双曲线优秀经典例题讲解
双曲线专题经典练习及答案详解
双曲线专题一、学习目标：1.理解双曲线的定义；2.熟悉双曲线的简单几何性质；3.能根据双曲线的定义和几何性质解决简单实际题目.二、知识点梳理定 义1、到两个定点1F 与2F 的距离之差的绝对值等于定长（小于21F F ）的点的轨迹2、到定点F 与到定直线l 的距离之比等于常数()1>e ee （＞1）的点的轨迹标准方程-22a x 22b y =1()0,0>>b a -22a y 22bx =1()0,0>>b a 图 形性质范围a x ≥或a x -≤，R y ∈R x ∈，a y ≥或a y -≤对称性 对称轴： 坐标轴 ；对称中心： 原点渐近线x aby ±= x ba y ±= 顶点 坐标 ()0,1a A -，()0,2a A ()b B -,01，()b B ,02 ()a A -,01，()a A ,02()0,1b B -，()0,2b B焦点 ()0,1c F -，()0,2c F()c F -,01，()c F ,02轴 实轴21A A 的长为a 2 虚轴21B B 的长为b 2离心率1>=ace ，其中22b a c += 准线准线方程是c a x 2±=准线方程是ca y 2±=三、课堂练习1.椭圆x 24＋y 2a 2＝1与双曲线x 2a －y 22＝1有相同的焦点，则a 的值是( )A.12 B ．1或－2 C ．1或12D ．12.已知F 是双曲线x 24－y 212＝1的左焦点，点A (1,4)，P 是双曲线右支上的动点，则|PF |＋|P A |的最小值为________．3．已知F 1，F 2分别为双曲线C ：x 2－y 2＝1的左、右焦点，点P 在C 上，∠F 1PF 2＝60°，则|PF 1||PF 2|＝( )A ．2B ．4C ．6D ．84.已知双曲线的两个焦点F 1(－10，0)，F 2(10，0)，M 是此双曲线上的一点，且MF 1→·MF 2→＝0，|MF 1→|·|MF 2→|＝2，则该双曲线的方程是( )A.x 29－y 2＝1 B ．x 2－y29＝1C.x 23－y 27＝1D.x 27－y 23＝15.若F 1，F 2是双曲线8x 2－y 2＝8的两焦点，点P 在该双曲线上，且△PF 1F 2是等腰三角形，则△PF 1F 2的周长为________．6.已知双曲线x 26－y 23＝1的焦点为F 1，F 2，点M 在双曲线上，且MF 1⊥x 轴，则F 1到直线F 2M 的距离为( )A.365B.566C.65D.567.已知△ABC 的两个顶点A ，B 分别为椭圆x 2＋5y 2＝5的左焦点和右焦点，且三个内角A ，B ，C 满足关系式sin B －sin A ＝12sin C .(1)求线段AB 的长度； (2)求顶点C 的轨迹方程．8.双曲线C 的中点在原点，右焦点为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫233，0，渐近线方程为y ＝±3x .(1)求双曲线C 的方程；(2)设直线L ：y ＝kx ＋1与双曲线交于A ，B 两点，问：当k 为何值时，以AB 为直径的圆过原点？。
双曲线经典例题
【例1】若椭圆()0122φφn m n y m x =+与双曲线221x y a b-=)0(φφb a 有相同的焦点F 1，F 2，P 是两条曲线的一个交点，则|PF 1|·|PF 2|的值是 （ ）A. a m -B. ()a m -21C. 22a m -D. a m -【解析】椭圆的长半轴为()121PF PF ∴+=()122PF PF ∴-=±()()()2212121244PF PF m a PF PF m a -⋅=-⇒⋅=-：，故选A.【评注】严格区分椭圆与双曲线的第一定义，是破解本题的关键.【例2】已知双曲线127922=-y x 与点M （5，3），F 为右焦点，若双曲线上有一点P ，使PM PF21+最小，则P 点的坐标为 【分析】待求式中的12是什么？是双曲线离心率的 倒数.由此可知，解本题须用双曲线的第二定义.【解析】双曲线的右焦点F （6，0），离心率2e =，右准线为32l x =：.作MN l ⊥于N ，交双曲线右支于P ，连FP ，则122PF e PN PN PN PF ==⇒=.此时PM 1375225PF PM PN MN +=+==-=为最小.在127922=-y x 中，令3y =，得212x x x =⇒=±∴Q f 0，取x =所求P 点的坐标为（）.（2）渐近线——双曲线与直线对于二次曲线，渐近线为双曲线所独有. 双曲线的许多特性围绕着渐近线而展开.双曲线的左、右两支都无限接近其渐近线而又不能与其相交，这一特有的几何性质不仅很好地界定了双曲线的范围.由于处理直线问题比处理曲线问题容易得多，所以这一性质被广泛应用于有关解题之中.【例3】过点（1，3）且渐近线为x y 21±=的双曲线方程是【解析】设所求双曲线为()2214x y k -=点（1，3）代入：135944k=-=-.代入（1）： 22223541443535x y x y -=-⇒-=即为所求. 【评注】在双曲线22221x y a b -=中，令222200x y x ya b a b -=⇒±=即为其渐近线.根据这一点，可以简洁地设待求双曲线为2222x y k a b -=，而无须考虑其实、虚轴的位置.XYO F(6,0)M(5,3)P N P ′N ′X=32（3）共轭双曲线将双曲线22221x y a b -=的实、虚轴互易，所得双曲线方程为：22221x y b a-=.这两个双曲线就是互相共轭的双曲线.它们有相同的焦距而焦点的位置不同；它们又有共同的渐近线而为渐近线所界定的范围不一样；它们的许多奇妙性质在解题中都有广泛的应用.【例4】两共轭双曲线的离心率分别为21,e e ，证明：221211e e +=1.【证明】双曲线22221x y a b -=的离心率22221122c c a b e e a a a +=⇒==；双曲线22221x y b a -=的离心率22222222c c a b e e b b b +=⇒==.∴2222222212111a b e e a b a b+=+=++.（4）等轴双曲线——和谐对称 与圆同美实、虚轴相等的双曲线称为等轴双曲线，等轴双曲线的对称性可以与圆为伴.【例5】设CD 是等轴双曲线的平行于实轴的任一弦，求证它的两端点与实轴任一顶点的连线成直角. 【证明】如图设等轴双曲线方程为()2221x y a -=，直线CD ：y=m.代入（1）：22x x m=±+.故有：()()2222,,,C x m m Dx m m-++.取双曲线右顶点(),0Ba .那么：()()2222,,,BC x m a m BD x m a m=-+-=+-u u u r u u u r()22220,BC BD a a m m BC BD ⎡⎤⋅=-++=∴⊥⎣⎦u u u r u u u r u u u r u u u r Q .即∠CBD=90°.同理可证：∠CAD=90°.● 通法 特法 妙法（1）方程法——为解析几何正名解析法的指导思想是函数方程思想，其主要手段是列、解方程、方程组或不等式.【例6】如图，1F 和2F 分别是双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的两个焦点，A 和B 是以O 为圆心，以1F O 为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且△AB F 2是等边三角形，则双 曲线的离心率为（ ）（A ）3 （B ）5 （C ）25 （D ）31+XOYCDA B【解析1】设AB 交x 轴于M ，并设双曲线半焦距为c ，∵△AB F 2是等边三角形，∴,.22c OM MA c ==点2c A ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭代入双曲线方程：()()2222222222222233444c b a c a b c c a a c a c a ⋅-⋅=⇒--=-.化简得：422442284084041c a c a e e e e -+=⇒-+=⇒=+=.（∵e ＞1，∴24e=-及1e =舍去）故选D.【解析2】连AF 1，则△AF 1F 2为直角三角形，且斜边F 1F 2之长为2c.令1122,.AF r AF r ==由直角三角形性质知：211221221222r r ar c r a c r c r r -=⎧=⎧⎪⇒⎨⎨=+⋅=⎩⎪⎩. ∵()222222222124,24220220r r c a c c c a ac c e e +=∴++=⇒+-=⇒--=.∵e ﹥1，∴取1e =.选D.【评注】即使是解析法解题，也须不失时机地引入几何手段.（2）转换法——为解题化归立意【例7】直线l 过双曲线12222=-by a x 的右焦点，斜率k =2.若l 与双曲线的两个交点分别在左右两支上，则双曲线的离心率e 的范围是 （ ）A .e >2 B.1<e <3 C.1<e <5 D.e >5【分析】就题论题的去解这道题，确实难以下手，那就 考虑转换吧.其一，直线和双曲线的两支都有交点不好掌握， 但是和两条渐近线都有交点却很好掌握.其二，因为已知直线 的斜率为2，所以双曲线的两条渐近线中，倾斜角为钝角的 渐近线肯定与之相交，只须考虑倾斜角为锐角的渐近线也与 之相交.故有如下妙解.【解析】如图设直线l 的倾斜角为α，双曲线渐近线m 的倾斜角为β.显然。
高中数学《双曲线》大题50道及答案解析
1．在①m＞0，且C的左支上任意一点到右焦点的距离的最小值为3+，②C的焦距为6，③C上一点到两焦点距离之差的绝对值为4．这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中．问题：已知双曲线C：﹣＝1，_____，求C的方程．2．已知双曲线C的右焦点F，半焦距c＝2，点F到直线的距离为，过点F作双曲线C的两条互相垂直的弦AB，CD，设AB，CD的中点分别为M，N．（1）求双曲线C的标准方程；（2）证明：直线MN必过定点，并求出此定点的坐标．3．设双曲线Γ的方程为：x2﹣＝1．（1）设1是经过点M（1，1）的直线，且和Γ有且仅有一个公共点，求l的方程；（2）设11是Γ的一条渐近线，A、B是11上相异的两点．若点P是Γ上的一点，P关于点A的对称点记为Q，Q关于点B的对称点记为R．试判断点R是否可能在Γ上，并说明理由．4．在平面直角坐标系中，已知双曲线I：，A，B分别为I的左，右顶点．（1）以A为圆心的圆与I恰有三个不同的公共点，写出此圆的方程；（2）直线L过点A，与I在第一象限有公共点P，线段AP的垂直平分线过点B，求直线L的方程；（3）I上是否存在异于A、B点M、N，使+2＝成立，若存在，求出所有M、N的坐标，若不存在说明理由．5．（Ⅰ）已知中心在原点的双曲线C的焦点坐标为，，且渐近线方程为，求双曲线C的标准方程；（Ⅱ）在圆x2+y2＝3上任取一点P，过点P作y轴的垂线段PD，D为垂足，当点P在该圆上运动时，求线段PD的中点M的轨迹方程．6．设离心率为3，实轴长为1的双曲线E：（a＞b＞0）的左焦点为F，顶点在原点的抛物线C的准线经过点F，且抛物线C的焦点在x轴上．（I）求抛物线C的方程；（Ⅱ）若直线l与抛物线C交于不同的两点M，N，且满足OM⊥ON，求|MN|的最小值．7．2018年世界人工智能大会已于2018年9月在上海徐汇西岸举行，某高校的志愿者服务小组受大会展示项目的启发，会后决定开发一款“猫捉老鼠”的游戏，如图：A、B两个信号源相距10米，O是AB的中点，过O点的直线l 与直线AB的夹角为45°，机器猫在直线l上运动，机器鼠的运动轨迹始终满足：接收到A点的信号比接收到B点的信号晚秒（注：信号每秒传播v0米）．在时刻t0时，测得机器鼠距离O点为4米．（1）以O为原点，直线AB为x轴建立平面直角坐标系（如图），求时刻t0时机器鼠所在位置的坐标；（2）游戏设定：机器鼠在距离直线l不超过1.5米的区域运动时，有“被抓”的风险．如果机器鼠保持目前的运动轨迹不变，是否有“被抓”风险？8．已知离心率为2的双曲线C的一个焦点F（c，0）到一条渐近线的距离为（1）求双曲线C的方程；（2）设A1，A2分别为C的左右顶点，P为C异于A1，A2一点，直线A1P与A2P 分别交y轴于M，N两点，求证：以线段MN为直径的圆D经过两个定点．9．已知F1，F2为双曲线的左、右焦点，过F2作垂直于x轴的垂线，在x轴上方交双曲线C于点M，且∠MF1F2＝30°．（1）求双曲线C的两条渐近线的夹角θ；（2）过点F2的直线l和双曲线C的右支交于A，B两点，求△AF1B的面积最小值；（3）过双曲线C上任意一点Q分别作该双曲线两条渐近线的平行线，它们分别交两条渐近线于Q1，Q2两点，求平行四边形OQ1QQ2的面积．10．已知双曲线的一条渐近线方程为，点在双曲线上，抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点F与双曲线的右焦点重合．（Ⅰ）求双曲线和抛物线的标准方程；（Ⅱ）过点F做互相垂直的直线l1，l2，设l1与抛物线的交点为A，B，l2与抛物线的交点为D，E，求|AB|+|DE|的最小值．高中数学资料共享群734924357每天都有更新！11．已知椭圆＝1（a＞b＞0}），点A、点B分别是椭圆上关于原点对称的两点，点P是椭圆上不同于点A和点B的任意一点．（1）求证：直线PA的斜率与直线PB的斜率之积为定值，并求出定值；（2）试对双曲线＝1写出具有类似特点的正确结论，并加以证明．12．如图，若F1，F2是双曲线﹣＝1的两个焦点．（1）若双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于16，求点M到另一个焦点的距离；（2）若P是双曲线左支上的点，且|PF1|•|PF2|＝32，试求△F1PF2的面积．13．已知双曲线过点（3，﹣2）且与椭圆4x2+9y2＝36有相同的焦点．（1）求双曲线标准方程；（2）若点M在双曲线上，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，且|MF1|＝2|MF2|，求△MF1F2的面积．14．设双曲线＝1，其虚轴长为2，且离心率为．（1）求双曲线C的方程；（2）过点P（3，1）的动直线与双曲线的左右两只曲线分别交于点A、B，在线段AB上取点M使得＝，证明：点M落在某一定直线上；（3）在（2）的条件下，且点M不在直线OP上，求△OPM面积的取值范围．15．在平面直角坐标系中，点F1、F2分别为双曲线C：的左、右焦点，双曲线C的离心率为2，点（1，）在双曲线C上．不在x轴上的动点P与动点Q关于原点O对称，且四边形PF1QF2的周长为．（1）求动点P的轨迹方程；高中数学资料共享群734924357每天都有更新！（2）在动点P的轨迹上有两个不同的点M（x1，y1）、N（x2，y2），线段MN的中点为G，已知点（x1，x2）在圆x2+y2＝2上，求|OG|•|MN|的最大值，并判断此时△OMN的形状．16．已知双曲线＝1（b＞a＞0）渐近线方程为y＝±x，O为坐标原点，点在双曲线上．（Ⅰ）求双曲线的方程；（Ⅱ）已知P，Q为双曲线上不同两点，点O在以PQ为直径的圆上，求的值．17．设双曲线﹣＝1的两个焦点分别为F1、F2，离心率为2．（1）若A、B分别为此双曲线的渐近线l1、l2上的动点，且2|AB|＝5|F1F2|，求线段AB的中点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线；（2）过点N（1，0）能否作出直线l，使l交双曲线于P、Q两点，且•＝0，若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．18．已知双曲线，（1）求以双曲线的顶点为焦点，焦点为顶点的椭圆E的方程．（2）点P在椭圆E上，点C（2，1）关于坐标原点的对称点为D，直线CP和DP的斜率都存在且不为0，试问直线CP和DP的斜率之积是否为定值？若是，求此定值；若不是，请说明理由．19．已知双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的两个焦点分别为（﹣2，0）和（2，0），点P（3，）在双曲线C上．（Ⅰ）求双曲线C的方程；高中数学资料共享群734924357每天都有更新！（Ⅱ）过点A（0，2）的直线与双曲线C交于不同的两点E、F，若坐标原点O 与E、F构成的三角形面积为2，求直线l的方程．20．已知双曲线的左右两个顶点是A1，A2，曲线C上的动点P，Q 关于x轴对称，直线A1P与A2Q交于点M，（1）求动点M的轨迹D的方程；（2）点E（0，2），轨迹D上的点A，B满足，求实数λ的取值范围．21．已知圆M：（x+1）2+y2＝，圆N：（x﹣1）2+y2＝，动圆D与圆M外切并与圆N内切，圆心D的轨迹为曲线E．（1）求曲线E的方程；（2）若双曲线C的右焦点即为曲线E的右顶点，直线y＝x为C的一条渐近线．①求双曲线C的方程；②过点P（0，4）的直线l，交双曲线C于A，B两点，交x轴于Q点（Q点与C的顶点不重合），当，且λ1+λ2＝﹣时，求Q点的坐标．22．已知双曲线的离心率为e，经过第一、三象限的渐近线的斜率为k，且e≥k．（1）求m的取值范围；高中数学资料共享群734924357每天都有更新！（2）设条件p：e≥k；条件q：m2﹣（2a+2）m+a（a+2）≤0．若p是q的必要不充分条件，求a的取值范围．23．已知F1，F2分别是双曲线的左右焦点，点P是双曲线上任一点，且||PF1|﹣|PF2||＝2，顶点在原点且以双曲线的右顶点为焦点的抛物线为L．（Ⅰ）求双曲线C的渐近线方程和抛物线L的标准方程；（Ⅱ）过抛物线L的准线与x轴的交点作直线，交抛物线于M、N两点，问直线的斜率等于多少时，以线段MN为直径的圆经过抛物线L的焦点？24．若抛物线的顶点是双曲线x2﹣y2＝1的中心，焦点是双曲线的右顶点（1）求抛物线的标准方程；（2）若直线l过点C（2，1）交抛物线于M，N两点，是否存在直线l，使得C恰为弦MN的中点？若存在，求出直线l方程；若不存在，请说明理由．25．已知双曲线过点A（1，1），它的焦点F在其渐近线上的射影记为M，且△OFM（O为原点）的面积为．（Ⅰ）求双曲线的方程；（Ⅱ）过点A作双曲线的两条动弦AB，AC，设直线AB，直线AC的斜率分别为k1，k2，且（k1+1）（k2+1）＝﹣1恒成立，证明：直线BC的斜率为定值．26．已知双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的一条渐近线与直线x＝交于点M，双曲线C的离心率e＝，F是其右焦点，且|MF|＝1．（Ⅰ）求双曲线C的方程；（Ⅱ）过点A（0，1）的直线l与双曲线C的右支交于不同两点P、Q，且P 在A、Q之间，若＝λ且，求直线l斜率k的取值范围．27．已知双曲线C：﹣＝1的离心率是，其一条准线方程为x＝（Ⅰ）求双曲线C的方程；（Ⅱ）设双曲线C的左右焦点分别为A，B，点D为该双曲线右支上一点，直线AD与其左支交于点E，若＝λ，求实数λ的取值范围．28．双曲线＝1（a＞0，b＞0）的离心率为2，坐标原点到直线AB的距离为，其中A（a，0），B（0，﹣b）．（1）求双曲线的方程；高中数学资料共享群734924357每天都有更新！（2）若B1是双曲线虚轴在y轴正半轴上的端点，过B作直线与双曲线交于M，N两点，求B1M⊥B1N时，直线MN的方程．29．已知椭圆C与双曲线﹣＝1有公共焦点，且离心率e＝，（1）求椭圆的标准方程；（2）已知点P是椭圆C上的一动点，过点P作x轴的垂线段PD，D为垂足，当点P在椭圆上运动时，线段PD的中点M的轨迹是什么？30．已知两点A（0，﹣1），B（0，1），P（x，y）是曲线C上一动点，直线PA、PB斜率的平方差为1．（1）求曲线C的方程；（2）E（x1，y1），F（x2，y2）是曲线C上不同的两点，Q（2，3）是线段EF 的中点，线段EF的垂直平分线交曲线C于G，H两点，问E，F，G，H是否共圆？若共圆，求圆的标准方程；若不共圆，说明理由．31．双曲线S的中心在原点，焦点在x轴上，离心率e＝，直线x﹣3y+5＝0上的点与双曲线S的右焦点的距离的最小值等于．（1）求双曲线S的方程；（2）设经过点（﹣2，0），斜率等于k的直线与双曲线S交于A，B两点，且以A，B，P（0，1）为顶点的三角形ABP是以AB为底的等腰三角形，求k的值．32．已知双曲线＝1（a＞0，b＞0）的两条渐近线与抛物线C：y2＝2px（p＞0）的准线分别交于A，B两点，O为坐标原点．若双曲线的离心率为2，△AOB的面积为（1）求抛物线C的方程；（2）过点D（﹣1，0）的直线l与抛物线C交于不同的两点E，F，若在x轴上存在一点P（x0，0）使得△PEF是等边三角形，求x0的值．33．在平面直角坐标系xoy中，已知双曲线﹣y2＝1的左、右顶点分别为A1，A2，点P（x0，y0），Q（x0，﹣y0）是双曲线上不同的两个动点．（1）求直线A1P与A2Q交点的轨迹E的方程；（2）过坐标原点O作一条直线交轨迹E于A，B两点，过点B作x轴的垂线，垂足为点C，连AC交轨迹E于点D，求证：AB⊥BD．34．已知双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）的离心率为，实轴长为2（Ⅰ）求双曲线C的方程；（Ⅱ）设直线l是圆O：x2+y2＝2上动点P（x0，y0）（x0y0≠0）处的切线，l 与双曲线C交于不同的两点A，B，证明∠AOB的大小为定值．35．已知曲线Γ上的点到F（1，0）的距离比它到直线x＝﹣3的距离小2，过F 的直线交曲线Γ于A，B两点．（1）求曲线Γ的方程；（2）若，求直线AB的斜率；（3）设点M在线段AB上运动，原点O关于点M的对称点为C，求四边形OACB 面积的最小值．36．已知点在双曲线上，且双曲线的一条渐近线的方程是．（1）求双曲线C的方程；（2）过点（0，1）且斜率为k的直线l与双曲线C交于A、B两个不同点，若以线段AB为直径的圆恰好经过坐标原点，求实数k的值．37．已知点是椭圆C：的一个顶点，椭圆C的离心率为．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）已知点P（x0，y0）是定点，直线交椭圆C于不同的两点A、B，记直线PA、PB的斜率分别为k1、k2，求点P的坐标，使得k1+k2＝0恒成立．38．已知双曲线C：的离心率为，点（4，2）在C上．（Ⅰ）求双曲线C的方程；（Ⅱ）直线l不过原点O且不平行于坐标轴，且直线l与双曲线C有两个交点A，B，线段AB的中点为M．证明：直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值．39．已知命题P“双曲线﹣＝1上任意一点Q到直线l1：bx+ay＝0，l2：bx﹣ay＝0的距离分别记作d1，d2则d1，d2为定值”是真命题（1）求出d1•d2的值（2）已知直线l1，l2关于y轴对称且使得椭圆C：+＝1上任意点到l1，l2的距离d1，d2满足为定值，求l1，l2的方程（3）已知直线m与（2）中某一条直线平行（或重合）且与椭圆C交于M，N 两点，求|OM|+|ON|的最大值．40．椭圆与双曲线有许多优美的对称性质．对于椭圆+＝1（a＞b＞0）有如下命题：AB是椭圆+＝1（a＞b＞0）的不平行于对称轴且不过原点的弦，M为AB的中点，则k OM•k AB＝﹣，为定值．那么对于双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）则有命题：AB是双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的不平行于对称轴且不过原点的弦，M为AB的中点，则k OM•k AB＝定值．（在横线上填上正确的结论）并证明你的结论．41．如图，已知双曲线，过点P（0，﹣1）的直线l分别交双曲线C的左、右两支于点A，B，交双曲线C的两条渐近线于点D，E（点D在y轴的左侧）．（1）若，求直线l的方程；（2）求的取值范围．42．已知双曲线C1：x2﹣＝1（b＞0），A（x A，b2）是C1上位于第二象限内的一点，曲线C2是以点C（0，b2+1）为圆心过点A的圆上满足y＞b2的部分．曲线Γ由C1上满足y≤b2的部分和C2组成．记F1，F2为C1的左、右焦点．（1）若△CF1F2为等边三角形，求x A；（2）若直线AC与Γ恰有两个公共点，求b的最小值；（3）设b＝1，过A的直线l与Γ相交于另外两点P、Q，求l的倾斜角的取值范围．43．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知等轴双曲线E：（a＞0，b＞0）的左顶点A，过右焦点F且垂直于x轴的直线与E交于B，C两点，若△ABC的面积为．（1）求双曲线E的方程；（2）若直线l：y＝kx﹣1与双曲线E的左，右两支分别交于M，N两点，与双曲线E的两条渐近线分别交于P，Q两点，求的取值范围．44．已知曲线，Q为曲线C上一动点，过Q作两条渐近线的垂线，垂足分别是P1和P2．