重庆市巴蜀中学2020-2021学年高二(下)期末数学试题
重庆市巴蜀中学2020-2021学年高二下学期数学期末复习试卷3
重庆巴蜀中学高 2022 届期末复习题三一、单选题1 . 命题 " , 50x x R e x ∀∈-+≥" 的否定是 ( ). , l 5 0A x R nx x ∀∈++< . , 50x B x R e x ∃∈-+≥C . ∀ x ∈ R ,50x e x -+>x . , 5 0D x R e x ∃∈-+<2 . 设集合 A = { x | 4 x - | ≥ 9 } , |03x B x x ⎧⎫=⎨⎬+⎩⎭则 A ∩ B 等于 ( ) 555.(3,2].(3,2]0,.(,2](,)(,3)[,)22 2A B C D ⎡⎤----⋃-∞-⋃+∞-∞-⋃+∞⎢⎥⎣⎦3 . 某区为了了解中小学生的视力健康状况 , 决定从城区的几所学校随机抽取一个样本进行调查 , 已知这几所学校的小学生、初中生、高中生的人数比为 5 : 6 : 7 , 现用分层抽样的方法抽取一个样本容量为 n 的样本 , 样本中初中生 的人数比小学生人数多 50 , 则n = ( )A . 250B . 300C . 800D . 9004 . 为调查乘客晕车情况 , 在某一次行程中 , 50 名男乘客中有 25 名晕车 , 30 名女乘客中有 5 名晕车 . 在检验这些乘客晕车是否与性别相关时 , 常采用的数据分析方法是( )A . 回归分析B . 独立性检验C . 频率分布直方图D . 用样本估计总体5 . 下列正确命题的序号有 ( )①若随机变量 X ～ B ( 100 , p ) , 且 E ( X ) = 20 , 则 1(1) 5.2D X += ②在一次随机试验中 , 彼此互斥的事件 A , B , C , D 的概率分别为 0 . 2 , 0 . 2 , 0 . 3 , 0 .3 , 则 A 与 BUC ∪ D 是互斥事件 , 也是对立事件 .③由一组样本数据 ( x 1 , y 1 ) , ( x 2 , y 2 ) , … ( x n ,y n ) 得到回归直线方程 y = bx + a , 那么直线 y = bx + a 至少经过为(x 1, y 1 ) , ( x 2, y 2 ) ….. ( x n , y n ) 中的一个点 .A . ②B . ①②C . ③D . ①②③6 . 若两个正实数 x , y 满足 4 x + y = xy 且存在这样的 x , y 使不等式234y x m m +<+有解 , 则实数 m 的取值范围是 ( )A . ( -1 , 4 )B . ( -4 , 1 )C .( ─∞ , -4 ) U ( 1 , + ∞ )D . ( ─∞ , -3 ) ∪ ( 0 , + ∞ )7 . 用红、黄、蓝 3 种颜色给如图所示的五连圆涂色 , 要求相邻两个圆所涂颜色不 能相同 , 且红色至少要涂两个圆 , 则不同的涂色方案种数为 ()A . 26B . 28C . 30D . 328 . 已知函数 f ( x ) = 2 x - sinx , 若不等式2()(12)0 f ax f ax +-≥对∀ x ∈R 恒成立 , 则实数 a 的取值范围是 ( )A . ( 0 , e ]B . [ 0 , e ] C..( 0 , 1] D . [ 0 , 1]二、多选题9 . " 22320x x --< " 的一个充分不必要条件可以是 ( ) 11.1.01..222A x B x C x D x >-<<-<<<10 . 已知 (2n x+的二项展开式中二项式系数之和为 64 , 则下列结论正确的是 ( ) A . 二项展开式中无常数项 B . 二项展开式中倒数第 5 项为390xC . 二项展开式中各项系数之和为 63D . 二项展开式中二项式系数最大的项为32160x 11 . 一盒中有 8 个乒乓球 , 其中 6 个未使用过 , 2 个已使用过 . 现从盒子中任取 3 个球来用 , 用完后再装回盒中 . 记盒中已使用过的球的个数为 X , 则下列结论正确的是( )A . X 的所有可能取值是 3 , 4 , 5B . X 最有可能的取值是 5C . x 等于 3 的概率为 328} D . X 的数学期望是 174 12 . 双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>左支上一点 A 关于原点的对称点为点 B , F 为其右焦点 , 若 AF ⊥ BF , 设∠ABF =α , 且 5(,)412ππα∈则离心率 e 的可能取值是 ( ).222A B C D 三、填空题13 . 设复数 z = a + i ( a ∈ R , i 为虚数单位 ) , 若 ( 1+ i ) · z 为纯虚数 , 则 | z [2的值为 14 . 若不等式22x mx ->对满足 | m| ≤ 1 的一切实数 m 都成立 , 则 x 的取值范围是15、在三棱锥 P - ABC 中 , 已知 PA = 4 , ∠ BAC = 90 ∘ , AB = 1 , AC =若三棱锥 P - ABC 的外接球的体积为323π, 则三棱锥 P - ABC 的体积为 16 , 某高校大一新生中的 6 名同学打算参加学校组织的 " 雅荷文学社 " 、 " 青春风街舞社 " 、 " 羽乒协会 " 、 " 演讲团 " 、"吉他协会 " 五个社团 , 若每名同学必须参加且只能参加 1 个社团且每个社团至多两人参加 , 则这 6 个人中至多有1人参加 " 演讲团 " 的不同参加方法数为17、已知抛物线 C : 22(0)y px p =>, 其焦点 F 到其准线的距离为 2 , 过焦点 F 且倾斜角为 45∘的直线 l 交抛物线 C 于 A , B 两点 ,( 1 ) 求抛物线 C 的方程及其焦点坐标 ; ( 2 ) 求 | AB | .18 . 2018 年12 月18 日上午10 时, 在人民大会堂举行了庆祝改革开放40 周年大会.40 年众志成城, 40 年砥砺奋进,40年春风化雨, 中国人民用双手书写了国家和民族发展的壮丽史诗. 会后, 央视媒体平台收到了来自全国各地的纪念改革开放40 年变化的老照片, 并从众多照片中抽取了100 张照片参加" 改革开放40 年图片展" , 其作者年龄集中在[ 25 , 85 ] 之间, 根据统计结果, 做出频率分布直方图如下:( 1 ) 求这100 位作者年龄的样本平均数元和样本方差s ^2 ( 同一组数据用该区间的中点值作代表) ;( 2 ) 由频率分布直方图可以认为, 作者年龄X 服从正态分布N ( μ , σ2 ) , 其中μ近似为样本平均数x, σ2近似为样本方差s 2 .①利用该正态分布, 求P ( 60 < X < 73 . 4 ) ;②央视媒体平台从年龄在[ 45 , 55 ] 和[ 65 , 75 ] 的作者中, 按照分层抽样的方法, 抽出了7 人参加" 纪念改革开放40年图片展" 表彰大会, 现要从中选出 3 人作为代表发言, 设这3 位发言者的年龄落在区间[ 45 , 55 ] 的人数是Y , 求变量γ的分布列和数学期望.附13.4, 若X ～N ( μ , σ1 ) , 则P ( μ - σ < X < μ + σ ) = 0 . 683 ,P ( μ -2 σ < X < μ +2 σ ) = 0 . 95419 . 如图, 已知直三棱柱ABC - A1B 1C1中, ∠ ACB = 90° , E 是棱CC1上的动点, F 是AB 的中点, AC = BC = 2 , AA1 = 4 .( 1 ) 当E 是棱CC1的中点时, 求证: CF ∥平面AEB1 ;, ( 2 ) 在棱CC _1 上是否存在点E , 使得二面角A - EB1- B 的大小是45°﹖若存在, 求出CE的长, 若不存在, 请说明理由.20 . 区块链技术被认为是继蒸汽机、电力、互联网之后, 下一代颠覆性的核心技术区块链作为构造信任的机器, 将可能彻底改变整个人类社会价值传递的方式, 2015 年至2019 年五年期间, 中国的区块链企业数量逐年增长, 居世界前列现收集我国近 5 年区块链企业总数量相关数据, 如表( 1 ) 根据表中数据判断, y = a + bx 与y = xce( 其中e = 2 . 71828 …为自然对数的底数) , 哪一个回归方程类型适宜预测未来几年我国区块链企业总数量? ( 给出结果即可, 不必说明理由)( 2 ) 根据( 1 ) 的结果, 求y 关于x 的回归方程( 结果精确到小数点后第三位) ;( 3 ) 为了促进公司间的合作与发展, 区块链联合总部决定进行一次信息化技术比赛, 邀请甲、乙、丙三家区块链公司参赛比赛规则如下: ①每场比赛有两个公司参加, 并决出胜负; ②每场比赛获胜的公司与未参加此场比赛的公司进行下一场的比赛; ③在比赛中, 若有一个公司首先获胜两场, 则本次比赛结束, 该公司就获得此次信息化比赛.的" 优胜公司" , 已知在每场比赛中, 甲胜乙的概率为13, 甲胜丙的概率为35, 乙胜丙的概率为12, 请通过计算说明, 哪两个公司进行首场比赛时, 甲公司获得" 优胜公司" 的概率最大?21 . 已知椭圆 C :22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为 12 , 其短轴长为 设直线 l : x = 4 , 过椭圆右焦点 F 的直线 ( 不与 x 轴重合 ) 与椭圆 C 相交于 A , B 两点 , 过点 A 作 AD ⊥ l , 垂足为 D .( I ) 求椭圆 C 的标准方程 ; ( II ) 求证 : 直线 BD 过定点 E , 并求出定点 E 的坐标 .22 . 已知函数21()ln 21().a f x x ax a R x -=--+∈ ( 1 ) 当 104a <<时 , 讨论函数 f ( x ) 的单调性 ; ( 2 ) 设函数2121()()2a g x x f x x-=++, 当 | a | > 1 时 , 若函数 g ( x ) 的极大值点为 x 1 , 证明 : x 1lnx 1- ax 12> -1 .。
2023-2024学年重庆市高二(下)期末数学试卷(含答案)
2023-2024学年重庆市高二（下）期末考试数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知f′(x)是函数f(x)的导函数，则满足f′(x)=f(x)的函数f(x)是( )A. f(x)=x 2B. f(x)=e xC. f(x)=lnxD. f(x)=tanx2.如图是学校高二1、2班本期中期考试数学成绩优秀率的等高堆积条形图，如果再从两个班中各随机抽6名学生的中期考试数学成绩统计，那么( )A. 两个班6名学生的数学成绩优秀率可能相等B. 1班6名学生的数学成绩优秀率一定高于2班C. 2班6名学生中数学成绩不优秀的一定多于优秀的D. “两班学生的数学成绩优秀率存在差异”判断一定正确3.对于函数f(x)=x 3+bx 2+cx +d ，若系数b ，c ，d 可以发生改变，则改变后对函数f(x)的单调性没有影响的是( )A. bB. cC. dD. b ，c4.某地根据以往数据，得到当地16岁男性的身高ycm 与其父亲身高xcm 的经验回归方程为y =1417x +29，当地人小王16岁时身高167cm ，他父亲身高170cm ，则小王身高的残差为( )A. −3cmB. −2cmC. 2cmD. 3cm5.若函数f(x)=(x 2+bx +1)e x ，在x =−1时有极大值6e −1，则f(x)的极小值为( )A. 0B. −e −3C. −eD. −2e 36.甲、乙、丙、丁、戊五个人站成一排照相，若甲不站最中间的位置，则不同的排列方式有( )A. 48种B. 96种C. 108种D. 120种7.若王阿姨手工制作的工艺品每一件售出后可以获得纯利润4元，她每天能够售出的工艺品(单位：件)均值为50，方差为1.44，则王阿姨每天能够获得纯利润的标准差为( )A. 1.2B. 2.4C. 2.88D. 4.88.若样本空间Ω中的事件A 1，A 2，A 3满足P(A 1)=P(A 1|A 3)=14,P(A 2)=23,P(−A 2|A 3)=25,P(−A 2|−A 3)=16，则P(A 1−A 3)=( )A. 114B. 17C. 27D. 528二、多选题：本题共3小题，共18分。
2021学年重庆市高二(下)期末数学试卷(理科)有答案
2021学年重庆市高二（下）期末数学试卷（理科）一．选择题：共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 设全集U =R ，集合R ={0, 1, 2}，B ={x|1x−1>0, x ∈R}，则A ∩∁U B =( )A.{0}B.{0, 1}C.{1, 2}D.{0, 1, 2}2. 已知命题p:∀x ∈R ，2x 2+1>0，则¬p 是( ) A.∀x ∈R ，2x 2+1≤0B.∃x 0∈R ，2x 02+1>0C.∃x 0∈R ，2x 02+1<0 D.∃x 0∈R ，2x 02+1≤03. 函数y =√lg (x −1)的定义域是（ ） A.(1, 2) B.(2, +∞) C.(1, +∞) D.[2, +∞)4. 设a =log π3，b =20.3，c =log 213，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A.a >b >c B.c >a >b C.b >a >c D.a >c >b5. 下列函数中，在区间(0, +∞)上为增函数的是（ ） A.y =ln (x +1) B.y =−√x +1C.y =(12)xD.y =x +1x6. 已知x 、y 的取值如下表从所得的散点图分析，y 与x 线性相关，且y ̂=0.95x +a ，则a =( )C.2.4D.2.67. 已知a 为实数，则|a|≥1是关于x 的不等式|x −3|+|x −4|≤a 有解的(（ ) A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件8. 若函数f(x)=log a (x 2+a x)有最小值1，则a 等于（ ）A.14B.12C.2D.49. 函数f(x)=x 2−bx +a 的图象如图所示，则函数g(x)=ln x +f′(x)的零点所在的区间是（ ）A.(14, 12) B.(12, 1)C.(1, 2)D.(2, 3)10. 定义在R 上函数f(x)满足：f(x)=f(−x)，f(2+x)=f(2−x)，若曲线y =f(x)在x =1处的切线方程为x +y −3=0，则y =f(x)在x =2015的切线方程为（ ） A.x +y −3=0 B.x −y −2013=0 C.x −y −2015=0 D.x −y +2017=011. 点P(x 0, y 0)是曲线C:x =e −|x|(x ≠0)上的一个动点，曲线C 在点P 处的切线与x 轴、y 轴分别交于A ，B 两点，点O 是坐标原点，则△AOB 面积的最大值为（ ） A.2e B.4eC.√eD.2√e12. 已知偶函数f(x)：Z →f Z ，且f(x)满足：f(1)=1，f(2015)≠1，对任意整数a ，b 都有f(a +b)≤max {f(a), f(b)}，其中max (x, y)={x,x ≥yy,x <y ，则f(2016)的值为（ ）A.0B.1C.2015D.2016二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填写在答题卡相对应位置上．设随机变量ξ服从正态分布N(3, σ2)，若P(ξ<2a −3)=P(ξ>a +3)，则实数a 的值为________．若函数f(x)=x 3−a 的图象不经过第二象限，则实数a 的取值范围是________．已知函数f(x)=|1−x 2|，在[0, 1]上任取一数a ，在[1, 2]上任取一数b ，则满足f(a)≤f(b)的概率为________．己知函数f(x)={e x−a，x≤0x−1x，x>0，若关于x的方程f（f(x)）=0有且只有一个实数解，则实数a的取值范围为________．三．解答题：本大题共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．已知命题p：(13)a−a2<9，q:|2a−1|<4，若命题“p∨q”为真命题，命题“p∧q”为假命题，求实数a的取值范围．某校小卖部根据以往某种商品的销售记录，绘制了如下的日销售量频率分布直方图．若以日销售量的频率为概率，假设每天的销售量是相互独立的．结合直方图相关数据，以此来估计未来连续3天日销售量．(I)求在未来3天里，恰好只有连续2天的日销售量都高于100个的概率；(II)用X表示在未来3天里日销售量高于100个的天数，求随机变量X的分布列和数学期望．已知函数f(x)=2ln x−x2−ax+3，其中a∈R．(I)设曲线f(x)在点（1, f(1)）处的切线与直线2x−y+1=0平行，求a的值；(II)若函数f(x)在[1e, e]上单调递减，求a的取值范围．已知函数f(x)=kx+log2(4x+1)(k∈R)是偶函数．（1）求k的值；（2）设函数g(x)=log2(a⋅2x−4a)，其中a>0．若函数f(x)与g(x)的图象有且只有一个交点，求a的取值范围．已知函数f(x)=e x，g(x)=ax+b，其中a，b∈R．（1）若a=−1，函数y=1f(x)+g(x)在(0, +∞)上有意义，求b的取值范围；（2）若0≤2a≤b≤1，求证：当x≥0时，1f(x)+xg(x)≥1．四、请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，同按所做的第一题计分，作答时请写清题号．选修4-1：几何证明选讲如图△ABC内接于圆O，AB=AC，直线MN切圆O于点C，弦BD // MN，AC与BD相交于点E．（1）求证：△ABE≅△ACD；（2）若AB=6，BC=4，求DEAE的值．选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，己知曲线C1的方程为ρ=2cosθ+2sinθ，直线C2的参数方程为{x=−1+ty=−1−t（t为参数）（1）将C1的方程化为直角坐标方程；（2）P为C1上一动点，求P到直线C2的距离的最大值和最小值．选修4-5：不等式选讲设函数f(x)=|x+2|−|x−3|−a（1）当a=1时，求函数f(x)的最大值；（2）若f(x)≤4a对任意x∈R恒成立，求实数a的取值范围．参考答案与试题解析2021学年重庆市高二（下）期末数学试卷（理科）一．选择题：共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.【答案】B【考点】交、并、补集的混合运算【解析】求出集合B中的不等式的解集，确定出集合B，根据全集U=R，找出集合B的补集，然后找出集合B补集与集合A的公共元素，即可求出所求的集合【解答】>0，解：由集合B中的不等式1x−1解得：x>1∴B=(1, +∞)，又全集U=R，∴C U B=(−∞, 1]，又A={0, 1, 2}，∴A∩C U B={0, 1}．故选：B．2.【答案】D【考点】命题的否定【解析】利用全称命题的否定是特称命题，写出结果即可．【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题p:∀x∈R，2x2+1>0，则¬p是：∃x0∈R，2x02+1≤0．故选D．3.【答案】D【考点】对数函数的定义域【解析】无理式被开方数大于等于0，对数的真数大于0，解答即可．【解答】解：要使原函数有意义，则lg(x−1)≥0，即x−1≥1，解得：x≥2．所以函数y=√lg(x−1)的定义域是[2, +∞)．故选D．4.对数值大小的比较 【解析】利用指数函数与对数函数的单调性即可得到． 【解答】解：∵ 0<a =log π3<1，b =20.3>1，c =log 213<0，∴ c <a <b ． 故选：C ． 5. 【答案】 A【考点】函数单调性的性质 【解析】根据指数函数，对数函数，幂函数，一次函数，对勾函数和复合函数单调性，逐一分析四个答案中函数的单调性，可得答案． 【解答】解：A 中，函数y =ln (x +1)在区间(0, +∞)上为增函数， B 中，y =−√x +1在区间(0, +∞)上为减函数， C 中，y =(12)x 在区间(0, +∞)上为减函数，D 中，y =x +1x 在区间(0, 1)上为减函数，在(1, +∞)为增函数，故选：A 6.【答案】 D【考点】求解线性回归方程 【解析】本题考查的知识点是线性回归直线的性质，由线性回归直线方程中系数的求法，我们可知(x ¯，y ¯)在回归直线上，满足回归直线的方程，我们根据已知表中数据计算出(x ¯，y ¯)，再将点的坐标代入回归直线方程，即可求出对应的a 值． 