统计学1.概率基本概念
概率的基本概念
概率的基本概念概率是指某一事件发生的可能性大小，通常用0到1之间的数值表示。
它是数学中一个重要的分支，也是统计学和科学研究中不可或缺的一部分。
本文将从基本概念、概率公式、概率分布、条件概率、贝叶斯公式等方面详细介绍概率的相关知识。
一、基本概念1.样本空间：指所有可能出现的结果构成的集合，通常用S表示。
例如，掷一个骰子时，样本空间为{1,2,3,4,5,6}。
2.事件：指样本空间中的任意一个子集。
例如，掷一个骰子时，出现奇数点数的事件为{1,3,5}。
3.随机变量：指在试验中可能取不同值的变量。
例如，在掷一个骰子时，点数就是一个随机变量。
4.概率：指某个事件发生的可能性大小。
它可以通过实验或理论计算得出，并用0到1之间的数值表示。
二、概率公式1.古典概型：对于等可能性事件来说，其概率可以通过以下公式计算：P(A) = n(A) / n(S)其中，n(A)表示A事件包含元素个数，n(S)表示样本空间元素个数。
例如，在掷一个骰子时，出现奇数点数的概率为3/6=1/2。
2.几何概型：对于几何问题，其概率可以通过以下公式计算：P(A) = S(A) / S(S)其中，S(A)表示事件A所对应的区域面积或体积，S(S)表示整个几何图形的面积或体积。
例如，在一个正方形内随机取一点，落在正方形某一半的概率为1/2。
三、概率分布1.离散型随机变量：指只能取有限个或可列个值的随机变量。
其概率分布可以通过概率质量函数来描述。
例如，在掷一个硬币时，正面朝上和反面朝上的概率均为1/2。
2.连续型随机变量：指可以取任意实数值的随机变量。
其概率分布可以通过概率密度函数来描述。
例如，在测量某人身高时，身高可以是任意实数值。
四、条件概率条件概率是指在已知事件B发生情况下，事件A发生的可能性大小。
它可以通过以下公式计算：P(A|B) = P(AB) / P(B)其中，P(AB)表示事件A和事件B同时发生的概率，P(B)表示事件B发生的概率。
统计概率知识点梳理总结
统计概率知识点梳理总结统计概率是统计学中非常重要的一个分支，它研究随机现象的概率规律，为我们处理不确定性的问题提供了一种方法。
在统计概率的学习中，有一些基本概念和方法是必须掌握的。
本文将对统计概率的相关知识进行梳理总结，包括概率基本概念、概率分布、概率密度函数、概率函数、随机变量、概率质量函数、期望、方差等内容。
1.概率基本概念概率是一个介于0-1之间的数，用来度量一个事件发生的可能性。
概率的基本概念包括样本空间、随机事件、事件的概率、事件的互斥和事件的独立性等。
样本空间是指试验中所有可能结果的集合，随机事件是指样本空间中的一个子集，事件的概率是指该事件发生的可能性大小，用P(A)表示。
事件的互斥指两个事件不可能同时发生，事件的独立性指两个事件之间的发生没有关系。
2.概率分布概率分布是描述随机变量所有可能取值及其对应概率的分布情况。
常见的概率分布包括离散型概率分布和连续型概率分布。
离散型概率分布是指随机变量只能取其中的一个值的概率分布，如伯努利分布和泊松分布；连续型概率分布是指随机变量可以取任意实数值的概率分布，如正态分布和指数分布。
3.概率密度函数概率密度函数是描述连续型随机变量的概率分布的函数，用f(x)表示。
概率密度函数具有非负性、非减性和归一性等性质。
通过概率密度函数可以计算随机变量在其中一区间内取值的概率。
4.概率函数概率函数是描述离散型随机变量的概率分布的函数，它给出了随机变量取各个值的概率。
概率函数具有非负性和归一性等性质。
通过概率函数可以计算随机变量取一些特定值的概率。
5.随机变量随机变量是一个实数值函数，它的取值是试验结果的函数。
随机变量可以是离散型的，也可以是连续型的。
离散型随机变量通常用字母大写表示，如X；连续型随机变量通常用字母小写表示，如x。
随机变量可以有多种数学表达方式，如分布函数、概率密度函数和概率函数等。
6.概率质量函数概率质量函数是描述离散型随机变量的概率分布的函数，用p(x)表示。
统计和概率知识点总结
统计和概率知识点总结1.概率的基本概念概率是描述事件发生可能性的一种数学工具。
在概率论中，事件可以是任何可能的结果，而概率是描述一个事件发生的可能性大小的数字。
概率的基本概念包括样本空间、事件空间、概率分布、随机变量等等。
样本空间是指所有可能结果的集合，而事件空间是指样本空间中的子集。
概率分布描述了各个事件发生的可能性，而随机变量则描述了事件对应的数值。
2.概率的规则和定理概率的计算有一些基本的规则和定理，如加法法则、乘法法则、条件概率、贝叶斯定理等等。
这些规则和定理可以帮助我们计算事件发生的概率，并且在实际应用中非常重要。
3.统计学的基本概念统计学是研究如何收集、分析、解释和展示数据的科学。
统计学的基本概念包括总体和样本、统计量、抽样、推断等等。
总体是指我们想要研究的一组对象或者变量，而样本是从总体中抽取出来的一部分。
统计量是对总体或者样本的某些特征进行描述的具体数值，而抽样则是从总体中选择样本的过程。
推断是通过对样本进行分析得出对总体的推断。
4.常见的概率分布在概率论和统计学中，有一些常见的概率分布模型，如均匀分布、正态分布、泊松分布、指数分布等等。
这些概率分布具有不同的特性和应用场景，在实际应用中非常重要。
正态分布在实际应用中非常普遍，它描述了许多自然现象和人类行为的分布规律。
5.统计假设检验统计假设检验是统计学中的一项重要方法，它可以帮助我们判断一个假设是否成立。
假设检验的基本步骤包括提出假设、选择检验方法、计算统计量、进行判断等等。
在实际应用中，我们可以利用假设检验来进行医学研究、经济分析、质量控制等等。
6.回归分析和相关性分析在统计学中，回归分析和相关性分析是描述变量之间关系的重要工具。
回归分析可以帮助我们理解一个自变量对因变量的影响程度，而相关性分析可以帮助我们理解变量之间的关系强度。
这些方法在经济学、社会学、医学等领域都有广泛的应用。
总的来说，统计和概率是一门非常重要的学科，它们在实际应用中具有广泛的使用价值。
统计学概率基本概念
目录
Contents
• 概率的定义与性质 • 概率的基本计算 • 概率分布 • 随机变量与期望值 • 大数定律与中心极限定理 • 统计推断与参数估计
