2021-2022学年重庆市高三上学期月考数学试卷(12月份)(含答案解析)

2021-2022学年重庆市高三上学期月考数学试卷(12月份)一、单选题（本大题共8小题，共40.0分） 1.已知集合A ={x|x(3−x)≥0}，B ={x|x −1≤0}，则A ∩B =( )A. {x|1≤x ≤3}B. {x|x ≤0}C. {x|x ≥3}D. {x|0≤x ≤1}2.若复数z =(m +1)−2mi(m ∈R)为纯虚数，则z 的共轭复数是( )A. −2iB. −iC. iD. 2i3.在等差数列{a n }中，a 1=2，a 3=8，则98是{a n }的( )A. 第31项B. 第32项C. 第33项D. 第34项4.(x 2−3x)7展开式的第3项为( )A. 189B. 189x 8C. −945D. −945x 55.已知函数f(x)=Asin(ωx +φ)(A >0,ω>0,0<φ<π2)，现有如下四个命题：甲：该函数的最大值为√2；乙：该函数图象可以由y =sin2x +cos2x 的图象平移得到； 丙：该函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为π； 丁：该函数图象的一个对称中心为(2π3,0)． 如果只有一个假命题，那么该命题是( )A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁6.已知f(x)是定义在R 上的周期为4的奇函数，当x ∈(0,1)时，f(x)=x +m.若f(172)+f(2)=1，则f(113)=( )A. 73B. 56C. −73D. −567.“0<xsinx <π2”是“0<x <π2”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件8.双曲线型自然通风塔的外形是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面，如图所示，它的最小半径为4√3米，上口半径为4√393米，下口半径为20√33米，高为24米，则该双曲线的离心率为( )A. 2B. √3C. √2D. 2√2二、多选题（本大题共4小题，共20.0分） 9.已知曲线C 的方程为ax 2+ay 2−2x −2y =0(a ∈R)，则( )A. 曲线C 可能是直线B. 当a =1时，直线3x +y =0与曲线C 相切C. 曲线C 经过定点D. 当a =1时，直线x +2y =0与曲线C 相交10. 已知x +y >0，且x <0，则( )A. x 2>−xyB. |x|<|y|C. lgx 2>lgy 2D. y x +xy <−211. 已知函数f(x)={x 2−4x +2,x ≥02x +1,x <0，则( )A. ∀x ∈R ，f(x)≥−2B. ∃x ∈R ，f(x)=f(−x)C. 直线y =910与f(x)的图象有3个交点 D. 函数g(x)=f(x)−sinx 只有2个零点12. 设S n 和T n 分别为数列{a n }和{b n }的前n 项和．已知2S n =3−a n ，b n =na n 3，则( )A. {a n }是等比数列B. {b n }是递增数列C. S nan=3n −12D. SnT n>2 三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知菱形ABCD 的边长为1，|AB|=|AC|，则AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =______． 14. 函数f(x)=x +√4−x 的图象在点(3,4)处切线的斜率为______． 15. 已知锐角α满足tanα=4sinα，则tan(α−π4)=______．16. 已知AB 是过抛物线y 2=4x 焦点F 的弦，P 为该抛物线准线上的动点，则PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值为______．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知等比数列{a n}的前n项和为S n，且a1+a3=10，a2+a4=20．(1)求{a n}的通项公式；(2)求S1a1+S2a2+⋅⋅⋅+S na n．18.在①sinAsinB +sinBsinA+1=c2ab，②(a+2b)cosC+ccosA=0，③√3asin A+B2=csinA，这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且_______．