【解答】解：点(x ¯，y ¯)在回归直线上， 计算得x ¯=2，y ¯=4.5； 代入得a =2.6； 故选D ． 7.必要条件、充分条件与充要条件的判断【解析】由已知中的不等式|x−3|+|x−4|≤a，我们可以构造绝对值函数，根据绝对值的几何意义，我们易求出对应函数y=|x−3|+|x−4|的值域，进而得到实数a的取值范围，再根据充分条件和必要条件去判断即可．【解答】解：令y=|x−3|+|x−4|，则函数y=|x−3|+|x−4|的值域为[1, +∞)若不等式|x−3|+|x−4|≤a有解集则a≥1，∴|a|≥1是关于x的不等式|x−3|+|x−4|≤a有解必要不充分条件．故选：B．8.【答案】D【考点】基本不等式在最值问题中的应用【解析】运用基本不等式可得x 2+ax=x+ax≥2√a，当且仅当x=√a取得最小值．再由对数函数的单调性可得loga2√a=1，解方程可得a=4．【解答】解：由于x>0，a>0，则x 2+ax=x+ax≥2√a，当且仅当x=√a取得最小值．由题意结合对数函数的单调性可得a>1，由最小值为1，可得loga2√a=1，即为a=2√a，解得a=4．故选：D．9.【答案】B【考点】函数零点的判定定理【解析】由二次函数图象的对称轴确定b的范围，据g(x)的表达式计算g( 12)和g(1)的值的符号，从而确定零点所在的区间．【解答】解：∵二次函数f(x)图象的对称轴x=b∈( 1, 1)，g( 12)=ln 12+1−b <0，g(1)=ln 1+2−b =2−b >0，∴ 函数g(x)=ln x +f′(x)的零点所在的区间是( 12, 1)； 故选B ． 10.【答案】 B【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程 【解析】由f(−x)=f(x)，f(x +2)=f(2−x)，可令x 为x +2，可得f(x)为周期为4的函数，再由x =1处的切线方程为x +y −3=0，可得f(1)，f(2015)，再通过求导，可得导函数为奇函数且为周期函数，即可求得f′(2015)，由点斜式方程，即可得到所求切线方程． 【解答】解：由f(−x)=f(x)，f(x +2)=f(2−x)，即有f(x +4)=f （2−(x +2)）=f(−x)=f(x)， 则f(x)为周期为4的函数，若曲线y =f(x)在x =1处的切线方程为x +y −3=0， 则f(1)=2，f′(1)=−1，即有f(2015)=f(503×4+3)=f(3)=f(1)=2， 对f(−x)=f(x)，两边求导，可得−f′(−x)=f′(x)， 由f(x +4)=f(x)，可得f′(x +4)=f′(x)， 即有f′(2015)=f′(3)=f′(−1)=1，则该曲线在x =2015处的切线方程为y −2=x −2015， 即为x −y −2013=0． 故选：B ． 11.【答案】 A【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程 【解析】由函数为偶函数，可设y =e −x (x >0)，求出导数，求得切线的斜率和切点，由点斜式方程可得切线方程，令x =0，y =0可得y ．x 轴的截距，再由三角形的面积公式，再求导数，求得单调区间，可得x 0=1处取得极大值，也为最大值，可得结论． 【解答】解：可设y =e −x (x >0)， y′=−e −x ，曲线C 在点P 处的切线斜率为k =−e −x 0，即有曲线C 在点P 处的切线方程为y −e −x 0=−e −x 0(x −x 0)， 可令y =0，则x =x 0+1，令x =0，可得y =(x 0+1)e −x 0，S′=[2(x0+1)−(x0+1)2]e−x0=(1+x0)(1−x0)e−x0，当0<x0<1时，S′>0，当x0>1时，S′<0，．即有x0=1处取得极大值，也为最大值2e．则△AOB面积的最大值为2e故选：A．12.【答案】B【考点】演绎推理函数奇偶性的性质【解析】先根据已知条件求出f(2)，f(3)，f(4)…找到其规律即可得到答案．【解答】证明：∵f(1)=1，f(a+b)≤max{f(a), f(b)}f(2)=f(1+1)≤max{f(1), f(1)}=1，即f(2)≤1，f(3)=f(1+2)≤max{f(1), f(2)}=1，即f(3)≤1，f(4)=f(1+3)≤max{f(1), f(3)}=1，即f(4)≤1，…，f(2015)≤max{f(1), f(2014)}=1，即f(2015)≤1．因为f(2015)≠1，所以f(2015)<1，从而f(2016)≤max{f(1), f(2015)}=1，即f(2016)≤1．假设f(2016)<1，因为f(x)为偶函数，所以f(−2015)=f(2015)．于是f(1)=f(2016−2015)≤max{f(2016, f(−2015)}=max{f(2016), f(2015)}<1，即f(1)<1．这与f(1)=1矛盾．所以f(2016)<1不成立，从而只有f(2016)=1．故选：B二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填写在答题卡相对应位置上．【答案】2【考点】正态分布的密度曲线【解析】根据随机变量符合正态分布，又知正态曲线关于x=3对称，得到两个概率相等的区间关于x=3对称，得到关于a的方程，解方程即可．【解答】解：∵随机变量ξ服从正态分布N(3, σ2)，∵P(ξ<2a−3)=P(ξ>a+3)，∴2a−3与a+3关于x=3对称，∴2a−3+a+3=6，∴3a=6，【答案】[0, +∞)【考点】函数的图象变换【解析】根据幂函数的图象和性质即可得到结论【解答】解：∵函数f(x)单调递增，∴要使f(x)=f(x)=x3−a的图象不经过第二象限，则f(0)≤0，即可，即f(0)=−a≤0，解得a≥0，故a的取值范围为[0, +∞)故答案为：[0, +∞)．【答案】6−π4【考点】几何概型计算（与长度、角度、面积、体积有关的几何概型）【解析】由题意化简f(a)≤f(b)可得{a≤ba2+b2≥2，或{a≥ba2+b2≤2，而a∈[0, 1]，b∈[1, 2]，作出图形由几何概型可得．【解答】解：由题意可得f(a)≤f(b)即|1−a2|≤|1−b2|，平方化简可得(a2−b2)(a2+b2−2)≤0即{a≤ba2+b2≥2，或{a≥ba2+b2≤2，对应的区域如图阴影部分而a∈[0, 1]，b∈[1, 2]，图形AEB的面积s=18π(√2)2−12×1×1=π−24，正方形ABCD的面积为1×1=1，故可得所求概率为P=1−π−24=6−π4；故答案为：6−π4．【答案】【考点】分段函数的应用函数的零点与方程根的关系【解析】根据题意，分析可得如果f （f(x)）=0有且只有一个实数解，则f(x)=1和f(x)=ln a(a >0)中只能有1个方程有解，且只有1解，即函数f(x)的图象与y =1或y =ln a(a >0)的图象有且只能有一个交点，进而作出函数g(x)={e x ,x ≤0x −1x ,x >0的图象，分析其图象与函数f(x)的图象的位置关系，即可得答案．【解答】解：根据题意，假设f(t)=0，则当t ≤0时，有e t −a =0，则t =ln a ，(a >0)当t >0时，有t −1t =1，解可得t =1，如果f （f(x)）=0有且只有一个实数解，则f(x)=1和f(x)=ln a(a >0)中只能有1个方程有解，且只有1解，即函数f(x)的图象与y =1或y =ln a(a >0)的图象有且只能有一个交点，作出函数g(x)={e x ,x ≤0x −1x ,x >0的图象，将其图象x ≤0的部分向上或向下平移|a|个单位可得函数f(x)的图象，分析可得，函数f(x)的图象只可能与y =1有且只有一个交点，且a 的取值范围是(−∞, −1)∪(−1, +∞)；故答案为：(−∞, −1)∪(−1, +∞)．三．解答题：本大题共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 【答案】解：若命题p ：(13)a−a 2<9=(13)−2为真命题，则a −a 2>−2，解得：a ∈(−1, 2)，若命题q:|2a −1|<4为真命题，则−4<|2a −1|<4，解得a ∈(−32, 52)，∵ 命题“p ∨q ”为真命题，命题“p ∧q ”为假命题，则p ，q 一真一假；当p 真q 假时，a ∈(−1, 2)，且a ∉(−32, 52)，不存在 满足条件的a 值；当p 假q 真时，a ∉(−1, 2)，且a ∈(−32, 52)， 则a ∈(−32, −1]∪[2, 52)． 【考点】命题的真假判断与应用【解析】先根据指数函数的单调性、绝对值不等式的解的情况，求出命题p ，q 下的a 的取值范围，再根据p ∨q 为真，p ∧q 为假，得到p 真q 假和p 假q 真两种情况，求出每种情况下的a 的取值范围并求并集即可．【解答】解：若命题p ：(13)a−a 2<9=(13)−2为真命题，则a −a 2>−2，解得：a ∈(−1, 2)，若命题q:|2a −1|<4为真命题，则−4<|2a −1|<4，解得a ∈(−32, 52)，∵ 命题“p ∨q ”为真命题，命题“p ∧q ”为假命题，则p ，q 一真一假；当p 真q 假时，a ∈(−1, 2)，且a ∉(−32, 52)，不存在 满足条件的a 值； 当p 假q 真时，a ∉(−1, 2)，且a ∈(−32, 52)，则a ∈(−32, −1]∪[2, 52)． 【答案】解：(1)用A 表示事件“日销售量高于100个”，用B 表示事件“在未来3天里恰有连续2天日销售量高于100个”，则：P(A)=0.3+0.2+0.1=0.6，∴ P(B)=0.6×0.6×0.4×2=0.288．(2)依题意：X 的可能取值为0，1，2，3且X ∼B(3, 0.6)，P(X =0)=∁30×(1−0.6)3=0.064，P(X =1)=∁31×0.6×(1−0.6)2=0.288，P(X =2)=∁32×0.62×0.4=0.432，P(X =3)=∁33×0.63=0.216．【考点】离散型随机变量的期望与方差二项分布的应用【解析】根据二项分布与独立重复实验的定义即可．【解答】解：(1)用A 表示事件“日销售量高于100个”，用B 表示事件“在未来3天里恰有连续2天日销售量高于100个”，则：P(A)=0.3+0.2+0.1=0.6，∴ P(B)=0.6×0.6×0.4×2=0.288．(2)依题意：X 的可能取值为0，1，2，3且X ∼B(3, 0.6)，P(X =0)=∁30×(1−0.6)3=0.064，P(X =1)=∁31×0.6×(1−0.6)2=0.288，P(X =2)=∁32×0.62×0.4=0.432，P(X =3)=∁33×0.63=0.216．【答案】解：f′(x)=2x −2x −a(x >0)，(I)由f′(1)=−a −1=2，解得：a =−3，；(II)由题意得：f′(x)≤0在x ∈[1e , e]恒成立，即：a ≥2x −2x ， 令g(x)=2x −2x ，则：g′(x)=−2x 2−2<0，∴ g(x)在[1e , e]递减，∴ g(x)max =g(1e )=2e −2e ， ∴ a ≥2e −2e ．【考点】利用导数研究函数的单调性利用导数研究曲线上某点切线方程【解析】(I)先求出函数的导数，根据切线的斜率是2，求出a 的值即可；(II)问题转化为a ≥2x −2x ，先求出函数g(x)的单调区间，从而求出函数的最大值，进而求出a 的范围．【解答】解：f′(x)=2x −2x −a(x >0)，(I)由f′(1)=−a −1=2，解得：a =−3，；(II)由题意得：f′(x)≤0在x ∈[1e , e]恒成立，即：a ≥2x −2x ，令g(x)=2x −2x ，则：g′(x)=−2x 2−2<0，∴ g(x)在[1e , e]递减，∴ g(x)max =g(1e )=2e −2e ， ∴ a ≥2e −2e ．【答案】解：（1）∵ 函数f(x)=kx +log 2(4x +1)是R 上的偶函数，∴ f(−1)=f(1)，即−k +log 2(4−1+1)=k +log 2(4+1)，∴ −2k =log 25−log 254=2， 解得k =−1；（2）当a >0时，函数g(x)=log 2(a ⋅2x −4a)的定义域是(2, +∞)，由题意知，−x +log 2(4x +1)=log 2(a ⋅2x −4a)在(2, +∞)上有且只有一解， 即方程4x +12x =a ⋅2x −4a 在(2, +∞)内只有一解；令2x =t ，则t >4，因而等价于关于t 的方程(a −1)t 2−4at −1=0在(4, +∞)上只有一解；设ℎ(t)=(a −1)t 2−4at −1，当a =1时，解得t =−14∉(4, +∞)，不合题意；当0<a <1时，ℎ(t)的对称轴t =2a a−1<0，故ℎ(t)在(0, +∞)上单调递减，而ℎ(0)=−1，∴ 方程(a −1)t 2−4at −1=0在(4, +∞)上无解；当a >1时，ℎ(t)的对称轴t =2a a−1>0，故只需ℎ(4)<0，即16(a −1)−16a −1<0，此不等式恒成立；综上，a 的取值范围是(1, +∞)．【考点】对数函数图象与性质的综合应用【解析】（1）根据函数f(x)是R 上的偶函数，利用f(−1)=f(1)，求出k 的值；（2）a >0时，函数g(x)的定义域是(2, +∞)，转化为方程f(x)=g(x)在(2, +∞)上有且只有一解，构造函数，讨论a 的取值，求出满足条件a 的取值范围即可．【解答】解：（1）∵ 函数f(x)=kx +log 2(4x +1)是R 上的偶函数，∴ f(−1)=f(1)，即−k +log 2(4−1+1)=k +log 2(4+1)，∴ −2k =log 25−log 254=2，解得k =−1；（2）当a>0时，函数g(x)=log2(a⋅2x−4a)的定义域是(2, +∞)，由题意知，−x+log2(4x+1)=log2(a⋅2x−4a)在(2, +∞)上有且只有一解，即方程4x+12x=a⋅2x−4a在(2, +∞)内只有一解；令2x=t，则t>4，因而等价于关于t的方程(a−1)t2−4at−1=0在(4, +∞)上只有一解；设ℎ(t)=(a−1)t2−4at−1，当a=1时，解得t=−14∉(4, +∞)，不合题意；当0<a<1时，ℎ(t)的对称轴t=2aa−1<0，故ℎ(t)在(0, +∞)上单调递减，而ℎ(0)=−1，∴方程(a−1)t2−4at−1=0在(4, +∞)上无解；当a>1时，ℎ(t)的对称轴t=2aa−1>0，故只需ℎ(4)<0，即16(a−1)−16a−1<0，此不等式恒成立；综上，a的取值范围是(1, +∞)．【答案】解：（1）若a=−1，g(x)=−x+b，令ℎ(x)=f(x)+g(x)=e x−x+b，若函数y=1f(x)+g(x)在(0, +∞)上有意义，则等价为ℎ(x)=e x−x+b≠0在(0, +∞)上恒成立，函数的导数ℎ′(x)=e x−1，当x>0是，ℎ′(x)>0，即ℎ(x)为增函数，则只需要ℎ(0)=1+b≥0即可，即b≥−1，即b的取值范围[−1, +∞)；（2）当0≤2a≤b≤1，x≥0，ax+b>0，则不等式，1f(x)+xg(x)≥1等价为e−x−1+xax+b≥0，(e−x−1)(ax+b)+x≥0，即故只需要证明：(e−x−1)(ax+b)+x≥0，令φ(x)=(e−x−1)(ax+b)+x，则函数的导数φ′(x)=e−x(a−b−ax)+1−a，由（1）知e x≥x+1，从而−x≥1−e x，∴φ′(x)=e−x(a−b−ax)+1−a≥e−x[a−b+a(1−e x)]+1−a=e−x(2a−b)+1−2a，∵0≤2a≤b≤1，∴φ′(x)≥e−x(2a−1)+1−2a=(1−2a)(1−e−x)≥0，∴φ(x)在[0, +∞)上为增函数，∵φ(0)=0，∴φ(x)≥0，即原不等式成立．【考点】利用导数研究函数的单调性【解析】（1）若a=−1，函数y=1f(x)+g(x)在(0, +∞)上有意义，等价为f(x)+g(x)≠0在(0, +∞)上恒成立，构造函数求出函数的导数，即可求b的取值范围；（2）将不等式进行转化，构造函数，求函数的导数，利用导数研究函数的单调性进行证明即可．【解答】解：（1）若a=−1，g(x)=−x+b，令ℎ(x)=f(x)+g(x)=e x−x+b，若函数y=1f(x)+g(x)在(0, +∞)上有意义，则等价为ℎ(x)=e x−x+b≠0在(0, +∞)上恒成立，函数的导数ℎ′(x)=e x−1，当x>0是，ℎ′(x)>0，即ℎ(x)为增函数，则只需要ℎ(0)=1+b≥0即可，即b≥−1，即b的取值范围[−1, +∞)；（2）当0≤2a≤b≤1，x≥0，ax+b>0，则不等式，1f(x)+xg(x)≥1等价为e−x−1+xax+b≥0，(e−x−1)(ax+b)+x≥0，即故只需要证明：(e−x−1)(ax+b)+x≥0，令φ(x)=(e−x−1)(ax+b)+x，则函数的导数φ′(x)=e−x(a−b−ax)+1−a，由（1）知e x≥x+1，从而−x≥1−e x，∴φ′(x)=e−x(a−b−ax)+1−a≥e−x[a−b+a(1−e x)]+1−a=e−x(2a−b)+1−2a，∵0≤2a≤b≤1，∴φ′(x)≥e−x(2a−1)+1−2a=(1−2a)(1−e−x)≥0，∴φ(x)在[0, +∞)上为增函数，∵φ(0)=0，∴φ(x)≥0，即原不等式成立．四、请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，同按所做的第一题计分，作答时请写清题号．选修4-1：几何证明选讲【答案】（1）证明：由题意∠BAE=∠EDC∵BD // MN∴∠EDC=∠DCN∵直线是圆的切线，∴∠DCN=∠CAD∴∠BAE=∠CAD在△ABE和△ACD中，∵AB=AC，∠ABE=∠ACD，∠BAE=∠CAD，∴△ABE≅△ACD（2）解：∵∠ABE=∠DCE，∠AEB=∠DEC∴△ABE∽△DEC∴DEAE =DCAB∵BD // MN，∴DC=BC=4，∴DEAE =DCAB=23．【考点】与圆有关的比例线段【解析】（1）在两个三角形中，证明两个三角形全等，找出三角形全等的条件，根据同弧所对的圆周角相等，根据所给的边长相等，由边角边确定两个三角形是全等三角形．（2）证明△ABE与△DEC相似，得到对应边成比例，利用BD // MNDC=BC=4，即可求DEAE的值．【解答】（1）证明：由题意∠BAE=∠EDC∵BD // MN∴∠EDC=∠DCN∵直线是圆的切线，∴∠DCN=∠CAD∴∠BAE=∠CAD在△ABE和△ACD中，∵AB=AC，∠ABE=∠ACD，∠BAE=∠CAD，∴△ABE≅△ACD（2）解：∵∠ABE=∠DCE，∠AEB=∠DEC∴△ABE∽△DEC∴DEAE =DCAB∵BD // MN，∴DC=BC=4，∴DEAE =DCAB=23．选修4-4：坐标系与参数方程【答案】解：（1）因为曲线C1的方程为ρ=2cosθ+2sinθ，则ρ2=2ρcosθ+2ρsinθ，所以C1的直角坐标方程是x2+y2=2x+2y，即(x−1)2+(y−1)2=2；（2）因为直线C2的参数方程为{x=−1+ty=−1−t（t为参数）所以直线C2的直角坐标方程为x+y+2=0，因为圆心C1(1, 1)到直线C2的距离d=√2=2√2>√2，则直线与圆相离，所以求P到直线C2的距离的最大值是3√2，最小值√2．【考点】直线的参数方程圆的极坐标方程【解析】（1）由ρ=x2+y2、ρcosθ=x、ρsinθ=y，将曲线C1的方程：ρ=2cosθ+2sinθ化为直角坐标方程；（2）将直线C2的参数方程消去t化为直角坐标方程，利用点到直线的距离求出圆心C1(1, 1)到直线C2的距离d，判断出直线与圆的位置关系，即可求出答案．【解答】解：（1）因为曲线C1的方程为ρ=2cosθ+2sinθ，则ρ2=2ρcosθ+2ρsinθ，所以C1的直角坐标方程是x2+y2=2x+2y，即(x−1)2+(y−1)2=2；（2）因为直线C2的参数方程为{x=−1+ty=−1−t（t为参数）所以直线C2的直角坐标方程为x+y+2=0，因为圆心C1(1, 1)到直线C2的距离d=√2=2√2>√2，则直线与圆相离，所以求P到直线C2的距离的最大值是3√2，最小值√2．选修4-5：不等式选讲【答案】解：（1）当a=1时，f(x)=|x+2|−|x−3|−1，由|x+2|−|x−3|≤|(x+2)−(x−3)|=5，故f(x)≤4，所以，当x≥3时，f(x)取得最大值，且为4；（2）f(x)≤4a 对任意x∈R恒成立，即为f(x)max=5−a≤4a，即为{a>0a2−5a+4≥0即有{a>0a≥4或a≤1，即为a≥4或0<a≤1．即有a的取值范围是(0, 1]∪[4, +∞)．【考点】函数恒成立问题【解析】（1）运用绝对值不等式的性质，可得|x+2|−|x−3|≤|(x+2)−(x−3)|=5，即可得到f(x)的最大值；（2）f(x)≤4a 对任意x∈R恒成立，即为f(x)max=5−a≤4a，解不等式可得a的范围．【解答】解：（1）当a=1时，f(x)=|x+2|−|x−3|−1，由|x+2|−|x−3|≤|(x+2)−(x−3)|=5，故f(x)≤4，所以，当x≥3时，f(x)取得最大值，且为4；（2）f(x)≤4a 对任意x∈R恒成立，即为f(x)max=5−a≤4a，即为{a>0a2−5a+4≥0即有{a>0a≥4或a≤1，即为a≥4或0<a≤1．即有a的取值范围是(0, 1]∪[4, +∞)．。