01
概率的定义与性质
概率的定义
01
概率是描述随机事件发生可能性的数学工具，通常用
P 表示。
02
概率值范围在0到1之间，其中0表示事件不可能发生
性质
随机变量具有可测量性，即可以通过 实验或观测得到其具体数值；同时， 随机变量具有概率性，其取值结果具 有不确定性。
期望值的定义与性质
定义
期望值是随机变量所有可能取值的概率加权和，通常用E表示。
性质
期望值具有线性性质，即对于两个随机变量X和Y，有E(X+Y)=E(X)+E(Y)；期望值具有可加性，即对于常 数a和b，有E(aX+b)=aE(X)+b。
06
统计推断与参数估计
参数估计的基本概念
点估计
用单一的数值来估计未知参数的值，如样本均值的计算。
01
区间估计
用一定的置信水平确定的区间来估计未 知参数的范围，如样本均值的95%置信 区间。
02
03
估计量的评价标准
无偏性、有效性和一致性，用于评估 估计量的优劣。
点估计与区间估计
点估计的优缺点
优点是简单直观，缺点是精度不够， 可能存在较大的误差。
，1表示事件一定会发生。
03
概率可以通过长期实验或观测来估计，也可以通过逻
辑推理或主观判断来得出。
概率的性质
概率具有可加性
如果事件A和B是互斥的（即 两者不能同时发生），则P(A 或B) = P(A) + P(B)。
概率与统计学中的基本概念和分布
概率与统计学中的基本概念和分布概率与统计学是一门研究随机现象的学科，它涉及到许多基本概念和分布。
本文将介绍概率与统计学中的一些基本概念和常见的分布。
一、概率的基本概念概率是描述随机事件发生可能性的数值。
在概率论中，有三种常用的概率定义：古典概率、几何概率和统计概率。
古典概率是指在一个试验中，所有可能结果的数量是确定的，且它们是等可能发生的情况下，某个事件发生的概率。
例如，抛硬币的结果只有两种可能，正面和反面，它们的概率都是1/2。
几何概率是指通过实验或观察来确定一个事件发生的概率。
例如，投掷一个骰子，出现一个特定的数字的概率为1/6。
统计概率是根据大量实验或观察数据计算得出的概率。
例如，根据历史数据统计，某个城市明天下雨的概率为30%。
二、随机变量与概率分布随机变量是指在随机试验中可能出现的结果。
随机变量可以分为离散型和连续型两种。
离散型随机变量只能取有限个或可列个值，例如掷硬币的结果只有正面和反面两种可能，这是一个离散型随机变量。
连续型随机变量可以取任意实数值，例如测量一个人的身高，它可以是任意的实数值，这是一个连续型随机变量。
概率分布是随机变量取各个值的概率。
在概率论中，有许多常见的概率分布，包括均匀分布、正态分布、泊松分布等。
三、常见的概率分布1. 均匀分布均匀分布是指在一个区间内，各个取值的概率相等。
例如，在一个骰子的试验中，每个数字出现的概率都是1/6，这是一个均匀分布。
2. 正态分布正态分布，又称为高斯分布，是自然界中许多随机现象的分布模型。
正态分布的特点是呈钟形曲线，均值和标准差决定了曲线的位置和形状。
例如，人的身高和体重通常符合正态分布。
3. 泊松分布泊松分布是描述单位时间或单位空间内某个事件发生次数的概率分布。
它适用于描述独立事件在给定时间或空间内发生的概率。
例如，某个地区每天发生的交通事故数量就可以使用泊松分布进行建模。
四、概率与统计学的应用概率与统计学在各个领域都有广泛的应用。
概率的基本概念
概率的基本概念概率是数学中一个重要的概念，用于描述某个事件发生的可能性大小。
它在统计学、信息论、金融等多个领域都具有广泛的应用，帮助我们理解和分析随机现象。
本文将介绍概率的基本概念，包括概率的定义、性质以及应用。
一、概率的定义概率是衡量某个随机事件发生可能性的数值。
用P(A)表示事件A 发生的概率，其取值介于0到1之间，0表示事件不会发生，1表示事件必然发生。
在概率论中，我们使用样本空间S来表示所有可能发生的结果，事件A是样本空间的一个子集。
二、概率的性质1. 非负性：概率始终为非负数，即P(A) ≥ 0。
2. 规范性：对于全样本空间S来说，其概率为1，即P(S) = 1。
3. 加法性：对于两个互斥事件A和B来说，它们的概率之和等于它们的并集事件的概率，即P(A∪B) = P(A) + P(B)。
4. 有限可加性：对于一系列两两互斥的事件A1, A2, ... , An，它们的概率之和等于它们的并集事件的概率，即P(A1∪A2∪...∪An) =P(A1) + P(A2) + ... + P(An)。
三、概率的计算方法1. 经典概型：当一个随机事件具有有限等可能性且每个结果的发生概率相等时，可以使用经典概型来计算概率。
例如，从一副标准扑克牌中抽取一张牌，每张牌的概率都是1/52。
2. 相对频率法：通过重复实验来估计概率。
实验次数越多，实验结果接近真实概率的可能性越大。
例如，抛一枚硬币，统计正面出现的频率可以估计正面出现的概率。
3. 几何法：当事件发生的结果空间具有几何结构时，可以使用几何方法计算概率。
例如，从一个正方形中随机抽取一点落在一个圆内的概率可以通过计算圆的面积与正方形的面积之比来得出。
四、概率的应用1. 风险管理：概率在金融领域中被广泛应用于风险管理。
通过计算不同投资组合的预期收益率和风险，可以帮助投资者做出理性的决策。
2. 统计推断：概率统计是统计学的基础，通过对样本进行观察和分析，可以对总体进行推断和估计。
概率的基本概念与计算
概率的基本概念与计算概率是数学中一种重要的概念，用于描述事件发生的可能性大小。
它是统计学的基础，也是决策分析和风险评估的核心工具。
本文将介绍概率的基本概念和计算方法。
一、概率的基本概念概率是一个介于0和1之间的数，表示事件发生的可能性。
在统计学中，我们通常用P(A)来表示事件A发生的概率。
如果事件A一定会发生，那么P(A)等于1；如果事件A一定不会发生，那么P(A)等于0。
如果事件A可能发生，那么0 < P(A) < 1。
二、计算概率的方法1. 经典概率法经典概率法适用于所有可能结果等可能出现的情况。
我们可以通过以下公式计算事件A的概率：P(A) = 事件A的可能结果数 / 所有可能结果数例如，一个标准的骰子有6个面，每个面上的数字从1到6不等。