(1)求角C的大小；(2)若c=√7，sinAsinB=314，求△ABC的面积．19.一个完美均匀且灵活的平衡链被它的两端悬挂，且只受重力的影响，这个链子形成的曲线形状被称为悬链线(如图所示).选择适当的坐标系后，悬链线对应的函数近似是一个双曲余弦函数，其解析式可以为f(x)=ae x+be−x，其中a，b是常数．(1)当a=b≠0时，判断f(x)的奇偶性；(2)当a，b∈(0,1)时，若f(x)的最小值为√2，求11−a +21−b的最小值．20.2020年某地爆发了新冠疫情，检疫人员对某高风险小区居民进行检测．(1)若假设A，B，C，D，E，F，G，H，I，J这10人的检测样本中有1份呈阳性，且这10人中恰有1人感染，请设计一种最多只需做4次检测，就能确定哪一位居民被感染的方案，并写出设计步骤；(2)若A，B为确诊患者，C，D为密切接触者，且C被A或B感染的概率均为12，D被A或B或C感染的概率均为13(D没有途径感染C)，则C，D中受感染的人数X作为一个随机变量，求X的分布列及数学期望．21.已知P为圆x2+y2=16上的一个动点，过P作x轴的垂线，垂足为Q，M为线段PQ的中点，M的轨迹为E．(1)求E的方程；(2)若不过原点的直线l：y=−x+m与E交于A，B两点，O为坐标原点，以OA，OB为邻边作平行四边形，求这个平行四边形面积的最大值．22.已知函数f(x)=alnx−x，a∈R．(1)讨论f(x)的单调性；(2)若关于x的不等式f(x)≤1x −2e在(0,+∞)上恒成立，求a的取值范围．参考答案及解析1.答案：D解析：∵集合A={x|x(3−x)≥0}={x|0≤x≤3}，B={x|x−1≤0}={x|x≤1}，∴A∩B={x|0≤x≤1}．故选：D．求出集合A，B，利用交集定义能求出A∩B．本题考查集合的运算，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.答案：A解析：若复数z=(m+1)−2mi(m∈R)为纯虚数，则m+1=0，解得：m=−1，故z=2i，则z的共轭复数是−2i，故选：A．根据纯虚数的定义得到关于m的方程，求出m的值，求出z的共轭复数即可．本题考查了共轭复数问题，考查纯虚数的定义，是基础题．3.答案：C解析：∵在等差数列{a n}中，a1=2，a3=8，=3，a n=2+(n−1)×3=3n−1，∴公差d=8−22令3n−1=98，求得n=33，则98是{a n}第33项，故选：C．由题意利用等差数列的定义和通项公式，得出结论．本题主要考查等差数列的定义和通项公式，属于基础题．4.答案：B)7展开式的第3项为T3=C72⋅(−3)2⋅x8=189x8，解析：(x2−3x故选：B．由题意直接利用二项式展开式的通项公式，求得展开式的第3项．本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，属于基础题．5.答案：B解析：由命题甲：该函数的最大值为√2，可得A =√2；由命题乙：由y =sin2x +cos2x =√2sin(2x +π4)，可知A =√2，ω=2； 由命题丙：该函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为π，可得ω=1， 所以命题乙和命题丙矛盾；若假命题是乙，则f(x)=√2sin(x +φ)，由命题丁：该函数图象的一个对称中心为(2π3,0)，可得f(2π3)=√2sin(2π3+φ)=0， 因为0<φ<π2， 可得φ=π3，符合题意；若假命题是丙，则f(x)=√2sin(2x +φ)，由命题丁：该函数图象的一个对称中心为(2π3,0)，可得f(2π3)=√2sin(4π3+φ)=0， 可得φ=kπ−4π3，k ∈Z ，不满足条件0<φ<π2，所以假命题是乙． 故选：B ．根据题意得到命题乙和命题丙矛盾，结合三角函数的图象与性质，分类讨论，结合命题丁进行判定，即可求解．本题主要考查了三角函数的图象与性质的应用，考查了分类讨论思想和函数思想，属于中档题．6.答案：D解析：∵f(x)是定义在R 上的周期为4的奇函数， ∴f(x)=f(x +4)且f(−x)=−f(x)， ∴−f(−x)=f(x +4)，∴f(−2+4)=−f[−(−2)]⇒f(2)=−f(2)⇒f(2)=0，∴f(172)+f(2)=1⇒f(8+12)+f(2)=1⇒f(12)=1=12+m ⇒m =12， ∴f(113)=f(4−13)=f(−13)=−f(13)=−(13+12)=−56，故选：D ．根据奇函数的定义以及周期性求得−f(−x)=f(x +4)，再结合已知求得f(2)=0，进而求解结论． 