实变函数课程

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实变函数的课程设计

实变函数的课程设计一、课程目标知识目标：1. 理解实变函数的基本概念，掌握函数的极限、连续性、可导性等性质；2. 学会运用实变函数的理论和方法分析具体问题，解决与实变函数相关的高年级数学问题；3. 掌握实变函数的积分理论，包括黎曼积分和勒贝格积分，并能够运用积分工具解决实际问题。

技能目标：1. 培养学生运用数学符号和语言准确表达问题和论证的能力；2. 培养学生独立思考和解决问题的能力，提高数学逻辑推理和数学分析技能；3. 通过解决实际问题的案例，锻炼学生将理论应用于实践的能力。

情感态度价值观目标：1. 培养学生对实变函数学科的兴趣和好奇心，激发其深入探索数学领域的热情；2. 培养学生严谨、细致的学术态度，形成科学的研究方法和思维方式；3. 通过小组讨论和合作，培养学生的团队协作精神和沟通能力，使其在学术和人际交往中更加自信。

课程性质分析：实变函数是数学专业高年级的一门核心课程，具有理论性强、逻辑严密的特点，旨在培养学生的高级数学思维和分析能力。

学生特点分析：学生已具备一定的高等数学基础，具有较强的逻辑思维能力和问题解决能力，但可能对实变函数的抽象概念和理论体系感到困难。

教学要求：结合学生特点，采用案例教学、小组讨论等方法，注重理论与实践相结合，帮助学生克服学习难点，实现课程目标的具体学习成果分解和达成。

二、教学内容1. 实变函数的基本概念：包括函数的表示、集合的极限、连续性、可导性等；- 教材章节：第一章实变函数的基本概念2. 实变函数的微分与积分：探讨函数的微分法则、微分的应用，以及黎曼积分和勒贝格积分的定义、性质与应用；- 教材章节：第二章微分与积分3. 函数序列与函数项级数的收敛性：研究函数序列和函数项级数的收敛性及其判别法；- 教材章节：第三章函数序列与函数项级数4. 实变函数的Fourier分析：介绍Fourier级数及其收敛性，探讨周期和非周期函数的Fourier变换；- 教材章节：第四章 Fourier分析5. 实变函数在物理、信号处理等领域的应用：通过实际案例，展示实变函数理论在实际问题中的应用；- 教材章节：第五章实变函数的应用教学进度安排：1. 基本概念（2周）：引入实变函数的基本概念，分析函数的极限、连续性、可导性等；2. 微分与积分（3周）：研究实变函数的微分法则、微分的应用，以及黎曼积分和勒贝格积分；3. 函数序列与级数（3周）：探讨函数序列与函数项级数的收敛性及其判别法；4. Fourier分析（4周）：介绍Fourier级数及其收敛性，研究周期和非周期函数的Fourier变换；5. 应用案例（2周）：分析实变函数在物理、信号处理等领域的具体应用。