如果事件A表示掷骰子的结果为偶数，那么事件A的可能结果数是3（2、4、6），所有可能结果数是6。
根据公式计算，P(A) = 3 / 6 = 0.5。
2. 频率概率法频率概率法基于长期观察，通过事件在重复试验中发生的频率来估计概率。
我们可以通过以下公式计算事件A的频率概率：P(A) = 事件A出现的次数 / 重复试验的次数例如，假设我们抛掷一枚硬币，重复抛掷100次，记录事件A（正面朝上）出现的次数为60次。
根据公式计算，P(A) = 60 / 100 = 0.6。
3. 主观概率法主观概率法是基于个人主观判断估计事件发生的概率。
这种方法常用于无法进行实验或观察的情况。
例如，假设某人认为明天下雨的概率为0.3，那么他可以用P(A) = 0.3来表示该事件发生的概率。
三、概率的运算规则1. 互斥事件的概率互斥事件是指两个事件A和B不能同时发生的情况。
在这种情况下，事件A和事件B的概率之和等于它们各自的概率之和。
P(A 或 B) = P(A) + P(B)例如，假设事件A表示掷骰子的结果为偶数，事件B表示掷骰子的结果为3，那么根据互斥事件的概率运算规则，P(A 或 B) = P(A) + P(B) = 0.5 + 1/6 = 0.6667。
概率与统计的基本概念
概率与统计的基本概念概率和统计是数学中两个非常重要的分支，它们在各个领域都有广泛的应用。
概率涉及了随机现象的量化描述，而统计则是根据已有的数据进行推断和决策。
本文将介绍概率与统计的基本概念，包括概率的定义、基本性质，以及统计的描述、推断和决策等内容。
一、概率的基本概念概率是用来描述随机事件发生可能性的一种数学工具。
在概率的研究中，我们关心的是一个实验可能得到的结果，这些结果构成了实验的样本空间。
对于一个样本空间Ω，其中的每个元素ξ 都代表了一种可能的结果。
那么，概率就是一个函数P(ξ) ，它把每个结果映射到一个实数上，该实数代表了这个事件发生的可能性。
1.1 概率的定义概率的定义有多种形式，其中最常用的是频率定义和古典定义。
频率定义认为，一个事件的概率就是它在多次重复实验中发生的比例。
而古典定义则认为，一个事件的概率是由事件中的有利结果数除以样本空间中的可能结果数。
1.2 概率的基本性质概率具有一些基本的性质，例如非负性、规范性、可列可加性和互斥性等。
非负性要求事件的概率必须大于等于零；规范性要求样本空间的概率为一；可列可加性要求对于任意一列互不相容的事件，它们的概率之和等于这些事件单独发生的概率之和；互斥性要求如果两个事件互斥，那么它们的概率之和等于它们各自的概率之和。
二、统计的基本概念统计是通过对已有数据的整理、描述、推断和决策来认识未知事物的学科。
统计学涉及了样本的描述、参数的点估计与区间估计、假设检验和回归分析等方面的内容。
2.1 描述统计描述统计是统计学中最基本的内容。
它根据观测到的数据，运用各种统计工具进行数据的整理、分类和展示。
例如，常见的统计量有均值、中位数、众数、标准差等，这些统计量可以用来描述数据的位置、离散程度和分布情况。
2.2 参数的点估计与区间估计参数是用来描述总体特征的某一数量，如总体的均值或方差。
由于总体往往无法直接观测，所以我们需要通过样本来估计总体的参数。
点估计是根据样本数据，采用一定的方法估计总体参数的值。
概率和统计的基本概念知识点总结
概率和统计的基本概念知识点总结概率和统计是数学中的两个重要分支，被广泛应用于各个领域，包括自然科学、社会科学和工程学等。
本文将对概率和统计的基本概念进行总结和阐述，并提供一些实际应用案例。
1. 概率的基本概念概率是描述事件发生可能性的数值，通常用一个介于0和1之间的数表示。
概率的计算可以根据事件的性质和概率空间来进行。
1.1 事件与样本空间事件是指在一次试验中可能发生的一种或几种结果。
样本空间是指试验的所有可能结果的集合。
事件是样本空间的子集。
1.2 随机试验与概率空间随机试验是指具有以下特点的实验：可以在相同的条件下重复进行，并且每次试验的结果无法提前确定。
概率空间包括样本空间和概率函数。
1.3 概率函数概率函数是一个将样本空间的事件映射到实数区间[0,1]的函数。
它满足以下条件：对于任意样本空间的事件A，概率函数P(A)具有非负性、规范性和可列可加性。
2. 统计学的基本概念统计学是研究收集、整理、分析和解释数据的方法和技术的学科。
统计学分为描述统计和推断统计两个方面。
2.1 描述统计描述统计是用图表、统计量等方法对数据进行总结和描述的过程。
常用的描述统计方法包括平均数、中位数、众数、方差、标准差等。
2.2 推断统计推断统计是通过对样本数据进行分析，得出关于总体的结论或推断的过程。
推断统计方法包括假设检验、置信区间估计等。
3. 概率与统计的应用案例概率和统计的理论在实际生活和科学研究中有着广泛的应用。
以下是几个典型的案例：3.1 风险评估概率与统计能够用于评估风险和制定保险政策。
根据历史统计数据和概率模型，可以估计某种风险发生的可能性，并制定相应的保险费率。
3.2 质量控制概率与统计可以用于质量控制中的过程监控和产品检验。
通过收集数据并进行统计分析，可以判断生产过程是否处于控制状态，以及产品是否符合质量标准。
3.3 经济预测概率与统计可以应用于经济领域的预测和决策。
通过对历史数据进行分析，可以建立经济模型并做出相应的预测，帮助政府和企业做出合理决策。
统计概率知识点归纳总结大全
统计概率知识点归纳总结大全统计概率是数学中的一个重要分支，它是一门研究数据收集、分析、解释和预测的学科。
在我们的日常生活中，统计概率也是不可避免的。
在我们购买彩票、浏览社交媒体的统计数据、选举、医学实验中的分析等方面，统计学都在起着重要的作用。
下面我们就来对统计概率的知识点进行归纳总结。
一、基本概念1. 概率是指某一事件发生的可能性大小，通常表示为P。
2. 样本空间是指所有可能的结果构成的集合，一般用S表示。
3. 事件是指样本空间S的子集，即可能发生的结果的集合。
4. 随机变量是指样本空间S中的元素与实数集之间的一个函数。
5. 概率分布是指随机变量每个可能取值的概率。
二、概率公式1. 概率加法规则：P(A或B) = P(A) + P(B) - P(A且B)，其中A 且B是指A和B同时发生的概率。
