微分方程建模案例

第五章微分方程建模案例

微分方程作为数学科学的中心学科，已经有三百多年的发展历史，其解法和理论已日臻完善，可以为分析和求得方程的解（或数值解）提供足够的方法，使得微分方程模型具有极大的普遍性、有效性和非常丰富的数学内涵。微分方程建模包括常微分方程建模、偏微分方程建模、差分方程建模及其各种类型的方程组建模。微分方程建模对于许多实际问题的解决是一种极有效的数学手段，对于现实世界的变化，人们关注的往往是其变化速度、加速度以及所处位置随时间的发展规律，其规律一般可以用微分方程或方程组表示，微分方程建模适用的领域比较广，涉及到生活中的诸多行业，其中的连续模型适用于常微分方程和偏微分方程及其方程组建模，离散模型适用于差分方程及其方程组建模。本章主要介绍几个简单的用微分方程建立的模型，让读者一窥方程的应用。下面简要介绍利用方程知识建立数学模型的几种方法：

1．利用题目本身给出的或隐含的等量关系建立微分方程模型

这就需要我们仔细分析题目，明确题意，找出其中的等量关系，建立数学模型。

例如在光学里面，旋转抛物面能将放在焦点处的光源经镜面反射后成为平行光线，为了证明具有这一性质的曲线只有抛物线，我们就是利用了题目中隐含的条件——入射角等于反射角来建立微分方程模型的。

2．从一些已知的基本定律或基本公式出发建立微分方程模型

我们要熟悉一些常用的基本定律、基本公式。例如从几何观点看，曲线y=上某点的切线斜率即函数)

y

y=在该点的导数；力学中的牛顿第二运

(x

)

(x

y

动定律：ma

F=，其中加速度a就是位移对时间的二阶导数，也是速度对时间的一阶导数等等。从这些知识出发我们可以建立相应的微分方程模型。

例如在动力学中，如何保证高空跳伞者的安全问题。对于高空下落的物体，我们可以利用牛顿第二运动定律建立其微分方程模型，设物体质量为m，空气阻

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力系数为k ，在速度不太大的情况下，空气阻力近似与速度的平方成正比；设时刻t 时物体的下落速度为v ，初始条件：0)0(=v . 由牛顿第二运动定律建立其微分方程模型：

2kv mg dt

dv m -= 求解模型可得：

)1]2(exp[)1]2(exp[+-=m

kg t k m kg t

mg v 由上式可知，当+∞→t 时，物体具有极限速度：

k

mg v v t ==∞→lim 1， 其中，阻力系数s k αρ=，α为与物体形状有关的常数，ρ为介质密度，s 为物体在地面上的投影面积。根据极限速度求解式子，在ρα,,m 一定时，要求落地速度1v 不是很大时，我们可以确定出s 来，从而设计出保证跳伞者安全的降落伞的直径大小来。

3．利用导数的定义建立微分方程模型

导数是微积分中的一个重要概念，其定义为

x y x

x f x x f x f x x ∆∆=∆-∆+='→∆→∆00lim )()(lim )(， 商式x

y ∆∆表示单位自变量的改变量对应的函数改变量，就是函数的瞬时平均变化率，因而其极限值就是函数的变化率。函数在某点的导数，就是函数在该点的变化率。由于一切事物都在不停地发展变化，变化就必然有变化率，也就是变化率是普遍存在的，因而导数也是普遍存在的。这就很容易将导数与实际联系起来，建立描述研究对象变化规律的微分方程模型。

例如在考古学中，为了测定某种文物的绝对年龄，我们可以考察其中的放射性物质（如镭、铀等），已经证明其裂变速度（单位时间裂变的质量，即其变化率）与其存余量成正比。我们假设时刻t 时该放射性物质的存余量R 是t 的函数，

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由裂变规律，我们可以建立微分方程模型:

kR dt

dR -= 期中k 是一正的比例常数，与放射性物质本身有关。求解该模型，我们解得：kt Ce R -=，其中c 是由初始条件确定的常数。从这个关系式出发，我们就可以测定某文物的绝对年龄。（参考碳定年代法）

另外，在经济学领域中，导数概念有着广泛的应用，将各种函数的导函数（即函数变化率）称为该函数的边际函数，从而得到经济学中的边际分析理论。

4．利用微元法建立微分方程模型

一般的，如果某一实际问题中所求的变量p 符合下列条件：p 是与一个变量t 的变化区间],[b a 有关的量；p 对于区间],[b a 具有可加性；部分量i p ∆的近似值可表示为i i t f ∆)(ξ。那么就可以考虑利用微元法来建立微分方程模型，其步骤是：首先根据问题的具体情况，选取一个变量例如t 为自变量，并确定其变化区间

],[b a ；在区间],[b a 中随便选取一个任意小的区间并记作[dt t t +,]，求出相应于这个区间的部分量p ∆的近似值。如果p ∆能近似的标示为],[b a 上的一个连续函数在t 处的值)(t f 与dt 的乘积，我们就把dt t f )(称为量p 的微元且记作dp .这样，我们就可以建立起该问题的微分方程模型：

dt t f dp )(=.

对于比较简单的模型，两边积分就可以求解该模型。

例如在几何上求曲线的弧长、平面图形的面积、旋转曲面的面积、旋转体体积、空间立体体积；代数方面求近似值以及流体混合问题；物理上求变力做功、压力、平均值、静力矩与重心；这些问题都可以先建立他们的微分方程模型，然后求解其模型。

5．熟悉一些经典的微分方程模型，对一些类似的问题，经过稍加改进或直接套用这些模型。

多年来，在各种领域里，人们已经建立起了一些经典的微分方程模型，熟悉这些模型对我们是大有裨益的。

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案例1 设警方对司机饮酒后驾车时血液中酒精含量的规定为不超过%80 )/(ml mg .现有一起交通事故,在事故发生3个小时后,测得司机血液中酒精含量是)/%(56ml mg ,又过两个小时后, 测得其酒精含量降为)/%(40ml mg ,试判断: 事故发生时,司机是否违反了酒精含量的规定?

解 模型建立

设)(t x 为时刻t 的血液中酒精的浓度, 则在时间间隔],[t t t ∆+内, 酒精浓度的改变量t t x x ∆⋅≈∆)(,即

t t kx t x t t x ∆-=-∆+)()()(

其中0>k 为比例常数, 式前负号表示浓度随时间的推移是递减的, 两边除以t ∆, 并令0→∆t , 则得到

,d d kx t

x -= 且满足40)5(,56)3(==x x 以及0)0(x x =.

模型求解

容易求得通解为kt c t x -=e )(, 代入0)0(x x =,得到

kt x t x -=e )(0.

则)0(0x x =为所求. 又由,40)5(,56)3(==x x 代入0)0(x x =可得

17.04056e 40

e 56e 25030=⇒=⇒⎩⎨⎧==--k x x k k k 将17.0=k 代入得 25.93e 5656e 17.03017.030≈⋅=⇒=⨯⨯-x x >80.

故事故发生时,司机血液中的酒精浓度已超出规定.

案例2 在凌晨1时警察发现一具尸体, 测得尸体温度是C o 29, 当时环境温度是C o 21.一小时后尸体温度下降到C o 27,若人的正常体温是C o 37,估计死者的死亡时间.

解 运用牛顿冷却定律T ')(T T out -=-α,得到它的通解为

)(0out out T T T T -+=t α-e ,

这里0T 是当0=t 时尸体的温度,也就是所求的死亡时间时尸体的温度,将题目提供的参数代入