向量公式大全

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向量的基本运算公式大全

向量的基本运算公式大全下面是向量的基本运算公式大全：1.向量加法：o a + b = b + a（交换律）o(a + b) + c = a + (b + c)（结合律）2.向量减法：o a - b = a + (-b)3.向量数量乘法：o ka = ak（交换律，其中k是标量）o(kl)a = k(la)（结合律）4.零向量：o a + 0 = ao a + (-a) = 05.向量点乘（内积）：o a·b = b·a（交换律）o(ka)·b = k(a·b) = a·(kb)（分配律）o a·(b + c) = a·b + a·c（分配律）6.向量叉乘（外积）：o a×b = -(b×a)（反对称性）o a×(b + c) = a×b + a×c（分配律）o(ka)×b = k(a×b) = a×(kb)（分配律）7.向量混合积：o a·(b×c) = b·(c×a) = c·(a×b)8.长度（模）：o||a|| = √(a·a)9.单位向量：o一个向量除以其长度得到单位向量： a/||a||10.平行和垂直：o两个向量平行：a与b平行，当且仅当存在标量k，使得a = kb或b = ka。

o两个向量垂直：a与b垂直，当且仅当a·b = 0。

这些是向量的基本运算公式，它们形成了向量运算的基础，可以用于解决向量计算和几何问题。

需要注意的是，这些公式适用于向量的二维、三维或更高维度空间。

具体运用时，根据具体的向量运算要求和问题，选择合适的公式和运算规则。

完整版向量公式汇总

完整版向量公式汇总向量是代数中的一种运算对象，它具有大小和方向，可以进行加减乘除等运算。

在向量的运算中，常用的有向量的加法、减法、数乘、点乘、叉乘等运算。

下面将对这些运算进行详细介绍。

1.向量的加法：向量的加法是指将两个向量相加得到一个新的向量。

设有向量a和向量b，它们的和记作a+b。

实际计算中，可以将两个向量的对应分量相加，得到的结果就是它们的和。

2.向量的减法：向量的减法是指将一个向量减去另一个向量得到一个新的向量。

设有向量a和向量b，它们的差记作a-b。

实际计算中，可以将两个向量的对应分量相减，得到的结果就是它们的差。

3.数乘：数乘是指用一个实数（标量）乘以一个向量得到一个新的向量。

设有向量a和一个实数k，则k*a是一个新的向量，它的各个分量都是原向量的对应分量乘以k。

4.向量的点乘：向量的点乘（或内积）是指将两个向量的对应分量相乘，并将乘积相加得到一个数。

设有向量a和向量b，则它们的点乘记作a·b或a∙b，计算公式为a·b=a₁*b₁+a₂*b₂+...+aₙ*bₙ。

5.向量的叉乘：向量的叉乘（或叉积）是指将两个向量的乘积得到一个新的向量。

设有向量a和向量b，则它们的叉乘记作a×b，计算公式为：a×b=，ijka₁a₂ab₁b₂b其中i、j、k是三个单位向量，分别对应x、y、z轴的方向。

计算结果是一个垂直于a和b的向量。

6.向量的模长：向量的模长是指向量从原点到其终点的距离。

设有向量a=(a₁,a₂,a₃)，则它的模长记作，a，或，a，计算公式为：a，=√(a₁²+a₂²+a₃²)7.单位向量：单位向量是指模长为1的向量。

设有向量a，则它的单位向量记作â，计算公式为：â=a/，a8.平行向量：平行向量是指其方向相同或相反的向量。

设有向量a和向量b，则a和b平行的充分必要条件是它们的方向相同或相反。

9.垂直向量：垂直向量是指其乘积为0的向量。

向量公式汇总

向量公式汇总Newly compiled on November 23, 2020向量公式汇总平面向量1、向量的加法向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则。

AB+BC二AC。

a+b= (x+x‘ , y+y')。

a+0二0+a二a。

向量加法的运算律：交换律：a+b二b+a；结合律：(a+b) +c二a+ (b+c)。

2、向量的减法如果a、b是互为相反的向量，那么a二-b, b二-a, a+b二0. 0的反向量为0 AB-AOCB.即“共同起点，指向被减”a二(x, y) b= (x f, y')贝！| a-b= (x-x‘，y-y' ).3、数乘向量实数X和向量a的乘积是一个向量，记作入a,且| ha |二丨入| | a |。