2. 概率乘法规则：P(A且B) = P(A) × P(B|A)，其中P(B|A)是指在A发生的前提下，B发生的概率。
3. 贝叶斯公式：P(A|B) = P(B|A) × P(A) / P(B)，其中P(A|B)是指在B发生的前提下，A发生的概率。
4. 全概率公式：P(A) = ∑ P(A|B_k) × P(B_k)，其中B_k是划分样本空间的一组事件。
三、概率分布1. 离散型随机变量的概率分布：P(X=x_i) = p_i，其中X为随机变量，x_i为可能取值，p_i为取值为x_i的概率。
2. 离散型随机变量的期望：E(X) = ∑ x_i × p_i，其中x_i为可能取值，p_i为取值为x_i的概率。
3. 连续型随机变量的概率密度函数：f(x)，其中f(x)为概率密度函数的值，表示X落在一个x到(x+dx)的范围内的概率为f(x) × dx。
4. 连续型随机变量的期望：E(X) = ∫ x × f(x)dx。
5. 方差： Var(X) = E(X²) - [E(X)]²。
概率与统计的基本概念
概率与统计的基本概念概率和统计是数学中涉及处理不确定性和随机性的重要分支。
概率是研究随机事件发生的可能性的数学方法，而统计是通过对数据的收集、整理、分析和解释来推断总体特征的学科。
这两个学科在各个领域中起着至关重要的作用，无论是科学研究、经济决策还是社会调查等都离不开概率和统计的应用。
一. 概率的基本概念概率是用来描述事件发生可能性的一种数值指标。
它的取值范围在0到1之间，0表示不可能事件，1表示必然事件。
概率的计算一般基于概率公式：P(A) = N(A) / N(S)，其中P(A)表示事件A发生的概率，N(A)表示事件A的样本空间中的样本数，N(S)表示样本空间中的总样本数。
概率的计算可以依据事件的基本性质和运算法则来进行。
1. 事件的独立性与互斥性事件的独立性是指事件A和事件B的发生与否互不影响，其中一个事件的发生不影响另一个事件的发生。
在概率计算中，如果两个事件是独立的，则它们的联合概率等于各自事件概率的乘积。
而互斥事件则是指两个事件不能同时发生，它们的联合概率为0。
2. 随机变量与概率分布随机变量是取决于随机实验结果的一种变量。
随机变量可以分为离散型随机变量和连续型随机变量。
离散型随机变量的取值有限或可数，如掷骰子的点数；而连续型随机变量的取值范围是一个区间，如身高、体重等。
随机变量的分布可以通过概率质量函数（密度函数）来描述，如离散型随机变量的概率质量函数和连续型随机变量的概率密度函数。
二. 统计学的基本概念统计学是通过对数据的收集、整理、分析和解释来推断总体特征的科学。
在统计学中，主要涉及两个方面：描述统计和推断统计。
1. 描述统计描述统计是对数据进行分类、整理、概括和表达总结性的方法。
其中最常用的统计指标有：平均数、中位数、众数、标准差等。
平均数是一组数据的总和除以数据的个数，用来表示数据的集中趋势；中位数是一组数据按大小排列后的中间值，适用于数据存在离群值的情况；众数是一组数据中出现次数最多的值，常用于描述数据的类型与分布。
数学统计概率知识点总结
数学统计概率知识点总结一、概率的基本概念1. 概率的定义数学统计中的概率是指在一定的条件下，某一事件发生的可能性大小。
一般用P(A)来表示事件A发生的概率，0≤P(A)≤1，且P(Ω)=1。
2. 事件的分类在概率论中，事件可分为基本事件和复合事件。
基本事件是不可再分解的事件，而复合事件是由基本事件组成的事件。
3. 概率的公理概率的公理包括样本空间、事件和概率的公理。
其中，样本空间是指所有可能发生的基本事件的集合，事件是样本空间的子集，而概率就是定义在事件上的函数。
4. 古典概率古典概率是指在古典概型条件下，根据基本事件的等可能性，利用概率定义来计算事件发生的可能性。
5. 条件概率条件概率是指在已知事件B发生的条件下，事件A发生的概率。
条件概率的计算公式为P(A|B)=P(AB)/P(B)。
6. 独立事件独立事件是指事件A和事件B的发生与否互不影响，即P(AB)=P(A)P(B)。
7. 事件的互斥与对立互斥事件是指事件A和事件B不能同时发生，即P(AB)=0；对立事件是指事件A和事件B至少有一个发生，即P(A或B)=P(A)+P(B)。
二、概率的计算方法1. 加法定理加法定理是指事件A或事件B发生的概率为P(A或B)=P(A)+P(B)-P(AB)。
2. 全概率公式全概率公式是指如果事件B1、B2、…、Bn构成了一个完备事件组，且它们两两互斥，那么对任意事件A，有P(A)=P(A|B1)P(B1)+P(A|B2)P(B2)+…+P(A|Bn)P(Bn)。
3. 贝叶斯公式贝叶斯公式是指利用全概率公式和条件概率的定义，可以求得P(Bi|A)=P(A|Bi)P(Bi)/[P(A|B1)P(B1)+P(A|B2)P(B2)+…+P(A|Bn)P(Bn)]。
4. 排列与组合排列是指从n个元素中取出m个元素按一定顺序排列的方法数，记作A(n,m)；组合是指从n个元素中取出m个元素不考虑顺序的方法数，记作C(n,m)。
概率初步知识点总结
概率初步知识点总结1.概率的基本概念概率是描述随机事件发生可能性的一种方法，通常用P(A)表示事件A发生的概率。
概率的范围在0到1之间，即0≤P(A)≤1。
事件发生的概率越大，表示事件发生的可能性越高，反之亦然。
2.概率的计算方法概率的计算方法有三种：古典概率、几何概率和统计概率。
古典概率适用于实验有限且等可能的情况，计算公式为P(A)=n(A)/n(S)。
几何概率适用于连续随机变量的情况，计算公式为P(A)=S(A)/S(S)。
统计概率是通过观察历史数据得到的概率，通过大量实验的频率来估计概率。
3.事件的独立性与相关性独立事件是指事件A和事件B的发生不会相互影响，即P(A∩B)=P(A)P(B)。
相关事件是指事件A的发生会影响事件B的发生，即P(A∩B)≠P(A)P(B)。
当事件A和事件B独立时，它们的联合概率等于它们的乘积，当事件A和事件B相关时，它们的联合概率不等于它们的乘积。
4.事件的互斥与不互斥互斥事件是指事件A和事件B不能同时发生，即P(A∩B)=0。
不互斥事件是指事件A和事件B可以同时发生，即P(A∩B)≠0。
