2018年全国高中数学联合竞赛

２６中 等 数 学２０ １ ８年 全 国 高 中 数学 联 合 竞 赛中图分类号 Ｇ４２４ ７９ 文献标识码 Ａ文章编号 ００５ ６４ ６ ２０８ ００２６０６８设整数数列 ａａ。

满足第 试、填空题（每小题 ８ 分 共 ６４ 分）１设集合＾＝２９９Ｂ ＝２ｘｘ＾ＡＣ ｘ ２ｘ Ａ则ｆｉ ｎ ｅ 的元素个数为２设点／到平面 ａ 的距离为Ｖ５点 ？ 在平面 ａ 上 使得直线 与平面 ａ 所成 角 不小于 ３０ 。

且不大于 ６０ 。

则这样的点 所构成的区域的面积为３将 ２ ３ ４ ５ ６随机排成 行 记为ａ６ ｃ ｅ ／则 ａ６ｃ ＋ ｅｆ／ 是偶数 的 概 率为４在平面直角 坐标 系中 椭 圆 Ｃ％＋＆＝ ａ ＞ ６ ＞ ０ 的左 右焦点 分别 为ａ 〇心 Ｆ 弦 Ｓ７＼ＣＦ分别平行于 ＊ 轴 ｙ 轴 且交于点 Ｒ 已知线段／＾朽／＾／＾ 的长分别 为１ 、２ ３ ６ 则的面积为５设／ ＊ 是定义在 Ｒ 上的 以 ２ 为周期的偶函数 在区间 ０ 上严格递减 且满足／（）＝／ ２ ＝２则不等式组１＾ ＊ ＾ ２１矣／〇 矣２的解集为６设复数 ｚ 满足 ｚ＝使得关于 ＊ 的方程 ＋ ２ｚ ＋ ２ ０ 有实根 则这样 的复数ｚ的和为７设 为△ＡＢＣ 的外心 若ＡＯ＾＝ ＡＢ ＋ ２ ＡＣ则ｓ ｎ Ｚ 似 Ｃ 的值为且 ａ６ Ｕ ＋ ａ２ ＋ ａＪ ２ ９则这样的数列的 个数为二、 解答题 （ 共 ５６ 分９ ６分 已 知定义在 Ｒ ＋上的函数ｏｇ ％０ ＜％ 矣９／ ＊＝厂４／尤ｘ ＞ ９设 ６ 为三个互不相同 的实数 满足／ ａ ＝／ ６ ＝／ ｃ 求 Ｍｅ 的取值范围１０２０分已知实数列ａａ满足对任意正整数￣ 均有ａ（２Ｓ ａ ＝ １其中 表示数列 的前 ｎ 项和 证明对任意正整数 均有 ａ ＜ ２ Ａ⑵ 对任意正整数 ？ 均有 ａ？ａ ＋ ｆ１１２０ 分 在平面直角坐标系中为抛物线 ｙ ４＊ 的 过点Ｆ ０ 的 弦△ ＡＯＢ 的外接圆与抛物线交于点 Ｐ 不 同于点０ 人５ ）若 平分Ｚ 求 仲 的 所有可能值加 试、 （ ４０分设为正整数ａ ａ ａ ｈ６Ａ及４ｉｆ均为正实数满足ａ斗 ａ ＾４ “ ＝２ ｎ且丛＾ｆ 证明ａＡｆｅ＋６ ＋ ６ ＋ Ｂ ＋（ ｏ＋ ） （ ａ２ ＋ ｌ） （ ａ ｎ ＋ ｌ ） Ａ＋二 （ ４０ 分 如 图 △ 狀Ｃ 为锐角 三角形 ＡＳ ＜ ４Ｃ Ｍ 为边 ＢＣ 的 中点 Ｄ Ｅ 分别为△ Ａ５Ｃ 的 外接 圆 弧 ２、＆ 的 中 点 ｆ 为２０ ８年第期△ ４５Ｃ 内切圆 在边 ＡＳ 上的切点 ６ 为 ４￡ 与５Ｃ 的交点 点Ｖ在线段 砂 上 