当入＞0时，Aa与a同方向；当入＜0时，入a与a反方向；当入二0时，X a=0,方向任意。

当a二0时，对于任意实数X,都有X a=0o注：按定义知，如果X a=0,那么入二0或a二0。

实数X叫做向量a的系数，乘数向量入a的儿何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩。

当丨入丨> 1时，表示向量a的有向线段在原方向（入>0）或反方向（X <0）上伸长为原来的|入|倍；当I入I < 1时，表示向量a的有向线段在原方向（X >0）或反方向（X <0）上缩短为原来的|入|倍。

数与向量的乘法满足下面的运算律结合律：（入a） b二入（ab）二（a入b）。

向量对于数的分配律（第一分配律）：（A + U）a=Aa+Ua.数对于向量的分配律（第二分配律）：X （a+b）=X a+Xb.数乘向量的消去律：①如果实数入工0且X a=Xb,那么a二b。

②如果aHO且A, a= P a,那么X = p o4、向量的的数量积定义：已知两个非零向量a, b。

作OA=a, OB=b,则角AOB称作向量a和向量b的夹角，记作〈a,b〉并规定0W〈a,b〉Wn定义：两个向量的数量积（内积、点积）是一个数量，记作ab。

向量公式大全

向量公式之蔡仲巾千创作设a=（x，y），b=(x'，y')。

1、向量的加法向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则。

AB+BC=AC。

a+b=(x+x'，y+y')。

a+0=0+a=a。

向量加法的运算律：交换律：a+b=b+a；结合律：(a+b)+c=a+(b+c)。

2、向量的减法如果a、b是互为相反的向量，那么a=-b，b=-a，a+b=0. 0的反向量为0AB-AC=CB. 即“共同起点，指向被减”a=(x,y) b=(x',y') 则 a-b=(x-x',y-y').4、数乘向量实数λ和向量a的乘积是一个向量，记作λa，且∣λa∣=∣λ∣•∣a∣。

当λ＞0时，λa与a同方向；当λ＜0时，λa与a反方向；当λ=0时，λa=0，方向任意。

当a=0时，对于任意实数λ，都有λa=0。

注：按定义知，如果λa=0，那么λ=0或a=0。

实数λ叫做向量a的系数，乘数向量λa的几何意义就是将暗示向量a的有向线段伸长或压缩。

当∣λ∣＞1时，暗示向量a的有向线段在原方向（λ＞0）或反方向（λ＜0）上伸长为原来的∣λ∣倍；当∣λ∣＜1时，暗示向量a的有向线段在原方向（λ＞0）或反方向（λ＜0）上缩短为原来的∣λ∣倍。

数与向量的乘法满足下面的运算律结合律：(λa)•b=λ(a•b)=(a•λb)。

向量对于数的分配律（第一分配律）：(λ+μ)a=λa+μa.数对于向量的分配律（第二分配律）：λ(a+b)=λa+λb.数乘向量的消去律：① 如果实数λ≠0且λa=λb，那么a=b。

② 如果a≠0且λa=μa，那么λ=μ。

3、向量的的数量积定义：已知两个非零向量a,b。

作OA=a,OB=b,则角AOB称作向量a和向量b的夹角，记作〈a,b〉并规定0≤〈a,b〉≤π 定义：两个向量的数量积（内积、点积）是一个数量，记作a•b。

若a、b不共线，则a•b=|a|•|b|•cos〈a，b〉；若a、b共线，则a•b=+-∣a∣∣b∣。

高一数学向量公式大全

高一数学向量公式大全一、向量的加法向量的加法是指将两个向量相加得到一个新向量的运算。

向量的加法满足交换律和结合律。

1. 两向量相加的定义：设向量a和向量b的起点相同，分别为点O，终点分别为点P 和点Q，则向量a和向量b的和向量c为：c=a+b，其起点为点O，终点为点R，R为向量a和向量b的终点所在的点。

2. 向量的加法满足交换律和结合律：交换律：a+b=b+a结合律：(a+b)+c=a+(b+c)二、向量的减法向量的减法是指将一个向量减去另一个向量得到一个新向量的运算。