本题考查的知识点是函数的奇偶性，函数的周期性，函数求值，是函数性质的综合应用．7.答案：B解析：①当x ∈(−π2,0)时，满足0<xsinx <π2，∴充分性不成立，②当0<x <π2时，∵y′=sinx +xcosx >0，x ∈(0,π2)，∴y =xsinx 在(0,π2)递增， ∴0<xsinx <π2，∴必要性成立，∴0<xsinx <π2是0<x <π2的必要不充分条件， 故选：B ．根据充分必要条件的定义以及三角函数的性质判断即可． 本题考查了充分必要条件，考查三角函数的性质，是基础题．8.答案：A解析：以AA 1的中点O 为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系， 则|OA|=|OA 1|=4√3， 设双曲线的方程为x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)，则a =4√3， 可设C 1(4√393,m)，B 1(20√33,m −24)(0<m <24)，又由B 1，C 1在双曲线上，所以{ (4√393)248−m 2b 2=1(20√33)248−(m−24)2b 2=1，解得m =8，b =12，即ba =√3，所以该双曲线的离心率为√1+b 2a2=2．故选：A ．以AA 1的中点O 为坐标原点，建立平面直角坐标系，设双曲线的方程为x 2a 2−y 2b 2=1，设C 1(4√393,m)，B 1(20√33,m −24)，代入双曲线的方程，求得b =12，得到ba =√3，进而求得双曲线的离心率．本题主要考查双曲线离心率的求解，双曲线的实际应用等知识，属于中等题．9.答案：ACD解析：当a =0时，曲线为：−2x −2y =0，是直线方程，所以A 正确；当a =1时，曲线C 的方程为x 2+y 2−2x −2y =0，即(x −1)2+(y −1)2=2，表示圆，圆的圆心(1,1)，半径为√2，圆心到直线3x +y =0的距离：√9+1=2√105≠√2，所以B 不正确；圆心到直线x +2y =0的距离：√5=3√55<√2，直线x +2y =0与曲线C 相交，所以D 正确；曲线C 的方程为ax 2+ay 2−2x −2y =0恒过(0,0)点，所以C 正确； 故选：ACD ．利用a 的值，判断选项是正误即可．本题考查直线与圆的位置关系的应用，曲线与方程的应用，是中档题．10.答案：BD解析：由于x +y >0，且x <0，故y >0， 对于A ：x 2<−xy ，故A 错误； 对于B ：|y|>|x|，故B 正确； 对于C ：lgx 2<lgy 2，故C 错误；对于D ：yx +xy =−[−(yx )−(xy )]<−2，故D 正确． 故选：BD ．直接利用不等式的性质的应用判断A 、B 、C 、D 的结论．本题考查的知识要点：不等式的性质，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．11.答案：ABD解析：对于A ，当x ≥0时，x 2−4x +2=(x −2)2−2≥−2， 当x <0时，1<2x +1<2， 所以f(x)≥−2成立，故A 正确；对于B ，作出函数f(x)的图象，如图所示，由图象可得，y =2−x +1(x >0)与y =2x +1(x <0)的图象关于y 轴对称， 且与y =x 2−4x +2(x >0)有交点， 即∃x ∈R ，f(x)=f(−x)，故选项B 正确；对于C ，由图图象可知，直线y =910与f(x)的图象只有2个交点，故选项C 错误；对于D ，g(x)=f(x)−sinx 的零点个数等于f(x)的图象与y =sinx 的图象的交点的个数为2，故选项D 正确， 故选：ABD ．先利用二次函数、指数函数的单调性得到每一段上的函数值的取值范围，进而确定f(x)的值域，即选项A 正确；作出f(x)的图象，利用y =2−x +1(x >0)，y =2x +1(x <0)及y =x 2−4x +2(x >0)的图象判定选项B 正确；由直线y =910与f(x)的图象判定选项C 错误；由f(x)与y =sinx 的图象的交点个数可判断选项D 正确．本题考查了分段函数的应用，函数的零点，数形结合的思想等知识，属于中档题．12.