实变函数期末课程设计

实变函数期末课程设计一、课程目标知识目标：1. 学生能理解实变函数的基本概念，掌握其性质和运算规则。

2. 学生能运用实变函数的相关理论，分析并解决实际问题。

3. 学生能掌握实变函数的极限、连续性、可导性等基本性质，并能够运用这些性质进行函数分析。

技能目标：1. 学生能够运用实变函数的理论和技巧，解决数学问题，提高数学思维能力。

2. 学生能够运用数学软件或工具，对实变函数进行图像绘制和分析，培养实际操作能力。

3. 学生能够通过小组讨论和合作，提出问题、解决问题，提高团队协作能力。

情感态度价值观目标：1. 学生通过学习实变函数，培养对数学学科的兴趣和热情，形成积极的学习态度。

2. 学生在学习过程中，学会面对困难和挑战，培养坚持不懈、勇于探索的精神。

3. 学生能够认识到数学在自然科学和社会科学等领域的重要应用，增强数学学习的实用性和责任感。

课程性质：本课程为数学专业高年级的实变函数课程，旨在帮助学生建立扎实的数学基础，提高数学分析和解决问题的能力。

学生特点：学生具备一定的数学基础，具有一定的抽象思维能力，但对实变函数的理解和应用尚需加强。

教学要求：教师需结合学生特点，采用启发式教学，引导学生主动思考、探究和实践，注重培养学生的创新能力和实际应用能力。

通过本课程的学习，使学生达到上述具体的学习成果。

二、教学内容本课程教学内容主要包括以下几部分：1. 实变函数基本概念：函数的表示方法、集合的度量、实数和实变函数的定义等。

- 教材章节：第一章实变函数及其表示2. 实变函数的性质与运算：单调性、奇偶性、周期性、复合函数、反函数等。

- 教材章节：第二章实变函数的性质与运算3. 实变函数的极限与连续性：数列极限、函数极限、连续函数、有界性、保号性等。

- 教材章节：第三章极限与连续性4. 实变函数的可导性与微分：导数定义、求导法则、微分、高阶导数等。

- 教材章节：第四章可导性与微分5. 实变函数的应用：求解方程、不等式、最值问题，以及实际问题中的应用等。

实变函数PPT

第一讲
1. 集合运算的基本性质定理 1 (1) A A A , A A A (2) A A, A A, A A (3) A B B A, A B B A
(4) A B C A B C , A B C A B C
(5) A B C A B A C (6) A B C A C B C
第一讲
一．言归正传
第1章集合
§1.1 集合的运算
一．集合的定义及其运算
1. 集合运算的定义
m
(1) 并： A B ， An ， An ， A
n 1
n 1
(2) 交： A B ， m ， An An ， A
n 1
n 1
(3) 差： A B
(4) 补：设 A S ，则 Cs A : S A
❖
（1）《微积分》或《数学分析》中讨论的函数都是比较好的函数，即
没有太多的间断点，基本上是连续函数，这些函数都有很好的可微性与可
积性，但在实际应用（理论与工程应用）中的函数一般都没有这样好的性
质。例如著名的Dirichlet函数。
D
x
1, 0,
x是0，1中的有理数 x是0，1中的无理数
在《数学分析》中，这个函数在0，1 的每一点不可微，在0，1
(9’)
S
A
S A
(10’)
S
A
S A
第一讲
一．集合序列的上、下限集
定义 1.
假设An 是一列集合，称集合
Am
为序列
An
的
n1 mn
上限集，记作
lim
x
An
或
lim
x
sup
An
；称集合

实变函数论第三版PPT课件

N 1 n N n 1

n
24
单调减集列极限分析
lim A (lim inf
n n n
An )
lim A (lim sup A )
n n n n
{x : N , n N , 有x An } An
N 1 n N
{x : N , n N , 使x An } An
limA
n
n
A
22
单调增集列极限
若集列 {An }满足An An1 (n N ),则称{An }为单调增加 ; 若集列 {An }满足An An1 (n N ),则称{An }为单调减少 ;
定理 9 ：单调集列是收敛的
1)若{ An }单调增加, 则 lim An An ;
1．集合的几种表示法
我们在诸如《数学分析》等前期课程中已接触过集合这个概念，所谓集合，指的是具有某种特定性质的对象的全体，通常用大写英文字母 A，B，X，Y…等表示；集合中的每个对象称为该集合的元素。一般说来，我们总用小写字母a,b,x,y…表示集合中的元素。
3
集合及其运算
对于集合 A ，某一对象 x 如果是 A 的元素，则称 x 属于A，记作 x A ；如果x不是A的元素，则称x 不属于A，记
{x : N , n N , 有x An } An
N 1 n N
26

例
1 1 1 设A2n1 [ 1 , 4 ], A [ , 1 2n n n n n ], n N , 则
A [0,4) n lim
n
limA
n
n
(0,1]
x A或x A

《实变函数论》课程主要内容

《实变函数论》课程主要内容第一章集合1、集合的并、交、差运算；余集和De Morgan 公式；上极限和下极限；练习： ①证明()()A B C A BC --=-； ②证明11[][]n E f a E f a n∞=>=≥+； 2、对等与基数的定义及性质；练习： ①证明(0,1)； ②证明(0,1)[0,1]；3、可数集的定义与常见的例；性质“有限个可数集合的直积是可数集合”与应用；可数集合的基数；练习： ①证明直线上增函数的不连续点最多只有可数多个；②证明平面上坐标为有理数的点的全体所成的集合为一可数集； ③Q = ；④[0,1]中有理数集E 的相关结论；4、不可数集合、连续基数的定义及性质；练习： ①(0,1)= ； ②P = （P 为Cantor 集）；5、第一章所布置的作业。