向量的减法也满足交换律和结合律。

1. 两向量相减的定义：设向量a和向量b的起点相同，分别为点O，终点分别为点P 和点Q，则向量a和向量b的差向量c为：c=a-b，其起点为点O，终点为点R，R为向量a和向量-b的终点所在的点。

2. 向量的减法满足交换律和结合律：交换律：a-b=-(b-a)结合律：(a-b)+c=a-(b-c)三、数量积数量积又称为点积或内积，是两个向量的乘积的数量。

数量积的结果是一个标量（即实数），数量积满足交换律和分配律。

1. 两向量的数量积的定义：设向量a和向量b的夹角为θ，则向量a和向量b的数量积为：a·b=|a|·|b|·cosθ。

其中，|a|和|b|分别为向量a和向量b的模，θ为向量a和向量b的夹角。

2. 数量积满足交换律和分配律：交换律：a·b=b·a分配律：(k·a)·b=k·(a·b)四、向量积向量积又称为叉积或外积，是两个向量的乘积的向量。

向量积的结果是一个垂直于原来的两个向量的向量，其大小等于原来两个向量围成的平行四边形的面积。

向量积满足反交换律和分配律。

1. 两向量的向量积的定义：设向量a和向量b的夹角为θ，则向量a和向量b的向量积为：a×b=|a|·|b|·sinθ·n。

空间向量的计算公式

空间向量的计算公式
空间向量是指在三维空间中的向量，可以通过坐标表示。

假设有两个空间向量a和b，它们的坐标分别为(a1,a2,a3)和(b1,b2,b3)，那么它们的计算公式如下：
1.向量的加法：
a+b=(a1+b1,a2+b2,a3+b3)
2.向量的减法：
ab=(a1b1,a2b2,a3b3)
3.向量的数乘：
k*a=(k*a1,k*a2,k*a3)，其中k为实数
4.向量的数量积（点积）：
a·b=a1*b1+a2*b2+a3*b3
5.向量的向量积（叉积）：
a×b=(a2*b3a3*b2,a3*b1a1*b3,a1*b2a2*b1)
6.向量的模长（长度）：
||a||=√(a1^2+a2^2+a3^2)
这些公式可以用于求解空间向量的基本运算，通过这些公式可以计算出向量之间的加减、数乘、数量积、向量积和模长等
属性。

在实际问题中，可以应用这些公式来处理空间向量的计算和分析。

向量的所有公式

向量的所有公式
嘿呀，那咱就来讲讲向量的那些公式吧！
先来说说向量的加法公式，这不就像你把几堆糖果加在一起嘛！比如有向量 a = (1, 2)，向量 b = (3, 4)，那它们相加不就是(1+3, 2+4) = (4, 6)嘛！
还有向量的点积公式呢，这就好像两个人相互帮忙，得出的结果就是他们合作的成果！比如说向量 c = (2, 3)，向量 d = (4, 5)，它们的点积就是
2×4 + 3×5 = 8 + 15 = 23 呀！
向量的模长公式也很重要哦，就好比量一量一根绳子有多长！像向量 e = (3, 4)，它的模长就是根号下 3 的平方加 4 的平方，也就是 5 哦！
向量的叉积公式呢，这可神奇啦，就像是变魔术一样能得出个新的向量！哎呀，向量的公式真的是很有趣很实用呢，你说是不是呀？。

(完整版)向量公式大全

向量公式设a=（x，y），b=(x'，y')。

1、向量的加法向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则。

AB+BC=AC。

a+b=(x+x'，y+y')。

a+0=0+a=a。

向量加法的运算律：交换律：a+b=b+a；结合律：(a+b)+c=a+(b+c)。

2、向量的减法如果a、b是互为相反的向量，那么a=-b，b=-a，a+b=0. 0的反向量为0 AB-AC=CB. 即“共同起点，指向被减”a=(x,y) b=(x',y') 则 a-b=(x-x',y-y').4、数乘向量实数λ和向量a的乘积是一个向量，记作λa，且∣λa∣=∣λ∣•∣a∣。