重庆市2020-2021学年高二数学下学期期末质量检测试题 含答案
重庆市2020-2021学年高二下学期期末质量检测数学试题注意事项：1.答题前，考生务必用黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、座位号在答题卡上填写清楚；2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，在试卷上作答无效；3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回；4.全卷共5页，满分150分，考试时间120分钟。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在没每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，那么的子集个数为A. 8B. 6C. 4D. 22.设为虚数单位，则复数z的虚部为A. B. 4 C. D. 4i3.不负青山，力换“金山”——重庆缙云山国家级自然保护区经过治理，逐步实现“生态美、百姓富”。
近几年，北碚区结合当地资源禀赋，按照“山上生态做减法、山下产业做加法”的思路，加大缙云山棚户区改造，科学有序发展环山文旅康养产业，温泉度假小镇、环山绿道、农家乐提档升级、特色民宿群等一批生态产业项目加快实施。
游客甲与乙同时沿下图旅游线路游玩。
甲将在第18站之前的任意一站下，乙将在第9站之前的任意一站下，他们都至少坐一站再下车，则甲比乙后下的概率为A. B. C. D.4.假设地球是半径为r的球体，现将空间直角坐标系的原点置于球心，赤道位于Oxy平面上，z轴的正方向为球心指向正北极方向，本初子午线弧是0度经线，位于xOz平面上，且交x轴于点0，，如图所示．已知赤道上一点位于东经60度，则地球上位于东经30度、北纬60度的空间点P的坐标为A. B. C. D.5.某商场为了解毛衣的月销售量件与月平均气温之间的关系，随机统计了某4个月的月销售量与当月平均气温，其数据如下表：月平均气温17 13 8 2月销售量件24 33 40 55由表中数据算出线性回归方程中的，气象部门预测下个月的平均气温约为6，据此估计该商场下个月毛衣销售量约为（）件．A. 46B. 40C. 38D. 586.康托是十九世纪末二十世纪初德国伟大的数学家，他创立的集合论奠定了现代数学的基础．著名的“康托三分集”是数学理性思维的产物，具有典型的分形特征，其操作过程如下：将闭区间均分为三段，去掉中间的区间段，记为第一次操作；再将剩下的两个区间，分别均分为三段，并各自去掉中间的区间段，记为第二次操作；，如此这样，每次在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为三段，同样各自去掉中间的区间段．操作过程不断地进行下去，以至无穷，剩下的区间集合即是“康托三分集”若使“康托三分集”的各区间长度之和小于，则需要操作的次数n的最小值为参考数据：，A. 4B. 5C. 6D. 77.唐代诗人李颀的诗古从军行开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为，若将军从山脚下的点处出发，河岸线所在直线方程为，则“将军饮马”的最短总路程为A. B. 5 C. D.8.设，，，则A. B. C. D.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
重庆市巴蜀中学校2023-2024学年高二下学期期末考试数学试题(原卷版)
重庆市巴蜀中学校高2025届高二（下）期末考试数学试题注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名､准考证号､班级､学校在答题卡上填写清楚.2.每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号.在试卷上作答无效.3.考试结束后，请将答题卡交回，试卷自行保存，满分150分，考试用时120分钟. 一､单选题1.已知集合{}{}{}1,2,3,2,3,4,3,4,5A B C ===，则()A B C ⋃⋂=（ ） A.{}3 B.{}1,2,3,4 C.{}1,2,3,5 D.{}1,2,3,4,52.已知函数()1y f x =-的定义域为()1,5，则函数()2y f x=的定义域为（ ）A.()2,0-B.()0,2C.()2,2-D.()()2,00,2-⋃3.已知函数()y f x =在区间D 上连续可导，则“()0f x …在区间D 上恒成立”是“()f x 在区间D 上单调递增”的（ ）条件.A.必要不充分B.充分不必要C.充要D.既不充分也不必要4.对某个班级学生的平均身高进行估算，这个班级有30位男生，20位女生，从男生中抽取5人，测得他们的平均身高为175cm ，从女生中抽取3人，测得她们的平均身高为165cm ，则这个班级的平均身高估计为（ ）cm .A.168.75B.169C.171D.171.255.甲､乙是同班同学，他们的家之间的距离很近，放学之后经常结伴回家，有时也单独回家；如果第一天他俩结伴回家，那么第二天他俩结伴回家的概率为0.5；如果第一天他俩单独回家，那么第二天他俩结伴回家的概率为0.6；已知第二天他俩单班回家的概率为0.46，则第一天他俩结伴回家的概率为（ ） A.0.4 B.0.5 C.0.54 D.0.66.已知12F F ､分别是椭圆22:16x C y y =+=的左､右焦点，点P 是椭圆C 上的任意一点，动点M 满足22(1)F M F P λλ=>，且1PM PF =，则动点M 的轨迹方程为（ ）A.22(6x y +=B.22(6x y +=C.22(24x y +=D.22(24x y +=7.设202620250.2026log 2025,log 2024,log 0.2025a b c ===，则（ ）A.c a b <<B.b a c <<C.b a c <<D.a b c <<8.某学校在假期组织30位学生前往北京､上海､广州､深圳､杭州､苏州､成都､重庆8个城市参加研学活动.每个学生可自由选择8个城市中的任意1个（不要求每个城市必须要有学生选择）.若每位学生选择去每个城市的概率都相等且互不影响，则有（ ）个学生选择前往北京或上海研学的概率最大. A.6 B.7 C.8 D.9二､多选题9.为考察某种药物预防疾病的效果，进行动物实验，得到如下药物结果与动物实验的数据：由上述数据得出下列结论，其中正确的是（ ）附：()()()()22()n ad bc a b c d a c b d χ-=++++；A.根据小概率值0.025=的独立性检验，推断服用药物是有效的，此推断犯错误的概率不超过0.025B.根据小概率值0.01α=的独立性检验，推断服用药物是有效的，此推断犯错误的概率不超过0.01C.该药物的预防有效率超过97.5%D.若将所有试验数据都扩大到原来的10倍，根据小概率值0.005α=的独立性检验，推断服用药物是有效的，此推断犯错误的概率不超过0.00510.已知三次函数()35(0)f x x bx b =++<有极小值点2x =，则下列说法中正确的有（ ）A.3b =-B.函数()f x 有三个零点C.函数()f x 的对称中心为()1,3D.过()1,1-可以作两条直线与()y f x =的图象相切11.已知实数,x y ，满足2227x y xy ++=，则下列说法正确的是（ ）A.x y +…B.1xy …C.226x y +-…D.2228x y +-…三､填空题12.函数()3f x x =__________. 13.设函数()2,0,0x x f x x x -<⎧=⎨⎩…，则不等式()()22f x f x ++>的解集为__________. 14.小明去参加一项游戏，可选择游戏1､游戏2､游戏3中的任意一项参加，游戏规则如下：一个转盘被等分为5个扇形，每个扇形上分别标有数字12345､､､､，假设每次转动转盘后箭头指向数字12345､､､､的概率相等，游戏()1,2,3n n =要转动转盘n 次，如果这n 次箭头指向的数字不大于42n -，则算游戏胜利.则小明参加游戏2胜利的概率为__________.四､解答题15.随着信息技术的快速发展，离散数学的应用越来越广泛，其中差分和差分方程是描述离散变量变化的重要工具.对于数列{}n a ，规定{}Δn a 为数列{}n a 的一阶差分数列，其中)*1Δ(n n n a a a n +=-∈N，已知数列{}Δn a 为常数列，且245,24a S ==.（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）数列{}n b 满足11n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T . 16.随着全球新能源汽车市场蓬勃增长，在政策的有力推动下，比亚迪汽车､小鹏汽车､理想汽车､小米汽车等中国的国产新能源汽车迅速崛起.新能源汽车因其较高的驱动效率､较低的用车成本､安静舒适的驾驶体验等优势深受部分车主的支持与欢迎.未来在努力解决充电效率较低､续航里程限制､低温环境影响等主要困难之后，新能源汽车市场有望得到进一步发展.某地区近些年的新能源汽车的年销量不断攀升，如下表所示：（1）若该地区新能源汽车车主的年龄X （单位：岁）近似服从正态分布()45,64N ，其中年龄(61,69]X ∈的有5万人，试估计该地区新能源汽车车主共有多少万人？（结果按四舍五入取整数） （2）已知变量x 与y 之间的相关系数r =，请求出y 关于x 的线性回归方程y bx a =+，并据此估计2025年时，该地区新能源汽车的年销量. 参考公式与数据：①若随机变量()2,X Nμσ~，则()()0.6827;220.9545P XP X μσμσμσμσ-+=-+=剟剟；()330.9973P x μσμσ-+=剟；②()()()()()121ˆnniiiii nii x x y y x x y y r bx x ==----==-∑∑∑；③()621210,30i i y y y =-==∑.17.已知抛物线2:2(0)C y px p =>与双曲线22133y x -=在第一象限内的交点M （1）求拋物线C 的标准方程；（2）设直线l 与抛物线C 交于A B ､两点，且直线MA MB ､的倾斜角互补，求直线l 的斜率.18.甲､乙､丙三名篮球运动员轮流进行篮球“一对一”单挑比赛，每场比赛有两人参加，分出胜负，规则如下：每场比赛中的胜方继续参加下一场比赛，负方下场换该场未参加比赛的运动员上场参加下一场比赛，以此类推.甲运动员实力较强，每场与乙､丙比赛的胜率为23，且各场比赛的结果均相互独立.由简单随机抽样中的抽签法决定哪两位运动员参加第一场比赛，记甲参加第n 场比赛的概率为()n P n N +∈. （1）求12,P P ； （2）求()n P n +∈N ；（3）记前n 场比赛（即从第1场比赛到第n 场比赛）中甲参加的比赛的场数为X ，求()E X . 参考资料：若12,,,n X X X 为n 个随机变量，则()1111n ni i E X E X ==⎛⎫= ⎪⎝⎭∑∑.19.请阅读下列2段材料：材料1：若函数()y f x =的导数()f x '仍是可导函数，则()f x '的导数()f x ''⎡⎤⎣⎦成为()f x 的二阶导数，记为()f x ''；若()f x ''仍是可导函数，则()f x ''的导数()f x '⎡'⎤⎣⎦'成为()f x 的三阶导数，记为()f x '''；以此类推，我们可以定义n 阶倒数：设函数()y f x =的1n -阶导数()()()12,n f x n n N -+∈…仍是可导函数，则()()1n fx -的导数()()1n f x -'⎡⎤⎣⎦称为()f x 的n 阶导数，记为()()n f x ，即()()()()1n n f x f x -'⎡⎤=⎣⎦. 材料2：帕德逼近是法国数学家亨利·帕德发现的对任意函数的一种用有理函数逼近的方法.帕德逼近有阶的概念，如果分子是m 阶多项式，分母是n 阶多项式，那么帕德逼近就是mn阶的帕德逼近.一般地，函数()f x 在0x =处的[],m n 阶帕德逼近函数定义为：()0111mm nn a a x a x R x b x b x +++=+++且满足()()()()()()()()()()00,00,00,,00m n m n f R f R f R f R ++===''=''''（其中e 2.71878=为自然对数的底数）.请根据以上材料回答下列问题：（1）求函数()()ln 1g x x =+在0x =处的[]1,1阶帕德逼近函数()0R x ；（2）求函数()ln f x x =在1x =处的[]1,1阶帕德逼近函数()1R x ，并比较()f x 与()1R x 的大小； （3）求证：当()0,x ∞+时，23xx >恒成立.。
2020-2021学年重庆市巴蜀中学高二(下)期末数学复习试卷(1)(附答案详解)
2020-2021学年重庆市巴蜀中学高二（下）期末数学复习试卷（1）一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）1. 集合A ={x||x −1|≤1}，B ={x|−2x +a <0}，若A ∪B =B ，则a 的取值范围为( )A. (−∞,0 )B. (−∞,0]C. (2,+∞)D. [2,+∞)2. 复数1+3i1−i (i 是虚数单位)的模等于( )A. 2√5B. 2√2C. √5D. √23. 由数据(x 1,y 1)，(x 2,y 2)，⋯，(x 10,y 10)可得y 关于x 的线性回归方程为y ̂=x +3.5，若∑x i 10i=1=15，则∑y i 10i=1=( )A. 18.5B. 50C. 60D. 1004. 已知x ∈R ，“|x +1|>3”是“x 2>4”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件5. 现有A ，B ，C ，D ，E 五人，随意并排站成一排，那么A ，B 相邻且B 在A 左边的概率为( )A. 110B. 15C. 25D. 456. 若不等式x 2−ax ≥16−3x −4a 对任意a ∈[−2,4]成立，则x 的取值范围为( )A. (−∞,−8]∪[3,+∞)B. (−∞,0)∪[1，+∞)C. [−8,6]D. (0,3]7. 已知正数a ，b 满足a +b =2，则aa+1+4bb+1的最大值是( )A. 92B. 114C. 1D. 738. 抛物线y 2=4x 的焦点为F ，点P(x,y)为该抛物线上的动点，点A 是抛物线的准线与坐标轴的交点，则|PA||PF|的最大值是( )A. 2B. √2C. 2√33 D. √32二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）9. 已知关于x 的不等式ax 2+bx +c >0解集为{x|−2<x <3}，则( )A. a>0B. 不等式ax+c>0的解集为{x|x<6}C. a+b+c>0D. 不等式cx2−bx+a<0的解集为{x|−13<x<12}10.已知正数a、b满足ab=1，那么下列不等式中，恒成立的有()A. a+b≥2B. a+b+1a+b ≥52√a√b ≥2√2 D. 1a+1b≤1211.下列说法正确的有()A. X～B(n,13)，且D(X)=2，则n=6B. 设有一个回归方程ŷ=3−5x，变量x增加1个单位时，y平均减少5个单位C. 线性相关系数r越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱D. 在某项测量中，测盘结果ξ服从正态分布N(1,σ2)(σ>0)，则P(ξ≤1)=0.512.为响应政府部门疫情防控号召.某红十字会安排甲乙丙丁4名志愿者分别奔赴A，B，C三地参加防控工作，下列选项正确的是()A. 若恰有一地无人去，则共有42种不同的安排方法B. 共有64种不同的安排方法C. 若甲乙两人不能去A地，且每地均有人去，则共有44种不同的安排方法D. 若该红十字会又计划为这三地捐赠20辆救护车(救护车相同)，且每地至少安排一辆，则共有171种不同的安排方法三、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.某企业加工了一批新零件，其综合质量指标值X服从正态分布N(80,σ2)，且P(X<60)=0.2，现从中随机抽取该零件500个，估计综合质量指标值位于[60,100]的零件个数为______ ．14.(2x+1)(2x−1)5的展开式中的常数项为______．15.设圆锥的顶点为A，BC为圆锥底面圆O的直径，点P为圆O上的一点(异于B，C)，若BC=4√3，三棱锥A−PBC的外接球表面积为64π，则该圆锥的体积为______ ．16.若xlnx(ax2−x−a+1)≤0在x∈[12,2]上恒成立，则实数a的取值范围为______．四、解答题（本大题共6小题，共72.0分）17.已知圆C：(x+1)2+(y−2)2=9，直线l：kx−y−k+3=0．(1)直线l一定经过哪一点；(2)若直线l平分圆C，求k的值；(3)若直线l与圆C相交于A，B，求弦长AB的最小值及此时直线的方程．18.已知三对三篮球对抗赛，采用五局三胜制(一方累计赢得三场比赛，这方获胜，并且比赛结束)进行比赛．现有甲，乙两队进行比赛，甲队每场获胜的概率为P，无平局．每场比赛互不影响．(1)若p=1，求乙队在第四场比赛后即获得胜利的概率；3(2)若甲队以3：1取胜的概率为f(p)，求f(p)的最大值点P．19.如图所示，直角梯形ABCD中，AD//BC，AD⊥AB，AB=BC=2AD=2，四边形EDCF为矩形，CF=√3，平面EDCF⊥平面ABCD．(Ⅰ)求证：DF//平面ABE；(Ⅱ)求平面ABE与平面EFB所成锐二面角的余弦值．20. 某贫困县为了响应国家精准扶贫的号召，特地承包了一块土地，已知土地的使用面积x 与相应的管理时间y 的关系如下表所示：并调查了某村300名村民参与管理的意愿，得到的部分数据如表所示： x(单位：亩) 1 2 3 4 5 y(单位：月) 811142423愿意参与管理 不愿意参与管理 男性村民 140 60女性村民40(1)做出散点图，判断土地使用面积x 与管理时间y 是否线性相关；并根据相关系数r 说明相关关系的强弱．(若|r|≥0.75，认为两个变量有很强的线性相关性，r 值精确到0.001)．(2)若以该村的村民的性别与参与管理意风的情况估计贫困县的情况，且每位村民参与管理的意互不影响，则从该贫困县村民中任取3人，记取到不愿意参与管理的女性村民的人数为X ，求X 的分布列及数学期望．r =∑(n i=1x i −x −)∑(n i=1x i −x −)2∑(2i=1y i−y −)2，y −=16，∑(5i=1y i −y −)2=206，√515≈22.7．21.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)，其上顶点与左、右焦点F1、F2围成的是面积为√3的正三角形．(1)求椭圆C的方程；(2)过椭圆C的右焦点F2的直线l(l的斜率存在)交椭圆C于M，N两点，弦MN的垂直平分线交x轴于点P，问：|MN||PF2|是否是定值？若是，求出定值；若不是，说明理由．22.已知函数f(x)=x+alnx，g(x)=e−x−lnx−2x．(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)若g(x0)=0，求x0+lnx0的值；(3)证明：x−xlnx≤e−x+x2．答案和解析1.【答案】A【解析】解：集合A ={x|0≤x ≤2}，集合B ={x|x > a2}. 因为A ∪B =B ，所以A ⊆B ，所以a2<0,a <0； 故选：A ．