第二章点集1、度量空间，n 维欧氏空间中有关概念2、，聚点、界点、内点的概念、性质及判定（求法）；开核，导集，闭包的概念、性质及判定（求法）；3、开集、闭集、完备集的概念、性质；直线上开集的构造；4、Cantor集的构造和性质；5、练习：①P =，P'=，P=；②111,,,,2n'⎧⎫⎨⎬⎩⎭= ；6、第二章所布置的作业。

第三章测度论1、外测度的定义和基本性质（非负性，单调性，次可数可加性）；2、可测集的定义与性质（可测集类关于可数并，可数交，差，余集，单调集列的极限运算封闭）；可数可加性（注意条件）；3、零测度集的例子和性质；4、可测集的例子和性质；练习：①mQ=，mP=；②零测度集的任何子集仍为零测度集；③有限或可数个零测度集之和仍为零测度集；④[0,1]中有理数集E的相关结论；5、存在不可测集合；6、第三章所布置的作业。

第四章可测函数1、可测函数的定义，不可测函数的例子；练习：①第四章习题3；2、可测函数与简单函数的关系；可测函数与连续函数的关系（鲁津定理）；3、叶果洛夫定理及其逆定理；练习：①第四章习题7；4、依测度收敛的定义、简单的证明；5、具体函数列依测度收敛的验证；6、依测度收敛与几乎处处收敛的关系，两者互不包含的例子；7、第四章所布置的作业。

实变函数课程教学大纲

《实变函数》课程教学大纲课程编号：0112207课程性质：主要专业课（必修课）适用专业：数学与应用数学专业（师范类本科）开设学期：第四学期一、课程教学目的与任务1、本课程是上饶师范学院数学计算机系数学与应用数学专业的一门必修课程,它的任务是使学生掌握近代抽象分析的基本思想，掌握点集、测度、可测函数、Lebesgue积分等知识，加深对数学分析及中学数学有关内容的理解，是进一步学习数学与应用数学专业的其它高年级课程的基础，也是钻研现代数学理论打下初步基础。

2、本课程的基本要求：通过本课程的讲授与作业应使学生对点集、测度、可测函数、Lebesgue积分等思想和方法有较深刻的认识,基本上掌握实变函数中的论证方法，能比较熟练地应用测度论的观点来分析和解决问题。

3、本课程的重点和难点：可数集合；点集；可测集；可测函数；Lebesgue积分。

难点：可测函数；Lebesgue积分。

二、与各课程的联系是学习概率论与数理统计、泛函分析等后继课程的基础三、教学时数及分配总学时 18 4=72 其中讲授 57学时习题等 15 等学时四、讲授内容与要求（分章节）第一章集合(13学时)1、学目的和要求：让学生理解上限集和下限集、对等与基数、可数集合的性质、不可数集合的性质等。

2、教学内容：1 ) 集合的概念、集合的运算、上限集和下限集、收敛集列。

（2学时）2) 对等的概念、性质、Bernstein定理。

（3学时）3 ) 可数集合的定义、性质、基数的含义、常见的一些可数集。

（3学时）4) 不可数集合的定义、连续基数、不可数集的性质和常见的一些不可数集（2学时）5）半序集和曹恩引理、习题课（3学时）第二章点集(11学时)1、教学目的和要求：让学生理解度量空间、聚点、内点、界点、开集、闭集、完备集的定义，掌握常见的度量空间，理解聚点、内点、界点、开集、闭集、完备集性质，以及直线上的开集、闭集、完备集的构造。

2、教学内容：1）度量空间、常见的度量空间的例子和邻域的定义和性质、有界点集等。

实变函数课件

CHAPTER
实变函数在物理学中的应用
描述电磁场
通过实变函数，可以精确地描述电磁场的分布和变化，为电磁学的研究提供数学工
具。
解决偏微分方程
实变函数可用于解决物理学中的偏微分方程，如波动方程、热传导方程等，从而揭示物理现象的数学规律。
量子力学
在量子力学中，实变函数被用于描述粒子的波函数，揭示微观粒子的运动规律。
微观经济学
实变函数可用于描述消费者的效用函数和生产者的成本函数，揭示微观经济行为的数学规
律。
宏观经济学
通过实变函数，可以建立宏观经济模型，分析经济增长、通货膨胀等宏观经济现象的数学
机制。
金融数学
实变函数在金融数学中有广泛应用，如期权定价、投资组合优化等，为金融市场的分析和
决策提供支持。
谢谢
积分的不等式与估计
介绍积分不等式和估计的基本方法，如Holder不等式、 Minkowski不等式、Chebyshev不等式等，并举例说明其应用。
05 实变函数的微分学
CHAPTER
导数与微分的概念
导数定义
详细阐述实变函数导数的定义及其几何意义，包括左导数、右导数和导函
数等概念。
可导性判定
介绍判断函数在某点是否可导的方法，包括利用定义、导函数连续性等。
与连续性的区别
一致连续性是函数在整个区间上的性质，而连续性是函数在一点或一些点上的性质。一致连续的函数在整个区间上具有“均匀”的连续性，即函数值的变化不会太快或太慢。
性质
一致连续的函数具有有界性、可积性等性质。
04 可测函数与积分
CHAPTER
可测函数的概念与性质
可测函数的定义
详细解释可测函数的定义，包括在给定集合上的函数及其相关性质。

