【数学】南京市2017-2018学年高二上学期期末考试数学试题含答案
20162017学年江苏省南京市高二(上)期末数学试卷(理科)
2016-2017学年江苏省南京市高二（上）期末数学试卷（理科）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置上1．（5分）命题“若a=b，则|a|=|b|”的逆否命题是．2．（5分）双曲线=1的渐近线方程是．3．（5分）已知复数为纯虚数，其中i是虚数单位，则实数a的值是．4．（5分）在平面直角坐标系xOy中，点（4，3）到直线3x﹣4y+a=0的距离为1，则实数a的值是．5．（5分）曲线y=x4与直线y=4x+b相切，则实数b的值是．6．（5分）已知实数x，y满足条件则z=2x+y的最大值是．7．（5分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线C：y2=4x的焦点为F，P为抛物线C上一点，且PF=5，则点P的横坐标是．8．（5分）在平面直角坐标系xOy中，圆O：x2+y2=r2（r＞0）与圆M：（x﹣3）2+（y+4）2=4相交，则r的取值范围是．9．（5分）观察下列等式：（sin）﹣2+（sin）﹣2=×1×2；（sin）﹣2+（sin）﹣2+（sin）﹣2+sin（）﹣2=×2×3；（sin）﹣2+（sin）﹣2+（sin）﹣2+…+sin（）﹣2=×3×4；（sin）﹣2+（sin）﹣2+（sin）﹣2+…+sin（）﹣2=×4×5；…照此规律，（sin）﹣2+（sin）﹣2+（sin）﹣2+…+（sin）﹣2=．10．（5分）若“∃x∈R，x2+ax+a=0”是真命题，则实数a的取值范围是．11．（5分）已知函数f（x）=（x2+x+m）e x（其中m∈R，e为自然对数的底数）．若在x=﹣3处函数f （x）有极大值，则函数f （x）的极小值是．12．（5分）有下列命题：①“m＞0”是“方程x2+my2=1表示椭圆”的充要条件；②“a=1”是“直线l1：ax+y﹣1=0与直线l2：x+ay﹣2=0平行”的充分不必要条件；③“函数f （x）=x3+mx单调递增”是“m＞0”的充要条件；④已知p，q是两个不等价命题，则“p或q是真命题”是“p且q是真命题”的必要不充分条件．其中所有真命题的序号是．13．（5分）已知椭圆E：+=1（a＞b＞0）的焦距为2c（c＞0），左焦点为F，点M的坐标为（﹣2c，0）．若椭圆E上存在点P，使得PM=PF，则椭圆E 离心率的取值范围是．14．（5分）已知t＞0，函数f（x）=，若函数g（x）=f（f（x）﹣1）恰有6个不同的零点，则实数t的取值范围是．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC三个顶点坐标为A（7，8），B（10，4），C（2，﹣4）．（1）求BC边上的中线所在直线的方程；（2）求BC边上的高所在直线的方程．16．（14分）已知数列{a n}满足a1=1，（a n﹣3）a n+1﹣a n+4=0（n∈N*）．（1）求a2，a3，a4；（2）猜想{a n}的通项公式，并用数学归纳法证明．17．（14分）在平面直角坐标系xOy中，已知圆M的圆心在直线y=﹣2x上，且圆M与直线x+y﹣1=0相切于点P（2，﹣1）．（1）求圆M的方程；（2）过坐标原点O的直线l被圆M截得的弦长为，求直线l的方程．18．（16分）某休闲广场中央有一个半径为1（百米）的圆形花坛，现计划在该花坛内建造一条六边形观光步道，围出一个由两个全等的等腰梯形（梯形ABCF和梯形DEFC）构成的六边形ABCDEF区域，其中A、B、C、D、E、F都在圆周上，CF为圆的直径（如图）．设∠AOF=θ，其中O为圆心．（1）把六边形ABCDEF的面积表示成关于θ的函数f（θ）；（2）当θ为何值时，可使得六边形区域面积达到最大？并求最大面积．19．（16分）在平面直角坐标系xOy中，椭圆E：+=1（a＞b＞0）的离心率为，两个顶点分别为A（﹣a，0），B（a，0），点M（﹣1，0），且3=，过点M斜率为k（k≠0）的直线交椭圆E于C，D两点，其中点C在x轴上方．（1）求椭圆E的方程；（2）若BC⊥CD，求k的值；（3）记直线AD，BC的斜率分别为k1，k2，求证：为定值．20．（16分）已知函数f（x）=ax﹣lnx（a∈R）．（1）当a=1时，求f（x）的最小值；（2）若存在x∈[1，3]，使+lnx=2成立，求a的取值范围；（3）若对任意的x∈[1，+∞），有f（x）≥f（）成立，求a的取值范围．2016-2017学年江苏省南京市高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置上1．（5分）命题“若a=b，则|a|=|b|”的逆否命题是若|a|≠|b|，则a≠b．【解答】解：命题“若a=b，则|a|=|b|”的逆否命题是命题“若|a|≠|b|，则a≠b”，故答案为：“若|a|≠|b|，则a≠b”2．（5分）双曲线=1的渐近线方程是y=±2x．【解答】解：∵双曲线标准方程为=1，其渐近线方程是=0，整理得y=±2x．故答案为y=±2x．3．（5分）已知复数为纯虚数，其中i是虚数单位，则实数a的值是2．【解答】解：==，∵复数为纯虚数，∴，解得a=2．故答案为：2．4．（5分）在平面直角坐标系xOy中，点（4，3）到直线3x﹣4y+a=0的距离为1，则实数a的值是±5．【解答】解：由题意，=1，∴a=±5．故答案为±5．5．（5分）曲线y=x4与直线y=4x+b相切，则实数b的值是﹣3．【解答】解：设直线与曲线的切点为P（m，n）则有：⇒，化简求：m=1，b=n﹣4；又因为点P满足曲线y=x4，所以：n=1；则：b=n﹣4=﹣3；故答案为：﹣3．6．（5分）已知实数x，y满足条件则z=2x+y的最大值是9．【解答】解：实数x，y满足条件作出不等式组对应的平面区域如图：由z=2x+y得y=﹣2x+z，平移直线y=﹣2x+z，则当直线y=﹣2x+z经过点A时，直线的截距最大，此时z最大，由可得A（3，3）．此时z=9，故答案为：9．7．（5分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线C：y2=4x的焦点为F，P为抛物线C上一点，且PF=5，则点P的横坐标是4．【解答】解：∵抛物线y2=4x=2px，∴p=2，由抛物线定义可知，抛物线上任一点到焦点的距离与到准线的距离是相等的，∴|PF|=x+1=5，∴x=4，故答案为：48．（5分）在平面直角坐标系xOy中，圆O：x2+y2=r2（r＞0）与圆M：（x﹣3）2+（y+4）2=4相交，则r的取值范围是3＜r＜7．【解答】解：由题意，圆心距为5，∴|r﹣2|＜5＜r+2，∴3＜r＜7．故答案为3＜r＜7．9．（5分）观察下列等式：（sin）﹣2+（sin）﹣2=×1×2；（sin）﹣2+（sin）﹣2+（sin）﹣2+sin（）﹣2=×2×3；（sin）﹣2+（sin）﹣2+（sin）﹣2+…+sin（）﹣2=×3×4；（sin）﹣2+（sin）﹣2+（sin）﹣2+…+sin（）﹣2=×4×5；…照此规律，（sin）﹣2+（sin）﹣2+（sin）﹣2+…+（sin）﹣2=n（n+1）．【解答】解：观察下列等式：（sin）﹣2+（sin）﹣2=×1×2；（sin）﹣2+（sin）﹣2+（sin）﹣2+sin（）﹣2=×2×3；（sin）﹣2+（sin）﹣2+（sin）﹣2+…+sin（）﹣2=×3×4；（sin）﹣2+（sin）﹣2+（sin）﹣2+…+sin（）﹣2=×4×5；…照此规律（sin）﹣2+（sin）﹣2+（sin）﹣2+…+（sin）﹣2=×n （n+1），故答案为：n（n+1）10．（5分）若“∃x∈R，x2+ax+a=0”是真命题，则实数a的取值范围是（﹣∞，0]∪[4，+∞）．【解答】解：若“∃x∈R，x2+ax+a=0”是真命题，则△=a2﹣4a≥0，解得：a∈（﹣∞，0]∪[4，+∞），故答案为：（﹣∞，0]∪[4，+∞）11．（5分）已知函数f（x）=（x2+x+m）e x（其中m∈R，e为自然对数的底数）．若在x=﹣3处函数f （x）有极大值，则函数f （x）的极小值是﹣1．【解答】解：f（x）=（x2+x+m）e x，f′（x）=（x2+3x+m+1）e x，若f（x）在x=﹣3处函数f （x）有极大值，则f′（﹣3）=0，解得：m=﹣1，故f（x）=（x2+x﹣1）e x，f′（x）=（x2+3x）e x，令f′（x）＞0，解得：x＞0，令f′（x）＜0，解得：x＜﹣3，故f（x）在（﹣∞，﹣3）递增，在（﹣3，0）递减，在（0，+∞）递增，故f（x）=f（0）=﹣1，极小值故答案为：﹣1．12．（5分）有下列命题：①“m＞0”是“方程x2+my2=1表示椭圆”的充要条件；②“a=1”是“直线l1：ax+y﹣1=0与直线l2：x+ay﹣2=0平行”的充分不必要条件；③“函数f （x）=x3+mx单调递增”是“m＞0”的充要条件；④已知p，q是两个不等价命题，则“p或q是真命题”是“p且q是真命题”的必要不充分条件．其中所有真命题的序号是②④．【解答】解：对于①，当m=1时，方程x2+my2=1表示圆，故错；对于②，∵a=±1时，直线l1与直线l2都平行，故正确；对于③，若函数f （x）=x3+mx单调递增⇒m≥0，故错；对于④，p或q是真命题⇒p且q不一定是真命题；⇒p且q是真命题⇒p或q 一定是真命题，故正确；故答案为：②④13．（5分）已知椭圆E：+=1（a＞b＞0）的焦距为2c（c＞0），左焦点为F，点M的坐标为（﹣2c，0）．若椭圆E上存在点P，使得PM=PF，则椭圆E 离心率的取值范围是[] ．【解答】解：设P（x，y），由PM=PF⇒PM2=2PF2⇒（x+2c）2+y2=2（x+c）2+2y2⇒x2+y2=2c2，椭圆E上存在点P，使得PM=PF，则圆x2+y2=2c2与椭圆E：+=1（a＞b ＞0）有公共点，∴b≤≤a⇒⇒．故答案为：[]14．（5分）已知t＞0，函数f（x）=，若函数g（x）=f（f（x）﹣1）恰有6个不同的零点，则实数t的取值范围是（3，4）．【解答】解：∵函数f（x）=，∴函数f′（x）=，当x＜，或x＜t时，f′（x）＞0，函数为增函数，当＜x＜t时，f′（x）＜0，函数为减函数，故当x=时，函数f（x）取极大值，函数f（x）有两个零点0和t，若函数g（x）=f（f（x）﹣1）恰有6个不同的零点，则方程f（x）﹣1=0和f（x）﹣1=t各有三个解，即函数f（x）的图象与y=1和y=t+1各有三个零点，由y|x=t==，故，=（t﹣3）（2t+3）2＞0得：t＞3，故不等式的解集为：t∈（3，4），故答案为：（3，4）二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC三个顶点坐标为A（7，8），B（10，4），C（2，﹣4）．（1）求BC边上的中线所在直线的方程；（2）求BC边上的高所在直线的方程．【解答】解：（1）由B（10，4），C（2，﹣4），得BC中点D的坐标为（6，0），…（2分）所以AD的斜率为k==8，…（5分）所以BC边上的中线AD所在直线的方程为y﹣0=8（x﹣6），即8x﹣y﹣48=0．…（7分）（2）由B（10，4），C（2，﹣4），得BC所在直线的斜率为k==1，…（9分）所以BC边上的高所在直线的斜率为﹣1，…（12分）所以BC边上的高所在直线的方程为y﹣8=﹣1（x﹣7），即x+y﹣15=0．…（14分）16．（14分）已知数列{a n}满足a1=1，（a n﹣3）a n+1﹣a n+4=0（n∈N*）．（1）求a2，a3，a4；（2）猜想{a n}的通项公式，并用数学归纳法证明．【解答】解：（1）令n=1，﹣2a2+3=0，a2=，令n=2，﹣a3﹣+4=0，a3=，令n=3，﹣a4﹣+4=0，a4=．（2）猜想a n=（n∈N*）．证明：当n=1时，a1=1=，所以a n=成立，假设当n=k时，a n=成立，即a k=，则（a k﹣3）a k+1﹣a k+4=0，即（﹣3）a k+1﹣+4=0，所以a k=，即a k+1==，+1所以当n=k+1时，结论a n=成立．综上，对任意的n∈N*，a n=成立．17．（14分）在平面直角坐标系xOy中，已知圆M的圆心在直线y=﹣2x上，且圆M与直线x+y﹣1=0相切于点P（2，﹣1）．（1）求圆M的方程；（2）过坐标原点O的直线l被圆M截得的弦长为，求直线l的方程．【解答】解：（1）过点（2，﹣1）且与直线x+y﹣1=0垂直的直线方程为x﹣y﹣3=0，…（2分）由解得，所以圆心M的坐标为（1，﹣2），…（4分）所以圆M的半径为r=，…（6分）所以圆M的方程为（x﹣1）2+（y+2）2=2．…（7分）（2）因为直线l被圆M截得的弦长为，所以圆心M到直线l的距离为d==，…（9分）若直线l的斜率不存在，则l为x=0，此时，圆心M到l的距离为1，不符合题意．若直线l的斜率存在，设直线l的方程为y=kx，即kx﹣y=0，由d==，…（11分）整理得k2+8k+7=0，解得k=﹣1或﹣7，…（13分）所以直线l的方程为x+y=0或7x+y=0．…（14分）18．（16分）某休闲广场中央有一个半径为1（百米）的圆形花坛，现计划在该花坛内建造一条六边形观光步道，围出一个由两个全等的等腰梯形（梯形ABCF 和梯形DEFC）构成的六边形ABCDEF区域，其中A、B、C、D、E、F都在圆周上，CF为圆的直径（如图）．设∠AOF=θ，其中O为圆心．（1）把六边形ABCDEF的面积表示成关于θ的函数f（θ）；（2）当θ为何值时，可使得六边形区域面积达到最大？并求最大面积．【解答】（本题满分16分）解：（1）作AH⊥CF于H，则OH=cosθ，AB=2OH=2cosθ，AH=sinθ，…（2分）则六边形的面积为f （θ）=2×（AB+CF）×AH=（2cosθ+2）sinθ=2（cosθ+1）sinθ，θ∈（0，）．…（6分）（2）f′（θ）=2[﹣sinθsinθ+（cosθ+1）cosθ]=2（2cos2θ+cosθ﹣1）=2（2cosθ﹣1）（cosθ+1）．…（10分）令f′（θ）=0，因为θ∈（0，），所以cosθ=，即θ=，…（12分）当θ∈（0，）时，f′（θ）＞0，所以f （θ）在（0，）上单调递增；当θ∈（，）时，f′（θ）＜0，所以f （θ）在（，）上单调递减，…（14分）所以当θ=时，f （θ）取最大值f （）=2（cos+1）sin=．…（15分）答：当θ=时，可使得六边形区域面积达到最大，最大面积为平方百米．…（16分）19．（16分）在平面直角坐标系xOy中，椭圆E：+=1（a＞b＞0）的离心率为，两个顶点分别为A（﹣a，0），B（a，0），点M（﹣1，0），且3=，过点M斜率为k（k≠0）的直线交椭圆E于C，D两点，其中点C在x轴上方．（1）求椭圆E的方程；（2）若BC⊥CD，求k的值；（3）记直线AD，BC的斜率分别为k1，k2，求证：为定值．【解答】解：（1）因为3=，所以3（﹣1+a，0）=（a+1，0），解得a=2．…（2分）又因为=，所以c=，所以b2=a2﹣c2=1，所以椭圆E的方程为+y2=1．…（4分）（2）设点C的坐标为（x0，y0），y0＞0，则=（﹣1﹣x0，﹣y0），=（2﹣x0，﹣y0）．因为BC⊥CD，所以（﹣1﹣x0）（2﹣x0）+y02=0．①…（6分）又因为+y02=1，②联立①②，解得x0=﹣，y0=，…（8分）所以k==2．…（10分）（3），设C（x0，y0），则CD：y=（x+1）（﹣2＜x0＜2且x0≠﹣1），由消去y，得x2+8y02x+4y02﹣4（x0+1）2=0．…（12分）又因为+y02=1，所以得D（，），…（14分）所以===3，所以为定值．…（16分）20．（16分）已知函数f（x）=ax﹣lnx（a∈R）．（1）当a=1时，求f（x）的最小值；（2）若存在x∈[1，3]，使+lnx=2成立，求a的取值范围；（3）若对任意的x∈[1，+∞），有f（x）≥f（）成立，求a的取值范围．【解答】解：（1）f（x）=x﹣lnx（x＞0）的导数为f′（x）=1﹣=，当x＞1时，f′（x）＞0，f（x）递增；当0＜x＜1时，f′（x）＞0，f（x）递减．即有f（x）在x=1处取得极小值，也为最小值，且为1；（2）存在x∈[1，3]，使+lnx=2成立，即为=2﹣lnx，即有a=，设g（x）=，x∈[1，3]，则g′（x）=（1﹣lnx）（1+），当1＜x＜e时，g′（x）＞0，g（x）递增；当e＜x＜3时，g′（x）＜0，g（x）递减．则g（x）在x=e处取得极大值，且为最大值e+；g（1）=2，g（3）=3（2﹣ln3）+＞2，则a的取值范围是[2，e+]；（3）若对任意的x∈[1，+∞），有f（x）≥f（）成立，即为ax﹣lnx≥﹣ln，即有a（x﹣）≥2lnx，x≥1，令F（x）=a（x﹣）﹣2lnx，x≥1，F′（x）=a（1+）﹣，当x=1时，原不等式显然成立；当x＞1时，由题意可得F′（x）≥0在（1，+∞）恒成立，即有a（1+）﹣≥0，即a≥，由=＜=1，则a≥1．综上可得a的取值范围是[1，+∞）．。
江苏省南京市数学高二上学期理数期末考试试卷
江苏省南京市数学高二上学期理数期末考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共10题；共20分)1. （2分）命题：“若-1<x<1，则x2<1”的逆否命题是（）A . 若或，则B . 若x2<1，则-1<x<1C . 若x2>1，则x>1或x<-1D . 若，则或2. （2分）已知在区间[-1,1]上是增函数，实数a组成集合A；设关于x的方程的两个非零实根x1,x2实数m使得不等式使得对任意及恒成立，则m的解集是（）A .B .C . (-2.5,2.5)D . (-2,2)3. （2分）(2012·天津理) 设φ∈R，则“φ=0”是“f（x）=cos（x+φ）（x∈R）为偶函数”的（）A . 充分而不必要条件B . 必要而不充分条件C . 充分必要条件D . 既不充分也不必要条件4. （2分） (2019高二上·双流期中) 焦点在x轴上的椭圆的离心率e= ，F ， A分别是椭圆的左焦点和右顶点，P是椭圆上任意一点，则的最大值为（）A . 4B . 6C . 8D . 105. （2分）各项均为正数的等比数列{an}中，a2a5a8=8，则log2a4+log2a6=（）A . 1B . 2C . 3D . 46. （2分） (2016高二上·湖北期中) 已知点P（x，y）满足过点P的直线与圆x2+y2=36相交于A，B两点，则|AB|的最小值为（）A . 8B .C .D . 107. （2分） (2016高三上·长宁期中) 等差数列{an}中，已知3a5=7a10 ，且a1＜0，则数列{an}前n项和Sn（n∈N*）中最小的是（）A . S7或S8B . S12C . S13D . S148. （2分）(2017·四川模拟) 过点M（2，﹣2p）引抛物线x2=2py（p＞0）的切线，切点分别为A，B，若，则p的值是（）A . 1或2B . 或2C . 1D . 29. （2分） (2019高二上·郑州期中) 在中，A ， B ， C的对边分别为a ， b ， c ，，则的形状一定是（）A . 直角三角形B . 等边三角形C . 等腰三角形D . 等腰直角三角形10. （2分） (2017高二下·赤峰期末) 已知，分别为双曲线：（，）的左、右顶点，是上一点，且直线，的斜率之积为2，则的离心率为（）A .B .C .D .二、填空题 (共3题；共3分)11. （1分）在实数范围内因式分解：x2﹣2=________．12. （1分）设向量 =（1，2）， =（2，3），若向量k + 与向量 =（4，﹣7）共线，则k=________．13. （1分） (2016高二上·宜春期中) 己知数列{an}的前n项和满足Sn=2n+1﹣1，则an=________．三、解答题 (共6题；共50分)14. （5分）已知命题命题，若命题“”是真命题，求实数的取值范围．15. （10分） (2016高一下·徐州期末) 在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2asinB=b．（1）求角A的大小；（2）若a=6，b+c=8，求△ABC的面积．16. （5分） (2016高三上·成都期中) 已知数列{an}的前n项和Sn满足2Sn=3an﹣1，其中n∈N* ．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）设anbn= ，求数列{bn}的前n项和为Tn ．17. （10分） (2016高一下·威海期末) 如图，在xOy平面上，点A，B在单位圆上，已知A（1，0），∠AOB=θ（0＜θ＜π）（1）若点B（﹣，），求的值；（2）若，，求tanθ的值．18. （10分） (2019高二上·河南期中) 已知数列满足，．（1）求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式；（2）记，为数列的前项和，若对任意的正整数都成立，求实数的最小值．19. （10分）已知抛物线上的一点的横坐标为，焦点为，且，直线与抛物线交于两点.（1）求抛物线的方程；（2）若是轴上一点，且△ 的面积等于，求点的坐标.参考答案一、选择题 (共10题；共20分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、二、填空题 (共3题；共3分)11-1、12-1、13-1、三、解答题 (共6题；共50分)14-1、15-1、15-2、16-1、17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、19-2、。
南京市高二上学期数学期末复习(文解析版)
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．1．写出命题“若a2＞b2，则|a|＞|b|”的逆命题．2．抛物线y2=4x的焦点坐标为．3．如图所示的伪代码，如果输入x的值为5，则输出的结果y为．4．如图，在一个面积为8的矩形中随机撒一粒黄豆，若黄豆落到阴影部分的概率为，则阴影部分的面积为．5．如图是一个算法流程图，则输出的结果S为．6．在平面直角坐标系xOy中，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，若点P在椭圆上，且PF1=2，则PF2的值是．7．已知函数f（x）=2e x+1，则f'（0）的值是．8．已知p：x=1，q：x3﹣2x+1=0，则p是q的条件（从“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分又不必要”中选出适当的一种填空）．9．在平面直角坐标系xOy中，双曲线的一条准线与抛物线y2=2px（p ＞0）的准线重合，则实数p的值是．10．如图，椭圆的上、下顶点分别为B2，B1，左、右顶点分别为A1，A2，若线段A2B2的垂直平分线恰好经过B1，则椭圆的离心率是．11．在平面直角坐标系xOy中，F是椭圆（a＞b＞0）的左焦点，点P 在椭圆上，直线PF与以OF为直径的圆相交于点M（异于点F），若点M为PF的中点，且直线PF的斜率为，则椭圆的离心率为．12．若方程有两个不相等实数根，则实数a的取值范围是．13．在平面直角坐标xOy中，已知A（1，0），B（4，0），圆（x﹣a）2+y2=1上存在唯一的点P满足，则实数a的取值集合是．14．设a＞0，函数f（x）=x+，g（x）=x﹣lnx，若对任意的x2∈[，1]，存在，f（x1）≥g（x2）成立，则实数a的取值范围是．二、解答题：（本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）15．（14分）已知p：x（x﹣2）≥0，q：|x﹣2|＜1，其中x是实数．（1）若命题“￢p”为真，求x的取值范围；（2）若命题p，命题q都为真，求x的取值范围．16．（14分）设复数z=a﹣i，其中i为虚数单位，a∈R．（1）若z2=﹣2i，求实数a的值；（2）若a=2，求复平面内与对应的点的坐标．17．（14分）已知函数f（x）=x3﹣ax在x=1处取得极小值，其中a是实数．（1）求实数a的值；（2）用反证法证明：当x＞0时，，中至少有一个不小于．18．（16分）运动员小王在一个如图所示的半圆形水域（O为圆心，AB是半圆的直径）进行体育训练，小王先从点A出发，沿着线段AP游泳至半圆上某点P 处，再从点P沿着弧PB跑步至点B处，最后沿着线段BA骑自行车回到点A处，本次训练结束．已知OA=1500m，小王游泳、跑步、骑自行车的平均速度分别为2m/s，4m/s，10m/s，设∠PAO=θrad．（1）若，求弧PB的长度；（2）试将小王本次训练的时间t表示为θ的函数t（θ），并写出θ的范围；（3）请判断小王本次训练时间能否超过40分钟，并说明理由．（参考公式：弧长l=rα，其中r为扇形半径，α为扇形圆心角．）19．（16分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点和动点Q（m，n）都在离心率为的椭圆（a＞b＞0）上，其中m＜0，n＞0．（1）求椭圆的方程；（2）若直线l的方程为3mx+4ny=0，点R（点R在第一象限）为直线l与椭圆的一个交点，点T在线段OR上，且QT=2．①若m=﹣1，求点T的坐标；②求证：直线QT过定点S，并求出定点S的坐标．20．（16分）已知函数f（x）=lnx+ax2（x＞0），g（x）=bx，其中a，b是实数．（1）若，求f（x）的最大值；（2）若b=2，且直线是曲线y=f（x）的一条切线，求实数a的值；（3）若a＜0，且，函数h（x）=f（x）﹣g（2x）有且只有两个不同的零点，求实数a的取值范围．高二（上）期末数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．1．写出命题“若a2＞b2，则|a|＞|b|”的逆命题若|a|＞|b|，则a2＞b2．【点评】本题主要考查四种命题的关系，根据逆命题的定义是解决本题的关键．2．抛物线y2=4x的焦点坐标为（1，0）．【解答】解：∵抛物线y2=4x是焦点在x轴正半轴的标准方程，p=2∴焦点坐标为：（1，0）故答案为：（1，0）3．如图所示的伪代码，如果输入x的值为5，则输出的结果y为23．【解答】解：根据条件语句可知该语句执行后是计算y=，当x=5时，y=52﹣2=23．故答案为：23．4．如图，在一个面积为8的矩形中随机撒一粒黄豆，若黄豆落到阴影部分的概率为，则阴影部分的面积为2．【解答】解：设阴影部分的面积为x，由概率的几何概型知，则=，解得x=2．故答案为：2．5．如图是一个算法流程图，则输出的结果S为22．【解答】解：模拟程序的运行，可得S=0，n=1满足条件n＜11，执行循环体，S=1，n=4满足条件n＜11，执行循环体，S=5，n=7满足条件n＜11，执行循环体，S=12，n=10满足条件n＜11，执行循环体，S=22，n=13不满足条件n＜11，退出循环，输出S的值为22．故答案为：22．6．在平面直角坐标系xOy中，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，若点P在椭圆上，且PF1=2，则PF2的值是4．【解答】解：由题意可知：椭圆焦点在x轴上，a=3，b=2，c=，由椭圆的定义可知：丨PF1丨+丨PF2丨=2a=6，由丨PF1丨=2，则丨PF2丨=4，∴丨PF2丨的值为4，故答案为：4．7．已知函数f（x）=2e x+1，则f'（0）的值是2．【考点】导数的运算．【分析】求函数的导数，令x=0即可．【解答】解：函数的导数f′（x）=2e x，则f′（0）=2e0=2，故答案为：2；8．已知p：x=1，q：x3﹣2x+1=0，则p是q的充分不必要条件（从“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分又不必要”中选出适当的一种填空）．【解答】解：当x=1时，x3﹣2x+1=1﹣2+1=0，设f（x）=x3﹣2x+1，∵f（﹣2）=﹣8+4+1=﹣3＜0，f（﹣1）=﹣1+2+1=2＞0，即在区间（﹣2，﹣1）内至少存在一个x，使f（x）=0，即p是q的充分不必要条件，故答案为：充分不必要；9．在平面直角坐标系xOy中，双曲线的一条准线与抛物线y2=2px（p ＞0）的准线重合，则实数p的值是3．【解答】解：抛物线y2=2px（p＞0）的准线为x=﹣．由双曲线得a2=3，b2=1，c=2．取此双曲线的一条准线x=﹣．由题意可得﹣=﹣，∴p=3．故答案为：3．10．如图，椭圆的上、下顶点分别为B2，B1，左、右顶点分别为A1，A2，若线段A2B2的垂直平分线恰好经过B1，则椭圆的离心率是．【解答】解：椭圆的上、下顶点分别为B2，B1，左、右顶点分别为A1，A2，若线段A2B2的垂直平分线恰好经过B1，可得B1B2=A2B1，即：2b=，可得：a2=3b2=3a2﹣3c2，即2a2=3c2，可得e=．故答案为：；11．