【数学】南京市2017-2018学年高二上学期期末考试数学试题含答案

上．
1．命题“若 ab＝0，则 b＝0”的逆否命题是 ▲ ．
2．已知复数 z 满足 z(1＋i)＝i，其中 i 是虚数单位，则 |z| 为 ▲ ． 3．在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y2＝4x 的焦点坐标是 ▲ ． 4．“x2－3x＋2＜0”是“－1＜x＜2”成立的 ▲ 条件（在“充分不必要”，“必要不充
南京市 2017－2018 学年度第一学期期末检测卷
说明：
高二数学参考答案
2018． 01
1．本解答给出的解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容
比照评分标准制订相应的评分细则．
2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容
和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果
过 F1 且与 x 轴垂直的直线交椭圆于 A，B 两点，直线 AF2 与椭圆的另一个交点为 C．
若A→F2＝2→ F2C，则该椭圆的离心率为 ▲ ． 14．已知函数 f(x)＝x|x2－3|．若存在实数 m，m∈(0， 5]，使得当 x∈[0，m] 时，f(x)的取
值范围是[0，am]，则实数 a 的取值范围是 ▲ ．
南京市 2017－2018 学年度第一学期期末调研测试卷
高二数学
20பைடு நூலகம்8.01
注 意 事 项：
1．本试卷共 3 页，包括填空题（第 1 题~第 14 题）、解答题（第 15 题~第 20 题）两部分．本
试卷满分为 160 分，考试时间为 120 分钟．
2．答题前，请务必将自己 的姓名、学校、班 级、学号写在答题卡 的密封线内．试题的答
A
B
（第 16 题图）
17．（本题满分 14 分）
如图，圆锥 OO1 的体积为 6π．设它的底面半径为 x，侧面积为 S． （1）试写出 S 关于 x 的函数关系式；
O
（2）当圆锥底面半径 x 为多少时，圆锥的侧面积最小？
O1 （第 17 题图）
18．（本题满分 16 分） 在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆 C 经过点 A(1，3) ，B (4，2)，且圆心在
P M
抛物线 x2＝4 3y 的准线相交于 A，B 两点，则三角形 OAB 的面积为 ▲ ．
A
C
B （第 9 题图）
11．在平面直角坐标系 xOy 中，若点 A 到原点的距离为 2，到直线 3x＋y－2＝0 的距离为
1，则满足条件的点 A 的个数为 ▲ ． 12．若函数 f(x)＝x3－3x2＋mx 在区间 (0，3) 内有极值，则实数 m 的取值范围是 ▲ ． 13．在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 xa22＋yb22＝1(a＞b＞0) 的左、右焦点分别为 F1，F2，
案写在答．题．卡．上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题卡． 参 考 公 式：
圆锥的体积公式：V＝13πr2h，侧面积公式：S＝πrl，其中 r，h 和 l 分别为圆锥的底面半
径，高和母线长．
一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分．请把答案填写在答．题．卡．相．应．位．置．
范围．
16．（本题满分 14 分） 如图，在正方体 ABCD – A1B1C1D1 中，点 E，F，G 分别是棱 BC，A1B1，B1C1 的中点．
（1）求异面直线 EF 与 DG 所成角的余弦值； （2）设二面角 A—BD—G 的大小为 θ，
求 |cosθ| 的值．
D1
A1
F
C1 G B1
D
C
E
直线 l：x－y－1＝0 上． （1）求圆 C 的方程； （2）设 P 是圆 D：x2＋y2＋8x－2y＋16＝0 上任意一点，过点 P 作圆 C 的两条切线 PM，
PN，M，N 为切点，试求四边形 PMCN 面积 S 的最小值及对应的点 P 坐标．
19．（本题满分 16 分）
在平面直角坐标系
xOy
二、解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分．请在答．题．卡．指．定．区．域．内．作答，解答时应写出文 字 说 明 、证明过程或 演算步骤．
15．（本题满分 14 分） 已知复数 z＝2＋1－4mi i，（m∈R，i 是虚数单位）．
（1）若 z 是纯虚数，求 m 的值； （2）设—z 是 z 的共轭复数，复数—z ＋2z 在复平面上对应的点在第一象限，求 m 的取值
3
1
y＝f(x)
O
a
x
（第 7 题图）
8．在平面直角坐标系 xOy 中，若圆 (x－a)2＋(y－a)2＝2 与圆 x2＋(y－6)2＝8 相外切，则实 数 a 的值为 ▲ ．
9．如图，在三棱锥 P—ABC 中， M 是侧棱 PC 的中点，且B→M＝x→ AB ＋y→ AC ＋z→ AP ，
则 x＋y＋z 的值为 ▲ ． 10．在平面直角坐标系 xOy 中，若双曲线 x32－y2＝1 的渐近线与
一条定直线上？若在，求出该直线的方程；若不在，请说明理由．
y A O
l1
M l2
x N Q
（第 19 题图）
20．（本题满分 16 分） 设函数 f(x)＝12ax2－1－lnx，其中 a∈R． （1）若 a＝0，求过点(0，－1)且与曲线 y＝f(x)相切的直线方程； （2）若函数 f(x)有两个零点 x1，x2， ① 求 a 的取值范围； ② 求证：f ′(x1)＋f ′(x2)＜0．
中，已知椭圆
C：xa22＋yb22＝1(a＞b＞0)的一条准线方程为
x＝
4 3
3，
离心率为 23．
（1）求椭圆 C 的方程；
（2）如图，设 A 为椭圆的上顶点，过点 A 作两条直线 AM，AN，分别与椭圆 C 相交于 M，N 两点，且直线 MN 垂直于 x 轴．
① 设直线 AM，AN 的斜率分别是 k1， k2，求 k1k2 的值； ② 过 M 作直线 l1⊥AM，过 N 作直线 l2⊥AN，l1 与 l2 相交于点 Q．试问：点 Q 是否在
分”，“充要”，“既不充分又不必要”中选一个填写）．
5．已知实数 x，y 满足条件 yx≥≥10，，
则 z＝3x＋y 的最大值是 ▲ ．
2x＋y－5≤0，
6．函数 f(x)＝xex 的单调减区间是 ▲ ．
y l
7．如图，直线 l 经过点(0，1)，且与曲线 y＝f(x) 相切 于点(a，3)．若 f ′(a)＝23，则实数 a 的值是 ▲ ．