张小向老师《线性代数》第3章-线性方程组

东南大学-张小向 272365083@
2
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2014/4/22
第三章 线性方程组
§ 3.1 线性方程组和Gauss消元法
第三章 线性方程组
§ 3.1 线性方程组和Gauss消元法
一. 线性方程组的概念 (system of linear equations) 一般形式: a11x1+a12x2+…+a1nxn = b1 a21x1+a22x2+… a2nxn = b2 (3.1) … … … … … … … am1x1+am2x2+…+amnxn = bm 齐次线性方程组(homogeneous ~) 非齐次线性方程组(non (nonhomogeneous homogeneous ~) 解(to solve, solution) 相容(consistent consistent) )
a11 a12 … a1n a21 a22 … a2n 称A = … … … … 为(3.1)的系数矩阵 am1 am2 … amn (coefficient matrix), a11 a12 … a1n b1 a21 a22 … a2n b2 (A, b) = … … … … … 为(3.1)的增广矩阵 am1 am2 … amn bm (augmented matrix).
莱布尼茨[德] (1646.7.1 1646.7.1~ ~1716.11.14 1716.11.14) )
顺治1644 1644-1662 康熙1662 1662-1723 雍正1723 1723-1736 乾隆1736 1736-1796 嘉庆1796 1796-1821 道光1821 1821-1851 咸丰1851 1851-1862 同治1862 1862-1875 光绪1875 1875-1908 宣统1908 1908-1911
第三章 线性方程组
§ 3.1 线性方程组和Gauss消元法
第三章 线性方程组
§ 3.1 线性方程组和Gauss消元法
贝祖[法] (1730.3.31 1730.3.31~ ~1783.9.27 1783.9.27) )
顺治1644 1644-1662 康熙1662 1662-1723 雍正1723 1723-1736 乾隆1736 1736-1796 嘉庆1796 1796-1821 道光1821 1821-1851 咸丰1851 1851-1862 同治1862 1862-1875 光绪1875 1875-1908 宣统1908 1908-1911
初等行变换, 初等行变换 , 相当于 相当于高斯消元法 高斯消元法
瑞士数学家克拉默不久也发表了这个法则 18世纪下半叶, 法国数学家贝祖 (Étienne Bézout Bézout): ):
对线性方程组理论进行了一系列研究 证明了n元齐次线性方程组有非零解的条件是 系数行列式等于零
17 世纪后期, 德国数学家莱布尼茨 (Gottfried Wilhelm von Leibniz Leibniz): ):
3. 阶梯阵的形状与线性方程组的解. ~ ~ Ax = b Ax = b 解的数目 (A, b) 2x1+3x2 x3 = 1 2x2+x3 = 2 0=1 x1x2+2x3 = 8 2x2 +x3 = 1 x3 = 5
x1+2x2+x3 + x4 = 2 x3+4x4 = 3 0=0
~ ~ (A, b)
高斯[德] (1777.4.30 1777.4.30~ ~1855.2.23 1855.2.23) )
顺治1644 1644-1662 康熙1662 1662-1723 雍正1723 1723-1736 乾隆1736 1736-1796 嘉庆1796 1796-1821 道光1821 1821-1851 咸丰1851 1851-1862 同治1862 1862-1875 光绪1875 1875-1908 宣统1908 1908-1911
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第三章 线性方程组
§ 3.1 线性方程组和Gauss消元法
第三章 线性方程组
§ 3.1 线性方程组和Gauss消元法
2. 阶梯形线性方程组的有三种基本类型. 例如: 2x1+3x2 x3 = 1 2x2+x3 = 2 0=1 x1x2+2x3 = 8 2x2 +x3 = 1 x3 = 5 x1+2x2+x3 + x4 = 2 x3+4x4 = 3
a11 a12 … a1n a21 a22 … a2n 设A = … … … … , x = am1 am2 … amn
x1 x2 … , b= xn
b1 b2 … , bm
vector of unknowns
vector of constants
则
a11x1+a12x2+…+a1nxn = b1 a21x1+a22x2+… a2nxn = b2 Ax = b. … … … … … … … am1x1+am2x2+…+amnxn = bm
含两个未知量三个方程的线性组
18 世纪上半叶, 英国数学家麦克劳林 (Colin Maclaurin Maclaurin): ):
具有二、三、四个未知量的线性方程组 得到了现在称为克拉默法则 得到了现在称为 克拉默法则的结果 的结果
19世纪，英国数学家史密斯 (Henry John Stephen Smith Smith) )和 道奇森(Charles Lutwidge Dodgson Dodgson): ):
顺治1644 1644-1662 康熙1662 1662-1723 雍正1723 1723-1736 乾隆1736 1736-1796 嘉庆1796 1796-1821 道光1821 1821-1851 咸丰1851 1851-1862 同治1862 1862-1875 光绪1875 1875-1908 宣统1908 1908-1911