在平面直角坐标系xOy中，F是椭圆（a＞b＞0）的左焦点，点P在椭圆上，直线PF与以OF为直径的圆相交于点M（异于点F），若点M为PF的中点，且直线PF的斜率为，则椭圆的离心率为﹣1．【考点】椭圆的简单性质．【分析】由C为OF的中点，则OM为△FOP的中位线，丨OP丨=2丨OM丨=c，∠PFO=60°，△FPO为等边三角形，边长为c，P（﹣c，c），代入椭圆方程： +=1，由b2=a2﹣c2，e=，0＜e＜1，即可求得椭圆的离心率．【解答】解：由题意可知：C为OF的中点，则OM为△FOP的中位线，丨OP丨=2丨OM丨=2丨OC丨=丨OF丨=c，且直线PF的斜率为，则∠PFO=60°，∴△FPO为等边三角形，边长为c，则P（﹣c，c），代入椭圆方程： +=1，由b2=a2﹣c2，e=，则e4﹣8e2+4=0，解得：e2=4±2，由0＜e＜1，解得：e=﹣1，椭圆的离心率﹣1，故答案为：﹣1．12．若方程有两个不相等实数根，则实数a的取值范围是．【解答】解：画出函数y=，与y=a（x﹣2）的图象，如图：方程有两个不相等实数根，可得：≤1，解得a∈，结合图象可得：a∈；故答案为：．13．在平面直角坐标xOy中，已知A（1，0），B（4，0），圆（x﹣a）2+y2=1上存在唯一的点P满足，则实数a的取值集合是{﹣3，﹣1，1，3} ．【解答】解：根据题意，设P（x，y），∵，∴4|PA|2=|PB|2，∴4（x﹣1）2+4y2=（x﹣4）2+y2，化为x2+y2=4，∴圆心距|a|=1或3，∴a=﹣3，﹣1，1，3．故答案为{﹣3，﹣1，1，3}．14．设a＞0，函数f（x）=x+，g（x）=x﹣lnx，若对任意的x2∈[，1]，存在，f（x1）≥g（x2）成立，则实数a的取值范围是[，+∞）∪[，] ．【解答】解：∵g（x）=x﹣lnx∴g'（x）=1﹣，x∈[，1]，g'（x）≤0，函数g（x）单调递减，g（x）的最小值为g（1）=1，f'（x）=，令f'（x）=0∵a＞0∴x=a1）=1+a2≥1恒成立，符当a≥1时，f（x）在[，1]，上单调减，f（x）最小=f（合题意；a）=2a 当时，在[，a]上单调减，在[a，1]，上单调增，f（x）最小=f（≥1，⇒；=，⇒当a时，在[，1]上单调增，f（x）最小=f（）综上：则实数a的取值范围是：[，+∞）∪[，]．故答案为：[，+∞）∪[，]．二、解答题：15．（14分）（2016秋•泰州期末）已知p：x（x﹣2）≥0，q：|x﹣2|＜1，其中x是实数．（1）若命题“￢p”为真，求x的取值范围；（2）若命题p，命题q都为真，求x的取值范围．【考点】复合命题的真假．【分析】（1）解出关于￢p的不等式，求出x的范围即可；（2）根据p且q为真，得到关于x的不等式组，解出即可．【解答】解：（1）∵命题“¬p”为真，∴x（x﹣2）＜0，∴0＜x＜2．…（7分）（2）∵命题“p且q”为真，∴“p真”且“q真”，…（9分）即∴∴2≤x＜3．…（14分）【点评】本题考查了复合命题的判断，考查不等式问题，是一道基础题．16．（14分）（2016秋•泰州期末）设复数z=a﹣i，其中i为虚数单位，a∈R．（1）若z2=﹣2i，求实数a的值；（2）若a=2，求复平面内与对应的点的坐标．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】（1）由z2=﹣2i，展开后利用复数相等的条件求得a值；（2）利用复数代数形式的乘除运算化简即可求得复平面内与对应的点的坐标．【解答】解：（1）∵z2=（a﹣i）2=a2﹣1﹣2ai，由题意，a2﹣1﹣2ai=﹣2i，∴，解得a=1．（2）由题意，z=2﹣i，∴，∴复数在复平面内所对应的点坐标为．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数相等的条件，是基础题．17．（14分）（2016秋•泰州期末）已知函数f（x）=x3﹣ax在x=1处取得极小值，其中a是实数．（1）求实数a的值；（2）用反证法证明：当x＞0时，，中至少有一个不小于．【考点】利用导数研究函数的极值；反证法与放缩法．【分析】（1）求出函数的导数，根据f′（1）=0，求出a的值即可；（2）假设，都小于，得到关于x的不等式组，得出矛盾，证出结论即可．【解答】解：（1）∵f（x）=x3﹣ax，∴f'（x）=3x2﹣a，…（2分）∵函数f（x）=x3﹣ax在x=1处取得极小值，∴f'（1）=0，…即3﹣a=0，∴a=3．…（7分）证明：（2）假设，都小于即…（9分）∴∴，…（11分）即，当x＞0时，，当且仅当，即时等号成立，∴假设不成立，∴，中至少有一个不小于…（14分）【点评】本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用以及反证法的应用，是一道中档题．18．（16分）（2016秋•泰州期末）运动员小王在一个如图所示的半圆形水域（O 为圆心，AB是半圆的直径）进行体育训练，小王先从点A出发，沿着线段AP 游泳至半圆上某点P处，再从点P沿着弧PB跑步至点B处，最后沿着线段BA 骑自行车回到点A处，本次训练结束．已知OA=1500m，小王游泳、跑步、骑自行车的平均速度分别为2m/s，4m/s，10m/s，设∠PAO=θrad．（1）若，求弧PB的长度；（2）试将小王本次训练的时间t表示为θ的函数t（θ），并写出θ的范围；（3）请判断小王本次训练时间能否超过40分钟，并说明理由．（参考公式：弧长l=rα，其中r为扇形半径，α为扇形圆心角．）【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】（1）求出∠POB的弧度，从而求出PB的长度即可；（2）根据PB的长，求出t（θ）的解析式即可；（3）求出函数的导数，根据函数的单调性求出t（θ）的最大值，带入计算比较即可．【解答】解：（1）∵，∴m．（2）在OAP中，AP=2OAcosθ=3000cosθ，在扇形OPB中，，又BA=2OA=3000，∴小王本次训练的总时间：=，，（3）由（2）得：，令t'（θ）=0，得，∴，列表如下，从上表可知，当时，t（θ）取得极大值，且是最大值，∴t（θ）的最大值是，（3）∵，π＜3.2，∴，∵2200＜40×60，∴小王本次训练时间不能超到40分钟．【点评】本题考查了弧长公式，考查函数的单调性、最值问题，是一道综合题．19．（16分）（2016秋•泰州期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，点和动点Q（m，n）都在离心率为的椭圆（a＞b＞0）上，其中m＜0，n＞0．（1）求椭圆的方程；（2）若直线l的方程为3mx+4ny=0，点R（点R在第一象限）为直线l与椭圆的一个交点，点T在线段OR上，且QT=2．①若m=﹣1，求点T的坐标；②求证：直线QT过定点S，并求出定点S的坐标．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）由离心率，a=2c，，点在椭圆上，代入即可求得c的值，即可求得椭圆方程；（2）①设，由|QT|=2，由两点直线的距离公式可知：，将Q点代入椭圆方程，，代入，由m=﹣1，即可求得T点坐标；②由①可知，，利用斜率公式可知：k QT=，直线QT的方程为，即，直线QT过定点（1，0）．【解答】解：（1）由题意，椭圆（a＞b＞0）焦点在x轴上，离心率，∴a=2c，，∵点在椭圆上，∴，解得：c=1，∴，∴椭圆C的标准方程为；…（2）①设，其中0＜t＜2，∵|QT|=2，∴，即，（*）…（7分）∵点Q（m，n）在椭圆上，∴，则，代入（*）式，得，，∴或，∵0＜t＜2，∴，…（9分）∴，由题意，m=﹣1，∴，∵n＞0，∴，则T点坐标，…（11分）②证明：由①可知，，∴直线QT的斜率，…（13分）∴直线QT的方程为，即，∴直线QT过定点S（1，0）．…（16分）【点评】本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，考查只有与椭圆的位置关系，直线的斜率公式，考查计算能力，属于中档题．20．（16分）（2016秋•泰州期末）已知函数f（x）=lnx+ax2（x＞0），g（x）=bx，其中a，b是实数．（1）若，求f（x）的最大值；（2）若b=2，且直线是曲线y=f（x）的一条切线，求实数a的值；（3）若a＜0，且，函数h（x）=f（x）﹣g（2x）有且只有两个不同的零点，求实数a的取值范围．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）求出函数的导数，解关于导函数的方程，求出函数的单调区间，从而求出函数的最值问题；（2）设出切点坐标，表示出切线方程，得到lnx0﹣x0+1=0，设t（x）=lnx﹣x+1，x＞0，根据函数的单调性求出a的值即可；（3）通过讨论a的范围，求出函数的单调性，结合函数h（x）=f（x）﹣g（2x）有且只有两个不同的零点，求出a的范围即可．【解答】解：（1）由题意，，x＞0，∴，令f'（x）=0，x=1，…（2分）从上表可知，当x=1时，f（x）取得极大值，且是最大值，∴f（x）的最大值是．…（2）由题意，直线是曲线y=lnx+ax2的一条切线，设切点，∴切线的斜率为，∴切线的方程为，即，∴…（6分）∴lnx0﹣x0+1=0，设t（x）=lnx﹣x+1，x＞0，∴，当x∈（0，1）时，t'（x）＞0，当x∈（1，+∞）时，t'（x）＜0，∴t（x）在x=1处取得极大值，且是最大值，∴t（x）max=t（1）=0，∵t（x0）=0，∴x0=1，此时．…（10分）（3）∵，∴，x＞0，∴，（ⅰ）当﹣1≤a≤0时，当0＜x＜1时，h'（x）＞0，当x＞1时，h'（x）＜0，∴函数h（x）在x=1处取得极大值，且是最大值，∴h（x）≤h（1）=﹣1，函数h（x）在区间（0，+∞）上无零点，…（12分）（ⅱ）当a＜﹣1时，令h'（x）=0，得，x2=1，由（2）可知，t（x）≤0，即lnx≤x﹣1，∴，其中，又h（1）=﹣a﹣1＞0，且函数h（x）在（0，1）上不间断，∴函数h（x）在（0，1）上存在零点，另外，当x∈（0，1）时，h'（x）＜0，故函数h（x）在（0，1）上是单调减函数，∴函数h（x）在（0，1）上只有一个零点，∵h（2）=ln2+a×22﹣（2a+1）×2=ln2﹣2＜0，又h（1）=﹣a﹣1＞0，且函数h（x）在（1，+∞）上不间断，∴函数h（x）在（1，+∞）上存在零点，另外，当x∈（1，+∞）时，h'（x）＞0，故函数h（x）在（1，+∞）上是单调增函数，∴函数h（x）在（1，+∞）上只有一个零点，∴当﹣1≤a≤0时，h（x）在区间（0，+∞）上无零点，当a＜﹣1时，h（x）在区间（0，+∞）上恰有2个不同的零点，综上所述，实数a的取值范围是（﹣∞，﹣1）．…（16分）【点评】本题考查了切线方程问题，考查函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，是一道综合题．。
江苏南京市2016-2017高二数学上学期期末试题文附答案
江苏南京市2016-2017高二数学上学期期末试题（文附答案）南京市2016－2017学年度第一学期期末检测卷高二数学（文科）2017.01注意事项：1．本试卷共4页，包括填空题（第1题~第14题）、解答题（第15题~第20题）两部分．本试卷满分为160分，考试时间为120分钟．2．答题前，请务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题卡的密封线内．试题的答案写在答题卡上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题卡．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置上1．命题“若a＝b，则|a|＝|b|”的逆否命题是▲．2．双曲线x2－y24＝1的渐近线方程是▲．3．已知复数a＋2i1－i为纯虚数，其中i是虚数单位，则实数a的值是▲．4．在平面直角坐标系xOy中，点(4，3)到直线3x－4y＋a＝0的距离为1，则实数a的值是▲．5．曲线y＝x4与直线y＝4x＋b相切，则实数b的值是▲．6．已知实数x，y满足条件x＋y－2≥0，x－y≤0，y≤3，则z＝2x＋y的最大值是▲．7．在平面直角坐标系xOy中，抛物线C:y2＝4x的焦点为F，P为抛物线C上一点，且PF＝5，则点P的横坐标是▲．8．在平面直角坐标系xOy中，圆O:x2＋y2＝r2(r＞0)与圆M:(x－3)2＋(y＋4)2＝4相交，则r的取值范围是▲．9．观察下列等式：(sinπ3)－2＋(sin2π3)－2＝43×1×2；(sinπ5)－2＋(sin2π5)－2＋(sin3π5)－2＋(sin4π5)－2＝43×2×3；(sinπ7)－2＋(sin2π7)－2＋(sin3π7)－2＋…＋(sin6π7)－2＝43×3×4；(sinπ9)－2＋(sin2π9)－2＋(sin3π9)－2＋…＋(sin8π9)－2＝43×4×5；……依此规律，当n∈N*时，(sinπ2n＋1)－2＋(sin2π2n＋1)－2＋(sin3π2n＋1)－2＋…＋(sin2nπ2n＋1)－2＝▲．10．若“x∈R，x2＋ax＋a＝0”是真命题，则实数a的取值范围是▲．11．已知函数f(x)＝(x2＋x＋m)ex(其中m∈R，e为自然对数的底数)．若在x＝－3处函数f(x)有极大值，则函数f(x)的极小值是▲．12．有下列命题：①“m＞0”是“方程x2＋my2＝1表示椭圆”的充要条件；②“a＝1”是“直线l1:ax＋y－1＝0与直线l2:x＋ay－2＝0平行”的充分不必要条件；③“函数f(x)＝x3＋mx单调递增”是“m＞0”的充要条件；④已知p，q是两个不等价命题，则“p或q是真命题”是“p且q是真命题”的必要不充分条件．其中所有真命题的序号是▲．13．已知椭圆E：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的焦距为2c(c＞0)，左焦点为F，点M的坐标为(－2c，0)．若椭圆E上存在点P，使得PM＝2PF，则椭圆E离心率的取值范围是▲．14．已知t＞0，函数f(x)＝x(x－t)2，x≤t，14x，x＞t．若函数g(x)＝f(f(x)－1)恰有6个不同的零点，则实数t的取值范围是▲．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．(本题满分14分)在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC三个顶点坐标为A(7，8)，B(10，4)，C(2，－4)．(1)求BC边上的中线所在直线的方程；(2)求BC边上的高所在直线的方程．16．（本题满分14分）已知复数z1＝m－2i，复数z2＝1－ni，其中i是虚数单位，m，n为实数．(1)若m＝1，n＝－1，求|z1＋z2|的值；(2)若z1＝(z2)2，求m，n的值．17．(本题满分14分)在平面直角坐标系xOy中，已知圆M的圆心在直线y＝－2x上，且圆M与直线x＋y－1＝0相切于点P(2，－1)．(1)求圆M的方程；(2)过坐标原点O的直线l被圆M截得的弦长为6，求直线l的方程．18．(本题满分16分)某休闲广场中央有一个半径为1(百米)的圆形花坛，现计划在该花坛内建造一条六边形观光步道，围出一个由两个全等的等腰梯形(梯形ABCF和梯形DEFC)构成的六边形ABCDEF区域，其中A、B、C、D、E、F都在圆周上，CF 为圆的直径(如图)．设∠AOF＝θ，其中O为圆心．(1)把六边形ABCDEF的面积表示成关于θ的函数f(θ)；(2)当θ为何值时，可使得六边形区域面积达到最大？并求最大面积．19．（本题满分16分）在平面直角坐标系xOy中，椭圆E：x2a2＋y2b2＝1(a＞b ＞0)的离心率为32，两个顶点分别为A(－a，0)，B(a，0)，点M(－1，0)，且3AM→＝MB→，过点M斜率为k(k≠0)的直线交椭圆E于C，D两点，且点C在x轴上方．(1)求椭圆E的方程；(2)若BC⊥CD，求k的值；(3)记直线BC，BD的斜率分别为k1，k2，求证：k1k2为定值．20．（本题满分16分）已知函数f(x)＝ax－lnx(a∈R)．(1)当a＝1时，求f(x)的最小值；(2)已知e为自然对数的底数，存在x∈[1e，e]，使得f(x)＝1成立，求a的取值范围；(3)若对任意的x∈[1，＋∞)，有f(x)≥f(1x)成立，求a的取值范围．南京市2016－2017学年度第一学期期末检测卷高二数学（文科）参考答案及评分标准2017．01说明：1．本解答给出的解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，填空题不给中间分数．一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1．若|a|≠|b|，则a≠b2．y＝±2x3．24．±55．－36．97．48．(3，7)9．4n(n＋1)310．(－∞，0]∪[4，＋∞)11．－112．②④13．[33，22]14．(3，4)二、解答题（本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15．（本题满分14分）解：（1）由B(10，4)，C(2，－4)，得BC中点D的坐标为（6，0），………………2分所以AD的斜率为k＝8－07－6＝8，………………5分所以BC边上的中线AD所在直线的方程为y－0＝8(x－6)，即8x－y－48＝0．………………7分（2）由B(10，4)，C(2，－4)，得BC所在直线的斜率为k＝4－(－4)10－2＝1，……9分所以BC边上的高所在直线的斜率为－1，…………………12分所以BC边上的高所在直线的方程为y－8＝－(x－7)，即x＋y－15＝0．…………………………14分16．（本题满分14分）解：（1）当m＝1，n＝－1时，z1＝1－2i，z2＝1＋i，所以z1＋z2＝(1－2i)＋(1＋i)＝2－i， (4)分所以|z1＋z2|＝22＋(－1)2＝5．………………6分（2）若z1＝(z2)2，则m－2i＝(1－ni)2，所以m－2i＝(1－n2)－2ni，……………10分所以m＝1－n2，－2＝－2n，………………12分解得m＝0，n＝1．………………14分17．（本题满分14分）解：（1）过点(2，－1)且与直线x＋y－1＝0垂直的直线方程为x－y－3＝0，……2分由y＝－2x，x－y－3＝0，解得x＝1，y＝－2．所以圆心M的坐标为(1，－2)，………………4分所以圆M的半径为r＝(2－1)2＋[－1－(－2)]2＝2，………………6分所以圆M的方程为(x－1)2＋(y＋2)2＝2．………………7分（2）因为直线l被圆M截得的弦长为6，所以圆心M到直线l的距离为d＝2－(62)2＝22，……………9分若直线l的斜率不存在，则l为x＝0，此时，圆心M到l 的距离为1，则弦长为2，不符合题意．若直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝kx，即kx －y＝0，由d＝|k＋2|k2＋(－1)2＝22，………………11分整理得k2＋8k＋7＝0，解得k＝－1或－7，………………13分所以直线l的方程为x＋y＝0或7x＋y＝0．………………14分18．（本题满分16分）解：（1）作AH⊥CF于H，则OH＝cosθ，AB＝2OH＝2cosθ，AH＝sinθ，……………2分则六边形的面积为f(θ)＝2×12(AB＋CF)×AH＝(2cosθ＋2)sinθ＝2(cosθ＋1)sinθ，θ∈(0，π2)． (6)分（2）f′(θ)＝2[－sinθsinθ＋(cosθ＋1)cosθ]＝2(2cos2θ＋cosθ－1)＝2(2cosθ－1)(cosθ＋1)．………………10分令f′(θ)＝0，因为θ∈(0，π2)，所以cosθ＝12，即θ＝π3，……………………12分当θ∈(0，π3)时，f′(θ)＞0，所以f(θ)在(0，π3)上单调递增；当θ∈(π3，π2)时，f′(θ)＜0，所以f(θ)在(π3，π2)上单调递减，…………14分所以当θ＝π3时，f(θ)取最大值f(π3)＝2(cosπ3＋1)sinπ3＝323．…………15分答：当θ＝π3时，可使得六边形区域面积达到最大，最大面积为323平方百米．…………………………16分19．（本题满分16分）解：（1）因为3AM→＝MB→，所以3(－1＋a，0)＝(a＋1，0)，解得a＝2．………………2分又因为ca＝32，所以c＝3，所以b2＝a2－c2＝1，所以椭圆E的方程为x24＋y2＝1．………………4分（2）方法1设点C的坐标为(x0，y0)，y0＞0,则CM→＝(－1－x0，－y0)，CB→＝(2－x0，－y0)．因为BC⊥CD，所以(－1－x0)(2－x0)＋y02＝0．①……………6分又因为x024＋y02＝1，②联立①②，解得x0＝－23，y0＝223，………………8分所以k＝223－23＋1＝22．………………10分方法2因为CD的方程为y＝k(x＋1)，且BC⊥CD，所以BC的方程为y＝－1k(x－2)，………………6分联立方程组，可得点C的坐标为(2－k21＋k2，3k1＋k2)，………………8分代入椭圆方程，得(2－k21＋k2)24＋(3k1＋k2)2＝1，解得k＝±22．又因为点C在x轴上方，所以3k1＋k2＞0，所以k＞0，所以k＝22………………10分（3）方法1因为直线CD的方程为y＝k(x＋1)，由y＝k(x＋1)，x24＋y2＝1，消去y，得(1＋4k2)x2＋8k2x＋4k2－4＝0，设C(x1，y1)，D(x2，y2)，则x1＋x2＝－8k21＋4k2，x1x2＝4k2－41＋4k2，…………………12分所以k1k2＝k2(x1＋1)(x2＋1)(x1－2)(x2－2)＝k2(x1x2＋x1＋x2＋1)x1x2－2(x1＋x2)＋4…………………14分＝k2(4k2－41＋4k2－8k21＋4k2＋1)4k2－41＋4k2＋2×8k21＋4k2＋4＝－3k236k2＝－112，所以k1k2为定值．……………16分方法2因为直线BC的方程为y＝k1(x－2)，由y＝k1(x－2)，x24＋y2＝1，得C(8k12－21＋4k12，－4k11＋4k12)，………………12分同理D(8k22－21＋4k22，－4k21＋4k22)，由于C，M，D三点共线，故MC→，MD→共线，又MC→＝(8k12－21＋4k12＋1，－4k11＋4k12)＝(12k12－11＋4k12，－4k11＋4k12)，MD→＝(8k22－21＋4k22＋1，－4k21＋4k22)＝(12k22－11＋4k22，－4k21＋4k22)，所以12k12－11＋4k12×－4k21＋4k22＝－4k11＋4k12×12k22－11＋4k22，……………14分化简得12k12k2－k2＝12k1k22－k1，即(12k1k2＋1)(k1－k2)＝0，由于k1≠k2，否则C，D两点重合，于是12k1k2＋1＝0，即k1k2＝－112，所以k1k2为定值．……………16分方法3设C(x0,y0)，则CD：y＝y0x0+1(x+1)(－2＜x0＜2且x0≠－1)，由y＝y0x0+1(x+1)，x24＋y2＝1，消去y，得[(x0＋1)2＋4y02]x2＋8y02x＋4y02－4(x0＋1)2＝0.………………12分又因为x024＋y02＝1，所以得D(－8－5x05＋2x0，－3y05＋2x0)，………………14分所以k1k2＝y0x0－2－3y05＋2x0－8－5x05＋2x0－2＝－3y02(x0－2)(－9x0－18)＝y023(x02－4)＝1－x0243(x02－4)＝－112，所以k1k2为定值．………………16分20．（本题满分16分）解：（1）a＝1时，f(x)＝x－lnx,则f'(x)＝1－1x＝x －1x，令f'(x)＝0，则x＝1．……………………2分当0＜x＜1时，f'(x)＜0，所以f(x)在(0，1)上单调递减；当x＞1时，f'(x)＞0，所以f(x)在(1，＋∞)上单调递增，………………3分所以当x＝1时，f(x)取到最小值，最小值为1．…………………4分（2）因为f(x)＝1，所以ax－lnx＝1，即a＝1x＋lnxx，………………6分设g(x)＝1x＋lnxx，x∈[1e，e]，则g'(x)＝－lnxx2，令g'(x)＝0，得x＝1．当1e＜x＜1时，g'(x)＞0，所以g(x)在(1e，1)上单调递增；当1＜x＜e时，g'(x)＜0，所以g(x)在(1，e)上单调递减；………………8分因为g(1)＝1，g(1e)＝0，g(e)＝2e，所以函数g(x)的值域是[0，1]，所以a的取值范围是[0，1]．……………………10分（3）对任意的x∈[1，＋∞)，有f(x)≥f(1x)成立，则ax－lnx≥ax＋lnx，即a(x－1x)－2lnx≥0．令h(x)＝a(x－1x)－2lnx，则h'(x)＝a(1＋1x2)－2x＝ax2－2x＋ax2，①当a≥1时，ax2－2x＋a＝a(x－1a)2＋a2－1a≥0，所以h'(x)≥0，因此h(x)在[1，＋∞)上单调递增，所以x∈[1，＋∞)时，恒有h(x)≥h(1)＝0成立，所以a≥1满足条件．………………12分②当0＜a＜1时，有1a＞1，若x∈[1，1a]，则ax2－2x ＋a＜0，此时h'(x)＝ax2－2x＋ax2＜0，所以h(x)在[1，1a]上单调递减，所以h(1a)＜h(1)＝0，即存在x＝1a＞1，使得h(x)＜0，所以0＜a＜1不满足条件．……………14分③当a≤0时，因为x≥1，所以h'(x)＝ax2－2x＋ax2＜0，所以h(x)在[1，＋∞)上单调递减，所以当x＞1时，h(x)＜h(1)＝0，所以a≤0不满足条件．综上，a的取值范围为[1，＋∞).………………16分。
江苏省南京市2017-2018学年高二上学期期末数学试卷(文科) Word版含解析