（1）当Q运动到时，求的值；（2）设直线l（不与x轴垂直）与曲线C交于M、N两点，与x轴正半轴交于T点，与y轴交于S点，若，，且λ+μ＝1，求证T为定点．45．设双曲线的左顶点为D，且以点D为圆心的圆D：（x+2）2+y2＝r2（r＞0）与双曲线C分别相交于点A，B，如图所示．（1）求双曲线C的方程；（2）求的最小值，并求出此时圆D的方程；（3）设点P为双曲线C上异于点A，B的任意一点，且直线PA，PB分别与x轴相交于点M，N，求证：|OM|•|ON|为定值（其中O为坐标原点）．46．设双曲线Γ的方程为：x2﹣＝1．（1）设1是经过点M（1，1）的直线，且和Γ有且仅有一个公共点，求l的方程；（2）设11是Γ的一条渐近线，A、B是11上相异的两点．若点P是Γ上的一点，P关于点A的对称点记为Q，Q关于点B的对称点记为R．试判断点R是否可能在Γ上，并说明理由．47．已知双曲线C的一个焦点为，且过点．如图，F1，F2为双曲线的左、右焦点，动点P（x0，y0）（y0≥1）在C的右支上，且∠F1PF2的平分线与x轴、y轴分别交于点M（m，0）（﹣＜m＜）、N，设过点F1，N的直线l与C交于D，E两点．（Ⅰ）求C的标准方程；（Ⅱ）求△F2DE的面积最大值．48．直线上的动点P到点T 1（9，0）的距离是它到点T（1，0）的距离的3倍．（1）求点P的坐标；（2）设双曲线的右焦点是F，双曲线经过动点P，且，求双曲线的方程；（3）点T（1，0）关于直线x+y＝0的对称点为Q，试问能否找到一条斜率为k（k≠0）的直线L与（2）中的双曲线交于不同的两点M、N，且满足|QM|＝|QN|，若存在，求出斜率k的取值范围，若不存在，请说明理由．49．已知双曲线C1：的渐近线方程为y＝±x，且过点，其离心率为e，抛物线C2的顶点为坐标原点，焦点为（I）求抛物线C2的方程；（II）O为坐标原点，设A，B是抛物线上分别位于x轴两侧的两个动点，且＝12．（i）求证：直线AB必过定点，并求出该定点P的坐标；（ii）过点P作AB 的垂线与抛物线交于C，D两点，求四边形ACBD面积的最小值．50．火电厂、核电站的循环水自然通风冷却塔是一种大型薄壳型建筑物．建在水源不十分充分的地区的电厂，为了节约用水，需建造一个循环冷却水系统，以使得冷却器中排出的热水在其中冷却后可重复使用，大型电厂采用的冷却构筑物多为双曲线型冷却塔．此类冷却塔多用于内陆缺水电站，其高度一般为75～150米，底边直径65～120米．双曲线型冷却塔比水池式冷却构筑物占地面积小，布置紧凑，水量损失小，且冷却效果不受风力影响；它比机力通风冷却塔维护简便，节约电能；但体形高大，施工复杂，造价较高（以上知识来自百度，下面题设条件只是为了适合高中知识水平，其中不符合实际处请忽略．图1）（1）图2为一座高100米的双曲线冷却塔外壳的简化三视图（忽略壁厚），其底面直径大于上底直径．已知其外壳主视图与左视图中的曲线均为双曲线，高度为100m，俯视图为三个同心圆，其半径分别为40m，m，30m，试根据上述尺寸计算主视图中该双曲线的标准方程（m 为长度单位米）．（2）试利用课本中推导球体积的方法，利用圆柱和一个倒放的圆锥，计算封闭曲线：，y＝0，y＝h，绕y轴旋转形成的旋转体的体积为（用a，b，h表示）（用积分计算不得分，图3、图4）现已知双曲线冷却塔是一个薄壳结构，为计算方便设其内壁所在曲线也为双曲线，其壁最厚为0.4m（底部），最薄处厚度为0.3m（喉部，即左右顶点处）．试计算该冷却塔内壳所在的双曲线标准方程是，并计算本题中的双曲线冷却塔的建筑体积（内外壳之间）大约是m3（计算时π取3.14159，保留到个位即可）（3）冷却塔体型巨大，造价相应高昂，本题只考虑地面以上部分的施工费用（建筑人工和辅助机械）的计算，钢筋土石等建筑材料费用和和其它设备等施工费用不在本题计算范围内．超高建筑的施工（含人工辅助机械等）费用随着高度的增加而增加．现已知：距离地面高度30米（含30米）内的建筑，每立方米的施工费用平均为：400元/立方米；30米到40米（含40米）每立方米的施工费用为800元/立方米；40米以上，平均高度每增加1米，每立方米的施工费用增加100元．试计算建造本题中冷却塔的施工费用（精确到万元）高中数学《双曲线》大题50题答案解析1．在①m＞0，且C的左支上任意一点到右焦点的距离的最小值为3+，②C的焦距为6，③C上一点到两焦点距离之差的绝对值为4．这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中．问题：已知双曲线C：﹣＝1，_____，求C的方程．【解析】选①．因为m＞0，所以a2＝m，b2＝2m，c2＝3m，所以a＝，c＝，因为C的左支上任意一点到右焦点的距离的最小值为a+c，所以a+c＝+＝3+，解得m＝3，故C的方程为﹣＝1；选②．若m＞0，则a2＝m，b2＝2m，c2＝3m，所以a＝，c＝，所以C的焦距为2c＝2＝6，解得m＝3，则故C的方程为﹣＝1；若m＜0，则a2＝﹣2m，b2＝﹣m，c2＝﹣3m，所以c＝，所以C的焦距为2c＝2＝6，解得m＝﹣3，则C的方程为﹣＝1；选③．若m＞0，则a2＝m，所以a＝，因为C上一点到两个焦点的距离之差的绝对值为4，所以2a＝2＝4，解得m＝4，则C的方程为﹣＝1；若m＜0，则a2＝﹣2m，所以a＝，因为C上一点到两个焦点的距离之差的绝对值为4，所以2a＝2＝4，解得m＝﹣2，则C的方程为﹣＝1．2．已知双曲线C的右焦点F，半焦距c＝2，点F到直线的距离为，过点F作双曲线C的两条互相垂直的弦AB，CD，设AB，CD的中点分别为M，N．（1）求双曲线C的标准方程；（2）证明：直线MN必过定点，并求出此定点的坐标．【解析】（1）由题意可得c＝2，c﹣＝，b2＝c2﹣a2，解得：a2＝3，b2＝1，所以双曲线的方程为：﹣y2＝1；（2）证明：设F（2，0）设过F的弦AB所在的直线方程为：x＝ky+2，A（x1，y1），B（x2，y2），则有中点M（+2，），联立直线AB与双曲线的方程：整理可得：（k2﹣3）y2+4ky+1＝0，因为弦AB与双曲线有两个交点，所以k2﹣3≠0，y1+y2＝，所以x1+x2＝k（y1+y2）+4＝，所以M（，）；（i）当k＝0时，M点即是F，此时直线MN为x轴；（ii）当k≠0时，将M的坐标中的k换成﹣，同理可得N的坐标（，﹣），①当直线MN不垂直于x轴时，直线MN的斜率k MN＝＝，将M代入方程可得直线MN：y﹣＝（x﹣），化简可得y＝（x﹣3），所以直线MN恒过定点P（3，0）；②当直线MN垂直于x轴时，＝可得k＝±1，直线也过定点P（3，0）；综上所述直线MN恒过定点P（3，0）．3．设双曲线Γ的方程为：x2﹣＝1．（1）设1是经过点M（1，1）的直线，且和Γ有且仅有一个公共点，求l的方程；（2）设11是Γ的一条渐近线，A、B是11上相异的两点．若点P是Γ上的一点，P关于点A的对称点记为Q，Q关于点B的对称点记为R．试判断点R是否可能在Γ上，并说明理由．【解析】（1）①当直线l斜率不存在时，方程为x＝1，显然与双曲线Γ相切，只有一个交点，符合题意，②当直线l的斜率存在且与双曲线Γ相切时，设斜率为k，则直线l的方程为y﹣1＝k（x﹣1），即y＝kx﹣k+1联立方程，消去y得：（4﹣k2）x2﹣2k（1﹣k）x﹣[（1﹣k）2+4]＝0，∵直线l和双曲线Γ有且仅有一个公共点，∴△＝4k2（1﹣k）2+4（4﹣k2）[（1﹣k）2+4]＝0，化简得：80﹣32k＝0，∴，∴直线l的方程为：y＝，即5x﹣2y﹣3＝0，③当直线l与双曲线Γ的渐近线平行时，也与双曲线Γ有且仅有一个公共点，∵双曲线Γ的渐近线方程为：y＝±2x，∴直线l的斜率为±2，∴直线l的方程为y﹣1＝2（x﹣1）或y﹣1＝﹣2（x﹣1），即2x﹣y﹣1＝0或2x+y﹣3＝0，综上所述，直线l的方程为：x＝1或5x﹣2y﹣3＝0或2x﹣y﹣1＝0或2x+y﹣3＝0；（2）假设点R在双曲线Γ上，不妨设直线l1方程为：y＝2x，设点A（x1，2x1），B（x2，2x2），点P（x0，y0），∵P关于点A的对称点记为Q，∴点Q（2x1﹣x0，4x1﹣y0），∵Q关于点B的对称点记为R．∴点R（2x2﹣2x1+x0，4x2﹣4x1+y0），∵点R在双曲线Γ上，∴，∴﹣＝1，∴，又∵点P（x0，y0）在双曲线Γ：x2﹣＝1上，∴x02﹣＝1，∴上式化为：4（x2﹣x1）•x0﹣2（x2﹣x1）•y0＝0，又∵x1≠x2，∴4x0＝2y0，∴y0＝2x0，又∵x02﹣＝1，∴，∴0＝1，此式显然不成立，故假设不成立，所以点R不可能在双曲线Γ上．4．在平面直角坐标系中，已知双曲线I：，A，B分别为I的左，右顶点．（1）以A为圆心的圆与I恰有三个不同的公共点，写出此圆的方程；（2）直线L过点A，与I在第一象限有公共点P，线段AP的垂直平分线过点B，求直线L的方程；（3）I上是否存在异于A、B点M、N，使+2＝成立，若存在，求出所有M、N的坐标，若不存在说明理由．【解析】（1）双曲线I：，A（﹣2，0），B（2，0），由题意可得以A为圆心的圆经过B，则圆的半径r＝4，圆的方程为（x+2）2+y2＝16；（2）直线L过点A（﹣2，0），且直线的斜率存在，设直线L的方程为y＝k（x+2），（k＞0），联立双曲线方程消去y，可得（5﹣4k2）x2﹣16k2x﹣16k2﹣20＝0，可得x A+x P＝，可得x P＝，y P＝k（x+2）＝，可得AP的中点T坐标为（，），由题意可得k TB＝﹣，即为＝﹣，解得k＝（负的舍去），则直线L的方程为y＝（x+2）；（3）假设I上存在异于A、B点M、N，使+2＝成立．设M（x1，y1），N（x2，y2），由+2＝，可得x2＝2﹣2x1，y2＝﹣2y1，将M，N的坐标代入双曲线的方程可得﹣＝1，即﹣＝1，又﹣＝1，解得x1＝2，y1＝0，与B重合，故不存在．5．（Ⅰ）已知中心在原点的双曲线C的焦点坐标为，，且渐近线方程为，求双曲线C的标准方程；（Ⅱ）在圆x2+y2＝3上任取一点P，过点P作y轴的垂线段PD，D为垂足，当点P在该圆上运动时，求线段PD的中点M的轨迹方程．【解析】（Ⅰ）依题可知双曲线的焦点在y轴上，设其方程为：，且①，双曲线的渐近线方程为，即②．又∵a2+b2＝c2…③，由①②③可得．得双曲线方程为：；（Ⅱ）设轨迹上任一点M的坐标为（x，y），点P的坐标为（x0，y0），则依题意可知D点坐标为（0，y0），∵PD的中点为M，∴，即，∵点P在圆x2+y2＝3上运动，，得4x2+y2＝3，经检验所求方程符合题意，∴点M的轨迹方程为．6．设离心率为3，实轴长为1的双曲线E：（a＞b＞0）的左焦点为F，顶点在原点的抛物线C的准线经过点F，且抛物线C的焦点在x轴上．（I）求抛物线C的方程；（Ⅱ）若直线l与抛物线C交于不同的两点M，N，且满足OM⊥ON，求|MN|的最小值．【解析】（I）离心率为3，实轴长为1，即e＝＝3，a＝，可得c＝，F（﹣，0），可设抛物线的方程为y2＝2px，p＞0，可得＝，即p＝3，可得抛物线的方程为y2＝6x；（Ⅱ）设直线l的方程为x＝my+t，设点M（x1，y1）、N（x2，y2），则x1＝，x2＝，将直线l的方程与抛物线C的方程联立，得y2﹣6my﹣6t＝0，由韦达定理得y1+y2＝6m，y1y2＝﹣6t，∵OM⊥ON，∴k OM•k ON＝•＝﹣＝﹣1，即t＝6，由△＝36m2+24×6＞0恒成立，则|MN|＝＝•＝6≥12，当且仅当m＝0时，|MN|取得最小值12．7．2018年世界人工智能大会已于2018年9月在上海徐汇西岸举行，某高校的志愿者服务小组受大会展示项目的启发，会后决定开发一款“猫捉老鼠”的游戏，如图：A、B两个信号源相距10米，O是AB的中点，过O点的直线l 与直线AB的夹角为45°，机器猫在直线l上运动，机器鼠的运动轨迹始终满足：接收到A点的信号比接收到B点的信号晚秒（注：信号每秒传播v0米）．在时刻t0时，测得机器鼠距离O点为4米．（1）以O为原点，直线AB为x轴建立平面直角坐标系（如图），求时刻t0时机器鼠所在位置的坐标；（2）游戏设定：机器鼠在距离直线l不超过1.5米的区域运动时，有“被抓”的风险．如果机器鼠保持目前的运动轨迹不变，是否有“被抓”风险？【解析】（1）设机器鼠位置为点P，由题意可得﹣＝，即|PA|﹣|PB|＝8＜10，可得P的轨迹为双曲线的右支，且2c＝10，2a＝8，即有c＝5，a＝4，b＝3，则P的轨迹方程为﹣＝1（x≥4），时刻t0时，|OP|＝4，即P（4，0），可得机器鼠所在位置的坐标为（4，0）；（2）设直线l的平行线l1的方程为y＝x+m，联立双曲线方程﹣＝1（x≥4），可得7x2+32mx+16m2+144＝0，即有△＝（32m）2﹣28（16m2+144）＝0，且x1+x2＝﹣＞0，可得m＝﹣即l1：y＝x﹣与双曲线的右支相切，切点即为双曲线右支上距离l最近的点，此时l与l1的距离为d＝＝，即机器鼠距离l最小的距离为＞1.5，则机器鼠保持目前运动轨迹不变，没有“被抓”的风险．8．已知离心率为2的双曲线C的一个焦点F（c，0）到一条渐近线的距离为（1）求双曲线C的方程；（2）设A1，A2分别为C的左右顶点，P为C异于A1，A2一点，直线A1P与A2P 分别交y轴于M，N两点，求证：以线段MN为直径的圆D经过两个定点．【解析】（1）设C：，因为离心率为2，所以c＝2a，．所以C的渐近线为，由，得c＝2．于是a＝1，，故C的方程为．（2）方法一、设P（x0，y0）（x0≠±1），因为A1（﹣1，0），A2（1，0），可得直线A1P与A2P方程为，．由题设，所以，，，MN中点坐标，于是圆D的方程为．因为，所以圆D的方程可化为．当y＝0时，，因此D经过两个定点和．方法二、设P（x0，y0）（x0≠±1），因为A1（﹣1，0），A2（1，0），可得直线A1P与A2P方程为，，由题设，所以，．设P（x，y）是圆D上点，则，即于是圆D的方程为．因为，所以圆D的方程可化为．当y＝0时，，因此D经过两个定点和．9．已知F1，F2为双曲线的左、右焦点，过F2作垂直于x轴的垂线，在x轴上方交双曲线C于点M，且∠MF1F2＝30°．（1）求双曲线C的两条渐近线的夹角θ；（2）过点F2的直线l和双曲线C的右支交于A，B两点，求△AF1B的面积最小值；（3）过双曲线C上任意一点Q分别作该双曲线两条渐近线的平行线，它们分别交两条渐近线于Q1，Q2两点，求平行四边形OQ1QQ2的面积．【解析】（1）双曲线的a＝1，c＝，可令x＝c，解得y＝b＝b2，设M（c，b2），由∠MF1F2＝30°，可得b2＝2c tan30°＝，解得b＝，则双曲线的方程为x2﹣＝1，可得双曲线的方程为y＝±x，即有tanθ＝||＝2，可得夹角θ＝arctan2；（2）当直线AB的斜率不存在，可得A（，2），B（，﹣2），可得△AF1B的面积为×2×4＝4；直线AB的斜率存在，设过点F2的直线l设为y＝k（x﹣），联立双曲线方程2x2﹣y2＝2，可得（2﹣k2）x2+2k2x﹣3k2﹣2＝0，设A（x1，y1），B（x2，y2），又x1+x2＝﹣＞0，x1x2＝﹣＞0，可得k2＞2，可得△AF1B的面积为S＝•2c•|y1﹣y2|＝•|k（x1﹣x2）|＝•|k|•＝|k|•，设t＝k2﹣2（t＞0），可得S＝4•＝4•＞4，综上可得△AF1B的面积的最小值为4；（3）设Q（m，n），可得2m2﹣n2＝2，双曲线的渐近线方程为y＝±x，Q到直线y＝x的距离为d＝，由平行于直线y＝﹣x的直线y＝﹣（x﹣m）+n，联立直线y＝x，可得Q2（，），|OQ2|＝|n+m|，即有行四边形OQ1QQ2的面积为d•|OQ2|＝|n+m|•＝•|2m2﹣n2|＝•2＝．10．已知双曲线的一条渐近线方程为，点在双曲线上，抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点F与双曲线的右焦点重合．（Ⅰ）求双曲线和抛物线的标准方程；（Ⅱ）过点F做互相垂直的直线l1，l2，设l1与抛物线的交点为A，B，l2与抛物线的交点为D，E，求|AB|+|DE|的最小值．【解析】（Ⅰ）由题意可得，即，所以双曲线方程为x2﹣3y2＝3b2，将点（2，1）代入双曲线方程，可得b2＝3，所以双曲线的标准方程为，c2＝a2+b2＝12，所以，所以抛物线的方程为．（Ⅱ）由题意知，l1，l2与坐标轴不平行，设直线l1的方程为，。
高考数学专题复习：双曲线(含解析)
高考数学专题复习：双曲线(含解析)本文存在大量的格式错误和段落问题，需要进行修正和删减。
修正后的文章如下：研究目标：1.理解双曲线的定义、几何图形、标准方程以及简单几何性质。
2.理解数形结合的思想。
3.了解双曲线的实际背景及其简单应用。
一、单选题1.设 $F_1,F_2$ 分别是双曲线 $C: \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ 的左右焦点，点 $P$ 在双曲线 $C$ 的右支上，且 $F_1P=F_2P=c$，则 $\frac{c^2}{a^2-b^2}$ 的值为：A。
$1$B。
$\frac{1}{2}$C。
$\frac{1}{3}$D。
$\frac{1}{4}$答案】B解析】根据双曲线的性质求出 $c$ 的值，结合向量垂直和向量和的几何意义进行转化求解即可。
点睛】本题主要考查双曲线性质的意义，根据向量垂直和向量和的几何意义是解决本题的关键。
2.设 $F_1(-1,0),F_2(1,0)$ 是双曲线 $C: \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ 的左右焦点，$A(0,b)$ 为左顶点，点$P$ 为双曲线右支上一点，且 $AP=\frac{a}{2}$，则$\frac{b^2}{a^2}$ 的值为：A。
$1$B。
$\frac{1}{2}$C。
$\frac{1}{3}$D。
$\frac{1}{4}$答案】D解析】先求出双曲线的方程为 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$，再求出点 $P$ 的坐标，最后求$\frac{b^2}{a^2}$。
点睛】本题主要考查双曲线的几何性质和向量的数量积运算，考查双曲线方程的求法，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力。
双曲线的通径为 $2a$。
3.已知直线$l$ 的倾斜角为$\theta$，且$l: y=x\tan\theta$，直线 $l$ 与双曲线 $C: \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ 的左、右两支分别交于 $A,B$ 两点，$OA\perp$轴，$OB\perp$轴（其中 $O$、$F_1,F_2$ 分别为双曲线的坐标原点、左、右焦点），则该双曲线的离心率为：A。
专题65：双曲线基础知识和典型例题(解析版)
专题65：双曲线基础知识和典型例题（解析版）一、定义：平面内与两个定点，的距离之差的绝对值等于常数（小于）的点的轨迹称为双曲线．即：。
这两个定点称为双曲线的焦点，两焦点的距离称为双曲线的焦距．二、双曲线的几何性质：焦点的位置焦点在轴上焦点在轴上图形标准方程范围或，或，顶点、、轴长虚轴的长实轴的长焦点、、焦距对称性关于轴、轴对称，关于原点中心对称，越大，双曲线的开口越阔离心率渐近线方程三、实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线．四、直线与圆锥曲线的位置关系2.直线与圆锥曲线的位置关系： ⑴.从几何角度看：（特别注意）要特别注意当直线与双曲线的渐进线平行时，直线与双曲线只有一个交点；当直线与抛物线的对称轴平行或重合时，直线与抛物线也只有一个交点。
⑵.从代数角度看：设直线L 的方程与圆锥曲线的方程联立得到。
①. 若=0，当圆锥曲线是双曲线时，直线L 与双曲线的渐进线平行或重合；当圆锥曲线是抛物线时，直线L 与抛物线的对称轴平行或重合。
②. 若，设。
③. .时，直线和圆锥曲线相交于不同两点，相交。
b.时，直线和圆锥曲线相切于一点，相切。
c.时，直线和圆锥曲线没有公共点，相离。
五、弦长问题：直线与圆锥曲线相交时的弦长问题是一个难点，化解这个难点的方法是：设而不求，根据根与系数的关系，进行整体代入。
即当直线与圆锥曲线交于点，时，则 ====题型一：求双曲线的解析式 例1．求下列双曲线的标准方程.（1）与双曲线216x －24y ＝1有公共焦点，且过点22)的双曲线；（2）以椭圆3x 2＋13y 2＝39的焦点为焦点，以直线y ＝±2x为渐近线的双曲线.【答案】（1）221128x y -=；（2）22182y x -=. 【解析】 【分析】（1）求得双曲线的焦点，可设所求双曲线的方程为222221(200)20x y a a a-=->-，将点(322)代入双曲线方程，解方程可得a ，b ，进而得到双曲线的方程；（2）利用椭圆的方程求出双曲线的焦点坐标，设22221(0,0)x y a b a b -=>>，根据双曲线的渐近线为12y x =±求出2a ，可得答案． 【详解】（1）双曲线221164x y -=的焦点为(±0)，∴设所求双曲线方程为222221(200)20x y a a a-=->-，又点2)在双曲线上，∴22184120a a-=-，解得212a =或30（舍去）， ∴所求双曲线方程为221128x y -=．（2）椭圆2231339x y +=可化为221133x y +=，其焦点坐标为(0)，∴所求双曲线的焦点为(0)，设双曲线方程为22221(0,0)x y a b a b -=>>双曲线的渐近线为12y x =±，∴12b a =，∴22221014b a a a -==，28a ∴=，22b =， 即所求的双曲线方程为22182y x -=． 【点睛】本题考查双曲线的方程的求法，考查椭圆的性质，注意运用待定系数法，考查运算能力，属于基础题．例2．在下列条件下求双曲线标准方程. （1）经过两点()3,0，()6,3--；（2）焦点在y 轴上，双曲线上点到两焦点距离之差的绝对值为()2,5-.【答案】（1）22193x y -=；（2）2212016y x -=. 【解析】【分析】（1）根据题意可设双曲线的标准方程为()222210,0x y a b a b-=>>，将题干中两点坐标代入双曲线的方程，可求出2a 、2b 的值，即可得出所求双曲线的标准方程；（2）根据题可设双曲线的标准方程为()222210,0y x a b a b-=>>，根据双曲线的定义可求出a 的值，再将点()2,5-的坐标代入双曲线的标准方程，求出b 的值，即可得出所求双曲线的标准方程. 【详解】（1）由于双曲线过点()3,0，则该双曲线的焦点在x 轴上，设双曲线标准方程为()222210,0x y a b a b-=>>，由题意可得()()2222291631a ab ⎧=⎪⎪⎨--⎪-=⎪⎩，解得2293a b ⎧=⎨=⎩， 因此，所求双曲线的标准方程为22193x y -=；（2）由双曲线的焦点在y 轴上，可设双曲线的标准方程为()222210,0y xa b a b-=>>，由双曲线的定义可得2a =a =222120y x b-=，将点()2,5-的坐标代入双曲线的标准方程得()22252120b--=，解得4b =， 因此，所求双曲线的标准方程为2212016y x -=.【点睛】本题考查双曲线标准方程的求解，解题时要确定双曲线的焦点位置，考查运算求解能力，属于基础题.题型二：求双曲线的轨迹例3．已知线段AB 与CD 互相垂直平分于点O ，动点M 满足||||||||MA MB MC MD ⋅=⋅，若||8AB =，||4CD =，求动点M 的轨迹方程．【答案】2260y x -+= 【解析】 【分析】以O 为原点，分别以直线,AB CD 为x 轴，y 轴建立平面直角坐标系，写出A 、B 、C 、D 的坐标，根据两点间距离公式及MA MB MC MD ⋅=⋅，化简可得M 的轨迹方程． 【详解】以O 为原点，分别以直线,AB CD 为x 轴，y 轴建立平面直角坐标系， 则()4,0A -，()4,0B ，()0,2C ，()0,2D -， 设(),M x y 为轨迹上任意一点，则MA =MB =MC =MD =．因为MA MB MC MD ⋅=⋅，=化简得2260y x -+=，所以动点M 的轨迹方程为2260y x -+=． 【点睛】本题考查了平面直角坐标系中轨迹方程的求法，注意建立坐标系时选择合适的原点及坐标轴，属于基础题．例4．已知圆221:(3)1C x y ++=和圆222:(3)9C x y -+=，动圆M 同时与圆1C 及圆2C 相外切，求动圆圆心M 的轨迹方程.【答案】221(0)8y x x -=<【解析】 【分析】设动圆M 与圆1C 及圆2C 分别外切于点A 和B ，根据两圆外切的条件和||||MA MB =，得到212MC MC -=，再结合双曲线的定义，即可求解. 【详解】由题意，设动圆M 与圆1C 及圆2C 分别外切于点A 和B ，根据两圆外切的条件，得1122||,||MC AC MA MC BC MB -=-=， 因为||||MA MB =，所以1122312MC AC MC BC -=-=-=， 即212MC MC -=，即动点M 与两定点2C .1C 距离的差是常数2，根据双曲线的定义，可得动点M 的轨迹为双曲线的左支（点M 与2C 的距离大，与1C 的距离小），其中1a =，3c =，则28b =，所以点M 的轨迹方程为221(0)8y x x -=<.