互斥事件和不互斥事件是概率计算中常见的情况，需要根据具体情况选择合适的计算方法。
5.概率分布和概率密度函数概率分布描述了随机变量的取值与其发生的概率之间的关系，常见的概率分布有均匀分布、正态分布、泊松分布等。
概率密度函数是描述连续随机变量概率分布的一种方法，它在一定区间内的积分值表示了该区间内随机变量的概率。
6.大数定律和中心极限定理大数定律是指在独立同分布的随机变量序列中，随着观测次数的增加，样本平均值趋近于总体均值。
中心极限定理是指在一定条件下，独立同分布的随机变量和足够多的样本之和近似服从正态分布。
大数定律和中心极限定理是概率论中两个重要的定理，它们给出了在大样本条件下随机变量的分布规律。
7.贝叶斯定理贝叶斯定理是一种用于更新概率估计的方法，它通过先验概率和条件概率来计算后验概率。
概率论与数理统计知识点总结
概率论与数理统计知识点总结一、概率的基本概念1.概率的定义：概率是描述事件发生可能性的数字，表示为一个介于0和1之间的数。
2.事件与样本空间：事件是可能发生的结果的集合，样本空间是所有可能结果的集合。
3.事件的运算：事件的运算包括并、交、差等，分别表示两个事件同时发生、至少一个事件发生、一个事件发生而另一个事件不发生等。
4.概率的性质：概率具有非负性、规范性、可列可加性等性质。
二、随机变量与概率分布1.随机变量的定义：随机变量是一个变量，它的值由随机事件决定。
2.离散随机变量：离散随机变量只能取有限或可数个值，其概率表示为离散概率分布函数。
3.连续随机变量：连续随机变量可以取任意实数值，其概率表示为概率密度函数。
4.分布函数：分布函数描述随机变量的概率分布情况，包括累积分布函数和概率质量函数。
三、常见概率分布1.离散分布：包括伯努利分布、二项分布、泊松分布等。
2.连续分布：包括均匀分布、正态分布、指数分布、伽玛分布等。
正态分布在自然界和社会现象中广泛存在。
3.其他分布：包括卡方分布、指数分布、F分布、t分布等。
四、抽样与统计推断1.抽样：抽样是从总体中选择一部分个体进行实验或调查的方法，常用的抽样方法包括随机抽样、分层抽样、整群抽样等。
2.统计推断：通过从样本中获得的数据，对总体做出有关参数的推断。
包括点估计和区间估计两种方法。
3.假设检验：通过对样本数据的统计量进行计算，判断总体参数是否满足其中一种假设。
包括单样本假设检验、两样本假设检验、方差分析等。
五、回归分析与相关分析1.回归分析：研究两个或多个变量之间关系的统计方法，包括一元线性回归分析、多元线性回归分析等。
2.相关分析：研究两个变量之间相关性的统计方法，常用的相关系数包括皮尔逊相关系数和斯皮尔曼相关系数。
六、贝叶斯统计学1.贝叶斯定理：根据先验概率和条件概率，计算后验概率的统计方法。
2.贝叶斯推断：根据贝叶斯定理以及样本数据，推断参数的后验分布。
概率和统计知识点总结
概率和统计知识点总结1. 概率的基本概念概率是描述随机现象发生可能性的数学工具。
在概率论中，我们研究的对象是随机实验，即是某种条件下可能出现的各种可能和其相应的概率。
概率的基本概念包括样本空间、事件、概率的定义和性质等。
样本空间是指随机实验的所有可能结果的集合。
事件是样本空间的子集，即是样本空间中的某一部分。
事件的概率就是事件发生的可能性。
概率的定义有频率派和贝叶斯派的不同观点，频率派认为概率是频率的极限，贝叶斯派认为概率是主观的相信程度。
概率的性质包括非负性、规范性、可加性等。
2. 常见的概率分布在概率论中，概率分布是表示随机变量取值可能性的函数。
常见的概率分布包括离散型概率分布和连续型概率分布。
离散型概率分布包括伯努利分布、二项分布、泊松分布等。
伯努利分布描述的是一个随机变量只有两个可能取值的概率分布，二项分布表示的是n重伯努利试验的概率分布，泊松分布描述的是单位时间或单位面积内随机事件出现次数的概率分布。
连续型概率分布包括均匀分布、正态分布、指数分布等。
均匀分布描述的是在一定范围内随机变量取值均匀分布的概率分布，正态分布是一种对称的连续型概率分布，指数分布描述的是一个随机事件首次发生的时间间隔的概率分布。
3. 统计参数估计统计参数估计是利用样本数据估计总体参数的方法。
在统计学中，总体参数是描述总体特征的变量，样本是从总体中抽取的一部分数据。
参数估计包括点估计和区间估计。
点估计是用样本数据估计总体参数的具体值。
常见的点估计方法包括最大似然估计、矩估计等。
最大似然估计是通过寻找数据使得似然函数最大化的方法来估计总体参数，矩估计是利用样本矩来估计总体矩。
区间估计是用样本数据估计总体参数的区间范围。
区间估计的原理是通过置信区间来估计总体参数的范围，通常使用样本均值和标准差来构建置信区间。
4. 假设检验假设检验是统计学中用来验证总体参数的方法。
在假设检验中，我们设定一个或者两个关于总体参数的假设，然后利用样本数据进行检验。
概率的基本概念与性质
概率的基本概念与性质概率是数学中一种重要的概念，用于描述事件发生的可能性大小。
它在统计学、自然科学、社会科学等领域得到广泛应用。
本文将介绍概率的基本概念、性质以及其在现实生活中的应用。
一、概率的基本概念概率是事件发生可能性的度量，其取值范围在0到1之间。
如果事件不可能发生，则概率为0；如果事件肯定发生，则概率为1。
对于某一随机事件E，其概率用P(E)表示。
二、概率的性质1. 非负性：概率值始终大于等于0，即P(E) ≥ 0。
2. 规范性：对于必然事件S（样本空间），其概率为1，即P(S) = 1。
3. 加法性：对于互不相容的事件E1、E2，它们的和事件E1∪E2的概率等于各事件概率的和，即P(E1∪E2) = P(E1) + P(E2)。
三、概率的计算方法1. 古典概型：当每个基本事件发生的可能性相等时，可以应用古典概率计算方法。
例如，投掷一个均匀的骰子，出现每个点数的概率都是1/6。
2. 几何概型：当事件的发生概率与空间的几何形状相关时，可以应用几何概率计算方法。
例如，在一个正方形面积为1的均匀分布区域中，某个事件发生的概率可以通过事件占据的面积计算。
3. 统计概型：当无法使用古典或几何概率计算方法时，可以应用统计概率计算方法。
通过实验或观察数据，统计概率通过频率计算事件发生的可能性。