实变函数课程教学大纲

实变函数课程教学大纲一、课程说明：1、课程性质：本课程是数学系基础课，为数学系本科学生所必修，也是微积分的进一步深化，这部分内容为学生进一步学习其它数学分支如泛函分析，函数论，微分方程，概率论和科学研究提供必不可少的基础知识。

它是一学期课程，学时数的安排为：一学期68=174课时，其中习题课17课时。

2、本课程的教学目的与要求：通过实变函数这一学科的学习，应使学生较好的掌握测度与积分这个基本的数学工具，特别是极限与积分顺序的交换。

并且在一定程度上掌握集的分析方法。

通过这门学科的教学，要加强对学生的抽象思维能力，逻辑推理能力的培养。

在某些与中学教材相关的教学内容中，要引导学生在学习新知识的同时要加深对相关的中学教材的内容及背景的理解，使他们在今后的教学实践能用较高的观点处理中学教材。

为培养成人师范学生较强的教学能力打下坚实的基础。

3、先行或后继课程：实变函数是第五学期开设的专业必修课。

是在数学分析的基础上发展而成，同时本课程又用到了高等代数和解几何中的一些基本知识。

它的后继课程课有概率统计、泛函分析、点集拓扑等。

4、教学时数分配表：章节目录第一节．集合与子集合第二节．集合的运算第三节．映射与基数第一章第四节．Rn中点与点之间的距离某点集的极限点集合n与点集第五节．R中基本点集：闭集、开集、Borel集、Cantor集第六节．某连续变换与可测集习题课第二章第一节．点集的Lebegue外测度课时分配11421341(选学)415110Lebegue第二节．可测集与测度441112测度第三节．可测集与Borel 集的关系第四节．正测度与矩体的关系第五节．不可测集第六节．某连续变换与可测集习题课第一节．可测函数的定义及其性质484462462416第三章第二节．可测函数列的收敛可测函数第三节．可测函数与连续函数的关系习题课第一节．非负可测函数的积分第二节.一般可测函数的积分第四章Lebegue第三节．可积函数与连续函的性质第四节.Lebegue积分与Riemann积分的性质第五节.重积分与累次积分的关系习题课总课时数积分685、使用教材：普通高等教育“九五”教育部重点教材北京大学出版社，周民强编著《实变函数论》。

实变函数课程基本信息

感谢您的观看
THANKS
实变函数课程基本信息
目录
• 课程简介 • 实变函数的定义与性质 • 实变函数的积分与微分 • 实变函数的极限与连续性 • 实变函数的学习方法与建议
01
课程简介
课程背景
01
实变函数是数学专业的一门重要课程，是进一步学习泛函分析、概率论等课程的基础。
02
该课程主要介绍实变函数的定义、性质、积分、微分等基本概念和定理，以及其在数学分析中的应用。
03
微分计算
实变函数的微分可以通过导数的基本公式、链式法则、乘积法则等计算方法进行计算。
04
微分应用
实变函数的微分在求函数极值、优化问题、近似计算等领域有着广泛的应用。
实变函数积分与微分的关系
微积分基本定理
实变函数的积分和微分之间存在密切的联系，微积分基本定理是它们之间的桥梁。
导数的积分
连续的性质
连续函数具有局部有界性、局部保序性、介值定理和零点定理等性质。
实变函数极限与连续性的关系
1
极限与连续的关联
实变函数的极限和连续性是密切相关的概念。函数的连续性可以由其极限性质推导出来，而函数的极限性质也可以通过连续性来研究。
2
连续不一定有极限
虽然连续函数在其定义域内每一点都存在极限，但并不是所有函数都满足这一性质。例如，狄利克雷函数在某些点处不具有极限。
如果一个函数在某区间上可积，那么它的积分函数在该区间上的导数等于原函数在该区
间上的值。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
积分的导数
如果一个函数在某区间上可导，那么它的导数在该区间上的积分等于原函数在该区间上的增量。
微分与积分的关系