2017-2018学年江苏省南京市高二（上）期末数学试卷（文科）一、填空题：本大题共14小题，每小题3分，共42分.1．：“∃x∈Q，x2﹣8=0”的否定是______．2．在平面直角坐标系xOy中，若抛物线y2=2px经过点（4，2），则实数p=______．3．在平面直角坐标系xOy中，圆x2+y2﹣6x+8y+21=0的半径为______．4．在平面直角坐标系xOy中，双曲线x2﹣y2=1的渐近线方程是______．5．已知p：0＜m＜1，q：椭圆+y2=1的焦点在y轴上，则p是q的______条件．（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”或“既不充分也不必要”填空）6．函数f（x）=x+sinx的图象在点O（0，0）处的切线方程是______．7．已知实数x，y满足，则z=x﹣2y的最大值是______．8．如图，在平面直角坐标系xOy中，以正方形ABCD的两个顶点A，B为焦点，且过点C，D的双曲线的离心率是______．9．函数f（x）=（e为自然对数的底数）的最大值是______．10．在平面直角坐标系xOy中，已知点O（0，0），A（3，0），动点P满足2PO=PA，则点P的轨迹方程是______．11．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y2=4x上一点P到点A（3，0）的距离等于它到准线的距离，则PA=______．12．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=x，y=0，x=t（t＞0）围成的△OAB的面积为S（t），则S（t）在t=2时的瞬时变化率是______．13．在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：x+y+m=0和圆M：x2+y2=9，若圆M上存在点P，使得P到直线l的距离为2，则实数m的取值范围是______．14．已知函数y=x3﹣3x在区间[a，a+1]（a≥0）上的最大值和最小值的差为2，则满足条件的实数a的所有值是______．二、解答题：本大题共6小题，共计58分.应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C过点（0，2），其焦点为F1（﹣，0），F2（，0）．（1）求椭圆C的标准方程；（2）已知点P在椭圆C上，且PF1=4，求△PF1F2的面积．16．已知集合A={x|1＜x＜3}，集合B={x|x2﹣ax＜0}．（1）若a=2，求A∩B；（2）若“x∈A”是“x∈B”的充分条件，求实数a的取值范围．17．在平面直角坐标系xOy中，已知圆M经过点A（1，0），B（3，0），C（0，1）．（1）求圆M的方程；（2）若直线l“mx﹣2y﹣（2m+1）=0与圆M交于点P，Q，且•=0，求实数m的值．18．A，B两地相距300km，汽车从A地以vkm/h的速度匀速行驶到B地（速度不得超过60km/h）．已知汽车每小时的运输成本由固定成本和可变成本组成，固定成本为250元，可变成本（单位：元）与速度v的立方成正比，比例系数，设全程的运输成本为y元．（1）求y关于v的函数关系；（2）为使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？19．已知函数f（x）=lnx．（1）若直线y=2x+p（p∈R）是函数y=f（x）图象的一条切线，求实数p的值；（2）若函数g（x）=x﹣﹣2f（x）（m∈R）有两个极值点，求实数m的取值范围．20．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C： +=1（m＞0）的离心率为．（1）求m的值；（2）设点A为椭圆C的上顶点，问是否存在椭圆C的一条弦AB，使直线AB与圆（x﹣1）2+y2=r2（r＞0）相切，且切点P恰好为线段AB的中点？若存在，其满足条件的所有直线AB的方程和对应的r的值？若不存在，说明理由．2015-2016学年江苏省南京市高二（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题3分，共42分.1．：“∃x∈Q，x2﹣8=0”的否定是∀x∈Q，x2﹣8≠0．【考点】的否定．【分析】利用特称的否定是全称写出结果即可．【解答】解：因为特称的否定是全称，所以：“∃x∈Q，x2﹣8=0”的否定是：∀x∈Q，x2﹣8≠0．故答案为：∀x∈Q，x2﹣8≠0．2．在平面直角坐标系xOy中，若抛物线y2=2px经过点（4，2），则实数p=1．【考点】抛物线的标准方程．【分析】利用抛物线经过的点，求解即可．【解答】解：抛物线y2=2px经过点（4，2），可得4=4P，解得p=1．故答案为：1．3．在平面直角坐标系xOy中，圆x2+y2﹣6x+8y+21=0的半径为2．【考点】圆的一般方程．【分析】利用圆的半径的求法．【解答】解：圆x2+y2﹣6x+8y+21=0的半径：r==2．故答案：2．4．在平面直角坐标系xOy中，双曲线x2﹣y2=1的渐近线方程是y=±x．【考点】双曲线的简单性质；双曲线的标准方程．【分析】直接利用双曲线的标准方程求出渐近线方程即可．【解答】解：双曲线x2﹣y2=1的渐近线方程：y=±x．故答案为：y=±x．5．已知p：0＜m＜1，q：椭圆+y2=1的焦点在y轴上，则p是q的充要条件．（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”或“既不充分也不必要”填空）【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】q：椭圆+y2=1的焦点在y轴上，可得0＜m＜1．即可判断出结论．【解答】解：p：0＜m＜1，q：椭圆+y2=1的焦点在y轴上，∴0＜m＜1．则p是q的充要条件．故答案为：充要．6．函数f（x）=x+sinx的图象在点O（0，0）处的切线方程是y=2x．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】求出函数的导数，求得切线的斜率，由点斜式方程可得切线的方程．【解答】解：函数f（x）=x+sinx的导数为f′（x）=1+cosx，即有图象在点O（0，0）处的切线斜率为k=1+cos0=2，则图象在点O（0，0）处的切线方程为y=2x．故答案为：y=2x．7．已知实数x，y满足，则z=x﹣2y的最大值是2．【考点】简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．【解答】解：化目标函数z=x﹣2y为，由图可知，当直线过A（2，2）时，直线在y轴上的截距最小，z有最大值为2．故答案为：2．8．如图，在平面直角坐标系xOy中，以正方形ABCD的两个顶点A，B为焦点，且过点C，D的双曲线的离心率是．【考点】双曲线的简单性质．【分析】设出双曲线方程求出C的坐标，代入化简求解双曲线的离心率即可．【解答】解：设双曲线方程为：，以正方形ABCD的两个顶点A，B为焦点，且过点C，D的双曲线，可得C（c，2c），代入双曲线方程：，即．可得，解得e2=3+2，∴e=．故答案为：．9．函数f（x）=（e为自然对数的底数）的最大值是．【考点】函数的最值及其几何意义．【分析】求出函数的导数，求出单调区间，可得极大值，也为最大值，计算即可得到所求值．【解答】解：函数f（x）=的导数为f′（x）==，当x＞1时，f′（x）＜0，f（x）递减；当x＜1时，f′（x）＞0，f（x）递增．即有x=1处取得极大值，且为最大值．故答案为：．10．在平面直角坐标系xOy中，已知点O（0，0），A（3，0），动点P满足2PO=PA，则点P的轨迹方程是x2+y2+2x﹣3=0．【考点】轨迹方程．【分析】利用点O（0，0），A（3，0），动点P满足2PO=PA，直接计算，即可求出点P的轨迹方程．【解答】解：设P（x，y），则∵点O（0，0），A（3，0），动点P满足2PO=PA，∴4x2+4y2=（x﹣3）2+y2，∴x2+y2+2x﹣3=0．故答案为：x2+y2+2x﹣3=0．11．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y2=4x上一点P到点A（3，0）的距离等于它到准线的距离，则PA=3．【考点】抛物线的简单性质．【分析】由抛物线的定义，可得PA=PF，准线方程为x=﹣1，求出P的横坐标，即可得出结论．【解答】解：由抛物线的定义，可得PA=PF，准线方程为x=﹣1∵A（3，0），F（1，0），∴P的横坐标为2，∴PA=2+1=3，故答案为：3．12．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=x，y=0，x=t（t＞0）围成的△OAB的面积为S（t），则S（t）在t=2时的瞬时变化率是2．【考点】变化的快慢与变化率．【分析】先用t表示出三角形的面积，再求导，代值计算即可．【解答】解：由|AB|==t，∴S（t）=|OA|•|OB|=t•t=t2，∴S′（t）=t，∴S′（2）=2，故答案为：2．13．在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：x+y+m=0和圆M：x2+y2=9，若圆M上存在点P，使得P到直线l的距离为2，则实数m的取值范围是[﹣5，5]．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】设P（3cosθ，3sinθ），0≤θ＜2π，求出P到直线l的距离，利用三铁函数的性质能求出实数m的取值范围．【解答】解：∵直线l：x+y+m=0和圆M：x2+y2=9，若圆M上存在点P，使得P到直线l的距离为2，∴设P（3cosθ，3sinθ），0≤θ＜2π，∴P到直线l的距离d===2，∵﹣3，|3+m|=2，∴﹣5，∴实数m的取值范围是[﹣5，5]．故答案为：[﹣5，5]．14．已知函数y=x3﹣3x在区间[a，a+1]（a≥0）上的最大值和最小值的差为2，则满足条件的实数a的所有值是a=﹣1或0．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】求出函数的导数，通过讨论a的范围，确定函数的单调区间，求出最大值和最小值，得到关于a的方程，解出即可．【解答】解：y′=f′（x）=3（x+1）（x﹣1），∴函数在在（﹣∞，﹣1）递增，在（﹣1，1）递减，在（1，+∞）递增，①a=0时，函数在[0，1]递减，函数的最大值是f（0）=0，函数的最小值是f（1）=﹣2，∴f（0）﹣f（1）=0﹣（﹣2）=2，故a=0符合题意；②0＜a＜1时，1＜a+1＜2，∴函数在[a，1）递减，在（1，a+1]递增，函数的最小值是f（1）=﹣2，由f（a）=f（a+1），得3a2+3a﹣2=0，解得：a=，（i）∴0≤a＜时，f（x）的最大值是f（a），∴a3﹣3a﹣（﹣2）=2，解得a=0或或﹣，不合题意，舍，（ii）≤a＜1时，f（x）的最大值是f（a+1），∴（a+1）3﹣3（a+1）﹣（﹣2）=2，解得a=﹣1，符合题意，③a≥1时，f（x）在[a，a+1]递增，∴f（x）min=f（a），f（x）max=f（a+1），∴（a+1）3﹣3（a+1）﹣a3+3a=2，解得：a=＜1，舍，综上：a=﹣1或0．二、解答题：本大题共6小题，共计58分.应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C过点（0，2），其焦点为F1（﹣，0），F2（，0）．（1）求椭圆C的标准方程；（2）已知点P在椭圆C上，且PF1=4，求△PF1F2的面积．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．【分析】（1）设椭圆方程为=1，（a＞b＞0），由椭圆C过点（0，2），其焦点为F2（﹣，0），F2（，0），求出a，b，c，由此能求出椭圆C的标准方程．（2）由点P在椭圆C上，且PF1=4，求出PF2，|F1F2|，由此能求出△PF1F2的面积．【解答】解：（1）∵椭圆C过点（0，2），其焦点为F2（﹣，0），F2（，0），∴设椭圆方程为=1，（a＞b＞0），则，∴=3，∴椭圆C的标准方程为=1．（2）∵点P在椭圆C上，且PF1=4，∴PF2=2×3﹣4=2，∵F1（﹣，0），F2（，0），∴|F1F2|=2，∴．∴PF1⊥PF2，∴△PF1F2的面积S===4．16．已知集合A={x|1＜x＜3}，集合B={x|x2﹣ax＜0}．（1）若a=2，求A∩B；（2）若“x∈A”是“x∈B”的充分条件，求实数a的取值范围．【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；交集及其运算．【分析】（1）将a=2代入集合B，求出B，从而求出A∩B即可；（2）问题转化为A是B的子集，从而求出a的范围．【解答】解：已知集合A={x|1＜x＜3}，集合B={x|x2﹣ax＜0}．（1）若a=2，B={x|x2﹣2x＜0}={x|0＜x＜2}，∴A∩B={x|1＜x＜2}；（2）若“x∈A”是“x∈B”的充分条件，即A是B的子集，而B=（0，a），∴a＞2．17．在平面直角坐标系xOy中，已知圆M经过点A（1，0），B（3，0），C（0，1）．（1）求圆M的方程；（2）若直线l“mx﹣2y﹣（2m+1）=0与圆M交于点P，Q，且•=0，求实数m的值．【考点】平面向量数量积的运算；圆的一般方程．【分析】（1）由点的坐标求出弦的中垂线方程，联立求得圆心坐标，再求出半径，则圆的方程可求；（2）由题意可知∠PMQ=90°，结合圆的半径求出圆心到直线的距离，再由点到直线的距离公式求解．【解答】解：（1）如图，AB所在直线方程为x=2，AC所在直线方程为y=x，联立，解得M（2，2），又|MA|=，∴圆M的方程为（x﹣2）2+（y﹣2）2=5；（2）∵•=0，∴∠PMQ=90°，则|PQ|=，∴M到直线mx﹣2y﹣（2m+1）=0的距离为．由，解得：m=．18．A，B两地相距300km，汽车从A地以vkm/h的速度匀速行驶到B地（速度不得超过60km/h）．已知汽车每小时的运输成本由固定成本和可变成本组成，固定成本为250元，可变成本（单位：元）与速度v的立方成正比，比例系数，设全程的运输成本为y元．（1）求y关于v的函数关系；（2）为使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？【考点】函数模型的选择与应用．【分析】（1）求出汽车从A地匀速行驶到B地所用时间，根据汽车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成，可得全程运输成本，及函数的定义域；（2）利用基本不等式可得结论．【解答】解：（1）依题意知汽车从A地匀速行驶到B地所用时间为，全程运输成本为y=，即y=300（+），定义域为（0，60]，（2）y=300（+）=300（++）≥300×3=2250，当且仅当=，即v=50km/h 时，全程运输成本最小，最小为2250元．19．已知函数f （x ）=lnx ．（1）若直线y=2x +p （p ∈R ）是函数y=f （x ）图象的一条切线，求实数p 的值；（2）若函数g （x ）=x ﹣﹣2f （x ）（m ∈R ）有两个极值点，求实数m 的取值范围． 【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程． 【分析】（1）求出f （x ）的导数，求出切点的坐标，代入切线方程求出p 的值即可； （2）求出函数f （x ）有两个极值点x 1，x 2，等价于方程x 2﹣2x +m=0在（0，+∞），直接推出结果．【解答】解：（1）f （x ）=lnx 的定义域是（0，+∞），f ′（x ）=， 若直线y=2x +p （p ∈R ）是函数y=f （x ）图象的一条切线，∴=2，解得：x=，y=f （x ）=ln =﹣ln2，将（，﹣ln2）代入y=2x +p ，得：p=y ﹣2x=﹣ln2﹣1；（2）①函数g （x ）=x ﹣﹣2lnx 的定义域为（0，+∞），f ′（x ）=，令g ′（x ）=0，得x 2﹣2x +m=0，其判别式△=4﹣4m ， 当△≤0，即m ≥1时，x 2﹣2x +m ≥0，g ′（x ）≥0， 此时，g （x ）在（0，+∞）上单调递增， 函数g （x ）无极值点；②当△＞0，即m ＜1时，方程x 2﹣2x +a=0的两根为x 1=1﹣，x 2=1+＞1，若m ≤0，则x 1≤0，则x ∈（0，x 2）时，g ′（x ）＜0，x ∈（x 2，+∞）时，g ′（x ）＞0， 此时，g （x ）在（0，x 2）上单调递减，在（x 2，+∞）上单调递增， 函数g （x ）有1个极值点；若m ＞0，则x 1＞0，则x ∈（0，x 1）时，g ′（x ）＞0， x ∈（x 1，x 2）时，g ′（x ）＜0， x ∈（x 2，+∞）时，g ′（x ）＞0，此时，g （x ）在（0，x 1）上单调递增，在（x 1，x 2）上单调递减，在（x 2，+∞）上单调递增，函数g （x ）有2个极值点； 综上，0＜m ＜1．20．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ： +=1（m ＞0）的离心率为．（1）求m 的值；（2）设点A为椭圆C的上顶点，问是否存在椭圆C的一条弦AB，使直线AB与圆（x﹣1）2+y2=r2（r＞0）相切，且切点P恰好为线段AB的中点？若存在，其满足条件的所有直线AB的方程和对应的r的值？若不存在，说明理由．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．【分析】（1）由已知得a2=m+8，b2=m，c2=a2﹣b2=8，=，由此能求出m的值．（2）椭圆C的方程为=1，A（0，2），线AB的斜率不存在时，直线AB的直线为x=0，符合题意．当直线AB斜率存在时，设直线AB的方程为y=kx+2，P（x0，y0），代入椭圆方程．得整理，得：（1+3k2）x2+12kx=0，由此利用直线方程、点到直线的距离公式，能求出结果．【解答】解：（1）∵椭圆C： +=1（m＞0）的离心率为，∴a2=m+8，b2=m，c2=a2﹣b2=8，∵离心率为，∴=，解得m=4．（2）由（1）知椭圆C的方程为=1，∴A（0，2），假设存在椭圆C的一条弦AB满足条件，当直线AB的斜率不存在时，直线AB的直线为x=0，符合题意，此时，P（0，0），r=1．当直线AB斜率存在时，设直线AB的方程为y=kx+2，P（x0，y0），由，消去y，整理，得：（1+3k2）x2+12kx=0，解得x=0，或x=﹣，∴，，由×k=﹣1，得3k2+4k+1=0，解得k=﹣1或k=﹣．∴直线AB：y=﹣x+2，r=，或直线AB：y=﹣，r=．综上，存在这样的弦AB，直线AB：x=0，r=1，或直线AB：y=﹣x+2，r=，或直线AB：y=﹣，r=．2016年9月18日。
江苏省南京市数学高二上学期理数期末考试试卷
江苏省南京市数学高二上学期理数期末考试试卷姓名:________班级:________成绩:________一、 单选题 (共 12 题；共 24 分)1. （2 分） 已知命题 p:,， 则 为（ ）A.,B.,C.,D.,2. （2 分） 以椭圆的顶点为顶点，离心率为 2 的双曲线方程（ ）A.B.C.或D . 以上都不对3. （2 分） (2017 高二上·廊坊期末) 某学校有老师 100 人，男学生 600 人，女学生 500 人，现用分层抽样 的方法从全体师生中抽取一个容量为 n 的样本，已知女学生一共抽取了 40 人，则 n 的值是（ ）A . 96B . 192C . 95D . 1904. （2 分） (2015 高二下·福州期中) 设函数 y=f（x）在（a，b）上可导，则 f（x）在（a，b）上为增函数 是 f′（x）＞0 的（ ）A . 必要不充分条件第 1 页 共 13 页B . 充分不必要条件 C . 充分必要条件 D . 既不充分也不必要条件 5. （2 分） 设 M（x0 ， y0）为抛物线 C：y2=8x 上一点，F 为抛物线 C 的焦点，若以 F 为圆心，|FM|为半径 的圆和抛物线 C 的准线相交，则 x0 的取值范围是（ ） A . （2，+∞） B . （4，+∞） C . （0，2） D . （0，4） 6. （2 分） 给出下面类比推理命题(其中 Q 为有理数集，R 为实数集，C 为复数集)： ①“若 a，b∈R，则 a－b＝0⇒ a＝b”类比推出“若 a，b∈C，则 a－b＝0⇒ a＝b”； ②“若 a，b，c，d∈R，则复数 a＋bi＝c＋di⇒ a＝c，b＝d”类比推出“若 a，b，c，d∈Q，则 a＋b＝c＋d⇒ a ＝c，b＝d”； ③若“a，b∈R，则 a－b>0⇒ a>b”类比推出“若 a，b∈C，则 a－b>0⇒ a>b”． 其中类比结论正确的个数是（ ） A.0 B.1 C.2 D.3 7. （2 分） (2016 高二上·万州期中) 过点（3，1）作一直线与圆（x﹣1）2+y2=9 相交于 M、N 两点，则|MN| 的最小值为（ ）A. B.2第 2 页 共 13 页C.4 D.6 8.（2 分）(2020·安阳模拟) 执行如图所示的程序框图，若输出的结果为 11，则图中的判断条件可以为（ ）A. B. C. D. 9. （2 分） (2017 高二下·赣州期中) 已知椭圆 M：（x﹣2）2+y2=4，则过点（1，1）的直线中被圆 M 截得的 最短弦长为 2 ．类比上述方法：设球 O 是棱长为 3 的正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 的外接球，过 AC1 的一个三等分 点作球 O 的截面，则最小截面的面积为（ ） A.π B . 4π C . 5π D . 6π10. （2 分） (2017 高一下·乾安期末) 在区间 生的概率为（ ）上随机取一个数 ，则事件“”发A.第 3 页 共 13 页B.C.D. 11. （2 分） 已知点 P 是圆 C:x2+y2+4x+ay-5=0 上任意一点，P 点关于直线 2x+y-1=0 的对称点在圆上，则实 数 a 等于（ ） A . 10 B . -10 C . 20 D . -2012. （2 分） 过双曲线左焦点 且倾斜角为段 的中点 落在 轴上，则此双曲线的离心率为（ ）的直线交双曲线右支于点 ， 若线A.B.C.D.二、 填空题 (共 4 题；共 4 分)13. （1 分） (2019 高三上·上海月考) 在甲、乙等 8 名班干部中选 3 人参加一个座谈会，则甲被选中的概率 为________（结果用最简分数表示）14. （1 分） (2019 高二上·保定月考) 已知样本 5，6，7， ， 的平均数是 6，方差是，则________15. （1 分） (2018 高二下·孝感期中) 已知抛物线的焦点为 ，点 为抛物线 上任意一第 4 页 共 13 页点，若点，则的最小值为________16. （1 分） 已知正四棱柱 ABCD﹣A′B′C′D′的外接球直径为 AB′C 所成角的正切值为________， 底面边长 AB=1，则侧棱 BB′与平面三、 解答题 (共 6 题；共 50 分)17. （5 分） (2017·徐水模拟) 某校举行运动会，其中三级跳远的成绩在 8.0 米（四舍五入，精确到 0.1 米） 以上的进入决赛，把所得数据进行整理后，分成 6 组画出频率分布直方图的一部分（如图），已知从左到右前 5 个 小组的频率分别为 0.04，0.10，0.14，0.28，0.30，第 6 小组的频数是 7．（Ⅰ）求进入决赛的人数；（Ⅱ）若从该校学生（人数很多）中随机抽取两名，记 X 表示两人中进入决赛的人数，求 X 的分布列及数学期 望；（Ⅲ）经过多次测试后发现，甲成绩均匀分布在 8～10 米之间，乙成绩均匀分布在 9.5～10.5 米之间，现甲， 乙各跳一次，求甲比乙远的概率．18. （10 分） (2019·巢湖模拟) 已知抛物线 E：，圆 C：．（1） 若过抛物线 E 的焦点 F 的直线 l 与圆 C 相切，求直线 l 方程；（2） 在 的条件下，若直线 l 交抛物线 E 于 A，B 两点，x 轴上是否存在点使为坐标原点 ？若存在，求出点 M 的坐标；若不存在，请说明理由．19. （10 分） (2018 高一上·吉林期末) 已知点及圆.第 5 页 共 13 页（1） 设过点 的直线 与圆 交于 程；两点，当时，求以线段为直径的圆 的方（2） 设直线与圆 交于两点，是否存在实数 ，使得过点平分弦 ？若存在，求出实数 的值；若不存在，请说明理由.20. （10 分） 某连锁经营公司所属个零售店某月的销售额和利润额资料如表：商店名称ABCDE销售额 x（千万元）35679利润率 y（千万元）23345（1） 用最小二乘法计算利润额对销售额 y 的回归直线方程；（2） 当销售额为 4（千万元）时，估计利润额的大小．的直线 垂直=．21. （10 分） (2018·河南模拟) 如图，在边长为别在边 ， 上，点 与点 ， 不重合，的位置，使平面平面.的菱形 ，中， .沿.点 将，分 翻折到（1） 求证：平面；（2） 当 与平面所成的角为 时，求平面与平面所成锐二面角的余弦值.22. （5 分） (2017·泰安模拟) 已知椭圆 C：=1（a＞b＞0）的离心率为 ，短轴长为 2．直线l：y=kx+m 与椭圆 C 交于 M、N 两点，又 l 与直线 y=x 分别交于 A、B 两点，其中点 A 在第一象限，点 B 在第二象限，且△OAB 的面积为 2（O 为坐标原点）．第 6 页 共 13 页（Ⅰ）求椭圆 C 的方程；（Ⅱ）求的取值范围．第 7 页 共 13 页一、 单选题 (共 12 题；共 24 分)1-1、 2-1、 3-1、 4-1、 5-1、 6-1、 7-1、 8-1、 9-1、 10-1、 11-1、 12-1、二、 填空题 (共 4 题；共 4 分)13-1、 14-1、 15-1、参考答案第 8 页 共 13 页16-1、三、 解答题 (共 6 题；共 50 分)17-1、第 9 页 共 13 页18-1、18-2、19-1、19-2、第 10 页 共 13 页20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、。
江苏省南京市高二上学期期末考试数学(文)试题
学习必备 欢迎下载南京市2016— 2017学年度第一学期期末检测卷注意事项:1 .本试卷共4页，包括填空题(第 1题~第14题)、解答题(第15题~第20题)两部分.本试卷 满分为160分，考试时间为120分钟.2 .答题前，请务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题卡的密封线内.试题的答案写在答.题卡上对应题目的答案空格内•考试结束后，交回答题卡.一、填空题：本大题共 14小题，每小题5分，共70分•请把答案填写在答题卡相应位置.上 1 .命题 若a = b ,则|a |= |b| 的逆否命题是 ▲.2 2.双曲线x 2— y = 1的渐近线方程是 ▲. 4------------3. 已知复数 吐？为纯虚数，其中i 是虚数单位，则实数 a 的值是 ▲.1 — i 4 .在平面直角坐标系xOy 中，点(4 , 3)到直线3x — 4y + a = 0的距离为1，则实数 a 的值是▲ .5.曲线y = x 4与直线y = 4x + b 相切，则实数b 的值是 ▲.x+ y — 2> 0,6 .已知实数x , y 满足条件1x — y w 0,则z = 2x + y 的最大值是▲ .yw 3,7.在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 C: y 2= 4x 的焦点为F , P 为抛物线C 上一点，且PF = 5,则 点P 的横坐标是▲.2 2 2 2 2&在平面直角坐标系 xOy 中，圆O:x + y = r (r >0)与圆M:(x — 3) + (y + 4) = 4相交，则r 的取值 范围是 ▲ . 9.观察下列等式:n — 2 , / . 2 n —2 4 (si n? + (si n 亍)=3x1 X2; n —2, / . 2 n —2, / . 3 n —2, ‘ . 4 n —2 4 (si n&) + (si n~5)+ (si n~5)+n — 2 t . . 2 n —2 , , . 3 n —2 (si n7) + (si n 〒)+ (si n 〒)n — 2 . 2 n —2 , / . 3 n — 2 (si n? +(si n 6) + (si n_9)依此规律,高二数学(文科)2017.01+ …+ (si n^—2=|x3 >4;8 n - 2+ …+ (si ny当 n € N *时，(sin 話)-2 + (sin 話)-2+ (sin 計)“T10. 若“ x € R , x 2 + ax + a = 0”是真命题，则实数 a 的取值范围是 11. 已知函数f(x)=(X 2+ X + m)e x (其中m € R , e 为自然对数的底数值，则函数f (x)的极小值是 ▲12. 有下列命题：①“m >0”是“方程x 2+ my 2= 1表示椭圆”的充要条件;② "a = 1”是“直线h ：ax + y — 1 = 0与直线l 2：x + ay - 2 = 0平行”的充分不必要条件; ③ “函数f (x)= x 3 + mx 单调递增”是“ m > 0”的充要条件； ④已知p , q 是两个不等价命题，则“ p 或q 是真命题”是p 且q 是真命题”的必要不充分条件.其中所有真命题的序号是▲.2 213. 已知椭圆E :孑+治=1(a > b >0)的焦距为2c(c >0),左焦点为 F ,点M 的坐标为(一2c , 0).若椭圆E 上存在点P ,使得PM = ■.2PF ，则椭圆E 离心率的取值范围是▲ .__ 2x(x -1) , X W t ,14.已知t >0,函数f(x)=f 1t若函数g(x)= f(f(x)- 1)恰有6个不同的零点，则实数t[4X , x > t .的取值范围是 ▲ .二、解答题：本大题共 6小题，共计90分•请在答题卡指定区域内.作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. (本题满分14分)在平面直角坐标系 xOy 中，已知△ ABC 三个顶点坐标为 A(7, 8), B(10, 4), C(2 , - 4). (1) 求BC 边上的中线所在直线的方程; (2) 求BC 边上的高所在直线的方程.(sin 2n n )-2=▲2n + 1).若在x =- 3处函数f (x)有极大16. (本题满分14分)已知复数z y= m —2i，复数z2= 1 - ni，其中i是虚数单位，m, n为实数.(1) 若m= 1, n = —1,求|z i + z2的值；(2) 若Z1=(Z2)2,求m, n 的值.17. (本题满分14分)在平面直角坐标系xOy中，已知圆M的圆心在直线y = —2x上，且圆M与直线x+ y—1= 0相切于点P(2, —1).(1) 求圆M的方程；(2) 过坐标原点O的直线I被圆M截得的弦长为.6,求直线I的方程.18. (本题满分16分)某休闲广场中央有一个半径..为1(百米)的圆形花坛，现计划在该花坛内建造一条六边形观光步道，围出一个由两个全等的等腰梯形(梯形ABCF和梯形DEFC)构成的六边形ABCDEF区域, 其中A、B、C、D、E、F都在圆周上，C F为圆的直径(如图).设 / AOF = 0,其中0为圆心.(1)把六边形ABCDEF的面积表示成关于0的函数f(0);(2)当0为何值时，可使得六边形区域面积达到最大？并求最大面积.F19. (本题满分16分)x2 v2J3在平面直角坐标系xOy中，椭圆E：孑+ 1(a> b> 0)的离心率为亠2一，两个顶点分别为A(—a, 0), B(a, 0),点M(—1, 0)，且3云M = iMlB，过点M斜率为k(k丰0)的直线交椭圆E于C, D两点，且点C在x轴上方.⑴求椭圆E的方程；(2)若BC丄CD，求k的值；⑶记直线BC, BD的斜率分别为k i, k2,求证：k i k2为定值.20. (本题满分16分)已知函数 f (x)= ax —lnx(a € R).