四、概率的应用1. 风险评估：概率可以用于评估风险的大小，帮助人们做出决策。
例如，在投资时，可以利用概率计算预期收益和风险。
2. 假设检验：在统计学中，概率被用于验证假设的合理性。
通过比较观察到的数据与期望结果之间的差异，可以计算出概率值判断假设是否成立。
3. 数据预测：概率可以应用于预测模型，帮助预测未来事件的发生概率。
例如，天气预报就是通过统计概率模型进行天气预测的。
总结：概率作为数学中的基本概念，用于描述事件发生的可能性大小。
它具有非负性、规范性和加法性等性质。
在实践中，可以根据古典概型、几何概型或统计概型来计算概率。
概率的基本概念
概率的基本概念概率是数学领域中的一个重要概念，广泛应用于统计学、计算机科学、金融学等各个领域。
它用于描述事件发生的可能性，并为我们提供了一种量化的方法来评估不确定性。
在本文中，我们将介绍概率的基本概念，包括概率的定义、性质以及常见概率分布等内容。
一、概率的定义和性质1.1 概率的定义概率可以用来描述事件发生的可能性。
通常，我们用一个介于0和1之间的数来表示概率，其中0表示不可能发生，1表示必定发生。
设A为一个事件，那么事件A的概率可以用P(A)来表示。
1.2 概率的性质概率具有以下几个基本性质：（1）非负性：对于任何事件A，其概率P(A)大于或等于零，即0 ≤ P(A)。
（2）规范性：对于必然事件S，其概率为1，即P(S) = 1。
（3）加法性：对于任意两个互斥事件A和B，其概率的和等于各自概率的和，即P(A ∪ B) = P(A) + P(B)。
（4）减法性：对于任意两个事件A和B，其差集的概率等于事件A的概率减去事件A与B的交集的概率，即P(A-B) = P(A) - P(A ∩ B)。
1.3 条件概率条件概率是在给定其他事件发生的条件下，某个事件发生的概率。
设A和B为两个事件，且P(B) > 0，则在事件B已经发生的情况下，事件A发生的概率记作P(A|B)。
二、常见概率分布2.1 离散概率分布离散概率分布是指随机变量取得一系列离散值的概率分布。
常见的离散概率分布包括伯努利分布、多项分布和泊松分布等。
（1）伯努利分布：伯努利分布是指随机变量只取两个值（例如0和1）的概率分布。
常用于描述二元事件的发生情况。
（2）多项分布：多项分布是指随机变量取得多个离散值的概率分布。
常用于描述多元事件的发生情况，例如掷骰子的结果。
（3）泊松分布：泊松分布是指随机事件在一段时间内发生的次数的概率分布。
常用于描述一定时间内事件发生的频率。
2.2 连续概率分布连续概率分布是指随机变量取得连续值的概率分布。
常见的连续概率分布包括均匀分布、正态分布和指数分布等。
概率与统计的基本概念
概率与统计的基本概念概率是统计学的一个重要分支，它用于描述和分析随机事件的发生概率。
统计学则是一门研究收集、分析和解释数据的学科。
概率与统计的基本概念对于我们理解和应用这两个领域至关重要。
在本文中，我们将讨论一些概率与统计的基本概念，以便更好地理解它们的含义和应用。
1. 概率的基本概念概率是用来描述随机事件发生的可能性的一种数值。
它的取值范围在0到1之间，其中0表示不可能发生，1表示肯定发生。
概率可以通过计算事件发生的频率来确定，也可以通过分析事件的特征和条件来推导。
概率的计算方法包括古典概率、几何概率和条件概率等。
2. 统计的基本概念统计学研究的对象是数据，通过对数据的收集、整理、分析和解释，可以从中得出结论并作出预测。
统计的基本概念包括总体和样本的概念。
总体是指研究对象的全体，而样本是从总体中选取的一部分。
通过对样本数据的统计分析，可以推断出总体的特征和性质。
3. 随机变量随机变量是概率论和统计学中的重要概念，它用于描述随机事件的数字特征。
随机变量可以分为离散随机变量和连续随机变量。
离散随机变量的取值是有限或可数的，例如抛硬币的结果；而连续随机变量的取值是无限的，例如人的身高、温度等。
随机变量的分布可以用概率密度函数或概率质量函数来描述。
4. 概率分布概率分布是随机变量所有可能取值和对应概率的分布情况。
常见的概率分布包括均匀分布、正态分布、泊松分布等。
概率分布可以用来描述随机变量的特征和概率。
通过对概率分布的分析，我们可以计算期望值、方差等统计指标，以便更好地理解和应用随机变量的特性。
5. 统计推断统计推断是统计学的重要分支，它用于根据样本数据对总体进行推断和判断。
统计推断包括参数估计和假设检验两个方面。
参数估计用于推断总体参数的值，它可以通过样本统计量来估计总体参数的取值。
假设检验用于对总体假设进行判断，通过计算样本统计量的显著性来对总体假设进行接受或拒绝。
以上只是概率与统计的基本概念的介绍，这两个领域涉及的内容非常广泛。
概率的基本概念及计算方法
概率的基本概念及计算方法概率是概念和事件发生的可能性的度量，是数学和统计学中的一个重要内容。
概率理论在许多领域中有着广泛的应用，包括自然科学、社会科学、经济学等。
本文将介绍概率的基本概念和计算方法。
一、概率的基本概念概率是描述随机现象结果发生可能性的数值。
在概率论中，我们将一个事物的可能结果称为样本点，而样本点的集合称为样本空间。
概率可以用数值来表示，其取值范围在0到1之间。
在概率论中，还有两个重要的概念：事件和随机变量。
事件是样本空间的子集，代表了一组可能发生的结果。
而随机变量是样本空间到实数集的映射。
通过对事件和随机变量的操作，我们可以进行概率的计算和推理。
二、概率的计算方法1. 古典概率古典概率也叫经典概率，适用于对实验结果有明确了解且等可能发生的情况。
计算公式为：P(A) = n(A) / n(S)其中，P(A)表示事件A发生的概率；n(A)表示事件A包含的样本点数；n(S)表示样本空间的样本点数。
2. 频率概率频率概率是通过实验统计结果得出的概率。
计算公式为：P(A) = lim(N(A)) / N其中，P(A)表示事件A发生的概率；N(A)表示事件A发生的次数；N表示总实验次数。
3. 主观概率主观概率是通过主观判断和个人经验得出的概率。
它是根据个人的观点和信念进行估计的，通常没有具体的计算公式。