实变函数课程教学的几点体会

实变函数课程教学的几点体会实变函数课程是一门理论性和应用性都很强的专业基础课。

学好它不仅对本专业学习和工作有重要意义，而且还对整个自然科学的发展和技术进步有重大影响。

从内容上看，实变函数内容包括了初等函数与数列极限、连续函数的概念及其性质、解析函数的概念及其性质、多元函数的偏导数与全微分、多元函数的微分法、隐函数存在定理与泰勒公式、复合函数与反函数、洛必达法则、函数极值、最大（小）值原理、函数的单调性与极值、极坐标系与参数方程、特殊函数、广义积分、曲线积分与曲面积分等知识。

从教学内容的深度和广度来说，它要求学生掌握自变量的分布，求函数极限的方法，解析和隐函数存在定理的应用等重要知识点。

因此，学好这门课程是非常重要的，可以帮助我们解决许多实际问题，具有非常重要的现实意义。

但是，该课程也存在着许多的难点，给教师的教学带来了困难，如何让学生既学得轻松又学得扎实呢？这需要我们每位任课老师在今后的教学中不断探索、改革和创新。

根据多年的教学经验，我认为只要处理好以下几个关系，就能取得较好的教学效果：学好这门课程需要学生具有极强的抽象思维能力、观察事物的敏锐性和综合运用所学知识分析问题解决问题的能力，这些能力的培养是贯穿于整个教学过程的始终。

在授课过程中，老师应注意结合大学数学知识和相关知识，不仅从定义的角度引出问题，同时应通过实例或习题来使抽象的概念形象化，加深学生对问题的理解。

在教学中，适当介绍一些研究实变函数的学者的背景资料，以激发学生的学习兴趣，提高他们的钻研精神，也可以适当地介绍一些数学史方面的知识，以激励学生继承前人的优良传统，鼓励学生勇于开拓。

教师还应注意将理论知识与生活实际联系起来，鼓励学生用所学知识去解释日常生活中的现象，进行开放式的讨论，增强学生的动手操作能力。

教学中，尽量避免过多地使用习题，更不应该把学生搞得太疲劳，应结合教学内容安排适当的课堂练习。

平时作业，除作业题外，最好由老师精心选择一些综合性比较强的题目，这样不仅可以促进学生对知识的融会贯通，加深对知识的理解，同时也可以训练学生的逻辑推理能力。

《实变函数论》课程教学标准

《实变函数论》课程教学标准第一部分：课程性质、课程目标与要求《实变函数论》课程，是我院数学与应用数学本科专业的必修课程，是数学分析课程的继续和提高，也是进—步学习其他课程(例如概率论、泛函分析、傅立叶分析等)的基础,是系统地培养数学及其应用人才的重要的专业主干课程之一。

本课程的目的是培养学生具有抽象思维能力、逻辑推理能力和综合运用所学的知识分析和解决问题的能力。

通过系统的学习与严格的训练，使学生全面掌握实变函数论的基本理论知识,掌握实变函数论的基本方法，使学生在实分析方面具有较强的分析和解决问题的能力。

实变函数论的教学除体现本课程严格的逻辑体系外，也要反映现代数学的发展趋势，吸收和采用现代数学的思想观点与先进的处理方法，提高学生的数学修养。

在实变函数论的教学中，应强化实变函数论与相邻学科之间的联系，强调应用背景，充实理论的应用性内容。

教学时间应安排在第五学期。

建议在条件允许的情况下，介绍利用常用的数学软件解决数学问题的基本方法和技能，使学生初步体会计算机在解决数学及其应用问题的重要作用，增强使用数学方法和计算机解决问题的意识和能力。