先求出集合A 、B ，再由条件A ∪B =B 得到A 与B 的包含关系，利用数轴分析即可． 本题考查不等式的解法和集合的包含关系，属于基础题．2.【答案】C【解析】解：复数1+3i1−i (i 是虚数单位)的模等于|1+3i||1−i|=√1+32√1+(−1)2=√10√2=√5．故选：C ．利用复数模的运算性质进行求解即可．本题考查了复数模的求解，主要考查了复数模的性质的理解和应用，属于基础题．3.【答案】B【解析】解：因为∑x i 10i=1=15，则x −=1510=1.5， 因为线性回归方程必过样本中心(x −,y −)，且y ̂=x +3.5， 则有y −=x −+3.5=1.5+3.5=5， 所以∑y i 10i=1=5×10=50． 故选：B ．求出x −，再利用线性回归方程必过样本中心(x −,y −)，代入回归方程求解即可得到y −，从而求出∑y i 10i=1．本题考查了线性回归方程的理解和应用，解题的关键是掌握线性回归方程必过样本中心(x −,y −)，考查了运算能力，属于基础题．4.【答案】A【解析】解：∵|x +1|>3，∴x +1>3或x +1<−3，∴x >2或x <−4， ∵x 2>4，∴x >2或x <−2，∵{x|x >2或x <−4}⊊{x|x >2或x <−2}， ∴|x +1|>3是x 2>4的充分不必要条件． 故选：A ．先解出两个不等式，再利用集合的关系，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可． 本题考查了不等式的解法、简易逻辑的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．5.【答案】B【解析】解：现有A ，B ，C ，D ，E 五人，随意并排站成一排， 基本事件总数n =A 55=120，A ，B 相邻且B 在A 左边包含的基本事件个数m =A 44=24， ∴A ，B 相邻且B 在A 左边的概率为P =m n=24120=15．故选：B ．基本事件总数n =A 55=120，A ，B 相邻且B 在A 左边包含的基本事件个数m =A 44=24，由此能求出A ，B 相邻且B 在A 左边的概率．本题考查概率的求法，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．6.【答案】A【解析】解：∵不等式x 2−ax ≥16−3x −4a 对任意a ∈[−2,4]成立， ∴(x −4)a −x 2−3x +16≤0，∴[(x −4)a −x 2−3x +16]max ≤0， 把左边看成关于a 的一元一次函数，只需满足：{(x −4)⋅(−2)−x 2−3x +16≤0(x −4)⋅4−x 2−3x +16≤0，即{−x 2−5x +24≤0−x 2+x ≤0，解得x ≥3或x ≤−8． 故选：A ．将关于x 的函数看成关于a 的函数，直接把a =−2和a =4代入不等式即可． 本题考查了函数恒成立的问题，其中涉及到主元互换的思路技巧，属于中档题．7.【答案】B【解析】解：aa+1+4bb+1=1−1a+1+4−4b+1=5−(1a+1+4b+1)， ∵a +b =2，∴a +1+b +1=4，1a+1+4b+1=14(1a+1+4b+1)(a +1+b +1)=14(1+4+b+1a+1+4(a+1)b+1)，b+1a+1+4(a+1)b+1≥2√4=4(当且仅当b+1a+1=4(a+1)b+1，即a =13，b =53时，等号成立)，故14(1+4+b+1a+1+4(a+1)b+1)≥14×9，即1a+1+4b+1≥94，故aa+1+4bb+1=5−(1a+1+4b+1)≤114，故选：B ．化简a a+1+4b b+1=5−(1a+1+4b+1)，从而转化为利用基本不等式求1a+1+4b+1的最值即可． 本题考查了基本不等式的应用，同时考查了整体思想与转化思想方法的应用，属于中档题．8.【答案】B【解析】解：设直线PA 的倾斜角为α，设PP′垂直于准线于P′，由抛物线的性质可得|PP′|=|PF|， 所以则|PA||PF|=|PA||PP′|=1cosθ， 当cosθ最小时，则|PA||PF|值最大，所以当直线PA 与抛物线相切时，θ最大，即cosθ最小，由题意可得A(−1,0)，设切线PA 的方程为：x =my −1， {x =my −1y 2=4x，整理可得y 2−4my +4=0， △=16m 2−16=0，可得m =±1，将m =±1代入y 2−4my +4=0，可得y =±2，所以x =1， 即P 的横坐标为1，即P 的坐标(1,±2)，所以|PA|=√22+22=2√2，|PP′|=1−(−1)=2，所以|PA||PF|的最大值为：2√22=√2，故选：B ．由抛物线的性质可得|PF|等于P 到准线的距离|PP′|，进而可得|PA||PF|的最大值是直线PA 的倾斜角最大时，即直线PA 与抛物线相切，设过点A 的相切方程，与抛物线联立，由判别式等于0可得直线的参数的值，代入整理的方程求出P 的坐标，进而求出|PA||PF|的最大值．本题考查抛物线的性质及直线与抛物线相切的性质，属于中档题．9.【答案】BCD【解析】解：由已知可得−2，3是方程ax 2+bx +c =0的两根，则由韦达定理可得：{−2+3=−ba−2×3=c a ，且a <0，解得c =−6a ，b =−a ，所以A 错误，选项B ：ax +c >0化简为x −6<0，解得x <6，B 正确， 选项C ：a +b +c =a −a −6a =−6a >0，C 正确，选项D ：cx 2−bx +a <0化简为：6x 2−x −1<0，解得−13<x <12，D 正确， 故选：BCD ．由已知可得−2，3是方程ax 2+bx +c =0的两根，则由韦达定理可得：{−2+3=−ba −2×3=c a，且a <0，解得c =−6a ，b =−a ，然后对应各个选项逐个判断即可．本题考查了一元二次不等式的解法以及应用，考查了学生的运算转化能力，属于基础题．10.【答案】AB【解析】解：∵a +b ≥2√ab =2(当且仅当a =b =1时，等号成立)，∴A 正确， ∵a +b ≥2，且函数y =x +1x 在[2,+∞)上单调递增，∴a +b +1a+b ≥2+12=52，B 正确，当a =b =1时，√a √b =2<2√2，故C 错误， 当a =b =1时，1a +1b =2>12，故D 错误， 故选：AB ．对于选项A ，利用基本不等式可得，对于选项B ，结合函数y =x +1x 在[2,+∞)上单调递增求得，对于选项C 、D ，令a =b =1可判断．本题考查了基本不等式的应用及函数的单调性的判断与应用，属于基础题．11.【答案】BD【解析】解：对于选项A ：X ～B(n,13)，D(X)=13×23n =2，则n =9.故错误． 对于选项B ：若有一个回归方程y =3−5x ，变量x 增加1个单位时，故y =3−5(x +1)=3−5x −5.故y 平均减少5个单位，正确．对于选项C ：线性相关系数|r|越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关系数|r|越接近于0，两个变量的线性相关性越弱，错误．对于选项D ：在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布N(1,σ2)(σ>0)，由于正态曲线关于x =1对称，则P(ξ≤1)=0.5，正确． 故选：BD ．直接利用回归直线的方程的应用，相关的系数的应用，正态分布的应用求出结果． 本题考查了回归直线的方程的应用，相关的系数的应用，正态分布的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．12.【答案】AD【解析】解：根据题意，依次分析选项：对于A ，若恰有一地无人去，需要先在3地中选出2个地方，将4人安排到这两个地方，有C 32(24−2)=42种选取方法，A 正确；对于B ，安排甲乙丙丁4名志愿者分别奔赴A ，B ，C 三地参加防控工作，每人有3种安排方法，则有3×3×3×3=81种安排方法，B 错误； 对于C ，根据题意，需要将4人分为3组，若甲乙在同一组，有1种分组方法，则甲乙所在的组不能去A 地，有2种情况，剩余2组安排到其余2地，有A 22=2种情况，此时有2×2=4种安排方法；若甲乙不在同一组，有C 42−1=5种分组方法，若甲乙两人不能去A 地，只能安排没有甲乙的1组去A 地，甲乙所在的两组安排到B 、C 两地，有A 22=2种情况，此时有5×2=10种安排方法；则一共有4+10=14种安排方法，C错误；对于D，只需要将20辆救护车排成一排，在19个空位中插入挡板，就可以将20辆救护车分为3组，依次对应A，B，C三地即可，有C192=171种安排方法；故选：AD．根据题意，依次分析选项是否正确，综合可得答案．本题考查排列组合的应用，涉及分步、分类计数原理的应用，属于基础题．13.【答案】300【解析】解：因为X服从正态分布N(80,σ2)，故正态曲线的对称轴为X=80，所以P(X<60)=P(X>100)=0.2，所以P(60≤X≤100)=1−P(X<60)−P(X>100)=1−0.4=0.6，则综合质量指标值位于[60,100]的零件个数为0.6×500=300个．故答案为：300．利用正态分布的对称性以及正态曲线的性质求出P(60≤X≤100)，然后利用样本容量为500，求解即可．本题考查了正态分布曲线的应用，解题的关键是掌握正态分布曲线的对称性，考查了运算能力，属于基础题．14.【答案】19【解析】解：(2x +1)(2x−1)5的展开式中的常数项为2x×(C54×2x)+C55×(−1)5=19，故答案为：19．由题意利用二项展开式的通项公式，求得展开式中的常数项．本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，属于基础题．15.【答案】24π或8π【解析】解：圆锥的顶点为A，BC为圆锥底面圆O的直径，点P为圆O上的一点(异于B，C)，若BC=4√3，三棱锥A −PBC 的外接球表面积为64π，所以圆锥的外接球与三棱锥的外接球相同，外接球的内角为R ，4πR 2=64π， 解得R =4，即OA =OB =OC =4，BC =4√3，所以OO′=√42−(2√3)2=2， 所以圆锥的高为：4+2=6，或4−2=2O(在三角形ABC 外)，所以该圆锥的体积为：13π×(2√3)2×6=24π，或13π×(2√3)2×2=8π． 故答案为：24π或8π．画出圆锥的直观图，判断三棱锥的外接球与圆锥的外接球相同，求解外接球的半径，然后求解圆锥的高，即可得到圆锥的体积．本题考查几何体的外接球的表面积与圆锥的体积的求法，考查空间想象能力，转化思想以及计算能力，是中档题．16.【答案】(−∞,13]【解析】解：当x =1时，lnx =0，对任意的实数a ，不等式恒成立， 当x ∈[12,1)时，lnx <0，当x ∈(1,2]时，lnx >0． 令f(x)=ax 2−x −a +1，则f(1)=0， 当x ∈[12,1)时，f(x)⩾0， 当x ∈(1,2]时，f(x)⩽0，所以{f(12)⩾0,f(2)⩽0,，解得a ⩽13．综上，实数a 的取值范围为(−∞,13]． 故答案为：(−∞,13]．先分析ln x 的正负，进而得到ax 2−x −a +1的正负，再结合二次函数性质建立不等式求解．本题考查不等式恒成立问题的处理方法，考查二次函数的性质，考查数学抽象的核心素养，属于中档题．17.【答案】解：(1)l ：kx −y −k +3=0，即k(x −1)−y +3=0，联立{x −1=0−y +3=0，得{x =1y =3．∴直线l 经过定点P(1,3)；(2)圆C ：(x +1)2+(y −2)2=9的圆心C(−1,2)， ∵直线l 平分圆C ，∴−k −2−k +3=0，即k =12； (3)直线l 与圆C 相交于A ，B ，直线l 过圆内定点P(1,3)， 要使弦长AB 最小，则直线l 与PC 垂直， ∵|PC|=√(−1−1)2+(2−3)2=√5， ∴弦长|AB|的最小值为2√9−5=4； ∵k PC =3−21−(−1)=12，∴k l =−2，则此时直线l 的方程为−2x −y +2+3=0，即2x +y −5=0．【解析】(1)直接由直线系方程求得直线所过定点P 的坐标； (2)把圆心坐标代入直线方程即可求得k 值；(3)当直线l 与PC 所在直线垂直时，弦长最短，求得|PC|，再由垂径定理求解弦长的最小值，求出PC 所在直线的斜率，可得直线l 的斜率，则直线l 的方程可求．本题考查直线系方程的应用，考查直线与圆的位置关系，训练了利用垂径定理求弦长，考查运算求解能力，是中档题．18.【答案】解：(1)乙方在比赛四场后赢得比赛，则乙方在前三场中有两场获胜，且第四场获胜，∴乙方在比赛四场后赢得比赛的概率P =c 32(23)2×13×23=827． (2)甲队以3：1取胜，则前三场中有两场获胜，且第四场获胜，∴f(p)=c 32p 2(1−p)p =3p 3−3p 4，则f′(p)=9p 2−12p 3=3p 2(3−4p)，当p ∈(0,34)，f′(p)>0，f(p)单调递增， 当p ∈(34,1)，f′(p)<0，f(p)单调递减， ∴f(p)的最大值点P =34．【解析】(1)乙方在比赛四场后赢得比赛，则乙方在前三场中有两场获胜，且第四场获胜，由此能求出乙方在比赛四场后赢得比赛的概率．(2)甲队以3：1取胜，则前三场中有两场获胜，且第四场获胜，求出f(p)=3p 3−3p 4，再利用导数求最值即可．本题考查概率的求法，相互独立事件概率乘法公式，利用导数求最值，是中档题．19.【答案】(Ⅰ)证明：取BC 中点G ，连接DG ， 因为BG =12BC =1=AD ，又因为AD//BC ， 所以四边形ABGD 为平行四边形，所以DG//AB ，又因为AB ⊥AD ，所以DA ⊥DG ， 因为四边形EDCF 为矩形，所以ED ⊥CD ， 又因为平面EDCF ⊥平面ABCD ，平面EDCF ∩平面ABCD =CD ，所以ED ⊥平面ABCD ，所以ED ⊥DA ，ED ⊥DG ， 于是DA 、DG 、DE 两两垂直， 建立如图所示的空间直角坐标系，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2，0)，AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,0，√3)，DF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,2，√3)， 设平面ABE 的法向量为m ⃗⃗⃗ =(x,y ，z)， {AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅m ⃗⃗⃗ =2y =0AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅m ⃗⃗⃗ =−x +√3z =0，令z =1，m ⃗⃗⃗ =(√3,0，1)，因为DF ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅m ⃗⃗⃗ =−√3+√3=0，又因为DF ⊄平面ABE ， 所以DF//平面ABE ．(Ⅱ)解：BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,−2,√3)，BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,0，√3)， 设平面BEF 的法向量为n ⃗ =(u,v ，w)， {BE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =−u −2v +√3w =0BF ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =−2u +√3w =0，令v =√3，n ⃗ =(2√3,√3,4)，所以平面ABE 与平面EFB 所成锐二面角的余弦值为|m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ ||m ⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=102⋅√31=5√3131．【解析】(Ⅰ)建立空间直角坐标系，先证明直线向量与平面法向量数量积为零，进而证明直线与平面平行；(Ⅱ)用向量数量积计算二面角的余弦值．本题考查了直线与平面的位置关系，考查了二面角的计算问题，属于中档题．20.【答案】解：(1)散点图如图所示：由散点图可知，管理时间y 与土地使用面积x 线性相关， 由题意，x −=1+2+3+4+55=3，y −=16，∑(5i=1x i −x −)(y i −y −)=−2×8+(−1)×(−5)+0×(−2)+1×8+2×7=43，∑(5i=1x i −x −)2=(−2)2+(−1)2+02+12+22=10， ∑(5i=1y i −y −)2=206，所以r =43√10×206=432√515≈0.947>0.75，所以管理时间y 与土地使用面积x 线性相关性较强；(2)由题意可知，调查的300名村民中有不愿意参与管理的女性村民人数为300−(140+40+60)=60人，该贫困县中任选一人，取到不愿意参与管理的女性村民的概率为P =60300=15， 则X 的可能取值为0，1，2，3，则P(X =0)=C 30⋅(45)3=64125， P(X =1)=C 31⋅15⋅(45)2=48125，P(X =2)=C 32⋅(15)2⋅(45)1=12125， P(X =3)=C 33⋅(15)3⋅(45)0=1125，所以X 的分布列为： X 0 123 P6412548125121251125则E(X)=0×64125+1×48125+2×12125+3×1125=35．【解析】(1)作出散点图，由散点图判断是否线性相关，然后由公式求解r 的值，即可判断线性相关性的强弱；(2)先求出随机变量X 的可能取值，然后求出其对应的概率，列出分布列，由数学期望的计算公式求解即可．本题考查了线性相关性的判断，相关系数的求解与应用，离散型随机变量及其分布列和离散型随机变量期望的求解与应用，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题．21.【答案】解：(1)因为△PF 1F 2为正三角形所以S △PF 1F 2=√34(2c)2=√3，解得c =1， 由对称性可得∠OBF 2=30°，|BF 2|=√c 2+b 2=a ，所以sin∠OBF 2=sin30°=|OF 2||BF 2|，即c a =12，所以a =2，所以b 2=a 2−c 2=3， 所以椭圆C 的方程为x 24+y 23=1．(2)当直线l 的斜率不为0时，设其方程为x =my +1，M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)， 联立{x =my +1x 24+y 23=1，得(4+3m 2)y 2+6my −9=0，所以{△>0y 1+y 2=−6m3m 2+4y 1y 2=−93m 2+4，且x 1+x 2=m(y 1+y 2)+2=83m 2+4， 所以弦MN 的中点Q 的坐标为(43m 2+4,−3m3m 2+4)，则弦MN 的垂直平分线方程为y =−m(x −43m 2+4)−3m3m 2+4， 令y =0，得x P =13m 2+4， 所以|PF|=1−13m 2+4=3(m 2+1)3m 2+4，所以|MN|=√1+m 2|y 1−y 2|=√1+m 2√(y 1+y 2)2−4y 1y 2 =√1+m 2√36m 2(3m 2+4)2+363m 2+4=12(1+m 2)3m 2+4，所以|MN||PF|=123=4，当直线l 的斜率为0时，|MN|=4，|PF|=1， 所以|MN||PF|=4，综上所述，|MN||PF|是定值且为4．【解析】(1)由△PF 1F 2为正三角形，面积为√3，得c =1，ca =12，b 2=a 2−c 2，解得a ，b ，进而可得答案．(2)分两种情况：当直线l 的斜率不为0时，当直线l 的斜率为0时，分析|MN||PF|，即可得出答案．本题考查椭圆的方程，直线与椭圆的相交问题，解题中需要一定的计算能力，属于中档题．22.【答案】解：(1)f(x)的定义域是(0,+∞)，f′(x)=1+ax =x+ax，当a≥0时，f′(x)>0恒成立，f(x)在(0,+∞)单调递增，当a<0时，f(x)在(0,−a)单调递减，在(−a,+∞)单调递增，综上：当a≥0时，f(x)在(0,+∞)单调递增，当a<0时，f(x)在(0,−a)单调递减，在(−a,+∞)单调递增；(2)若g(x0)=0，则e−x0=2x0+lnx0，∴e−x0−x0=x0+lnx0，∴e−x0+lne−x0=x0+lnx0，由(1)a=1时，f(x)=x+lnx，则f(x)在(0,+∞)单调递增，故f(e−x0)=f(x0)，即e−x0=x0，e−x0−x0=x0+lnx0=0，故x0+lnx0=0；(3)要证x−xlnx≤e−x+x2，即证e−x+x2−x+xlnx≥0，设ℎ(x)=e−x+x2−x+xlnx，(x>0)，ℎ′(x)=−e−x+2x+lnx，令g(x)=ℎ′(x)，则g′(x)=e−x+2+1x>0，故函数ℎ′(x)单调递增，又ℎ′(1e)<0，ℎ′(1)>0，故ℎ′(x)在(1e,1)上存在唯一零点x0，即−e−x0+2x0+lnx0=0，故当x∈(0,x0)，ℎ′(x)<0，当x∈(x0,+∞)时，ℎ′(x)>0，故函数ℎ(x)在x∈(0,x0)上单调递减，在x∈(x0,+∞)上单调递增，故ℎ(x)≥ℎ(x0)=e−x0+x02−x0+x0lnx0，由−e−x0+2x0+lnx0=0，得ℎ(x0)=(x0+1)(x0+lnx0)=0，故ℎ(x)≥0，即f(x)≤e−x+x2，即x−xlnx≤e−x+x2．【解析】(1)求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；(2)根据函数的单调性求出f(e−x0)=f(x0)，即e−x0=x0，从而求出x0+lnx0的值即可；(3)问题转化为证e−x+x2−x+xlnx≥0，设ℎ(x)=e−x+x2−x+xlnx，(x>0)，求出函数的导数，根据函数的单调性证明即可．本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及不等式的证明，考查转化思想，分类讨论思想，是难题．。
