静电场之均匀带电线段的电场

k x L
xL
Ey
[ y
(x L)2 y2
] (x L)2 y2
②当y→0时，可得
Ex
k(
|
x
1
L|
|
x
1
L
) |
如果x > L，则
Ex
k(
x
1
L1 x) L源自2kLx2 L2根据二项式定理可证Ey→0。
可知：合场强沿x轴正向。
如果x < -L，则
Ex
k[ 1
(x
L)
1 (x
(x L) / y [(x L) / y]2 1
如果取无穷远处为电势零点，则C = 0。
保持y不变，当x趋于无穷大时也可得出同一结果。 当C = 0时，可得 U k ln x / L 1 (x / L 1)2 ( y / L)2
x / L 1 (x / L 1)2 ( y / L)2
当线段延伸到无穷远处，即L→∞，就会有U→∞的结果。
] L)
2k L
x2 L2
同理可得Ey→0。 合场强沿x轴负向。
当x→L时，场强Ex→∞。
当x→-L时，场强Ex→-∞。 如果|x| < L，可证场强Ey→∞。
场强的x分量在线段两个端点附近较大，其 他部分较小，左右两端场强的方向相反。
场强的y分量在线段附近较大，其他部分 比较小，前后两侧的场强方向相反。
O
r
(x l)2 y2
-L
l dl L x
根据电势叠加原
L
U k
理，P点的电势为
L
dl
L
k
(x l)2 y2
L
d(x l) (x l)2 y2
根据积分公式
可得
[
du
ln(u
u2 a2 ) C] U k ln x L
(x L)2 y2 C
u2 a2
x L (x L)2 y2
中垂线上的电势
L2 y2 L
当y→0时，电势U→∞。
由于λ = Q/2L，所以
kQ ln( L2 y2 L)-ln( L2 y2 -L) U
2
L
如果L→0 根据罗必塔法则可得
U kQ [ L/
向在第一象限沿着x轴和y轴的正向。
r
如果λ < 0，则电场强度的方向相反。 θ1 -L
在线段的l处取线元dl，电荷元
O
θ θ2
l dl L
x
为dq = λdl，到P点的距离为 r (x l)2 y2
由于x – l = ycotθ，这里，x和y是场点的 坐标，l和θ变量，可得dl = ydθ/sin2θ。
k ln{
2
a2 / 2L} k ln{a2 (1 x )}
y2 / 2(L x) 2
y2 L
即 U 2k ln a ln a 这就是无限长带电
y 2π0 y 直线的电势公式。
[讨论] U k ln x L (x L)2 y2
x L (x L)2 y2
①当x = 0时，可得 U k ln L2 y2 L
(L x)2 y2 L x
L2 a2 L}
(L x)2 y2 (L x) L2 a2 L
当线段趋于无 限长时可得
U k ln{
(1 x / L)2 ( y / L)2 1 x / L L( 1 a2 / L2 1)} (L x)[ 1 y2 /(L x)2 1] 1 (a / L)2 1
说明：对于无限长的带电直线来 说，不能取无限远处为电势零点。
x L (x L)2 y2
U k ln
C
x L (x L)2 y2
如果取(0,a)点为零势点，将x = 0， y = a和U = 0代入上式得
0 k ln L2 a2 L C
L2 a2 L
因 此
U k ln{
Ex k[
1
(x L)2 y2
1 ]
(x L)2 y2
Ey
k
y
[
xL (x L)2 y2
xL ]
(x L)2 y2
可见：均匀带电线段的电场强度是坐标的函数。
[讨论]
Ex k[
1
(x L)2 y2
1 ]
(x L)2 y2
Ey
k
y
[
xL (x L)2 y2
xL ]
(x L)2 y2
合场强呈“高墙”状，距离带电线段较近 的地方电场强度特别大，然后陡然减小。
合场强的方向角随极角的增加而增加， 当方向角达到180°时就向-180°跃变。
(2)求任一点的电势，电势分布曲面的规律 y 是什么？电场线和等势线是如何分布的？
P
[解析](2)电荷元dq在P点产生的电势为
r
dU kdq kdl
y
Ey
E α
E
Ex2
Ey2
k y
2 2cos(2
场强的方向角的正切为
1)
2k y
sin
2
1 2 θ1
O
tan Ey cos2 cos1 tan 2 1
Ex sin1 sin2
2
-L
即 2 1
2
P Ex θ2 Lx
用角度表示的场强公式十分简单，但不便于计算。
根据角度与坐标的关系，场强的分量可用坐标表示
均匀带电线段的电场
电量均匀分布在长2L的线段上，单位长度上的电荷密度为λ。
(1)求任一点的电场强度，电场强度分布曲面的规律是什么？
(2)求任一点的电势，电势分布曲面的规律是什么？电场线和
等势线是如何分布的？ [解析](1)如图所示，建立坐标系。 如果λ > 0，则可确定电场强度的方
y
dEy
P
dE dθEx
①当x = 0时，可得中垂线上的场强
Ex 0
Ey
y
2k L
L2 y2
如果L→∞，则得
由于λ = Q/2L，所以
Ey y
kQ L2 y2
Ey
2k
y
2π0 y
如果L→0，可得
Ey
kQ y2
这是无限长带电
直线的场强公式。
这是点电荷的场强公式。
[讨论]
Ex k[
1
(x L)2 y2
1
]
(x L)2 y2
其中，C是积分常数，由零势点的坐标决定。
均匀带电线段的电势是坐标的函数。 电势关于原点的分布是对称的。
均匀带电线段的电场
U k ln x L
(x L)2 y2 C
x L (x L)2 y2
保持x不变，当y趋于 无穷大时，可得
U k ln (x L) / y [(x L) / y]2 1 C k ln1 C C
又因为r = y/sinθ，所 以场强的大小为
dE k d
y
由于场强的方向 随θ角变化，所以 不能直接由上式 积分求合场强。
场强的 分量为
dEx
积分得 Ex
dE cos k cosd
k
y
(sin 2
y sin 1 )
Ey
dEy dE sin
k
y
(cos1
k
y
cos
sin
2)
d
利用三角函数很容易计算合场强