答案：ACD解析：因为2S n =3−a n ， 当n ≥2时，2S n−1=3−a n−1，两式相减得，2a n =a n−1−a n ，即3a n =a n−1， 当n =1时，2S 1=3−a 1，解得a 1=1，所以数列{a n }是以1为首项，以13为公比的等比数列，A 正确； 所以a n =(13)n−1，b n=na n 3=n ⋅(13)n−2，S n=3−(13)n−12，则b 1=3，b 2=2，B 显然不成立； 又S nan=3−(13)n−12×(13)n−1=3n −12，C 正确；T n =13+232+⋅⋅⋅+n−13n−1+n3n ，13T n =132+⋅⋅⋅⋅⋅+n−13n+n 3n+1，两式相减得，23T n =13+132+⋅⋅⋅⋅+13n −n3n+1=13(1−13n )1−13−n 3n+1=12(1−13n )−n3n+1，所以T n =34(1−13n )−n2⋅3n >0，所以2T n −S n =32(1−13n )−n 3n −32(1−13n )=−n3n <0，所以SnT n>2，D 正确．故选：ACD ．由已知结合数列的项与和的递推关系及等比数列的定义和求和公式可检验选项A ，C ； 结合数列的单调性定义及数列的项的值可检验选项B ；利用错位相减法求出T n ，然后利用比较法可检验选项D ．本题主要考查了数列的项与和的递推公式的应用，还考查了等比数列的通项公式及求和公式，错位相减求和，属于中档题．13.答案：−12解析：因为AB =AC ，四边形ABCD 为菱形， 所以∠ABC =π3，∠BAD =2π3，所以AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =−(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =−(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=−12，故答案为：−12．化简可得AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =−(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，结合数量积的运算公式，计算可得结果． 本题考查了平面向量数量积的性质及应用，属于基础题．14.答案：12解析：由f(x)=x +√4−x ，得f′(x)=12√4−x ， ∴f′(3)=1−2×√4−3=12．∴函数f(x)=x +√4−x 的图象在点(3,4)处切线的斜率为12． 故答案为：12．求出原函数的导函数，得到函数在x =3处的导数值，则答案可求． 本题考查导数的几何意义及应用，关键是求出原函数的导函数，是基础题．15.答案：8−√157解析：∵锐角A 满足方程tanα=4sinα，可得cosα=14， 则sinα=√1−cos 2α=√154，所以tanα=√15，所以tan(α−π4)=tanα−tanπ41+tanαtanπ4=√15−11+√15=8−√157，故答案为：8−√157．化简已知等式可得cosα，进而求得sinα，即可得到tanα，再利用两角差的正切函数公式即可求得答案．本题考查了两角差的三角函数公式，属于基础题．解析：∵抛物线y 2=4x 的焦点为F(1,0)， ∴直线AB 的方程可设为x =ty +1， 设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，联立直线AB 与抛物线方程{x =ty +1y 2=4x ，化简整理可得，y 2−4ty −4=0，由韦达定理可得，y 1+y 2=4t ，y 1y 2=−4， ∵P 为该抛物线准线上的动点，∴可设P(−1,m)，则PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1+1,y 1−m)=(ty 1+2,y 1−m)， PB⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 2+1,y 2−m)=(ty 2+2,y 2−m)， ∴PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(ty 1+2)(ty 2+2)+(y 1−m)(y 2−m)=(t 2+1)y 1y 2+(2t −m)(y 1+y 2)+4+m 2=(2t −m)2≥0． 故答案为：0．根据已知条件，结合向量的数量积公式，以及韦达定理，即可求解．本题主要考查抛物线的性质，掌握向量的数量积公式，以及韦达定理是解本题的关键，属于中档题．17.答案：解：(1)设{a n }的公比为q ，则q =a 4+a 2a 3+a 1=2．因为a 1+a 3=a 1+4a 1=10，所以a 1=2， 所以{a n }的通项公式为a n =2×2n−1=2n ． (2)由(1)知S n =2−2n+11−2=2n+1−2．因为Sn a n=2n+1−22n =2−12n−1．