(1) 当a = 1时，求f (x)的最小值；(2) 已知e为自然对数的底数，存在x€ [丄,e],使得f (x)= 1成立，求a的取值范围;e1(3) 若对任意的x€ [1,+ a)有f (x)>f (；)成立，求a的取值范围.南京市2016— 2017学年度第一学期期末检测卷1 •本解答给出的解法供参考•如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则.2 •对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答 有较严重的错误，就不再给分.3 •解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数.4 •只给整数分数，填空题不给中间分数.所以BC 边上的中线AD 所在直线的方程为 y — 0= 8（x — 6）,即 8x — y — 48= 0................... 7 分(2)由B(10, 4), C(2 , — 4),得BC 所在直线的斜率为k =4 —(— 4 = 1 ,……9分10— 2所以BC 边上的高所在直线的斜率为— 1,........................ 12分所以BC 边上的高所在直线的方程为 y — 8=— (x — 7),即 x + y — 15= 0. ................................. 14 分16. (本题满分14分)解：(1) 当 m = 1, n =— 1 时，Z 1= 1 — 2i , Z 2= 1 + i ,所以 Z 1+ Z 2= (1 — 2i) + (1+ i) = 2 — i, .................. 4 分 所以 |Z 1 + Z 2|= 22+ (— 1)2= ,5................... 6 分2) 若 Z 1= (Z 2)2，则 m — 2i = (1 — ni)2, 所以 m — 2i = (1 — n 2) — 2ni,.................. 10 分 高二数学（文科）参考答案及评分标准说明：2017. 01、填空14小题，每小题 5分，共70分） 1•若|a |工 |b|. 8. (3, 7) 则 a 丰 b 2. y =± 94n(n + 1)2x10. 3. 2 4. 5.— 3 ( — g, 0] U [4 ,+^ )11 .— 16. 9 12. ②④13.谆,*二、解答题（本大题共 14.(3, 4)6小题，共 90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15. 解: (本题满分14分) (1)由 B(10, 4),C(2, — 4), 得BC 中点D 的坐标为（6, 0）,所以AD 的斜率为k=兴=8,2所以—==—n2n, ................... 12 分17. (本题满分14分)解：(1)过点(2, - 1)且与直线x + y — 1= 0垂直的直线方程为 x — y — 3= 0, 4分 6分7分 9分的距离为1,则弦长为2,不符合题意. 11分 解得k =— 1或—7,所以直线I 的方程为x + y = 0或7x + y = 0. 18. (本题满分16分) 解：(1)作AH 丄CF 于H ,贝U OH = cos 0, AB = 2OH = 2cos 0 , AH = sin 0,.............. 2 分1则六边形的面积为 f ( 0 = 2>!(AB + CF)於H = (2cos 0+ 2)sin 0=2(cos 0+ 1)sin 0 , 0€ (0 , n................. 6 分2(2) f ' 0 = 2[ — sin Osin 0+ (cos 0+ 1)cos 0] =2(2cos 2 0+ cos 0— 1) = 2(2cos 0— 1)(cos 0+ 1).................... 10 分令 f ' 0= 0,因为 0€ (0 , n,所以 cos 0= 1,即 0= n ,........................... 12 分2 3当0€ (0 ,訓寸，f'0>0,所以f ( 0在(0 , n上单调递增；当氏(n , n 时，f ，0,所以f ( 0在(n , n 上单调递减， ....... 14分 所以当0= n 时,f ( 0)取最大值f (扌=2(cos f+ 1)si 门扌=3.3. ............ 15分 答：当0=才时,可使得六边形区域面积达到最大，最大面积为3 3平方百米.................... 1 6分19. (本题满分16分) 解：(1)因为3云M = T M B ,14分y = — 2x X —y — 3 = 0, rX 1 ,解得< o y = — 213分 14分 所以圆心M 的坐标为(1,— 2),所以圆 M 的半径为 r = (2 — 1)2+ [ — 1 — (— 2)]2= 2, 所以圆M 的方程为(x — 1)2+ (y + 2)2= 2. (2)因为直线I 被圆M 截得的弦长为.6, 所以圆心若直线I 的斜率不存在，则I 为x = 0,此时，圆心M 到I 若直线I 的斜率存在，设直线I 的方程为y = kx ,即kx — y = 0, 由 d = |k + 2| —亚 由 d = 一 k 2+ (- 1)2 = 2 , 整理得 k 2 + 8k + 7 = 0,所以 3( — 1 + a , 0) = (a + 1, 0),解得 a = 2. 又因为c =2，所以c = 3所以b 2= a 2— c 2= 1,a 2 v2所以椭圆E 的方程为X + y 2= 1.4 (2)方法1设点C 的坐标为(x o , y o ), y o > 0,则 CM = (— 1 — X o ,— y o ), CB = (2 — X o ，— y o ). 因为 BC 丄 CD ,所以(—1 — x o )( 2— x o )+ y o 2= o . ①2又因为字+ y o 2= 1,②4联立①②，解得 X o = — 2, y o = —3-, 2 ,.2 3所以k =七—=2 2.—2+1 方法2因为CD 的方程为y = k(x + 1)，且BC 丄CD , 所以BC 的方程为y =— 1(x — 2),k2— k 2 2)+ (+ 1,1 + k 2解得k =址,2.3k又因为点C 在x 轴上方，所以石产o ，所以k >o , 所以k = 2 2 (3) 方法1因为直线CD 的方程为y = k(x + 1),y == k(x + 1),由[丄+ y 2= 1 消去 y ,得(1 + 4k 2)x 2 + 8k 2x + 4k 2 — 4= o ,联立方程组，可得点 C 的坐标为(2丰 1 + k3k1+ k 2), 设 C (X 1, y 1), 则 X [ + X 2= —D(x 2, y 2), 8k21+ 4k ' X1X 2 =2 ,4k — 421 + 4k 'k (X 1 +1)(X 2 + 1) 所以 k1k2=(X 1-2)(X 2-2)k 2(4k -4 — ^-^+ 1)1 + 4k 1 + 4k2 , 2+ 2X-^+ 41+ 4k 1 + 4k2 k (X 1 X + X 1 + X 2 + 1)X 1 X 2 — 2(X 1+ X 2) + 4—3k 2 丄 2 ——36 k1212分1 4分•8分1o 分代入椭圆方程，得1o 分所以k i k 2为定值. ........ 16分方法2因为直线BC 的方程为y = k i (x — 2),21xo_=」=1—4 =—丄3(x o 2 - 4) 3(x o 2— 4)12?所以k i k 2为定值. ........... 16分20. (本题满分16分)1 x 一 1 解：(1) a = 1 时，f(x) = x — In x ,则 f '(x)= 1 —-= ',x x令 f '(x)= 0,贝y x = 1. .......................... 2 分 当0 v x v 1时，f '(x) v 0,所以f(x)在(0, 1)上单调递减； 当x > 1时，f '(x) > 0，所以f(x)在(1,+ 上单调递增， .......... 3分28k i — 2 1 + 4k i 2'—4k 11 + 4k i 2)，12分8k 22 — 2—4k 2 1 +4k 2)，由于C , M , D 三点共线，故1M C , 1MD 共线, 2 2T8k 1 — 2— 4k 1 12k 1 — 1— 4^又 MC =(2+ 1, 2)= ( 2, 2),1 + 4k 11 + 4ki 1 + 4k 11 + 4k 12 2T 8k — 2 — 4k 12k — 1 — 4k 2 2 缶门 12k i ― 1 乂 ― 4k 2 = ― 4k i 乂 12k 2 ― 1所以 2 X 2= 2 X 2,1 + 4k i 1 + 4k2 1 + 4k i 1 + 4k 214分化简得 12k i 2k 2— k 2= 12k i k 22— k i ，即 (12k i k 2 + 1)(k i — k 2)= 0, 由于k i ^ k 2,否则C , D 两点重合，于是12k i k 2+ 1 = 0,即卩k i k 2 丄 12’所以k i k 2为定值. 方法3 16分设C(x o ,y oy oy= x o +1(x+1), X2+ 2 14+ y =1消去y ,得[(X o + 1)2+ 4y o 2]x 2+ 8y o 2x + 4y o 2— 4(x o + 1)2= 0.2又因为眷+y o 2=1所以得1 2分14分一 3y o所以 kik2= x o -25 + 2x o —8 — 5x °5+ 2x o_____ - 3y o 2 _________(x o — 2)( — 9x o — 18)得C( 同理D(学习必备 欢迎下载所以当x = 1时，f (x)取到最小值，最小值为 1. ........................4分1 lnx (2)因为 f (x) = 1,所以 ax — lnx = 1,即卩 a = -- ----- , ........... 6 分 x x设 g(x) = 1+ ―, x € C, e],则 g '(x) = —^, x x ex令 g '(x)= 0，得 x = 1 .当l v X V 1时，g '(x) > 0,所以g(x)在(-,1)上单调递增； e e 当1 V x v e 时，g '(x) V 0,所以g(x)在(1, e)上单调递减； ................. 8分1 2因为g(1) = 1, g(》=0, g(e)= J 所以函数g (x)的值域是［0, 1］,所以a 的取值范围是［0, 1］............................. 10分1(3)对任意的 x € ［1 , + a),有 f(x) >f (x )成立，a 1则 ax — lnx 》—+ lnx ,即卩 a(x —-) — 2lnx 》0. x x2 1 1 2 ax — 2x + a令 h(x) = a(x — x)— 2lnx ,贝U h'(x)= a(1 + 0— x = 厂1 a2 一 1①当 a > 1 时，ax 2— 2x + a = a(x — -)2+ >0,a a所以h'(x)>0，因此h(x)在[1 , +a 上单调递增，所以x € [1 ,+a 时，恒有h(x)> h(1) = 0成立，所以a > 1满足条件. .......... 1 2分1 1 2②当 0v a v 1 时，有 a > 1,若 x € [1 ,舌]，贝y ax 2— 2x + a v 0,ax 2 — 2x + a h'(x)= ~x v 0,x 所以h(x)在［1 , 1】上单调递减，所以 h (1)v h(1) = 0,1即存在x =丄> 1，使得h(x) v 0,所以0v a v 1不满足条件. .............. 1 4分aax —了+ * v 0，所以h(x)在［1 , + a 上单调递减, 所以当x > 1时，h(x) v h(1) = 0,所以a w 0不满足条件.综上，a 的取值范围为［1 , + a ). .................. 16分 此时③当a w 0时，因为x > 1，所以h'(x)=。
2017-2018学年江苏省南京市高二(上)期末数学试卷(文科)(解析版)
2017-2018学年江苏省南京市高二（上）期末数学试卷（文科）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．1．（5分）命题“若ab＝0，则b＝0”的逆否命题是．2．（5分）已知复数z满足z（1+i）＝i，其中i是虚数单位，则|z|为．3．（5分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y2＝4x的焦点坐标是．4．（5分）“x2﹣3x+2＜0”是“﹣1＜x＜2”成立的条件（在“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”，“既不充分又不必要”中选一个填写）．5．（5分）已知实数x，y满足条件，则z＝3x+y的最大值是．6．（5分）函数f（x）＝xe x的单调减区间是．7．（5分）在平面直角坐标系xOy中，直线x+2y＝0与圆（x﹣3）2+（y﹣1）2＝25相交于A，B两点，则线段AB的长为．8．（5分）如图，直线l经过点（0，1），且与曲线y＝f（x）相切于点（a，3）．若f′（a）＝，则实数a的值是．9．（5分）在平面直角坐标系xOy中，若圆（x﹣a）2+（y﹣a）2＝2与圆x2+（y﹣6）2＝8相外切，则实数a的值为．10．（5分）在平面直角坐标系xOy中，若双曲线﹣y2＝1的渐近线与抛物线x2＝4y 的准线相交于A，B两点，则三角形OAB的面积为．11．（5分）若函数f（x）＝x3﹣3x2+mx在区间（0，1）内有极值，则实数m的取值范围是．12．（5分）在平面直角坐标系xOy中，若点A到原点的距离为2，到直线x+y﹣2＝0的距离为1，则满足条件的点A的个数为．13．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆+＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，过F1且与x轴垂直的直线交椭圆于A，B两点，直线AF2与椭圆的另一个交点为C．若＝2，则该椭圆的离心率为．14．（5分）若对任意的x∈[，+∞），都有x2﹣alnx≥0成立，则实数a的取值范围是．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）已知复数z＝，（m∈R，i是虚数单位）．（1）若z是纯虚数，求m的值；（2）设是z的共轭复数，复数+2z在复平面上对应的点在第一象限，求m的取值范围．16．（14分）已知p：方程x2+（m2﹣6m）y2＝1表示双曲线，q：函数f（x）＝x3﹣mx2+（2m+3）x在（﹣∞，+∞）上是单调增函数．（1）若p是真命题，求实数m的取值范围；（2）若p或q是真命题，p且q是假命题，求实数m的取值范围．17．（14分）如图，圆锥OO1的体积为π．设它的底面半径为x，侧面积为S．（1）试写出S关于x的函数关系式；（2）当圆锥底面半径x为多少时，圆锥的侧面积最小？18．（16分）在平面直角坐标系xOy中，已知圆C经过点A（1，3），B（4，2），且圆心在直线l：x﹣y﹣1＝0上．（1）求圆C的方程；（2）设P是圆D：x2+y2+8x﹣2y+16＝0上任意一点，过点P作圆C的两条切线PM，PN，M，N为切点，试求四边形PMCN面积S的最小值及对应的点P坐标．19．（16分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的一条准线方程为x＝，离心率为．（1）求椭圆C的方程；（2）如图，设A为椭圆的上顶点，过点A作两条直线AM，AN，分别与椭圆C相交于M，N两点，且直线MN垂直于x轴．①设直线AM，AN的斜率分别是k1，k2，求k1k2的值；②过M作直线l1⊥AM，过N作直线l2⊥AN，l1与l2相交于点Q．试问：点Q是否在一条定直线上？若在，求出该直线的方程；若不在，请说明理由．20．（16分）设函数f（x）＝ax2﹣1﹣lnx，其中a∈R．（1）若a＝0，求过点（0，﹣1）且与曲线y＝f（x）相切的直线方程；（2）①求证：当x∈（0，+∞）时，lnx≤x﹣1恒成立；②若函数f（x）有两个零点x1，x2，求a的取值范围．2017-2018学年江苏省南京市高二（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．1．【解答】解：根据原命题与逆否命题的关系，知：命题“若ab＝0，则b＝0”的逆否命题是“若b≠0，则ab≠0”．故答案为：若b≠0，则ab≠0．2．【解答】解：由z（1+i）＝i，得z＝，∴|z|＝．故答案为：．3．【解答】解：抛物线y2＝4x开口向右，p＝2，所以抛物线的焦点坐标是（1，0）．故答案为：（1，0）．4．【解答】解：∵x2﹣3x+2＜0⇔1＜x＜2，∵{x|1＜x＜2}⊊{x|﹣1＜x＜2}，∴“x2﹣3x+2＜0”是“﹣1＜x＜2”成立的充分不必要，故答案为：充分不必要．5．【解答】解：由题意，实数x，y满足条件表示一个三角形区域（包含边界），三角形的三个顶点的坐标分别为A（0，5），B（2，1），C（0，1）目标函数z＝3x+y的几何意义是直线的纵截距由线性规划知识可得，在点（2，1）处取得最大值7．故答案为：76．【解答】解：函数f（x）＝xe x，可得f′（x）＝（1+x）e x，当f′（x）＝（1+x）e x≤0，解得x≤﹣1，此时函数f（x）＝xe x是单调减函数，函数的单调减区间（﹣∞，﹣1]．故答案为：（﹣∞，﹣1]．[或（﹣∞，﹣1）]．7．【解答】解：圆（x﹣3）2+（y﹣1）2＝25的圆心坐标为（3，1），半径为5．圆心（3，1）到直线x+2y＝0的距离d＝，∴线段AB的长为．故答案为：4．8．【解答】解：直线l经过点（0，1），且与曲线y＝f（x）相切于点（a，3）．若f′（a）＝，切线的斜率为，切线方程为：y﹣1＝x，所以3﹣1＝，解得a＝3．故答案为：3．9．【解答】解：根据题意，圆（x﹣a）2+（y﹣a）2＝2的圆心为（a，a），半径r1＝，圆x2+（y﹣6）2＝8的圆心为（0，6），半径r2＝2，若圆（x﹣a）2+（y﹣a）2＝2与圆x2+（y﹣6）2＝8相外切，则有a2+（a﹣6）2＝（+2）2，解可得：a＝3；故答案为：3．10．【解答】解：双曲线﹣y2＝1的渐近线：x＝y，抛物线x2＝4y的准线y＝﹣，双曲线﹣y2＝1的渐近线与抛物线x2＝4y的准线相交于A，B两点，所以A（3，﹣），（﹣3，﹣），则三角形OAB的面积为：＝3．故答案为：3．11．【解答】解：∵函数f（x）＝x3﹣3x2+mx∴f′（x）＝3x2﹣6x+m，若函数f（x）＝x3﹣3x2+mx在区间（0，1）内有极值，则f′（x）＝3x2﹣6x+m在区间（0，1）内有零点，导函数的对称轴为x＝1，即f′（0）•f′（1）＜0即m•（3﹣6+m）＜0解得m∈（0，3）．故答案为：（0，3）．12．【解答】解：如图，作出直线x+y﹣2＝0，作出以原点为圆心，以2为半径的圆，∵原点O到直线x+y﹣2＝0的距离为1，∴在直线x+y﹣2＝0的右上方有一点满足到原点的距离为2，到直线x+y﹣2＝0的距离为1，过原点作直线x+y﹣2＝0的平行线，交圆于两点，则交点满足到原点的距离为2，到直线x+y﹣2＝0的距离为1．∴到原点的距离为2，到直线x+y﹣2＝0的距离为1的点A共3个．故答案为：3．13．【解答】解：F1（﹣c，0），F2（c，0），直线AB的方程为x＝﹣c，不妨设A在第二象限，把x＝﹣c代入椭圆方程得A（﹣c，），过C作CD⊥x轴，垂足为D，则Rt△AF1F2∽Rt△CDF2，∴＝＝，∴C（2c，﹣），代入椭圆方程得：+＝1，即4e2+（1﹣e2）＝1，解得e＝．故答案为：．14．【解答】解：由题意，令f（x）＝x2﹣alnx，则f′（x）＝x﹣＝，∵x∈[，+∞），①当a≤0时，则f′（x）＞0，f（x）在x∈[，+∞）上是递增函数，可得f（）＝（）2﹣aln≥0，解得：0≥②当a＞0时，令f′（x）＝0，可得x＝．若，则f（x）在x∈[，+∞）上是递增函数，可得f（）＝（）2﹣aln≥0，解得：若，则f（x）在x∈[，）上是递减函数，在[，+∞）上是递增函数，此时f（）min＝≥0，解得：a≤e则＜a≤e综上可得：任意的x∈[，+∞），都有x2﹣alnx≥0成立，则实数a的取值范围是[﹣，e]．故答案为：[﹣，e]．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．【解答】解：z＝＝．（1）∵z是纯虚数，∴，即m＝；（2）∵＝（1﹣2m）﹣（1+2m）i，∴+2z＝（1﹣2m）﹣（1+2m）i+2（1﹣2m）+2（1+2m）i＝（3﹣6m）+（1+2m）i，由复数+2z在复平面上对应的点在第一象限，得，解得．∴m的取值范围是（）．16．【解答】（本题满分14分）解：（1）由题意知，曲线C：x2+（m2﹣6m）y2＝1是双曲线，所以m2﹣6m＜0．…（3分）解得0＜m＜6，即m的取值范围为（0，6）．…（5分）（2）由函数f（x）＝x3﹣mx2+（2m+3）x是单调增函数，可知f′（x）＝x2﹣2mx+m+3≥0恒成立．故△＝（﹣2m）2﹣4（2m+3）≤0，解得﹣1≤m≤3．…（8分）因为p或q是真命题，p且q是假命题，所以p真q假或者p假q真．…（11分）因此或者故m的取值范围是[﹣1，0]∪（3，6）．…（14分）17．【解答】解：（1）设圆锥OO1的高为h，母线长为l．∵圆锥的体积为π，即πx2h＝π，∴h＝．因此l＝，从而S＝πxl＝πx•＝π，（x＞0）．（2）令f（x）＝x4+，则f′（x）＝4x3﹣，（x＞0）．由f′（x）＝0，解得x＝．当0＜x＜时，f′（x）＜0，即函数f（x）在区间（0，）上单调递减；当x＞时，f′（x）＞0，即函数f（x）在区间（，+∞）上单调递增．∴当x＝时，f（x）取得极小值也是最小值．答：当圆锥底面半径为时，圆锥的侧面积最小．18．【解答】解：（1）设圆C的方程为x2+y2+Dx+Ey+F＝0，其圆心为（﹣，﹣）．∵圆C经过点A（1，3），B（4，2），且圆心在直线l：x﹣y﹣1＝0上，∴，解得．∴所求圆C的方程为x2+y2﹣4x﹣2y＝0；（2）由（1）知，圆C的方程为（x﹣2）2+（y﹣1）2＝5．依题意，S＝2S△PMC＝PM×MC＝．∴当PC最小时，S最小．∵圆D：x2+y2+8x﹣2y+16＝0，∴D（﹣4，1），半径为1．∵C（2，1），∴两个圆的圆心距DC＝6．∵点P在圆D上，且圆D的半径为1，∴PC min＝6﹣1＝5．∴S min＝×＝10．此时直线PC：y＝1，从而P（﹣3，1）．19．【解答】解：（1）设椭圆C：：+＝1的半焦距为c．由题意，得解得从而b＝1．所以椭圆C的方程为+y2＝1．（2）①根据椭圆的性质，M，N两点关于x轴对称，故可设M（x0，y0），N（x0，﹣y0）（x0≠0，y0≠0），从而k1k2＝•＝．因为点M在椭圆C上，所以+y02＝1，所以1﹣y02＝，所以k1k2＝＝．②设Q（x1，y1），依题意A（0，1）．因为l1⊥AM，所以•＝﹣1，即（y0﹣1）（y1﹣y0）＝﹣x0（x1﹣x0）；因为l2⊥AN，所以•＝﹣1，即（﹣y0﹣1）（y1+y0）＝﹣x0（x1﹣x0），故（y0﹣1）（y1﹣y0）﹣（﹣y0﹣1）（y1+y0）＝0，化得（y1+1）y0＝0．从而必有y1+1＝0，即y1＝﹣1．即点Q在一条定直线y＝﹣1上．20．【解答】解：（1）当a＝0时，f（x）＝﹣1﹣lnx，f′（x）＝﹣．设切点为T（x0，﹣1﹣lnx0），则切线方程为：y+1+lnx0＝﹣（x﹣x0）．…（3分）因为切线过点（0，﹣1），所以﹣1+1+ln x0＝﹣（0﹣x0），解得x0＝e．所以所求切线方程为y＝﹣x﹣1．…（5分）（2）①考察函数g（x）＝x﹣1﹣lnx．g′（x）＝1﹣＝．当x∈（0，1）时，g′（x）＜0，函数g（x）在（0，1）上单调递减；当x∈（1，+∞）时，g′（x）＞0，函数g（x）在（1，+∞）上单调递增，所以g（x）≥g（1）＝0，即当x∈（0，+∞）时，lnx≤x﹣1恒成立．…（8分）②f′（x）＝ax﹣＝，x＞0．（i）若a≤0，则f′（x）＜0，所以函数f（x）在（0，+∞）上单调递减，从而函数f（x）在（0，+∞）上至多有1个零点，不合题意．…（10分）（ii）若a＞0，由f′（x）＝0，解得x＝．当0＜x＜时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减；当x＞时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，所以f（x）min＝f（）＝﹣ln﹣1＝﹣﹣ln．要使函数f（x）有两个零点，首先﹣﹣ln＜0，解得0＜a＜e．…（12分）当0＜a＜e时，＞＞．因为f（）＝＞0，故f（）•f（）＜0．又函数f（x）在（0，）上单调递减，且其图象在（0，）上不间断，所以函数f（x）在区间（0，）内恰有1个零点．…（14分）因为lnx≤x﹣1，故f（）＝﹣1﹣ln≥0．因为﹣＝＞0，故＞．因为f（）•f（）≤0，且f（x）在（，+∞）上单调递增，其图象在（，+∞）上不间断，所以函数f（x）在区间（，]上恰有1个零点，即在（，+∞）上恰有1个零点．综上所述，a的取值范围是（0，e）．…（16分）。
2017年江苏省南京市高二(上)期末数学试卷(含答案解析).doc
