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高中数学双曲线经典例题

一、双曲线定义及标准方程

1．已知两圆 C1：（x+4）2+y2=2，C2：（x﹣ 4）2+y2=2，动圆 M 与两圆C1，C2都相切，则动圆圆心M 的轨迹方程是（）

A．x=0B．

C．D．

2、求适合下列条件的双曲线的标准方程：

（1）焦点在x 轴上，虚轴长为12，离心率为；

（2）顶点间的距离为6，渐近线方程为．

3、与双曲线有相同的焦点，且过点的双曲线的标

准方程是

4、求焦点在坐标轴上，且经过点A（，﹣2）和B（﹣2，）

两点的双曲线的标准方程．

5、已知 P 是双曲线=1 上一点， F1，F2是双曲线的两个焦点，

若| PF1 2

| =17，则| PF | 的值为．

二、离心率

1、已知点 F 、F 分别是双曲线的两个焦点， P 为该双曲线上一点，

1 2

若△ PF1 2

F 为等腰直角三角形，则该双曲线的离心率为

．

2、设 F1，F2是双曲线 C：（ a＞0，b＞0）的两个焦点．若

在 C上存在一点 P．使

PF1 2 1 2

⊥PF ，且∠ PF F =30°，则 C的离心率为．

3、双曲线的焦距为 2c，直线 l 过点（ a，0）和

（0，b），且点（ 1，0）到直线 l 的距离与点（﹣ 1，0）到直线 l 的距

离之和．则双曲线的离心率 e 的取值范围是（）

A．B．C．D．

3、焦点三角形

1、设 P 是双曲线 x2﹣=1 的右支上的动点， F 为双曲线的右焦点，

已知 A（3，1），则 |PA|+|PF| 的最小值为．

2、．已知 F1，F2分别是双曲线 3x2﹣5y2=75 的左右焦点， P 是双曲线上

的一点，且∠ F1PF2 =120°，求△ F1 PF2的面积．

3、已知双曲线焦点在y 轴上， F1，F2为其焦点，焦距为10，焦距是

实轴长的 2 倍．求：

（1）双曲线的渐近线方程；

（2）若 P 为双曲线上一点，且满足∠ F1PF2=60°，求△ PF1F2的面积．

4、直线与双曲线的位置关系

已知过点 P（1，1）的直线 L 与双曲线只有一个公共点，则直线 L 的斜率 k= ＿＿＿＿

5、综合题型

如图，已知椭圆x 2

y

2

2

1(a>b>0)的离心率为

2

，以该椭圆上的点和a2 b2

椭圆的左、右焦点F1、F2 为顶点的三角形的周长为4( 2＋1) ，一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设 P 为该双曲线上异于顶点的任一点，直线 PF1和 PF2与椭圆的交点分别为 A、B和 C、D.

(1)求椭圆和双曲线的标准方程；

(2)设直线 PF1、PF2的斜率分别为 k1、k2，证明： k1·k2＝1；

(3)是否存在常数λ，使得 |AB| ＋|CD| ＝λ |AB| ·|CD| 恒成立？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由．

高中数学双曲线经典例题

参考答案与试题解析

一．选择题（共 2 小题）

1．（2015 秋?洛阳校级期末）已知两圆 C 1：（x+4）2+y 2=2，C 2：（x ﹣4）2+y 2

=2， 动圆 M 与两圆 C 1， 2 都相切，则动圆圆心 M 的轨迹方程是（ ）

C A ．x=0 B ．

C ．

D ．

【解答】解：由题意，①若两定圆与动圆相外切或都内切， 即两圆 C 1：（

2 2

， x+4 ）+y

=2

C 2：（x ﹣4）2+y 2=2，动圆 M 与两圆 C 1，C 2 都相切，

∴ | MC 1| =| MC 2| ，即 M 点在线段 C 1， C 2 的垂直平分线上又 C 1，C 2 的坐标分别为（﹣ 4，0）与（ 4， 0）∴其

垂直平分线为 y 轴，

∴动圆圆心 M 的轨迹方程是 x=0

②若一内切一外切，不妨令与圆

C 1：（ x+4）2+y 2=2 内切，与圆 C 2 ：（x ﹣4）2+y 2=2

外切，则有 M 到（ 4，0）的距离减到（﹣ 4， 0）的距离的差是 2

，由双曲线

的定义知，点 M 的轨迹是以（﹣ 4，0）与（ 4， 0）为焦点，以

为实半轴长的

双曲线，故可得 b 2=c 2﹣a 2=14，故此双曲线的方程为

综①②知，动圆 M 的轨迹方程为

应选 D ．

2．（2014?齐齐哈尔三模）双曲线 的焦距为 2c ，直线 l

过点（ a ，0）和（ 0，b ），且点（ 1，0）到直线 l 的距离与点（﹣ 1，0）到直线 l

的距离之和．则双曲线的离心率 e 的取值范围是（）A．B．C．D．

【解答】解：直线 l 的方程为+=1，即 bx+ay﹣ab=0．

由点到直线的距离公式，且 a＞1，得到点（ 1，0）到直线 l 的距离，同理得到点（﹣ 1，0）到直线 l 的距离 .，．由，得．．

于是得5≥2e2，即4e4﹣25e2+25≤0．

解不等式，得≤e2≤ 5．

由于 e＞1＞0，

所以 e 的取值范围是．

故选 D．

二．填空题（共 5 小题）

3．（2013 秋?城区校级期末）已知P 是双曲线=1 上一点， F1，F2是双曲

线的两个焦点，若 | PF1 ，则 2 的值为

33 ．

| =17 | PF |

【解答】解：由双曲线方程知，a=8，b=6，则c==10．∵ P 是双曲线上一点，

∴|| PF1| ﹣ | PF2||

=2a=16，又 | PF1| =17，

∴| PF2| =1 或 | PF2|

=33．又 | PF2| ≥c﹣a=2，

∴| PF2| =33．

故答案为 33