导数之数列型不等式证明

函数与导数解答题之数列型不等式证明

例1.已知函数()()ln 3f x a x ax a R =--∈

(1)讨论函数)(x f 的单调性;

(2)证明:*1111ln(1)()23n n N n +

+++>+∈ (3)证明:()*ln 2ln 3ln 4ln 5ln 12,2345n n n N n n ⋅⋅⋅<≥∈ (4)证明:()*22222ln 2ln 3ln 4ln 5ln 112,23452n n n n n N n n +⎛⎫⋅⋅⋅<⋅≥∈ ⎪⎝⎭

(5)证明:()444442

*44444ln 2ln 3ln 4ln 5ln (1)2,23454n n n n N n n

+⋅⋅⋅<≥∈ (6)求证:()()()

()222222121ln 2ln 3ln ...2,2321n n n n n N n n *-++++<≥∈+ (7)求证:()22221111111...12482n e n N *⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+

+++<∈ ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭

例2.已知函数2()ln(1)f x a x ax x =+--.

（1）若1x =为函数()f x 的零点，求a 的值；

（2）求()f x 的极值；

（3）证明：对任意正整数n ，2

22134232)1ln(n n n +++++

<+ .

例3．已知函数()x

f x e ax a =--（其中,a R e ∈是自然对数的底数， 2.71828e =…）. （1）当a e =时，求函数()f x 的极值；（II ）当01a ≤≤时，求证()0f x ≥；

（2）求证：对任意正整数n ，都有2111111222n e ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+

+⋅⋅⋅+< ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.

例4.设函数()ln 1f x x px

（1）求函数()f x 的极值点；

（2）当p ＞0时，若对任意的x ＞0，恒有0)(≤x f ，求p 的取值范围；

（3）证明：).2,()1(212ln 33ln 22ln 2222222≥∈+--<+++n N n n n n n

n

例5.已知函数()ln 1f x x x =-+｡

(1)求()f x 的最大值;

(2)证明不等式:()*121n n n n e n N n n n e ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++<∈ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭

⎝⎭

例6.已知函数()()2

ln 1f x x x =-+ (1)当0x >时,求证:()3

;f x x < (2)当n N *∈时,求证:

()33311111511...23421n

k f k n n n =⎛⎫<++++≤- ⎪+⎝⎭∑

例7.设函数()2

()ln(1)0f x x m x m =++≠ (1)若12m =-,求)(x f 的单调区间;

(2)如果函数)(x f 在定义域内既有极大值又有极小值,求实数m 的取值范围;

(3)求证:对任意的*N n ∈,不等式311ln n

n n n ->+恒成立｡

例8.已知函数()ln(1)(1)1()f x x k x k =---+∈R ,

(1)求函数()f x 的单调区间;

(2)若()0f x ≤恒成立,试确定实数k 的取值范围;

(3)证明:

ln 2ln 3ln (1)3414

n n n n -+++<+(),1n N n ∈>.

例9.已知函数)0()(>++=a c x

b ax x f 的图像在点))1(,1(f 处的切线方程为1-=x y ｡ (1)用a 表示出

c b ,;

(2)若x x f ln )(≥在),1[+∞上恒成立,求a 的取值范围;

(3)证明:)1()

1(2)1ln(131211≥+++>++++

n n n n n .

例10.已知函数2()2ln 1f x a x x =-+｡

(1)当1a =时,求函数()f x 的单调区间及()f x 的最大值;

(2)令()()g x f x x =+,若()g x 在定义域上是单调函数,求a 的取值范围; (3)对于任意的*2,n n N ≥∈,试比较22222ln 2ln 3ln 4ln 5ln n

+++++与232(1)n n n n --+的大小并证明你的结论｡