满足姆丄Ａ５ 证明若 ＳＶ＝瓦Ｍ则 ＤＦ 丄 ＦＧ三、 ５０ 分设为正整 数 满 足ｋ多 ２且 ｎ矣 ｍ ＜ａｒ 设 ４２ｎ为的 元子集 证明 区间〇中的每个整数均可表示为 ａ ４）四５０分 数列ａｊ 定义如下 ｌｆ 为任意正整数对整数 ｎ 多１ａ 与互素且不等于 Ａ ａ的最小正证明ａ＾数 每个正整数均在数列 Ｕ中出 现参考 答 案第 试 １２４、由条件知ｉｆｎ ｅ２４广１９８叫舍１｜２譬｝＝＝２ ４ 广 ４８故ｆｉｎ ｅ 的元素个数为 ２４２ ８设点 ／ 在平面 ａ 上的射影为 ０由条件知骂 ＝ａｎＺ —＃即 ０？ £ １３故所求的区域面积为穴 ３ ８２７考虑 ａ６ Ｃ＋ ｄｅ／ 为奇数的情况 此时 Ｗ喊奇 偶 若ａｆｅｃ为奇数 则 ａ 、 ６ｃ 为 １３、 ５ 的排列 进而 ｄ 、ｅ ／为 ２ 、４ 、６ 的排列 这样有 ３ ｘ ３３６ 种情况由对称性 知使 ｏｉｃ＋ 好 为奇数的情况数为 ３６ ｘ ２ ＝７２ 种从而 士＋ 办／ 是偶数的概率为７２７２９６７２０１０４ ｙｉ５由对称性 不碎设 Ｐ （ ＊ｐ 办 ）在第象限则由条件知Ｘ＝ｊＰＴＰＳ＝２ｐ（ｙＰ ＝ｊＰＶＰＵ ）＝ｌ即点Ｐ（２ｌ）又由 ？ ／１ １朽 ＝２ 知 ７（ ２ ２ ）Ｓ ４代人楠圆 Ｃ 的方程得今＋ 去 ＝与 ＋ 各 ＝？１ ２０ ６ ＝５ａｂａ〇故ＭｙＰ＝／ａｂ２ｙＰ＼／１５５ ２ ８ ２由／ ＊ 为偶函 数及在区间 ０ 上严格递减 知／（幻 在区间 〇 上严格递增再结合／ ＊ 以 ２ 为周期 知 ２ 是 ／ ＊ 的严格递增区间注惫到／２／／８２ ＝／２ ／ ２ ２则１矣／ ＊ ）矣２／（ ｃ２ ） ＾／（ ＊ ） ＾／（ ８ ２而 ＜ ２ ＜ ８２ 兀 ＜ ２ 故原不等式组 成立当且仅当 ＊ Ｇ２ ８ ２２ ８Ｔ＾ ｚ＝ａ ＋ ｂ （ ａ＾ ｂ Ｇ Ｒ ａ２＋ ｂ２＝）将原方程改为＝（ ａ＋ ｂ ） ｘ ＋２ （ ｏ６ ？ ＋ ２０分离实部与虚部后等价于ａｘ２＋ ２ａｘ ＋ ２ ＝ ０①ｂｘ２２ｂｘ ＝ ０②若６＝０ 则 ａ２ ＝但当 ａ 时 方程①无实数解故 ａ 此时 存在实数ａ１± Ｖ５满足方程①、②从而 ４ １满足条件若 由方程②知 ｘ ６ ０ ２ 但显然＊ 〇不满足方程① 故 ＊＝ ２代人方程①解得±４综上 满足条件的所有复数 Ｚ 的和为 ／ ７１５ ３１ ＋ ｔ Ｌ５ ｒ＋＋＝４４２ｙｉｏ４不妨设Ａ４ＳＣ 的外接圆 半径 尺 ＝２由穿牛及— —２ ＡＣ Ａ ０ＡＢ ＝ Ｂｄ？故４Ｃ ＝士＝ １取ＡＣ 的 中点Ｍ 则 ＯＭ 丄ＡＣ结合式① 知 〇Ｍ 丄 ＢＯ 且点 Ｓ 与 ４ 位于直线的同侧故ｃｏ ｓＺ 价 ＝ｃ ｏｓ９０ 。