重庆市巴蜀中学2020-2021学年高二数学下学期半期考试试题 理(含解析)
重庆市巴蜀中学2020-2021学年高二数学下学期半期考试试题理（含解析）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.命题，的否定是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】按存在性命题的否定的规则写出即可.【详解】因命题为“，”，它是存在性命题，故其否定为：，选B.【点睛】全称命题的一般形式是：，，其否定为.存在性命题的一般形式是，，其否定为.2.抛物线上的点到其焦点的距离为（）A. 3B. 4C. 5D. 6【答案】C【解析】【分析】利用焦半径公式可得长度.【详解】，故选C.【点睛】如果抛物线的方程为，则抛物线上的点到焦点的距离为.3.圆形铜钱中间有一个边长为4毫米的正方形小孔，已知铜钱的直径为16毫米，现向该铜钱上随机地投入一粒米（米的大小忽略不计），那么该粒米落入小孔内的概率为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】算出正方形小孔的面积和铜钱的面积，利用几何概型的概率公式可得所求的概率.【详解】设为“该粒米落入小孔内”，因为正方形小孔的面积为平方毫米，铜钱的面积为平方毫米，故，故选A.【点睛】几何概型的概率计算关键在于测度的选取，测度通常是线段的长度、平面区域的面积、几何体的体积等．4.设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）A. 若，，则B. 若，，则C. 若，，，，则D. 若，，，则【答案】D【解析】【分析】对于A，B选项均有可能为线在面内，故错误；对于C选项，根据面面平行判定定理可知其错误；直接由线面平行性质定理可得D正确.【详解】若，，则有可能在面内，故A错误；若，，有可能面内，故B错误；若一平面内两相交直线分别与另一平面平行，则两平面平行，故C错误．若，，，则由直线与平面平行的性质知，故D正确．故选D.【点睛】本题考查的知识点是，判断命题真假，比较综合的考查了空间中直线与平面的位置关系，属于中档题.5.某地气象台预计，7月1日该地区下雨的概率为，刮风的概率为，既刮风又下雨的概率为，设表示下雨，表示刮风，则A. B. C. D.【答案】B【解析】解：因为5月1日浔阳区下雨的概率为，刮风的概率为，既刮风又下雨的概率为，设A为下雨，B为刮风，则6.展开式中项的系数为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】考虑的二项展开式中的常数项、一次项和二次项的系数后可得所求的系数.【详解】的通项公式为，故的二项展开式中的常数项为，一次项系数为，二次项的系数为，展开式中的系数为，故选C.【点睛】二项展开式中指定项的系数，可利用赋值法来求其大小，也可以利用二项展开式的通项结合多项式的乘法来求．7.我市实行新高考，考试除了参加语文、数学、英语的统一考试外，还需从物理和历史中选考一科，从化学、生物、政治、地理中选考两科，学生甲想要报考某高校的法学专业，就必须要从物理、政治、历史三科中至少选考一科，则学生甲的选考方法种数为（）A. 8B. 12C. 18D. 19【答案】B【解析】【分析】就甲选择物理或历史分类计数即可.【详解】如果甲选考物理，则化学、生物、政治、地理中选考两门，有选考方法种数；如果甲选考历史，则化学、生物、政治、地理中选考两门，有选考方法种数，综上，选考方法种数共有12种，选B.【点睛】本题考查组合的计数，为基础题，解题时注意合理分类.8.下表是某厂月份用水量（单位：百吨）的一组数据，其中有一个数据模糊不清，已知原来根据该数据由最小二乘法求得回归直线方程为，则表中模糊不清的数据为（）月份 1 2 3 4用水量 4.5 3 2.5A. 2.5B. 4.5C. 3D. 4【答案】D【解析】【分析】利用线性回归方程对应的直线过计算可得缺失的值.【详解】因为回归直线方程，当时，，设2月份用水量为，则，故，故选D.【点睛】本题考查线性回归方程对应的直线过，属于基础题.9.某学期某大学数学专业的6名在校大学生到我校实习，则实习大学生按人数2,2,1，1安排到不同的四个年级的方案共有（）A. 1080B. 540C. 180D. 90【答案】A【解析】【分析】先把6人分组（按2，2，1，1）后再分配给四个不同的班级可得总的方案数.【详解】不同的方案有，故选A.【点睛】对于排列问题，我们有如下策略：（1）特殊位置、特殊元素优先考虑，比如组中人数确定等；（2）先选后排（或先分组再分配），比如要求所选的人满足一定的数目，我们得先选出符合数目要求的人，再把他们分配到相应的对象中，此处特别注意均匀分组问题；（3）去杂法，也就是从反面考虑．10.平行四边形的四个顶点均在双曲线上，直线的斜率分别为，1，则该双曲线的渐近线方程为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用点差法可求，从而可得渐近线方程.【详解】因为双曲线是中心对称的，故平行四边形的顶点关于原点对称，设，，则，故，，所以，整理得到：即，故即，所以渐近线方程为即，选A.【点睛】直线和圆锥曲线的位置关系中，如果涉及到弦的中点问题，可以考虑用点差法来简化计算.11.观察：，，，，，，从而得到47的二进制数为，记作：，类比上述方法，根据三进制数“满三进一”的原则，则（）A. 202B. 1202C. 021D. 2021 【答案】B【解析】【分析】把分解为后可得其三进制数的表示.【详解】因为，所以，故，故选B.【点睛】本题为新定义题，弄清题设中一个正整数的二进制表示是如何得到的是关键.12.定义在上的函数满足（其中为的导函数），则下列各式成立的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】构建新函数，根据题设条件有在上为增函数，从而得到，化简后可得.【详解】，即令，则在上为增函数，，即，亦即，亦即，故选.【点睛】如果题设中有关于函数及其导数的不等式，我们应根据该式的形式构建新函数并且新函数的单调性可根据题设中的不等式得到，构建新函数时可借鉴导数的运算规则.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.某班共有52人，现根据学生的学号，用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本，已知学号为3号、16号、42号的同学在样本中，那么样本中还有一个同学的学号为__________．【答案】【解析】【分析】依据系统抽样可知学号是公差为的等差数列，从而可求余下一个同学的学号.【详解】因为该班总共52人，样本容量为4，故抽取的学号是公差为的等差数列，故余下一个同学的学号为.填.【点睛】本题考查系统抽样的性质，属于基础题.14.已知随机变量满足,，__________．【答案】【解析】【分析】利用公式直接计算即可.【详解】因为，所以，所以，填.【点睛】一般地，如果，，那么，.15.设，若，则非零实数__________．【答案】【解析】【分析】对题设中的等式两边求导后再令可得，从而求得的值.【详解】对等式两边求导后可得，令，则有，因，故即，填.【点睛】二项展开式中项的系数性质的讨论，可利用赋值法来求讨论，所赋之值应该根据解析式的特点作合适选择，有时还需要对原有等式做合适的代数变形后（如求导等）再赋值，也可以利用二项展开式的通项结合多项式的乘法来讨论．16.某几何体的三视图如图所示（小正方形的边长为1），则该几何体外接球的表面积__________．【答案】【解析】【分析】三视图对应的几何体为三棱锥，补体后可求其外接球的表面积.【详解】如图，几何体三棱锥，将三棱锥补形为直三棱柱，其中底面为等腰直角三角形，其外接圆的半径为，侧棱，故外接球的半径为，故三棱锥外接球的表面积为.【点睛】本题考查三视图，要求根据三视图复原几何体，注意复原前后点、线、面的关系．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.在直角坐标系中，直线的参数方程为（其中为参数），以直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）求曲线的直角坐标方程；（2）设直线与曲线交于两点，点，求的值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）曲线的极坐标方程可以化为，利用可得其直角坐标方程. （2）把直线的参数代入抛物线的方程得到关于的一元二次方程，利用参数的几何意义可求的值.【详解】（1）曲线的极坐标方程可化为，因为，所以直角坐标方程为；（2）设直线上两点的参数分别为，，则，，将的参数方程代入曲线的直角坐标方程得，化简得，则，所以.【点睛】极坐标方程与直角方程的互化，关键是，必要时须在给定方程中构造．直线的参数方程有很多种，如果直线的参数方程为（其中为参数），注意表示直线上的点到的距离，我们常利用这个几何意义计算直线上线段的长度和、差、积等．18.我校某数学老师这学期分别用两种不同的教学方式在高一甲、乙两个班（人数均相同，入学数学平均分和优秀率都相同，勤奋程度和自觉性都一样）进行教学实验，现随机抽取甲、乙两班各20名学生的数学期末考试成绩，并作出茎叶图如下:甲班乙班2 9 0 1 5 6 86 6 4 3 2 8 0 1 2 5 6 6 8 91 7 3 6 88 3 2 2 6 5 7 9 93 2 2 1 1 59 8 7 7 4甲班乙班合计优秀不优秀合计20 20 40（1）依茎叶图判断哪个班的平均分高？（2）现从甲班所抽数学成绩不低于80分的同学中随机抽取三名同学，事件表示“抽到成绩为86分的同学至少1名”，求.（3）学校规定：成绩不低于85分的为优秀，完成分类变量成绩教学方式的列联表，并判断“能否在犯错误的概率不超过的前提下认为成绩优秀与教学方式有关？”下面临界值表仅供参考：0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.0012.072 2.7063.841 5.024 6.635 7.879 10．828（参考公式：，其中）【答案】（1）乙班；（2）；（3）详见解析.【解析】【分析】（1）根据茎叶图可得乙班的平均分高.（2）利用古典概型的概率计算公式计算即可.（3）利用给出的公式计算出的值，再结合临界值表可知在犯错误的概率不超过的前提下认为成绩优秀与教学方式有关.【详解】（1）由茎叶图知甲班数学成绩集中于分之间，而乙班数学成绩集中于分之间，所以乙班的平均分高.（2）根据题意得（3）根据题意得到列联表为甲班乙班合计优秀 3 10 13不优秀17 10 27合计20 20 40因此在犯错误的概率不超过的前提下可以认为成绩优秀与教学方式有关.【点睛】本题主要考查统计中茎叶图的应用、古典概型的概率计算和独立性检验，此类问题为容易题.19.如图，已知多面体的底面是边长为2的菱形，底面，，且.（1）证明：平面；（2）若直线与平面所成的角为，求二面角的大小.【答案】（1）详见解析；（2）.【解析】【分析】（1）可证平面平面，从而可证平面.（2）建立空间直角坐标系，通过计算两个平面的法向量可得二面角的余弦值，从而得到二面角的平面角的大小.【详解】（1）底面是菱形，，因平面，平面，所以平面.同理，平面，，平面平面，又平面，所以平面.（2）底面，即为直线与平面所成的角，故，中,，又底面是边长为2的菱形，，取中点，连，则，以为坐标原点，分别以所在方向为轴正方向建立空间直角坐标系，则各点坐标分别为,,,,,底面,，又底面是菱形，,平面，平面的法向量取 ,设平面的法向量，则：,，令得,,二面角的大小为.【点睛】线面平行的证明的关键是在面中找到一条与已知直线平行的直线，找线的方法是平行投影或中心投影，我们也可以通过面面平行证线面平行，这个方法的关键是构造过已知直线的平面，证明该平面与已知平面平行. 空间中的角的计算，可以建立空间直角坐标系把角的计算归结为向量的夹角的计算，也可以构建空间角，把角的计算归结平面图形中的角的计算.20.经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出该产品获利润500元，未售出的产品，每亏损300元，根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如图所示，经销商为下一个销售季度购进了的该农产品，以（单位：）表示下一个销售季度内的市场需求量， （单位：元）表示下一个销售季度内经销该产品的利润.（1）根据直方图估计下一个销售季度市场需求量的平均数、中位数和众数；（2）在直方图的需求量分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值，需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率（例如：若，则取，且的概率等于需求量落入的频率，）求利润的分布列和数学期望.【答案】（1）；；；（2）详见解析.【解析】 【分析】（1）利用组中值可求平均数，众数就是频率最大的组的中值，而中位数就是能把诸矩形面积平分的那个值.（2）先求出利润与的关系，再利用直方图中的频率计算利润分布列，最后利用公式求其数学期望. 【详解】（1）,，，（2），利润的分布列为 48000 56000 60000 0.10.20.7（元）.【点睛】本题考查频率分布直方图的应用、离散型随机变量的分布列及其数学期望的求法，属于基础题.21.椭圆的左焦点为，点在椭圆上.（1）求椭圆的方程；（2）直线与椭圆交于两点，椭圆上另一点满足的重心为坐标原点，求的面积.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）列出关于方程组，解出它们可得椭圆的方程.（2）设，联立直线方程和椭圆方程，消元后可得，利用韦达定理可用表示的坐标，再利用在椭圆上得到，利用该式化简的面积表达式可得其值.【详解】（1）依题意：解得，椭圆的方程为.（2）设，则由于的重心为坐标原点，所以.联立 ,得，，，在椭圆上，，即，在椭圆上, ,，，即，即，，的重心为坐标原点，到直线的距离等于到直线的距离的3倍，即即，，， .【点睛】求椭圆的标准方程，关键是基本量的确定，方法有待定系数法、定义法等. 直线与圆锥曲线的位置关系中的定点、定值、最值问题，一般可通过联立方程组并消元得到关于或的一元二次方程，再把要求解的目标代数式化为关于两个的交点横坐标或纵坐标的关系式，该关系中含有或，最后利用韦达定理把关系式转化为若干变量的方程（或函数），从而可求定点、定值、最值问题.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.已知函数，.（1）若函数在单调递增，求实数的取值范围；（2）若恒成立，求的最小值的最大值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由题设有，参变分离后可得的取值范围.（2）等价于，令，分和后可得，其中，故即，从而，令，利用导数可求其最大值.专业Word 可修改欢迎下载【详解】（1），，若函数在单调递增，对任意恒成立，，在单调递减，当时，，.故所求实数的取值范围为. （2）即令，则恒成立若，则当时，与恒成立矛盾，所以, 由得，当时，单调递增；当时，单调递减；，，， ,的最小值 . 又，当时，，单调递增；当时，，单调递减，. 【点睛】一般地，若在区间上可导，且，则在上为单调增（减）函数；反之，若在区间上可导且为单调增（减）函数，则．求函数的最值，应结合函数的定义域去讨论函数的单调性，有的函数的单调性可以利用基本初等函数的单调性、复合函数的单调性判断法则得到，有的函数的单调性需结合导数的符号进行判专业Word 可修改欢迎下载断，如果导数的符合还不能判断，则需构建新函数（也就是原函数的导函数），再利用导数判断其符号．。
2020-2021学年重庆市渝中区巴蜀中学高二(下)期中数学复习卷1(含解析)
