标为（，1），求以A，B为焦点且经过点C的椭圆的方程：（2）过点P（m，0）作倾斜角为的直线l交（1）中曲线于M，N两点，若点Q（1，0）恰在以线段MN为直径的圆上，求实数m的值．22．已知函数f（x）=ax3+bx+c在x=2处取得极值为c﹣16．（1）求a、b的值；（2）若f（x）有极大值28，求f（x）在[﹣3，3]上的最大值．参考答案一．单项选择题1．解：==﹣1﹣2﹣1=﹣4，故选B．2．解：∵y=x3，∴y'=3x2，当x=1时，y'=3得切线的斜率为3，所以k=3；所以曲线在点（1，1）处的切线方程为：y﹣1=3×（x﹣1），即3x﹣y﹣2=0．令y=o得：x=，∴切线与x轴、直线x=1所围成的三角形的面积为：S=×（1﹣）×1=故选B．3．解：选项A，若x为负值，则2﹣x﹣≥2+2=6，显然2﹣x﹣≤﹣2错误；选项B，只有当sinx=1时才正确，故不是恒成立，错误；选项C，==+≥2，但=时x无解，故错误；选项D，=≥恒成立，正确．故选：D4．解：对于A，若a∥α，b∥a，说明b与平面α的平行线a平行，b可能在平面α内，它们的位置关系应该是平行或直线在平面内，故A错；对于B，若a∥α，b∥α，a⊂β，b⊂β，说明在平面α和平面β内各有一条直线与另一个平面平行，但是条件并没有指明平面α、β的位置关系，平面α、β也可能相交，故不一定α∥β，故B错；对于C，若α∥β，b∥α，说明直线b∥β或b⊂β，故不一定b∥β，故C错；对于D，若α∥β，a⊂α，根据面面平行的性质：两个平行平面中的一个平面的直线必定平行于另一个平面，知a∥β，故D正确．故选D．5．解：因为点P（2，2）满足圆（x﹣1）2+y2=5的方程，所以P在圆上，又过点P（2，2）的直线与圆（x﹣1）2+y2=5相切，且与直线ax﹣y+1=0垂直，所以切点与圆心连线与直线ax﹣y+1=0平行，所以直线ax﹣y+1=0的斜率为：a==2．故选C．6．解：∵y=x2﹣lnx的定义域为（0，+∞），y′=，∴由y′≤0得：0＜x≤1，∴函数y=x2﹣lnx的单调递减区间为（0，1]．故选：B．7．解：因为点P到直线x=﹣1的距离比它到点（2，0）的距离小1，所以点P到直线x=﹣2的距离等于它到点（2，0）的距离，因此点P的轨迹为抛物线．故选D．8．解：由三视图可知，该几何体是四棱锥，底面为边长为1的正方形，高为1的四棱锥，所以体积为V=×1×1×1=．故选A．9．解：模拟执行程序框图，可得k=1，S=1满足条件S＜100，S=2，k=2满足条件S＜100，S=6，k=3满足条件S＜100，S=114，k=4不满足条件S＜100，退出循环，输出k的值为4．故选：A．10．解：y′=1﹣cosx≥0，∴函数y=x﹣sinx在区间[，π]递增，=π﹣sinπ=π，∴y最大值故选：C．11．解：命题p：命题p为真命题，比如a=1时31＞1；命题q：f（x﹣1）为偶函数，∴f（x﹣1）的图象关于x=0对称；f（x）的图象是将f（x﹣1）的图象向左平移1个单位得到；∴f（x）的图象关于x=﹣1对称；∴命题q是假命题；∴p∨q真，p∧q假，￢p假，￢q真．故选A．12．解：如图，设过A的直线方程为y=kx﹣1，与抛物线方程联立得x2﹣kx+=0，△=k2﹣2=0，k=±2，求得过A的抛物线的切线与y=3的交点为（±，3），则当过点A（0，﹣1）和点B（t，3）的直线与抛物线C没有公共点，实数t的取值范围是（﹣∞，﹣）∪（，+∞），故选D．二．填空题13．解：对于①，0.85＞0，所以y与x具有正的线性相关关系，故正确；对于②，回归直线过样本点的中心（，），故正确；对于③，∵回归方程为=0.85x﹣85.71，∴该大学某女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kg，故正确；对于④，x=170cm时，═0.85×170﹣85.71=58.79，但这是预测值，不可断定其体重为58.79kg，故不正确．故答案为：①②③．14．解：∵二维空间中圆的一维测度（周长）l=2πr，二维测度（面积）S=πr2，观察发现S′=l三维空间中球的二维测度（表面积）S=4πr2，三维测度（体积）V=πr3，观察发现V′=S ∴四维空间中“超球”的三维测度V=8πr3，猜想其四维测度W，则W′=V=8πr3；∴W=2πr4；故答案为：2πr415．解：由，得x2+y2=1（y≥0）∴曲线表示単位圆在x轴上方的部分（含于x轴的交点）由题知，直线斜率存在，设直线l的斜率为k，若直线与曲线有两个交点，且直线不与x轴重合则﹣1＜k＜0∴直线l的方程为：即则圆心O到直线l的距离直线l被半圆所截得的弦长为|AB|=∴===令则当S△AOB有最大值为此时，∴又∵﹣1＜k＜0∴16．