第二部分：教材与学习参考书本课程拟采用由华中科技大学胡适当耕等人编写的、高等教育出版社1999年出版的《实变函数论》一书，作为本课程的主教材。

为了更好地理解和学习课程内容，建议学习者可以进一步阅读以下几本重要的参考书：1.实变函数，周民强，北京大学出版社，1996年第二版2.实变函数论，江泽坚、吴智泉，高等教育出版社，1994年第二版3.实变函数与泛函分析基础，程其襄、张奠宙等，高等教育出版社，1988年第二版4.实变函数与泛函分析（上册），夏道行、严绍宗等，高等教育出版社，1985年第二版5.实变函数论，那汤松，高等教育出版社，1958年第三部分：教学内容纲要和课时安排第一章集与点集本章介绍集合的概念及其运算，应用集的对等引进了集的基数的概念，在中引进几种重要类型的点，并引进几种重要类型的点集，阐明它们的本质特征以及彼此之间的区别与联系，给出开集（闭集）的结构定理.通过这一章的学习，学习者要学会求集合列的上、下极限；判断两集合的对等，求集合的基数，判断集合的可数性，掌握开集、闭集、完备集、稠集、疏集、Gδ型集和Fσ型集的概念及其性质，会求一个点集的内部、导集、闭包、边界；掌握Cantor集P的结构和性质.本章的主要教学内容（教学时数安排：14学时）：§1.1集合及其运算§1.2映射§1.3基数与可数性§1.4n R中的点集§1.5开集的结构、连续性§1.6关于n维点集的基本定理第二章测度与可测函数本章引进Lebesgue测度与抽象测度的概念，给出测度的主要性质；引进可测函数的概念，讨论可测函数的性质；讨论可测函数与连续函数之间的关系，给出可测函数的结构；讨论可测函数列的几种不同类型的收敛性概念及其相互关系。

实变函数教材

目录1．数论的内容......... ... (3)2．实变函数论的特点......... (4)3．学习实变函数论的方法......... (5)4．本教材的特色处理之处......... (5)第一章集合论§１.１集合概念与运算......... (6)§１.２集合的势、可数集与不可数集 (13)习题...... (25)第二章点集§２.１R n空间...... ... (26)§２.２几类特殊点和集......... (30)§２.３有限覆盖定理与隔离性定理 (35)§２.４开集的构造及其体积... (38)习题......... (45)第三章测度论§３.１Lebesgue外测度定义及其性质 (46)§３.２可测集的定义及其性质...... ... (48)§３.３可测集的构造......... (55)习题......... (59)第四章可测函数§４.１可测函数定义及其性质... ...... (59)§４.２可测函数的结构......... (63)§４.３可测函数列的依测度收敛 (70)习题第五章Lebesgues积分理论§５.１Lebesgue积分的定义及其基本性质... (77)§５.２Lebesgue积分的极限定理 (84)§５.３(L)积分的计算... (88)§５.４Fubini定理......... (93)习题......... (98)第六章积分与微分§６.１单调函数与有界变差函数... (101)§６.２绝对连续函数......... (106)§６.３微分与积分......... (108)习题......... (112)附录1．不可测集......... (113)2.一般集合的抽象测度和抽象积分...... (115)3.单调函数的可微性绪论1.实变函数论的内容顾名思义，实变函数论即讨论以实数为变量的函数，这样的内容早在中学都已学过，中学学的函数概念都是以实数为变量的函数，大学的数学分析，常微分方程都是研究的以实数为变量的函数，那么实函还有哪些可学呢？简单地说：实函只做一件事，那就是恰当的改造积分定义使得更多的函数可积。

实变函数论课件24讲

应用：实变函数的积分在数学、物理、工程等领域有着广泛的应用，如求解某些物理量、优化问题等。
04
实变函数的微分
实变函数的微分定义
实变函数的微分概念微分的基本性质微分与导数的关系微分的应用
实变函数的微分性质
实变函数的微分定义微分性质：可加性、可数性、可交换性微分与导数的关系微分在函数逼近中的应用
物理学：实变函数论在物理学中也有着重要的应用，例如在量子力学、热力学等领域中，实变函数论可以用来描述一些物理现象。
工程学：实变函数论在工程学中也有着广泛的应用，例如在电气工程、机械工程等领域中，实变函数论可以用来解决一些实际问题。
经济学：实变函数论在经济学中也有着重要的应用，例如在金融工程、计量经济学等领域中，实变函数论可以用来描述一些经济现象和解决一些实际问题。
投资组合优化：实变函数论可以用于优化投资组合，提高投资收益并降低风险。
信用评级：实变函数论可以用于评估借款人的信用等级，帮助金融机构做出更明智的贷款决策。
金融衍生品定价：实变函数论可以用于定价金融衍生品，如期权、期货等，为金融机构提供更准确的定价模型。
在其他领域的应用
数学分析：实变函数论是数学分析的重要分支，在数学分析中有着广泛的应用。
实变函数在复分析中的应用
添加标题
添加标题
实变函数在概率论中的应用
添加标题
添加标题
实变函数在微分方程中的应用
在工程中的应用
实变函数在工程力学中的应用
实变函数在流体力学中的应用
实变函数在电气工程中的应用
实变函数在计算机科学中的应用
在金融中的应用
风险度量和管理：实变函数论提供了一种量化风险的方法，帮助金融机构更好地管理风险。