＋ Ｚ ＭＯ Ｃ）＝ｓ ｎ Ａ ＭＯＣ＝ＸＣＯ斗在 △ ￡０（中 由 余弦定理得ＢＣ ＾ＯＢ ＋ ＯＣ２０Ｂ ０ＣｃｏｓＺ ＢＯＣ＝＾１ ０又在△ ＡｆｉＣ 中 由 正 弦定理得ＢＣｙｉ〇ｎ／ ＢＡＣ２Ｒ中 等 数 学８ ８ ０设＼ Ｇ ２ Ｋ ２则２ ａ ａ ％ ６ ＋ ６ ＋ ＋ ６①＾＋ ＋ 这 这 炫这＝６ ＋６６＋６②用 表示 ６ ６ ６ 中值为 ２ 的项数 由式② 知 也为 ６ ＡＡ 中值为２ 的项数 其中 ｅ ０ ２ ３于是 ６２ ６ ６ 的取法数为（ Ｃ°） ２ ＋ （ Ｃ ） ２ ＋ （ Ｃ＾ ） ２ ＋ （ Ｃ ） ２ ＝２０取定６ 人 ６ 后 任意指定 ６ ６的值 有 ２ ４ 种方式又由式① 知应取 卜 ６ ２使得 ￣ ＋６ ＋ ＋ ６ 为偶数 而 ６的取法是唯 的且确定了 整数 Ａ 的值因此数列＼＆２Ａ唯对应个满足条件的数列〇４ａ ０综上 满足条件的 数列 的个数为２０ ｘ ４ ＝８０二、９ 不妨设 ａ ＜ ６ ＜ ｃ由于／（％ 在区间 〇 ３ 上严格递减 在区 间 ３９ 上严格递增 在区间 ９＋ 上严格递减 且／ ３ ０ ／ ９ 则结合图像知ａ Ｇ ０ ３ ） ６ Ｇ ３ ９） ｃ Ｇ ９ ＋〇〇且 ／（０＝／ ６ ） ＝／ 〇 ６ （ ０ １由／ ａ ＝／ ６ ＝＞ｏｇ ａ＝ ｏｇ ６＝ｏｇ３ ａ ＋ｏｇ３ ６＝２＝＞ａ６ ＝３ ２＝ ９＝ａｂｃ ＝９ｃ又 ０ ＜／ｃ ＝４｛ 〈 ｌ故ｃ６ （ ９６从而 ａ６ｃ＝９ ｃ£ ８ １１４４ ）因此 Ａ 的取值范 围是 ８ １４４注 对任意的 ｒ６ ４４取 ｆ则 Ｃ〇Ｇ （９６从而 ／Ｃ。