当λ＞0时，λa与a同方向；当λ＜0时，λa与a反方向；当λ=0时，λa=0，方向任意。

当a=0时，对于任意实数λ，都有λa=0。

注：按定义知，如果λa=0，那么λ=0或a=0。

实数λ叫做向量a的系数，乘数向量λa的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩。

当∣λ∣＞1时，表示向量a的有向线段在原方向（λ＞0）或反方向（λ＜0）上伸长为原来的∣λ∣倍；当∣λ∣＜1时，表示向量a的有向线段在原方向（λ＞0）或反方向（λ＜0）上缩短为原来的∣λ∣倍。

数与向量的乘法满足下面的运算律结合律：(λa)•b=λ(a•b)=(a•λb)。

②如果a≠0且λa=μa，那么λ=μ。

3、向量的的数量积定义：已知两个非零向量a,b。

作OA=a,OB=b,则角AOB称作向量a和向量b的夹角，记作〈a,b〉并规定0≤〈a,b〉≤π定义：两个向量的数量积（内积、点积）是一个数量，记作a•b。

若a、b不共线，则a•b=|a|•|b|•cos〈a，b〉；若a、b共线，则a•b=+-∣a∣∣b∣。

向量公式大全13306

向量公式设a=（x，y），b=（x’,y’）。

1、向量的加法向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则。

AB+BC=AC。

a+b=(x+x’，y+y’)。

a+0=0+a=a。

向量加法的运算律：交换律：a+b=b+a；结合律：（a+b)+c=a+(b+c）。

2、向量的减法如果a、b是互为相反的向量，那么a=—b，b=—a，a+b=0。

0的反向量为0 AB—AC=CB. 即“共同起点,指向被减"a=(x，y) b=（x’，y’）则 a-b=（x-x',y-y').4、数乘向量实数λ和向量a的乘积是一个向量，记作λa，且∣λa∣=∣λ∣•∣a∣.当λ＞0时,λa与a同方向;当λ＜0时，λa与a反方向；当λ=0时，λa=0,方向任意。

当a=0时，对于任意实数λ，都有λa=0。

注：按定义知，如果λa=0，那么λ=0或a=0.实数λ叫做向量a的系数，乘数向量λa的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩。

当∣λ∣＞1时，表示向量a的有向线段在原方向(λ＞0）或反方向（λ＜0)上伸长为原来的∣λ∣倍；当∣λ∣＜1时，表示向量a的有向线段在原方向（λ＞0）或反方向（λ＜0）上缩短为原来的∣λ∣倍。

数与向量的乘法满足下面的运算律结合律：（λa）•b=λ（a•b）=（a•λb).向量对于数的分配律（第一分配律）：（λ+μ)a=λa+μa.数对于向量的分配律(第二分配律）：λ(a+b)=λa+λb。

