(1)用Excel作一元线性回归分析要点

实验四（1）用Excel作一元线性回归分析
实验名称：回归分析
实验目的：学会应用软件实验一元线性回归，多元线性回归和非线性回归模型的求解及应用模型解决相应地理问题。

1 利用Excel进行一元线性回归分析
第一步，录入数据
以连续10年最大积雪深度和灌溉面积关系数据为例予以说明。

录入结果见下图（图1）。

图1
第二步，作散点图
如图2所示，选中数据（包括自变量和因变量），点击“图表向导”图标；或者在
“插入”菜单中打开“图表（H）”。

图表向导的图标为。

选中数据后，数据变为蓝色（图2）（office2003）。

插入-图表（office2007)
图2
点击“图表向导”以后，弹出如下对话框（图3）：
图3
在左边一栏中选中“XY散点图”，点击“完成”按钮，立即出现散点图的原始形式（图4）：
图4
第三步，回归
观察散点图，判断点列分布是否具有线性趋势。

只有当数据具有线性分布特征时，才能采用线性回归分析方法。

从图中可以看出，本例数据具有线性分布趋势，可以进行线性回归。

回归的步骤如下：
⑴ 首先，打开“工具”下拉菜单，可见数
据分析选项（见图5）
（office2003）。

数据-数据分析（office2007)
：
图5 用鼠标双击“数据分析”选项，弹出“数据分析”对话框（图6）：
图6
⑵然后，选择“回归”，确定，弹出如下选项表（图7）：
图7
进行如下选择：X、Y值的输入区域（B1:B11，C1:C11），标志，置信度（95%），新工作表组，残差，线性拟合图（图8-1）。

或者：X、Y值的输入区域（B2:B11，C2:C11），置信度（95%），新工作表组，残差，线性拟合图（图8-2）。

注意：选中数据“标志”和不选“标志”，X、Y值的输入区域是不一样的：前者包括数据标志：
最大积雪深度x(米)灌溉面积y(千亩)
后者不包括。

这一点务请注意（图8）。

图8-1 包括数据“标志”
图8-2 不包括数据“标志”
⑶再后，确定，取得回归结果（图9）。

图9 线性回归结果
⑷ 最后，读取回归结果如下：
截距：356.2=a ；斜率：813.1=b ；相关系数：989.0=R ；测定系数：979.02=R ；F 值：945.371=F ；t 值：286.19=t ；标准离差（标准误差）：419.1=s ；回归平方和：854.748SSr =；剩余平方和：107.16SSe =；y 的误差平方和即总平方和：961.764SSt =。

⑸ 建立回归模型，并对结果进行检验
模型为：x y
813.1356.2ˆ+= 至于检验，R 、R 2、F 值、t 值等均可以直接从回归结果中读出。

实际上，8,05.0632.0989416.0R R =>=，检验通过。

有了R 值，F 值和t 值均可计算出来。

F 值的计算公式和结果为：
8,05.02
2
22
32.5945.371)
989416.01(1
1101989416
.0)
1(1
1
F R k n R F =>=---=
---=
显然与表中的结果一样。

t 值的计算公式和结果为：
8,05.02
306.2286.191
110979416.01979416.01
1t k n R R t =>=---=
---=
回归结果中给出了残差（图10），据此可以计算标准离差。

首先求残差的平方
2
2
)ˆ(i i i y
y -=ε，然后求残差平方和107.16174.0724.110
1
2=++==∑== n i i S ε，于是标准离差为
419.18
107.161)ˆ(1112
===---=
∑=S v y y k n s n
i i
i 于是
15.0~1.0%15~100388.053
.36419.1=<==y s
图10 y 的预测值及其相应的残差等
进而，可以计算DW 值（参见图11），计算公式及结果为
751.0417
.0)911.1()313.1()833.0417.0()313.1911.1()(DW 2
22221
22
2
1=++-+--+++-=-=
∑∑==- n
i i
n
i i i ε
εε
取05.0=α，1=k ，10=n （显然81110=--=v ），查表得94.0=l d ，29.1=u d 。

显然，DW=0.751<94.0=l d ，可见有序列正相关，预测的结果令人怀疑。

图11 利用残差计算DW值
（DW取值范围０<DW<4.其统计学意义：
当DW值愈接近2时，残差项间愈无相关。

当DW值愈接近0时，残差项间正相关愈强。

当DW值愈接近4时，残差项间负相关愈强。

）
♣最后给出利用Excel快速估计模型的方法：
⑴用鼠标指向图4中的数据点列，单击右键，出现如下选择菜单（图12）：
图12
⑵点击“添加趋势线(R)”，弹出如下选择框（图13）：
图13
⑶在“分析类型”中选择“线性(L)”，然后打开选项单（图14）：
图14
⑷在选择框中选中“显示公式(E)”和“显示R平方值(R)”（如图14），确定，立即得到回归结果如下（图15）：
图15
在图15中，给出了回归模型和相应的测定系数即拟合优度。

♠顺便说明残差分析：如果在图8中选中“残差图(D)”，则可以自动生成残差图（图12）。

图16
回归分析原则上要求残差分布是无趋势的，如果在图中添加趋势线，则趋势线应该是与x 轴平行的，且测定系数很小。

事实上，添加趋势线的结果如下（图17）：
图17
可见残差分布图基本满足回归分析的要求。

♣ 预测分析
虽然DW检验似乎不能通过，但这里采用的变量相关分析，与纯粹的时间序列分析不同（时间序列分析应该以时间为自变量）。

从残差图看来，模型的序列似乎并非具有较强的自相关性，因为残差分布相当随机。

因此，仍有可能进行预测分析。

现在假定：有人在1981年测得最大积雪深度为27.5米，他怎样预测当年的灌溉面积？
下面给出Excel2000的操作步骤：
⑴在图9所示的回归结果中，复制回归参数（包括截距和斜率），然后粘帖到图1所示的原始数据附近；并将1981年观测的最大积雪深度27.5写在1980年之后（图18）。

图18
⑵ 将光标至于图18所示的D2单元格中，按等于号“＝”，点击F2单元格（对应于截距a=2.356…），按F4键，按加号“＋”，点击F3单元格（对应于斜率b=1.812…），按F4键，按乘号“*”，点击B2单元格（对应于自变量x 1），于是得到表达式
“=$F$2+$F$3*B2”（图19）,相当于表达式11*ˆx b a y
+=，回车，立即得到9128.29ˆ1=y
，即1971年灌溉面积的计算值。

图19
⑶ 将十字光标标至于D2单元格的右下角，当粗十字变成细十字以后，按住鼠标左键，往下一拉，各年份的灌溉面积的计算值立即出现，其中1981年对应的D12单元格的
52.212
即我们所需要的预测数据，即有212.52ˆ11=y
千亩（图20）。

图20
⑷ 进一步地，如果可以测得1982年及其以后各年份的数据，输入单元格B13及其下面的单元格中，在D13及其以下的单元格中，立即出现预测数值。

例如，假定1982年的最大
积雪深度为7.2312=x 米，可以算得323.45ˆ12=y
千亩；1983年的最大积雪深度为7.1513=x ，容易得到819.31ˆ13=y
千亩（图21）。

图21 预测结果（1981－1983）。