2016-2017学年江苏省南京市高二（上）期末数学试卷（理科）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置上1．（5分）命题“若a=b ，则|a |=|b |”的逆否命题是 ． 2．（5分）双曲线=1的渐近线方程是 ．3．（5分）已知复数为纯虚数，其中i 是虚数单位，则实数a 的值是 ．4．（5分）在平面直角坐标系xOy 中，点（4，3）到直线3x ﹣4y +a=0的距离为1，则实数a 的值是 ．5．（5分）曲线y=x 4与直线y=4x +b 相切，则实数b 的值是 ． 6．（5分）已知实数x ，y 满足条件则z=2x +y 的最大值是 ．7．（5分）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线C ：y 2=4x 的焦点为F ，P 为抛物线C 上一点，且PF=5，则点P 的横坐标是 ．8．（5分）在平面直角坐标系xOy 中，圆O ：x 2+y 2=r 2（r ＞0）与圆M ：（x ﹣3）2+（y +4）2=4相交，则r 的取值范围是 ．9．（5分）观察下列等式：（sin ）﹣2+（sin ）﹣2=×1×2；（sin ）﹣2+（sin ）﹣2+（sin ）﹣2+sin （）﹣2=×2×3；（sin ）﹣2+（sin ）﹣2+（sin ）﹣2+…+sin （）﹣2=×3×4；（sin ）﹣2+（sin）﹣2+（sin）﹣2+…+sin （）﹣2=×4×5；…照此规律，（sin）﹣2+（sin）﹣2+（sin）﹣2+…+（sin）﹣2= ．10．（5分）若“∃x ∈R ，x 2+ax +a=0”是真命题，则实数a 的取值范围是 ． 11．（5分）已知函数f （x ）=（x 2+x +m ）e x （其中m ∈R ，e 为自然对数的底数）．若在x=﹣3处函数f （x ）有极大值，则函数f （x ）的极小值是 ．12．（5分）有下列命题：①“m＞0”是“方程x2+my2=1表示椭圆”的充要条件；②“a=1”是“直线l1：ax+y﹣1=0与直线l2：x+ay﹣2=0平行”的充分不必要条件；③“函数f （x）=x3+mx单调递增”是“m＞0”的充要条件；④已知p，q是两个不等价命题，则“p或q是真命题”是“p且q是真命题”的必要不充分条件．其中所有真命题的序号是．13．（5分）已知椭圆E：+=1（a＞b＞0）的焦距为2c（c＞0），左焦点为F，点M的坐标为（﹣2c，0）．若椭圆E上存在点P，使得PM=PF，则椭圆E 离心率的取值范围是．14．（5分）已知t＞0，函数f（x）=，若函数g（x）=f（f（x）﹣1）恰有6个不同的零点，则实数t的取值范围是．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC三个顶点坐标为A（7，8），B（10，4），C（2，﹣4）．（1）求BC边上的中线所在直线的方程；（2）求BC边上的高所在直线的方程．16．（14分）已知数列{a n}满足a1=1，（a n﹣3）a n+1﹣a n+4=0（n∈N*）．（1）求a2，a3，a4；（2）猜想{a n}的通项公式，并用数学归纳法证明．17．（14分）在平面直角坐标系xOy中，已知圆M的圆心在直线y=﹣2x上，且圆M与直线x+y﹣1=0相切于点P（2，﹣1）．（1）求圆M的方程；（2）过坐标原点O的直线l被圆M截得的弦长为，求直线l的方程．18．（16分）某休闲广场中央有一个半径为1（百米）的圆形花坛，现计划在该花坛内建造一条六边形观光步道，围出一个由两个全等的等腰梯形（梯形ABCF 和梯形DEFC）构成的六边形ABCDEF区域，其中A、B、C、D、E、F都在圆周上，CF为圆的直径（如图）．设∠AOF=θ，其中O为圆心．（1）把六边形ABCDEF的面积表示成关于θ的函数f（θ）；（2）当θ为何值时，可使得六边形区域面积达到最大？并求最大面积．19．（16分）在平面直角坐标系xOy中，椭圆E：+=1（a＞b＞0）的离心率为，两个顶点分别为A（﹣a，0），B（a，0），点M（﹣1，0），且3=，过点M斜率为k（k≠0）的直线交椭圆E于C，D两点，其中点C在x轴上方．（1）求椭圆E的方程；（2）若BC⊥CD，求k的值；（3）记直线AD，BC的斜率分别为k1，k2，求证：为定值．20．（16分）已知函数f（x）=ax﹣lnx（a∈R）．（1）当a=1时，求f（x）的最小值；（2）若存在x∈[1，3]，使+lnx=2成立，求a的取值范围；（3）若对任意的x∈[1，+∞），有f（x）≥f（）成立，求a的取值范围．2016-2017学年江苏省南京市高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置上1．（5分）命题“若a=b，则|a|=|b|”的逆否命题是若|a|≠|b|，则a≠b．【解答】解：命题“若a=b，则|a|=|b|”的逆否命题是命题“若|a|≠|b|，则a≠b”，故答案为：“若|a|≠|b|，则a≠b”2．（5分）双曲线=1的渐近线方程是y=±2x．【解答】解：∵双曲线标准方程为=1，其渐近线方程是=0，整理得y=±2x．故答案为y=±2x．3．（5分）已知复数为纯虚数，其中i是虚数单位，则实数a的值是2．【解答】解：==，∵复数为纯虚数，∴，解得a=2．故答案为：2．4．（5分）在平面直角坐标系xOy中，点（4，3）到直线3x﹣4y+a=0的距离为1，则实数a的值是±5．【解答】解：由题意，=1，∴a=±5．故答案为±5．5．（5分）曲线y=x4与直线y=4x+b相切，则实数b的值是﹣3．【解答】解：设直线与曲线的切点为P（m，n）则有：⇒，化简求：m=1，b=n﹣4；又因为点P满足曲线y=x4，所以：n=1；则：b=n﹣4=﹣3；故答案为：﹣3．6．（5分）已知实数x，y满足条件则z=2x+y的最大值是9．【解答】解：实数x，y满足条件作出不等式组对应的平面区域如图：由z=2x+y得y=﹣2x+z，平移直线y=﹣2x+z，则当直线y=﹣2x+z经过点A时，直线的截距最大，此时z最大，由可得A（3，3）．此时z=9，故答案为：9．7．（5分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线C：y2=4x的焦点为F，P为抛物线C上一点，且PF=5，则点P的横坐标是4．【解答】解：∵抛物线y2=4x=2px，∴p=2，由抛物线定义可知，抛物线上任一点到焦点的距离与到准线的距离是相等的，∴|PF|=x+1=5，∴x=4，故答案为：48．（5分）在平面直角坐标系xOy中，圆O：x2+y2=r2（r＞0）与圆M：（x﹣3）2+（y+4）2=4相交，则r的取值范围是3＜r＜7．【解答】解：由题意，圆心距为5，∴|r﹣2|＜5＜r+2，∴3＜r＜7．故答案为3＜r＜7．9．（5分）观察下列等式：（sin）﹣2+（sin）﹣2=×1×2；（sin）﹣2+（sin）﹣2+（sin）﹣2+sin（）﹣2=×2×3；（sin）﹣2+（sin）﹣2+（sin）﹣2+…+sin（）﹣2=×3×4；（sin）﹣2+（sin）﹣2+（sin）﹣2+…+sin（）﹣2=×4×5；…照此规律，（sin）﹣2+（sin）﹣2+（sin）﹣2+…+（sin）﹣2=n（n+1）．【解答】解：观察下列等式：（sin）﹣2+（sin）﹣2=×1×2；（sin）﹣2+（sin）﹣2+（sin）﹣2+sin（）﹣2=×2×3；（sin）﹣2+（sin）﹣2+（sin）﹣2+…+sin（）﹣2=×3×4；（sin）﹣2+（sin）﹣2+（sin）﹣2+…+sin（）﹣2=×4×5；…照此规律（sin）﹣2+（sin）﹣2+（sin）﹣2+…+（sin）﹣2=×n （n+1），故答案为：n（n+1）10．（5分）若“∃x∈R，x2+ax+a=0”是真命题，则实数a的取值范围是（﹣∞，0]∪[4，+∞）．【解答】解：若“∃x∈R，x2+ax+a=0”是真命题，则△=a2﹣4a≥0，解得：a∈（﹣∞，0]∪[4，+∞），故答案为：（﹣∞，0]∪[4，+∞）11．（5分）已知函数f（x）=（x2+x+m）e x（其中m∈R，e为自然对数的底数）．若在x=﹣3处函数f （x）有极大值，则函数f （x）的极小值是﹣1．【解答】解：f（x）=（x2+x+m）e x，f′（x）=（x2+3x+m+1）e x，若f（x）在x=﹣3处函数f （x）有极大值，则f′（﹣3）=0，解得：m=﹣1，故f（x）=（x2+x﹣1）e x，f′（x）=（x2+3x）e x，令f′（x）＞0，解得：x＞0，令f′（x）＜0，解得：x＜﹣3，故f（x）在（﹣∞，﹣3）递增，在（﹣3，0）递减，在（0，+∞）递增，=f（0）=﹣1，故f（x）极小值故答案为：﹣1．12．（5分）有下列命题：①“m＞0”是“方程x2+my2=1表示椭圆”的充要条件；②“a=1”是“直线l1：ax+y﹣1=0与直线l2：x+ay﹣2=0平行”的充分不必要条件；③“函数f （x）=x3+mx单调递增”是“m＞0”的充要条件；④已知p，q是两个不等价命题，则“p或q是真命题”是“p且q是真命题”的必要不充分条件．其中所有真命题的序号是②④．【解答】解：对于①，当m=1时，方程x2+my2=1表示圆，故错；对于②，∵a=±1时，直线l1与直线l2都平行，故正确；对于③，若函数f （x）=x3+mx单调递增⇒m≥0，故错；对于④，p或q是真命题⇒p且q不一定是真命题；⇒p且q是真命题⇒p或q 一定是真命题，故正确；故答案为：②④13．（5分）已知椭圆E：+=1（a＞b＞0）的焦距为2c（c＞0），左焦点为F，点M的坐标为（﹣2c，0）．若椭圆E上存在点P，使得PM=PF，则椭圆E 离心率的取值范围是[] ．【解答】解：设P（x，y），由PM=PF⇒PM2=2PF2⇒（x+2c）2+y2=2（x+c）2+2y2⇒x2+y2=2c2，椭圆E上存在点P，使得PM=PF，则圆x2+y2=2c2与椭圆E：+=1（a＞b ＞0）有公共点，∴b≤≤a⇒⇒．故答案为：[]14．（5分）已知t＞0，函数f（x）=，若函数g（x）=f（f（x）﹣1）恰有6个不同的零点，则实数t的取值范围是（3，4）．【解答】解：∵函数f（x）=，∴函数f′（x）=，当x＜，或x＜t时，f′（x）＞0，函数为增函数，当＜x＜t时，f′（x）＜0，函数为减函数，故当x=时，函数f（x）取极大值，函数f（x）有两个零点0和t，若函数g（x）=f（f（x）﹣1）恰有6个不同的零点，则方程f（x）﹣1=0和f（x）﹣1=t各有三个解，即函数f（x）的图象与y=1和y=t+1各有三个零点，由y|x=t==，故，=（t﹣3）（2t+3）2＞0得：t＞3，故不等式的解集为：t∈（3，4），故答案为：（3，4）二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC三个顶点坐标为A（7，8），B（10，4），C（2，﹣4）．（1）求BC边上的中线所在直线的方程；（2）求BC边上的高所在直线的方程．【解答】解：（1）由B（10，4），C（2，﹣4），得BC中点D的坐标为（6，0），…（2分）所以AD的斜率为k==8，…（5分）所以BC边上的中线AD所在直线的方程为y﹣0=8（x﹣6），即8x﹣y﹣48=0．…（7分）（2）由B（10，4），C（2，﹣4），得BC所在直线的斜率为k==1，…（9分）所以BC边上的高所在直线的斜率为﹣1，…（12分）所以BC边上的高所在直线的方程为y﹣8=﹣1（x﹣7），即x+y﹣15=0．…（14分）16．（14分）已知数列{a n}满足a1=1，（a n﹣3）a n+1﹣a n+4=0（n∈N*）．（1）求a2，a3，a4；（2）猜想{a n}的通项公式，并用数学归纳法证明．【解答】解：（1）令n=1，﹣2a2+3=0，a2=，令n=2，﹣a3﹣+4=0，a3=，令n=3，﹣a4﹣+4=0，a4=．（2）猜想a n=（n∈N*）．证明：当n=1时，a1=1=，所以a n=成立，假设当n=k时，a n=成立，即a k=，则（a k﹣3）a k+1﹣a k+4=0，即（﹣3）a k+1﹣+4=0，所以a k+1=，即a k+1==，所以当n=k+1时，结论a n=成立．综上，对任意的n∈N*，a n=成立．17．（14分）在平面直角坐标系xOy中，已知圆M的圆心在直线y=﹣2x上，且圆M与直线x+y﹣1=0相切于点P（2，﹣1）．（1）求圆M的方程；（2）过坐标原点O的直线l被圆M截得的弦长为，求直线l的方程．【解答】解：（1）过点（2，﹣1）且与直线x+y﹣1=0垂直的直线方程为x﹣y﹣3=0，…（2分）由解得，所以圆心M的坐标为（1，﹣2），…（4分）所以圆M的半径为r=，…（6分）所以圆M的方程为（x﹣1）2+（y+2）2=2．…（7分）（2）因为直线l被圆M截得的弦长为，所以圆心M到直线l的距离为d==，…（9分）若直线l的斜率不存在，则l为x=0，此时，圆心M到l的距离为1，不符合题意．若直线l的斜率存在，设直线l的方程为y=kx，即kx﹣y=0，由d==，…（11分）整理得k2+8k+7=0，解得k=﹣1或﹣7，…（13分）所以直线l的方程为x+y=0或7x+y=0．…（14分）18．（16分）某休闲广场中央有一个半径为1（百米）的圆形花坛，现计划在该花坛内建造一条六边形观光步道，围出一个由两个全等的等腰梯形（梯形ABCF 和梯形DEFC）构成的六边形ABCDEF区域，其中A、B、C、D、E、F都在圆周上，CF为圆的直径（如图）．设∠AOF=θ，其中O为圆心．（1）把六边形ABCDEF的面积表示成关于θ的函数f（θ）；（2）当θ为何值时，可使得六边形区域面积达到最大？并求最大面积．【解答】（本题满分16分）解：（1）作AH⊥CF于H，则OH=cosθ，AB=2OH=2cosθ，AH=sinθ，…（2分）则六边形的面积为f （θ）=2×（AB+CF）×AH=（2cosθ+2）sinθ=2（cosθ+1）sinθ，θ∈（0，）．…（6分）（2）f′（θ）=2[﹣sinθsinθ+（cosθ+1）cosθ]=2（2cos2θ+cosθ﹣1）=2（2cosθ﹣1）（cosθ+1）．…（10分）令f′（θ）=0，因为θ∈（0，），所以cosθ=，即θ=，…（12分）当θ∈（0，）时，f′（θ）＞0，所以f （θ）在（0，）上单调递增；当θ∈（，）时，f′（θ）＜0，所以f （θ）在（，）上单调递减，…（14分）所以当θ=时，f （θ）取最大值f （）=2（cos+1）sin=．…（15分）答：当θ=时，可使得六边形区域面积达到最大，最大面积为平方百米．…（16分）19．（16分）在平面直角坐标系xOy中，椭圆E：+=1（a＞b＞0）的离心率为，两个顶点分别为A（﹣a，0），B（a，0），点M（﹣1，0），且3=，过点M斜率为k（k≠0）的直线交椭圆E于C，D两点，其中点C在x轴上方．（1）求椭圆E的方程；（2）若BC⊥CD，求k的值；（3）记直线AD，BC的斜率分别为k1，k2，求证：为定值．【解答】解：（1）因为3=，所以3（﹣1+a，0）=（a+1，0），解得a=2．…（2分）又因为=，所以c=，所以b2=a2﹣c2=1，所以椭圆E的方程为+y2=1．…（4分）（2）设点C的坐标为（x0，y0），y0＞0，则=（﹣1﹣x0，﹣y0），=（2﹣x0，﹣y0）．因为BC⊥CD，所以（﹣1﹣x0）（2﹣x0）+y02=0．①…（6分）又因为+y02=1，②联立①②，解得x0=﹣，y0=，…（8分）所以k==2．…（10分）（3），设C（x0，y0），则CD：y=（x+1）（﹣2＜x0＜2且x0≠﹣1），由消去y，得x2+8y02x+4y02﹣4（x0+1）2=0．…（12分）又因为+y02=1，所以得D（，），…（14分）所以===3，所以为定值．…（16分）20．（16分）已知函数f（x）=ax﹣lnx（a∈R）．（1）当a=1时，求f（x）的最小值；（2）若存在x∈[1，3]，使+lnx=2成立，求a的取值范围；（3）若对任意的x∈[1，+∞），有f（x）≥f（）成立，求a的取值范围．【解答】解：（1）f（x）=x﹣lnx（x＞0）的导数为f′（x）=1﹣=，当x＞1时，f′（x）＞0，f（x）递增；当0＜x＜1时，f′（x）＞0，f（x）递减．即有f（x）在x=1处取得极小值，也为最小值，且为1；（2）存在x∈[1，3]，使+lnx=2成立，即为=2﹣lnx，即有a=，设g（x）=，x∈[1，3]，则g′（x）=（1﹣lnx）（1+），当1＜x＜e时，g′（x）＞0，g（x）递增；当e＜x＜3时，g′（x）＜0，g（x）递减．则g（x）在x=e处取得极大值，且为最大值e+；g（1）=2，g（3）=3（2﹣ln3）+＞2，则a的取值范围是[2，e+]；（3）若对任意的x∈[1，+∞），有f（x）≥f（）成立，即为ax﹣lnx≥﹣ln，即有a（x﹣）≥2lnx，x≥1，令F（x）=a（x﹣）﹣2lnx，x≥1，F′（x）=a（1+）﹣，当x=1时，原不等式显然成立；当x＞1时，由题意可得F′（x）≥0在（1，+∞）恒成立，即有a（1+）﹣≥0，即a≥，由=＜=1，则a≥1．综上可得a的取值范围是[1，+∞）．。
南京市高二上学期期末数学试卷(理科)(I)卷
南京市高二上学期期末数学试卷（理科）（I）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题： (共12题；共24分)1. （2分）(2013·重庆理) 执行如图所示的程序框图，如果输出S=3，那么判断框内应填入的条件是（）A . k≤6B . k≤7C . k≤8D . k≤92. （2分）命题“若y= ，则x与y成反比例关系”的否命题是（）A . 若y≠ ，则x与y成正比例关系B . 若y≠ ，则x与y成反比例关系C . 若x与y不成反比例关系，则y≠D . 若y≠ ，则x与y不成反比例关系3. （2分） (2017高一下·中山期末) 从甲乙两个城市分别随机抽取16台自动售货机，对其销售额进行统计计数据用茎叶图表示（如图所示），设甲乙两组数据的平均数分别为，，中位数分别为m甲， m乙，则（）A . ，m甲＞m乙B . ，m甲＜m乙C . ，m甲＞m乙D . ，m甲＜m乙4. （2分）已知双曲线和椭圆(a>0,m>b>0)的离心率互为倒数，那么以a、b、m为边长的三角形是（）A . 锐角三角形B . 钝角三角形C . 直角三角形D . 锐角或钝角三角形5. （2分） (2016高二上·临川期中) 若向量 =（1，1，2）， =（2，﹣1，2），则cos＜，＞=（）A . 3B .C .D . 26. （2分） (2020高二上·黄陵期末) 函数在点取极值是的（）A . 充分条件B . 必要条件C . 充要条件D . 必要非充分条件7. （2分）(2020·甘肃模拟) 已知，“函数有零点”是“函数在上是减函数”的（）．A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充要条件D . 即不充分也不必要条件8. （2分）如图，△ABC中，∠C=90°，且AC＝BC＝4，点M满足，则＝（）A . 2B . 3C . 4D . 69. （2分） (2016高二下·马山期末) 曲线y=x3﹣2x+1在点（1，0）处的切线方程为（）A . y=x﹣1B . y=﹣x+1C . y=2x﹣2D . y=﹣2x+210. （2分）已知是双曲线的两焦点，以线段为边作正，若边的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是（）A .B .C .D .11. （2分）已知函数f（x）（x∈R）满足＞f（x），则（）A . f（2）＜f（0）B . f（2）≤f（0）C . f（2）＝f（0）D . f（2）＞f（0）12. （2分） (2018高二下·磁县期末) 函数的部分图象大致为A .B .C .D .二、填空题： (共4题；共4分)13. （1分）已知=（2，﹣1，3），=（﹣1，4，﹣2），=（7，5，λ），若，，三向量共面，则λ=________14. （1分）(2016·四川模拟) 当实数a在区间[1，m]（m＞1）随机取值时，函数f（x）=﹣x2+ax+2在区间（1，+∞）上是单调减函数的概率为，则实数m=________．15. （1分） (2016高二上·黄骅期中) 已知抛物线C：x2=4y的焦点为F，过点F且斜率为1的直线与抛物线相交于M、N两点，设直线l是抛物线C的切线，且l∥MN，P为l上一点，则的最小值为________．16. （1分） (2019高二上·阜阳月考) 已知椭圆，双曲线 .若双曲线的两条渐近线与椭圆的四个交点及椭圆的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆与双曲线的离心率之积为________．三、解答题 (共6题；共70分)17. （15分） (2016高一下·唐山期末) 参加市数学调研抽测的某校高三学生成绩分析的茎叶图和频率分布直方图均受到不同程度的破坏，但可见部分信息如下，据此解答如下问题：（1）求参加数学抽测的人数n、抽测成绩的中位数及分数分别在[80，90），[90，100]内的人数；（2）求参加数学抽测的人数n、抽测成绩的中位数及分数分别在[80，90），[90，100]内的人数；（3）若从分数在[80，100]内的学生中任选两人进行调研谈话，求恰好有一人分数在[90，100]内的概率．（4）若从分数在[80，100]内的学生中任选两人进行调研谈话，求恰好有一人分数在[90，100]内的概率．18. （10分）(2018·广东模拟) 设函数．（1）求函数的单调区间；（2）若函数在上存在零点，证明：．（3）若函数在上存在零点，证明：．19. （10分）(2013·上海理) 如图，已知双曲线C1：，曲线C2：|y|=|x|+1，P是平面内一点，若存在过点P的直线与C1 ， C2都有公共点，则称P为“C1﹣C2型点”（1）在正确证明C1的左焦点是“C1﹣C2型点“时，要使用一条过该焦点的直线，试写出一条这样的直线的方程（不要求验证）；（2）设直线y=kx与C2有公共点，求证|k|＞1，进而证明原点不是“C1﹣C2型点”；（3）求证：圆x2+y2= 内的点都不是“C1﹣C2型点”20. （15分） (2017高三上·桓台期末) 在边长为4的菱形ABCD中，∠DAB=60°，点E，F分别是边CD，CB 的中点，AC∩EF=O，沿EF将△CEF翻折到△PEF，连接PA，PB，PD，得到如图的五棱锥，且．（1）求证：BD⊥平面POA；（2）求二面角B﹣AP﹣O的余弦值．21. （5分） (2018高二上·佛山期末) 已知为圆上的动点，的坐标为，在线段的中点.（Ⅰ）求的轨迹的方程.（Ⅱ）过点的直线与交于两点，且，求直线的方程.22. （15分）(2019·乌鲁木齐模拟) 已知函数 .（1）若，且是函数的两个极值点，求的最小值.（2）求函数的单调区间；（3）若，且是函数的两个极值点，求的最小值.参考答案一、选择题： (共12题；共24分)1-1、2-1、答案：略3-1、4-1、5-1、6-1、答案：略7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题： (共4题；共4分)13-1、答案：略14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共70分) 17-1、答案：略17-2、答案：略17-3、答案：略17-4、答案：略18-1、答案：略18-2、答案：略18-3、答案：略19-1、答案：略19-2、答案：略19-3、答案：略20-1、答案：略20-2、答案：略21-1、答案：略22-1、答案：略22-2、答案：略22-3、答案：略。
南京市高二(上)期末数学试卷(解析版)(理科)
高二〔上〕期末数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每题5分，共70分〕.1．抛物线y2=4x的焦点坐标为．2．命题：“∃x∈R，x2﹣x﹣1＜0〞的否认是．3．双曲线﹣=1的渐近线方程是．4．“x＞1〞是“x2＞1〞的条件〔填“充分不必要〞、“必要不充分〞、“充要〞、“既不充分也不必要〞〕5．过点〔1，1〕且与直线2x﹣y+1=0平行的直线方程为．6．函数f〔x〕=xe x的最小值是．7．两直线l1：ax+2y+6=0，l2：x+〔a﹣1〕y+〔a2﹣1〕=0，假设l1⊥l2，那么a=．8．过点〔2，1〕且与点〔1，3〕距离最大的直线方程是．9．圆锥的侧面展开图是一个半径为2的半圆，那么这个圆锥的高是．10．过点A〔0，2〕且与圆〔x+3〕2+〔y+3〕2=18切于原点的圆的方程是．11．底面边长为2，侧棱长为的正四棱锥的体积为．12．函数f〔x〕满足f〔1〕=1，对任意x∈R，f′〔x〕＞1，那么f〔x〕＞x的解集是．13．如图，过椭圆+=1〔a＞b＞0〕的左顶点A作直线交y轴于点P，交椭圆于点Q，假设△AOP是等腰三角形，且=2，那么椭圆的离心率是．14．函数f〔x〕=，假设函数y=f〔f〔x〕﹣2a〕有两个零点，那么实数a的取值范围是．二、解答题：本大题共6小题，共90分．解答写出文字说明、证明过程或演算过程．15．〔14分〕命题p：f〔x〕=x3+ax2+ax在R上的单调递增函数，命题q：方程+=1表示双曲线．〔1〕当a=1时，判断命题p的真假，并说明理由；〔2〕假设命题“p且q“为真命题，求实数a的取值范围．16．〔14分〕如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC=BC，F为A1B1的中点．求证：〔1〕B1C∥平面FAC1；〔2〕平面FAC1⊥平面ABB1A1．17．〔14分〕如图，在半径为30cm的半圆形铁皮上截取一块矩形材料ABCD〔点A，B在直径上，点C，D在半圆周上〕，并将其卷成一个以AD为母线的圆柱体罐子的侧面〔不计剪裁和拼接损耗〕．〔1〕设BC为xcm，AB为ycm，请写出y关于x的函数关系，并写出x的取值范围；〔2〕假设要求圆柱体罐子的体积最大，应如何截取？18．〔16分〕在平面直角坐标系xOy中，△ABC顶点的坐标为A〔﹣1，2〕，B 〔1，4〕，C〔3，2〕．〔1〕求△ABC外接圆E的方程；〔2〕假设直线l经过点〔0，4〕，且与圆E相交所得的弦长为2，求直线l 的方程；〔3〕在圆E上是否存在点P，满足PB2﹣2PA2=12，假设存在，求出点P的坐标；假设不存在，请说明理由．19．〔16分〕如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆+=1〔a＞b＞0〕的焦距为2，且过点〔1，〕，椭圆上顶点为A，过点A作圆〔x﹣1〕2+y2=r2〔0＜r＜1〕的两条切线分别与椭圆E相交于点B，C〔不同于点A〕，设直线AB，AC的斜率分别为k AB，K AC．〔1〕求椭圆的标准方程；〔2〕求k AB•k AC的值；〔3〕试问直线BC是否过定点？假设过定点，求出定点坐标；假设不过定点，请说明理由．20．〔16分〕函数f〔x〕=lnx+ax，g〔x〕=ax2+2x，其中a为实数，e为自然对数的底数．〔1〕假设a=1，求曲线y=f〔x〕在点〔1，f〔1〕〕处的切线方程；〔2〕假设函数y=f〔x〕的极大值为﹣2，求实数a的值；〔3〕假设a＜0，且对任意的x∈[1，e]，f〔x〕≤g〔x〕恒成立，求实数a的取值范围．高二〔上〕期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每题5分，共70分〕.1．抛物线y2=4x的焦点坐标为〔1，0〕．【考点】抛物线的简单性质．【分析】先确定焦点位置，即在x轴正半轴，再求出P的值，可得到焦点坐标．【解答】解：∵抛物线y2=4x是焦点在x轴正半轴的标准方程，p=2∴焦点坐标为：〔1，0〕故答案为：〔1，0〕【点评】此题主要考查抛物线的焦点坐标．属根底题．2．命题：“∃x∈R，x2﹣x﹣1＜0〞的否认是∀x∈R，x2﹣x﹣1≥0．【考点】命题的否认．【分析】直接利用特称命题的否认是全称命题写出结果即可．【解答】解：因为特称命题的否认是全称命题，所以，命题：“∃x∈R，x2﹣x﹣1＜0〞的否认是∀x∈R，x2﹣x﹣1≥0；故答案为：∀x∈R，x2﹣x﹣1≥0．【点评】此题考查命题的否认，全称命题与特称命题的否认关系，是根底题．3．双曲线﹣=1的渐近线方程是y=±x．【考点】双曲线的简单性质．【分析】把曲线的方程化为标准方程，求出a和b的值，再根据焦点在x轴上，求出渐近线方程．【解答】解：双曲线，∴a=2，b=3，焦点在x轴上，故渐近线方程为y=±x=±x，故答案为y=±．【点评】此题考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，此题的关键是求出a、b的值，要注意双曲线在x轴还是y轴上，是根底题．4．“x＞1〞是“x2＞1〞的充分不必要条件〔填“充分不必要〞、“必要不充分〞、“充要〞、“既不充分也不必要〞〕【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】利用充分条件和必要条件的定义进行判断．【解答】解：由x2＞1得x＞1或x＜﹣1．∴“x＞1〞是“x2＞1〞的充分不必要条件．故答案为：充分不必要．【点评】此题主要考查充分条件和必要条件的应用，利用向量相等的定义是解决此题的关键．5．过点〔1，1〕且与直线2x﹣y+1=0平行的直线方程为2x﹣y﹣1=0．【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系．【分析】由直线的平行关系可设要求直线方程为2x﹣y+c=0，代点求c值可得．【解答】解：由直线的平行关系可设要求直线方程为2x﹣y+c=0，由直线过点〔1，1〕可得2×1﹣1+c=0，解得c=﹣1，∴所求直线方程为2x﹣y﹣1=0，故答案为：2x﹣y﹣1=0．【点评】此题考查直线的一般式方程和平行关系，属根底题．6．函数f〔x〕=xe x的最小值是﹣．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】求导函数，确定函数的单调性，即可求得函数的最小值．【解答】解：求导函数，可得y′=e x+xe x，令y′=0可得x=﹣1令y′＞0，可得x＞﹣1，令y′＜0，可得x＜﹣1∴函数在〔﹣∞，﹣1〕上单调减，在〔﹣1，+∞〕上单调增∴x=﹣1时，函数y=xe x取得最小值，最小值是﹣，故答案为：﹣．【点评】此题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与最值，属于根底题．7．两直线l1：ax+2y+6=0，l2：x+〔a﹣1〕y+〔a2﹣1〕=0，假设l1⊥l2，那么a=．【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系．【分析】利用直线相互垂直与斜率的关系即可得出．【解答】解：当a=0或a=1时，不满足条件，舍去．两条直线的斜率分别为：，．∴l1⊥l2，∴k1k2==﹣1，解得a=．故答案为：．【点评】此题考查了直线相互垂直的充要条件，属于根底题．8．过点〔2，1〕且与点〔1，3〕距离最大的直线方程是x﹣2y=0．【考点】确定直线位置的几何要素．【分析】过点A〔2，1〕且与点B〔1，3〕距离最大的直线l满足：l⊥AB．那么k l•k AB=﹣1，即可得出．【解答】解：过点A〔2，1〕且与点B〔1，3〕距离最大的直线l满足：l⊥AB．∴k l•k AB=﹣1，∴k l=．∴直线l的方程为：y﹣1=〔x﹣2〕，化为x﹣2y=0．故答案为：x﹣2y=0．【点评】此题考查了相互垂直的直线斜率之间的关系、点斜式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．9．圆锥的侧面展开图是一个半径为2的半圆，那么这个圆锥的高是．【考点】旋转体〔圆柱、圆锥、圆台〕．【分析】由圆锥的侧面展开图是一个半径为2的半圆知，圆锥的轴截面为边长为2的正三角形．【解答】解：∵圆锥的侧面展开图是一个半径为2的半圆，∴圆锥的轴截面为边长为2的正三角形，那么圆锥的高h=2×sin60°=．【点评】考查了学生的空间想象力．10．过点A〔0，2〕且与圆〔x+3〕2+〔y+3〕2=18切于原点的圆的方程是〔x ﹣1〕2+〔y﹣1〕2 =2．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】设所求的圆的圆心为M，可得M、O、C共线，故圆心M在直线y=x上，设所求的圆的圆心为M〔a，a〕，又所求的圆过点A〔0，2〕，可得圆心M还在直线y=1上，故M〔1，1〕，求得半径AM的值，可得要求的圆的方程．