数乘向量的消去律：①如果实数λ≠0且λa=λb，那么a=b.②如果a≠0且λa=μa，那么λ=μ。

3、向量的的数量积定义：已知两个非零向量a，b。

作OA=a，OB=b,则角AOB称作向量a和向量b的夹角，记作〈a,b〉并规定0≤〈a，b〉≤π定义：两个向量的数量积（内积、点积）是一个数量,记作a•b。

若a、b不共线，则a•b=|a|•｜b|•cos〈a，b〉；若a、b共线，则a•b=+—∣a∣∣b∣。

向量公式大全

向量公式之蔡仲巾千创作设a=（x,y）,b=(x',y').1、向量的加法向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则.AB+BC=AC.a+b=(x+x',y+y').a+0=0+a=a.向量加法的运算律：交换律：a+b=b+a；结合律：(a+b)+c=a+(b+c).2、向量的减法如果a、b是互为相反的向量,那么a=-b,b=-a,a+b=0. 0的反向量为0AB-AC=CB. 即“共同起点,指向被减”a=(x,y) b=(x',y') 则 a-b=(x-x',y-y').4、数乘向量实数λ和向量a的乘积是一个向量,记作λa,且∣λa∣=∣λ∣•∣a∣.当λ＞0时,λa与a同方向；当λ＜0时,λa与a反方向；当λ=0时,λa=0,方向任意.当a=0时,对任意实数λ,都有λa=0.注：按界说知,如果λa=0,那么λ=0或a=0.实数λ叫做向量a的系数,乘数向量λa的几何意义就是将暗示向量a的有向线段伸长或压缩.当∣λ∣＞1时,暗示向量a的有向线段在原方向（λ＞0）或反方向（λ＜0）上伸长为原来的∣λ∣倍；当∣λ∣＜1时,暗示向量a的有向线段在原方向（λ＞0）或反方向（λ＜0）上缩短为原来的∣λ∣倍.数与向量的乘法满足下面的运算律结合律：(λa)•b=λ(a•b)=(a•λb).向量对数的分配律（第一分配律）：(λ+μ)a=λa+μa.数对向量的分配律（第二分配律）：λ(a+b)=λa+λb.数乘向量的消去律：① 如果实数λ≠0且λa=λb,那么a=b.② 如果a≠0且λa=μa,那么λ=μ.3、向量的的数量积界说：已知两个非零向量a,b.作OA=a,OB=b,则角AOB称作向量a和向量b的夹角,记作〈a,b〉并规定0≤〈a,b〉≤π界说：两个向量的数量积（内积、点积）是一个数量,记作a•b.若a、b不共线,则a•b=|a|•|b|•cos〈a,b〉；若a、b共线,则a•b=+-∣a∣∣b∣.向量的数量积的坐标暗示：a•b=x•x'+y•y'.向量的数量积的运算律a•b=b•a（交换律）；(λa)•b=λ(a•b)(关于数乘法的结合律)；（a+b)•c=a•c+b•c（分配律）；向量的数量积的性质a•a=|a|的平方.a⊥b 〈=〉a•b=0.|a•b|≤|a|•|b|.向量的数量积与实数运算的主要分歧点1、向量的数量积不满足结合律,即：(a•b)•c≠a•(b•c)；例如：(a•b)^2≠a^2•b^2.2、向量的数量积不满足消去律,即：由a•b=a•c (a≠0),推不出 b=c.3、|a•b|≠|a|•|b|4、由 |a|=|b| ,推不出 a=b或a=-b.4、向量的向量积界说：两个向量a和b的向量积（外积、叉积）是一个向量,记作a×b.若a、b不共线,则a×b的模是：∣a×b∣=|a|•|b|•sin 〈a,b〉；a×b的方向是：垂直于a和b,且a、b和a×b按这个次第构成右手系.若a、b共线,则a×b=0.向量的向量积性质：∣a×b∣是以a和b为边的平行四边形面积.a×a=0.a‖b〈=〉a×b=0.向量的向量积运算律a×b=-b×a；（λa）×b=λ（a×b）=a×（λb）；（a+b）×c=a×c+b×c.注：向量没有除法,“向量AB/向量CD”是没有意义的.向量的三角形不等式1、∣∣a∣-∣b∣∣≤∣a+b∣≤∣a∣+∣b∣；① 当且仅当a、b反向时,左边取等号；② 当且仅当a、b同向时,右边取等号.2、∣∣a∣-∣b∣∣≤∣a-b∣≤∣a∣+∣b∣.① 当且仅当a、b同向时,左边取等号；② 当且仅当a、b反向时,右边取等号.定比分点定比分点公式（向量P1P=λ•向量PP2）设P1、P2是直线上的两点,P是l上分歧于P1、P2的任意一点.则存在一个实数λ,使向量P1P=λ•向量PP2,λ叫做点P分有向线段P1P2所成的比.若P1（x1,y1),P2(x2,y2),P(x,y),则有OP=(OP1+λOP2)(1+λ)；（定比分点向量公式）x=(x1+λx2)/(1+λ),y=(y1+λy2)/(1+λ).（定比分点坐标公式）我们把上面的式子叫做有向线段P1P2的定比分点公式三点共线定理若OC=λOA +μOB ,且λ+μ=1 ,则A、B、C三点共线三角形重心判断式在△ABC中,若GA +GB +GC=O,则G为△ABC的重心[编纂本段]向量共线的重要条件若b≠0,则a//b的重要条件是存在唯一实数λ,使a=λb. a//b的重要条件是 xy'-x'y=0.零向量0平行于任何向量.[编纂本段]向量垂直的充要条件a⊥b的充要条件是a•b=0.a⊥b的充要条件是 xx'+yy'=0.零向量0垂直于任何向量.。