三、概率的性质和运算法则1. 互斥事件的概率如果事件A和事件B是互斥事件（即两个事件不可能同时发生），则它们的概率满足以下公式：P(A ∪ B) = P(A) + P(B)2. 独立事件的概率如果事件A和事件B是独立事件（即一个事件的发生不会影响另一个事件的发生），则它们的概率满足以下公式：P(A ∩ B) = P(A) × P(B)3. 对立事件的概率如果事件A和事件A'是对立事件（即两个事件中一个发生，则另一个必然不发生），则它们的概率满足以下公式：P(A) + P(A') = 1四、概率的应用概率理论在各个领域中有着广泛的应用，以下是一些常见的应用场景：1. 游戏和赌博：概率理论可以帮助我们计算赌博游戏中的胜率，并根据概率制定相应的策略。
应用统计学(第四章 概率与概率分布)
服从正态分布N(μ,σ2)的随机变量，x的取值落在区间 [x1,x2) 的概率P(x1≤x<x2)，等于服从标准正态分布的随机变 量u在[(x1-μ)/σ, (x2-μ)/σ)内取值的概率。
u x
P(a u b) Φ(b) Φ(a) P( u a) 2Φ(a) P( u <a) 1 2Φ(a) P(0 u<a) Φ(a) 0.50 P(u a) 1 Φ(a) Φ(a)
1)正态分布的特征
a. x=μ 时 f(x) 值最大，密度曲线以μ为中心分布
b. x-μ绝对值相等时f(x) 相等，密度曲线以μ为中心两侧 对称
c. f(x)是非负函数，以x轴为渐近线
d.正态分布曲线由参数μ，σ 决定， μ 确定正态分 布曲线在x轴上的中心位置，σ 确定正态分布的变异度
e.正态分布曲线在x =μ±σ 处各有一个拐点，曲线通
是根据随机事件本身的特性直接计算其概率 随机事件若满足
试验的所有可能结果只有有限个，即样本空间中的基本 事件只有有限个
各个试验的可能结果出现的可能性相等，即所有基本事 件的发生是等可能的
试验的所有可能结果两两互不相容
则若样本空间由n个等可能的基本事件所构成，其中事件A 包含有m个基本事件，则事件A的概率为m/n，即 P(A)=m/n
x-
x+
b.连续型变量的概率分布
连续型随机变量的概
率分布因取值数不可数而 样本容量 n 足够大时，频率分
不能用分布律来表示
布趋于稳定，近似地看成总
体概率分布
n 无限大时
频率转化为概率 频率密度转化为概率密度 频率分布转化为概率分布 曲线为总体概率密度曲线 函数f(x)称为概率密度函数
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§ 2,随机变量与概率分布的基本概念 ,
一,离散型随机变量 1,随机变量(Random Variable) ,随机变量( ) 2,离散型随机变量(Discrete Random Variable) ,离散型随机变量( ) 3,离散型随机变量的概率 , 4,离散型随机变量的概率分布(Probability Distribution) ,离散型随机变量的概率分布( ) 5,离散型随机变量的累积概率(Cumulative Probability) ,离散型随机变量的累积概率( ) P(X ≤ x)的概率称为随机变量 的累积概率. ( 的累积概率. )的概率称为随机变量X的累积概率 6,离散型随机变量的累积概率分布 , (Cumulative Probability Distribution )
(2)连续分布的随机变量在(连续)区间上取值,且只有在 )连续分布的随机变量在(连续)区间上取值, 这些区间上其概率值才能为正值, 这些区间上其概率值才能为正值,在连续型随机变量的任意 取值点(离散点) 其概率值均为零. 取值点(离散点)上,其概率值均为零. (3)连续型随机变量的概率分布,与离散型随机变量的概率 )连续型随机变量的概率分布, 分布相对应. 分布相对应. (4)连续型随机变量的累积概率分布,与离散型随机变量的 )连续型随机变量的累积概率分布, 累积概率分布相对应. 累积概率分布相对应. 9,两个随机变量的联合概率分布 , (1)两个离散型随机变量的联合概率分布 ) 令P(X=i)=P(Ai),i=1,2,,n; P(Y=j)=P(Bi),i=1,2,,m ( ) ( ( ) ( 联合概率的一般表达式: 联合概率的一般表达式 P(X=i,Y=j)= P(Ai, Bj) ( ) (
/Y
/ X
f (x, y) (x y) = fY ( y ) f (x, y) ( y x) = fX (x)
12,相互独立的随机变量 , 离散型: 若对所有的 ,j,有 若对所有的i, , 离散型 P(X=i / Y= j)=P(X=i) ( ) ( ) 或 P(X=i,Y= j)=P(X=i)P(Y=j) ( , ) ( ) ( ) 则称随机变量X与 是相互独立的 则称随机变量 与Y是相互独立的
f ( x, y ) = f X ( x) fY ( y )
则称X与 是相互独立的随机变量 是相互独立的随机变量. 则称 与Y是相互独立的随机变量. 离散型和连续型的随机变量相互独立的条件和定义,可用 离散型和连续型的随机变量相互独立的条件和定义, 的随机变量相互独立的条件和定义 统一表达为: 累积概率统一表达为 累积概率统一表达为:
P ( X ≤ x, Y ≤ y ) = P ( X ≤ x) P (Y ≤ y )
§ 3. 典型概率分布
1,两点分布(0-1分布) ,两点分布( 分布 分布) 如 投一枚硬币,出现正面概率是p,出现反面概率是1-p, 投一枚硬币,出现正面概率是 ,出现反面概率是 , 可以表示为 P(X=1)=p, P(X=0)=1-p ( ) , ( )
(2)两个连续型随机变量的联合概率密度分布 ) 联合概率密度分布与离散型随机变量的联合概率分布相对应. 联合概率密度分布与离散型随机变量的联合概率分布相对应 一般表达式: 是一个二元函数. 一般表达式 f (x, y), 是一个二元函数 (3) 两个离散型随机变量的累积概率分布与两个连续型随机 变量的累积概率分布相对应. 变量的累积概率分布相对应 离散型的累积概率是概率的求和关系; 离散型的累积概率是概率的求和关系 连续型的累积概率是概率密度的积分关系; 连续型的累积概率是概率密度的积分关系 如: 二维随机变量 ( X, Y )的累积概率分布 的累积概率分布
F(x, y) = P( X ≤ x,Y ≤ y) =