实变函数课程教学大纲

《实变函数》课程教学大纲一、课程基本信息
二、课程目标及对毕业要求指标点的支撑
三、教学内容及进度安排
四、课程考核
注：各类考核评价的具体评分标准见《附录：各类考核评分标准表》
五、教材及参考资料
[1]程其襄, 张奠宙等. 实变函数与泛函分析基础（第四版）[M]. 北京: 高等教育出版社,
2019, ISBN: 9787040508109
[2]夏道行等. 实变函数论与泛函分析(第三版)[M], 北京: 高等教育出版社，2010, ISBN:
9787040274318
[3]江泽坚,吴智泉，纪友清.实变函数论(第三版)[M], 北京: 高等教育出版社，2007, ISBN:
9787040226430
[4]曹广福. 实变函数论与泛函分析(第三版)[M], 北京: 高等教育出版社, 2011, ISBN:
9787040316742
六、教学条件
需要多媒体教室，电脑要安装好Windows 7、Office 2010、MathType 6.9、Mathematica l1以上版本的正版软件。

附录：各类考核评分标准表
实变函数平时作业评分标准
实变函数设计评分标准
注：评分标准的分数段划分可以根据课程需要自行设计。

实变函数教学大纲

《实变函数》教学大纲课程编号：4081205英文课程名：Theory of Functions of Real Variables总学时：72学时学分：4学分课程类别：专业必修课适用专业：数学与应用数学先修课程：数学分析一、课程性质与目的、要求《实变函数》课程是数学与应用数学专业的一门专业必修课,是某些重点院校考取数学类硕士研究生的必考基础课之一．本课程内容包括集合理论、测度理论和勒贝格积分理论等方面的系统知识,所讲授的内容和方法是现代应用数学的基础,是数学类专业学生必须具备的基本训练,是实现数学类专业培养目标的重要课程．通过本课程的学习,学生可以对近代应用数学的发展有一个初步的了解,进而提高学习数学的兴趣,提高应用所学数学知识解决实际问题的能力与意识．通过本课程的讲授,可以引导学生了解当前数学领域的最新发展状况,培养学生探索新知识的意识和能力．二、教学内容及学时分配本课程的教学内容共分六章。

