极坐标系(袁志军)分解

探究：极坐标系下的点与它的极坐标的对应情况 ① 平面上一点的极坐标是否唯一？
② 若不唯一，那有多少种表示方法？
③ 坐标不唯一是由谁引起的？
④同一点不同的极坐标是否可以写出统一表达式？
极坐标系下的点与它的极坐标的对应情况
(1)给定（,）,在极坐标平面内确定可唯一的一点 M
(2)给定平面上一点 M ，但却有无数个极坐标与之对应
当点不在第一象限内 时，是否还成立？ 原理是什么？
互化练习
2 1(1)将点M的极坐标 5, 化为直角坐标； 3 ( 2)将点M的直角坐标 3 ,1 化成极坐标. 2.已知两点的极坐标 2, ， . 3, ，求两点间的距离 3 2
实验楼
图书馆
D
120m
办公楼
C
E
450
50m
600
A
教学楼
60m
B
体育馆
请分析上面这句话，他告诉了问路人什么？
从 这 向 东 走 6 0 米 出发点
！
方向
距离
在生活中人们经常用方向和距离来表示 一点的位置。这种用方向和距离表示平 面上一点的位置的思想，就是极坐标的 基本思想.
思考：类比建立平面直角体系的过程，怎样 建立用距离与角度确定平面上点的位置的体系？
2
4
B●
E
4 3
●●。 O1 NhomakorabeaC
●
A
5 3
x
F
●
●
D
3.用点A,B,C,D,E分别表示教学楼,体育馆, 图 书馆,实验楼,办公楼的位置.建立适当的 极坐标系,写出各点的极坐标. C D 解:以点A为极点,AB所在 的射线为极轴(单位长
120m
度为1 m),建立极坐标系.
E
450 50m
则点A,B,C,D,E的极坐 标分别为 A(0,0), B(60, 0),


极坐标系与直角坐标系的异同
• 相同点：两者都通过一对有序实数对表示平面上的点.
• 不同点：
– (x,y)与两坐标轴的距离有关;而(ρ,θ)与极轴出发的角 和极点的距离有关 – 在直角坐标系内平面点集与有序实数对的集合 { (x,y)|x、y∈R}一一对应，而在极坐标系内平面点集 与有序实数对的集合{ (ρ,θ)|ρ、θ∈R}不是一一对应 的（(ρ,θ )与(ρ,θ+2kπ )表示同一个点 ）
• 1. 极点与直角坐标系的原点重合; • 2. 极轴与直角坐标系的x轴的正半轴重合; • 3. 两种坐标系的单位长度相同.
互化关系式
极坐标化直角坐标： x cos , y sin
y

θ x
M ( , )
y
x
O
直角坐标化极坐标： y 2 2 2 x y , tan ( x 0) x
600 A(O) 60m B
x
π C(120, ), 3
π D(60 3, ), 2
3π E (50, ). 4
练习：在同一个极坐标中描出以下各点： π π π π A(4, ), B(4, 2 ), C (4, 4 ), D(4, 2 ) 6 6 6 6 [思考]它们所表示的点有什么关系？ π 2kπ+ 本题点M的极坐标统一表达式： 4， 6
原因在于：极角有无数个 一般地,若(ρ,θ)是一点的极坐标,则(ρ,θ+2kπ) 都可以作为它的极坐标.
如果限定ρ＞ 0, 0≤θ＜2π 特别强调： 一般情况下（若不作特别说明时），认为 ≥ 0.
或－π＜θ≤ π,
那么除极点外,平面内的点和极坐标就可以一一对应了.
3.极坐标与直角坐标的互化
互化前提
2
5 6
A(4,0)
4
D

• E •
F
。 O1
•C • B
•A
G
x
B(3, ) 4 C(2, 2 ) 5 D(5, 6 ) E(4.5, )
4 3
•
•
5 3
F(6,4) 3 G(7, 5 ) 3
例2、在极坐标系中描下列各点：
A(3, 0)、B(6,
5 6
5 4 5 )、C (1, )、D(5, )、 E(4, ), F 2, 6 2 3 3
角,叫做点M的极径, 叫做点M的极角,有序数对
(,)就叫做M的极坐标，记作M (,) .
一般地，不作特殊说明时，认为≥0， 可取任意实数.
特别规定：当点M为极点时，它的极坐标
(0, ), 可为任意值. 为____________________
M
O X
例1、 如图，写出各点的极坐标：
1、极坐标系的建立： ①在平面内取一个定点O，叫做极点. ② 从极点O点引一条射线OX，叫做极轴. ③再选定一个单位长度和角的正方向（通常取 逆时针方向）.

X 这样就建立了一个平面极坐标系，简称极坐标系.
O
2、极坐标系内一点的极坐标的规定 对于平面上任意一点M,用表示线段OM的长度,
用表示以射线OX为始边,射线OM为终边所成的
– 若规定ρ>0，θ∈[0,2π)，可使极坐标与平面内的点一 一对应(极点除外)
课堂小结
• 建立一个极坐标系需要哪些要素?
– 极点；极轴；长度单位；角度单位和它的正方向
• 极坐标系内一点的极坐标有多少种表达式？
– 无数，极角有无数个
• 一点的极坐标有否统一的表达式？
– 有，(ρ，2kπ+θ)
• 极坐标与直角坐标的互化
二
极坐标系
1.与角α终边相同的角：
β=α+2kπ,k∈Z
一一对应的. 2.平面直角坐标系中的点P与坐标(a ,b)是 _____ y 平面直角坐标系是最简 P(a,b) . b 单最常用的一种坐标系，但 不是唯一的一种坐标系. 有 时用别的坐标系比较方便.
O a
x
还有什么坐标系呢？
思考：右图是某校园的平面 示意图，假设某同学 在教学 楼处，请回答下列问题： （1）他向东偏北60 °方向 走120m后到达什么位置？ 该位置惟一确定吗？ （2）如果有人打听体育馆 和办公楼的位置，他应如何 描述？
B
5 10, 3
极坐标化直角坐标： x cos , y sin
直角坐标化极坐标： y 2 2 2 x y , tan ( x 0) x
课后思考
思考: 极坐标系中, 点M的坐标为(-10, ), 则下列各 3 坐标中, 不是M点的坐标的是( )
A
4 10, 3