向量公式大全13306

向量公式设a=（x，y)，b=（x’，y')。

1、向量的加法向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则。

AB+BC=AC。

a+b=(x+x’,y+y’).a+0=0+a=a。

向量加法的运算律：交换律：a+b=b+a；结合律:（a+b)+c=a+(b+c)。

2、向量的减法如果a、b是互为相反的向量，那么a=-b,b=—a，a+b=0. 0的反向量为0AB-AC=CB。

即“共同起点，指向被减”a=(x，y） b=（x',y'）则 a—b=（x—x',y-y’)。

4、数乘向量实数λ和向量a的乘积是一个向量，记作λa，且∣λa∣=∣λ∣•∣a∣.当λ＞0时，λa与a同方向；当λ＜0时，λa与a反方向；当λ=0时，λa=0，方向任意。

当a=0时，对于任意实数λ，都有λa=0。

注：按定义知，如果λa=0,那么λ=0或a=0。

实数λ叫做向量a的系数，乘数向量λa的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩.当∣λ∣＞1时,表示向量a的有向线段在原方向（λ＞0）或反方向（λ＜0)上伸长为原来的∣λ∣倍；当∣λ∣＜1时，表示向量a的有向线段在原方向（λ＞0)或反方向（λ＜0）上缩短为原来的∣λ∣倍。