所以S 1a 1+S 2a 2+⋅⋅⋅+S na n=2n −1−12n 1−12=2n −2+12n−1．解析：(1)利用等比数列的通项公式，结合已知条件求解公比，然后求解通项公式． (2)化简通项公式，然后利用分组求和，求解即可．本题考查数列求和，等比数列的简单性质的应用，是中档题．18.答案：解：(1)选择条件①由sinAsinB +sinBsinA +1=c 2ab 及正弦定理，可得ab +ba +1=c 2ab，则a 2+b 2−c 2=−ab ， 由余弦定理，得cosC =a 2+b 2−c 22ab =−ab 2ab=−12．因为0<C <π，所以C =2π3．由(a +2b)cosC +ccosA =0及正弦定理，可得(sinA +2sinB)cosC +sinCcosA =0， 即sinAcosC +cosAsinC =−2sinBcosC ． 即sin(A +C)=−2sinBcosC ． 在△ABC 中，A +B +C =π，所以sin(A +C)=sin(π−B)=sinB ，即sinB =−2cosCsinB ， 因为0<B <π，所以sinB ≠0，所以cosC =−12． 因为0<C <π，所以C =2π3．选择条件③ 由√3asinA+B 2=csinA 及正弦定理，可得√3sinAsinA+B 2=sinCsinA ，因为sinA ≠0，所以√3sin A+B 2=sinC ．在△ABC 中，A +B +C =π，可得sin A+B 2=cos C2，故√3cos C2=2sin C2cos C2．因为0<C <π，所以cos C 2≠0，则sin C 2=√32，故C =2π3．(2)由正弦定理，得ab sinAsinB =(csinC )2，所以ab =(c sinC )2sinAsinB =(√7sin 2π3)2×314=2．所以△ABC 的面积S =12absinC =12×2×sin2π3=√32． 解析：(1)依据选择条件分别计算即可求得C 的大小；(2)由正弦定理，得absinAsinB =(csinC )2，可求得ab 的值，从而可求面积．本题考查了解三角形的应用，正弦定理和余弦定理的综合应用，特殊角的三角函数值的运用，三角恒等变换以及三角形面积公式的应用，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题．19.答案：解：(l)当a =b ≠0时，函数f(x)=a(e x +e −x )的定义域为R ．因为对任意的x ∈R ，都有−x ∈R ，且f(−x)=a(e −x +e x )=f(x)，所以f(x)为偶函数． (2)因为当a ，b ∈(0,1)时，f(x)的最小值为√2， 所以f(x)=ae x +be −x ≥2√ae x ⋅be −x =2√ab =√2， 即ab =12，所以b =12a <1，所以12<a <1， 所以2−2a >0，2a −1>0， 所以11−a+21−b=11−a+21−12a=11−a+4a 2a−1=11−a+22a−1+2=22−2a+22a−1+2=(22−2a+22a−1)×[(2−2a)+(2a −1)]+2=2(2a−1)2−2a+2(2−2a)2a−1+6≥2√4+6=10当且仅当2−2a =2a −1，即a =34，b =23时，等号成立， 所以11−a +21−b 的最小值为10．解析：(1)利用函数的奇偶性的定义，判断函数的奇偶性即可．(2)利用基本不等式求解函数的最小值，通过“1”的代换，求解最小值即可．本题考查函数的奇偶性的判断，基本不等式求解函数的最值的方法，考查转化思想以及计算能力，是中档题．20.答案：解：(1)第一步，将10人的样本随机5份作为一组，剩余5份作为另一组．任取一组，若呈阳性，则该组记为Ⅰ组；若呈阴性，则另一组记为Ⅰ组．第二步，将Ⅰ组的样本随机分为两组，2人一组记为Ⅱ组，3人一组记为Ⅲ组．第三步，对Ⅱ组样本进行检测，若呈阳性，再任取这2人中的1人的样本对其进行检测即可得知患病人员，因此，共检测3次；若呈阴性，则阳性样本必在Ⅲ组内，再逐一检测，2次即可得知患病人员，因此，共检测4次．对Ⅲ组样本进行检测，若呈阳性，再逐一检测，2次即可得知患病人员，因此，共检测4次； 若呈阴性，则从Ⅱ组样本中任取一人的样本进行检测，即可得知患病人员，因此，共检测3次． 综上所述，最多需做4次检测．(2)X 的可能取值为0，1，2．P(X =0)=12×12×23×23=19 C 被感染而D 未被感染的概率P 1=(1−14)×23×23×23=29， D 被感染而C 未被感染的概率P 2=14×(1−49)=536， 则P(X =1)=P 1+P 2=1336，P(X =2)=1−19−1336=1936， X 的分布列为：EX =0×19+1×1336+2×1936=1712．