第一章：集合 13课时第一节：集合·集合的运算 2课时1、集合2、集合的运算第二节：映射·集合的对等 2课时1、映射2、集合的对等第三节：可列集与不可列集·集合的基数 3课时1、可列集与不可列集2、集的基数3、基数的大小第四节：可列集的判定 3课时第五节：连续势集的判定 3课时1、连续势集的判定2、p进无穷小数用于连续势集的判定3、不存在最大的基数第二章：点集 11课时R空间·区间·距离 1课时第一节：n第二节：内点与开集 2课时第三节：聚点与闭集 2课时第四节：开集和闭集的构造 2课时第五节：点集间的距离·有界闭集的性质 2课时第六节：完备集·Cantor集 2课时第三章：勒贝格测度 15课时1、引言（测度理论的创立与发展情况） 1课时第二节：Lebesgue外测度 3课时1、外测度定义·区间的外测度2、外测度的基本性质3、外测度的开集逼近第三节：有界Lebesgue可测集 4课时1、有界可测集的定义、有界开闭集的可测性2、有界点集的内测度、有界点集可测的充要条件3、有界可测集及其测度的运算性质第四节：无界Lebesgue可测集 3课时1、无界可测集的定义2、可测集及其测度的运算性质3、可测集的构造第五节：不可测集的例子 2课时第六节：集合的乘积 2课时第四章：可测函数 12课时第一节：广义实函数及相关的集合 4课时1、广义实函数2、函数定义域中的示性集3、非负函数的下方图第二节：Lebesgue可测函数的定义 4课时1、Lebesgue可测函数的定义2、函数的可测性与正、负部可测性的关系第三节：可测函数与简单函数 4课时1、简单函数的定义及运算性质2、可测函数与简单函数的关系第四节：可测函数的某些性质第五节：Egoroff定理第六节：可测函数列的依测度收敛第七节：可测函数与连续函数第五章：可测函数的积分 15课时第一节：Lebesgue积分的定义及初等性质 6课时1、非负简单函数的积分2、非负可测函数的积分3、一般可测函数的积分4、积分的初等性质第二节：Lebesgue积分与Riemann积分的比较 3课时1、有限区间上Lebesgue积分与Riemann积分的关系2、Lebesgue积分与广义Riemann积分的关系第三节：逐项积分定理 4课时1、非负可测函数列的逐项积分定理2、可积函数列的逐项积分定理3、连续函数平均逼近定理第四节：Fubini定理 2课时第六章：微分与Lebesgue不定积分 6课时第一节：单调函数的微分性质 2课时第二节：有界变差函数 2课时第三节：绝对连续函数与Lebesgue不定积分 2课时三、教学方法以教师讲授为主，并结合学生的大量练习与实践四、成绩考核方式学期末期末考试，以闭卷形式进行；平时则以书面作业形式进行考查五、教材与参考资料教材：郭大钧等，实变函数与泛函分析，山东大学出版社，2005.7参考资料：周民强，实变函数(论)，北京大学出版社，1995.6(2001)周性伟，实变函数，科学出版社，1998.9胡适耕，实变函数，高等教育出版社，1999.7徐森林，实变函数论，中国科学技术大学出版社，2002夏道行等，实变函数论与泛函分析，高等教育出版社，1983.2周民强，实变函数(论)，北京大学出版社，1995.6(2001)周性伟，实变函数，科学出版社，1998.9胡适耕，实变函数，高等教育出版社，1999.7徐森林，实变函数论，中国科学技术大学出版社，2002郑维行等，实变函数论与泛函分析概要，高等教育出版社,1987夏道行等，实变函数论与泛函分析，高等教育出版社，1983.2Halmos，测度论(Measure theory) ，世界图书出版公司，1998.8Rudin , 实分析与复分析(第三版)(Real and complex analysis,third edition)，机械工业出版社，2004.1曹广福,实变函数论,高等教育出版社，2000。

实变函数课程简介

实变函数课程简介一、课程在本专业的定位《实变函数》是我校数学类各专业的一门重要专业基础课，它不仅是学习后继课程的一种工具，而且是一种思维模式；不仅是一种知识，而且是一种素养. 同时它也是报考研究生的入学考试科目. 因此，实分析教学的好坏直接影响到21世纪人才的培养，进而影响到我国的科技发展水平与现代化进程.实变函数论是现代数学的重要基础，人们常以实变函数理论的出现作为现代数学的主要分支---现代分析数学诞生的标志。

实变函数的中心任务是建立一种较之旧的积分---黎曼积分更为灵便的积分---勒贝格（Lebesgue）积分理论。

采用集合论的思想方法研究数学分析中的问题是实变函数的主要特点。

目前，实变函数理论已渗透到现代数学的许多分支，它在数学各个分支的应用成为现代数学的显著特征。

实变函数论是数学类各专业的一门重要专业基础课，它直接影响到该专业的许多后续课程，例如泛函分析、概率论、数理统计、测度论、计算方法、偏微分方程、分形几何、小波分析、调和分析、随机过程和随机分析等课程。

由于思想方法独特，它的许多理论比起经典的分析学要深刻得多，应用起来也便利得多。

例如函数黎曼可积的充分必要条件是函数几乎处处连续；积分与极限交换不再要求一致收敛；重积分化为累次积分只需函数是可积的，等等。

另外，许多初等数学的基本概念和内容也需要实变函数的理论才能解释清楚。

二、本课程的目标：1.了解近代抽象分析的基本思想；掌握集合测度的基本思想、基本方法；掌握可测函数的概念与基本性质；了解可测函数列的收敛性、可测函数与连续函数的关系；掌握Lebesgue积分的基本思想、基本性质以及积分极限定理及其应用；能较深刻理解测度和Lebesgue积分的必要性，掌握建立测度和Lebesgue积分的步骤；了解重积分与累次积分的关系；掌握有界变差函数与绝对连续函数的基本性质，了解微积分学基本定理在Lebesgue积分情形下的推广等等，为进一步学习和研究现代数学理论打下初步的基础；2.培养学生抽象思维、空间想象、逻辑推理和熟练地运算能力；3.掌握学习方法，培养自学能力；4.应用数学方法解决实际问题的能力。