【点睛】本题主要考查了双曲线的标准方程，以及圆与圆的位置关系的应用，其中解答中合理应用圆与圆的位置关系，结合双曲线的定义求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.题型三：双曲线的最值问题例5．已知F 是双曲线221412x y -=的左焦点，(1,4),A P 是双曲线右支上的动点，求||||PF PA +的最小值.【答案】9 【解析】 【分析】根据双曲线的定义，将||||PF PA +的最小值转化为求||4PA PF '++的最小值即可求解.【详解】由题意可知，点A 在双曲线的两支之间，设双曲线的右焦点为F ',则(4,0)F '，由双曲线定义，得||24PF PF a '-==，而||5PA PFAF ''+=，两式相加，得||||9PF PA +，当且仅当,,A P F '三点共线时等号成立，则||||PF PA +的最小值为9. 【点睛】本题主要考查双曲线的定义，考查转化与化归思想，属于基础题.例10．设离心率为3，实轴长为1的双曲线2222:1x y E a b-=（0a b >>）的左焦点为F ，顶点在原点的抛物线C 的准线经过点F ，且抛物线C 的焦点在x 轴上. （1）求抛物线C 的方程；（2）若直线l 与抛物线C 交于不同的两点,M N ，且满足OM ON ⊥，求MN 的最小值. 【答案】（1）26y x =；（2）12. 【解析】 【分析】（1）根据已知条件可设抛物线C 的标准方程为()220y px p =>，再由双曲线的性质求得3p =，即可求得抛物线C 的标准方程；（2）设直线():0l x ty m m =+≠，与抛物线方程联立，由韦达定理及弦长公式求解最值即可. 【详解】解：（1）由已知可设抛物线C 的标准方程为()220y px p =>，在双曲线E 中有3,21,ca a ⎧=⎪⎨⎪=⎩解得32c =，点3,02F ⎛⎫- ⎪⎝⎭， 又抛物线C 的准线方程为2px =-，且经过点F ，3p ∴=，∴抛物线C 的标准方程为26y x =.（2）设直线():0l x ty m m =+≠，()11,M x y ，()22,N x y ，则联立26,,y x x ty m ⎧=⎨=+⎩消去x 得2660y ty m --=，故126y y t +=，126y y m =-，且2(6)460t m ∆=-+⨯>，即2320t m +>，由点()11,M x y ，()22,N x y 在抛物线C 上得222121266y y x x m =⋅=，由OM ON ⊥得2121260x x y y m m +=-=， 解得6m =或0m =（舍），则6m =，满足>0∆，则1236y y =-，∴弦长MN =====12≥，当且仅当0t =时取等号，故MN 的最小值为12. 【点睛】本题考查双曲线的基本概念及抛物线的标准方程、直线与抛物线的位置关系，考查逻辑推理能力和运算求解能力，考查数学运算、逻辑推理等核心素养.题型四：直线与双曲线的位置关系例7．平面直角坐标系xOy 中，抛物线C 的顶点在坐标原点，焦点为双曲线2213y x -=的右顶点．⑴求抛物线C 的方程；⑵经过已知双曲线的左焦点作抛物线C 的切线，求切线方程．【答案】（1）24y x =；（2）(2)2y x =±+ 【解析】 【分析】（1）由抛物线的焦点为双曲线2213y x -=的右顶点可得12p =，从而可得结果；（2）先判断直线斜率存在且不为零，再设所求切线为()2y k x =+ ，由()242y xy k x ⎧=⎪⎨=+⎪⎩及0k ≠得，2480y y k -+=，由判别式为零可得2k =±，从而可得结果. 【详解】⑴依题意，设抛物线C 的方程为22y px =12p=， 所以2p =，抛物线C 的方程为 24y x =⑵双曲线2213y x -=的左焦点为()2,0F -显然2x =-不是抛物线C 的切线，设所求切线为()2y k x =+由()242y x y k x ⎧=⎪⎨=+⎪⎩及0k ≠得，242y y k ⎛⎫=-⎪⎝⎭2480y y k -+=，依题意24480k ⎛⎫-⨯= ⎪⎝⎭，解得2k =±切线方程为)2y x =+【点睛】本题主要考查双曲线的方程及简单性质，待定系数法求抛物线方程以及直线与抛物线的位置关系，属于中档题.在解题过程中需要用“点斜式”、“斜截式”设直线方程时，一定不要忘记讨论直线斜率不存在的情况，这是解析几何解题过程中容易出错的地方.例8．已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b -=>>.（1）求双曲线C 的方程；（2）若直线l ：y kx =C 恒有两个不同的交点A ，B ，求k 的取值范围.【答案】（1）2213x y -=；（2）3331,,,1333⎛⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 【解析】 【分析】（1）首先根据离心率可以得到a 与b 的关系是223a b ，应用此关系将双曲线方程化简，接下来将点P 的坐标代入方程，整理后即可得到曲线C 的方程；（2）联立直线l 与双曲线C 的方程，消去y 项，可以得到关于x 的一元二次方程，直线与双曲线有两个不同的交点，则关于x 的一元二次方程有两个不相等的解，于是可得关于k 的不等式组，通过解不等式组求出k 的取值范围. 【详解】（1）由e =2243c a =，所以223a b ，故双曲线方程可化为222213x y b b-=，将点P 代入双曲线C 的方程，解得21b =，所以双曲线C 的方程为2213x y -=；（2）联立直线与双曲线方程，22330y kx x y ⎧=+⎪⎨--=⎪⎩()221390k x ⇒---=， 由题意得，()2227213(9)0130k k k ⎧∆=--⨯->⎪⎨-≠⎪⎩， 解得11k -<<且k ≠， 所以k的取值范围为3331,,,1333⎛⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 【点睛】本题考查双曲线标准方程的求法，以及直线与双曲线的位置关系，属于中档题. 题型五：弦长问题相交弦AB 的弦长2122122124)(11x x x x k x x k AB -++=-+=ak ∆+=21 或 2122122124)(1111y y y y k y y k AB -++=-+=ak ∆+=21 b. 中点),(00y x M , 2210x x x+=， 2210y y y += 例9．已知中心在原点的双曲线的渐近线方程是y =，且双曲线过点.（1）求双曲线的方程；（2）过双曲线右焦点F 作倾斜角为4π的直线交双曲线于A 、B 两点，求AB . 【答案】（1）2213y x -=；（2）6. 【解析】 【分析】（1）设所求双曲线的方程为223x y λ-=，将点的坐标代入双曲线的方程，求得λ的值，由此可得出所求双曲线的方程；（2）可得出直线AB 的方程为2y x =-，设点()11,A x y 、()22,B x y ，将直线AB 的方程与双曲线的方程联立，列出韦达定理，利用弦长公式可求得AB . 【详解】（1）设双曲线方程为：223x y λ-=，将点的坐标代入双曲线的方程得3233λ=⨯-=，所以所求双曲线方程为2213y x -=；（2）易知双曲线右焦点的坐标为()2,0，设点()11,A x y 、()22,B x y ，直线AB 的方程为2y x =-，联立22233y x x y =-⎧⎨-=⎩，可得22470x x +-=， 1642772∆=+⨯⨯=，由韦达定理可得122x x +=-，1272x x =-.因此，126AB x x =-==.【点睛】本题考查利用双曲线的渐近线方程求双曲线的方程，同时也考查了直线截双曲线的弦长，考查计算能力，属于中等题.例10直线(,)y kx m k m =+∈R 与双曲线2213yx -=相交于A 、B 两点，O 为坐标原点，且OA OB ⊥．（1）求k 与m 满足的关系；（2）求证：点O 到直线AB 的距离是定值，并求AB 的最小值．【答案】（1）22233(m k k -=≠；（2）证明见解析，min AB =【解析】 【分析】(1)设点A ()11,x y ,B ()22,x y 联立直线方程y kx m =+和双曲线方程2213yx -=消元化简:()2223230k xkmx m ----=,然后利用韦达定理结合向量垂直即12120x x y y +=,可求得k 和m 满足的关系;(2)利用点到直线的距离公式求出距离表达式再利用(1)的结论即可证明距离是定值;利用弦长公式以及韦达定理表示出弦长表达式AB =然后利用换元配方求解最小值. 【详解】（1）设点A ()11,x y ,B ()22,x y ,联立2213y kx m y x =+⎧⎪⎨-=⎪⎩消y 得()2223230k x kmx m ----=,∴21222122302333k km x x k m x x k ⎧⎪-≠⎪⎪+=⎨-⎪⎪--=⎪-⎩,由OA OB ⊥得()()2212121212·10OA OB x x y y k x x km x x m =+=++++=代入化简可得k 和m 满足的关系为:22233(m k k -=≠;（2）由点到直线的距离公式可得:d ==,由(1)得22233m k -=代入可解得d =为定值; 由直线与双曲线交点弦弦长公式可得:AB ==令23kt -=(t≤3)化简可得AB =由t ≤3可得当113t=,t =3时min AB =【点睛】本题考查了直线与双曲线的位置关系以及弦长距离的问题,解决此类问题通常联立解直线与双曲线方程组成的方程组,消元利用韦达定理解决，运算过程常常采用设而不求,整体代入等解法,是高考常考题型.题型六：双曲线焦点弦问题例11．椭圆22221(0)x y a b a b +=>>()0,1．(Ⅰ)求椭圆方程(Ⅱ)过椭圆右焦点做斜率为1的直线交椭圆于,A B 两点，求线段AB 的长【答案】(Ⅰ22)?14x y +=；(Ⅱ8)?5.【解析】 【分析】(Ⅰ)由椭圆22221(0)x y a b a b +=>>()0,1，结合性质222a b c =+ ，列出关于a 、b 、c 的方程组，求出,a b ，由此能求出椭圆方程；(Ⅱ)设()11,A x y ，()22,B x y ，直线方程为y x =22440y x x y ⎧=⎪⎨+-=⎪⎩，得2580x -+=，由此利用根与系数关系、弦长公式能求出线段AB 的长． 【详解】(Ⅰ)椭圆22221(0)x y a b a b +=>>()0,1．∴由已知得c a =1b =， 解得2a =，∴椭圆方程为22 1.4x y +=设()11,A x y ，()22,B x y ，直线方程为y x =直线与椭圆联立22440y x x y ⎧=⎪⎨+-=⎪⎩，得2580x -+=，由根与系数关系知125x x +=，1285x x =，AB ==85==.【点睛】本题主要考查椭圆的方程与离心率、直线与椭圆的位置关系，是中档题．求椭圆标准方程的方法一般为待定系数法,根据条件确定关于,,a b c 的方程组，解出,,a b ，从而写出椭圆的标准方程．解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题．涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决，往往会更简单 .题型七：中点弦问题例12已知双曲线C ：22221x y a b -=(a ＞0，b ＞0)与椭圆2211814x y +=有共同的焦点，点A 在双曲线C 上．（1）求双曲线C 的标准方程；（2）以(1,2)P 为中点作双曲线C 的一条弦AB ，求弦AB 所在直线的方程．【答案】（1）22122x y -=；（2）230x y -+=． 【解析】 【分析】(1)由椭圆方程可求其焦点坐标，从而可得双曲线C 的焦点坐标，利用点(A 在双曲线C 上，根据双曲线定义122AF AF a -=,即可求出所求双曲线C 的方程；（2）设()()1122,,,A x y B x y ， ,A B 代入双曲线方程得2211222222x y x y ⎧-=⎨-=⎩，两方程相减,借助于()1,2P 为中点，可求弦AB 所在直线的斜率，利用点斜式可求其方程. 【详解】由已知椭圆方程求出其焦点坐标，可得双曲线C 的焦点为F 1(－2，0)，F 2(2，0)， 由双曲线定义122AF AF a -=2a =，所以a =2422b =-=，所以所求双曲线的标准方程为22122x y -=．（2）设()11,A x y ，()22,B x y ，因为A ，B 在双曲线上，所以2211222222x y x y ⎧-=⎨-=⎩①②， ①－②得()()()()121212120x x x x y y y y -+--+=，所以121212122142y y x x x x y y -+===-+，12AB k =， 故弦AB 所在直线的方程为()1212y x -=-，即230x y -+=． 【点睛】本题主要考查椭圆的方程与性质，双曲线的定义、双曲线的方程及“点差法”的应用，属于中档题.对于有关弦中点问题常用“ 点差法”，其解题步骤为：①设点（即设出弦的两端点坐标）；②代入（即代入圆锥曲线方程）；③作差（即两式相减，再用平方差公式分解因式）；④整理（即转化为斜率与中点坐标的关系式），然后求解.题型八：双曲线面积问题例13．已知双曲线C的焦点坐标为1F，2(F ，实轴长为6． （1）求双曲线C 标准方程；（2）若双曲线C 上存在一点P 使得12PF PF ⊥，求12PF F △的面积．【答案】（1）2219x y -= （2）1【解析】 【分析】（1）由题意知，c =3a ＝，求出b ，即可求解对应双曲线方程； （2）由垂直可得22212PF F P +=，再结合第一定义可得126PF PF -=，联立求解求出12PF PF ⋅，即可求解 【详解】（1）由条件得10c =，26a ＝，3a ＝，∴1b ＝，∴双曲线方程为：2219x y -=． （2）由双曲线定义知126PF PF -=且22212(210)PF F P +=，联立解得122PF PF ⋅=，∴12PF F △的面积为：21112PF PF ⋅=． 【点睛】本题考查双曲线标准方程的求法，焦点三角形面积的求法，属于基础题例14．如图，O 为坐标原点，椭圆22122:1(0)x y C a b a b +=>>的左，右焦点分别为12,F F ，离心率为1e ，双曲线22222:1(0,0)-=>>x y C a b a b的左，右焦点分别为3F ，4F ，离心率为2e ，已知12223e e =，1422F F =+．（1）求1C ，2C 的方程；（2）过1F 作1C 的不垂直于y 轴的弦AB ，M 为弦AB 的中点，当直线OM 与2C 交于P ，Q 两点时，求四边形APBQ 面积的最小值．【答案】（1）221:13+=x C y ，222:13x C y -=；（2）22 【解析】【分析】 (1)由123e e =可推出223a b ,从而()1,0F ,()42,0F b ,因此142F F b =+,推出1b =,a =从而得到12,C C 的方程;(2)设直线AB 的方程为1x my =-,联立22113x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩,利用韦达定理和中点坐标公式求出223,33m M m m -⎛⎫ ⎪++⎝⎭,从而得到直线PQ 的方程为3m y x =-,再联立22313m y x x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩,由韦达定理和弦长公式求出PQ ,再利用点到直线的距离公式求出A 到直线PQ 的距离以及B 到直线PQ 的距离,进而得到四边形APBQ 的面积的最小值. 【详解】(1)∵12e e =,3=,∴44489a b a -=,即223a b ,∴()1,0F ,()42,0F b ,∴1422F F b =+=∴1b =,a =∴1C 的方程为2213x y +=,2C 的方程为2213x y -=.(2)依题意,直线AB 的方程可设为1x my =-,设()11,A x y ,()22,B x y ,由22113x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 可得()223220m y my +--=, ∴12223m y y m +=+,12223y y m -=+,∴()12122623x x m y y m -+=+-=+,∴AB 中点坐标为223,33m M m m -⎛⎫⎪++⎝⎭, ∴直线PQ 的方程为3m y x =-, 由22313m y x x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩消去y ,可得()2239m x -=, ∴230m ->且2293x m =-,2223m y m=-,∴PQ ==设A 到直线PQ 的距离为d ,则B 到直线PQ 的距离也为d ,∴2d =,∵()()1122330mx y mx y ++<,∴21232m y y d +-===,又∵12y y -===∴2d =∴四边形APBQ的面积11222S PQ d =⋅⋅=⋅=∴当0m =时,S 取得最小值,且minS =即四边形APBQ 面积的最小值为【点睛】本题考查了直线与圆锥曲线的综合应用问题,考查计算能力,需要学生对相关知识熟练掌握且灵活应用,难度较大.题型九：双曲线求参数例15．已知椭圆C 的方程为()222210x y a b a b +=>>，双曲线22221x y a b-=的一条渐近线与x轴所成的夹角为30，且双曲线的焦距为42.(1)求椭圆C 的方程；(2)设12,F F 分别为椭圆C 的左，右焦点，过2F 作直线l (与x 轴不重合)交椭圆于A ，B 两点，线段AB 的中点为E ，记直线1F E 的斜率为k ，求k 的取值范围.【答案】（1）22162x y +=；（2）66⎡⎢⎣⎦. 【解析】试题分析：（1）根据题意列出关于a 、b 、c 的方程组，结合性质222a b c =+ ， 求出a 、b 、c ，即可得结果；（2）设()11,A x y ，()22,B x y ，设直线AB 的方程为2x ty =+ ，直线与曲线联立，根据韦达定理，将斜率k 用t 表示，利用基本不等式即可得结果. 试题解析：(1)一条渐近线与x 轴所成的夹角为30︒知3tan30b a =︒=，即223a b =， 又22c =228a b +=，解得26a =，22b =，所以椭圆C 的方程为22162x y +=.(2)由(1)知()22,0F ，设()11,A x y ，()22,B x y ，设直线AB 的方程为2x ty =+.联立221622x y x ty ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得()223420t y ty ++-=， 由12243t y y t -+=+得122123x x t +=+， ∴2262,33t E t t -⎛⎫⎪++⎝⎭， 又()12,0F -，所以直线1F E 的斜率222236623tt t k t t -+==+--+. ①当0t =时，0k =；②当0t ≠时，2166t k t t t==≤++，即k ⎛∈ ⎝⎦. 综合①②可知，直线1F E 的斜率k的取值范围是⎡⎢⎣⎦. 例16．已知命题:p 实数m 满足22540m am a -+<，其中0a >；命题:q 方程22135x y m m +=--表示双曲线. （1）若1a =，p 和q 均为真命题，求实数m 的取值范围； （2）若q 是p 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）(3,4)；（2）5[,3]4. 【解析】 【分析】（1）化简命题p 和命题q ，求出1a =时命题p 的表示，根据题意即可求出m 的范围. （2）由q 是p 的充分不必要条件得q p ⇒但p q ，所以{|}m m q ∈ {|}m m p ∈，从而得出答案. 【详解】由22540m am a -+<，得()(4)0m a m a --<， 因为0a >，所以4a m a <<，即命题p :4a m a <<.由方程22135x y m m +=--表示双曲线，可得：(3)(5)0m m --<解得35m <<，即命题q ：35m <<.（1）若1a =，则命题p ：14m << ， 因为命题p 和q 均为真命题，所以1435m m <<⎧⎨<<⎩，所以34m <<，所以符合题意的m 的取值范围为：(3,4).（2）若q 是p 的充分不必要条件，则有：q p ⇒但pq ，所以{|}m m q ∈ {|}m m p ∈，即{|35}m m << {|4}m a m a <<所以345a a ≤⎧⎨≥⎩，解得534a ≤≤所以实数a 的取值范围是5[,3]4. 【点睛】本题第一问以命题为背景考查一元二次不等式，双曲线标准方程的性质，第二问考查必要不充分条件，属于中档题.题型十：双曲线离心率问题例17．过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一个焦点F 作一条渐近线的垂线，若垂足恰在线段OF (O 为原点)的垂直平分线上，求双曲线的离心率.【解析】 【分析】设F 为右焦点，过F 作FP 垂直于一条渐近线，垂足为P ，过P 作PM OF ⊥于M .由射影定理知2||||||PF FM FO =，可得,,a b c 的关系，可求得双曲线的离心率. 【详解】如图所示，不妨设F 为右焦点，过F 作FP 垂直于一条渐近线，垂足为P ，过P 作PM OF⊥于M .由已知得M 为OF 的中点，由射影定理知2||||||PF FM FO =， 又(c,0)F ，渐近线OP 的方程为0bx ay -=，所以22bc PF b b a ==+，于是22cb c =⋅， 即22222b c a b ==+，因此22a b =，故2212c b e a a==+=.【点睛】本题考查双曲线的简单的几何性质，求双曲线的离心率，属于基础题.例18．双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左右焦点为12,F F ，P 是双曲线上一点，满足212PF F F =，直线1PF 与圆222x y a +=相切，求双曲线的离心率.【答案】53e = 【解析】 【分析】设直线1PF 与圆222x y a +=相切点M ，连接OM ，根据212PF F F =和直线1PF与圆222x y a +=相切得到2b a c =+，再求离心率即可.【详解】设直线1PF 与圆222x y a +=相切点M ，连接OM ，如图所示：因为212PF F F =，所以12F F P 为等腰三角形， 又因为1OM PF ⊥，所以1114MF PF =. 在1RT MFO △中，222211MF OF OMc a b =-=-=，所以14PF b =.因为122PF PF a -=，所以422b c a -=，即2b a c =+. 所以22242b a c ac =++，2222442c a a c ac -=++223520c a ac --=，23250e e --=，解得53e =或1e =-（舍去）. 【点睛】本题主要考查双曲线的离心率，同时考查了直线与圆的位置关系，属于中档题.题型十一：双曲线渐近线问题例19．已知双曲线C 与椭圆22:14924x y E +=有公共的焦点,且离心率为54e =,求双曲线C的方程及其渐近线方程.【答案】双曲线C 的方程为221169x y -=,渐近线方程为34y x . 【解析】 【分析】椭圆22:14924x y E +=的焦点为(5,0)-和(5,0),可得5c =,根据双曲线C 与椭圆22:14924x y E +=有公共的焦点,可得双曲线C 的离心率为54c e a ==,即可求得答案.【详解】椭圆22:14924x y E +=的焦点为(5,0)-和(5,0),∴5c =,双曲线C 的离心率为54c e a ==, ∴4a =,3b =,双曲线C 的焦点在x 轴上,∴双曲线C 的方程为221169x y -=,渐近线方程为34yx . 【点睛】本题主要考查了求双曲线的方程及其渐近线方程,解题关键是掌握圆锥曲线的基础知识,考查了分析能力和计算能力,属于基础题.例20．12F F 、为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右两焦点，过2F 作垂直于x 轴的直线交双曲线与点P 且1230PF F ∠=，求双曲线的渐近线方程．【答案】y = 【解析】 【分析】设2=PF m ，在12Rt PF F ∆中，根据1230PF F ∠=，可以求出112PF F F 、的长，根据双曲线的定义可以求出2a m =，求出离心率，利用c =a b 、之间的关系，最后求出双曲线的渐近线方程. 【详解】设2=PF m ，所以1=2PF m ，122F F c ==，由双曲线定义可知：122PF PF a m -==2222222312c a b b e e a a a +∴=====+222b a ∴=ba∴=y =. 【点睛】本题考查了求双曲线的渐近线方程，考查了双曲线的定义，考查了数学运算能力. 题型十一：双曲线定值问题例21．已知O 为坐标原点，F 是抛物线C ：24x y =的焦点，M 是抛物线C 上位于第一象限内的任意一点，过M ，F ，O 三点的圆的圆心为Q .（1）是否存在过点F ，斜率为k 的直线l ，使得抛物线C 上存在两点关于直线l 对称？若存在，求出k 的范围；若不存在，说明理由；（2）是否存在点M ，使得直线MQ 与抛物线C 相切于点M ？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，说明理由.【答案】（1）不存在，理由见解析；（2）存在，M 【解析】 【分析】(1)． 先假设存在，设直线l 的方程为1y kx =+，若A,B 两点关于直线l 对称，则直线AB 的方程为1y x m k=-+，联立直线AB 与抛物线方程，求A ，B 两点的中点N ，再将N 带入直线l 中，在判断是否能求出k 的范围；(2)． 将抛物线化为二次函数形：24x y =，利用导数的几何意义，求得切线MQ ，结合Q 点的宗坐标值，求得Q 的横坐标；最后根据0FM QH ⋅=，列出关于关于M 点横坐标x 的方程，并求解即可。