【解答】解：圆C：〔x+3〕2+〔y+3〕2=18的圆心C〔﹣3，﹣3〕．根据两圆相切于原点，设所求的圆的圆心为M，可得M、O、C共线，故圆心M在直线y=x上，设所求的圆的圆心为M〔a，a〕，又所求的圆过点A〔0，2〕，故圆心M还在直线y=1上，故M〔1，1〕，半径为AM=，故要求的圆的方程为：〔x﹣1〕2+〔y﹣1〕2 =2，故答案为：〔x﹣1〕2+〔y﹣1〕2 =2．【点评】此题考查了直线与圆相交的性质，涉及的知识有圆的标准方程，垂径定理，勾股定理，两圆相切的性质，属于中档题．11．底面边长为2，侧棱长为的正四棱锥的体积为．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】作出棱锥的高，那么顶点在底面的射影为底面中心，利用正方形的性质可求出底面中心到底面顶点的距离，借助勾股定理求出棱锥的高，代入体积公式计算．【解答】解：取底面中心O，过O作OE⊥AB，垂足为E，连接SO，AO，∵四棱锥S﹣ABCD为正四棱锥，∴SO⊥平面ABCD，∵AO⊂平面ABCD，∴SO⊥AO．∵四边形ABCD是边长为2的正方形，∴AE=AB=1，∠OAE=∠BAD=45°，∴OE=AE=1，∵OE2+AE2=AO2，∴AO=，∵SA=，∴SO==1．V=•S ABCD•SO=•22•1=．故答案为．【点评】此题考查了正三棱锥的结构特征和体积计算，属于根底题．12．函数f〔x〕满足f〔1〕=1，对任意x∈R，f′〔x〕＞1，那么f〔x〕＞x的解集是〔1，+∞〕．【考点】利用导数研究函数的单调性；导数的运算．【分析】题目给出的函数f〔x〕为抽象函数，没法代式求解不等式f〔x〕＞x，结合题目给出了对任意x∈R，f′〔x〕＞1这一条件，想到借助于辅助函数解决，令令g〔x〕=f〔x〕﹣x，然后分析g〔x〕在实数集上的单调性，又f〔1〕=1，可求出g〔1〕=0，最后用g〔x〕与0的关系求解不等式f〔x〕＞x的解集．【解答】解：令g〔x〕=f〔x〕﹣x，那么，g′〔x〕=f′〔x〕﹣1，∵f′〔x〕＞1，∴g′〔x〕＞0，所以函数g〔x〕在〔﹣∞，+∞〕上为增函数，又g〔1〕=f〔1〕﹣1=0，那么由g〔x〕＞0，得g〔x〕＞g〔1〕，即x＞1，∴f〔x〕﹣x＞0的解集为〔1，+∞〕，也就是f〔x〕＞x的解集为〔1，+∞〕故答案为：〔1，+∞〕．【点评】此题主要考查导函数的正负与原函数的单调性之间的关系，即当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减，解答此题的关键是引入辅助函数g〔x〕．13．如图，过椭圆+=1〔a＞b＞0〕的左顶点A作直线交y轴于点P，交椭圆于点Q，假设△AOP是等腰三角形，且=2，那么椭圆的离心率是．【考点】椭圆的简单性质．【分析】利用等腰三角形的性质和向量相等运算即可得出点Q的坐标，再代入椭圆方程即可．【解答】解：∵△AOP是等腰三角形，A〔﹣a，0〕∴P〔0，a〕．设Q〔x0，y0〕，∵=2，∴〔x0，y0﹣a〕=2〔﹣a﹣x0，﹣y0〕．∴，解得．代入椭圆方程得+=1，化为=．∴e===．故答案：【点评】熟练掌握等腰三角形的性质和向量相等运算、“代点法〞等是解题的关键．14．函数f〔x〕=，假设函数y=f〔f〔x〕﹣2a〕有两个零点，那么实数a的取值范围是∅．【考点】函数零点的判定定理．【分析】画出函数图象，令f〔f〔x〕﹣2a〕=0⇒f〔x〕﹣2a=﹣2或f〔x〕﹣2a=1，⇒f〔x〕=2a﹣2或f〔x〕=2a+1，由函数函数f〔x〕=的值域为R，可得f〔x〕=2a﹣2和f〔x〕=2a+1都至少有一个零点，要使函数y=f〔f〔x〕﹣2a〕有两个零点，必满足f〔x〕=2a﹣2和f〔x〕=2a+1各有一个零点．【解答】解：函数y=的定义域是〔0，+∞〕，令y′＞0，解得：0＜x＜e，令y′＜0，解得：x＞e，故函数y=在〔0，e〕递增，在〔e，+∞〕递减，故x=e时，函数y=取得最大值，最大值是，函数y=x2﹣4〔x≤0〕是抛物线的一局部．∴函数f〔x〕=的图象如下：令y=f〔f〔x〕﹣2a〕=0⇒f〔x〕﹣2a=﹣2或f〔x〕﹣2a=1，⇒f〔x〕=2a﹣2或f 〔x〕=2a+1，∵函数函数f〔x〕=的值域为R，∴f〔x〕=2a﹣2和f〔x〕=2a+1都至少有一个零点，函数y=f〔f〔x〕﹣2a〕有两个零点，那么必满足f〔x〕=2a﹣2和f〔x〕=2a+1各有一个零点．∵2a+1＞2a﹣3，∴2a﹣2＜﹣4且2a+1＞⇒a∈∅，故答案为∅【点评】此题考查了利用数形结合的思想求解函数的零点问题，同时也考查了函数的单调性及分类讨论思想，属于难题．二、解答题：本大题共6小题，共90分．解答写出文字说明、证明过程或演算过程．15．〔14分〕〔2021秋•淮安期末〕命题p：f〔x〕=x3+ax2+ax在R上的单调递增函数，命题q：方程+=1表示双曲线．〔1〕当a=1时，判断命题p的真假，并说明理由；〔2〕假设命题“p且q“为真命题，求实数a的取值范围．【考点】命题的真假判断与应用．【分析】〔1〕假设命题p：f〔x〕=x3+ax2+ax在R上的单调递增函数为真命题，那么f′〔x〕=3x2+2ax+a≥0恒成立，解出a的范围，可判断命题p的真假；〔2〕假设命题“p且q“为真命题，那么命题p，命题q均为真命题，进而可得实数a的取值范围．【解答】解：〔1〕假设命题p：f〔x〕=x3+ax2+ax在R上的单调递增函数为真命题，那么f′〔x〕=3x2+2ax+a≥0恒成立，故△=4a2﹣12a≤0，解得：a∈[0，3]，故当a=1时，命题p为真命题；〔2〕假设命题q：方程+=1表示双曲线为真命题，那么〔a+2〕〔a﹣2〕＜0．解得：a∈〔﹣2，2〕，假设命题“p且q“为真命题，那么命题p，命题q均为真命题，故a∈[0，2〕．【点评】此题以命题的真假判断与应用为载体，考查了复合命题，导数法研究函数的单调性，双曲线的标准方程等知识点，难度中档．16．〔14分〕〔2021秋•淮安期末〕如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC=BC，F为A1B1的中点．求证：〔1〕B1C∥平面FAC1；〔2〕平面FAC1⊥平面ABB1A1．【考点】平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．【分析】〔1〕如下图取AB的中点E，连接CE，EB1，可得面B1CE∥平面FAC1，即B1C∥平面FAC1〔2〕只需证明C1F⊥面AA1C1B1B，即可得平面FAC1⊥平面ABB1A1．【解答】解：〔1〕证明：如下图取AB的中点E，连接CE，EB1，∵F为A1B1的中点，∴C1F∥CE，AF∥B1E，且C1F∩AF=F，CE∩B1E=E，∴面B1CE∥平面FAC1，∵B1C⊂B1CE，∴B1C∥平面FAC1〔2〕证明：直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，A1A⊥面A1C1B1，∵C1F⊂面A1C1B1，∴A1A ⊥C1F，∵AC=BC，F为A1B1的中点，∴A1B1⊥C1F，且AA1∩A1B1，∴C1F⊥面AA1C1B1B，C1F⊂面A1C1B1，∴平面FAC1⊥平面ABB1A1．【点评】此题考查了线面平行、面面垂直的判定，关键是空间位置关系的判定与性质的应用，属于中档题．17．〔14分〕〔2021秋•淮安期末〕如图，在半径为30cm的半圆形铁皮上截取一块矩形材料ABCD〔点A，B在直径上，点C，D在半圆周上〕，并将其卷成一个以AD为母线的圆柱体罐子的侧面〔不计剪裁和拼接损耗〕．〔1〕设BC为xcm，AB为ycm，请写出y关于x的函数关系，并写出x的取值范围；〔2〕假设要求圆柱体罐子的体积最大，应如何截取？【考点】旋转体〔圆柱、圆锥、圆台〕．【分析】〔1〕设BC=x，求出AB，写出y关于x的函数关系，并写出x的取值范围；〔2〕用x表示出圆柱的底面半径，得出体积V〔x〕关于x的函数，判断V〔x〕的单调性，得出V〔x〕的最大值．【解答】解：〔1〕连接OC，设BC=x，那么y=2，〔其中0＜x＜30〕，〔2〕设圆柱底面半径为r，高为x，那么AB=2=2πr，解得r=，∴V=πr2h=〔900x﹣x3〕，〔其中0＜x＜30〕；∴V′=〔900﹣3x2〕，令V′〔x〕=0，得x=10；因此V〔x〕=〔900x﹣x3〕在〔0，10〕上是增函数，在〔10，30〕上是减函数；∴当x=10时，V〔x〕取得最大值V〔10〕=，∴取BC=10cm时，做出的圆柱形罐子体积最大，最大值为cm3．【点评】此题考查了圆柱的结构特征，圆柱与体积计算，用函数单调性求函数最值，属于中档题．18．〔16分〕〔2021秋•淮安期末〕在平面直角坐标系xOy中，△ABC顶点的坐标为A〔﹣1，2〕，B〔1，4〕，C〔3，2〕．〔1〕求△ABC外接圆E的方程；〔2〕假设直线l经过点〔0，4〕，且与圆E相交所得的弦长为2，求直线l 的方程；〔3〕在圆E上是否存在点P，满足PB2﹣2PA2=12，假设存在，求出点P的坐标；假设不存在，请说明理由．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】〔1〕利用待定系数法求△ABC外接圆E的方程；〔2〕分类讨论，利用韦达定理，结合弦长公式，求直线l的方程；〔3〕求出P的轨迹方程，与圆E联立，即可得出结论．【解答】解：〔1〕设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，那么，解得D=﹣2，E=﹣4，F=1，∴△ABC外接圆E的方程为x2+y2﹣2x﹣4y+1=0．〔2〕当直线l的斜率k不存在时，直线l的方程为x=0，联立，得或，弦长为2，满足题意．当直线l的斜率k存在时，设直线l的方程为y﹣4=kx，即t=kx+4，联立，得〔1+k2〕x﹣〔2k﹣2〕x﹣2=0，△=[﹣〔2k﹣2〕]2+8〔1+k2〕=12k2+8k+12＞0，设直线l与圆交于E〔x1，y1〕，F〔x2，y2〕，那么，，∵弦长为2，∴=2，解得k=1，∴直线l的方程为x﹣y+4=0．∴直线l的方程为x=0，或x﹣y+4=0．〔3〕设P〔x，y〕，∵PB2﹣2PA2=12，A〔﹣1，2〕，B〔1，4〕，∴〔x﹣1〕2+〔y﹣4〕2﹣2〔x+1〕2﹣2〔y﹣2〕2=12，即x2+y2+6x+16y+5=0．与x2+y2﹣2x﹣4y+1=0相减可得2x+5y+1=0，与x2+y2﹣2x﹣4y+1=0联立可得29y2+14y+9=0，方程无解，∴圆E上不存在点P，满足PB2﹣2PA2=12．【点评】此题考查圆的方程，考查轨迹方程，考查直线与圆、圆与圆的位置关系，属于中档题．19．〔16分〕〔2021秋•淮安期末〕如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆+=1〔a＞b＞0〕的焦距为2，且过点〔1，〕，椭圆上顶点为A，过点A作圆〔x﹣1〕2+y2=r2〔0＜r＜1〕的两条切线分别与椭圆E相交于点B，C〔不同于点A〕，设直线AB，AC的斜率分别为k AB，K AC．〔1〕求椭圆的标准方程；〔2〕求k AB•k AC的值；〔3〕试问直线BC是否过定点？假设过定点，求出定点坐标；假设不过定点，请说明理由．【考点】椭圆的简单性质．【分析】〔1〕由题意可得：2c=2，=1，又a2=b2+c2，联立解得求出椭圆的方程．〔2〕设切线方程为y=kx+1，那么〔1﹣r2〕k2﹣2k+1﹣r2=0，设两切线AB，AD 的斜率为k1，k2〔k1≠k2〕，k1•k2=1，由切线方程与椭圆方程联立得：〔1+4k2〕x2+8kx=0，由此能求出直线BD方程，进而得到直线．〔3〕设B〔x1，y1〕，C〔x2，y2〕，k AB=k1，k AC=k2．设经过点A所作的圆的切线方程为：y=kx+1．与椭圆方程联立可得：〔1+4k2〕x2+8kx=0，解得x=0，x=，可得：x B，x C．y B，y C，k BC=．可得直线BC的方程，即可得出．【解答】解：〔1〕由题意可得：2c=2，=1，又a2=b2+c2，联立解得c=，a=2，b=1．∴椭圆的标准方程为=1．〔2〕A〔0，1〕，设经过点A的圆〔x﹣1〕2+y2=r2〔0＜r＜1〕的切线方程为：y=kx+1．那么=r，化为：〔r2﹣1〕k2+2k+r2﹣1=0，那么k AB•k AC==1．〔3〕设B〔x1，y1〕，C〔x2，y2〕，k AB=k1，k AC=k2．设经过点A的圆〔x﹣1〕2+y2=r2〔0＜r＜1〕的切线方程为：y=kx+1．联立，化为：〔1+4k2〕x2+8kx=0，解得x=0，x=，∴x B=，x C==．y B=，y C=．∴k BC==．∴直线BC的方程为：y﹣=，令x=0，可得：y=．∴直线BC经过定点．【点评】此题考查了椭圆的标准方程及其性质、圆的切线方程、一元二次方程的根与系数的关系、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．20．〔16分〕〔2021秋•淮安期末〕函数f〔x〕=lnx+ax，g〔x〕=ax2+2x，其中a 为实数，e为自然对数的底数．〔1〕假设a=1，求曲线y=f〔x〕在点〔1，f〔1〕〕处的切线方程；〔2〕假设函数y=f〔x〕的极大值为﹣2，求实数a的值；〔3〕假设a＜0，且对任意的x∈[1，e]，f〔x〕≤g〔x〕恒成立，求实数a的取值范围．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】〔1〕求出函数的导数，计算f〔1〕，f′〔1〕，从而求出切线方程即可；〔2〕求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间，得到函数的极大值，从而求出a的值即可；〔3〕即a≥，设g〔x〕=，根据函数的单调性求出g〔x〕的最大值，从而求出a的范围即可．【解答】解：〔1〕a=1时，f〔x〕=lnx+x，f′〔x〕=1+，f〔1〕=1，f′〔1〕=2，故切线方程是：y﹣1=2〔x﹣1〕，即：2x﹣y﹣1=0；〔2〕f〔x〕的定义域是〔0，+∞〕，f′〔x〕=+a=，a≥0时，f〔x〕在〔0，+∞〕递增，无极值，a＜0时，令f′〔x〕＞0，解得：x＜﹣，令f′〔x〕＜0，解得：x＞﹣，故f〔x〕在〔0，﹣〕递增，在〔﹣，+∞〕递减，故f〔x〕的极大值是f〔﹣〕=ln〔﹣〕﹣1，假设函数y=f〔x〕的极大值为﹣2，那么ln〔﹣〕﹣1=﹣2，解得：a=﹣e；〔3〕假设a＜0，且对任意的x∈[1，e]，f〔x〕≤g〔x〕恒成立，即x∈[1，e]时，ax2﹣lnx﹣〔a﹣2〕x≥0恒成立．即a≥，设g〔x〕=，那么g′〔x〕=，当x＞1时，g′〔x〕＞0，∴g〔x〕在区间〔1，+∞〕上递增，∴当x∈[1，e]时，g〔x〕≤g〔e〕=，∴a＜0，且对任意的．x∈[1，e]，f〔x〕≥〔a﹣2〕x恒成立，∴实数a的取值范围为[，0〕．【点评】此题考查利用导数研究函数的极值以及由函数恒成立的问题求参数的取值范围，求解此题关键是记忆好求导的公式以及极值的定义，对于函数的恒成立的问题求参数，要注意正确转化，恰当的转化可以大大降低解题难度．。
【配套K12】江苏省南京市2017-2018学年高二数学上学期期末考试试题 理(含解析)
江苏省南京市2017-2018学年高二数学上学期期末考试试题理一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置．．．．．．．上．1. 命题“若ab＝0，则b＝0”的逆否命题是______．【答案】“若b≠0，则ab≠0”【解析】因为一个命题的逆否命题，是将原命题逆命题的条件与结论同时否定得到，所以命题“若ab＝0，则b＝0”的逆否命题是“若b≠0，则ab≠0”.故答案为：“若b≠0，则ab≠0”.2. 已知复数z满足z(1＋i)＝i，其中i是虚数单位，则 |z| 为______．【答案】【解析】复数z满足z(1＋i)＝i，所以.所以.故答案为：.3. 在平面直角坐标系xOy中，抛物线y2＝4x的焦点坐标是______．【答案】(1，0)【解析】抛物线y2＝4x，满足y2＝2p x，其中p=2.所以抛物线y2＝4x的焦点坐标是(1，0).故答案为：(1，0).4. “x2－3x＋2＜0”是“－1＜x＜2”成立的______条件（在“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”，“既不充分又不必要”中选一个填写）．【答案】充分不必要【解析】由x2－3x＋2＜0，解得1＜x＜2，因为1＜x＜2是“－1＜x＜2”成立的充分不必要条件，所以“x2－3x＋2＜0”是“－1＜x＜2”成立的充分不必要条件.故答案为：充分不必要.5. 已知实数x，y满足条件则z＝3x＋y 的最大值是______．【答案】7【解析】作出不等式的可行域如图所示：作直线经过点A(2,1)时，z取最大值7.故答案为：7.点睛：线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得.6. 函数f(x)＝x e x 的单调减区间是______．【答案】(－∞，－1)或(－∞，－1]【解析】函数f(x)＝x e x，求导得：.令，解得.所以函数f(x)＝x e x 的单调减区间是(－∞，－1)（ (－∞，－1]也可以).故答案为: (－∞，－1)或(－∞，－1].7. 如图，直线l经过点(0，1)，且与曲线y＝f(x) 相切于点(a，3)．若f ′(a)＝，则实数a的值是______．【解析】由导数的几何意义知f ′(a)＝，即为切线斜率为.所以，解得.故答案为：3.8. 在平面直角坐标系xOy中，若圆 (x－a)2＋(y－a)2＝2 与圆x2＋(y－6)2＝8相外切，则实数a的值为______．【答案】3【解析】圆 (x－a)2＋(y－a)2＝2 与圆x2＋(y－6)2＝8相外切，则圆心距等于半径之和，即，解得.故答案为：3.点睛：这个题目考查的是两圆的位置关系；两圆的位置关系有相交，外切，内切，内含，外离这几种情况。
南京市高二第一学期期末检测数学理试题
南京市2016－2017学年度第一学期期末检测卷 高二数学（理科）2017.01注意事项：1．本试卷共4页，包括填空题（第1题~第14题）、解答题（第15题~第20题）两部分．本试卷满分为160分，考试时间为120分钟．2．答题前，请务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题卡的密封线内．试题的答案写在答题卡．．．上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题卡．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置．．．．．．．上1．命题“若a ＝b ，则|a |＝|b |”的逆否命题是 ▲ ． 2．双曲线x 2－y 24＝1的渐近线方程是 ▲ ． 3．已知复数a ＋2i1－i为纯虚数，其中i 是虚数单位，则实数a 的值是 ▲ ．4．在平面直角坐标系xOy 中，点(4，3)到直线3x －4y ＋a ＝0的距离为1，则实数a 的值 是 ▲ ．5．曲线y ＝x 4与直线y ＝4x ＋b 相切，则实数b 的值是 ▲ ．6．已知实数x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0，x －y ≤0，y ≤3，则z ＝2x ＋y 的最大值是 ▲ ．7．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，P 为抛物线C 上一点，且PF ＝5，则点P 的横坐标是 ▲ ．8．在平面直角坐标系xOy 中，圆O :x 2＋y 2＝r 2(r ＞0)与圆M :(x －3)2＋(y ＋4)2＝4相交，则r 的取值范围是 ▲ ． 9．观察下列等式(sin π3)－2＋(sin 2π3)－2＝43×1×2；(sin π5)－2＋(sin 2π5)－2＋(sin 3π5)－2＋(sin 4π5)－2＝43×2×3；(sin π7)－2＋(sin 2π7)－2＋(sin 3π7)－2＋…＋(sin 6π7)－2＝43×3×4；(sin π9)－2＋(sin 2π9)－2＋(sin 3π9)－2＋…＋(sin 8π9)－2＝43×4×5；……依此规律，当n ∈N *时，(sin π2n ＋1)－2＋(sin 2π2n ＋1)－2＋(sin 3π 2n ＋1)－2＋…＋(sin 2n π 2n ＋1)－2＝ ▲ ．10．若“∃x ∈R ，x 2＋ax ＋a ＝0”是真命题，则实数a 的取值范围是 ▲ ．11．已知函数f (x )＝(x 2＋x ＋m )e x (其中m ∈R ，e 为自然对数的底数)．若在x ＝－3处函数 f (x )有极大值，则函数f (x )的极小值是 ▲ ． 12．有下列命题：①“m ＞0”是“方程x 2＋my 2＝1表示椭圆”的充要条件；②“a ＝1”是“直线l 1:ax ＋y －1＝0与直线l 2:x ＋ay －2＝0平行”的充分不必要条件； ③“函数f (x )＝x 3＋mx 单调递增”是“m ＞0”的充要条件；④已知p ，q 是两个不等价命题，则“p 或q 是真命题”是“p 且q 是真命题”的必要不充分条件．其中所有真命题的序号是 ▲ ．13．已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的焦距为2c (c ＞0)，左焦点为F ，点M 的坐标为(－2c ，0)．若椭圆E 上存在点P ，使得PM ＝2PF ，则椭圆E 离心率的取值范围是 ▲ ．14．已知t ＞0，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x (x －t )2，x ≤t ，14x ，x ＞t ．若函数g (x )＝f (f (x )－1)恰有6个不同的零点，则实数t 的取值范围是 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内．．．．．．．．作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．(本题满分14分)在平面直角坐标系xOy 中，已知△ABC 三个顶点坐标为A (7，8)，B (10，4)， C (2，－4)．(1)求BC 边上的中线所在直线的方程；(2)求BC 边上的高所在直线的方程．16．(本题满分14分)已知数列{a n }满足a 1＝1，(a n －3)a n ＋1－a n ＋4＝0(n ∈N *). (1)求a 2，a 3，a 4；(2)猜想{a n }的通项公式，并用数学归纳法证明.17．(本题满分14分)在平面直角坐标系xOy 中，已知圆M 的圆心在直线y ＝－2x 上，且圆M 与直线 x ＋y －1＝0相切于点P (2，－1)． (1)求圆M 的方程； (2)过坐标原点O 的直线l 被圆M 截得的弦长为6，求直线l 的方程．18．(本题满分16分)某休闲广场中央有一个半径．．为1(百米)的圆形花坛，现计划在该花坛内建造一条六边形观光步道，围出一个由两个全等的等腰梯形(梯形ABCF 和梯形DEFC )构成的六边形ABCDEF 区域，其中A 、B 、C 、D 、E 、F 都在圆周上，CF 为圆的直径(如图)．设 ∠AOF ＝θ，其中O 为圆心．(1)把六边形ABCDEF 的面积表示成关于θ的函数f (θ)；(2)当θ为何值时，可使得六边形区域面积达到最大？并求最大面积．A B C F DE（第18题图）Oθ19．(本题满分16分)在平面直角坐标系xOy 中，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为 32，两个顶点分别为A (－a ，0)，B (a ，0)，点M (－1，0)，且3AM →＝MB →，过点M 斜率为k (k ≠0)的直线交椭圆E 于C ，D 两点，其中点C 在x 轴上方． (1)求椭圆E 的方程；(2)若BC ⊥CD ，求k 的值；(3)记直线AD ，BC 的斜率分别为k 1，k 2，求证：k 1k 2为定值．20．（本题满分16分）已知函数f (x )＝ax －ln x (a ∈R ). (1)当a ＝1时，求f (x )的最小值；(2)若存在x ∈[1，3]，使得f (x )x 2＋ln x ＝2成立，求a 的取值范围;(3)若对任意的x ∈[1，＋∞)，有f (x )≥f (1x )成立，求a 的取值范围.(第19题图)南京市2016－2017学年度第一学期期末检测卷 高二数学（理科）参考答案及评分标准 2017．01说明：1．本解答给出的解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数，填空题不给中间分数．一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1．若|a |≠|b |，则a ≠b 2．y ＝±2x 3．2 4．±5 5．－3 6．9 7．4 8．(3，7) 9．4n (n ＋1)3 10．(－∞，0]∪[4，＋∞) 11．－1 12． ②④13．[33，22] 14．(3，4) 二、解答题（本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（本题满分14分）解：（1）由B (10，4)，C (2，－4)，得BC 中点D 的坐标为（6，0）， ………………2分所以AD 的斜率为k ＝8－07－6＝8， ……………… 5分所以BC 边上的中线AD 所在直线的方程为y －0＝8(x －6)，即8x －y －48＝0． ……………… 7分 （2）由B (10，4)，C (2，－4)，得BC 所在直线的斜率为k ＝4－(－4)10－2＝1，…… 9分所以BC 边上的高所在直线的斜率为－1， ………………… 12分 所以BC 边上的高所在直线的方程为y －8＝－1(x －7)，即x ＋y －15＝0． ………………………… 14分 16．（本题满分14分）解：（1）令n ＝1，－2a 2＋3＝0，a 2＝32， ………………1分令n ＝2，－32a 3－32＋4＝0，a 3＝53， ………………2分令n ＝3，－43a 4－53＋4＝0，a 4＝74． ………………3分（2）猜想a n ＝2n －1n (n ∈N *)． ………………5分证明：当n ＝1时，a 1＝1＝2－11，所以a n ＝2n －1n成立， ……………… 6分 假设当n ＝k 时，a n ＝2n －1n 成立，即a k ＝2k －1k ， ………………8分则(a k －3)a k ＋1－a k ＋4＝0，即(2k －1k －3)a k ＋1－2k －1k＋4＝0，所以k +1k a k ＋1＝2k +1k ，即a k ＋1＝2k +1k +1＝2(k +1)－1k +1，所以当n ＝k ＋1时，结论a n ＝2n －1n成立. ………………12分 综上，对任意的n ∈N *，a n ＝2n －1n成立. ………………14分 17．（本题满分14分） 解：（1）过点(2，－1)且与直线x ＋y －1＝0垂直的直线方程为x －y －3＝0， ……2分由⎩⎨⎧y ＝－2x ，x －y －3＝0， 解得⎩⎨⎧x ＝1，y ＝－2．所以圆心M 的坐标为(1，－2)， ………………4分 所以圆M 的半径为r ＝(2－1)2＋[－1－(－2)]2＝2， ………………6分 所以圆M 的方程为 (x －1)2＋(y ＋2)2＝2． ………………7分 （2）因为直线l 被圆M 截得的弦长为6，所以圆心M 到直线l 的距离为d ＝2－(62)2＝22， ……………9分 若直线l 的斜率不存在，则l 为x ＝0，此时，圆心M 到l 的距离为1，不符合题意． 若直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝kx ，即kx －y ＝0，由d ＝|k ＋2|k 2＋(－1)2＝22， ………………11分整理得k 2＋8k ＋7＝0，解得k ＝－1或－7， ………………13分 所以直线l 的方程为x ＋y ＝0或7x ＋y ＝0． ………………14分 18．（本题满分16分） 解：（1）作AH ⊥CF 于H ，则OH ＝cos θ，AB ＝2OH ＝2cos θ，AH ＝sin θ， ……………2分则六边形的面积为f (θ)＝2×12(AB ＋CF )×AH ＝(2cos θ＋2)sin θ＝2(cos θ＋1)sin θ，θ∈(0，π2)． ………………6分（2）f ′(θ)＝2[－sin θsin θ＋(cos θ＋1)cos θ]＝2(2cos 2θ＋cos θ－1)＝2(2cos θ－1)(cos θ＋1)． ………………10分 令 f ′(θ)＝0，因为θ∈(0，π2)，所以cos θ＝12，即θ＝π3， ……………………12分当θ∈(0，π3)时，f ′(θ)＞0，所以f (θ)在(0，π3)上单调递增；当θ∈(π3，π2)时，f ′(θ)＜0，所以f (θ)在(π3，π2)上单调递减， …………14分所以当θ＝π3时，f (θ)取最大值f (π3)＝2(cos π3＋1)sin π3＝323． …………15分答：当θ＝π3时，可使得六边形区域面积达到最大，最大面积为323平方百米．