数与向量的乘法满足下面的运算律结合律:（λa）•b=λ(a•b）=(a•λb）。

向量对于数的分配律（第一分配律）：（λ+μ)a=λa+μa。

数对于向量的分配律（第二分配律）：λ(a+b）=λa+λb。

数乘向量的消去律：①如果实数λ≠0且λa=λb,那么a=b。

②如果a≠0且λa=μa，那么λ=μ。

3、向量的的数量积定义:已知两个非零向量a，b。

作OA=a,OB=b,则角AOB称作向量a和向量b的夹角,记作〈a,b>并规定0≤〈a,b〉≤π定义：两个向量的数量积（内积、点积）是一个数量，记作a•b。

若a、b不共线,则a•b=｜a|•|b｜•cos<a,b〉；若a、b共线，则a•b=+—∣a∣∣b∣.向量的数量积的坐标表示:a•b=x•x'+y•y’。

向量公式大全

向量公式之五兆芳芳创作设a=（x，y），b=(x'，y').1、向量的加法向量的加法满足平行四边形法例和三角形法例.AB+BC=AC.a+b=(x+x'，y+y').a+0=0+a=a.向量加法的运算律：互换律：a+b=b+a；结合律：(a+b)+c=a+(b+c).2、向量的减法如果a、b是互为相反的向量，那么a=-b，b=-a，a+b=0. 0的反向量为0AB-AC=CB. 即“配合起点，指向被减”a=(x,y) b=(x',y') 则 a-b=(x-x',y-y').4、数乘向量实数λ和向量a的乘积是一个向量，记作λa，且∣λa∣=∣λ∣•∣a∣.当λ＞0时，λa与a同标的目的；当λ＜0时，λa与a反标的目的；当λ=0时，λa=0，标的目的任意.当a=0时，对于任意实数λ，都有λa=0.注：按定义知，如果λa=0，那么λ=0或a=0.实数λ叫做向量a的系数，乘数向量λa的几何意义就是将暗示向量a的有向线段伸长或压缩.当∣λ∣＞1时，暗示向量a的有向线段在原标的目的（λ＞0）或反标的目的（λ＜0）上伸长为原来的∣λ∣倍；当∣λ∣＜1时，暗示向量a的有向线段在原标的目的（λ＞0）或反标的目的（λ＜0）上缩短为原来的∣λ∣倍.数与向量的乘法满足下面的运算律结合律：(λa)•b=λ(a•b)=(a•λb).向量对于数的分派律（第一分派律）：(λ+μ)a=λa+μa.数对于向量的分派律（第二分派律）：λ(a+b)=λa+λb.数乘向量的消去律：①如果实数λ≠0且λa=λb，那么a=b.②如果a≠0且λa=μa，那么λ=μ.3、向量的的数量积定义：已知两个非零向量a,b.作OA=a,OB=b,则角AOB称作向量a和向量b的夹角，记作〈a,b〉并规则0≤〈a,b〉≤π 定义：两个向量的数量积（内积、点积）是一个数量，记作a•b.若a、b不共线，则a•b=|a|•|b|•cos〈a，b〉；若a、b 共线，则a•b=+-∣a∣∣b∣.向量的数量积的坐标暗示：a•b=x•x'+y•y'.向量的数量积的运算律a•b=b•a（互换律）；(λa)•b=λ(a•b)(关于数乘法的结合律)；（a+b)•c=a•c+b•c（分派律）；向量的数量积的性质a•a=|a|的平方.a⊥b 〈=〉a•b=0.|a•b|≤|a|•|b|.向量的数量积与实数运算的主要不合点1、向量的数量积不满足结合律，即：(a•b)•c≠a•(b•c)；例如：(a•b)^2≠a^2•b^2.2、向量的数量积不满足消去律，即：由a•b=a•c (a≠0)，推不出 b=c.3、|a•b|≠|a|•|b|4、由 |a|=|b| ，推不出 a=b或a=-b.4、向量的向量积定义：两个向量a和b的向量积（外积、叉积）是一个向量，记作a×b.若a、b不共线，则a×b的模是：∣a×b∣=|a|•|b|•sin〈a，b〉；a×b的标的目的是：垂直于a 和b，且a、b和a×b按这个次序组成右手系.若a、b共线，则a×b=0.向量的向量积性质：∣a×b∣是以a和b为边的平行四边形面积.a×a=0.a‖b〈=〉a×b=0.向量的向量积运算律a×b=-b×a；（λa）×b=λ（a×b）=a×（λb）；（a+b）×c=a×c+b×c.注：向量没有除法，“向量AB/向量CD”是没有意义的.向量的三角形不等式1、∣∣a∣-∣b∣∣≤∣a+b∣≤∣a∣+∣b∣；①当且仅当a、b反向时，左边取等号；②当且仅当a、b同向时，右边取等号.2、∣∣a∣-∣b∣∣≤∣a-b∣≤∣a∣+∣b∣.①当且仅当a、b同向时，左边取等号；②当且仅当a、b反向时，右边取等号.定比分点定比分点公式（向量P1P=λ•向量PP2）设P1、P2是直线上的两点，P是l上不合于P1、P2的任意一点.则存在一个实数λ，使向量P1P=λ•向量PP2，λ叫做点P分有向线段P1P2所成的比.若P1（x1,y1)，P2(x2,y2)，P(x,y)，则有OP=(OP1+λOP2)(1+λ)；（定比分点向量公式）x=(x1+λx2)/(1+λ),y=(y1+λy2)/(1+λ).（定比分点坐标公式）我们把上面的式子叫做有向线段P1P2的定比分点公式三点共线定理若OC=λOA +μOB ,且λ+μ=1 ,则A、B、C三点共线三角形重心判断式在△ABC中，若GA +GB +GC=O,则G为△ABC的重心[编辑本段]向量共线的重要条件若b≠0，则a//b的重要条件是存在唯一实数λ，使a=λb. a//b的重要条件是 xy'-x'y=0.零向量0平行于任何向量.[编辑本段]向量垂直的充要条件a⊥b的充要条件是a•b=0.a⊥b的充要条件是 xx'+yy'=0.零向量0垂直于任何向量.。

空间向量的所有公式。

空间向量的所有公式1. 向量的定义公式如果 A 和 B 是两个点，则向量 A B 可以用坐标表示为AB = (Bx - Ax)i + (By - Ay)j + (Bz - Az)k2. 向量的模长公式向量的模长表示向量的大小，可以使用以下公式计算|AB| = sqrt((Bx - Ax)^2 + (By - Ay)^2 + (Bz - Az)^2)3. 向量的加法公式设向量 A = (Ax, Ay, Az) 和 B = (Bx, By, Bz)，则 A + B 的结果可以表示为A +B = (Ax + Bx)i + (Ay + By)j + (Az + Bz)k4. 向量的减法公式设向量 A = (Ax, Ay, Az) 和 B = (Bx, By, Bz)，则 A - B 的结果可以表示为A -B = (Ax - Bx)i + (Ay - By)j + (Az - Bz)k5. 向量的数量积公式向量的数量积可以使用以下公式计算A ·B = |A| |B| cosθ其中 |A| 和 |B| 分别表示 A 和 B 的模长，θ 表示两个向量之间的夹角6. 向量的向量积公式向量的向量积可以使用以下公式计算A ×B = (AyBz - AzBy)i + (AzBx - AxBz)j + (AxBy - AyBx)k7. 向量的投影公式向量的投影表示一个向量沿着另一个向量的方向的分量，可以使用以下公式计算projAB = (A · B) / |B|其中 A 表示被投影向量，B 表示投影方向8. 向量的夹角公式向量的夹角可以使用以下公式计算cosθ = (A · B) / (|A| |B|)θ = acos((A · B) / (|A| |B|))其中 A 和 B 表示两个向量，θ 表示两个向量之间的夹角这些是空间向量的基本公式。