６０１过点（ ｃ。

／（ ｃ。

） ）作平行于 ＊ 轴的直线 则 直线与／ ＊ 的图 像另有两个交点 Ｕ ／ ａ６／６ａＧ０３６Ｇ满足／ 〇 ＝／ ６ ＝／ ｃ Ｒ ａｂ ＝９从而 ａ６ｃ ＝ｒ１０ １约定 ＳＱ＝０２０８年第期由条件知对任意的正整数＼均有ｌ＝ａＢ（２ＳａＳＳＳ＋Ｓ＝ｎ从而Ｓ：＝ｒａ＋ｓｇ＝ｎ即２９（（ｙ＋ｈ）２ｙｆ）２＋６２ｙ＋ｙ（（ｙ＋Ｊ２）２ｙｌ）＋＾２ｒ＋ｒ（ｙ８＋６４＾＋＾６（ｙ卜８＋１６４４＋ｙ卜１６Ｓ＝ ±Ｖ＾（当ｎ＝〇时亦成立故ａ＝ＳＳ＾矣＋Ｖｎ＜２／ｎｙ＼＋６４ｙ９２＋６４％９２２仅需考虑ａａ＋同号的情况不失般性可设ａ八＋均为正（否则将数列各项同时变为相反数仍满足条件则＼＋从而ＳＶ＾Ｓ＋／ｎ＋此时ｎ＝Ｖ＾ ±Ｖｎｌ＋汉＋Ｔ故ａａ＜Ｖ＾＋７ｎＡ＋４ｎ＜（＋＋ｎ／ｎ＋１ｎ＝１ｆＪ由条件知％７乃两两不等且非零设心＊＝矽＋１与抛物线方程联立得ｙ２Ａｙ４＝０故他４①注意到的外接圆过点可设该圆的方程为＊＋ｙ＋办＋ｅｙ０与联立得＾＋＋ｊｙ＋ｙ〇该四次方程有ｈｙｙ〇这四个不同的实根故由韦达定理得７＋ｙ＋ｙ＋〇＝ °从而ｒ＝ｙａ②又ｐｆ平分Ｚｚｐｓ由角平分线定理知ｐａ＝ｆａ＝ｙｊＰＢＦｉｆＴ＾Ｔ结合式①②有ｙＲ４２＋ｒｒ＝Ｐｉｆ＋ｙｙ即ｙ＋６４以９２ｙｆ＝Ｗ＋６４）祝９２ｙ§故ｙＭ４＋ｒＭ＋Ｍ１９２＝０当Ｋ时ｈｙ故ｈ０此时点Ｐ与〇重合与条件不符当Ｚ＋＾＋Ｍ９２＝０时结合式①有（ｙ＼＋７２）２＝９２＋（ｙ＾ｉ）２＝２０８又Ｍ＋ｙ＝４７０＞８＝２ｙｙ２故满足式①及Ｍ４的实数％ｙ存在对应可得满足条件的点Ａ及此时结合式①②知ＰＦｙ＋ｙ＋４＝４４＝ｙ＋７４＝４７１３４４加试、由条件知＼＝」衾ｌ（＝１２ｎ）〇记＝ＫｆＷｂ辛４化为卜则ｄ需证明①＋４＋对＝２由＆多及０＜ａ＃知Ａａ＋＋１ａ＋ｋｋＡ＋１Ａ＋Ａ＋结合为证明式①仅需证明当４＞０次多１（＝２〇时有＋＋②Ａ＋ｌＡ＋３０对ｎ进行归纳当ｎ１时结论显然成立当ａｒ＝２时由４＞０ＡＡ＞１知、ｋＡ＋１ｋＡ＋１ｋｋＡ＋１Ａ＋Ａ＋Ａ＋ｌ＝２灿③Ｕ＋１因此ａｒ２时结论成立设ｎ＝ｍ时结论成立设则当时利用知ｎ＝ｍ＋归纳假ｔＭ＋１ｔｔＭ＋１＋ｊ＾＋４＋１Ａ＋ｆ、Ｊ＋Ａ＋ＷＵ＋Ｊ＋最后步是在式③中用乙Ｕ注意Ｗ丸多人＋多分别代替Ｈ从而当ｎｍ＋１时结论成立由数学归纳法知式②对所有正整数均成立故命题得证二由条件知沉为△外接圆的直径Ｚ￡丄ＢＣ于点Ｍ处丄ＡＺＸ如图２记Ｊ为ＡＡＳＣ的内心Ｄ则点／在上／Ｆ丄仙由Ｖｉｆ丄４５＝＞ＺＮＢＥ＝ＺＡＢＥＺＡＢＮ＝（１８０。

＾９０。

０中等数学＝９０°ＺＡＤＥ＝ＺＭＥＬ①又据三角形内心的性质有ＺＥＢＩ＝ＺＥＢＣ＋ＺＣＢＩ＝ＺＥＡＣ＋ＺＡＢＩ＝ＺＥＡＢ＋ＺＡＢＩ＝ＺＥＩＢ从而ＢＥ：Ｅｌ结合ｆｉＶ￡Ｍ及式①知ＡＮＢＥ＾ＡＭＥＩ＝＞ＺＥＭＩｚＢＮＥ＝９０°＋ｚＢＦＥ＝ｍ°ＺＥＦＩ＝＞￡Ｆ丄Ｍ四点共圆＝＞２＾／＝９０。