高二数学双曲线知识点及经典例题分析
9.已知双曲线 的焦距为 ，且双曲线的一条渐近线与直线 垂直，
则双曲线的方程为
（A） （B） （C） （D）
10．已知 是双曲线 （ ）的一个焦点，则 ．
11．已知双曲线过点 ，且渐近线方程为 ，则该双曲线的标准方程为．
12．已知双曲线E： – =1（a>0，b>0）．矩形ABCD的四个顶点在E上，AB，CD的中点为E的两个焦点，且2|AB|=3|BC|，则E的离心率是_______．
（Ⅰ）求双曲线的离心率；
（Ⅱ）设 被双曲线所截得的线段的长为4，求双曲线的方程．
2.已知双曲线 的左、右焦点分别为 ， ，过点 的动直线与双曲线相交于 两点．
（I）若动点 满足 （其中 为坐标原点），求点 的轨迹方程；
（II）在 轴上是否存在定点 ，使 · 为常数？若存在，求出点 的坐标；若不存在，请说明理由．
（A） （B） （C） （D）
3．已知双曲线 ： 的离心率 ，且其右焦点 ，则双曲线 的方程为（ ）
（A） （B） （C） （D）
4．若双曲线 ： 的左、右焦点分别为 ， ，点 在双曲线 上，且 ，则 等于（ ）
（A） （B） （C） （D）
5．已知 ， 为双曲线 的左，右顶点，点 在 上，△ 为等腰三角形，且顶角为 ，则 的离心率为（ ）
3.已知双曲线C的方程为 ，离心率 ，顶点到渐近线的距离为 。
（1）求双曲线C的方程；
（2）如图，P是双曲线C上一点，A，B两点在双曲线C的两条渐近线上，且分别位于第一、二象限，若 ，求 面积的取值范围
双曲线专题练习题
1．下列双曲线中，渐近线方程为 的是（ ）
（A） （B） （C） （D）
2．已知双曲线 （ ， ）的一个焦点为 ，且双曲线的渐近线与圆 相切，则双曲线的方程为（ ）
高中数学双曲线习题及答案解析
双曲线习题练习及答案解析1、已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的一条渐近线方程为y x =，且与椭圆221123x y +=有公共焦点.则C 的方程为（ ）A ．221810x y -=B ．22145x y -=C ．22154x y -=D ．22143x y -=【答案】B 因为双曲线的一条渐近线方程为2y x =，则b a =.① 又因为椭圆221123x y +=与双曲线有公共焦点，双曲线的焦距26c =，即c ＝3，则a 2＋b 2＝c 2＝9.②.由①②解得a ＝2，b ＝，则双曲线C 的方程为22145x y -=.故选：B.2已知双曲线22221x y a b-=（a 、b 均为正数）的两条渐近线与直线1x =-围成的三）A.B. C. D. 2【答案】D解：双曲线的渐近线为by x a=±，令1x =-，可得b y a=，不妨令1,b A a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，1,b B a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，所以2b AB a =，所以12AOBA S AB x =⋅=AB ∴=，即2b a =b a =2c e a ===；故选：D3已知双曲线C 的中心为坐标原点，一条渐近线方程为2y x =，点()22,2P -在C 上，则C 的方程为A. 22124x y -=B. 221714x y -=C. 22142x y -=D. 221147y x -=【答案】B由于C 选项的中双曲线的渐近线方程为22y x =±，不符合题意，排除C 选项.将点()22,2P -代入A,B,D 三个选项，只有B 选项符合，故本题选B.4已知双曲线C ：2218y x -=的左、右焦点分别为1F 、2F ，O 为坐标原点，点P在C 的一条渐近线上，若2OP PF =，则12PF F △的面积为 （ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C双曲线C ：2218y x -=中，1(3,0)F -，2(3,0)F ，渐近线方程：y =±，因2OP PF =，则点P 在线段2OF 的中垂线：32x =上，则P 点纵坐标y 0有0||y =所以12PF F △面积121201||||2PF F SF F y =⋅=故选：C 5已知双曲线C ：()22102y x m m m -=>+，则C 的离心率的取值范围为（ ）A ．(B ．()1,2C ．)+∞D ．()2,+∞【答案】C双曲线()22102y x m m m -=>+的离心率为e ===，因为0m >，所以e =>C的离心率的取值范围为)+∞.故选：C.6若双曲线2288ky x -=的焦距为6，则该双曲线的离心率为（ ）A.4B.32C. 3D.103因为2288ky x -=为双曲线，所以0k ≠，化为标准方程为：22181y x k -=. 由焦距为6可得：3c ==，解得：k =1.所以双曲线为22181y x -=.所以双曲线的离心率为4c e a ===.故选：A7已知1F ，2F 分别是双曲线22124y x -=的左，右焦点，若P 是双曲线左支上的点，且1248PF PF ⋅=．则12F PF △的面积为（ ） A. 8B. 16C. 24D. 【答案】C 因为P 是双曲线左支上的点，所以2122PF PF a -==，22124100F F c ==． 在12F PF △中，()22221212121212121212cos 22cos F F PF PF PF PF F PF PF PF PF PF PF PF F PF=+-∠=-+-∠，即110049696cos F PF=+-∠，所以1cos 0F PF ∠=，12in 1s P F F =∠，故12F PF △的面积为121242PF PF ⋅=．故选：C ．8已知双曲线()222:1016x y C a a -=>的一条渐近线方程为20x y -=，1F ，2F 分别是双曲线C 的左、右焦点，P 为双曲线C 上一点，若15PF =，则2PF = A.1B.9C.1或9D.3或93.B 由题意知42a=，所以2a =，所以c ==，所以152PF a c =<+=+，所以点Р在双曲线C 的左支上，所以214PF PF -=，所以29PF =.故选B9如图，F 1，F 2分别是双曲线22221x y a b-=(a ＞0，b ＞0)的两个焦点，以坐标原点O为圆心，|OF 1|为半径的圆与该双曲线左支交于A ，B 两点，若△F 2AB 是等边三角形，则双曲线的离心率为( )B. 211【答案】D 连接1AF ，依题意知：21AF =，12122c F F AF ＝＝，所以21121)a AF AF AF =-=1c e a ===. 10已知双曲线22214x y b-=()0b >的左右焦点分别为1F 、2F ，过点2F 的直线交双曲线右支于A 、B 两点，若1ABF ∆是等腰三角形，且120A ∠=︒．则1ABF ∆的周长为（ ） A．83+ B．)41C．83+ D．)22【答案】A双曲线的焦点在x 轴上，则2,24a a ==；设2||AF m =，由双曲线的定义可知：12||||24AF AF a m =+=+， 由题意可得：1222||||||||||AF AB AF BF m BF ==+=+， 据此可得：2||4BF =，又 ，∴12||2||8BF a BF =+=，1ABF 由正弦定理有:11||||sin120sin 30BF AF =︒︒,即11|||BF AF =所以8)m =+，解得：m =1ABF ∆的周长为： 11||||||AF BF AB ++=122(4)8162833m ++=+⨯=+故选：A11已知双曲线C ：2218y x -=的左、右焦点分别为1F 、2F ，O 为坐标原点，点P在C 的一条渐近线上，若2OP PF =，则12PF F △的面积为 （ ） A．B．C． D．【答案】C双曲线C ：2218y x -=中，1(3,0)F -，2(3,0)F，渐近线方程：y =±，因2OP PF =，则点P 在线段2OF 的中垂线：32x =上，则P 点纵坐标y 0有0||y = 所以12PF F △面积121201||||2PF F S F F y =⋅=故选：C12双曲线22221x y a b-=与22221x y a b -=-的离心率分别为12,e e ，则必有（ ）A. 12e e =B. 121e e ⋅=C.12111e e += D. 2212111e e += 【答案】D13多选以已知双曲线的虚轴为实轴、实轴为虚轴的双曲线叫做原双曲线的共轭双曲线，则以下说法，正确的有（ ） A. 双曲线与它的共轭双曲线有相同的准线 B. 双曲线与它的共轭双曲线的焦距相等 C. 双曲线与它的共轭双曲线的离心率相等 D. 双曲线与它的共轭双曲线有相同的渐近线 【答案】BD由双曲线对称性不妨令双曲线C 的方程为：22221(0,0)x y a b a b-=>>，则其共轭双曲线C '的方程为22221y x b a-=，对于A ，双曲线C 的准线垂直于x 轴，双曲线C '的准线垂直于y 轴，A 不正确；对于B ，双曲线C 和双曲线C '的半焦距均为：c =，所以焦距相同，B 正确；对于C ，由B 选项知，双曲线C 的离心率为1ce a=，而双曲线C '的离心率为2c e b =，而a ，b 不一定等，C 不正确；对于D ，双曲线C 和双曲线C '的渐近线均为by x a=±，D 正确. 故选：BD13多选已知双曲线C ：()222104x y b b-=>的离心率为72，1F ，2F 分别为C 的左右焦点，点P 在C 上，且26PF =，则（ ）A ．7b =B ．110PF =C ．OP =D ．122π3F PF ∠=【答案】BCD72=，可得b =A 不正确，而7c ==，因为27||6c PF =>=，所以点P 在C 的右支上，由双曲线的定义有：121||||||624PF PF PF a -=-==，解得1||10PF =，故选项B 正确，在12PF F △中，有2222221271076cos cos 02727OP OP POF POF OP OP +-+-∠+∠=+=⨯⨯⨯⨯，解得||OP =，22212106141cos 21062F PF +-∠==-⨯⨯，所以1223F PF π∠=，故选项C ，D 正确. 故选：BCD.多选若方程22151x y t t +=--所表示的曲线为C ，则下面四个命题中正确的是A ．若1＜t ＜5，则C 为椭图B ．若t ＜1．则C 为双曲线 C ．若C 为双曲线，则焦距为4D ．若C 为焦点在y 轴上的椭圆，则3＜t ＜5 【答案】BD 14多选已知双曲线C 1：)0,0(12222>>=-b a b y a x 的实轴长是2，右焦点与抛物线C 2：y 2＝8x 的焦点F 重合，双曲线C 1与抛物线C 2交于A 、B 两点，则下列结论正确的是 ( ▲ )A ．双曲线C 1的离心率为2 3B ．抛物线C 2的准线方程是x ＝－2 C ．双曲线C 1的渐近线方程为y ＝±3x D. |AF |＋|BF |＝320 【答案】BC【解析】由题意可知对于C 1：()0012222>>=-b a by a x ，，实轴长为2a =2，即a =1，而C 2：y 2＝8x 的焦点F 为（2，0），所以c =2，则双曲线C 1的方程为1322=-yx ，则对于选项A ，双曲线C 1的离心率为212==a c ，所以选项A 错误；对于选项B ，抛物线C 2的准线方程是x ＝－2，所以选项B 正确；对于选项C ，双曲线C 1的渐近线方程为y ＝±abx ＝±3x ，所以选项C 正确；对于选项D ，由y 2＝8x 与1322=-y x 联立可得A （3，62），B （3，62-），所以由抛物线的定义可得 |AF |＋|BF |＝10433=++=++p x x B A ，所以选项D 错误，综上答案选BC.14多选12,F F 分别是双曲线2221(0)y x b b-=>的左右焦点，过2F 作x 轴的垂线与双曲线交于,A B 两点，若1ABF 为正三角形，则（ ）A.b = B.C. 双曲线的焦距为D.1ABF 的面积为【答案】ABD在正三角形1ABF 中，由双曲线的对称性知，12F F AB ⊥，12||2||AF AF =， 由双曲线定义有：12||||2AF AF -=，因此，1||4AF =，2||2AF =，12||F F ==即半焦距c =b =，A 正确；双曲线的离心率1ce ==B 正确；双曲线的焦距12F F =C 不正确；1ABF 的面积为21||4AF =D 正确.故选：ABD15多选已知双曲线C 的左、右焦点分别为1F 、2F ，过2F 的直线与双曲线的右支交于A 、B 两点，若122||||2||AF BF AF ==，则( )A. 11AF B F AB ∠=∠B. 双曲线的离心率e =C. 直线的AB 斜率为±D. 原点O 在以2F 为圆心，2AF 为半径的圆上 【答案】ABC 如图：设122||||2||2(0)AF BF AF m m ===>，则22||||||3AB AF BF m =+=，由双曲线的定义知，12||||22AF AF m m a -=-=，即2m a =；12||||2BF BF a -=， 即1||22BF m a -=，∴1||3||BF m AB ==，即有11AF B F AB ∠=∠，故选项A 正确；由余弦定理知，在1ABF 中，22222211111||||||4991cos 2||||2233AF BF AB m m m AF B AF BF m m +-+-∠===⋅⋅，在△12AF F 中，22222212121112||||||441cos cos 2||||223AF AF F F m m c F AB AF B AF AF m m +-+-∠===∠=⋅⋅， 化简整理得，222121144c m a ==，∴离心率ce a ==，故选项B 正确； 在△21AF F中，2222222211134443cos 224m m c m m c m AF F c m cm -+--∠===⋅⋅，21sin AF F ∠==，∴212121sin tan cos AF F AF F AF F ∠∠==∠ ∴根据双曲线的对称性可知，直线AB的斜率为±，故选项C 正确； 若原点O 在以2F 为圆心，2AF 为半径的圆上，则2c m a ==，与3c a =不符，故选项D 错误．故选：ABC ．16多选已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点为F，一条渐近线过点(，则下列结论正确的是（ ）A. 双曲线CB. 双曲线C 与双曲线22124y x -=有相同的渐近线C. 若F 到渐近线的距离为2，则双曲线C 的方程为22184x y -=D. 若直线2:a l x c=与渐近线围成的三角形面积为则焦距为【答案】BCD 渐近线的方程为by x a=±，因为一条渐近线过点(，故b a ⨯=a ===，故A 错误.又渐近线的方程为2y x =±，而双曲线22124y x -=的渐近线的方程为2y x =±， 故B 正确.若F 到渐近线的距离为2，则2b =，故a =C 的方程为22184x y -=，故C 正确. 直线2:a l x c =与渐近线的两个交点的坐标分别为：2,a ab c c ⎛⎫ ⎪⎝⎭及2,a ab cc ⎛⎫- ⎪⎝⎭，故2122a ab c c =⨯⨯⨯即23a b =，而a =，故b =，a =，所以23=，所以c =，故焦距为D 正确.故选：B CD.16多选已知点P 在双曲线221169x y -=上，1F ，2F 分别是左、右焦点，若12PF F △的面积为20，则下列判断正确的有（ ） A. 点P 到x 轴的距离为203B. 12503PF PF += C. 12PF F △为钝角三角形 D. 123F PF π∠=【答案】BC由双曲线方程得4a =，3b =，则5c =，由△12PF F 的面积为20，得112||10||2022P P c y y ⨯⨯=⨯=，得||4P y =，即点P 到x 轴的距离为4，故A 错误， 将||4P y =代入双曲线方程得20||3P x =，根据对称性不妨设20(3P ，4)，则213||3PF =， 由双曲线的定义知12||||28PF PF a -==，则11337||833PF =+=， 则12133750||||333PF PF +=+=，故B 正确，在△12PF F 中，113713||210||33PF c PF =>=>=， 则24012020553PF k -==>-，21PF F ∠为钝角，则△12PF F 为钝角三角形，故C 正确， 2222121212121212121337641002||||||(||||)2||||10033cos 13372||||2||||233PF PF F F PF PF PF PF F PF PF PF PF PF -+⨯⨯+--+-∠===⨯⨯3618911121337133729⨯=-=-≠⨯⨯⨯，则123F PF π∠=错误，故正确的是BC ，故选16双曲线:C 2214x y -=的渐近线方程为__________，设双曲线1:C 22221(0,0)x y a b a b -=>>经过点(4，1)，且与双曲线C 具有相同渐近线，则双曲线1C 的标准方程为__________．【答案】12y x =± 221123y x -=【解析】(1)双曲线:C 2214x y -=的焦点在y 轴上，且1,2a b ==，渐近线方程为ay x b=±， 故渐近线方程为12y x =±；(2)由双曲线1C 与双曲线C 具有相同渐近线，可设221:4y C x λ-=，代入(4,1)有224134λλ-=⇒=-，故212:34x C y -=-，化简得221123y x -=.17已知O 为坐标原点，抛物线C ：()220y px p =>的焦点为F ，P 为C 上一点，PF 与x 轴垂直，Q 为x 轴上一点，且PQ OP ⊥，若6FQ =，则PF =______. 【答案】3抛物线C ：22y px = (0p >)的焦点,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，∵P 为C 上一点，PF 与x 轴垂直，所以P 的横坐标为2p ，代入抛物线方程求得P 的纵坐标为p ±，不妨设(,)2pP p ， 因为Q 为x 轴上一点，且PQ OP ⊥，所以Q 在F 的右侧， 又||6FQ =，(6,0)2pQ +，(6,)PQ p =-，因为PQ OP ⊥，所以2602pPQ OP p ⋅=⨯-=， 0,3p p >∴=，所以PF =3故答案为△3.若双曲线1C ：()2230y x λλ-=≠的右焦点与抛物线2C ：28y x =的焦点重合，则实数λ=（ ） A. 3±B.C. 3D. -3【答案】D双曲线1C 的右焦点与抛物线的焦点(2,0)重合，所以双曲线1C 方程化：()22103y x λλλ-=≠，再转化为：()22103x y λλλ-=<--，所以23a λ=-， 2b λ=-，所以222433c a b λλλ=+=--=-，所以c =2=平方得 3.λ=-故选：D.17设双曲线：的右焦点为，点，已知点在双曲线的左支上，若的周长的最小值是，则双曲线的标准方程是__________，此时，点的坐标为__________．【答案】【解析】如下图，设为双曲线的左焦点，连接，，则，，故的周长， 因为，所以的周长， 因为的周长的最小值是，，，所以，的方程为， 当的周长取最小值时，点在直线上，因为，，所以直线的方程为，联立，解得，或（舍去）， 故的坐标为．故答案为：，．C 2221(0)y x b b-=>F ()0,Q b P CPQF △8C P 2214y x -=⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭D C PD QD QD QF =2PFPD =+PQF△2l PQ PF QF PQ PD QD =++=+++PQ PD QD +≥=PQF△2l ≥PQF △82228,9c b +=+=22221cbab2b =c =C 2214y x -=PQF △P QD ()0,2Q ()D QD 25y x =+222514y x y x ⎧=+⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩1x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩4x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩P 2⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭2214y x -=,12⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭18已知双曲线()221112211:10,0x y C a b a b -=>>与()222222222:10,0y x C a b a b -=>>有相同的渐近线，若1C 的离心率为2，则2C 的离心率为__________.双曲线()221112211:10,0x y C a b a b -=>>的渐近线方程为11b y x a =± ，()222222222:10,0y x C a b a b -=>>的渐近线方程为22a y x b =±，由题意可得1212b a a b =，由1C 的离心率为2得：22211121()b e a ==+ ，则222()3a b = ， 所以设2C 的离心率为2e ，则22222141()133b e a =+=+=，故2=e ，故答案为：19知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>，焦点()()()12,0,00F c F c c ->，，左顶点(),0A a -，若过左顶点A 的直线和圆22224a a x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭相切，与双曲线在第一象限交于点P ，且2PF x ⊥轴，则直线的斜率是 _____， 双曲线的离心率是 _________. 【答案】如图，设圆22224a a x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭的圆心为B ，则圆心坐标(,0)2a B ，半径为2a ，则32a AB =，设过左顶点A 的直线和圆22224a a x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭相切于点C ，连接BC ，则2a BC =，所以AC ==，得tan aBC BAC AC ∠===；2PF x ⊥轴，由双曲线的通径可得，22b PF a=，又2AF a c =+，所以222tan PF AF b a BAC a c ∠===+，化简得24(40e -=，求解得e =.已知双曲线C ：﹣y 2＝1．（Ⅰ）求以C 的焦点为顶点、以C 的顶点为焦点的椭圆的标准方程； （Ⅱ）求与C 有公共的焦点，且过点（2，﹣）的双曲线的标准方程，并且求出这条双曲线的实轴长、焦距、离心率以及渐近线方程．解：（Ⅰ）双曲线C ：﹣y 2＝1的焦点为（±，0），顶点为（±2，0），设椭圆的标准方程为+＝1（a ＞b ＞0），可得c ＝2，a ＝，b ＝＝1，则椭圆的方程为+y 2＝1；（Ⅱ）设所求双曲线的方程为﹣＝1（m ．n＞0），由题意可得m 2+n 2＝5，﹣＝1，解得m ＝，n ＝，即所求双曲线的方程为﹣＝1，则这条双曲线的实轴长为2、焦距为2、离心率为以及渐近线方程为y＝±x ．20已知双曲线C ：﹣＝1（a ＞0，b ＞0）与双曲线﹣＝1有相同的渐近线，且经过点M （，﹣）．（Ⅰ）求双曲线C 的方程；（Ⅱ）求双曲线C 的实轴长，离心率，焦点到渐近线的距离．：（Ⅰ）∵双曲线C 与双曲线﹣＝1有相同的渐近线，∴设双曲线的方程为（λ≠0），代入M （，﹣）．得λ＝，故双曲线的方程为：．（Ⅱ）由方程得a ＝1，b ＝，c ＝，故离心率e ＝． 其渐近线方程为y ＝±x ；实轴长为2， 焦点坐标F （，0），解得到渐近线的距离为：＝．21已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>，点)是双曲线的一个顶点．（1）求双曲线的方程；（2）经过双曲线右焦点2F 作倾斜角为30°的直线，直线与双曲线交于不同的两点A ，B ，求AB ．（1）由题可得c a a ⎧=⎪⎨⎪=⎩3c =，b =，所以双曲线的方程为22136x y-=；（2）双曲线22136x y -=的右焦点为()23,0F所以经过双曲线右焦点2F 且倾斜角为30°的直线的方程为3)y x =-．联立221363)x y y x ⎧-=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩得256270x x +-=，设()11,A x y ，()22,B x y ，则1265x x +=-，12275x x =-．所以5AB ==． 22已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b -=>>与双曲线22162y x -=的渐近线相同，且经过点()2,3．（1）求双曲线C 的方程；（2）已知双曲线C 的左右焦点分别为12,F F ，直线l 经过2F ，倾斜角为3,4l π与双曲线C 交于,A B 两点，求1F AB 的面积．（1）设所求双曲线C 方程为2262y x λ-=，代入点()2,3得：223262λ-=，即12λ=-， 所以双曲线C 方程为221622y x -=-，即2213y x -=．（2）由（1）知：()()122,0,2,0F F -，即直线AB 的方程为()2y x =--．设()()1122,,,A x y B x y ，联立()22213y x y x ⎧=--⎪⎨-=⎪⎩得22470x x +-=，满足>0∆且122x x +=-，1272x x =-，由弦长公式得12||AB x x =-=6==，点()12,0F -到直线:20AB x y +-=的距离d ===所以111622F ABS AB d =⋅=⋅⋅=。