2020-2021学年重庆市渝中区巴蜀中学高二(下)期中数学复习卷1一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.复平面内与复数z=5i所对应点关于虚轴对称的点为A,则A对应的复数为()1+2iA. 1+2iB. 1−2iC. −2+iD. 2+i<2x<2}，则A∩B=()2.集合A={0,1,2},B={x|12A. {0,1}B. {1}C. {0}D. {0,1，2}3.在整数集中，被5整除所得余数为的所有整数组成一个“类”，记为，，给出如下三个结论：①；②；③；、④“整数、属于同一“类”的充要条件是“”.其中，正确结论的个数是()A. 0B. 1C. 2D. 34.p：|x|>2是q：x<−2的()A. 充分必要条件B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件5.若定义在R上的函数为奇函数，则实数a的值为()A. −1B. 0C. 1D. 26.某篮球队甲、乙两名运动员练习罚球，每人练习10组，每组罚球40个．命中个数的茎叶图如下．则下面结论中错误的一个是()A. 甲的极差是29B. 乙的众数是21C. 甲罚球命中率比乙高D. 甲的中位数是247.已知某个几何体的正视图、侧视图、俯视图均为右图的形状，根据图中标出的尺寸(图中大正方形边长为2a)，可得这个几何体的体积是()A. 203a3B. 7a3C. 2√2a3D. 5a38.如图所示的程序框图，若输入的A,S分别为0，1，则输出的S=()A. 4B. 16C. 27D. 369.函数y=xsinx+cosx在下面哪个区间内是增函数()A. (π2,3π2) B. (π,2π) C. (3π2,5π2) D. (2π,3π)10.抛物线y=x2(−2≤x≤2)绕y轴旋转一周形成一个如图所示的旋转体，在此旋转体内水平放入一个正方体，使正方体的一个面恰好与旋转体的开口面平齐，则此正方体的表面积是()A. 96−48√3B. 32C. 24D. 144−48√511.已知双曲x2a2−y2b2=1(a>b>0)的渐近线与圆x2−2x+y2+34=0相切，则此双曲线的离心率等于()A. √2B. √3C. 2√33D. 212.如下图是函数的大致图象，则等于A.B.C.D.二、单空题（本大题共3小题，共15.0分）13.给出以下结论：①函数y=2x与函数y=log2x的图象关于y轴对称；②3−5=6(−5)2；③函数y=ln(1+x)−ln(1−x)为奇函数；④函数f(x)的定义域为[−1,4]，则函数f(x2)的定义域为[−2,2]其中正确的是______ ．14.设i是虚数单位，复数z满足(2+i)⋅z=5，则|z|=______．15.已知x2−ax+2≥0在x∈[−3,3]上恒成立，则实数a的取值范围是______．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）16.设函数f(x)=|2x+1|+2|x−a|．(1)若a=2，试求f(x)≥6的解集；(2)若a<0，且关于x的不等式f(x)<3x有解，求实数a的取值范围．17.已知函数f(x)=x．x2+2(1)判断并证明f(x)在[0,1]上的单调性；(2)若x ∈[−1,2]，求f(x)的值域．18. 推进垃圾分类处理，是落实绿色发股理心的必然选择.为加强社区居民的垃圾分类意识，某社区在健身广场举办了“垃圾分类，从我做起”生活垃圾分类大型宣传活动，号召社区居民用实际行动为建设绿色家园贡献一份力量，为此需要征集一部分垃圾分类志愿者．(1)某垃圾站的日垃圾分拣量y(千克)与垃圾分类志愿者人数x(人)满足回归直线方程y ̂=b ̂x +a ̂，数据统计如下：已知y −=15∑y i 5i=1=40，∑x i 25i=1=90，∑x i 5i=1y i =885，根据所给数据求t 和回归直线方程y ̂=b ̂x +a ̂．附：b ̂=∑x i ni=1y i −nxy −∑x i 2n i=1−nx−2，a ̂=y −−b ̂x ̂． (2)为调查社区居民喜欢担任垃圾分类志愿者是否与性别有关，现随机选取了一部分社区居民进行调查，其中被调查的男性居民和女性居民人数相同，男性居民中不喜欢担任垃圾分类志愿者占男性居民的35，女性居民中不喜欢担任垃圾分类志愿者占女性居民的15． ①若被调查的男性居民人数为a 人，请完成以下2×2列联表：类型喜欢垃圾分类志愿者不喜欢垃圾分类志愿者合计性别男性a女性合计②若研究得到在犯错误概率不超过0.010的前提下，认为居民喜欢担任垃圾分类志愿者与性别有关，则被调查的女性居民至少多少人？，n=a+b+c+d．附K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)P(K2≥k0)0.1000.0500.0100.0050.001 k0 2.706 3.841 6.6357.87910.82819.如图，已知四棱锥P−ABCD，ABCD是梯形，AB//CD，AB⊥BC，PA=PD=BC=CD=1，AB=2，PC=√3．(Ⅰ)证明：平面PAD⊥平面ABCD；(Ⅱ)求平面PAD与平面PBC所成的锐二面角的余弦值．20.椭圆C过点A(2,1)，中心在坐标原点，对称轴为坐标轴，焦点在抛物线y2=4√3x的准线上．(1)求椭圆C的方程；(2)若过点B(3,0)的直线与曲线C相交于D、E两点，则k AD+k AE是否为定值，若是，求出该值；若不是，说明理由．21.已知函数在点处的切线方程为．(I)求，的值；(II)对函数定义域内的任一个实数，恒成立，求实数的取值范围．【答案与解析】1.答案：C解析：本题考查了复数的运算法则、几何意义、对称性，属于基础题．利用复数的运算法则、几何意义、对称性，即可得出．解：复数z=5i1+2i =5i(1−2i)(1+2i)(1−2i)=5(i+2)5=2+i，z所对应的点(2,1)，z关于虚轴对称的点为A(−2,1)，∴A对应的复数为−2+i．故选：C．2.答案：C解析：解：∵集合A={0,1,2},B={x|12<2x<2}={x|−1<x<1}，∴A∩B={0}．故选：C．求出集合A，B，由此能求出A∩B．本题考查交集的求法，考查交集等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．3.答案：D解析：试题分析：因为，所以，则①正确；，所以，所以②不正确；因为整数集中的数被5除可以且只可以分成五类，所以③正确．对于④∵整数，属于同一“类”，∴整数，被5除的余数相同，从而被5除的余数为0，反之也成立，故“整数，属于同一“类”的充要条件是“”.故④正确．所以正确结论的个数有3个．故选D．考点：新定义题型．4.答案：C解析：本题考查充分条件、必要条件的判断，用集合的包含关系是解决问题的关键，属基础题．解不等式可得命题p对应的集合，由集合的包含关系可得结论．解：由|x|>2，解得x>2或x<−2，由于集合{x|x<−2}是{x|x>2或x<−2}的真子集，故p是q的必要不充分条件故选C5.答案：C解析：本题考查了定义在R上的奇函数的性质f(0)=0的运用．利用奇函数的性质，定义在R上的奇函数f(0)=0得到关于a的方程解之，再代入验证即可．解：因为函数是定义在R上的奇函数，所以f(0)=0，即log3√a=0，所以a=1；此时为奇函数，符合题意，故选C．6.答案：D解析：略7.答案：A解析：解：由已知中的三视图，可知该几何体是一个棱长为2a的正方体，切去了八个角所得组合体，每个角都是三条侧棱两两垂直且长度为a的棱锥，故组合体的体积V=(2a)3−8×(13×12a2×a)=203a3，故选：A由已知中的三视图，可知该几何体是一个棱长为2a的正方体，切去了八个角所得组合体，求出每个角的体积，相减可得答案．本题考查的知识点是由三视图求体积，解决本题的关键是得到该几何体的形状．8.答案：D解析：本题考查程序框图和算法的应用，模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的k、A、S的值，当k>4时满足条件，退出循环，从而计算输出S的值．解：模拟执行程序，可得A=0，S=1，顺序执行语句，k=1，A=0+1=1，S=1×1=1；不满足条件k>4，执行循环体，k=3，A=1+3=4，S=1×4=4；不满足条件k>4，执行循环体，k=5，A=4+5=9，S=4×9=36；满足条件k>4，退出循环，输出S=36．故选D．9.答案：C解析：本题考查利用导数研究函数的单调性及三角函数的性质，属于基础题．y′=xcosx，对照选项可知当x∈(3π2,5π2)时，恒有xcosx>0．解：y′=(xsinx+cosx)′=sinx+xcosx−sinx=xcosx，当x∈(3π2,5π2)时，恒有xcosx>0．故选C．10.答案：C解析：解：作过正方体的两条相对侧棱的截面图如图，设正方体AC1的棱长AA1=a，则底面对角线AC=√2a，∴A点的横坐标等于√22a，结合抛物线方程可得A点纵坐标：y=(√22a)2=12a2，根据题意可知A 点纵坐标为4−a ． ∴12a 2=4−a ，解得a =2，因此正方体的棱长是2，表面积S =6×22=24． 故选：C由题意画出过正方体的两条相对侧棱的截面图，设正方体的棱长a ，然后根据A 点的纵坐标等于4−a ，利用抛物线方程与正方体的性质建立关于a 的等式，解出a =2，即可得到此正方体的表面积． 本题着重考查了正方体的性质、抛物线的应用等知识，考查了数形结合的解题思想和数学转化思想，能够正确作出该题的截面图是解答该题的关键，属中档题．11.答案：C解析：本题考查双曲线的简单性质的应用，双曲线渐近线与圆的位置关系的应用，考查计算能力，属于简单题．求出圆的圆心坐标，半径，渐近线方程，然后求解离心率即可． 解：圆x 2−2x +y 2+34=0化简为：(x −1)2+y 2=14， 圆心(1,0)，半径为：12，双曲线的渐近线方程为：y =±ba x ， 由圆与双曲线的渐近线相切，可得：12=|±b a|√1+(±ba )2，又a >b >0， 解得ba =√33，即b 2a 2=13，c 2−a 2a 2=13，可得e =c a=2√33． 故选：C ．12.答案：C解析：试题分析：由图象知f(x)=0的根为0，1，2，求出函数解析式，x 1，x 2为导函数的两根，可结合根与系数求解．由图象知f(x)=0的根为0，1，2，∴d =0.∴f(x)=x 3+bx 2+cx =x(x 2+bx +c)=0.∴x 2+bx +c =0的两个根为1和2.∴b =−3，c =2.∴f(x)=x 3−3x 2+2x.∴f′(x)=。
2020-2021学年重庆市巴蜀中学高二下学期期中数学复习卷(含答案解析)
2020-2021学年重庆市巴蜀中学高二下学期期中数学复习卷一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.复数1+i1−i的实部是()A. −2B. −1C. 0D. 12.已知实数a，b，c，其中a>b，则下列不等式一定正确的是()A. 1a <1bB. ac2>bc2C. a2>b2D. a3>b33.若在区间[0,2019]上任取一实数，则此实数大于1的概率是()A. 12019B. 20172018C. 20182019D. 120184.下列命题中，正确命题的个数为()①命题“若√x−2+(y+1)2=0，则x=2且y=−1”的逆命题是真命题；②P：个位数字为零的整数能被5整除，则¬P：个位数字不是零的整数不能被5整除；③茎叶图中，去掉一个最大的数和一个最小的数后，所剩数据的方差与原来不相同．A. 0B. 1C. 2D. 35.在正方体ABCD−A1B1C1D1中，E，F分别为B1C1，C1D1的中点，点P是上底面A1B1C1D1内一点，且AP//平面EFDB，则cos∠APA1的最小值是()A. √22B. √55C. 13D. 2√236.某公路设计院有工程师6人，技术员12人，技工18人，要从这些人中抽取n个人参加市里召开的科学技术大会.如果采用系统抽样和分层抽样的方法抽取，不用剔除个体，如果参会人数增加1个，则在采用系统抽样时，需要在总体中先剔除1个个体，则n等于()A. 5B. 6C. 7D. 87.如图是一个几何体的三视图，若该几何体的表面积为9π，则正视图中实数a的值等于()A. 1B. 2C. 3D. 48.给出右图所示的算法流程图，若输出的值为，则判断框中的条件是()A.B.C.D.9.已知函数f(x)在R上满足f(x)=2f(4−x)−2x2+5x，则曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程是()A. y=−xB. y=xC. y=−x+4D. y=−2x+210.现有如下的错误推理：“因为任何复数的平方都大于等于0，而i是复数，所以i2>0，即−1>0”，其错误的原因是()A. 大前提错误导致结论错误B. 小前提错误导致结论错误C. 推理形式错误导致结论错误D. 大前提和推理形式都错误导致错误11.拟定从甲地到乙地通话m分钟的话费由给出，其中是不超过m的最大整数，如：，从甲地到乙地通话5.2分钟的话费是()A. 3.71B. 4.24C. 4.77D. 7.9512.用一个平行于棱锥底面的平面截这个棱锥，截得的棱台上、下底面面积比为，截去的棱锥的高是，则棱台的高是()A. B. C. D.二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.某地最近出台一项机动车驾照考试规定；每位考试者一年之内最多有4次参加考试的机会，一旦某次考试通过，使可领取驾照，不再参加以后的考试，否则就一直考到第4次为止．如果李明决定参加驾照考试，设他每次参加考试通过的概率依次为0.6，0.7，0.8，0.9，则在一年内李明参加4次驾照考试的概率为______．14. 己知正三棱柱ABC −A 1B 1C l 的侧棱长与底面边长相等，则AB 1与侧面ACCA 1所成角的正弦值等于____________．15. 已知定义在R 上的函数f(x)，g(x)满足f(x)g(x)=a x ，f′(x)g(x)<f(x)g′(x)，f(1)g(1)+f(−1)g(−1)=52，若有穷数列{f(n)g(n)}(n ∈N ⋅)的前n 项和等于6364，则n = ______ ．16. 将正整数按一定的规则排成了如图所示的三角形数阵．根据这个排列规则，数阵中第20行从左至右的第3个数是______．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 在平面直角坐标系xOy 中，直线C 1：y =x.在以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系中，曲线C 2：ρ2−2ρcosθ−4ρsinθ+4=0．(1)求C 1的极坐标方程和C 2的直角坐标方程；(2)设C 1与C 2的交点为M ，N ，求|MN|．18. 已知不等式|x −2|+|x −3|<3解集为M ．(1)求M ；(2)若b ，c ∈M ，证明：|4+bc|<|4c +b|．19.如图，在四棱锥S−ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB垂直于AD和BC，侧棱SA⊥底面ABCD，且SA=AB=BC=2，AD=1．(1)求三棱锥S−BCD的体积；(2)求直线SB与CD所成角的余弦值．20.某公司想了解对某产品投入的宣传费用与该产品的营业额的影响．如图是以往公司对该产品的宣传费用x(单位：万元)和产品营业额y(单位：万元)的统计折线图．(Ⅰ)根据折线图可以判断，可用线性回归模型拟合宣传费用x与产品营业额y的关系，请用相关系数加以说明；(Ⅱ)建立产品营业额y关于宣传费用x的回归方程；(Ⅲ)若某段时间内产品利润z(单位：万元)与宣传费x和营业额y的关系为z=x(y−1.01x−0.08)+50，应投入宣传费多少万元才能使利润最大，并求最大利润．参考数据：∑y i 7i=1=37.28，y =5.33，∑x i 7i=1y i =160.68，√∑(7i=1y i −y)2=2.2，√7≈2.64参考公式：相关系数，r =n i=1i −x)(y i −y)√∑(i=1x i −x)∑(i=1y i −y)，回归方程y =a ̂+b̂x 中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为b ̂=n i=1i −x)(y i −y)∑(n x −x)2，a ̂=y −b̂x(计算结果保留两位小数)21. 已知椭圆的离心率为，短轴一个端到右焦点的距离为。
重庆市巴蜀中学2020_2021学年高二数学下学期期末考试试题含解析
重庆市巴蜀中学2020-2021学年高二数学下学期期末考试试题（含解析）一、单选题(共8小题，每小题5分，共40分).1．复数z满足（2+i）•z＝i﹣1，则z在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．设集合A＝{x||2x+1|＜3}，B＝{x|（x﹣2）（x+1）＞0}，则A∩（∁R B）＝（）A．[﹣1，1）B．（﹣2，2] C．（﹣2，﹣1）D．（﹣1，1）3．变量x，y之间有如下对应数据：x 4 4.5 5.5 6y12 11 10 9已知变量y对x呈线性相关关系，且回归方程为，则的值是（）A．3 B．3.5 C．17 D．17.54．二项式的展开式中，系数为有理数的项的个数为（）A．6 B．5 C．4 D．35．为做好社区新冠疫情防控工作，需将五名志愿者分配到三个社区去开展工作，每名志愿者只分配到一个社区，每个社区至少分配一名志愿者，志愿者甲和乙必须去同一个社区，则不同的分配方法共有（）A．12种B．18种C．24种D．36种6．已知a，b为非零实数，则“a＜b”是“”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件7．有5把外形一样的钥匙，其中3把能开锁，2把不能开锁．现准备通过一一试开将其区分出来，每次随机抽出一把进行试开，试开后不放回，则恰好试开3次就将能开锁的和不能开锁的钥匙区分出来的概率为（）A．B．C．D．8．已知F1，F2为双曲线的左、右焦点，斜率为的直线l过F1分别交双曲线左、右支于A、B点，|F2A|＝|F2B|，则双曲线C的渐近线方程为（）A．B．C．D．二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．下列有关命题的说法正确的是（）A．命题“若x＝1，则x2＝1”的逆否命题是真命题B．命题“若x＝1，则x2＝1”的否命题是“若x＝1，则x2≠1”C．命题“∀x＞0，都有x2＞0”的否定是“∃x＞0，使得x2≤0”D．若p∧q为假命题，则p、q都为假命题10．为了解全市居民月用水量，随机抽取了1000户居民进行调查，发现他们的月用水量都在0～24t之间，进行等距离分组后，图1是分成6组，图2是分成12组，分别画出频率分布直方图如图所示：则下列说法正确的是（）A．从图1中知：抽取的月用水量在[4，8）t之间的居民有50户B．从图1中知：月用水量的90°分位数为18tC．由图1估计全市居民月用水量的平均值为7.76t（同一组数据用该组数据区间的中点值表示）D．图1中：组数少，组距大，容易看出数据整体的分布特点；图2中：组数多，组距小，不容易看出总体数据的分布特点11．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为A1B的中点，F为线段BC上的动点（不包括端点），则（）A．对任意的F点，三棱锥F﹣ADE与三棱锥A1﹣ADE的体积相等B．对任意的F点过D，E，F三点的截面始终是梯形C．存在点F，使得EF∥平面A1C1DD．存在点F，使得EF⊥平面BDC112．已知正数a，b满足a+2b＝1，则（）A．ab有最大值B．有最小值8C．有最小值4 D．a2+b2有最小值三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020年重庆蜀都中学高二数学理下学期期末试卷含解析
2020年重庆蜀都中学高二数学理下学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知函数f(x)=log 2 (x 2 -ax+3a)在［2,+∞］上是增函数,则实数a的取值范围是( )a.(-∞,4)b.(-4,4)c.(-∞,-4)∪［2,+∞］d.［-4,4)参考答案：B解决复合函数问题的通法是把复合函数化归为基本初等函数.令u(x)=x 2 -ax+3a,其对称轴x= .由题意有解得-4＜a≤4.2. 5人排成一排，甲与乙不相邻，且甲与丙也不相邻的不同排法数是（）A．24 B． 36 C．48 D． 60参考答案：B略3. 已知点在椭圆上，则的最大值是（）A、 B、 C、 D、参考答案：C略4. 已知函数在时取得极值, 则 ( )A. 2B. 3C. 4D. 5参考答案：D略5. 在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，，则角B=A. B. C. D.参考答案：B【分析】由，可得，结合余弦定理即可得到B的大小.【详解】由，可得，根据余弦定理得，∵，∴．故应选B．【点睛】对于余弦定理一定要熟记两种形式：（1）；（2）.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还要记住，，等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.6. 有一段演绎推理是这样的：“直线评语平面，则平行与平面内所有直线”，已知直线平面，直线，直线，则直线的结论显然是错误的，这是因为（）A．大前提错误 B．小前提错误 C．推理形式错误 D．分以上错误参考答案：A7. 若，，且和的等差中项是1，则的最小值为( )A. B. C. D.1参考答案：B8. 设，均为正项等比数列，将它们的前项之积分别记为，，若，则的值为（）A．32 B．64 C．256D．512参考答案：C略9. 已知函数的导函数的图像如图所示，给出下列三个结论：的单调递减区间是；函数在处取得极小值；. 正确的结论是参考答案：A10.参考答案：A略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 给出下列算法：第一步：输入；第二步：如果，则；如果，则；如果，则；第三步：输出函数值.若输出的为，则输入的的值为________．参考答案：12. 过抛物线y=f（x）上一点A（1，0）的切线的倾斜角为45°则f′（1）= ．参考答案：1【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程；63：导数的运算．【分析】确定点A即为切点，再根据函数的导数就是函数在此点的切线的斜率，利用斜率与倾斜角的关系，从而来求出f′（1）．【解答】解：∵点A（1，0）满足抛物线，∴点A即为切点．∵切线的倾斜角为45°，∴y′=f′（1）=tan45°=1．故答案为1．【点评】本题考查函数的导数的几何意义，同时考查了直线的倾斜角和斜率的关系，属于基础题．13. 函数的零点所在的区间是，则正整数的值为 . 参考答案：414. △ABC中，已知a=，c=3，B=45°，则b= ．参考答案：【考点】余弦定理．【专题】转化思想；综合法；解三角形．【分析】由条件利用由余弦定理求得b= 的值．【解答】解：△ABC 中，∵已知a=，c=3，B=45°，∴由余弦定理可得b===，故答案为：．【点评】本题主要考查余弦定理的应用，属于基础题．15.．参考答案：316. 下面四个不等式：（1）a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ac ；（2）a (1－a )≤；（3）＋≥2；（4）(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)≥(ac ＋bd )2；其中恒成立的序号有__________.参考答案：(1),(2),(4) 略17. 一个路口的红绿灯，红灯的时间为45秒，黄灯的时间为5秒，绿灯的时间为50秒，当你到达路口时，看见红灯的概率是___________________. 参考答案：略三、 解答题：本大题共5小题，共72分。