根据这些公式，可以进行向量的计算、分解等操作。

向量的运算法则公式

向量的运算法则公式1. 向量的加法。

向量的加法遵循以下法则：若有两个向量a和b，它们的加法表示为a + b，其结果为一个新的向量c。

c的每个分量等于a和b对应分量的和，即c = (a1 + b1, a2 + b2, ..., an + bn)。

2. 向量的减法。

向量的减法遵循以下法则：若有两个向量a和b，它们的减法表示为a b，其结果为一个新的向量c。

c的每个分量等于a和b对应分量的差，即c = (a1 b1, a2b2, ..., an bn)。

3. 向量的数量乘法。

向量的数量乘法遵循以下法则：若有一个向量a和一个标量k，它们的数量乘法表示为ka，其结果为一个新的向量b。

b的每个分量等于a对应分量乘以k，即b = (ka1, ka2, ..., kan)。

4. 向量的点积。

向量的点积遵循以下法则：若有两个向量a和b，它们的点积表示为a·b，其结果为一个标量c。

c等于a和b对应分量的乘积之和，即c = a1b1 + a2b2 + ... + anbn。

5. 向量的叉积。

向量的叉积遵循以下法则：若有两个三维向量a和b，它们的叉积表示为a×b，其结果为一个新的向量c。

c的每个分量分别为a和b的对应分量按照右手定则计算得出。

6. 向量的混合积。

向量的混合积遵循以下法则：若有三个三维向量a、b和c，它们的混合积表示为(a×b)·c，其结果为一个标量d。

d等于a、b和c构成的平行六面体的有向体积。

这些向量的运算法则是线性代数中的基本概念，它们在物理学、工程学、计算机图形学等领域中有着广泛的应用。

通过这些法则，可以对向量进行加法、减法、数量乘法、点积、叉积和混合积的运算，从而解决各种实际问题。

在实际应用中，向量的运算法则可以帮助我们描述物体的运动、力的作用、空间的几何关系等。

例如，在物理学中，利用向量的加法可以描述多个力合成的结果；利用向量的点积可以计算功和投影；利用向量的叉积可以描述力矩和磁场等。

平面向量的全部公式。

平面向量的全部公式1. 向量表示：设向量AB的起点为A，终点为B，则向量AB可以表示为位置向量OB - OA，即AB = OB - OA。

2. 向量的模：向量AB的模表示为|AB|，即向量AB的长度。

设向量AB的坐标表示为(ABx, ABy)，则有|AB| = sqrt(ABx^2 + ABy^2)。

3. 向量的加法：设向量AB和向量CD的坐标分别为(ABx, ABy)和(CDx, CDy)，则有向量AB + 向量CD的坐标表示为(ABx + CDx, ABy + CDy)。

4. 向量的减法：设向量AB和向量CD的坐标分别为(ABx, ABy)和(CDx, CDy)，则有向量AB - 向量CD的坐标表示为(ABx - CDx, ABy - CDy)。

5. 数乘：设向量AB的坐标表示为(ABx, ABy)，k为常数，则有向量kAB的坐标表示为(k * ABx, k * ABy)。

6. 单位向量：模为1的向量称为单位向量。

设向量AB的模为1，则向量AB 为单位向量。

7. 向量的点乘：设向量AB和向量CD的坐标分别为(ABx, ABy)和(CDx, CDy)，则向量AB与向量CD的点乘表示为AB · CD = ABx * CDx + ABy * CDy。

8. 向量的夹角：设向量AB和向量CD分别为非零向量，夹角为θ，则有以下关系：AB · CD = |AB| * |CD| * cos(θ)。

以上是平面向量的一些基本公式，通过这些公式可以进行向量的运算和分析。