解析：(1)应用随机分组检测设计检测步骤，并根据各步检测结果判断所需的检测频数，即可确定最多只需做4次检测的方案．(2)X 的可能取值为0，1，2，求出相应的概率，进而写出其分布列，根据分布列求出期望即可． 本题考查检测方案的确定、离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．21.答案：解：(1)设M(x,y)，P(x 0,y 0)，则由题意可知{x =x 02y =y 0①因为P 在圆x 2+y 2=16上，所以x 02+y 02=16，将①代入，并化简可得x 216+y 24=1．因为M 为线段PQ 的中点，所以P 与Q 不能重合，所以E 的方程为x 216+y 24=1(y ≠0)．(2)联立{y =−x +mx 216+y 24=1得5x 2−8mx +4m 2−16=0，则Δ=64m 2−80(m 2−4)=16(20−m 2)>0， 因为l 不经过原点，所以0<m 2<20．设A ，B 两点的坐标分别为(x 1,y 1)，(x 2,y 2)，则x 1+x 2=8m 5，x 1x 2=4m 2−165，|AB|=√1+(−1)2⋅√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=4√2⋅√20−m 25，又O 到直线l 的距离d =√2，所以这个平行四边形的面积S =12×|AB|×d ×2=√2×4√2×√20−m 25=4√m 2(20−m 2)5≤4×m 2+20−m 225=8，当且仅当m 2=20−m 2，即m =±√10(满足0<m 2<20)时，等号成立， 故这个平行四边形面积的最大值为8．解析：(1)设M(x,y)，P(x 0,y 0)，由题设得到它们坐标之间的数量关系，再根据P 在圆上代入方程求M 的轨迹方程．(2)联立直线与M 的轨迹方程，根据Δ>0求m 的范围，设A ，B 分别为(x 1,y 1)，(x 2,y 2)，应用韦达定理、弦长公式求|AB|，由点线距离公式求O 到直线l 的距离，应用面积公式可得平行四边形的面积关于m 的函数，应用基本不等式求最值．本题主要考查轨迹方程的求解，椭圆中的四边形面积问题，韦达定理及其应用等知识，属于中等题．22.答案：解：(1)f′(x)=a x −1=a−x x(x >0)．①若a ≤0，则f′(x)<0，所以f(x)在(0,+∞)上单调递减． ②若a >0，令f′(x)=0，得x =a ．当x ∈(0,a)时，f′(x)>0；当x ∈(a,+∞)时，f′(x)<0． 所以f(x)在(0,a)上单调递增，在(a,+∞)上单调递减．(2)不等式f(x)≤1x −2e 等价于alnx −x −1x +2e ≤0在(0,+∞)上恒成立， 令g(x)=alnx −x −1x +2e ，则g′(x)=ax−1+1x 2=−x 2−ax−1x 2．对于二次函数y =x 2−ax −1，Δ=a 2+4>0，所以其必有两个零点． 又两零点之积为−1，所以两个零点一正一负，设其中一个零点x 0∈(0,+∞)，则x 02−ax 0−1=0，即a =x 0−1x 0．此时g(x)在(0,x 0)上单调递增，在(x 0,+∞)上单调递减， 故g(x 0)≤0，即(x 0−1x 0)lnx 0−x 0−1x 0+2e ≤0，设函数ℎ(x)=(x −1x )lnx −x −1x +2e ，则：ℎ′(x)=(1+1x 2)lnx +1−1x 2−1+1x 2=(1+1x 2)lnx ． 当x ∈(0,1)时，ℎ′(x)<0； 当x ∈(1,+∞)时，ℎ′(x)>0．所以ℎ(x)在(0,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增． 又ℎ(1e )=ℎ(e)=0，所以x 0∈[1e ,e]，由a =x 0−1x 0在[1e ,e]上单调递增，得a ∈[1e −e,e −1e ]．故a 的取值范围为[1e −e,e −1e ]．解析：本题考查函数的导数的应用，函数的单调性的求法，极值点的判断，构造法的应用，考查转化思想以及计算能力，是难题．(1)求出导函数，利用a 的范围，判断导函数的符号，推出函数的单调区间即可．(2)不等式f(x)≤1x −2e等价于alnx−x−1x+2e≤0在(0,+∞)上恒成立，构造函数，通过函数的导数，利用二次函数的性质，说明极值点一正一负，设函数ℎ(x)=(x−1x )lnx−x−1x+2e，利用导函数，结合函数的单调性，转化求解a的范围即可．。