双曲线优秀经典例题讲解
双 曲 线是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面，它的最小半径为12 m ，上口半径为13 m ，下口半径为25 m ，高55 m.选择适当的坐标系，求出此双曲线的方程（精确到1m ）.解：如图8—17，建立直角坐标系xOy ，使A 圆的直径AA ′在x 轴上，圆心与原点重合.这时上、下口的直径CC ′、BB ′平行于x 轴，且C C '=13×2 (m)，B B '=25×2 (m).设双曲线的方程为12222=-by a x （a >0,b >0）令点C 的坐标为（13，y ），则点B 的坐标为（25，y－55）.因为点B 、C 在双曲线上，所以,1)55(12252222=--b y .112132222=-by解方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=--(2)11213(1) 1)55(122522222222b y b y 由方程（2）得 b y 125= （负值舍去）.代入方程（1）得,1)55125(12252222=--bb化简得 19b 2+275b －18150=0 （3） 解方程（3）得 b ≈25 (m).所以所求双曲线方程为：.162514422=-y x 例2. ABC ∆中，固定底边BC ，让顶点A 移动，已知4=BC ，且A B C sin 21sin sin =-，求顶点A 的轨迹方程．解：取BC 的中点O 为原点，BC 所在直线为x 轴，建立直角坐标系，因为4=BC ，所以B(0,2-)，)0,2(c ．利用正弦定理，从条件得2421=⨯=-b c ，即2=-AC AB ．由双曲线定义知，点A 的轨迹是B 、C 为焦点，焦距为4，实轴长为2，虚轴长为32的双曲线右支，点(1，0)除外，即轨迹方程为1322=-y x (1>x )． 变式训练3：已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的一条渐近线方程为x y 3=，两条准线的距离为l .（1）求双曲线的方程；（2）直线l 过坐标原点O 且和双曲线交于两点M 、N ，点P 为双曲线上异于M 、N 的一点，且直线PM ，PN 的斜率均存在，求k PM ·k PN 的值.典型例题（1）解：依题意有：.3,1,,12,3222222==⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+==b a c b a c aa b解得可得双曲线方程为.1322=-y x （2）解：设).,(,),,(0000y x N y x M --可得由双曲线的对称性,33,33,13.),,(222020220222020000-=-==---=++⋅--=⋅P P P P P P P P PNPM P P x y x y y x x x y y x x y y x x y y k k y x P 同理所以又则设所以.3333322202=-+--=⋅x x x x k k P P PNPM 例3. 设双曲线C ：1222=-y x 的左、右顶点分别为A 1、A 2，垂直于x 轴的直线m 与双曲线C 交于不同的两点P 、Q 。
双曲线专题复习考点技巧归纳+经典例题+变式训练+综合练习
双曲线专题复习讲义题型一 双曲线定义的应用例题1已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，点M 在双曲线的右支上，点N 为2F M的中点，O 为坐标原点，2||||2ON NF b -=，则该双曲线的离心率为( )A B ．2 C D 【答案】C【解析】由N 为2F M 的中点，所以1//ON MF ，且11||||2ON MF =，故01260F MF ∠=， 2121||||(||||)2ON NF MF MF a ∴-=-=，故2a b =，设双曲线的焦距为2c ，由224a b =可得222244()a b c a ==-，即c =，故双曲线的离心率为e =，故选C ． 例题2已知点P 是双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>右支上一点，1F 、2F 分别是双曲线的左、右焦点，I 为△12PF F 的内心，若121213IPF IPF IF F S S S =+成立，则双曲线的离心率为( )A ．3BCD ．4【答案】A【解析】设△12PF F 的内切圆的半径为r ．I 为△12PF F 的内心，由121213IPF IPF IF F SS S =+成立，可得121111||||22232PF r PF r c r ⋅=⋅+⨯⨯⋅．∴又12||||2PF PF a -=，1223a c ∴=⋅．232ce a∴==．故选A ． 【解题技巧提炼】双曲线上的点P 与其两个焦点F 1，F 2连接而成的三角形PF 1F 2称为焦点三角形.令|PF 1|＝r 1，|PF 2|＝r 2，∠F 1PF 2＝θ，因|F 1F 2|＝2c ，所以有(1)定义：|r 1－r 2|＝2a . (2)余弦公式：.(3)面积公式：一般地，在△PF 1F 2中，通过以上三个等式，所求问题就会顺利解决.题型二 与双曲线有关的轨迹问题例题1（2021•重庆质检）在平面直角坐标系中，一动圆C 与x 轴切于点(4,0)A ，分别过点(5,0)M -、(5,0)N 作圆C 的切线并交于点P （点P 不在x 轴上），则点P 的轨迹方程为( )A ．221(4)169x y x -=>B ．221(4)169x y x -=<-C ．221(4)2516x y x +=>D ．221(4)2516x y x +=<-【答案】A【解析】由题意，在平面直角坐标系中，一动圆C 与x 轴切于点(4,0)A ，圆的圆心在4x =上，分别过点(5,0)M -、(5,0)N 作圆C 的切线并交于点P （点P 不在x 轴上），与圆交于S ，T ，所以||||MA MS =，||||NA NT =，||||PS PT =，所以||||||||54(54)8PM PN AM AN -=-=+--=，P 满足双曲线的定义， 是双曲线的右支，除去A 点，故选A ．【解题技巧提炼】求解与双曲线有关的点的轨迹问题，常见的方法有两种：(1)列出等量关系，化简得到方程；(2)寻找几何关系，双曲线的定义，得出对应的方程．求解双曲线的轨迹问题时要特别注意：(1)双曲线的焦点所在的坐标轴；(2)检验所求的轨迹对应的是双曲线的一支还是两支；(3)求出方程后要注意满足方程的解的坐标的点，是否都在所求曲线上．题型三 由双曲线的标准方程求其简单的几何性质例题1（2021秋•温州期中）已知双曲线222:19x y C b-=的焦距为10，则双曲线C 的渐近线方程为( )A ．916y x =±B ．169y x =±C ．43y x =±D ．34y x =±【答案】C【解析】双曲线222:19x y C b-=的焦距为10，210c ∴=，5c =，3a =，22925916b c ∴=-=-=，4b ∴=，∴双曲线C 的浙近线方程为43b y x x a =±=±． 故选C ．【解题技巧提炼】由双曲线的方程研究几何性质的解题步骤1把双曲线方程化为标准形式是解决本题的关键. 2由标准方程确定焦点位置，确定a 、b 的值.3由c 2＝a 2＋b 2求出c 值，从而写出双曲线的几何性质.题型四 利用几何性质求双曲线的标准方程例题1（2020•新疆模拟）已知双曲线的一条渐近线方程为2y x =，且经过点(4,43)，则该双曲线的标准方程为( )A ．221416x y -=B ．221164y x -=C ．22128x y -=D ．22144176y x -=【答案】A【解析】1：根据题意知，2443⨯>(4,3)在渐近线方程2y x =的右下方，所以该双曲线的焦点在x 轴上，设标准方程为22221x y a b-=，且0a >，0b >；又2ba=，所以2b a =； 又2216481a b -=，即2221648414a a a -==，解得24a =，216b =，所以双曲线的标准方程是221416x y -=．解法2：根据渐近线方程设双曲线的标准方程是22(0)4y x k k -=≠，代入点(4，43)，计算得481644k =-=，所以双曲线的标准方程为2244y x -=，即221416x y -=．故选A ． 例题2 （2020秋•胶州市期末）与双曲线22:12x C y -=共渐近线，且经过10)点的双曲线的标准方程是()A ．22142x y -=B ．22124x y -=C ．22142y x -=D ．22124y x -=【答案】A【解析】根据题意，要求双曲线与双曲线22:12x C y -=共渐近线，设要求的双曲线为222x y t -=，(0)t ≠，又由双曲线经过点10，则有91024t -=， 解可得2t =，则要求双曲线的标准方程为22142x y -=；故选A ． 【解题技巧提炼】求双曲线的标准方程的方法与技巧(1)根据双曲线的某些几何性质求双曲线方程，一般用待定系数法转化为解方程(组)，但要注意焦点的位置，从而正确选择方程的形式．(2)利用渐近线与双曲线的位置关系，设有公共渐近线的双曲线方程x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0)，这样可避免分类讨论，从而减少运算量，提高解题速度与准确性．拓展延伸：巧设双曲线的六种方法与技巧(1)焦点在x 轴上的双曲线的标准方程可设为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)．(2)焦点在y 轴上的双曲线的标准方程可设为y 2a 2－x 2b2＝1(a >0，b >0)．(3)与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1共焦点的双曲线方程可设为x 2a 2－λ－y 2b 2＋λ＝1(λ≠0，－b 2＜λ＜a 2)．(4)与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1具有相同渐近线的双曲线方程可设为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0)．(5)渐近线为y ＝kx 的双曲线方程可设为k 2x 2－y 2＝λ(λ≠0)． (6)渐近线为ax ±by ＝0的双曲线方程可设为a 2x 2－b 2y 2＝λ(λ≠0)．题型五 求双曲线的离心率例题1（2021秋•镇海区校级期中）双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的离心率为1e ，22221(0,0)x y a b a b-=->>的离心率为2e ，则221211e e +的值为( )A ．1B ．2C ．12D ．4【解析】双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率为1e ，22221(0,0)x y a b a b -=->>的离心率为2e =2222222222122211111a b a b a b e e a b a b ++=+==+++．故选A ． 例题2 （2021秋•遵义月考）已知曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>其中一条渐近线与直线:22l x y +=平行，则此双曲线的离心率是( ) ABC ．32D【解析】根据题意，双曲线C 的方程为22221(0,0)x y a b a b -=>>，则其渐近线方程为by x a=±，又由其一条渐近线与直线:22l x y +=平行，有12b a =，即12b a =，则c =，则其离心率c e a =B ．【解题技巧提炼】 求离心率的方法与技巧(1)求双曲线离心率的常见方法：一是依据条件求出a ，c ，再计算e ＝ca ；二是依据条件建立参数a ，b ，c 的关系式，一种方法是消去b 转化成离心率e 的方程求解，另一种方法是消去c 转化成含b a 的方程，求出ba 后利用e ＝1＋b 2a2求离心率． (2)求离心率的范围一般是根据条件建立a ，b ，c 的不等式，通过解不等式得c a 或ba 的范围，再求得离心率的范围．题型六 与渐进线有关的问题例题1（2021秋•洛阳期中）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>，若点(,0)A a -，(,0)B a ，C ，)b 是等腰三角形的三个顶点，则该双曲线的渐近线方程为( )A ．3y x =±B ．y =C ．13y x =±D ．y = 【答案】B【解析】依题意，要使点(,0)A a -，(,0)B a ，C ，)b 是等腰三角形的三个顶点，则必有2AB BC a ==，2a ，整理可得2220c ac a --=，解得2c a =，即可得2224a a b =+，ba=所以双曲线的渐近线方程为by x a=±=，故选B ．例题2 （2021秋•南湖区月考）已知双曲线221169x y -=的右支上一点P 到其渐近线的距离为d ，F 为双曲线的左焦点，则||PF d +的最小值为( ) A ．9B ．10C ．11D ．12【解析】由双曲线的方程可得216a =，29b =，所以22225c a b =+=，可得5c =， 设双曲线的右焦点(5,0)F '，渐近线的方程为：043x y±=，即340x y ±=， 所以右焦点F '到渐近线的距离||3DF '==，由双曲线的性质可得右支上的点P 到右焦点的距离||||2PF PF a '=-，||||2||2PF d PF a d DF a ''+=+++，当且仅当F '，P ，垂足三点共线，其值最小，所以||PF d +的最小值为：2324311a +=⨯+=，故选C ．【解题技巧提炼】1．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的渐近线为y ＝±b a x ，双曲线y 2a 2－x 2b 2＝1的渐近线为y ＝±ab x ，两者容易记混，可将双曲线方程中的“1”换成“0”，然后因式分解即得渐近线方程．2．若已知渐近线方程为mx ±ny ＝0，求双曲线方程，双曲线的焦点可能在x 轴上，也可能在y 轴上，可用下面的方法来解决．方法一：分两种情况设出方程进行讨论．方法二：依据渐近线方程，设出双曲线方程m 2x 2－n 2y 2＝λ(λ≠0)，求出λ即可． 显然方法二较好，避免了讨论． 3．有共同渐近线的双曲线的方程．与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1有共同渐近线的双曲线方程可设为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0)．若λ＞0，则实轴在x 轴上；若λ＜0，则实轴在y 轴上，再依据题设条件可确定λ．题型一 双曲线定义的应用1．已知1F 、2F 分别是双曲线22124y x -=的左、右焦点，若P 是双曲线左支上的点，且12||||48PF PF ⋅=．则△12F PF 的面积为( )A ．8B ．16C ．24 D．【答案】C 【解析】P 是双曲线左支上的点，21||||2PF PF ∴-=，12||10F F =，在△12PF F 中，由余弦定理得222221212211212121212||||||(||||)2||||||4248100cos 02||||2||||248PF PF F F PF PF PF PF F F F PF PF PF PF PF +--+-+⨯-∠====⨯，1290F PF ∴∠=︒，即12PF PF ⊥，∴△12F PF 的面积为1211||||482422PF PF ⋅=⨯=，故选C ． 2．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左，右焦点分别为1F 、2F ，过点2F 作倾斜角为θ的直线l 交双曲线C 的右支于A ，B 两点，其中点A 在第一象限，若1||||AB AF =，且双曲线C 的离心率为2．则cos (θ=) A ．14B ．13C ．23D ．12【答案】A【解析】由双曲线的定义知，12||||2AF AF a -=，1||||AB AF =，221||||||AF BF AF ∴+=，即122||||||2AF AF BF a -==，12||||24BF BF a a ∴=+=，在△12BF F 中，由余弦定理知，2222121212||||||cos 2||||BF F F BF BF F F θ+-=⋅，∴2222244163cos 2222a c a c a a c ac θ+--==⋅⋅，2c e a ==，∴431cos 44θ-==，故选A ．题型二 与双曲线有关的轨迹问题1．（2021秋•海曙区校级期中）与圆22(2)2x y ++=外切，且与圆2240x y x +-=内切的圆的圆心在( ) A ．抛物线上 B ．圆上C ．双曲线的一支上D ．椭圆上【答案】C【解析】由题设，22(2)2x y ++=的圆心为(2,0)A -2240x y x +-=的圆心为(2,0)B ，半径为2，∴若所求圆的圆心为C ，半径为r ，由图及已知条件易得2r >，∴|||2AC r BC r =+=-，则||||2AC BC -=，由双曲线定义知：圆心C 在以A ，B 为焦点的双曲线的右支上． 故选C ．题型三 由双曲线的标准方程求其简单的几何性质1．（2021秋•福建期中）双曲线2214y x -=的右顶点到渐近线的距离为( )ABC ．1D ．2【答案】B【解析】由双曲线2214y x -=，得1a =，2b =，可得右顶点为(1,0)，一条渐近线方程为2y x =，即为20x y -=，可得右顶点到该双曲线一条渐近线的距离为d =．故选B ．2．（2021秋•沙坪坝区校级期中）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，O 为坐标原点，点P 为双曲线C 中第一象限上的一点，12F PF ∠的平分线与x 轴交于Q ，若214OQ OF =，则双曲线的离心率取值范围为( ) A ．(1,2) B ．(1,4) C． D．【答案】B【解析】由214OQ OF =，知Q 在线段2OF 上，且234QF c =，又12F PF ∠的平分线与x 轴交于Q ，所以1122554334c PF QF PF QF c ===， 所以1253PF PF =，又122PF PF a -=， 所以2223PF a =，又点P 为双曲线C 中第一象限上的一点，所以2PF c a >-， 所以226c a a -<，所以4ce a=<，又1e >，故14e <<．故选B ．题型四 利用几何性质求双曲线的标准方程1．（2019秋•荔湾区期末）已知双曲线的中心在原点，焦点在x 轴上，焦距为8，离心率为2，则该双曲线的方程为( )A ．221204x y -= B ．221412x y -= C ．2211648x y -=D ．2216416x y -=【答案】B【解析】由题意可设双曲线的标准方程为22221x y a b-=，因为双曲线的焦距为8，则28c =，所以4c =， 又双曲线的离心率为2ca=，所以2a =，则22216412b c a =-=-=， 所以双曲线的标准方程为221412x y -=，故选B ．2．（2020•梅州二模）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的渐近线方程为34y x =±，且其一个焦点为(5,0)，则双曲线C 的方程为( )A ．221916x y -=B ．221169x y -=C ．22134x y -=D ．22143x y -=【答案】B【解析】由双曲线的方程及渐近线的方程可得：34b a =，即34a b =，又由题意可得5c =，且222c a b =+， 所以解得216a =，29b =，所以双曲线的方程为：221169x y -=，故选B ．题型五 求双曲线的离心率1．（2021秋•河北期中）已知双曲线22:14x y C m -=(m = )A ．2B ．4C ．8D ．12【答案】B【解析】双曲线22:14x y C m -=，∴c a ==4m =．故选B ．题型六 与渐进线有关的问题1．（2021秋•温州期中）已知双曲线222:19x y C b-=的焦距为10，则双曲线C 的渐近线方程为( )A ．916y x =±B ．169y x =±C ．43y x =±D ．34y x =±【答案】C【解析】双曲线222:19x y C b-=的焦距为10，210c ∴=，5c =，3a =，22925916b c ∴=-=-=，4b ∴=，∴双曲线C 的浙近线方程为43b y x x a =±=±．故选C ．2．（2021秋•福州期中）已知F 为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点，A 为C 的右顶点，B 为C 上的点，且BF 垂直于x 轴．若AB 的斜率为3，则C 的渐近线方程为( )A ．y =B ．y x =C ．2y x =±D ．12y x =±【答案】A【解析】F 为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点，A 为C 的右顶点，B 为C 上的点，且BF 垂直于x轴．若AB 的斜率为3，可得23b a c a =-，可得223()c a c a a-=-，解得2c a =，即2224a b a +=，所以ba=C 的渐近线方程为：y =．故选A ．1．