2019北京中考数学专题训练-4.“新定义“代数与几何综合应用(10道)

“新定义”代数与几何综合应用 类型一 新定义函数的综合题

1.对于关于x 的一次函数y =kx +b （k ≠0），我们称函数y [m ]=()

()kx b x m kx b x m +≤⎧⎨-->⎩

，为

它的m 分函数（其中m 为常数）．

例如，y =3x +2的4分函数为：当x ≤4时，y [4]=3x +2；当x ＞4时，y [4]=-3x -2． （1）如果y =-x +1的2分函数为y [2]，

①当x =4时，y [2]= ；②当y [2]=3时，x = ．

（2）如果y =x +1的-1分函数为y [-1]，求双曲线y =2x

与y [-1]的图象的交点坐标；

（3）设y =-x +2的m 分函数为y [m ]，如果抛物线y =x 2与y [m ]的图象有且只有一个公共点，直接写出m 的取值范围．

解：（1）y =-x +1的2分函数为：当x ≤2时，y [2]=-x +1；当x ＞2时，y [2]=x -1． 当x =4时，y [2]=4-1=3， 当y [2]=3时，

如果x ≤2，则有，-x +1=3， ∴x =-2，

如果x ＞2，则有，x -1=3， ∴x =4;

（2）当y =x +1的-1分函数为y [-1]， ∴当x ≤-1时，y [-1]=x +1①， 当x ＞-1时，y [-1]=-x -1②， ∵双曲线y =2x

③， 联立①③解得，12x y =⎧⎨

=⎩（舍）,2

1

x y =-⎧⎨=-⎩， ∴双曲线y =2

x 与y [-1]的交点坐标为（-2，-1）， 联立②③时，方程无解，

∴双曲线y=2

x

与y[-1]的图象的交点坐标（-2，-1）；

（3）∵y=-x+2的m分函数为y[m]，

∴x≤m时，y[m]=-x+2①，

当x＞m时，y[m]=x-2②，

∵抛物线y=x2③与y[m]的图象有且只有一个公共点，

联立①③，则有x2=-x+2，

∴x=-2，或x=1，

∵只有一个公共点，

∴-2≤m＜1,

联立②③，则有x2=x-2，

∴此方程无解;

综上，m的取值范围为-2≤m＜1.

2.在平面直角坐标系xOy中，对于点P（x，y）和Q（x，y′），给出如下定义：

若y′=

(0)

(0)

y x

y x

≥

⎧

⎨

-<

⎩

，则称点Q为点P的“可控变点”．

例如：点（1，2）的“可控变点”为点（1，2），点（-1，3）的“可控变点”为点（-1，-3）．

（1）点（-5，-2）的“可控变点”坐标为；

（2）若点P在函数y=-x2+16的图象上，其“可控变点”Q的纵坐标y′是7，求“可控变点”Q的横坐标；

（3）若点P在函数y=-x2+16（-5≤x≤a）的图象上，其“可控变点”Q的纵坐标y′的取值范围是-16≤y′≤16，求实数a的值．

解：（1）∵-5＜0，∴y′=-y=2，即点（-5，-2）的“可控变点”坐标为（-5，2）；（2）如解图①，

第2题解图①

由题意，得y =-x 2+16的图象上的点P 的“可控变点”必在函数

y ′=2216(0)16(0)

x x x x ⎧-+≥⎪⎨-<⎪⎩的图象上， ∵“可控变点”Q 的纵坐标y ′是7， ∴当x >0,即-x 2+16=7时，解得x =3， 当x <0,即x 2-16=7时，解得x =-23. 综上，“可控变点”Q 的横坐标为3或-23;

（3）由题意，得 y =-x 2+16的图象上的点P 的“可控变点”必在函数

y ′=2216(0)16(0)

x x x x ⎧-+≥⎪⎨-<⎪⎩的图象上，如解图②，

第2题解图②

当x =-5时，x 2-16=9， ∵y ′=x 2-16＞-16（x ＜0）， ∴y ′=-16在y ′=-x 2+16（x ≥0）上， ∴-16=-x 2+16， ∴x =42，

∴实数a 的值为42.

3.平面直角坐标系xOy 中，点1(A x ，1)y 与2(B x ，2)y ，如果满足120x x +=，

120y y -=，其中12x x ≠，则称点

A 与点

B 互为反等点．

已知：点C(3，4)

（1）下列各点中，点与点C互为反等点；

D(-3，-4) E（3，4）F（-3，4）

（2）已知点G（-5，4），连接线段CG，若在线段CG上存在两点P，Q 互为反等点，求点P的横坐标

x的取值范围；

p

（3）在平面直角坐标系中，已知⊙O的半径为r，若⊙O与（2）中线段CG的两个交点互为反等点，求r的取值范围．

第3题图

解：（1）F（-3，4）；

【解法提示】∵3+（-3）=0，4-4=0

∴点（-3，4）与点（3，4）互为相反等点．

（2）由于点C与点F互为反等点．

又∵点P，Q是线段CG上的反等点，

∴点P的横坐标x P的取值范围为：-3≤x P≤3，且x p≠0．

（3）①当⊙O与CG相离时，此时r<4，⊙O与线段CG没有交点；

②当⊙O与CG相切时，如解图①，此时r=4，⊙O与线段CG只有一个交点；

③当⊙O与CG相交于点C时，如解图②，此时r=32

+=5．⊙O与线段

34

CG有交点；

图①图②