…………………………16分19．（本题满分16分） 解：（1）因为3AM →＝MB →，所以3(－1＋a ，0)＝(a ＋1，0)，解得a ＝2． ………………2分又因为c a ＝ 32，所以c ＝3，所以b 2＝a 2－c 2＝1，所以椭圆E 的方程为x 24＋y 2＝1． ………………4分（2）方法1设点C 的坐标为(x 0，y 0)，y 0＞0,则CM →＝(－1－x 0，－y 0)，CB →＝(2－x 0，－y 0)．因为BC ⊥CD ，所以(－1－x 0)( 2－x 0)＋y 02＝0． ① ……………6分 又因为x 024＋y 02＝1， ②联立①②，解得x 0＝－23，y 0＝223， ………………8分所以k ＝223－23＋1＝22． ………………10分方法2因为CD 的方程为y ＝k (x ＋1)，且BC ⊥CD ，所以BC 的方程为y ＝－1k (x －2)， ………………6分联立方程组，可得点C 的坐标为(2－k 21＋k 2，3k1＋k 2)， ………………8分代入椭圆方程，得(2－k 21＋k 2)24＋(3k 1＋k 2)2＝1，解得k ＝±22．又因为点C 在x 轴上方，所以3k1＋k 2＞0，所以k ＞0，所以k ＝2 2 ………………10分 （3）方法1因为直线CD 的方程为y ＝k (x ＋1)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x ＋1)，x 24＋y 2＝1，消去y ，得(1＋4k 2)x 2＋8k 2x ＋4k 2－4＝0， 设C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－8k 2 1＋4k 2，x 1x 2＝4k 2－4 1＋4k 2． …………………12分所以k 1k 2＝y 2x 2＋2y 1x 1－2 ＝k (x 2＋1)x 2＋2k (x 1＋1)x 1－2 ＝(x 2＋1)(x 1－2)(x 2＋2)(x 1＋1)＝x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋3x 1－2x 1x 2＋(x 1＋x 2)＋x 1＋2…………………14分＝4k 2－4 1＋4k 2－2×(－8k 21＋4k 2)＋3x 1－2 4k 2－4 1＋4k 2＋(－8k 2 1＋4k 2)＋x 1＋2＝12k 2－6 1＋4k 2＋3x 14k 2－2 1＋4k 2＋x 1＝3，所以k 1k 2为定值． ………………………16分方法2因为直线AD 的方程为y ＝k 1(x ＋2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k 1(x ＋2)，x 24＋y 2＝1，解得D (2－8k 12 1＋4k 12，4k 1 1＋4k 12)， ………………………12分 因为直线BC 的方程为y ＝k 2(x －2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k 2(x －2)，x 24＋y 2＝1，解得C (8k 22－2 1＋4k 22，－4k 2 1＋4k 22)，由于C ，M ，D 三点共线，故MC →，MD →共线， 又MC →＝(8k 22－21＋4k 22＋1，－4k 2 1＋4k 22)＝(12k 22－1 1＋4k 22，－4k 2 1＋4k 22)，MD →＝(2－8k 121＋4k 12＋1，4k 1 1＋4k 12)＝(3－4k 12 1＋4k 12，4k 1 1＋4k 12)，所以12k 22－1 1＋4k 22·4k 1 1＋4k 12＝－4k 2 1＋4k 22·3－4k 121＋4k 12， ……………14分化简得12k 22k 1－k 1＝4k 12k 2－3k 2，即(4k 1k 2＋1)(k 1－3k 2)＝0， 若4k 1k 2＋1＝0，则k 2＝－14k 1代入C (8k 22－2 1＋4k 22，－4k 2 1＋4k 22)，化简得C (2－8k 12 1＋4k 12，4k 11＋4k 12)，此时C 与D 重合，于是4k 1k 2＋1≠0，从而k 1－3k 2＝0，所以k 1 k 2＝3，即k 1k 2为定值． ………………………16分方法3设C (x 0,y 0)，则CD ：y ＝y 0x 0+1(x +1)(－2＜x 0＜2且x 0≠－1)， 由⎩⎨⎧y ＝y 0x 0+1(x +1)，x 24＋y 2＝1，消去y ，得[(x 0＋1)2＋4y 02]x 2＋8y 02x ＋4y 02－4(x 0＋1)2＝0. ………………12分 又因为x 024＋y 02＝1，所以得D (－8－5x 05＋2x 0，－3y 05＋2x 0)， ………………14分所以k 1k 2＝－3y 05＋2x 0－8－5x 05＋2x 0＋2·x 0－2 y 0 ＝－3y 0－x 0＋2·x 0－2y 0＝3，所以k 1k 2为定值． ……………………16分方法4设D (x 0，y 0)，y 0≠0，则k 1k BD ＝y 0 x 0＋2·y 0 x 0－2＝y 02x 02－4＝1－x 024 x 02－4＝－14． …………………12分因为CD 的方程为y ＝k (x ＋1)，设C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x ＋1)，x 24＋y 2＝1，消去y ，得(1＋4k 2)x 2＋8k 2x ＋4k 2－4＝0， 则x 1＋x 2＝－8k 2 1＋4k 2，x 1x 2＝4k 2－4 1＋4k 2，所以k 2k BD ＝y 1x 1－2×y 2x 2－2＝k 2(x 1＋1) (x 2＋1) (x 1－2)(x 2－2)＝k 2(x 1 x 2＋x 1＋x 2＋1) x 1 x 2－2 (x 1＋x 2)＋4＝k 2(4k 2－4 1＋4k 2－8k 21＋4k 2＋1)4k 2－4 1＋4k 2＋2×8k 21＋4k 2＋4＝－3k 236k 2＝－112． …………………14分又因为k 1k BD ＝－14，所以k 1 k 2＝3，即k 1k 2为定值． ………………………16分20．（本题满分16分）解：（1）a ＝1时，f (x )＝x －ln x , 则f '(x )＝1－1x ＝x －1x，令f '(x )＝0，则x ＝1． ……………………2分当0＜x ＜1时，f '(x )＜0，所以f (x )在(0，1)上单调递减；当x ＞1时，f '(x )＞0，所以f (x )在(1，＋∞)上单调递增， ………………3分 所以当x ＝1时，f (x )取到最小值，最小值为1． …………………4分 （2）因为f (x )x 2＋ln x ＝2(x ＞0)， 所以ax －ln x ＝(2－ln x )x 2，即a ＝2x －x ln x ＋ln xx ， …………………6分设g (x )＝2x －x ln x ＋ln xx，x ∈[1，3]，则g '(x )＝2－(1＋ln x )＋1－ln x x 2＝(1－ln x )(1＋1x2)，令g '(x )＝0，解得x ＝e ，当1＜x ＜e 时，g '(x )＞0，所以g (x )在(1，e)上单调递增；当e ＜x ＜3时，g '(x )＜0，所以g (x )在(e ，3)上单调递减， ………………8分 因为g (1)＝2，g (e)＝e ＋1e ，g (3)＝6－83ln3，因为6－83ln3＞2，所以函数g (x )的值域是[2，e ＋1e]，所以a 的取值范围是[2，e ＋1e]． ………………10分（3）对任意的x ∈[1，＋∞)，有f (x )≥f (1x)成立， 则ax －ln x ≥a x ＋ln x ，即a (x －1x)－2ln x ≥0． 令h (x )＝a (x －1x )－2ln x ，则h '(x )＝a (1＋1x 2)－2x ＝ax 2－2x ＋a x 2， ①当a ≥1时，ax 2－2x ＋a ＝a (x －1a )2＋a 2－1a≥0， 所以h '(x )≥0，因此h (x )在[1，＋∞)上单调递增，所以x ∈[1，＋∞)时，恒有h (x )≥h (1)＝0成立，所以a ≥1满足条件． ………………12分②当0＜a ＜1时，有1a ＞1，若x ∈[1，1a]，则ax 2－2x ＋a ＜0， 此时h '(x )＝ax 2－2x ＋a x 2＜0， 所以h (x )在[1，1a ]上单调递减，所以h (1a)＜h (1)＝0， 即存在x ＝1a＞1，使得h (x )＜0，所以0＜a ＜1不满足条件．……………14分 ③当a ≤0时，因为x ≥1，所以h '(x )＝ax 2－2x ＋a x 2＜0，所以h (x )在[1，＋∞)上单调递减，所以当x ＞1时，h (x )＜h (1)＝0，所以a ≤0不满足条件．综上， a 的取值范围为[1，＋∞). ………………16分。
2017-2018学年江苏省南京市高二(上)期末数学试卷(理科)(解析版)
2017-2018学年江苏省南京市高二（上）期末数学试卷（理科）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．1．（5分）命题“若ab＝0，则b＝0”的逆否命题是．2．（5分）已知复数z满足z（1+i）＝i，其中i是虚数单位，则|z|为．3．（5分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y2＝4x的焦点坐标是．4．（5分）“x2﹣3x+2＜0”是“﹣1＜x＜2”成立的条件（在“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”，“既不充分又不必要”中选一个填写）．5．（5分）已知实数x，y满足条件，则z＝3x+y的最大值是．6．（5分）函数f（x）＝xe x的单调减区间是．7．（5分）如图，直线l经过点（0，1），且与曲线y＝f（x）相切于点（a，3）．若f′（a）＝，则实数a的值是．8．（5分）在平面直角坐标系xOy中，若圆（x﹣a）2+（y﹣a）2＝2与圆x2+（y﹣6）2＝8相外切，则实数a的值为．9．（5分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，M是侧棱PC的中点，且＝x+y+z，则x+y+z的值为．10．（5分）在平面直角坐标系xOy中，若双曲线﹣y2＝1的渐近线与抛物线x2＝4y 的准线相交于A，B两点，则三角形OAB的面积为．11．（5分）在平面直角坐标系xOy中，若点A到原点的距离为2，到直线x+y﹣2＝0的距离为1，则满足条件的点A的个数为．12．（5分）若函数f（x）＝x3﹣3x2+mx在区间（0，3）内有极值，则实数m的取值范围是．13．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆+＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，过F1且与x轴垂直的直线交椭圆于A，B两点，直线AF2与椭圆的另一个交点为C．若＝2，则该椭圆的离心率为．14．（5分）已知函数f（x）＝x|x2﹣3|．若存在实数m，m∈（0，]，使得当x∈[0，m]时，f（x）的取值范围是[0，am]，则实数a的取值范围是．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）已知复数z＝，（m∈R，i是虚数单位）．（1）若z是纯虚数，求m的值；（2）设是z的共轭复数，复数+2z在复平面上对应的点在第一象限，求m的取值范围．16．（14分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E，F，G分别是棱BC，A1B1，B1C1的中点．（1）求异面直线EF与DG所成角的余弦值；（2）设二面角A﹣BD﹣G的大小为θ，求|cosθ|的值．17．（14分）如图，圆锥OO1的体积为π．设它的底面半径为x，侧面积为S．（1）试写出S关于x的函数关系式；（2）当圆锥底面半径x为多少时，圆锥的侧面积最小？18．（16分）在平面直角坐标系xOy中，已知圆C经过点A（1，3），B（4，2），且圆心在直线l：x﹣y﹣1＝0上．（1）求圆C的方程；（2）设P是圆D：x2+y2+8x﹣2y+16＝0上任意一点，过点P作圆C的两条切线PM，PN，M，N为切点，试求四边形PMCN面积S的最小值及对应的点P坐标．19．（16分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的一条准线方程为x＝，离心率为．（1）求椭圆C的方程；（2）如图，设A为椭圆的上顶点，过点A作两条直线AM，AN，分别与椭圆C相交于M，N两点，且直线MN垂直于x轴．①设直线AM，AN的斜率分别是k1，k2，求k1k2的值；②过M作直线l1⊥AM，过N作直线l2⊥AN，l1与l2相交于点Q．试问：点Q是否在一条定直线上？若在，求出该直线的方程；若不在，请说明理由．20．（16分）设函数f（x）＝ax2﹣1﹣lnx，其中a∈R．（1）若a＝0，求过点（0，﹣1）且与曲线y＝f（x）相切的直线方程；（2）若函数f（x）有两个零点x1，x2，①求a的取值范围；②求证：f′（x1）+f′（x2）＜0．2017-2018学年江苏省南京市高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．1．【解答】解：根据原命题与逆否命题的关系，知：命题“若ab＝0，则b＝0”的逆否命题是“若b≠0，则ab≠0”．故答案为：若b≠0，则ab≠0．2．【解答】解：由z（1+i）＝i，得z＝，∴|z|＝．故答案为：．3．【解答】解：抛物线y2＝4x开口向右，p＝2，所以抛物线的焦点坐标是（1，0）．故答案为：（1，0）．4．【解答】解：∵x2﹣3x+2＜0⇔1＜x＜2，∵{x|1＜x＜2}⊊{x|﹣1＜x＜2}，∴“x2﹣3x+2＜0”是“﹣1＜x＜2”成立的充分不必要，故答案为：充分不必要．5．【解答】解：由题意，实数x，y满足条件表示一个三角形区域（包含边界），三角形的三个顶点的坐标分别为A（0，5），B（2，1），C（0，1）目标函数z＝3x+y的几何意义是直线的纵截距由线性规划知识可得，在点（2，1）处取得最大值7．故答案为：76．【解答】解：函数f（x）＝xe x，可得f′（x）＝（1+x）e x，当f′（x）＝（1+x）e x≤0，解得x≤﹣1，此时函数f（x）＝xe x是单调减函数，函数的单调减区间（﹣∞，﹣1]．故答案为：（﹣∞，﹣1]．[或（﹣∞，﹣1）]．7．【解答】解：直线l经过点（0，1），且与曲线y＝f（x）相切于点（a，3）．若f′（a）＝，切线的斜率为，切线方程为：y﹣1＝x，所以3﹣1＝，解得a＝3．故答案为：3．8．【解答】解：根据题意，圆（x﹣a）2+（y﹣a）2＝2的圆心为（a，a），半径r1＝，圆x2+（y﹣6）2＝8的圆心为（0，6），半径r2＝2，若圆（x﹣a）2+（y﹣a）2＝2与圆x2+（y﹣6）2＝8相外切，则有a2+（a﹣6）2＝（+2）2，解可得：a＝3；故答案为：3．9．【解答】解：∵M是侧棱PC的中点，∴＝，又＝，＝．∴＝（）＝﹣++，又＝x+y+z，∴x＝﹣1，y＝z＝．则x+y+z＝0．故答案为：0．10．【解答】解：双曲线﹣y2＝1的渐近线：x＝y，抛物线x2＝4y的准线y＝﹣，双曲线﹣y2＝1的渐近线与抛物线x2＝4y的准线相交于A，B两点，所以A（3，﹣），（﹣3，﹣），则三角形OAB的面积为：＝3．故答案为：3．11．【解答】解：如图，作出直线x+y﹣2＝0，作出以原点为圆心，以2为半径的圆，∵原点O到直线x+y﹣2＝0的距离为1，∴在直线x+y﹣2＝0的右上方有一点满足到原点的距离为2，到直线x+y﹣2＝0的距离为1，过原点作直线x+y﹣2＝0的平行线，交圆于两点，则交点满足到原点的距离为2，到直线x+y﹣2＝0的距离为1．∴到原点的距离为2，到直线x+y﹣2＝0的距离为1的点A共3个．故答案为：3．12．【解答】解：∵函数f（x）＝x3﹣3x2+mx．∴f′（x）＝3x2﹣6x+m，若函数f（x）＝x3﹣3x2+mx在区间（0，3）内有极值，则f′（x）＝3x2﹣6x+m在区间（0，3）内有零点，导函数的对称轴为x＝1，可得△＝36﹣12m＞0，解得m＜3．并且f′（3）＞0．即27﹣18+m＞0．解得m∈（﹣9，3）．故答案为：（﹣9，3）．13．【解答】解：F1（﹣c，0），F2（c，0），直线AB的方程为x＝﹣c，不妨设A在第二象限，把x＝﹣c代入椭圆方程得A（﹣c，），过C作CD⊥x轴，垂足为D，则Rt△AF1F2∽Rt△CDF2，∴＝＝，∴C（2c，﹣），代入椭圆方程得：+＝1，即4e2+（1﹣e2）＝1，解得e＝．故答案为：．14．【解答】解：f（x）＝x|x2﹣3|＝，作出函数图象如图所示：根据题意知，m∈[0，]，x∈[0，m]，当m∈[0，1]时，f（x）在[0，m]上单调递增，此时f（x）的取值范围是[0，f（m）]，所以f（m）＝am，即m（3﹣m2）＝am，得a＝3﹣m2∈[[2，3）；当m∈（1，2]时，此时f（x）的取值范围是[0，2]，所以am＝2，得a＝∈[1，2），当m∈（2，]时，此时f（x）的取值范围是[0，f（m）]，所以f（m）＝am，即m（m2﹣3）＝am，即a＝m2﹣3∈（1，2]，综上：实数a的取值范围是[1，3）．故答案为：[1，3）二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．【解答】解：z＝＝．（1）∵z是纯虚数，∴，即m＝；（2）∵＝（1﹣2m）﹣（1+2m）i，∴+2z＝（1﹣2m）﹣（1+2m）i+2（1﹣2m）+2（1+2m）i＝（3﹣6m）+（1+2m）i，由复数+2z在复平面上对应的点在第一象限，得，解得．∴m的取值范围是（）．16．【解答】（本题满分14分）解：如图，以{，，}为正交基底建立坐标系D﹣xyz．设正方体的边长为2，则D（0，0，0），A（2，0，0），B（2，2，0），E（1，2，0），F（2，1，2），G（1，2，2）．（1）因为＝（2，1，2）﹣（1，2，0）＝（1，﹣1，2），＝（1，2，2），…（2分）所以•＝1×1+（﹣1）×2+2×2＝3，||＝＝，||＝3．…（4分）从而cos＜，＞＝＝＝，即向量与的夹角的余弦为，从而异面直线EF与DG所成角的余弦值为．…（7分）（2）＝（2，2，0），＝（1，2，2），设平面DBG的一个法向量为＝（x，y，z）．由题意，得，取x＝2，可得y＝﹣2，z＝1．所以＝（2，﹣2，1）．…（11分）又平面ABD的一个法向量＝＝（0，0，2），所以cos＜，＞＝＝＝．因此|cosθ|＝．…（14分）17．【解答】解：（1）设圆锥OO1的高为h，母线长为l．∵圆锥的体积为π，即πx2h＝π，∴h＝．因此l＝，从而S＝πxl＝πx•＝π，（x＞0）．（2）令f（x）＝x4+，则f′（x）＝4x3﹣，（x＞0）．由f′（x）＝0，解得x＝．当0＜x＜时，f′（x）＜0，即函数f（x）在区间（0，）上单调递减；当x＞时，f′（x）＞0，即函数f（x）在区间（，+∞）上单调递增．∴当x＝时，f（x）取得极小值也是最小值．答：当圆锥底面半径为时，圆锥的侧面积最小．18．【解答】解：（1）设圆C的方程为x2+y2+Dx+Ey+F＝0，其圆心为（﹣，﹣）．∵圆C经过点A（1，3），B（4，2），且圆心在直线l：x﹣y﹣1＝0上，∴，解得．∴所求圆C的方程为x2+y2﹣4x﹣2y＝0；（2）由（1）知，圆C的方程为（x﹣2）2+（y﹣1）2＝5．依题意，S＝2S△PMC＝PM×MC＝．∴当PC最小时，S最小．∵圆D：x2+y2+8x﹣2y+16＝0，∴D（﹣4，1），半径为1．∵C（2，1），∴两个圆的圆心距DC＝6．∵点P在圆D上，且圆D的半径为1，∴PC min＝6﹣1＝5．∴S min＝×＝10．此时直线PC：y＝1，从而P（﹣3，1）．19．【解答】解：（1）设椭圆C：：+＝1的半焦距为c．由题意，得解得从而b＝1．所以椭圆C的方程为+y2＝1．（2）①根据椭圆的性质，M，N两点关于x轴对称，故可设M（x0，y0），N（x0，﹣y0）（x0≠0，y0≠0），从而k1k2＝•＝．因为点M在椭圆C上，所以+y02＝1，所以1﹣y02＝，所以k1k2＝＝．②设Q（x1，y1），依题意A（0，1）．因为l1⊥AM，所以•＝﹣1，即（y0﹣1）（y1﹣y0）＝﹣x0（x1﹣x0）；因为l2⊥AN，所以•＝﹣1，即（﹣y0﹣1）（y1+y0）＝﹣x0（x1﹣x0），故（y0﹣1）（y1﹣y0）﹣（﹣y0﹣1）（y1+y0）＝0，化得（y1+1）y0＝0．从而必有y1+1＝0，即y1＝﹣1．即点Q在一条定直线y＝﹣1上．20．【解答】（本题满分16分）解（1）当a＝0时，f（x）＝﹣1﹣lnx，f′（x）＝﹣．设切点为T（x0，﹣1﹣lnx0），则切线方程为：y+1+lnx0＝﹣（x﹣x0）．…（2分）因为切线过点（0，﹣1），所以﹣1+1+ln x0＝﹣（0﹣x0），解得x0＝e．所以所求切线方程为y＝﹣x﹣1．…（4分）（2）①f′（x）＝ax﹣＝，x＞0．（i）若a≤0，则f′（x）＜0，所以函数f（x）在（0，+∞）上单调递减，从而函数f（x）在（0，+∞）上至多有1个零点，不合题意．…（5分）（ii）若a＞0，由f′（x）＝0，解得x＝．当0＜x＜时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减；当x＞时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，所以f（x）min＝f（）＝﹣ln﹣1＝﹣﹣ln．要使函数f（x）有两个零点，首先﹣﹣ln＜0，解得0＜a＜e．…（7分）当0＜a＜e时，＞＞．因为f（）＝＞0，故f（）•f（）＜0．又函数f（x）在（0，）上单调递减，且其图象在（0，）上不间断，所以函数f（x）在区间（0，）内恰有1个零点．…（9分）考察函数g（x）＝x﹣1﹣lnx，则g′（x）＝1﹣＝．当x∈（0，1）时，g′（x）＜0，函数g（x）在（0，1）上单调递减；当x∈（1，+∞）时，g′（x）＞0，函数g（x）在（1，+∞）上单调递增，所以g（x）≥g（1）＝0，故f（）＝﹣1﹣ln≥0．因为﹣＝＞0，故＞．因为f（）•f（）≤0，且f（x）在（，+∞）上单调递增，其图象在（，+∞）上不间断，所以函数f（x）在区间（，]上恰有1个零点，即在（，+∞）上恰有1个零点．综上所述，a的取值范围是（0，e）．…（11分）②由x1，x2是函数f（x）的两个零点（不妨设x1＜x2），得两式相减，得a（x12﹣x22）﹣ln＝0，即a（x1+x2）（x1﹣x2）﹣ln＝0，所以a（x1+x2）＝．…（13分）f′（x1）+f′（x2）＜0等价于ax1﹣+ax2﹣＜0，即a（x1+x2）﹣﹣＜0，即：﹣﹣＜0，即2ln+﹣＞0．设h（x）＝2lnx+﹣x，x∈（0，1）．则h′（x）＝﹣﹣1＝﹣＜0，所以函数h（x）在（0，1）单调递减，所以h（x）＞h（1）＝0．因为∈（0，1），所以2ln+﹣＞0，即f′（x1）+f′（x2）＜0成立．…（16分）。
江苏省南京市高二上学期期末数学试题(解析版)
一、单选题1．已知，，，则△ABC 的BC 边上的高所在的直线的方程为（ ） ()1,1A -()3,1B ()1,3C A ． B ． C ． D ．20x y ++=0x y +=20x y -+=0x y -=【答案】C【分析】根据垂直关系求出高线的斜率，利用点斜式方程求出． 【详解】边BC 所在直线的斜率， 13131BC k -==--∴BC 边上的高线斜率．1k =又∵BC 边上的高线经过点A （﹣1，1），∴BC 边上的高线方程为，即． 11y x -=+20x y -+=故选：C ．2．当点在圆上运动时，连接它与定点，线段的中点的轨迹方程是（ ） P 221x y +=()3,0Q PQ M A ． B ． ()2231x y ++=()2231x y -+=C ． D ．()222341x y -+=()222341x y ++=【答案】C【分析】设出的坐标，根据中点坐标关系用的坐标表示出的坐标，结合在圆上得到,M P M P P M 的坐标所满足的关系式，即为的轨迹方程.M 【详解】设，因为的中点为，()()00,,,M x y P x y PQ M 所以，所以，003202x x y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩00232x x y y =-⎧⎨=⎩又因为在圆上，所以， P 221x y +=()222341x y -+=所以的轨迹方程即为， M ()222341x y -+=故选：C.3．设椭圆的左、右焦点分别为，，为直线上一点，()2222:10x y C a b a b+=>>1F 2F P 32x a =21F PF A 是底角为的等腰三角形，则椭圆的离心率为（ ） 30︒C AB ．CD ．1234【答案】D【分析】由是底角为的等腰三角形，把用表示出来后可求得离心率．21F PF A 30︒212PF F F =,a c【详解】解：由题意可得，，如图，，则，212PF F F =2(,0)F c 121230PF F F PF ∠=∠=︒260PF E ∠=︒，230F PE ∠=︒所以，223222PF EF a c ⎛⎫==- ⎪⎝⎭所以，∴，∴．3222a c c ⎛⎫-= ⎪⎝⎭34a c =34e =故选：D ．4．已知双曲线的一条渐近线过点，且双曲线的一个焦点在抛物线22221(0,0)y x a b a b -=>>)2的准线上，则双曲线的方程为 2x =()A ．B ．2212128x y -=2212821x y -=C ．D ．22143y x -=22134x y -=【答案】C【分析】由题意可得渐近线的斜率，即为a ，b 的关系式，再根据抛物线的准线方程解得c ，由a ，b ，c 的关系，解方程可得a ，b ，进而得到所求双曲线的方程．【详解】解：双曲线的一条渐近线过点，22221(0,0)y x a b a b-=>>)2可得渐近线的斜率为a kb ==双曲线的一个焦点在抛物线的准线上， 2x =y =可得 c =即， 227a b +=解得，2a =b =则双曲线的方程为：．22143y x -=故选C ．【点睛】本题考查双曲线的方程和性质，以及抛物线的方程和性质，运用渐近线方程和斜率公式是解题的关键，属于基础题．5．在数列中，，（，），则数列的前n 项和取最大值时，n {}n a 120a =13n n a a -=-2n ≥*N n ∈{}n a 的值是（ ） A ．7 B ．8 C ．9 D ．10【答案】A【分析】由已知得，根据等差数列的定义得数列是以20为首项，以-3为公差的13n n a a --=-{}n a 等差数列，由等差数列的通项公式求得，令，求解即可.n a 0n a ≥【详解】解：由得，又因为，所以数列是以20为首项，以-3为13n n a a -=-13n n a a --=-120a ={}n a 公差的等差数列，所以， ()20313+23n a n n =--=-令，解得：，又，所以数列的前n 项和取最大值时，n 的值是7， 3+230n a n =-≥233n ≤*N n ∈{}n a 故选：A.6．已知等比数列的前项和为，若，公比，，，则{}n a n n S 0n a >1q >3520a a +=2664a a =6S =（ ） A ． B ．C ．D ．31364863【答案】D【分析】根据等比中项的性质可得，解方程即可得数列中的项，进而可得首项与公263564a a a a ==比，求得.6S 【详解】由等比中项的性质得， 263564a a a a ==又，3520a a +=解得或，35=4=16a a ⎧⎨⎩35=16=4a a ⎧⎨⎩当时，或（舍），35=4=16a a ⎧⎨⎩=2q 2q =-当时，（舍），35=16=4a a ⎧⎨⎩12q =±所以，，35=4=16a a ⎧⎨⎩=2q此时，1=1a 所以，()()6616111263112a q S q-⨯-===--故选：D.7．若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是 ()ln f x kx x =-()1,+∞k A ． B ．C ．D ．(],2-∞-(],1-∞-[)2,∞+[)1,+∞【答案】D【详解】试题分析：，∵函数在区间单调递增，∴在区()ln f x kx x =-()1,+∞间上恒成立．∴，而在区间上单调递减，∴．∴的取值范围是()1,+∞()1,+∞．故选D ．[)1,+∞【解析】利用导数研究函数的单调性.8．设等差数列，的前n 项和分别是，若，则 （ ） {}n a {}n b ,n n S T 237n n S nT n =+33a b =A ．1 B ．C ．D ．