（2021秋•福州期中）已知F 为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点，A 为C 的右顶点，B 为C 上的点，且BF 垂直于x 轴．若AB 的斜率为3，则C 的渐近线方程为( )A ．y =B ．y x =C ．2y x =±D ．12y x =±【答案】A【解析】F 为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点，A 为C 的右顶点，B 为C 上的点，且BF 垂直于x轴．若AB 的斜率为3，可得23b a c a =-，可得223()c a c a a-=-，解得2c a =，即2224a b a +=，所以ba=C 的渐近线方程为：y =．故选A ．2．（2021秋•沙坪坝区校级期中）若双曲线22221(0,0)y x a b a b-=>>率的取值范围是( )A ．)+∞B ．C ．)+∞D ． 【答案】D【解析】依题意双曲线22221(0,0)y x a b a b-=>>经过一、三象限的渐近线斜率为k ，当k >时，可知a b >，则离心率c e a ==．故选D ．3．（2021秋•北海月考）已知双曲线22:1412x y C -=的左、右焦点分别为1F ，2F ，O 为坐标原点，点P 在C 的一条渐近线上，若2||||OP PF =，则△12PF F 的面积为( ) A．B．C．D．【答案】D【解析】由题意知1(4,0)F -，2(4,0)F，渐近线的方程为y =， 因为2||||OP PF =，故点P 在线段2OF 的中垂线2x =上，故0||y = 所以△12PF F的面积为1201||||2F F y ⋅=．故选D ．4．（2021秋•河南期中）如图，已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过点2F 作直线l 交双曲线C 的右支于A ，B 两点．若1||||AB AF =，且△1~F AB △21F F B ，则双曲线C 的离心率为()A ．2 BC ．32D ．4【答案】A【解析】由过点2F 作直线l 交双曲线C 的右支于A ，B 两点．所以12||||2AF AF a -=，1||||AB AF =， 所以，2||||2AB AF a -=，所以2||2BF a =，又12||||2BF BF a -=，所以1||4BF a =， 因为△1~F AB △21F F B ，所以1121AF F F ABF B=，又1||||AB AF =，所以112||||BF F F =，所以42a c =，所以离心率2ce a==，故选A ． 5．（2021秋•福建期中）双曲线2222:1(0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别是1F 、2F ，直线y kx =与曲线C交于A ，B 两点，11||3||AF BF =，且1260F AF ∠=︒，则双曲线C 的离心率是 ．【解析】设1||BF t =，因为11||3||AF BF =，则1||3AF t =，2||AF t =，所以212||||32a BF BF t t t =-=-=，2||AF a =，1||3AF a =，在三角形12AF F 中，由余弦定理可得：22212941cos 232a a c AF F a a +-∠==⨯⨯，整理可得：2c =，所以离心率e =．6．（2021秋•沙坪坝区校级期中）已知点P 在双曲线22:1169x y C -=左支上，1F ，2F 是其左、右焦点，若1260F PF ∠=︒，1211||||PF PF -= ． 【答案】29【解析】设1||PF m =，2||PF n =，由双曲线的定义可知8n m -=，在△12PF F 中，由余弦定理可得22100cos602m n mn+-︒=，22100m n mn ∴+-=，2()2100n m mn mn ∴-+-=，即36mn =， ∴211212||||1182||||||||369PF PF n m PF PF PF PF mn ---====，故答案为：29．。
双曲线经典例题讲解
第一部分 双曲线相关知识点讲解一．双曲线的定义及双曲线的标准方程：1 双曲线定义：到两个定点F 1与F 2的距离之差的绝对值等于定长（＜|F 1F 2|）的点的轨迹（21212F F a PF PF <=-（a 为常数））这两个定点叫双曲线的焦点．要注意两点：（1）距离之差的绝对值.（2）2a ＜|F 1F 2|，这两点与椭圆的定义有本质的不同.当|MF 1|－|MF 2|=2a 时，曲线仅表示焦点F 2所对应的一支； 当|MF 1|－|MF 2|=－2a 时，曲线仅表示焦点F 1所对应的一支；当2a =|F 1F 2|时，轨迹是一直线上以F 1、F 2为端点向外的两条射线； 当2a ＞|F 1F 2|时，动点轨迹不存在.2.双曲线的标准方程：12222=-b y a x 和12222=-bx a y （a ＞0，b ＞0）.这里222a c b -=，其中|1F 2F |=2c.要注意这里的a 、b 、c 及它们之间的关系与椭圆中的异同.3.双曲线的标准方程判别方法是：如果2x 项的系数是正数，则焦点在x 轴上；如果2y 项的系数是正数，则焦点在y 轴上.对于双曲线，a 不一定大于b ，因此不能像椭圆那样，通过比较分母的大小来判断焦点在哪一条坐标轴上.4.求双曲线的标准方程，应注意两个问题：⑴ 正确判断焦点的位置；⑵ 设出标准方程后，运用待定系数法求解. 二．双曲线的内外部：(1)点00(,)P x y 在双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的内部2200221x y a b ⇔->.(2)点00(,)P x y 在双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的外部2200221x y a b ⇔-<.三.双曲线的方程与渐近线方程的关系(1）若双曲线方程为12222=-by a x ⇒渐近线方程：22220x y a b -=⇔x a by ±=.(2)若渐近线方程为x a by ±=⇔0=±b y a x ⇒双曲线可设为λ=-2222by a x .(3)若双曲线与12222=-b y a x 有公共渐近线，可设为λ=-2222by a x （0>λ，焦点在x 轴上，0<λ，焦点在y 轴上）. 四．双曲线的简单几何性质22a x －22by =1（a ＞0，b ＞0）⑴范围：|x |≥a ，y ∈R⑵对称性：关于x 、y 轴均对称，关于原点中心对称 ⑶顶点：轴端点A 1（－a ，0），A 2（a ，0） ⑷渐近线：①若双曲线方程为12222=-b y a x ⇒渐近线方程⇒=-02222by a x x a by ±=②若渐近线方程为x a by ±=⇒0=±b y a x ⇒双曲线可设为λ=-2222by a x③若双曲线与12222=-b y a x 有公共渐近线，可设为λ=-2222by a x （0>λ，焦点在x 轴上，0<λ，焦点在y 轴上）④与双曲线12222=-b y a x 共渐近线的双曲线系方程是λ=-2222by a x 0(≠λ⑤ 与双曲线12222=-by a x 共焦点的双曲线系方程是12222=--+k b y k a x 六.弦长公式：若直线y kx b =+与圆锥曲线相交于两点A 、B ，且12,x x 分别为A 、B 的横坐标，则AB 12x -，若12,y y 分别为A 、B 的纵坐标，则AB ＝21211y y k -+。
高考数学专题《双曲线》习题含答案解析
专题9.4 双曲线1．（2021·江苏高考真题）已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的一条渐近线与直线230x y -+=平行，则该双曲线的离心率是（ ）ABC ．2D【答案】D 【分析】写出渐近线，再利用斜率相等，进而得到离心率【详解】双曲线的渐近线为b y x a =±，易知by x a=与直线230x y -+=平行，所以=2b e a ⇒==故选：D.2．（2021·北京高考真题）若双曲线2222:1x y C a b-=离心率为2，过点，则该双曲线的程为（）A ．2221x y -=B ．2213y x -=C ．22531x y -=D ．22126x y -=【答案】B 【分析】分析可得b =，再将点代入双曲线的方程，求出a 的值，即可得出双曲线的标准方程.【详解】2c e a == ，则2c a =，b =，则双曲线的方程为222213x y a a-=，将点的坐标代入双曲线的方程可得22223113a a a-==，解得1a =，故b ，因此，双曲线的方程为2213y x -=.故选：B3．（2021·山东高考真题）已知1F 是双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的左焦点，点P 在双曲线上，直线1PF 与x 轴垂直，且1PF a =，那么双曲线的离心率是（）练基础A B C ．2D ．3【答案】A 【分析】易得1F 的坐标为(),0c -，设P 点坐标为()0,c y -，求得20by a=，由1PF a =可得a b =，然后由a ，b ，c 的关系求得222c a =，最后求得离心率即可.【详解】1F 的坐标为(),0c -，设P 点坐标为()0,c y -，易得()22221c y a b--=，解得20b y a =，因为直线1PF 与x 轴垂直，且1PF a =，所以可得2b a a=，则22a b =，即a b =，所以22222c a b a =+=，离心率为e =故选：A .4．（2021·天津高考真题）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点与抛物线22(0)y px p =>的焦点重合，抛物线的准线交双曲线于A ，B 两点，交双曲线的渐近线于C 、D |AB ．则双曲线的离心率为（ ）A B C ．2D ．3【答案】A 【分析】设公共焦点为(),0c ，进而可得准线为x c =-，代入双曲线及渐近线方程，结合线段长度比值可得2212a c =，再由双曲线离心率公式即可得解.【详解】设双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>与抛物线22(0)y px p =>的公共焦点为(),0c ，则抛物线22(0)y px p =>的准线为x c =-，令x c =-，则22221c y a b -=，解得2b y a =±，所以22bAB a=,又因为双曲线的渐近线方程为b y x a =±，所以2bcCD a=，所以2bc a =c =，所以222212a c b c =-=，所以双曲线的离心率ce a==故选：A.5．（2019·北京高考真题（文））已知双曲线2221x y a-=（a ＞0）a =（ ）AB ．4C ．2D ．12【答案】D 【解析】∵双曲线的离心率ce a==，c = ，=，解得12a = ，故选D.6．（全国高考真题（文））双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的离心率为2，焦点到渐近线的，则C 的焦距等于（ ）．A.2B. C.4D.【答案】C 【解析】设双曲线的焦距为2c ，双曲线的渐进线方程为，由条件可知，，又，解得，故答案选C ．7.（2017·天津高考真题（文））已知双曲线的左焦点为，点在双曲线的渐近线上，是边长为2的等边三角形（为原点），则双曲线的方程为（ ）A. B. C. D.【答案】D 【解析】22221(0,0)x y a b a b -=>>F A OAF △O 221412x y -=221124x y -=2213x y -=2213y x -=由题意结合双曲线的渐近线方程可得：，解得：，双曲线方程为：.本题选择D选项.8．（2021·全国高考真题（理））已知双曲线22:1(0)xC y mm-=>的一条渐近线为my+=，则C的焦距为_________．【答案】4【分析】将渐近线方程化成斜截式，得出,a b的关系，再结合双曲线中22,a b对应关系，联立求解m，再由关系式求得c，即可求解.【详解】my+=化简得y=，即ba，同时平方得2223ba m=，又双曲线中22,1a m b==，故231m m=，解得3,0m m==（舍去），2223142c a b c=+=+=⇒=，故焦距24c=.故答案为：4.9．（2019·江苏高考真题）在平面直角坐标系xOy中，若双曲线2221(0)yx bb-=>经过点（3，4)，则该双曲线的渐近线方程是_____.【答案】y=.【解析】由已知得222431b-=，解得b=或b=，因为0b>，所以b=.因为1a=，所以双曲线的渐近线方程为y=.10.（2020·全国高考真题（文））设双曲线C：22221x ya b-= (a>0，b>0)的一条渐近线为y= 2222tan60cc a bba⎧⎪=⎪=+⎨⎪⎪==⎩221,3a b==2213yx-=x ，则C 的离心率为_________．【解析】由双曲线方程22221x y a b-=可得其焦点在x 轴上，因为其一条渐近线为y =，所以b a =c e a ===1.（2018·全国高考真题（理））设,是双曲线（）的左、右焦点，是坐标原点．过作的一条渐近线的垂线，垂足为．若则的离心率为( )ABC ．D【答案】B 【解析】由题可知在中，在中,故选B.2．（2020·云南文山·高三其他（理））已知双曲线2221(0)x y a a-=>上关于原点对称的两个点P ，Q ，右顶点为A ，线段AP 的中点为E ，直线QE 交x 轴于(1,0)M ，则双曲线的离心1F 2F 2222:1x y C a b-=O 2F C P 1PF =C222,PF b OF c==PO a∴=2Rt POF V 222cos P O PF b F OF c∠==12PF F △22221212212cos P O 2PF F F PF b F PF F F c+-∠==223bc a c=⇒=e ∴=练提升率为（ ）A B ．C D 【答案】D 【解析】由已知得M 为APQ V 的重心，∴3||3a OM ==，又1b =，∴c ==，即c e a ==.故选:D.3．（2020·广东天河·华南师大附中高三月考（文））已知平行于x 轴的直线l 与双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的两条渐近线分别交于P 、Q 两点，O 为坐标原点，若OPQ △为等边三角形，则双曲线C 的离心率为（ ）A ．2B ．C D 【答案】A 【解析】因为OPQ △为等边三角形，所以渐近线的倾斜角为3π，所以22,3,bb b a a=∴=∴=所以2222223,4,4,2c a a c a e e -=∴=∴=∴=.故选：A4．（2021·广东广州市·高三月考）已知1F ，2F 分别是双曲线C ：2213xy -=的左、右焦点，点P 是其一条渐近线上一点，且以线段12F F 为直径的圆经过点P ，则点P 的横坐标为（ ）A ．±1B ．C ．D ．2±【答案】C 【分析】由题意可设00(,)P x ，根据圆的性质有120F P F P ⋅= ，利用向量垂直的坐标表示，列方程求0x 即可.【详解】由题设，渐近线为y =，可令00(,)P x x ，而1(2,0)F -，2(2,0)F ，∴100(2,)F P x x =+ ，200(2,)F P x =- ，又220120403x F P F P x ⋅=-+= ，∴0x =故选：C5.（2020·广西南宁三中其他（理））圆22:10160+-+=C x y y 上有且仅有两点到双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的一条渐近线的距离为1，则该双曲线离心率的取值范围是（ ）A ．B ．55(,)32C ．55(,42D ．1)【答案】C 【解析】双曲线22221x y a b-=的一条渐近线为0bx ay -=，圆22:10160C x y y +-+=，圆心()0,5，半径3因为圆C 上有且仅有两点到0bx ay -=的距离为1，所以圆心()0,5到0bx ay -=的距离d 的范围为24d <<即24<<，而222+=a b c 所以524a c <<，即5542e <<故选C 项.6．【多选题】（2021·湖南高三）已知双曲线2222:1x y C a b-=（0a >，0b >）的左，右焦点为1F ，2F ，右顶点为A ，则下列结论中，正确的有（ ）A ．若a b =，则CB ．若以1F 为圆心，b 为半径作圆1F ，则圆1F 与C 的渐近线相切C ．若P 为C 上不与顶点重合的一点，则12PF F △的内切圆圆心的横坐标x a =D ．若M 为直线2a x c=（c =0的一点，则当M 的纵坐标为2MAF V 外接圆的面积最小【答案】ABD 【分析】由a b =，得到222a c =，利用离心率的定义，可判定A 正确；由双曲线的几何性质和点到直线的距离公式，可判定B 正确；由双曲线的定义和内心的性质，可判定C 不正确；由正弦定理得到2MAF V 外接圆的半径为222sin AF R AMF =∠，得出2sin AMF ∠最大时，R 最小，只需2tan AMF ∠最大，设2,a M t c ⎛⎫⎪⎝⎭，得到22tan tan()AMF NMF NMA ∠=∠-∠，结合基本不等式，可判定D 正确．【详解】对于A 中，因为a b =，所以222a c =，故C 的离心率ce a==A 正确；对于B 中，因为()1,0F c -到渐近线0bx ay -=的距离为d b ==，所以B 正确；对于C 中，设内切圆与12PF F △的边1221,,FF F P FP 分别切于点1,,A B C ，设切点1A (,0)x ，当点P 在双曲线的右支上时，可得121212PF PF PC CF PB BF CF BF -=+--=-1112A F A F =-()()22c x c x x a =+--==，解得x a =，当点P 在双曲线的左支上时，可得x a =-，所以12PF F △的内切圆圆心的横坐标x a =±，所以C 不正确；对于D 中，由正弦定理，可知2MAF V 外接圆的半径为222sin AF R AMF =∠，所以当2sin AMF ∠最大时，R 最小，因为2a a c<，所以2AMF ∠为锐角，故2sin AMF ∠最大，只需2tan AMF ∠最大．由对称性，不妨设2,a M t c ⎛⎫ ⎪⎝⎭（0t >），设直线2a x c =与x 轴的交点为N ，在直角2NMF △中，可得222=tan a c NF c NM t NMF -∠=，在直角NMA △中，可得2=tan a a NA c NM tMA N -∠=，又由22222222tan tan tan tan()1tan tan 1NMF NMA AMF NMF NMA NMF NMAa a c a c ct t a a c a c c t t--∠-∠∠=∠-∠==+∠∠--⨯+-⋅22()c a ab c a t c t-=≤-+当且仅当()22ab c a t c t -=，即t =2tan AMF ∠取最大值，由双曲线的对称性可知，当t =2tan AMF ∠也取得最大值，所以D 正确．故选：ABD ．7．【多选题】（2021·重庆巴蜀中学高三月考）已知点Q 是圆M ：()2224x y ++=上一动点，点()2,0N ，若线段NQ 的垂直平分线交直线MQ 于点P ，则下列结论正确的是（ ）A ．点P 的轨迹是椭圆B ．点P 的轨迹是双曲线C ．当点P 满足PM PN ⊥时，PMN V 的面积3PMN S =△D ．当点P 满足PM MN ⊥时，PMN V 的面积6PMN S =V 【答案】BCD 【分析】根据PM PN -的结果先判断出点P 的轨迹是双曲线，由此判断AB 选项；然后根据双曲线的定义以及垂直对应的勾股定理分别求解出PM PN ⋅的值，即可求解出PMN S △，据此可判断CD 选项.【详解】依题意，2MQ =，4MN =，因线段NQ 的垂直平分线交直线MQ 于点P ，于是得PQ PN =，当点P 在线段MQ 的延长线上时，2PM PN PM PQ MQ -=-==，当点P 在线段QM 的延长线上时，2PN PM PQ PM MQ -=-==，从而得24PM PN MN -=<=，由双曲线的定义知，点M 的轨迹是双曲线，故A 错，B 对；选项C ，点P 的轨迹方程为2213y x -=，当PM PN ⊥时，2222616PM PN PM PN PM PN MN ⎧-=⎪⇒⋅=⎨+==⎪⎩，所以132PMN S PM PN ==△，故C 对；选项D ，当PM MN ⊥时，2222316PM PN PM PN PM MN ⎧-=-⎪⇒=⎨-==⎪⎩，所以162PMN S PM MN ==△，故D 对，故选：BCD.8．（2021·全国高二课时练习）双曲线()22122:10,0x y C a b a b-=>>的焦距为4，且其渐近线与圆()222:21C x y -+=相切，则双曲线1C 的标准方程为______．【答案】2213x y -=【分析】根据焦距，可求得c 值，根据渐近线与圆2C 相切，可得圆心到直线的距离等于半径1，根据a ，b ，c 的关系，即可求得a ，b 值，即可得答案.【详解】因为双曲线()22122:10,0x y C a b a b-=>>的焦距为4，所以2c =．由双曲线1C 的两条渐近线b y x a=±与圆()222:21C x y -+=相切，可得1=又224a b +=，所以1b =，a =所以双曲线1C 的标准方程为2213x y -=．故答案为：2213x y -=9．（2021·全国高二单元测试）已知双曲线2213y x -=的左、右焦点分别为1F ，2F ，离心率为e ，若双曲线上一点P 使2160PF F ∠=︒，则221F P F F ⋅的值为______．【答案】3【分析】在12PF F △中，设2PF x =，则12PF x =+或12PF x =-．分别运用余弦定理可求得答案.【详解】解：由已知得2124F F c ==．在12PF F △中，设2PF x =，则12PF x =+或12PF x =-．当12PF x =+时，由余弦定理，得()222124242x x x +=+-⨯⨯，解得32x =，所以221314322F P F F ⋅=⨯⨯= ．当12PF x =-时，由余弦定理，得()222124242x x x -=+-⨯⨯，无解．故2213F P F F ⋅=．故答案为：3.10．（2021·全国高二课时练习）如图，以AB 为直径的圆有一内接梯形ABCD ，且//AB CD ．若双曲线1C 以A ，B 为焦点，且过C ，D 两点，则当梯形的周长最大时，双曲线1C 的离心率为______．1【分析】连接AC ，设BAC θ∠=，将梯形的周长表示成关于θ的函数，求出当30θ=︒时，l 有最大值，即可得到答案；【详解】连接AC ，设BAC θ∠=，2AB R c R ==，，作CE AB ⊥于点E ，则||2sin BC R θ=，()2||||cos 902sin EB BC R θθ=︒-=，所以2||24sin CD R R θ=-，梯形的周长221||2||||24sin 24sin 4sin 52l AB BC CD R R R R R R θθθ⎛⎫=++=++-=--+ ⎪⎝⎭．当1sin 2θ=，即30θ=︒时，l 有最大值5R ，这时，||BC R =，||AC =，1(||||)2a AC BC =-=，1=c e a ．1+1. （2021·全国高考真题（理））已知12,F F 是双曲线C 的两个焦点，P 为C 上一点，且121260,3F PF PF PF ∠=︒=，则C 的离心率为（ ）ABCD【答案】A 【分析】根据双曲线的定义及条件，表示出12,PF PF ，结合余弦定理可得答案.【详解】因为213PF PF =，由双曲线的定义可得12222PF PF PF a -==，所以2PF a =，13PF a =；因为1260F PF ∠=︒,由余弦定理可得2224923cos 60c a a a a =+-⨯⋅⋅︒，整理可得2247c a =，所以22274a c e ==，即e =故选：A2．（2020·浙江省高考真题）已知点O （0，0），A （–2，0），B （2，0）．设点P 满足|PA |–|PB |=2，且P 为函数y=|OP |=（ ）ABCD【答案】D 【解析】因为||||24PA PB -=<，所以点P 在以,A B 为焦点，实轴长为2，焦距为4的双曲线的右支上，由2,1c a ==可得，222413b c a=-=-=，即双曲线的右支方程为()22103y x x -=>，而点P还在函数y =练真题由()22103y x x y ⎧⎪⎨->==⎪⎩，解得x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即OP ==．故选：D.3.（2019·全国高考真题（理））设F 为双曲线C ：22221x y a b-=（a >0，b >0）的右焦点，O为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆x 2+y 2=a 2交于P 、Q 两点．若|PQ |=|OF |，则C 的离心率为（ ）ABC ．2D【答案】A 【解析】设PQ 与x 轴交于点A ，由对称性可知PQ x ⊥轴，又||PQ OF c == ，||,2cPA PA ∴=∴为以OF 为直径的圆的半径，A ∴为圆心||2c OA =．,22c c P ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭，又P 点在圆222x y a +=上，22244c c a ∴+=，即22222,22c c a e a=∴==．e ∴=，故选A ．4.（2019·全国高考真题（理））双曲线C ：2242x y -=1的右焦点为F ，点P 在C的一条渐近线上，O 为坐标原点，若=PO PF ，则△PFO 的面积为（ ）A B C ．D ．【答案】A 【解析】由2,,,a b c ====．,P PO PF x =∴=，又P 在C 的一条渐近线上，不妨设为在y x =上，1122PFO P S OF y ∴=⋅==△，故选A ．5. （2021·全国高考真题（文））双曲线22145x y -=的右焦点到直线280x y +-=的距离为________．【分析】先求出右焦点坐标，再利用点到直线的距离公式求解.【详解】由已知，3c ===，所以双曲线的右焦点为(3,0)，所以右焦点(3,0)到直线280x y +-===.6．（2019·全国高考真题（理））已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点．若1F A AB = ，120F B F B ⋅=，则C 的离心率为____________．【答案】2.【解析】如图，由1,F A AB =得1.F A AB =又12,OF OF =得OA 是三角形12F F B 的中位线，即22//,2.BF OA BF OA =由120F B F B =g ，得121,,F B F B OA F A ⊥⊥则1OB OF =有1AOB AOF ∠=∠，又OA 与OB 都是渐近线，得21,BOF AOF ∠=∠又21BOF AOB AOF π∠+∠+∠=，得02160,BOF AOF BOA ∠=∠=∠=．又渐近线OB 的斜率为0tan 60ba==，所以该双曲线的离心率为2c e a ====．。
