二项分布、超几何分布数学期望与方差公式的推导

二项分布、超几何分布数学期望与方差公式的推导

高中教材中对二项分布和超几何分布数学期望与方差公式没有给出推导公式，现笔者给出一推导过程仅供参考。

预备公式一

11--=k n k n nC kC （1≥n ）

，利用组合数计算公式即可证明。 预备公式二

[]2

2)()()(ξξξE E D -=，证明过程可见教材。

预备公式三

2

2)1()1(---=-k n k n C n n C k k （2,2≥≥k n ）

，利用组合数计算公式即可证明。 预备公式四

),,,,(022110n k m k N k n m C C C C C C C C C k n m m k n k m n k m n k m n ≤≤∈=++++++-- ，利用恒等

式m n n

m x x x )1()1()

1(++=++的二项展开式中k x 的系数相等可证。

一、二项分布

在n 次独立重复试验中，每次试验中事件A 发生的概率为p （10<

np p p np p p

C np p p nC p p kC p p kC E n n

k k n k k n n

k k

n k k n n

k k

n k

k n

n

k k

n k

k

n

=+-=-=-=-=-=-=----=---=-=-∑∑∑∑11

1

111

11

1

0)1()1()1()

1()

1()(ξ

2.二项分布的方差

[])

1()1()1()1()1()

1()1()()

1()1()1()

1()1()1()()

1()()()(2

22222n

2

222

2

22n

2222

2

n

2

22n

1

n

12

2n

1

22

n

2

2

2

p np p n np p p p n n p n np p p C

p n n p n np p p C n n p n E p p C k k p n p p kC p p C k k p n p p C k np p p C k E E D n k k n k k n k k n k k n k k

n k

k

n

k k n k

k n k k

n k

k

n

k k n k

k n k k

n k

k

n

-=-++--=-+--=-+--=-+--=--+--=--=--=-=-=----=---=-=-=-=-=-∑∑∑∑∑∑∑ξξξξ

二、超几何分布

一批产品共N 件，其中有M 件不合格品，N -M 件合格品，从中随机取出n 件产品中，

X 其中（，）。

1.超几何分布的数学期望

()

N

nM

n N n N N n N n M C C M C C C C C C C M C C C M

C C C k C C C k X E n N n N

m

n M N m M n M N M n M N M n N

k

n M N m

k k M n N m k n

N k n M

N k M m

k n N k n M N k M =

-⋅-⋅-⋅-⋅⋅=

⋅=++====--------------=--=--=--∑∑∑)!()!1(!)!1()!(!)(1

1112111011

111

0）（利用预备公式四可得

2.超几何分布的方差

()()()()()()())1

11)(1(111)1()1()1(1)()()(2

2

222

2222

122

122

2

2

2

----=---⋅=⎪

⎭⎫ ⎝⎛-+--⋅-=⎪⎭

⎫ ⎝⎛-+⋅-=⎪⎭⎫

⎝⎛-+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅+⋅-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅=-=----=--=--=--=--=--∑∑∑∑∑N n N M N nM N N M N n N N nM N nM N nM N N n n M M N nM N nM C C M M N nM N nM C C C M M N nM C C C k C C C k k N nM C C C k N nM C C C k X E X E X D n N n

N k n M N m k k M n

N m

k n

N

k n M

N k M m k n N k n M N k M m

k n N k n M N k M m

k n

N k

n M

N k M

3.超几何分布的数学期望和方差与二项分布的数学期望和方差的关系 根据极限知识，很容易得到： 在超几何分布中，当+∞→N 时，

p N

M

→（二项分布中的p ）