511221738【答案】B【分析】根据等差数列的性质和求和公式变形求解即可 【详解】因为等差数列，的前n 项和分别是，{}n a {}n b ,n n S T 所以， 1515351515355()105225()1571122a a a a a S b b b b b T ++=====+++故选：B二、多选题9．已知双曲线的左右焦点分别为F 1，F 2，右顶点为A ，M 为OA 的中点，P2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>为双曲线C 右支上一点且，且，则( ) 212PF F F ⊥123tan 4PF F ∠=A ．C 的离心率为2B ．C 的渐近线方程为0x =C ．PM 平分D ．12F PF ∠121344PA PF PF =+ 【答案】ACD【分析】在直角三角形中，利用列出关于a 、b 、c 的齐次式求出离心率，从而12PF F 123tan 4PF F ∠=判断A ；根据离心率求出渐近线方程，从而判断B ；根据是否相等即可判断PM 是否平1122PF F MPF F M、分，从而判断C ；根据、的比例关系，利用平面向量的线性运算即可表示用12F PF ∠2F A 12F F 表示，从而判断D.12PF PF 、PA 【详解】由可知，212PF F F ⊥22b PF a=由得，，22212123tan 224b PF b a PF F F Fc ac ∠====232ac b =即，即，即，∴，故A 正确；()2232ac c a =-22320e e --=()()2120e e +-=2e =由∴双曲线渐近线为，故B 错误；2b e a ==⇒=y =由，﹒ 22cc a a=⇒=b =则，，22233b a PF a a a ===12125PF PF a PF a -=⇒=∴； 125533PF a PF a ==∵，，∴， 152222a a a F M c a =+=+=232222a a aF M c a =-=-=12552332aF M a F M ==∴，∴根据角平分线的性质可知PM 平分，故C 正确； 112253PF F M PF F M==12F PF ∠，，22F A c a a a a =-=-=1224F F c a ==，故D 正确；()222212121211134444PA PF F A PF F F PF PF PF PF PF =+=+=+-=+故选：ACD ．【点睛】本题主要考查与双曲线的焦半径和焦点三角形有关的性质，考察构造关于a 、b 、c 的齐次式求离心率的方法，考察利用角平分线的性质，考察了向量的线性运算，解题时需数形结合，合理运用图形的几何关系. 10．对于函数，下列说法正确的有（ ） ln ()xf x x=A ．在处取得极大值B ．在处取得最大值()f x e x =1e()f x e x =1eC ．有两个不同零点D ．()f x ()()2(π)3f f f <<【答案】ABD【分析】对函数求导，利用函数单调性求极值和最值即可判断A 、B ，令函数等于0，求出零点即可判断C ，利用函数单调性即可判断D. 【详解】函数的导数， 21ln (),(0)xf x x x -'=>令得，()0f x '=e x =则当时，，函数为增函数， 0e x <<()0f x '>()f x 当时，，函数为减函数， e x >()0f x '<()f x 则当时，函数取得极大值，极大值为，e x =1(e)ef =故A 正确，由上述可知当时，函数的极大值即为最大值，且最大值为，e x =1(e)ef =故B 正确，由，得，得，即函数只有一个零点， ()0f x =ln 0x =1x =()f x 故C 错误， 由， ()()ln 2ln 42ln 2ln 22,42442f f ====所以，()()24f f =由时，函数为减函数，知， e x >()f x ()()()3(π)42f f f f >>=故成立， ()()2(π)3f f f <<故D 正确． 故选：ABD ．11．已知，，，依次成等比数列，且公比不为1．将此数列删去一个数后得到的数列1a 2a 3a 4a q （按原来的顺序）是等差数列，则正数的值是（ ） qA B C D ． 【答案】AB【分析】因为公比不为1，所以不能删去，，分类讨论，结合等差数列的性质及等比的通项q 1a 4a 公式，即可得到答案.【详解】公比不为1，删去的不是与， q ∴1a 4a 当删去的是时：2a ，，成等差数列，，即，1a 3a 4a 3142a a a ∴=+231112a q a a q =+则，即，又，解得；232(1)()0q q q -+-=2(1)(1)0q q q ---=1q ≠q =q )当删去的是时：3a ，，成等差数列，，即，1a 2a 4a 2142a a a ∴=+31112a q a a q =+则，即，又，解得， 3(1)()0q q q -+-=2(1)(1)0q q q -+-=1q ≠q =q =)综上，， q =q =故选：AB ．12．下列不等式正确的是（ ） A ．当时， B ．当时， x R ∈1x e x ≥+0x >ln 1≤-x x C ．当时， D ．当时，x R ∈x e ex ≥x R ∈sin x x ≥【答案】ABC【解析】构建函数，利用导数研究其单调性和最值，可得出每个选项中的不等式正不正确. 【详解】对于A ：设，则，令，解得，()1x f x e x =--()1x f x e =-'()0f x '=0x =当时函数单调递减，当时，函数单调递增，(,0)x ∈-∞(0,)x ∈+∞所以函数在时，函数取得最小值，故当时，，故A 正确；0x =()(0)0min f x f ==x R ∈1x e x +…对于B ：设，所以， ()ln 1f x x x =-+1(1)()1'--=-=x f x x x令，解得，当时，函数单调递增，当时，函数单调递减， ()0f x '=1x =(0,1)x ∈(1,)x ∈+∞所以在时，（1），故当时，恒成立，故B 正确；1x =max ()f x f =0=0x >1lnx x -…对于C ：设，所以，令，解得，当时，函数单调()x f x e ex =-()x f x e e '=-()0f x '=1x =(,1)x ∈-∞递减，当时，函数单调递增，(1,)x ∈+∞所以当时，（1），所以当时，，故C 正确；1x =min ()f x f =0=x R ∈x e ex …对于D ：设函数，则，所以是定义在上单调递增的奇函数， ()sin f x x x =-()1cos 0f x x '=-…()f x R 所以时，成立，时，，故D 错误． 0x >sin x x …0x <()0f x <故选：ABC三、填空题13．观察数列1，，，4，，，7，，，…，则该数列的第11项等于_____ ln 2sin 3ln 5sin 6ln 8sin 9【答案】ln11【分析】由数列得出规律，该数列各项里面的数字是按正整数的顺序排列，且以3为循环节，依次出现常数，对数，正弦的形式，从而得解．【详解】由数列得出规律，该数列各项里面的数字是按正整数的顺序排列，且以3为循环节，依次出现常数，对数，正弦的形式，由，所以该数列的第11项为． 11332=⨯+ln11故答案为：．ln1114．若抛物线y 2=4x 上的点M 到焦点的距离为10，则M 到y 轴的距离是_______． 【答案】9【详解】试题分析：. 1109M M x x +=⇒=【解析】抛物线的定义．【思路点睛】当题目中出现抛物线上的点到焦点的距离时，一般都会想到转化为抛物线上的点到准线的距离．解答本题时转化为抛物线上的点到准线的距离，进而可得点到轴的距离． y15．已知圆过点，，，则圆的方程为___．C (1,0)(3,0)-C【答案】22230x y x ++-=【分析】设圆的一般方程，然后将点代入组成方程组解出即可. 【详解】根据题意，设圆的方程为 220x y Dx Ey F ++++=又由圆过点，，，C(1,0)(3,0)-则有，1030930D F F D F ++=⎧⎪+=⎨⎪-+=⎩解可得，，， 2D =0E =3F =-即圆的方程为：， 22230x y x ++-=故答案为：.22230x y x ++-=16．设函数是奇函数的导函数．，当时，，则()f x '()()f x x R ∈()10f -=0x >()()0xf x f x '-<使得成立的的取值范围为______． ()0f x <x 【答案】()()1,01,-⋃+∞【分析】构造函数，求解单调性与奇偶性，再结合的正负求解. ()()f xg x x=(),g x x 【详解】令，当时，， ()()f xg x x =0x >()()()20xf x f x g x x '-'=<所以函数在上为减函数，()g x ()0,∞+又因为为奇函数，的定义域为， ()f x ()g x ()(),00,∞-+∞U 所以， ()()()()f x f x g x g x x x---===--所以为偶函数，得在上为增函数， ()g x ()g x (),0∞-因为，所以， ()10f -=()()110g g =-=作出的大致图象如图所示，()g x 当时，，得， ()0,0f x x <>()0g x <()1,x ∈+∞当时，，得 ()0,0f x x <<()0g x >()1,0x ∈-所以的取值范围为 x ()()1,01,-⋃+∞故答案为：()()1,01,-⋃+∞【点睛】根据题目的特点，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧，许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.四、解答题17．已知函数 (a ，b ∈R)的图象在点处的切线方程为y ＝1. ()sin f x x ax+b -＝()()00f ，(1)实数a 的值；(2)求函数在区间上的最大值和最小值. ()f x [0]1，【答案】(1)1；(2)最大值为b ，最小值为. sin11b -+【分析】（1）直接利用导数的几何意义求出a ； （2）先利用导数判断单调性，求出最值.【详解】（1）因为函数，则. ()sin f x x ax+b -＝()cos f x x a '-＝所以.()0cos01f a a '-=-＝又函数的图象在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝1， ()f x 所以，解得：.()010f a '=-=1a =（2）由（1）知，，.()sin f x x x+b -＝()cos 1f x x '-＝在时，有，所以函数f (x )在区间上单减， ]1[0x ∈，()cos 10f x x '-≤＝[0]1，所以，.()()max 0f x f b ==()()min sin111f b x f ==-+18．已知是各项均为正数的等比数列，.{}n a 1322,216a a a ==+（1）求的通项公式；{}n a （2）设，求数列的前n 项和.2log n n b a ={}n b 【答案】（1）；（2）.212n n a -=2n S n =【分析】(1)本题首先可以根据数列是等比数列将转化为，转化为，再然后将其带{}n a 3a 21a q 2a 1a q 入中，并根据数列是各项均为正数以及即可通过运算得出结果；32216a a =+{}n a 12a =(2)本题可以通过数列的通项公式以及对数的相关性质计算出数列的通项公式，再通过数列{}n a {}n b 的通项公式得知数列是等差数列，最后通过等差数列求和公式即可得出结果．{}n b {}n b 【详解】(1)因为数列是各项均为正数的等比数列，，，{}n a 32216a a =+12a =所以令数列的公比为，，，{}n a q 2231=2a a q q =212a a q q ==所以，解得(舍去)或，22416q q =+2q =-4所以数列是首项为、公比为的等比数列，．{}n a 24121242n n n a --=⨯=(2)因为，所以，，，2log n n b a =21n b n =-+121n b n =+12n n b b +-=所以数列是首项为、公差为的等差数列，．{}n b 1221212n n S n n +-=⨯=【点睛】本题考查数列的相关性质，主要考查等差数列以及等比数列的通项公式的求法，考查等差数列求和公式的使用，考查化归与转化思想，考查计算能力，是简单题．19．已知抛物线的焦点为，点．2:4C y x =F (4,0)P (1)设是抛物线上的动点，求的最小值；Q C ||PQ(2)过点的直线与抛物线交于、两点，若的面积为的方程．P l C M N FMN A l【答案】(1)(2)40x y ±-=【分析】（1）设，由两点间距离公式得(,)Q x y PQ =果；（2）设直线，与抛物线方程联立，结合韦达定理与面积的表达式求解即可.:4l x my =+FMN A【详解】（1）设，则，(,)Q x y PQ ==当时，2x =min ||PQ =（2）设直线，，，焦点．:4l x my =+11(,)M x y 22(,)N x y (1,0)F 联立，消去得， 244x my y x=+⎧⎨=⎩x 24160y my --=，．124y y m ∴+=1216y y =-121·2FMN S PF y y ∴=-=△===，1m ∴=±直线的方程为：．∴l 40x y ±-=20．已知点在双曲线上． (2,1)A 2222:1(1)1x y C a a a -=>-(1)求双曲线的方程；(2)是否存在过点的直线l 与双曲线相交于A ,B 两点，且满足P 是线段的中点？若存11,2P ⎛⎫- ⎪⎝⎭AB 在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．【答案】(1) 2212x y -=(2)不存在，理由见解析【分析】（1）代入点的坐标，解方程可得的值，即可得双曲线方程；(2,1)A a （2）假设存在，设过的直线方程为：，，两点的坐标为，，11,2P ⎛⎫- ⎪⎝⎭1(1)2y k x =--A B 1(x 1)y 2(x ，，代入双曲线方程，再相减，运用平方差公式和中点坐标公式，及斜率公式，即可得到所求2)y 直线的斜率，进而得到直线方程，代入双曲线方程，检验判别式即可判断．【详解】（1）解：已知点在双曲线上 (2,1)A 2222:1(1)1x y C a a a -=>-所以，整理得：，解得：，则221114a a -=-42440a a -+=22a =a =所以双曲线方程为：. 2212x y -=（2）解：由题可知若直线存在则直线的斜率存在，故设直线的方程为： l l 1(1)2y k x =--且设交点1122(,),(,)A x y B x y 则 ，两式相间得： 22112222=12=12x y x y --⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩()()()()121212122x x x x y y y y -+=-+由于为中点，则 11,2P ⎛⎫- ⎪⎝⎭AB 12122,1x x y y +=+=-则 12121y y k x x -==--即有直线的方程：，即 l 1(1)2y x =---12y x =-+ 2221=+224+5=0=12y x x x x y -⇒--⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩检验判别式为，方程无实根． ()24425240∆=--⨯⨯=-<故不存在过点的直线与该双曲线相交A ,B 两点，且满足P 是线段的中点. 11,2P ⎛⎫- ⎪⎝⎭l AB 21．设为等差数列的前项和，已知，．n S {}n a n 59a =525S =(1)求数列的通项公式；{}n a (2)记，为数列的前项和，求的取值范围． 11n n n b a a +=n T {}n b n n T 【答案】(1)()*21N n a n n =-∈(2) 11,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭【分析】（1）利用等差数列通项公式及前项公式列出方程组解出等差数列的首项和公差即可； n （2）先求出数列的通项公式，然后利用裂项相减法求和，在根据数列的单调性求出的取值{}n b n T 范围.【详解】（1）等差数列中，，，{}n a 59a = 525S =， ∴1149545252a d a d +=⎧⎪⎨⨯+=⎪⎩解得，，11a =2d =． ()*21N n a n n ∴=-∈（2）， 11n n n b a a += ， ()()1111212122121n b n n n n ⎛⎫∴==- ⎪-+-+⎝⎭ 111111123352121n T n n ⎛⎫∴=-+-++- ⎪-+⎝⎭ ， 11(122121n n n =-=++由于为递增数列， 11212n n n=++时，取得最小值，且， 1n =131121221n n n=<++则， 1132n T ≤<故的取值范围为：. n T 11,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭22．已知函数． ()()()21ln 1R 2f x x ax a x a =+-+∈(1)当时，求函数的极值；2a =()y f x =(2)求当时，函数在区间上的最小值；0a >()y f x =[1,e]()Q a (3)若关于的方程有两个不同实根，求实数的取值范围并证明：． x 21()2f x ax =12,x x a 212e x x ⋅>【答案】(1)极大值为，极小值为 5ln 24--2-(2) 2111e (1)e,02e 11()ln 1,12e 11,12a a a Q a a a a a a ⎧+-+<≤⎪⎪⎪=---<<⎨⎪⎪--≥⎪⎩(3)，证明见解析 111ea -<<-【分析】（1）求导，根据函数的单调性和极值的概念即可得到结果；（2）由函数的定义域是，分为，和四种情况，进行分类讨()f x (0,)+∞10,01a a ><≤11e a<<1e a ≥论即可求出结果；（3）根据题意和函数的单调性，结合函数的图象可知，当时，有两个不111e a -<<-()212f x ax =同实根，满足，，两式化简得到，不妨设12,x x ()11ln 1x a x =+()22ln 1x a x =+12122211ln ln x x x x x x x x +=-12x x <，利用分析证明法和换元法即可证明结果． 【详解】（1）当时，函数．2a =2()ln 3(0)f x x x x x =+->， 1(21)(1)()23x x f x x x x--'=+-=令，得或 ()0f x '=1x =12x =当时，，在上单调递增， 1(0,)2x ∈()0f x '>()f x 1(0,)2当时，，在上单调递减， 1(,1)2x ∈()0f x '<()f x 1(,1)2当时，，在上单调递增，(1,)x ∈+∞()0f x '>()f x (1,)+∞则在处取得极大值，在处取得极小值． ()f x 12x =1x =极大值为，极小值为． 15(ln 224f =--(1)2f =-（2）函数的定义域是，()f x [1,e]． 1()(1)1()(1)(0)a x x a f x ax a a x x--'=+-+=>当时，令有两个解，或． 0a >()0f x '=1x =1x a =当，即时，，在上单调递减， 10ea <≤1e a ≥()0f x '≤()f x ∴[1,e]在上的最小值是， ()f x ∴[1,e](e)f 211e (1)e 2a a =+-+当，即时， 11ea <<11e a <<当时，，在上单调递减， 1(1,x a ∈()0f x '<()f x ∴1(1,)a当时，，在上单调递增， 1(,e)x a ∈()0f x '>()f x ∴1(,e)a在上的最小值是， ()f x ∴[1,e]11()ln 12f a a a=---当，即时，，，在上单调递增， 1a ≥101a <≤[1,e]x ∈()0f x '≥()f x ∴[1,e]在上的最小值是． ()f x ∴[1,e](1)f 112a =--综上，． 2111e (1)e,02e 11()ln 1,12e 11,12a a a Q a a a a a a ⎧+-+<≤⎪⎪⎪=---<<⎨⎪⎪--≥⎪⎩（3）关于的方程有两个不同实根，即有两个不同实根， x 21()2f x ax =12,x x ln (1)0x a x -+=12,x x 得，令，， ln 1x a x +=ln ()(0)x g x x x=>21ln ()x g x x -'=令，得，()0g x '=e x =当时，，在上单调递增， (0,e)x ∈()0g x '>()g x ∴(0,e)当时，，在上单调递减， (e,)x ∈+∞()0g x '<()g x ∴(e,)+∞时，取得最大值，且，当时， e x ∴=()gx 1e(1)g 0=1x >()0g x >得的大致图象如下： ()g x． 11(0,)ea ∴+∈即当时，有两个不同实根． 111e a -<<-21()2f x ax =12,x x 两根满足，，11ln (1)x a x =+22ln (1)x a x =+两式相加得：，两式相减得：， 1212ln()(1)()x x a x x =++2211ln (1)()x a x x x =+-上述两式相除得． 12122211ln()ln x x x x x x x x +=-不妨设，要证：，12x x <212e x x ⋅>只需证：， 12212211ln()ln 2x x x x x x x x +=>-即证， 22211212112(1)2()ln 1x x x x x x x x x x -->=++设，令， 211x t x =>2(1)4()ln ln 211t F t t t t t -=-=+-++则， 22214(1)()0(1)(1)t F t t t t t '-=-=>++函数在上单调递增，且． ∴()F t (1,)+∞(1)F 0=，即，． ()0F t ∴>2(1)ln 1t t t ->+212e x x >⋅∴。
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3
1
y＝f(x)
O
a
x
（第 7 题图）
8．在平面直角坐标系 xOy 中，若圆 (x－a)2＋(y－a)2＝2 与圆 x2＋(y－6)2＝8 相外切，则实 数 a 的值为 ▲ ．
9．如图，在三棱锥 P—ABC 中， M 是侧棱 PC 的中点，且B→M＝x→ AB ＋y→ AC ＋z→ AP ，
则 x＋y＋z 的值为 ▲ ． 10．在平面直角坐标系 xOy 中，若双曲线 x32－y2＝1 的渐近线与
A
B
（第 16 题图）
17．（本题满分 14 分）
如图，圆锥 OO1 的体积为 6π．设它的底面半径为 x，侧面积为 S． （1）试写出 S 关于 x 的函数关系式；
O
（2）当圆锥底面半径 x 为多少时，圆锥的侧面积最小？
O1 （第 17 题图）
18．（本题满分 16 分） 在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆 C 经过点 A(1，3) ，B (4，2)，且圆心在
南京市 2017－2018 学年度第一学期期末检测卷
说明：
高二数学参考答案
2018． 01
1．本解答给出的解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容
比照评分标准制订相应的评分细则．
பைடு நூலகம்
2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容
和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果
P M
抛物线 x2＝4 3y 的准线相交于 A，B 两点，则三角形 OAB 的面积为 ▲ ．
A
C
B （第 9 题图）
11．在平面直角坐标系 xOy 中，若点 A 到原点的距离为 2，到直线 3x＋y－2＝0 的距离为
1，则满足条件的点 A 的个数为 ▲ ． 12．若函数 f(x)＝x3－3x2＋mx 在区间 (0，3) 内有极值，则实数 m 的取值范围是 ▲ ． 13．在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 xa22＋yb22＝1(a＞b＞0) 的左、右焦点分别为 F1，F2，
案写在答．题．卡．上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题卡． 参 考 公 式：
圆锥的体积公式：V＝13πr2h，侧面积公式：S＝πrl，其中 r，h 和 l 分别为圆锥的底面半
径，高和母线长．
一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分．请把答案填写在答．题．卡．相．应．位．置．
过 F1 且与 x 轴垂直的直线交椭圆于 A，B 两点，直线 AF2 与椭圆的另一个交点为 C．
若A→F2＝2→ F2C，则该椭圆的离心率为 ▲ ． 14．已知函数 f(x)＝x|x2－3|．若存在实数 m，m∈(0， 5]，使得当 x∈[0，m] 时，f(x)的取
值范围是[0，am]，则实数 a 的取值范围是 ▲ ．
分”，“充要”，“既不充分又不必要”中选一个填写）．
5．已知实数 x，y 满足条件 yx≥≥10，，
则 z＝3x＋y 的最大值是 ▲ ．
2x＋y－5≤0，
6．函数 f(x)＝xex 的单调减区间是 ▲ ．
y l
7．如图，直线 l 经过点(0，1)，且与曲线 y＝f(x) 相切 于点(a，3)．若 f ′(a)＝23，则实数 a 的值是 ▲ ．
一条定直线上？若在，求出该直线的方程；若不在，请说明理由．
y A O
l1
M l2
x N Q
（第 19 题图）
20．（本题满分 16 分） 设函数 f(x)＝12ax2－1－lnx，其中 a∈R． （1）若 a＝0，求过点(0，－1)且与曲线 y＝f(x)相切的直线方程； （2）若函数 f(x)有两个零点 x1，x2， ① 求 a 的取值范围； ② 求证：f ′(x1)＋f ′(x2)＜0．
范围．
16．（本题满分 14 分） 如图，在正方体 ABCD – A1B1C1D1 中，点 E，F，G 分别是棱 BC，A1B1，B1C1 的中点．
（1）求异面直线 EF 与 DG 所成角的余弦值； （2）设二面角 A—BD—G 的大小为 θ，
求 |cosθ| 的值．
D1
A1
F
C1 G B1
D
C
E
南京市 2017－2018 学年度第一学期期末调研测试卷
高二数学
2018.01
注 意 事 项：
1．本试卷共 3 页，包括填空题（第 1 题~第 14 题）、解答题（第 15 题~第 20 题）两部分．本
试卷满分为 160 分，考试时间为 120 分钟．
2．答题前，请务必将自己 的姓名、学校、班 级、学号写在答题卡 的密封线内．试题的答
上．
1．命题“若 ab＝0，则 b＝0”的逆否命题是 ▲ ．
2．已知复数 z 满足 z(1＋i)＝i，其中 i 是虚数单位，则 |z| 为 ▲ ． 3．在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y2＝4x 的焦点坐标是 ▲ ． 4．“x2－3x＋2＜0”是“－1＜x＜2”成立的 ▲ 条件（在“充分不必要”，“必要不充
二、解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分．请在答．题．卡．指．定．区．域．内．作答，解答时应写出文 字 说 明 、证明过程或 演算步骤．
15．（本题满分 14 分） 已知复数 z＝2＋1－4mi i，（m∈R，i 是虚数单位）．
（1）若 z 是纯虚数，求 m 的值； （2）设—z 是 z 的共轭复数，复数—z ＋2z 在复平面上对应的点在第一象限，求 m 的取值
中，已知椭圆
C：xa22＋yb22＝1(a＞b＞0)的一条准线方程为
x＝
4 3
3，
离心率为 23．
（1）求椭圆 C 的方程；
（2）如图，设 A 为椭圆的上顶点，过点 A 作两条直线 AM，AN，分别与椭圆 C 相交于 M，N 两点，且直线 MN 垂直于 x 轴．
① 设直线 AM，AN 的斜率分别是 k1， k2，求 k1k2 的值； ② 过 M 作直线 l1⊥AM，过 N 作直线 l2⊥AN，l1 与 l2 相交于点 Q．试问：点 Q 是否在
直线 l：x－y－1＝0 上． （1）求圆 C 的方程； （2）设 P 是圆 D：x2＋y2＋8x－2y＋16＝0 上任意一点，过点 P 作圆 C 的两条切线 PM，
PN，M，N 为切点，试求四边形 PMCN 面积 S 的最小值及对应的点 P 坐标．
19．（本题满分 16 分）
在平面直角坐标系
xOy