＋２／挪＝９０°＋ＺＩＥＭ＝ＺＡＧＭ＝＞４ＦＧＭ四点共圆再由Ｚ＝ＺＤＭＧ＝９０。

＝ＭＧＭＤ四点共圆４五点共圆＝＞ＺＤＦＧＺＺＭＧ９０。

々ＤＦ丄ＦＧ三反证法假设存在整数＊不可表示为ａｙａ／６ｆ作带余除法ｍｗ＋ｒ０矣ｒ＜ａ〇将２ｍ按模＊的同余类划分成％个公差为＾的等差数列其中个等差数列有９＋１项＊ｒ个等差数列有ｇ项由于４中没有两数之差为＊故４不能包含以＊为公差的等差数列的相邻两项从而ｎ＝Ａ＾ｒ＋＊＾２｝ｑ＝①ｘ＋ｒ２９２其中ｒ？ｉ表示不小于实数ａ的最小整数由条件有ｎ＞ｈｍｈｘｑ＋ｒ）②２ｉｉ２ｉｉ２０８年第期又％６卜＾＾故ｎ＞Ａ）？（１）９为奇数则由式①知《矣上式结合式②得〇＋ｋｋｘ＞ｘｑ＋＾ｘ２ｉ＾ｉ＾ｑ２２ｋ［从而ｇ＜２Ａ１再由ｇ为奇数知０２Ａ３于是ｌ）ｘ与＞（Ａ＊矛盾２９为偶数则由式①知ｎ矣ｖ＾＋ｒ上式结合式②得Ｘ＋ｒ＞Ｌｘ＋ｒ２！＾ｑ２（故＾ｍ＜ｅｆｉ＜灸１％２（２＾）２ｋ＼２ｋ于是＜２（Ａ１再由为偶数知ｇ矣２Ａ４贝ｊａｒ矣尤＋ｒ专Ａ２＊＋ｒ＜Ａ１＊与＞（＆１？矛盾综上假设不成立结论得证四显然＝１或ａ２＝１下面考虑整数ｍ＞ｌ设ｍ有Ａ个不同素因子对Ａ归纳证明ｍ在数列ａ中出现记５＝％＋＋ａ（ｒａ＞灸时饥为素数方幂设ｍ＝ｐａａ＞０ｐ为素数假设ｍ不在数列＾中出现由于Ｕ各项互不相同从而存在正整数＃当ｎ多＃３与３互素又＾七ａ中无项是ｐ故由数列定义知ａ矣圹但是ａ＞圹矛盾于是对每个ｎ多Ｖ均有ＰＳ但由ｐＳ？及夕＼知ｐａ？从而ａｎ＋与不互素这与ａ＋的定义矛盾假设彡２且结论对成立设ｍ的标准分解为ｍ假设饥不在数列Ｗ中出现于是存在正整数Ｍ当５＾时均有＼＞ｍ取充分大的正整数执戌使得Ｍ＝Ｐ？ｐｆｐｆ＞ｍ＾〇下面证明对参Ｗ有ａ＋对任意的若与＊；２九互素则ｗ与Ｓ互素又ｍ在ａａａｎ中均未出现而＼＞ｍ这与数列的定义矛盾由此推出对任意的ＳＷＳ？与凡朽八不互素①若存在Ａｄ使得Ｐ由于Ｕｓ于是凡ａ＋从而ｌｆ＋＃财因Ａ财）若对每个１Ａｄ均有Ｐｔｓ则由结论①知必有／于是ｐ１ａ进而ＰＨ＋ａ？＋即八１Ｓ＋故由结论① 知存在〇（Ａ〇矣Ａｌ使得ＰＳ？＋再由乂及前面的假设Ｓ＋ａ＋ｔ＝ｓ（１矣＾）知故ａ＋＃Ｍ由此得出对于＋均有而Ｍ＞ｍａｘａ故Ｍ不在数列ａ中出现这与归纳假设矛盾因此若ｍ有丨个不同素因子则ｍ定在ａ？中出现由数学归纳法知所有正整数均在数列＼中出现时均有ａ＞ｐ°若对某个＾ＶＰｔＳ？则（段华贵提供）。