重庆市2020版数学高二下学期理数期末考试试卷B卷
重庆市2020版数学高二下学期理数期末考试试卷B卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、填空题 (共14题；共15分)1. （1分） (2018高一上·如东期中) 已知集合P={x|0＜x＜6}，集合Q={x|x-3＞0}，则P∩Q=________．2. （1分） (2018高二下·上海月考) 若是实系数方程的一个虚根，且，则________．3. （2分）函数的定义域是________，值域是________．4. （1分）(2017·虹口模拟) 设函数f（x）= ，则当x≤﹣1时，则f[f（x）]表达式的展开式中含x2项的系数是________．5. （1分） (2015高二下·宁德期中) 已知数列，，，…，，…Sn为其前n 项和，计算得S1= ，S2= ，S3= ，S4}= ．观察上述结果，归纳计算Sn=________．6. （1分） (2017高二下·汉中期中) 已知函数f（x）=x3﹣3x，若对于区间[﹣3，2]上任意的x1 ， x2都有|f（x1）﹣f（x2）|≤t，则实数t的最小值是________．7. （1分）指数函数y=axy=bxy=cxy=dx在同一坐标系中图象如图，则a、b、c、d大小关系为________8. （1分） (2016高一下·芦溪期末) x，y满足，则的最小值是________．9. （1分）函数y=（x2﹣4x+1）ex在区间[﹣2，0]上的最大值是________．10. （1分） (2016高二上·邗江期中) 已知定义域为R的函数f（x）满足f（1）=3，且f（x）的导数f′（x）＜2x+1，则不等式f（3x）≥9x2+3x+1的解集为________．11. （1分） (2016高二下·河北期末) 函数f（x）=x3+ax﹣2在区间（1，+∞）内是增函数，则实数a的取值范围是________12. （1分） (2016高一下·扬州期末) 设函数f（x）=x|x﹣a|，若对于任意的x1 ，x2∈[﹣2，+∞），x1≠x2 ，不等式＞0恒成立，则实数a的取值范围是________．13. （1分）已知定义在R上的函数f（x）同时满足以下三个条件f（x）+f（2﹣x）=0，f（x）=（﹣2﹣x）f（x）=则函数f（x）与函数g（x）= 的图象在区间[﹣3，3]上公共点个数为________个．14. （1分）(2017·厦门模拟) 若关于x的方程e2x+aex+1=0有解，则实数a的取值范围是________．二、解答题 (共6题；共60分)15. （5分）设p：函数y=loga（x+1）（a＞0且a≠1）在（0，+∞）上单调递减； q：曲线y=x2+（2a﹣3）x+1与x轴交于不同的两点．如果p∧q为假，p∨q为真，求实数a的取值范围．16. （10分）全集U=R，若集合A={x|3≤x＜10}，B={x|1＜x﹣1≤6}，则（1）求A∩B，A∪B；（2）若集合C={x|x＞a}，满足C∪A=C时，求a的取值范围．（结果用区间或集合表示）17. （10分） (2016高一下·钦州期末) 为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C（单位：万元）与隔热层厚度x（单位：cm）满足关系：C（x）= （0≤x≤10），若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设f（x）为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．（1）求k的值及f（x）的表达式．（2）隔热层修建多厚时，总费用f（x）达到最小，并求最小值．18. （10分） (2020高三上·青浦期末) 某企业生产的产品具有60个月的时效性，在时效期内，企业投入50万元经销该产品，为了获得更多的利润，企业将每月获得利润的10%再投入到次月的经营中，市场调研表明，该企业在经销这个产品的第个月的利润是（单位：万元），记第个月的当月利润率为，例 .（1）求第个月的当月利润率；（2）求该企业在经销此产品期间，哪一个月的当月利润率最大，并求出该月的当月利润率.19. （10分） (2019高二下·哈尔滨月考) 已知函数 .（1）求函数的极值；（2）若时， < 恒成立，求实数的取值范围.20. （15分）(2017·湖北模拟) 已知函数f（x）=lnx+ax在点（t，f（t））处的切线方程为y=3x+1（1）求a的值；（2）已知k≤2，当x＞1时，f（x）＞k（1﹣）+2x﹣1恒成立，求实数k的取值范围；（3）对于在（0，1）中的任意一个常数b，是否存在正数x0，使得e + x02＜1？请说明理由．三、选做题 (共4题；共30分)21. （10分）(2013·福建理) 选修4﹣2：矩阵与变换已知直线l：ax+y=1在矩阵对应的变换作用下变为直线l′：x+by=1（1）求实数a，b的值（2）若点P（x0，y0）在直线l上，且，求点P的坐标．22. （5分） (2017高三下·鸡西开学考) 已知直线l的参数方程是（t是参数），圆C的极坐标方程为）．（Ⅰ）求圆心C的直角坐标；（Ⅱ）由直线l上的点向圆C引切线，求切线长的最小值．23. （10分） (2015高二下·吕梁期中) 若an+1=2an+1（n=1，2，3，…）．且a1=1．（1）求a2，a3，a4，a5；（2）归纳猜想通项公式an．24. （5分）已知函数f（x）=alnx﹣ax﹣3（a∈R）．（1）求f（x）的单调区间（2）设a=﹣1，求证：当x∈（1，+∞）时，f（x）+2＞0参考答案一、填空题 (共14题；共15分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、13-1、14-1、二、解答题 (共6题；共60分)15-1、16-1、16-2、17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、20-2、20-3、三、选做题 (共4题；共30分)21-1、21-2、22-1、23-1、23-2、24-1、第11 页共11 页。
2020-2021学年重庆市七校联考高二(下)期末数学试卷(附答案详解)
2020-2021学年重庆市七校联考高二（下）期末数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）1.函数f(x)=log2(3+2x−x2)的定义域为()A. [−1,3]B. (−∞,−1)∪(3,+∞)C. (−1,3)D. (−1,+∞)∪[3，+∞)2.(x2−2x)5展开式中含x4项的系数是()A. 40B. 10C. −40D. −103.设随机变量ξ服从正态分布N(4,σ2)，若P(ξ≥6)=0.1，则P(ξ>2)=()A. 0.1B. 0.9C. 0.8D. 0.54.甲、乙两人独立地解决同一问题，甲解决这个问题的概率为P1，乙解决这个问题的概率为P2，那么以1−P1P2为概率的事件是()A. 甲乙两人至少有一人解决了这个问题B. 甲乙两人都解决了这个问题C. 甲乙两人至多有一人解决了这个问题D. 甲乙两人都未能解决这个问题5.函数y=f(x)的导函数y=f′(x)的图象如图所示，则()A. −3是函数y=f(x)的极大值点B. y=f(x)在区间(−3,1)上单调递增C. −1是函数y=f(x)的最小值点D. y=f(x)在x=0处切线的斜率小于零6.因防控新冠肺炎疫情的需要，某医院呼吸科准备从5名男医生和3名女医生中选派3人前往3个隔离点进行核酸检测采样工作，则选派的3人中至少有1名女医生的概率为()A. 2328B. 514C. 1556D. 277.设函数f′(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数，且满足f(2)=0，当x>0时，xf′(x)+f(x)<0，则使得f(x)>0成立的x的取值范围是()A. (2,+∞)B. (−∞,−2)∪(2,+∞)C. (−2,0)∪(2,+∞)D. (−∞,−2)∪(0,2)8.1999年12月1日，大足石刻被联合国教科文组织列为《世界遗产名录》，大足石刻创于晚唐，盛于两宋，是中国晚期石窟艺术的杰出代表作.考古科学家在测定石刻年龄的过程中利用了“放射性物质因衰变而减少”这一规律.已知样本中碳14的含量M(单位：太贝克)随时间t(单位：年)的衰变规律满足函数关系：M(t)=M2−t5730，其中M0为t=0时碳14的含量，已知t=5730时，碳14的含量的瞬时变化率是−ln220(太贝克/年)，则M(2865)=()太贝克．A. 573B. 5732√2 C. 573√2 D. 1146二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）9.已知函数f(x)={x 3+1,x>0sinx,x≤0，则下列说法不正确的是()A. f(x)是非奇非偶函数B. f(x)是增函数C. f(x)是周期函数D. f(x)的值域是[−1,+∞)10.下列说法正确的是()A. 根据一组样本数据的散点图判断出两个变量x，y线性相关，由最小二乘法求得其回归方程为ŷ=0.3x−m，若样本中心点为(m,−2.8)，则m=4B. 已知随机变量X的数学期望E(X)=2，若Y=2X−1，则E(Y)=3C. 用相关指数R2来刻画回归的效果，R2的值越接近0，说明模型的拟合效果越好D. 已知袋中装有大小完全相同的2个红球和2个黑球，若有放回地从中摸球，用事件A1表示“第一次摸到红球”，事件A2表示“第二次摸到黑球”，则事件A1与事件A2−是相互独立事件11.欧拉在1748年发现了三角函数与复指数函数可以巧妙地关联起来：e iθ=cosθ+isinθ(把z=r(cosθ+isinθ)称为复数的三角形式，其中从ox轴的正半轴到向量OZ⃗⃗⃗⃗⃗ 的角θ叫做复数z=a+bi(a,b∈R)的辐角，把向量OZ⃗⃗⃗⃗⃗ 的长度r叫做复数的模)，之后法国数学家棣莫弗发现了棣莫弗定理：若复数z1=r1e iθ1=r1(cosθ1+isinθ1)，z2=r2e iθ2=r2(cosθ2+isinθ2)，则我们可以简化复数乘法：z1z2=r1r2e i(θ1+θ2)=r1r2(cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)).根据以上信息，下列说法正确的是()A. 若z=cosθ+isinθ，则有eπi+1=0B. 若r=1，θ=π3，则z3=1C. 若z=r(cosθ+isinθ)，则z n=r n(cosnθ+isinnθ))2021，则z在复平面上对应的点在第一象限D. 设z=(√212.下列命题为真命题的是()C. 2√17>17D. 2√15<15A. ln3<√3ln2B. lnπ<√πe三、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知随机变量X～B(10,0.4)，则D(X)=______ ．14.函数f(x)=ln(x+2)−ax在(1,3)上单调递增，则实数a的取值范围是______ ．15.学校拟安排6位老师在今年6月12日至14日端午值班，每天安排2人，每人值班1天；若6位老师中的甲不值12日，乙不值14日且甲乙不在同一天值班，则不同的安排方法共有______ 种.16.设y=f′′(x)是y=f′(x)的导函数.某同学经过探究发现，任意一个三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)的图象都有对称中心(x0,f(x0))，其中x0满足f′′(x0)=0．x3−x2+3x+1的对称中心为______ ；(1)函数g(x)=13(2)现已知当直线kx−y−k+1=0(k∈R)和ℎ(x)=ax3+bx2+5的图象交于3 A(x1,y1)，B(x2,y2)，C(x3,y3)(x1<x2<x3)三点时，ℎ(x)的图象在点A，点C处的切线总平行，则过点(b,a)可作ℎ(x)的______ 条切线．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知复数z1=m+ni(m>n>0)满足|z1|=√34，z1的实部与虚部的积为15．(1)求z1；(2)设z2=(a2−2a−3)+(a2−4a+3)i(a∈R)，_____，求a的值．从①z1=z2；②z2为纯虚数；③z2在复平面上对应点的坐标为(−3,3)．这三个条件中选一个，将问题(2)补充完整，并作答．18.设(1−x3)n=a0+a1x+a2x2+⋯+a n x n，且已知(1−x3)n展开式中所有二项式系数之和为1024．(1)求n的值以及二项式系数最大的项；(2)求3a1+32a2+⋯+3n a n的值．19.为了丰富高2022届学生的课余活动，年级决定进行班级之间的乒乓球比赛.甲、乙两个班进行比赛，每场比赛采取“5局3胜制”(即有一个班先胜3局即获胜，比赛结束).比赛排名采用积分制，规则如下：比赛中，以3：0或3：1获胜方记3分，失败方记0分；以3：2获胜方记2分，失败方记1分.已知甲、乙两个班比赛，假设每局比赛甲获胜的概率都是23．(1)求比赛结束时恰好打了5局的概率；(2)甲、乙两个班比赛1场后，求乙班的积分ξ的分布列及期望．20.某传染病感染人群大多数是50岁以上的人群，某传染病进入人体后有潜伏期，潜伏期是指病原体侵入人体至最早出现临床症状的这段时间.潜伏期越长，感染到他人的可能性越高.如果认为超过8天的潜伏期为“长潜伏期”，现对400个病例的潜伏期(单位：天)进行调查，其中50岁以上的人群共280人，潜伏期为“长潜伏期”有60人，50岁及50岁以下潜伏期为“非长潜伏期”有80人.按照年龄统计样本，得到下面的2×2列联表．(1)完成上面的2×2列联表，并判断是否有95%的把握认为“长期潜伏”与年龄有关；(2)以题目中的样本频率视为概率，设900个病例中恰有k(k∈N∗)个属于“长期潜伏”的概率是P(k)，当k为何值时，P(k)取得最大值．附：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)x2−(a+2)x+2lnx(a∈R)．21.已知函数f(x)=a2(1)若a=0，求函数f(x)的极值；(2)若x=1是函数f(x)的极小值点，求实数a的取值范围．22.已知函数f(x)=xlnx−x．(1)设曲线y=f(x)在x=e处的切线为y=g(x)，求证：f(x)≥g(x)；(2)若关于x的方程f(x)=a有两个实数根x1，x2，求证：|x2−x1|<2a+e+1．e答案和解析1.【答案】C【解析】解：要使f(x)有意义，则3+2x−x2>0，解得−1<x<3，∴f(x)的定义域为(−1,3)．故选：C．可看出，要使得f(x)有意义，需满足3+2x−x2>0，从而解出x的范围即可．本题考查了函数定义域的定义及求法，一元二次不等式的解法，考查了计算能力，属于基础题．2.【答案】A【解析】解：根据所给的二项式写出展开式的通项，T r+1=C5r⋅(−2)r⋅(x2)5−r=C5r⋅(−2)r⋅x10−3r，x要求x4的项的系数∴10−3r=4，∴r=2，∴x4的项的系数是：(−2)2⋅C52=40．故选：A．根据所给的二项式，利用二项展开式的通项公式写出第r+1项，整理成最简形式，令x 的指数为4求得r，再代入系数求出结果．本题考查二项式定理的应用，本题解题的关键是正确写出二项展开式的通项，在这种题目中通项是解决二项展开式的特定项问题的工具．3.【答案】B【解析】解：∵随机变量ξ服从正态分布N(4,σ2)，∴正态分布曲线的对称轴方程为x=4，又P(ξ>6)=0.1，则P(ξ<2)=0.1，∴则P(ξ>2)=0.9．故选：B．由已知求得正态分布曲线的对称轴，由已知结合正态分布曲线的对称性即可求解P(ξ> 2)．本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查数学转化思想方法，是基础题．4.【答案】C【解析】解：根据题意，甲解决这个问题的概率为P1，乙解决这个问题的概率为P2，则甲乙同时解决了这个问题的概率为P1P2，事件“甲乙同时解决了这个问题”与事件“甲乙两人至多有一人解决了这个问题”为对立事件，则甲乙两人至多有一人解决了这个问题的概率为1−P1P2，故选：C．根据题意，分析可得甲乙同时解决了这个问题的概率为P1P2，由此可得其对立事件“甲乙两人至多有一人解决了这个问题”的概率，分析选项即可得答案．本题考查互斥事件、相互独立事件的概率计算，注意互斥事件与对立事件的区别联系，属于基础题．5.【答案】B【解析】解：由函数y=f(x)的导函数y=f′(x)的图象可知，对于A：−3左侧的导数小于0，而右侧的导数大于0，所以−3是函数y=f(x)的极小值点，故A错误；对于B，C：当x∈(−3,1)时，f′(x)>0，f(x)单调递增，故B正确；−1不是函数y=f(x)的最小值点，故C错误；对于D：由图象得f′(0)>0，所以y=f(x)在x=0处切线的斜率大于零，故D错误；故选：B．利用函数y=f(x)的导函数y=f′(x)的图象对A，B，C，D四个选项逐个判断即可．本题考查导数的综合应用，解题中需要理清思路，属于中档题．6.【答案】A【解析】解：由题意，某医院呼吸科准备从5名男医生和3名女医生中选派3人，则共有C83=56种不同的选法，选派的3人中至少有1名女医生，则共有C52C31+C51C32+C50C33=46种不同的选法，所以选派的3人中至少有1名女医生的概率为4656=2328．故选：A．求出总的基本事件数和符合条件的基本事件数，利用古典概型的概率公式求解即可．本题考查了古典概型的概率问题，解题的关键是求出总的基本事件数以及满足条件的基本事件数，属于基础题．7.【答案】D【解析】解：因为当x>0时，xf′(x)+f(x)<0，所以(xf(x))′<0，令F(x)=xf(x)，则F′(x)<0，F(x)单调递减，因为f(x)是奇函数，所以f(x)=−f(−x)，所以F(−x)=(−x)f(−x)=−x[−f(x)]=xf(x)=F(x)，所以F(x)为偶函数，图象关于y轴对称，因为f(2)=0，所以F(2)=2f(2)=0，所以F(−2)=0，所以在(−∞,−2)时，F(x)<0，f(x)>0，在(−2,0)时，F(x)>0，f(x)<0，在(0,2)时，F(x)>0，f(x)>0，在(2,+∞)时，F(x)<0，f(x)<0，所以f(x)>0成立的x的取值范围是(−∞,−2)∪(0,2)，故选：D．根据题意可得(xf(x))′<0，令F(x)=xf(x)，则F(x)单调递减，由f(x)是奇函数，得F(x)为偶函数，图象关于y轴对称，由f(2)=0，得F(−2)=0，进而可得答案．本题考查函数的性质，解题中需要理清思路，属于中档题．8.【答案】B【解析】解：∵M(t)=M2−t5730，∴M′(t)=M0⋅(−15730)⋅2−t5730⋅ln2，∵当t=5730时，碳14的含量的瞬时变化率是−ln220(太贝克/年)，∴M0⋅(−15730)⋅2−57305730⋅ln2=−ln220，解得M0=573，∴M(t)=573⋅2−t5730，∴M(2865)=573⋅2−28655730=573⋅2−12=573√22．故选：B．对M(t)求导，再根据瞬时变化率可求得M0=573，从而得M(t)的解析式，再代入t= 2865，进行运算即可得解．本题考查指数函数的实际应用，瞬时变化率与导数的关系，考查逻辑推理能力和运算求解能力，属于基础题．9.【答案】BC【解析】解：当x>0时，f(x)=x3+1为增函数，当x≤0时，f(x)=sinx不是单调函数，则f(x)的图象不关于原点对称，也不关于y轴对称，函数为非奇非偶函数，故A正确；函数f(x)在定义域中不单调，故B错误；函数在(0,+∞)上不是周期函数，则在定义域中不是周期函数，故C错误；当x>0时，f(x)>1；当x≤0时，f(x)∈[−1,1]，可得f(x)的值域为[−1,+∞)，故D正确．故选：BC．由分段函数的对称性判定A；由x≤0时函数f(x)不单调判定B；由周期函数的定义判断C；求解函数的值域判断D．