二. Gauss消元法(Gauss’ method) method) 2x13x2+4x3 = 4 对换变换(swapping) x1+2x2 x3 = 3 2x1+2x2 6x3 = 2 1/2 倍乘变换(rescaling) 倍加变换(pivoting) x1+2x2 x3 = 3 2 (1) 2x13x2+4x3 = 4 阶梯形方程组 x1 + x2 3x3 = 1 (echelon form) x1+2x2 x3 = 3 x2+2x3 = 2 x22x3 = 2
前者引进了方程组的增广矩阵的概念 后者证明了n个未知数m个方程的方程组相容的充要条件 是系数矩阵和增广矩阵的秩相同
第三章 线性方程组
§ 3.1 线性方程组和Gauss消元法
第三章 线性方程组
§ 3.1 线性方程组和Gauss消元法
三皇 五帝 夏朝 商朝 周朝 春秋 战国 秦朝 西楚 西汉 新朝 玄汉 东汉 三国
克拉默[瑞士] (1704.7.31 1704.7.31~ ~1752.1.4 1752.1.4) )
顺治1644 1644-1662 康熙1662 1662-1723 雍正1723 1723-1736 乾隆1736 1736-1796 嘉庆1796 1796-1821 道光1821 1821-1851 咸丰1851 1851-1862 同治1862 1862-1875 光绪1875 1875-1908 宣统1908 1908-1911
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第三章 线性方程组
第一节 线性方程组和 Gauss消元法 第二节 齐次线性方程组 第三节 非齐次线性uss消元法
第三章 线性方程组
§ 3.1 线性方程组和Gauss消元法
§3.1 线性方程组和Gauss消元法 公元前1世纪,《九章算术 九章算术》 》:
解向量(solution vector), 解集(solution set), 同解(hav having ing the same set of solutions) solutions)
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§ 3.1 线性方程组和Gauss消元法
第三章 线性方程组
§ 3.1 线性方程组和Gauss消元法
约前?世纪-约前30世纪初 约前30世纪初-前2029年 前2070 2070-前1600 前1600 1600-前1046 前1046 1046-前256 前770 770-前476 前475 475-前221 前221 221-前206 前206 206-前202 前202 202-公元9年 公元8年12月-公元23年10月 2323 -25 2525 -220 220220 -280
第三章 线性方程组
§ 3.1 线性方程组和Gauss消元法
道奇森[英] (1832.1.27 1832.1.27~ ~1898.1.14 1898.1.14) )
顺治1644 1644-1662 康熙1662 1662-1723 雍正1723 1723-1736 乾隆1736 1736-1796 嘉庆1796 1796-1821 道光1821 1821-1851 咸丰1851 1851-1862 同治1862 1862-1875 光绪1875 1875-1908 宣统1908 1908-1911
x1 5x3 = 1 x1+2x2 x3 = 3 x2+2x3 = 2 x2+2x3 = 2 (2) 0=0 0=0 由此可得原方程组的通解(general solution) solution) x1 = 5x3+1 5c+1 x2 = 2x32 或写成向量形式 x = 2c2 , c x3 = x3(任意) 其中c为任意数.
1
x1+2x2 x3 = 3 x2+2x3 = 2 0=0
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§ 3.1 线性方程组和Gauss消元法
第三章 线性方程组
§ 3.1 线性方程组和Gauss消元法
阶梯形 (echelon form)
最简形 (reduced echelon form) form)
1. 线性方程组的初等变换 (elementary reduction operations / row operations / Gaussian operations) operations) 对换变换(swapping) 倍乘变换(rescaling) 倍加变换(pivoting) 注: 倍乘变换必须用 倍乘变换必须用非零 非零的数去乘 的数去乘 某一个方程(multiplying by a nonzero scalar).
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§ 3.1 线性方程组和Gauss消元法
史密斯[英] (1826.11.2 1826.11.2~ ~1883.2.9 1883.2.9) )
顺治1644 1644-1662 康熙1662 1662-1723 雍正1723 1723-1736 乾隆1736 1736-1796 嘉庆1796 1796-1821 道光1821 1821-1851 咸丰1851 1851-1862 同治1862 1862-1875 光绪1875 1875-1908 宣统1908 1908-1911
东南大学-张小向 272365083@
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第三章 线性方程组
§ 3.1 线性方程组和Gauss消元法
第三章 线性方程组
§ 3.1 线性方程组和Gauss消元法
麦克劳林[英] (1698.2 1698.2~ ~1746.6.14 1746.6.14) )
无解
2 3 4 1 0 2 1 2 0 0 0 1
leading variables
r2 = r1+1 有唯一解
2 1 2 8 0 2 1 1 0 0 1 5
r2 = r1 = n 有无数解
1 2 1 1 2 0 0 1 4 3 0 0 0 0 0
free variables
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