双曲线 高中数学精讲(试题版)
专业专心专注第02讲双曲线(重点题型方法与技巧)题型一:双曲线的定义及辨析1设F 1，F 2分别是双曲线x 2-y 29=1的左、右焦点，若点P 在双曲线上，且PF 1 =3，则PF 2 =( )A.5 B.1 C.3 D.1或52已知双曲线C ：x 29-y 25=1的左右焦点为F 1，F 2，点P 在双曲线C 的右支上，点P 关于原点的对称点为Q ，则PF 1 -QF 1 =( )A.4B.25C.6D.2133如图，F 为双曲线C :x 29-y 216=1的左焦点，双曲线C 上的点P i 与P 7-i i =1,2,3 关于y 轴对称，则P 1F +P 2F +P 3F -P 4F -P 5F -P 6F =______．OxyP 1P 2P 3P 4P 5P64已知双曲线C :x 2a2-y 227=1a >0 的左右焦点分别为F 1，F 2，其一条渐近线倾斜角为π3，若点P 在双曲线上，且PF 1 =7，则PF 2 =．5已知双曲线C :x 24-y 25=1的左、右焦点分别为F 1，F 2，已知点P 在双曲线右支上且在第一象限，点M 2,1 为三角形PF 1F 2的内心，则S △PMF 1-S △PMF 2=.题型二:双曲线的标准方程1x 2+(y -3)2-x 2+(y +3)2=4表示的曲线方程为( )A.x 24-y 25=1(x ≤-2) B.x 24-y 25=1(x ≥2)C.y 24-x 25=1(y ≤-2) D.y 24-x 25=1(y ≥2)2若方程x 2m 2+1-y 2m 2-3=1表示双曲线，则实数m 满足( )A.m ≠1且m ≠-3 B.m >1C.m <-3或m >3D.-3<m <13已知双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 的焦距为25，点P 2,1 在C 的渐近线上，则双曲线C 的方程为( )第1页共14页自信自强博观而约取 厚积而薄发A.x 24-y 2=1B.x 2-y 24=1 C.x 220-y 25=1D.x 25-y 220=14南非双曲线大教堂由伦敦著名的建筑事务所完成．若将如图所示的双曲线大教堂外形弧线的一段近似看成双曲线y 2a 2-x 2b 2=1(a >0，b >0)下支的一部分，且此双曲线过点1,-2 ，离心率为62，则此双曲线的方程为( )A.y 22-x 2=1B.y 22-x 23=1C.y 22-x 24=1D.y 23-x 23=15已知双曲线x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 的左顶点与抛物线y 2=2px p >0 的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为-2,1 ，则双曲线的方程为( )A.x 236-y 29=1 B.x 23-y 22=1C.x 24-y 2=1D.x 24-y 22=16一动圆P 过定点M -4,0 ，且与已知圆N ：x -4 2+y 2=16相切，则动圆P 的轨迹方程是()A.x 24-y 212=1(x ≥2)B.x 24-y 212=1(x ≤2)C.y 24-x 212=1D.x 24-y 212=17已知m ∈R ，则“m >4”是“方程x 24-m +y 2m -3=1表示双曲线”的()A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件8已知动圆M 与圆C 1:x +2 2+y 2=1，圆C 2:x -2 2+y 2=4都外切，则动圆M 的圆心轨迹方程是；9求适合下列条件的双曲线的标准方程：(1)a =4，经过点A 1,4103；(2)焦点y 轴上，且过点3,-42 ，94,5 .题型三:双曲线中的焦点三角形问题1角度：焦点三角形的边长或周长问题1已知F 为双曲线C :x 29-y 216=1的左焦点，P ，Q 为双曲线C 右支上的点，若PQ 的长等于虚轴长的2倍，点A 5,0 在线段PQ 上，则△PFQ 的周长为( )A.28B.36C.44D.48第2页共14页专业专心专注2设点P 在双曲线x 29-y 216=1上，若F 1､F 2为双曲线的两个焦点，且PF 1: PF 2 =1:3，则△F 1PF 2的周长等于( )A.22B.16C.14D.123已知双曲线y 2m -x 22=1m >0 ，直线l 过其上焦点F 2，交双曲线上支于A ，B 两点，且AB =4，F 1为双曲线下焦点，△ABF 1的周长为18，则m 值为( )A.8B.9C.10D.2544已知F 1，F 2分别为双曲线x 24-y 2=1的左右焦点，过F 2作一条直线l 与双曲线的右支交于P ，Q 两点，若PQ =2，则△PF 1Q 的周长为()A.8B.10C.12D.145已知双曲线的左、右焦点分别为F 1，F 2，过点F 1的直线与双曲线的左支交于A ，B 两点，线段AB 的长为5，若2a =8，那么△ABF 2的周长是()A.16B.18C.21D.266已知F 1,F 2是离心率等于133的双曲线C :x 2m -y 24=1的左右焦点，过焦点F 2的直线l 与双曲线C 的右支相交于A ，B 两点，若△ABF 1的周长20，则|AB |等于()A.10B.8C.6D.42角度：焦点三角形的面积1设F 1-2,0 ，F 22,0 ，M x ,y 满足MF 1 -MF 2 =2，且x 2+y 2=4，则△F 1F 2M 的面积为( )A.3B.32C.9D.922已知P 是双曲线x 2a 2-y 2b2=1(a ,b >0)上的点，F 1，F 2是其焦点，双曲线的离心率是54，且PF 1 ⋅PF 2=0，若△PF 1F 2的面积为9，则a +b 的值为__________.3已知F 1，F 2为双曲线C ：x 216-y 24=1的两个焦点，P ，Q 为C 上关于坐标原点对称的两点，且PQ =F 1F 2 ，则四边形PF 1QF 2的面积为________．4已知双曲线C ：x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 的离心率为3，焦点分别为F 1，F 2，点A 在双曲线C 上．若△AF 1F 2的周长为14a ，则△AF 1F 2的面积是.5已知F 1，F 2为双曲线x 24-y 28=1的左、右焦点，点P 在双曲线上，满足PF 1=2PF 2，则△PF 1F 2的面积为．6已知F 1(-4,0)､F 2(4,0)是双曲线C :x 2m-y 24=1m >0 的两个焦点，点M 是双曲线C 上一点，且∠F 1MF 2=60°，求△F 1MF 2的面积.3角度：焦点三角形的其他问题第3页共14页自信自强博观而约取 厚积而薄发1已知双曲线C ：x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的离心率为2，C 的左､右焦点分别为F 1，F 2，点P 在C 的右支上，PF 1的中点N 在圆O ：x 2+y 2=c 2上，其中c 为半焦距，则sin ∠F 1PF 2=( )A.74B.32C.34D.182已知双曲线C ：x 2-y 22=1的左右焦点分别为F 1，F 2，点G 位于第一象限的双曲线C 上，∠F 1GF 2的角平分线GP 与x 轴的交点为P 33,0 ，则∠F 1GF 2=( )A.π6B.π4C.π3D.π23已知点P 是双曲线C :x 24-y 25=1右支上一点，F 1、F 2为双曲线C 的左、右焦点，若△PF 1F 2的周长为16，点O 为坐标原点，则PO ⋅F 1F 2=()A.20B.-20C.40D.-404已知F 1，F 2为双曲线C ：x 2-y 2=2的左､右焦点，点P 在C 上，|PF 1|=2|PF 2|，则cos ∠F 1PF 2=.题型四:双曲线中线段和、差最值1已知双曲线x 2m -y 25=1(m >0)的一条渐近线方程为5x +2y =0，左焦点为F ，点P 在双曲线右支上运动，点Q 在圆x 2+(y -4)2=1上运动，则|PQ |+|PF |的最小值为( )A.22+4B.8C.22+5D.92已知F 是双曲线x 24-y 212=1的左焦点，A (1,4)，P 是双曲线右支上的动点，则|PF |+|PA |的最小值为( )A.9B.8C.7D.63双曲线C 的渐进线方程为y =±233x ，一个焦点为F (0,-7)，点A (2,0)，点P 为双曲线的第一象限内的点，则当点P 的位置变化时，△PAF 周长的最小值为( )A.6B.10C.4+37D.3+374已知F 1,F 2双曲线C :x 2a2-y 216=1a >0 的左右焦点，点A 在双曲线的右支上，点P 7,2 是平面内一定点，若对任何实数m ，直线4x +3y +m =0与双曲线C 至多有一个公共点，则AP +AF 2 的最小值()A.237-6B.10-35C.8-37D.25-25已知F 1,F 2分别是双曲线C :x 24-y 2=1的左、右焦点，动点P 在双曲线的左支上，点Q 为圆G :x 2+(y +2)2=1上一动点，则|PQ |+PF 2 的最小值为()A.6B.7C.3+5D.56已知双曲线x 23-y 2=1的左右焦点分别为F 1､F 2，P 为双曲线右支上一点，点Q 的坐标为第4页共14页专业专心专注-2,3 ，则PQ +PF 1 的最小值为.7已知双曲线的方程为x 2-y 24=1，如图所示，点A -5,0 ，B 是圆x 2+y -5 2=1上的点，点C 为其圆心，点M 在双曲线的右支上，则MA +MB 的最小值为Oxy AMBC题型五:与双曲线有关的轨迹问题1动圆M 与圆C 1：x +4 2+y 2=1，圆C 2：x 2+y 2-8x +7=0，都外切，则动圆圆心M 的轨迹方程为( )A.x 215+y 2=1B.x 2-y 215=1C.x 2-y 215=1x ≥1 D.x 2-y 215=1x ≤-1 2x 2+(y -3)2-x 2+(y +3)2=4表示的曲线方程为A.x 24-y 25=1(x ≤-2)B.x 25-y 24=1(x ≥2)C.y 24-x 25=1(y ≤-2)D.y 24-x 25=1(y ≥2)3一个动圆P 与两个定圆O 1:x 2+y 2=1，O 2:x -4 2+y 2=9均内切，那么动圆P 的圆心的轨迹方程是______.4已知F 1-3,0 ，F 23,0 ，若点P x ,y 满足PF 1 -PF 2 =m m ≥0 ，则P 点的轨迹是什么，并求点P 的轨迹方程.5如图所示，已知定圆F 1：x +5 2+y 2=1，定圆F 2：x -5 2+y 2=16，动圆M 与定圆F 1，F 2都外切，求动圆圆心M 的轨迹方程．第5页共14页自律自信自强博观而约取 厚积而薄发6设A 0,-4 ，B 0,4 ，PB -PA =2，则动点P 的轨迹方程为，P 到坐标原点的距离的最小值为．题型六:双曲线的离心率问题1角度：求双曲线的离心率或离心率取值范围1中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线的一条渐近线经过点(4,2)，则它的离心率为( )A.6B.5C.62D.522若双曲线x 2-y 2b 2=1的一个焦点到渐近线的距离为3，则该双曲线的离心率为( )A.12B.22C.2D.23已知双曲线x 2a 2-y 2b 2=1(a >0，b >0)的左、右顶点分别为A 1，A 2，点P 在直线x =c 上运动，若∠A 1PA 2的最大值为π3，则双曲线的离心率为( )A.233B.322C.2D.34已知F 1，F 2分别为双曲线x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 的左、右焦点，P 为双曲线右支上任意一点，若PF 12PF 2 的最小值为8a ，则该双曲线的离心率e 的取值范围是( )A.1,2B.1,3C.1,3D.2,45已知双曲线x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)，A 1，A 2是实轴顶点，F 是右焦点，B (0,b )是虚轴端点，若在线段BF 上(不含端点)存在不同的两点P i (i =1,2)，使得△P i A 1A 2(i =1,2)构成以A 1A 2为斜边的直角三角形，则双曲线离心率e 的取值范围是( )．A.2,6+12B.2,5+12C.1,5+12D.5+12,+∞6已知双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的一个焦点F (c ,0)到C 的一条渐近线的距离为27c ，则C 的离心率为()A.11215B.335C.7515D.16157已知F 1，F 2分别为双曲线x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 的左、右焦点，P 为双曲线左支上的任意一点，若PF 22PF 1 的最小值为8a ，则双曲线离心率e 的取值范围是()A.1,+∞B.2,3C.1,3D.1,28已知双曲线E :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的左､右焦点分别为F 1,F 2,F 1F 2 =4，若线段x -y +4=0-2≤x ≤8 上存在点M ，使得线段MF 2与E 的一条渐近线的交点N 满足：F 2N =14F 2M ，则E 的离第6页共14页专业专心专注心率的取值范围是.2角度：由双曲线的离心率求参数的取值范围1已知圆锥曲线mx 2+y 2=-1的离心率为2，则实数m 的值为( )A.-3B.-13C.13D.32已知双曲线C 1:y 2a 2-x 2b 2=1及双曲线C 2:x 2b 2-y 2a2=1a >0,b >0 ，且C 1的离心率为5，若直线y =kx k >0 与双曲线C 1、C 2都无交点，则k 的值是( )A.2B.12C.5D.13平面直角坐标系中，O 为坐标原点，给定两点A 1，0 ，B 0，-2 ，点C 满足：OC =mOA +nOB其中m ,n ∈R ，且m -2n =1. 已知点C 的轨迹与双曲线x 2a2-y 2b 2=1(a >0,b >0,a ≠b )交于M ，N 两点，且以MN 为直径的圆过原点，若双曲线的离心率不大于3，则双曲线实轴长的取值范围为( )A.0，22B.0，33C.0，32D.0，14已知点F 为双曲线x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 的右焦点，过F 作一条渐近线的垂线，垂足为A ，若△OAF (点O 为坐标原点)的面积为2，双曲线的离心率e ∈17,65 ，则a 的取值范围为__________．5双曲线x 2m -y 24=1的离心率为3，则实数m 的值为()A.±2B.2C.2D.36双曲线x 29-y 2k =1的离心率的取值范围为2,3 ，则实数k 的取值范围为()A.k >1B.k <9C.9<k <18D.1<k <97已知点F 为双曲线x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的右焦点，过F 作一条渐近线的垂线，垂足为A ，若△OAF (点O 为坐标原点)的面积为2，双曲线的离心率e ∈17,65 ，则a 的取值范围为()A.1,2B.1,2C.24,1D.22,18已知双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1a >0，b >0 的右顶点为A ，若以点A 为圆心，以b 为半径的圆与双曲线C 的一条渐近线交于M ，N 两点，点O 为坐标原点，且OM =5ON，则双曲线C 的离心率为．题型七:双曲线渐近线问题1若直线x =4y +7与双曲线C ：ax 2-y 2=1a >0 的一条渐近线平行；则a 的值为( )A.116B.14C.4D.162实轴在x 轴上，实轴长为12，一条渐近线的方程为x3+y 2=0的双曲线方程为______．第7页共14页自信自强博观而约取 厚积而薄发3已知双曲线Γ:y 2a 2-x 2b 2=1a >b >0 的上焦点为F (0,c )(c >0)，M 是双曲线下支上的一点，线段MF 与圆x 2+y 2-2c 3y +a 29=0相切于点D ，且MF =3DF ，则双曲线Γ的渐近线方程为_________.4以椭圆x 213+y 23=1的焦点为焦点，以直线y =±12x 为渐近线的双曲线方程为．5已知双曲线x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 的左右焦点分别为F 1，F 2，O 为坐标原点，点P 在双曲线上，若F 1F 2 =2OP ，PF 2 =2PF 1 ，则此双曲线的渐近线方程为.6椭圆C 1：x 24+y 23=1与双曲线C 2：x 2a 2-y 2b2=1的离心率之积为1，则双曲线C 2的两条渐近线的倾斜角分别为，.题型八:双曲线中的弦长问题1角度：求双曲线中的弦长1已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为(2，0)，右顶点为(3，0)．(1)求双曲线C 的方程；(2)若直线l ：y =x +2与双曲线交于A ，B 两点，求弦长|AB |．2已知曲线C ：x 22+m -y 2m +1=1.(1)若曲线C 是双曲线，求m 的取值范围；(2)设m =0，已知过曲线C 的右焦点F ，倾斜角为π4的直线l 交曲线C于A ，B 两点，求AB .3已知双曲线C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，离心率e =62，且双曲线C 过点P 2,1 ．(1)求双曲线C 的方程；(2)若直线l :y =kx -1与双曲线C 交于A ，B 两点，线段AB 中点的横坐标为-2，求线段AB 的长．4已知双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 与双曲线y 26-x 22=1的渐近线相同，且经过点2,3 ．(1)求双曲线C 的方程；(2)已知双曲线C 的左右焦点分别为F 1，F 2，直线l 经过F 2，斜率为-1，l 与双曲线C 交于A ，B 两点，求AB 的值．5已知双曲线C ：x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的离心率为3，点3,0 是双曲线的一个顶点．(1)求双曲线的方程；(2)经过双曲线右焦点F 2作倾斜角为30°的直线，直线与双曲线交于不同的两点A ，B ，求AB ．2角度：根据弦长求参数1已知双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1过点2,3 ，给出以下2个条件：①离心率为2，②与双曲线y 23-x 2=1有相同的渐近线．(1)选一个条件，求出双曲线的方程．第8页共14页专业专心专注(2)直线l 与直线4x -2y -1=0平行，l 被C 截得的弦长为45，求直线l 的方程．2已知双曲线Γ:x 2-y 2b2=1b >0 ，直线l 与Γ交于P 、Q 两点．(1)若点3,0 是双曲线Γ的一个焦点，求Γ的渐近线方程；(2)若点P 的坐标为-1,0 ，直线l 的斜率等于1，且PQ =823，求双曲线Γ的离心率．3已知双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的实轴长为23，一个焦点的坐标为(-5,0).(1)求双曲线的方程；(2)若斜率为2的直线l 交双曲线C 交于A ,B 两点，且AB =4，求直线l 的方程.4已知双曲线C ：x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)与双曲线x 216-y 24=1有相同的渐近线，且双曲线C 过点4,3 ．(1)若双曲线C 的左、右焦点分别为F 1，F 2，双曲线C 上有一点P ，使得∠F 1PF 2=60°，求△F 1PF 2的面积；(2)过双曲线C 的右焦点F 2作直线l 与双曲线右支交于A ，B 两点，若△F 1AB 的周长是403，求直线l 的方程．题型九:双曲线中三角形(四边形)面积问题1角度：定值问题1已知过点M (2,23)的直线l 与双曲线E :x 24-y 23=1交于A ,B .(1)求与双曲线E :x 24-y 23=1共渐近线且过点M 的双曲线的方程；(2)若线段AB 的中点为M ，求直线l 的方程和三角形AOB 面积.2已知曲线C ：x 2-y 2=1及直线l ：y =kx -1．且直线l 与双曲线C 有两个不同的交点A ，B ．(1)求实数k 的取值范围；(2)O 是坐标原点，且ΔAOB 的面积为2，求实数k 的值．3设P 是双曲线C :x 24-y 216=1右支上任意一点，O 为坐标原点．(1)过点P 分别做两条渐近线的垂线，垂足分别是E 、F ，求|PE ⋅ PF |的值；(2)过点P 的直线与两条渐近线分别交于A 、B 两点，且满足AP =2PB，求△AOB 的面积．2角度：最值问题1设双曲线C :x 23-y 2=1，其右焦点为F ，过F 的直线l 与双曲线C 的右支交于A ，B 两点．(1)求直线l 倾斜角θ的取值范围；(2)直线AO (O 为坐标原点)与曲线C 的另一个交点为D ，求△ABD 面积的最小值，并求此时l 的方程．2已知双曲线E ：x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 的实轴长为22，F 为右焦点，M 0,1 ，N 0,-1 ，且△MNF 为等边三角形.(1)求双曲线E 的方程；(2)过点M 的直线l 与E 的左右两支分别交于P 、Q 两点，求△PQN 面积的取值范围.第9页共14页自信自强博观而约取 厚积而薄发3在一张纸上有一圆C ：x +5 2+y 2=64，定点M 5,0 ，折叠纸片使圆C 上某一点M 1恰好与点M 重合，这样每次折叠都会留下一条直线折痕PQ ，设折痕PQ 与直线M 1C 的交点为T .(1)求点T 的轨迹C 方程；(2)曲线C 上一点N ，点A 、B 分别为直线l 1：y =34x 在第一象限上的点与l 2：y =-34x 在第四象限上的点，若AN =λNB ，λ∈13,2，求△AOB 面积的取值范围.