解答：解：∵f′（x）=3x2﹣3=0解得x=1或x=﹣1，当x∈（﹣1，1）时，f′（x）＜0，f（x）在（﹣1，1）上单调递减；当x∈（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）在（﹣∞，﹣1）、（1，+∞）上单调递增，故当x=1时，f（x）取极小值﹣2+a，当x=﹣1时，f（x）取极大值2+a，∵f（x）=x3﹣3x+a有三个不同零点，∴，解得﹣2＜a＜2∴实数a的取值范围是：（﹣2，2）．故答案为：（﹣2，2）三．解答题17．解：（Ⅰ）当a=1时，f（x）=|x﹣2|+|x﹣1|≥x，当x≥2时，解得x≥3；当1＜x＜2时，解得x≤1，∴无解；当x≤1时，解得x≤1．综上可得到解集{x|x≤1或x≥3}．（Ⅱ）依题意，对∀x∈R，都有f（x）≥3，则有f（x）=|ax﹣2|+|ax﹣a|≥|（ax﹣2）﹣（ax﹣a）|=|a﹣2|≥3，故有a﹣2≥3，或a﹣2≤﹣3，解得a≥5，或a≤﹣1（舍去），∴a≥5，即a的取值范围为[5，+∞）．18．解：由2x2+ax﹣a2=0得（2x﹣a）（x+a）=0，∴，∴当命题p为真命题时．即﹣2≤a≤2，又“只有一个实数x0满足”，即抛物线y=x2+2ax+2a与x轴只有一个交点，∴△=4a2﹣8a=0，∴a=0或a=2．∴当命题q为真命题时，a=0或a=2．∵命题“p∨q”为假命题，∴p，q同时为假命题，即，∴a＞2或a＜﹣2．∴实数a的取值范围的取值范围为（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）．19．解：∵点A，B分别在直线2x﹣y﹣1=0和直线x+2y﹣4=0上，∴可以设点A，B的坐标分别为A（m，2m﹣1），B（4﹣2n，n）∵点P（2，﹣3）为线段AB的中点∴，=﹣3解得m=﹣2，n=﹣1∴点A，B的坐标分别为A（﹣2，﹣5），B（6，﹣1）∴直线AB的斜率为k==∴所求直线的方程为y+1=（x﹣6），化为一般式可得x﹣2y﹣8=0．20．（Ⅰ）证明一：连接BD1，BC1∵E、F分别为DD1、BD的中点∴EF∥BD1∵正方体ABCD﹣A1B1C1D1∴D1C1⊥平面BCC1B1∴D1C1⊥B1C∵正方形BCC1B1∴B1C⊥BC1∵D1C1∩BC1=C1∴B1C⊥平面BC1D1∴B1C⊥BD1∵EF∥BD1∴EF⊥B1C证明二：∵∴Rt△EDF∽Rt△FBB1∴∠DEF=∠BFB1∴∠BFB1+∠DFE=∠DEF+∠DFE=90°∴∠EFB1=90°∴EF⊥FB1又∵CF⊥平面BDD1B∴CF⊥EFB1F∩CF=F∴EF⊥平面B1FC∴EF⊥B1C（Ⅱ）∵CB=CD，BF=DF∴CF⊥BD∵DD1⊥平面ABCD∴DD1⊥CF 又DD1∩BD=D∴CF⊥平面BDD1B1又CF=方法一：△B1EF的面积=2×2﹣﹣﹣=方法二：∵EF⊥平面B1FC∴EF⊥FB1EF=，FB1=Rt△B1EF的面积=×EF×FB1=××==V C﹣B1EF=×S△B1EF×CF==1∴V B1﹣EFC∴三棱锥B1﹣EFC的体积为1．21．解：（1）设椭圆方程为（a＞b＞0），则c=，∵C，A，∴2a=|AC|+|BC|=4，b==，∴椭圆方程为（5分）（2）直线l的方程为y=﹣（x﹣m），令M（x1，y1），N（x2，y2），将y=﹣（x﹣m）代入椭圆方程，消去y可得6x2﹣8mx+4m2﹣8=0 ∴，若Q恰在以MN为直径的圆上，则，即m2+1﹣（m+1）（x1+x2）+2x1x2=0，∴3m2﹣4m﹣5=0解得．22．解：（1）因为f（x）=ax3+bx+c，故f′（x）=3ax2+b，由于f（x）在点x=2处取得极值，故有，即，化简得，解得．（2）由（1）知f（x）=x3﹣12x+c，f′（x）=3x2﹣12，令f′（x）=0，得x=2或x=﹣2，当x∈（﹣∞，﹣2）时，f′（x）＞0，f（x）在∈（﹣∞，﹣2）上为增函数；当x∈（﹣2，2）时，f′（x）＜0，f（x）在（﹣2，2）上为减函数；当x∈（2，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）在（2，+∞）上为增函数．由此可知f（x）在x=﹣2处取得极大值f（﹣2）=16+c，f（x）在x=2处取得极小值f （2）=﹣16+c．由题意知16+c=28，解得c=12．此时，f（﹣3）=21，f（3）=3，f（2）=﹣4，所以f（x）在[﹣3，3]上的最大值为28．赠送励志修身名言警句可怕的敌人，就是没有坚强的信念。