本题考查分段函数单调性、奇偶性及周期性的判定，考查推理论证能力，是基础题．10.【答案】ABD【解析】解：对于选项A ，−2.8=0.3m −m ，解得m =4，故正确， 对于选项B ，E(Y)=E(2X −1)=2E(X)−1=3，故正确， 对于选项C ，R 2的值越接近0，说明模型的拟合效果越差，故错误，对于选项D ，P(A 1)=24=12，P(A 2−)=24=12，P(A 1A 2−)=2×24×4=14，则P(A 1A 2−)=P(A 1)P(A 2−)，故正确， 故选：ABD ．由回归直线过样本中心可求得判断A 选项，由数学期望的结论可判断B 选项，由相关指数R 2的意义知C 错，由独立事件及古典概型判断D 选项即可．本题考查了回归分析，数学期望，相关指数，独立事件等概率的理解与应用，同时考查了古典概型的应用，属于基础题．11.【答案】AC【解析】解：对于A ，e πi +1=(cosπ+isinπ)+1=0+1=0，故A 正确； 对于C ，由棣莫弗定理可知，两个复数z 1，z 2相乘，所得到的复数的辐角是复数z 1，z 2的辐角之和，模是复数z 1，z 2的模之积，所以z n 的辐角是复数z 的辐角的n 倍，模是|z|n ，故C 正确； 对于B ，z =cos π3+isin π3，所以z 3=13⋅(cosπ+isinπ)=−1，故B 错误； 对于D ， 设z 3=√2=cos π4+isin π4=e iπ4，故z =z 32021=12021⋅eii021π4=ei5π4=cos5π4+isin5π4，故复数z 在复平面上所对应的点为(cos 5π4,sin5π4)，不在第一象限，故D 错误．故选：AC ．根据题干所给出的新定义判断各个选项即可． 本题考查新定义问题，考查复数的运算，属于中档题．12.【答案】ACD【解析】解：令f(x)=lnx x，则f′(x)=1−lnx x 2，令f′(x)=0，得x =e ，可知f(x)在(0,e)上单调递增，在(e,+∞)上单调递减， 故对于A ，f(2)>f(√3)，即ln22>√3√3，即√3ln2>2ln √3=ln3，故A 正确， 对于B ，f(√π)>f(√e)，即√π√π>√e √e，即lnπ>√πe ，故B 错误，对于C ，f(√17)<f(4)，即√17√17<ln44，即2ln √17=ln17<√17ln2，所以ln17<ln2√17，故2√17>17，故C 正确， 对于D ，，f(√15)>f(4)，即√15√15>ln44，即2ln √15=ln15>√15ln2，所以ln15>ln2√15，故2√15<15，故D 正确， 故选：ACD ． 构造函数f(x)=lnx x，利用导数分析其单调性，即可判断选项的正误．本题考查了构造函数，利用函数的单调性比较大小，属于中档题．13.【答案】2.4【解析】解：因为随机变量X ～B(10,0.4)， 所以D(X)=10×0.4×(1−0.4)=2.4． 故答案为：2.4．利用二项分布的方差计算公式求解即可．本题考查了二项分布的理解与应用，解题的关键是掌握二项分布的方差计算公式，属于基础题．14.【答案】(−∞,15]【解析】解：f′(x)=1x+2−a ， 因为f(x)在(1,3)上单调递增， 所以1x+2−a ≥0在(1,3)上恒成立， 所以a ≤1x+2在(1,3)上恒成立， 所以a ≤(1x+2)min =15，所以a的取值范围为(−∞,15].故答案为：(−∞,15].求导得f′(x)=1x+2−a，若f(x)在(1,3)上单调递增，则a≤1x+2在(1,3)上恒成立，只需a≤(1x+2)min，即可得出答案．本题考查导数的综合应用，恒成立问题，属于中档题．15.【答案】36【解析】解：根据题意，分2步进行分析：①将6人分为3组，要求甲乙不在同一组，有C62C42C22A33−C42C22A22=12种分组方法，②若甲所在的组在14日值班，有A22=2种安排方法，若甲所在的组在13日值班，则乙所在的组必须在12日值班，有1种安排方法，则有3种值班安排方法，故有12×3=36种安排方法．故答案为：36．根据题意，分2步进行分析：①将6人分为3组，要求甲乙不在同一组，②分情况讨论三组的安排方法，由分步计数原理计算可得答案．本题考查排列组合的应用，涉及分步、分类计数原理的应用，属于基础题．16.【答案】(1,103) 2【解析】解：(1)g(x)=13x3−x2+3x+1的导数为g′(x)=x2−2x+3，g″(x)=2x−2，由2x−2=0，可得x=1，y=13−1+3+1=103，可得g(x)的对称中心为(1,103)；(2)曲线E在点A，点C处的切线总是平行的，∴A，C两点关于f(x)的对称中心对称，故而B为f(x)的对称中心，又直线kx−y−k+1=0横过点(1,1)，∴f(x)的对称中心为(1,1)，即B(1,1)，∴a +b +53=1.① 由y =ax 3+bx 2+53可得y′=3ax 2+2bx ， 令y′=3ax 2+2bx =0可得−2b3a =2，② 由①②可得a =13，b =−1．∴曲线E 的方程为：y =13x 3−x 2+53，y′=x 2−2x ，∴曲线E 在点(x 0,y 0)的切线方程为y =(x 02−2x 0)(x −x 0)+13x 03−x 02+53， 把(−1,13)代入上式，整理得x 03−3x 0−2=0，即(x 0+1)2(x 0−2)=0， ∴(x 0+1)(x 02−x 0−2)=0有两解，即过点(b,a)的切线有2条． 故答案为：(1,103)，2．(1)对函数g(x)两次求导，令g″(x)=0，可得对称中心；(2)由题意可知直线的定点为曲线E 的对称中心，求出a ，b 的值，根据导数的几何意义列方程，根据方程解的个数得出结论．本题考查导数的几何意义，函数对称性的应用，考查方程思想和运算能力，属于中档题．17.【答案】解：(1)因为复数z 1=m +ni(m >n >0)满足|z 1|=√34，z 1的实部与虚部的积为15，所以{m 2+n 2=34mn =15，解得{m =5n =3，所以z 1=5+3i ； (2)若选①：因为z 1=z 2，即z 2=(a 2−2a −3)+(a 2−4a +3)i =5+3i ，可得{a 2−2a −3=5a 2−4a +3=3，解得a =4．若选②：因为z 2为纯虚数，则z 2=(a 2−2a −3)+(a 2−4a +3)i 为纯虚数，所以{a 2−2a −3=0a 2−4a +3≠0，解得a =−1． 若选③：因为z 2在复平面上对应点的坐标为(−3,3)， 则z 2=(a 2−2a −3)+(a 2−4a +3)i =−3+3i ，故{a 2−2a −3=−3a 2−4a +3=3，解得a =0．【解析】(1)利用复数模的定义以及实部与虚部的定义，列出关于m 和n 的方程组，求解即可；(2)若选①：利用复数相等的定义，列出方程组，求解即可； 若选②：由纯虚数的定义，列出方程组，求解即可； 若选③：利用复数的几何意义，列出方程组，求解即可．本题考查了复数的运算，主要考查了复数的定义、复数相等的定义、复数的几何意义的应用，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于基础题．18.【答案】解：(1)∵(1−x3)n 展开式中所有二项式系数之和为1024，∴n =10，故二项式系数最大的项为T 6=C 105⋅(−x3)5=−8481⋅x 5． (2)∵(1−x3)n =a 0+a 1x +a 2x 2+⋯+a n x n ，∴令x =0，可得a 0=1．∴(1−x3)n =1+a 1x +a 2x 2+a 3x 3+⋅⋅⋅+a n x n ，令x =3，可得1+3a 1+32a 2+⋯+3n a n =0， ∴3a 1+32a 2+⋯+3n a n =−1．【解析】(1)由题意利用二项式系数的性质求得n ，从而求得二项式系数最大的项． (2)分别给x 赋值，即可得出结论．本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于中档题．19.【答案】解：(1)比赛结束时恰好打了5局，甲获胜为事件A ，比赛结束时恰好打了5局，乙获胜为事件B ， 比赛结束时恰好打了5局为事件C ， 事件A ，B 互为互斥事件，所以P(C)=P(A)+P(B)=C 42(23)2(13)223+C 42(23)2(13)213=827； 故比赛结束时恰好打了5局的概率为827； (2)乙班的积分ξ的可能取值为0，1，2，3，所以P(ξ=0)=(23)3+C 32(23)2×13×23=1627， P(ξ=1)=C 42(23)2(13)223=1681，P(ξ=2)=C 42(23)2(13)213=881， P(ξ=3)=(13)3+C 32(13)2×23×13=19，所以ξ的分布列为：故E (ξ)=0×1627+1×1681+2×881+3×19=5981．【解析】(1)利用相互独立事件的概率乘法公式以及分类计数原理求解即可； (2)先求出随机变量ξ的可能取值，然后求出其对应的概率，列出分布列，由数学期望的计算公式求解即可．本题考查了相互独立事件的概率乘法公式，离散型随机变量及其分布列和离散型随机变量期望的求解与应用，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题．20.【答案】解：(1)列联表为所以K 2=400×(60×80−220×40)2280×120×100×300≈34.286>3.841，故，有95%的把握认为“长期潜伏”与年龄有关． (2)利用列联表，得“长期潜伏”的频率为100400=14；所以P(k)=C 900k ⋅(14)k ⋅(34)900−k ，则P(k +1)=C 900k+1⋅(14)k+1⋅(34)899−k ， 令P(k+1)P(k)≥1，化简得900−k 3(k+1)≥1，即k ≤8974≈224.25；所以，当k =0，1，2，⋯，224时，P(k +1)≥P(k)， 所以当k =225时，P(k)取得最大值．【解析】(1)补充列联表，并计算K2的值；(2)利用二项分布的概率公式表示出P(k)，利用作商法求出P(k)的最值．本题考查独立性检验、二项分布、函数的最值，属于中档题．21.【答案】解：(1)当a=0时，f(x)=−2x+2lnx(x>0)，求导得f′(x)=−2+2x =2(1−x)x，令f′(x)>0，得0<x<1，令f′(x)<0，得x>1，所以f(x)在(0,1)单调递增，在(1,+∞)单调递减，所以f(x)max=f(1)=−2+2ln1=−2．(2)f′(x)=ax−(a+2)+2x =ax2−(a+2)x+2x=(ax−2)(x−1)x，因为x=1是函数f(x)的极小值点，当a=0时，在(0,1)上，f′(x)>0，f(x)单调递增，在(1,+∞)上，f′(x)<0，f(x)单调递减，所以在x=1处取得极大值，不合题意，当a≠0时，令f′(x)=0，得x=2a或x=1，当2a<0，即a<0时，在(0,1)上，f′(x)>0，f(x)单调递增，在(1,+∞)上，f′(x)<0，f(x)单调递减，所以在x=1处取得极大值，不合题意，当2a>0，即a>0时，①若0<2a<1时，即a>2时，在(0,2a)，(1,+∞)上，f′(x)>0，f(x)单调递增，在(2a,1)上，f′(x)<0，f(x)单调递减，所以在x=1处取得极小值，符合题意，②若2a=1时，即a=2时，f′(x)>0，f(x)在(0,+∞)上单调递增，在x=1处没有取得极值，不合题意，③若2a>1时，即0<a<2时，在(0,1)，(2a ,+∞)上，f′(x)>0，f(x)单调递增， 在(1,2a )上，f′(x)<0，f(x)单调递减， 所以在x =1处取得极大值，不符合题意， 综上所述，a 的取值范围为(2,+∞)．【解析】(1)当a =0时，f(x)=−2x +2lnx(x >0)，利用导数法求解即可． (2)f′(x)=(ax−2)(x−1)x，分三种情况：当a =0时，当2a <0时，当2a >0时，分析导数的正负，f(x)的极值，即可得出答案．本题考查导数的综合应用，极值，参数的取值范围，属于中档题．22.【答案】解：(1)证明：f′(x)=x ⋅1x +lnx −1=lnx ，所以k 切=f′(e)=lne =1， 又f(e)=0，所以曲线y =f(x)在x =e 处的切线为y −0=(x −e)，即y =x −e ， 所以g(x)=x −e ，令F(x)=f(x)−g(x)=xlnx −x −x +e =xlnx −2x +e ， F′(x)=lnx +x ⋅1x −2=lnx −1，所以当x >e 时，F′(x)>0，F(x)单调递增， 当0<x <e 时，F′(x)<0，F(x)单调递减， 所以F(x)min =F(e)=elne −2e +e =0， 所以F(x)≥F(0)， 所以f(x)≥g(x)．(2)证明：不妨设x 1<x 2，直线y =−x −1e 与y =a 相交于点(x 0,a)， 由(1)知，f(x)≥g(x)，则a =−x 0−1e =f(x 1)≥g(x 1)=−x 1−1e ， 从而x 1≥x 0=−a −1e ，当且仅当x 0=1e ，a =−2e 时取等号， 下证：x 2≤a +e ， 由于a =f(x 2)，所以x 2≤a +e ⇔x 2≤f(x 2)+e ， 即证：f(x 2)−x 2+e ≥0，令φ(x)=f(x)−x +e =xlnx −2x +e ， 则φ′(x)=lnx −1，当x ∈(0,e)时，φ′(x)<0，φ(x)单调递减， 当x ∈(e,+∞)，φ′(x)>0，φ(x)单调递增， 所以φ(x)≥φ(e)=0，即x 2≤a +e 成立，当且仅当x 2=e ，a =0时取等号， 由于等号成立的条件不能同时满足，所以|x 1−x 2|=x 2−x 1<(a +e)−(−a −1e )=2a +e +1e ．【解析】(1)求导得f′(x)=lnx ，由导数的几何意义可得k 切=f′(e)=1，又f(e)=0，进而可得切线方程，则g(x)=x −e ，令F(x)=f(x)−g(x)=xlnx −2x +e ，求导，分析F′(x)的正负，F(x)的单调性，进而可得F(x)≥F(x)min ，即可得出答案．(2)不妨设x 1<x 2，不等式等价于|x 1−x 2|=x 2−x 1<(a +e)−(−a −1e )=2a +e +1e ，只需证明x 1≥x 0=−a −1e ，x 2≤a +e ，即可得出答案． 本题考查导数的综合应用，不等式的证明，属于中档题．。
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C．由“正三角形的内切圆切于三边的中点”，得“正四面体的内切球切于四个面的中心”
D．平行于同一条直线的两直线平行，已知 ，则
6．若复数 ，其中i是虚数单位，则它在复平面内所对应的点在第（）象限.
A．一B．二C．三D．四
（2）若函数 在 处有极小值，求实数a的取值范围.
参考答案
1．D
【分析】
直接根据集合的并运算，即可得答案；
【详解】
A＝{0，1，2，3，5}，B＝{0，5}，
A∪B＝{0，1，2，3，5}，
故选：D.
【点睛】
本题考查集合的并运算，考查对并集概念的理解，属于基础题.
2．A
【分析】
分情况代入数值即可求出结果.
三、解答题
17．设
（1）求 的值；
（2）求 的值.
18．某学校高二年级有2000名学生进行了一次物理测试，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中抽取了100名学生作为样本，记录他们的成绩数据，将数据分成7组：[30，40），[40，50），…[90，100]，整理得到如图频率分布直方图.
（1）若该样本中男生有60人，试估计该学校高二年级女生总人数；
A． B． C． D．
二、填空题
13．若复数 ，则其共轭复数 _____.
14．函数 的值域为__．
15．已知函数 为 上的单调递增函数，则实数a的取值范围为_____.
16．某商圈为了吸引顾客举办了一次有奖竟猜活动，活动规则如下：两人一组，每轮竞猜中，每人竞猜两次，两人猜对的次数之和不少于3次就可以获得一张奖券.小蓝和她的妈妈同一小组，小蓝和她妈妈猜中的概率分别为p1，p2，两人是否猜中相互独立，若p1+p2＝ ，则当小蓝和她妈妈获得1张奖券的概率最大时，p12+p22的值为_____.
【详解】
要使函数 有意义，
则有 ，
解得 ，
函数 的定义域是 .
故选：C.
【点睛】
本题主要考查对数函数的定义域、不等式的解法，属于容易题.
5．B
【分析】
结合归纳推理、类比推理及演绎推理的特点，对四个选项逐个分析，可选出答案.
【详解】
对于A，符合三段论的形式，是演绎推理；
选项B，是由特殊到一般的推理，是归纳推理；
【详解】
由 ，
当 时， ，
当 时， ，
所以 .
故选：A.
【点睛】
本题主要考查分段函数求值问题.属于容易题.
3．C
【分析】
由ξ服从正态分布 （ ）可得 ，即可选出答案.
【详解】
因为ξ服从正态分布 （ ），所以
故选：C
【点睛】
本题考查的是正态分布的对称性，较简单.
4．C
【分析】
由函数的解析式知，对数的真数大于 ，偶次根号下非负，易得关于 的不等式组，解出它的解集即可得到函数的定义域.
重庆市巴蜀中学2020-2021学年高二（下）期末数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知集合A＝{0，1，2，3，5}，B＝{0，5}，则A∪B＝（）
A．{0，5}B．{0，1，2，5}
C．{0，1，3，5}D．{0，1，2，3，5}
（2）根据频率分布直方图，求样本中物理成绩在[70，90）的频率；
（3）用频率估计概率，现从该校高二年级学生中随机抽取2人，求恰有一名学生的物理成绩在[70，90）的概率.
19．如图，底面 是边长为4的正方形， 平面 ， ， ， .
（1）求证： 平面 ；
（2）求二面角 的余弦值.
20．“微粒贷”是腾讯旗下2021年9月开发上市的微众银行网货产品.腾讯公司为了了解“微粒贷”上市以来在C市的使用情况，统计了C市2021年至2021年使用了“微粒货”贷款的累计人数，统计数据如表所示：
年份
2015
2016
2017
2018
2019
年份代号x
1
2
3
4
5
累计人数y（万人）
2.9
3.3
3.6
4.4
4.8
（1）已知变量x，y具有线性相关关系，求累计人数y（万人）关于年份代号x的线性回归方程 ；并预测2021年使用“微粒贷“贷款的累计人数；
（2）“微粒贷”用户拥有的贷款额度是根据用户的账户信用资质判定的，额度范围在500元至30万元不等，腾讯公司在统计使用人数的同时，对他们所拥有的贷款额度也作了相应的统计.我们把拥有货款额度在500元至5万元（不包括5万元）的人群称为“低额度贷款人群”，简称“A类人群”；把拥有贷款额度在5万元及以上的人群称为“高额度贷款人群”，简称“B类人群”.根据统计结果，随机抽取6人，其中A类人群4人，B类人群2人.现从这6人中任取3人，记随机变量ξ为A类人群的人数，求ξ的分布列及其期望.
7．设 ： ， ： ，则 是 的（）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
8．随机变量X的取值范围为0，1，2，若 ，则D（X）＝（）
A． B． C． D．
9．某地产公司计划在4个候选城市中选出2个城市投资3个不同的项目，且在同一个城市投资的项目至少1个，则该地产公司不同的投资方案有（）
2．已知函数 ，则 ＝（）
A．﹣3B．﹣2C．﹣1D．0
3．在某项测试中，测量结果ξ服从正态分布 （ ），若 ，则 ＝（）
A．0.8B．0.6C．0.4D．0.2
4．函数 的定义域为（）
A． B． C． D．
5．由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理.以下推理为归纳推理的是（）
A．幂函数在（0，+∞）是单调函数， 是幂函数，故 在（0，+∞）是单调函数
参考公式： ,
参考数据：
21．已知椭圆 的短轴长为2，且其离心率为 .
（1）求椭圆C的方程；
（2）过坐标原点O作两条互相垂直的射线与椭圆C分别相交于P，Q两点是否存在圆心在原点的定圆与直线PQ总相切？若存在，求定圆的方程；若不存在，请说明理由.
22．定义在 的函数 （其中 ．24种C．36种D．60种
10．函数f（x）＝|2x﹣1|+ ﹣1的零点个数为（）
A．0B．1C．2D．3
11．奇函数 关于 对称，且 在 单调递减；若 ， ， ，则 的大小关系为（）
A． B． C． D．
12．已知 是定义在R上的函数，且 关于直线 对称.当 时， ，若对任意的 ，不等式 恒成立，则实数 的取值范围是（）