F ( x, y ) = P ( X ≤ x, Y ≤ y ) =
X i ≤x,YJ ≤ y
y x
∑ p( X ,Y )
i j
∞∞
∫ ∫ f (u, v)dudv
10,边际分布 , 离散型: 离散型:
P ( X = i) =
∑ P( X
j =1
P ( X = i, Y = j ) P ( X = i Y = j) = , i = 1, 2 L P (Y = j )
若对某个固定的i,P(X= i)>0,有
P ( X = i, Y = j ) P (Y = j X = i ) = , j = 1, 2 L P ( X = i)
连续型:
fX fY
P (B ) =
∑
n
P ( BA
k =1
k
) =
Байду номын сангаас
∑
n
k =1
P ( B A k )P ( A k )
三,贝叶斯公式(Bayes'Rule) 贝叶斯公式( ) 1,贝叶斯公式 ,
P ( B Ak ) P ( Ak ) P ( Ak B ) P ( Ak B ) = = n , P( B) ∑ P( B Ak )P( Ak )
x
F ( x) =
∞
∫ f (u )du
或者 F ′( x ) = f ( x )
7,均值(Mean) ,均值( ) = E(X ) = 离散型: 离散型: 连续型: 连续型: = E ( X ) = 8,方差(Variance) ,方差( ) 离散型: σ 离散型: 连续型: 连续型: σ
2
k =1
P(B) > 0
其中: 是对样本空间S的一个划分 的一个划分, 其中:A1,A2, An是对样本空间 的一个划分, Ak是 其中任意一个事件. 其中任意一个事件.
四,相互独立的随机事件的概率公式 1,相互独立定义 , 对任意两个事件A, , 对任意两个事件 ,B,且P(B)>0, 若P(A|B)=P(A), ( ) 则称事件A与 是相互独立的 是相互独立的. 则称事件 与B是相互独立的 注意: 独立与不相容的区别. 注意 独立与不相容的区别 若两个事件A, B相互独立 则有 相互独立, 若两个事件 相互独立 P(A|B)=P(A), P(B)>0; ( ) P(B|A)=P(B), P(A)>0; ( ) P(AB)=P(A|B)P(B)=P(A)P(B)
7,概率运算的主要性质(Properties of Probability) ,概率运算的主要性质( ) 的对立事件, (1)设A是A的对立事件,则 P(A)=1-P(A). ) 是 的对立事件 ( ) ( ). (2)对任意两个事件 和 B ,有 )对任意两个事件A P(A∪B)= P(A)+ P(B)- P(AB) ( ∪ ) ( ) ( ) ( ) (3)若事件 B,则 P(A)≤ P(B). )若事件A , ( ) ( ). 8,等概率随机实验(Equally Likely Outcomes) ,等概率随机实验( ) 满足: ,实验的基本事件个数有限; 满足:1,实验的基本事件个数有限; 2,基本事件出现的概率相等. ,基本事件出现的概率相等. 如:投均匀硬币;投骰子等等 投均匀硬币;
5,连续型随机变量的累积概率分布函数 , 连续型随机变量小于等于每一个可能的实验结果x( 连续型随机变量小于等于每一个可能的实验结果 (用数字 表示结果)的概率, 表示结果)的概率,函数表达为 F(x)=P(X ≤ x) ( ) ( ) 6,连续型随机变量的概率密度函数(Probability Density ,连续型随机变量的概率密度函数( Function) ) 连续型随机变量的概率密度函数是这样一个数学函数式: 连续型随机变量的概率密度函数是这样一个数学函数式: 在该曲线下面任何一个区间的面积,等于随机变量X在该 在该曲线下面任何一个区间的面积,等于随机变量 在该 区间上取值的概率. 区间上取值的概率. 注:离散型:累积概率是概率的求和关系; 离散型:累积概率是概率的求和关系; 连续型:累积概率是概率密度的积分关系, 连续型:累积概率是概率密度的积分关系,有
服从两点分布, 若X 服从两点分布,则记 X ~ B(1,p). ( , ). 2,二项分布(Binomial Distribution) 二项分布( 二项分布 ) 次硬币(又称贝努利实验) 正面出现k次 如抛 n 次硬币(又称贝努利实验), 正面出现 次(0≤ k ≤ n) ≤ ) 的概率为
连续型: 连续型: 定义1,若连续型随机变量X与Y的条件密度分布满足: 定义 ,若连续型随机变量 与 的条件密度分布满足: 的条件密度分布满足
f X / Y ( x y ) = f X ( x ), 或 f Y / X ( y x ) = f Y ( y )
定义2,若连续型随机变量 与Y的条件密度分布满足: 若连续型随机变量X与 的条件密度分布满足 的条件密度分布满足: 若连续型随机变量
i =1 +∞
∑
∞
xi pi
∞
∫
xf ( x ) dx
= D(X ) =
= D(X ) =
∑
+∞
∞
i =1
( xi )2 pi
( x ) 2 f ( x ) dx
2
∞
∫
9,离散分布与连续分布的区别与对应关系 , (1)离散分布的随机变量在离散点取值(可以是有穷多个, 也可以是无穷多个离散点),并在这些点上存在概率值.
二,连续型随机变量 1,连续型随机变量( Continuous Random Variable ) ,连续型随机变量( 该随机变量的取值域为一个连续区间. 该随机变量的取值域为一个连续区间. 一个连续区间 2,连续型随机变量的概率 , 连续型随机变量只在区间上取值,其概率值才可能为正值: 连续型随机变量只在区间上取值,其概率值才可能为正值: 0 < P(x1 ≤ X ≤ x2) ≤ 1 连续型随机变量取任何离散点的概率为零. 连续型随机变量取任何离散点的概率为零. 3,连续型随机变量的累积概率( Cumulative Probability ) ,连续型随机变量的累积概率( 注:与离散型随机变量累积概率的表达相同. 与离散型随机变量累积概率的表达相同. 4,连续型随机变量的累积概率分布 , ( Cumulative Probability Distribution )