题型十:双曲线中的中点弦问题1角度：点差法1已知双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的离心率为2，直线l 与C 交于P ,Q 两点，D 为线段PQ 的中点，O 为坐标原点，则l 与OD 的斜率的乘积为( )A.2B.3C.4D.62如图，双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1a >0，b >0 ，AB 是圆M :(x +2)2+(y -1)2=52的一条直径，若双曲线C 过A ，B 两点，且离心率为2，则直线AB 的方程为( )A.3x +y +7=0B.4x +y +6=0C.x +y +5=0D.2x +y +3=03已知斜率为1的直线l 与双曲线C ：x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 相交于B ，D 两点，且BD 的中点为M 1,3 ，则C 的离心率是______．4双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 的离心率为2，经过C 的焦点垂直于x 轴的直线被C 所截得的弦长为12.(1)求C 的方程；(2)设A ，B 是C 上两点，线段AB 的中点为M 5,3 ，求直线AB 的方程.第10页共14页5不垂直于坐标轴的直线l 与双曲线x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 的渐近线交于A ，B 两点，若线段AB 的中点为M ，AB 和OM 的斜率满足k AB ⋅k OM =2，则顶点在坐标原点O ，焦点在x 轴上，且经过点P (a ,b )的抛物线方程是()A.y 2=4x B.y 2=2xC.y 2=2xD.y 2=22x 6已知双曲线x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)，直线l 交双曲线两条渐近线于点A 、B ，M 为线段AB 的中点，设直线l 、OM 的斜率分别为k 1、k 2，若k 1⋅k 2=32，则渐近线方程为．7设直线2x -y +1=0与椭圆x 23+y 24=1相交于A ､B 两点.(1)求弦长AB ；(2)已知椭圆具有性质：设A ､B 为椭圆x 2a 2+y 2b2=1上任意两点，M 是线段AB 的中点，若直线AB ､OM 的斜率都存在，并记为k AB ､k OM ，则k AB ⋅k OM 为定值.试对双曲线x 2a 2-y 2b2=1写出具有类似特征的性质，并加以证明.2角度：韦达定理法1已知双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 的实轴长为2，一条渐近线方程为2x -y =0(1)求双曲线C 的标准方程；(2)已知倾斜角为3π4的直线l 与双曲线C 交于A ,B 两点，且线段AB 的中点的纵坐标为4，求直线l 的方程．2已知双曲线x 24-y 2=1，求过点A (3,-1)且被点A 平分的弦MN 所在直线的方程.3已知双曲线E ：x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 的两条渐近线所成的锐角为60°且点2,3 是E 上一点．(1)求双曲线E 的标准方程；(2)若过点P 1,1 的直线l 与E 交于A ，B 两点，点P 能否为线段AB 的中点？并说明理由．4已知a >b >0，如图，曲线Γ由曲线C 1:x 2a 2+y 2b 2=1(y ≤0)和曲线C 2:x 2a 2-y 2b2=1(y >0)组成，其中点F 1，F 2为曲线C 1所在圆锥曲线的焦点，点F 3，F 4为曲线C 2所在圆锥曲线的焦点，F 2(2，0)，F 4(6，0).Oxy F 1F 2F 3F 4A B (1)求曲线Γ的方程；(2)如图，作直线l 平行于曲线C 2的渐近线，交曲线C 1于点A ，B ，求证：弦AB 的中点M 必在曲线C 2的博观而约取 厚积而薄发另一条渐近线上.题型十一:双曲线中定点问题1已知F 2(1,0)为椭圆C 1的右焦点且F 为双曲线C 2的右顶点，椭圆C 1与双曲线C 2的一个交点是M 233,33．若点P 是双曲线右支上的动点，直线PF 2交y 轴于点Q ，试问以线段PQ 为直径的圆是否恒过定点？证明你的结论．2在平面直角坐标系中，动点M x ,y 与定点F 5,0 的距离和M 到定直线l :x =165的距离的比是常数54，设动点M 的轨迹为曲线C .(1)求曲线C 的方程；(2)设P 2,0 ，垂直于x 轴的直线与曲线C 相交于A ,B 两点，直线AP 和曲线C 交于另一点D ，求证：直线BD 过定点.题型十二:双曲线中定值问题1已知双曲线C ：x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)过点2,2 ，且渐近线方程为y =±2x .直线l 过点0,1 ，且与C 交于M ，N 两点.(1)求双曲线C 的方程；(2)在y 轴上是否存在定点Q ，使得QM ⋅QN 为定值？若存在，求出点Q 坐标；若不存在，说明理由.2如图，在平面直角坐标系中，F 1,F 2分别为双曲线Γ:x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 的左、右焦点，双曲线离心率为2，若点A 为双曲线右支上一点，且AF 1 -AF 2 =22，直线AF 2交双曲线于B 点，点D 为线段F 1O 的中点，延长AD ,BD ，分别与双曲线Γ交于P ,Q 两点.(1)若A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ，求证：x 1y 2-x 2y 1=2y 2-y 1 ；(2)若直线AB ,PQ 的斜率都存在，且依次设为k 1,k 2.试判断k 2k 1是否为定值，如果是，请求出k 2k 1的值；如果不是，请说明理由.3已知双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1(a >0，b >0)的焦距为25，且双曲线C 右支上一动点P x 0,y 0 到两条渐近线l 1，l 2的距离之积为4b 25．(1)求双曲线C 的方程；(2)设直线l 是曲线C 在点P x 0,y 0 处的切线，且l 分别交两条渐近线l 1，l 2于M 、N 两点，O 为坐标原点，证明：△MON 面积为定值，并求出该定值．4已知双曲线Γ:x 2a 2-y 2b2=1(a >0，b >0)的左、右顶点分别为A 1-1,0 、A 21,0 ，离心率为2，过点F 2,0 斜率不为0的直线l 与Γ交于P 、Q 两点．(1)求双曲线Γ的渐近线方程；(2)记直线A 1P 、A 2Q 的斜率分别为k 1、k 2，求证：k 1k 2为定值．5已知椭圆C 1：x 2a2+y 26=1a >6 ，C 1的左右焦点F 1，F 2是双曲线C 2的左右顶点，C 1的离心率为63，C 2的离心率为2，点E 在C 2上，过点E 和F 1，F 2分别作直线交椭圆C 1于F ，G 和M ，N 点，如图.O x yF 1F 2FM E GN (1)求C 1，C 2的方程；(2)求证：直线EF 1和EF 2的斜率之积为定值；(3)求证：1FG +1MN为定值.6已知双曲线C 1的离心率e =3，虚轴在y 轴上且长为2．(1)求双曲线C 1的标准方程；(2)若斜率为1的直线m 交C 1于A 、B 两点，且直线m 与圆x 2+y 2=1相切，求证：OA ⊥OB ；(3)已知椭圆C 2:4x 2+y 2=1，若P 、Q 分别是C 1、C 2上的动点，且OP ⊥OQ ，探究点O 到直线PQ 的距离d 是否为定值，若是，求出此定值；若不是，请说明理由．题型十三:双曲线中定直线问题1已知双曲线C ：x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 的离心率为2，F 为双曲线C 的右焦点，(2，3)是双曲线C 上的一个点.(1)求双曲线C 的方程；(2)若过F 且不与渐近线平行的直线l (斜率不为0)与双曲线C 的两个交点分别为M ，N ，记双曲线C 在点M ，N 处的切线分别为l 1，l 2，点P 为直线l 1与直线l 2的交点，试判断点P 是否在一条定直线上，若是，求出定直线的方程；若不是，请说明理由.(注：若双曲线方程为x 2a2-y 2b 2=1，则该双曲线在点x 0,y 0 处博观而约取 厚积而薄发的切线方程为x 0x a 2-y 0y b 2=1)2已知双曲线Γ:x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)过点4,13 ，离心率为14，直线l :x =9交x 轴于点A ，过点A 作直线交双曲线Γ于M ,N 两点.(1)求双曲线Γ的标准方程；(2)若M 是线段AN 的中点，求直线MN 的方程；(3)设P ,Q 是直线l 上关于x 轴对称的两点，直线PM 与QN 的交点是否在一条直线上？请说明你的理由.题型十四:双曲线中向量问题1已知双曲线C 的方程为2y 2a2-2x 2=1(a >0)，离心率为2.(1)求双曲线C 的标准方程；(2)过E (0,1)的直线l 交曲线C 于M 、N 两点，求EM ⋅EN 的取值范围.2已知双曲线x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的实轴长为43，焦点到渐近线的距离为3(1)求双曲线的方程；(2)已知直线y =33x -2与双曲线的右支交于M ，N 两点，且在双曲线的右支上存在点D ，使OM +ON =tOD (O 为坐标原点)，求t 的值及点D 的坐标．。
7类二级结论双曲线小题应用全答案
7类二级结论双曲线应用全参考答案：1．1260F PF ∠=︒【详解】不妨设点()00,P x y 在双曲线的右支上.由题设易得12F F =121001122PF F S F F y ==⨯=解得02y =.又由22001x y -=，解得2200651142x y =+=+=.由双曲线的第二定义得21001a PF e x a ex c ⎡⎤⎛⎫=--=+=+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦，及220001a PF e x ex a c ⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭.再由余弦定理得()()2222001220112218cos 221x F PF x +--+-∠==-2(51)812(51)2⨯+-==⨯-.故1260F PF ∠=︒.2．C【分析】根据题目条件求出双曲线方程，得到渐近线方程，可得两条渐近线的夹角.【详解】设1PF m =，2PF n =，由双曲线的定义可知2m n a -=，又1290F PF ∠=，2c =，123F PF S = ，可得2224m n c +=，6mn =，即()2222412416m n mn a c -+=+==，解得1a=，b==可得双曲线的渐近线方程为y=，两条渐近线的夹角为60 .故选：C 3【分析】利用余弦定理可得1PF =，然后利用双曲线的定义结合条件即得.【详解】因为2122PF F F c ==，21π6F F P ∠=，所以2112222211212cos PF PF F F PF F F F F P +⋅∠=-，即222112244c PF c PF c =-+⋅，所以1PF =，又122PF PF a -=，所以22c a -=，即e ==故答案为：.4．65因为1112+-+=λλk e所以6=5e =；5．6因为1112-++=λλk e所以e =6．D因为1112+-+=λλk e=；0k k >∴= 7．C【分析】由焦点到渐近线的距离得到b ，联立直线与双曲线的方程，用点差法可以得到两条直线的斜率，由116PA PB k k ⋅=，求a 的值，A ，B ，D 三个选项即可判断，C 选项考查双曲线的定义，用()2221212122PF PF PF PF PF PF +=-+得到12PF PF 的值，就可以计算三角形的面积.【详解】因为双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的焦点到渐近线的距离为1，则1b =，所以双曲线方程为C ：()22210x y a a -=>，由2221y kx x y a=⎧⎪⎨-=⎪⎩可得222110k x a ⎛⎫--= ⎪⎝⎭，设()11,A x y ，()22,B x y ，则120x x +=，即21x x =-，∴()11,B x y --，设()00,P x y 则221121x y a -=，220021x y a -=，所以222210102x x y y a -=-，即2210222101y y x x a -=-，又1010PA y y k x x -=-，1010PB y y k x x --=--，116PA PB k k ⋅=，所以221010012221010011116PA PBy y y y y y k k x x x x x x a ----⋅=⋅===----，∴216a =，即4a =，故A 错误；所以双曲线C ：22116x y -=，1b =，c =双曲线C 的渐近线方程为14y x =±，离心率为4，故B 错误，D 错误；若12PF PF ⊥，则()(22221212122PF PF PF PF PF PF +=-+=，所以122PF PF =，12PF F △的面积为1，故C 正确.故选：C.8．B【分析】由题知()()4,0,4,0A B -，进而结合题意设()()0000,,,C x y D x y -，再结合()202091616x y -=，计算12k k 即可得答案.【详解】解：由题知()()4,0,4,0A B -，因为圆221:1169x y C -=与双曲线交于,C D 两点，所以，根据对称性可设()()0000,,,C x y D x y -，所以，001200,44y y k k x x -==+-，所以20001220004416y y y k k x x x --=⋅=+--，因为22001169x y -=，即()202091616x y -=，所以()2020001222000091691644161616x y y y k k x x x x ----=⋅===-+---故选：B 9．A【分析】设()00,P x y ，应用斜率两点式得到202202y x a =-，根据P 为双曲线C 上一点即可得双曲线参数关系，进而求其离心率.【详解】依题意12(,0),(,0)A a A a -，设()00,P x y ，则0012002y yk k x a x a⋅=⋅=+-，∴202202y x a =-，又()2222220220000222211b x a x y x y b a b a a -⎛⎫-=⇒=-= ⎪⎝⎭，∴222b a=，故22213b e a =+=，即e =故选：A 10．B【分析】首先根据题意得到a =1b =，c =x 轴，再根据点到直线的距离求解即可。
3.2.1 双曲线(第一课时)(精练)(解析版)
3.2.1 双曲线【题组一 双曲线的定义】1．（2019·山东青岛二中高二月考）平面内，一个动点P ，两个定点1F ，2F ，若12PF PF -为大于零的常数，则动点P 的轨迹为（ ） A ．双曲线 B ．射线C ．线段D ．双曲线的一支或射线【答案】D【解析】两个定点的距离为12F F ,当1212PF PF F F -<时，P 点的轨迹为双曲线的一支； 当1212PF PF F F -=时，P 点的轨迹为射线； 不存在1212PF PF F F ->的情况. 综上所述，P 的轨迹为双曲线的一支或射线. 故选：D2．（2019·上海市宜川中学高二期末）设P 是双曲线22143y x -=上的动点，则P 到该双曲线两个焦点的距离之差为（ ）A ．4B ．C ．D ．【答案】A【解析】由题得24,2a a =∴=.由双曲线的定义可知P 到该双曲线两个焦点的距离之差24a =. 故选：A3．已知点F 1(0，－13)，F 2(0,13)，动点P 到F 1与F 2的距离之差的绝对值为26，则动点P 的轨迹方程为( ) A ．y ＝0 B ．y ＝0(|x|≥13)C ．x ＝0(|y|≥13) D ．以上都不对 【答案】C【解析】∵||PF 1|－|PF 2||＝|F 1F 2|，∴点P 的轨迹是分别以F 1，F 2为端点的两条射线．所以点P 的轨迹方程为x ＝0(|y|≥13).故答案为：C4．（2020·四川内江）一动圆与两圆x 2+y 2＝1和x 2+y 2﹣8x +12＝0都外切，则动圆圆心轨迹为（ ） A ．圆B ．椭圆C ．双曲线的一支D ．抛物线【答案】C【解析】设动圆圆心(,)M x y ，半径为r ，圆x 2+y 2＝1的圆心为(0,0)O ，半径为1， 圆x 2+y 2﹣8x +12＝0，得22(4)4x y -+=，则圆心(4,0)C ，半径为2，根据圆与圆相切，则||1MO r =+，||2MC r =+，两式相减得||||1MC MO -=， 根据定义可得动圆圆心轨迹为双曲线的一支. 故选：C5．（2020·渝中）若双曲线22:1916x y E -=的左、右焦点分别为12,F F ，点P 在双曲线E 上，且13PF =，则2PF 等于（ ） A ．11 B ．9C ．6D ．5【答案】B【解析】由双曲线22:1916x y E -=，可得3a =，由双曲线的性质可得：126PF PF -=，可得29PF =或23PF =-(舍去)，故选：B.6．双曲线的左右焦点为F 1,F 2，过点F 2的直线l 与右支交于点P,Q ，若|PF 1|=|PQ|，则|PF 2|的值为（ ） A ．4 B ．6C ．8D ．10【答案】B 【解析】因为双曲线的左右焦点为F 1,F 2，过点F 2的直线l 与右支交于点P,Q ，若|PF 1|=|PQ|，利用双曲线的定义，以及直线与双曲线联立方程组得到弦长，得到|PF 2|的值为6选B 【题组二 双曲线定义的运用】1．（2020·四川省遂宁市第二中学校）已知双曲线221259x y -=上有一点M 到右焦点1F 的距离为18，则点M到左焦点2F 的距离是（ ） A ．8 B ．28C ．12D ．8或28【答案】D【解析】双曲线221259x y -=的5a =，3b =，c ==由双曲线的定义得12||||||210MF MF a -==，即为21810MF -=，解得28MF =或28.检验若M 在左支上，可得15MF c a ≥-=，成立；若M 在右支上，可得15MF c a ≥+=+，成立.故选：D2．（2020·全国高二课时练习）已知方程222213x y m n m n-=+-表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n 的取值范围是A ．(–1,3)B ．C ．(0,3)D ．)【答案】A【解析】由题意知：双曲线的焦点在x 轴上，所以2234m n m n ++-=，解得21m =，因为方程22113x y n n-=+-表示双曲线，所以10{30n n +>->，解得1{3n n >-<，所以n 的取值范围是()1,3-，故选A ． 3．（2020·全国）“35m -<<”是“方程22153x y m m -=-+表示双曲线”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】可以直接求出方程22153x y m m -=-+表示双曲线的充要条件，即为(5)(3)035m m m -+>⇔-<<，因此可知条件和结论之间的关系是充要条件，因此选C.4．（2019·绥德中学高二月考（理））方程22111x y k k+=+-表示双曲线，则k 的取值范围是（ ）A ．11k -<<B ．0k >C ．0k ≥D ．1k >或1k <-【答案】D【解析】方程22111x y k k+=+-表示双曲线，则()()k k +-<110，解得1k >或1k <-.故选：D.5．（2019·黑龙江龙凤大庆四中高二月考（文））方程22123x y m m +=-+表示双曲线的一个充分不必要条件是（ ） A ．－3＜m ＜0 B ．－3＜m ＜2 C ．－3＜m ＜4 D ．－1＜m ＜3【答案】A【解析】由题意知，()()23032m m m -+<⇒-<<，则C ，D 均不正确，而B 为充要条件，不合题意，故选A.6．（2020·山东青岛）已知曲线C 的方程为()222126x y k k k-=∈--R ，则下列结论正确的是（ ）A ．当8k时，曲线C 为椭圆，其焦距为4B ．当2k =时，曲线C C ．存在实数k 使得曲线C 为焦点在y 轴上的双曲线D ．当3k =时，曲线C 为双曲线，其渐近线与圆()2249x y -+=相切 【答案】B【解析】对于A ，当8k 时，曲线C 的方程为221622x y +=，轨迹为椭圆，焦距2c ==，A 错误；对于B ，当2k =时，曲线C 的方程为22124x y -=，轨迹为双曲线，则a =c =∴离心率==ce a，B 正确； 对于C ，若曲线C 表示焦点在y 轴上的双曲线，则26020k k -<⎧⎨-<⎩，解集为空集， ∴不存在实数k 使得曲线C 为焦点在y 轴上的双曲线，C 错误；对于D ，当3k =时，曲线C 的方程为22173x y -=，其渐近线方程为7y x =±，则圆()2249x y -+=的圆心到渐近线的距离4214323035214910d ±===≠+，∴双曲线渐近线与圆()2249x y -+=不相切，D 错误.故选：B .7.（2019·浙江高二期末）设F 1,F 2是双曲线x 25−y 24=1的两个焦点，P 是该双曲线上一点，且|PF 1|:|PF 2|=2:1，则ΔPF 1F 2的面积等于__________． 【答案】12 【解析】由于x 25−y 24=1，因此a =√5，c =3，故|F 1F 2|=2c =6，由于|PF 1|:|PF 2|=2:1即|PF 1|=2|PF 2|，而|PF 1|−|PF 2|=2a =2√5，所以|PF 1|=4√5，|PF 2|=2√5，cos∠F 1PF 2=PF 12+PF 22−F 1F 222PF 1⋅PF 2=45，所以sin∠F 1PF 2=35，因此S ΔPF 1F 2=12|PF 1||PF 2|sin∠F 1PF 2=12. 8．（2019·湖北高二期中（文））已知双曲线2214x y -=的两个焦点分别为F 1、F 2，点P 在双曲线上且满足∠F 1PF 2=60°，则△F 1PF 2的面积为_______．【解析】因为22212121212||||||2||||cos F F PF PF PF PF F PF =+-∠212121212(||||)2||||2||||cos PF PF PF PF PF PF F PF =-+-∠,所以21212π4(41)(22)2||||2||||cos3PF PF PF PF +=⨯+-，12121π||||=44sin 23PF F PF PF S∴=⨯⨯=， 【题组三 双曲线标准方程】1．（2020·全国高三其他（文））已知双曲线221(0)6x y m m m -=>+的虚轴长是实轴长的2倍，则双曲线的标准方程为（ ）A ．22124x y -=B ．22148x y -=C ．2218y x -=D ．22128x y -=【答案】D【解析】由题意可得：22,6a m b m ==+，则实轴长为：由题意有：2=，解得：2m =，代入2216x y m m -=+可得双曲线方程为22128x y -=.本题选择D 选项.2．（2020·全国高二月考（文））过双曲线C ：22221x y a b -=的左焦点F 的直线，恰好与圆222x y a +=相切，C 的右顶点为A ，且2AF =C 的标准方程为（ ）A ．2213y x -=B ．2213x y -=C ．2214y x -=D ．2214x y -=【答案】B【解析】设左焦点为(),0F c -，则直线方程)y x c =+，0y -+=0y -+=恰好与圆222x y a +=相切，所以圆心()0,00y -+=的距离等于半径，即2a =a c =，则2a c =.则22AF a c c =+=+=解得2c =，a =则1b =.所以双曲线C 的标准方程为2213xy -=.故选:B .3．（2020·甘肃城关）已知双曲线C ：22221x y a b-=，O 为坐标原点，直线x a =与双曲线C 的两条渐近线交于A ，B 两点，若OAB ∆是边长为2的等边三角形，则双曲线C 的方程为（ ）A ．2213x y -=B ．2213y x -=C ．221124x y -=D ．221412x y -=【答案】A 【解析】由图可知，a =30，所以b a =1b =，所以双曲线C 的方程为2213x y -=.故选：A4．（2020·河南开封）已知双曲线的一条渐近线方程为2y x =，且经过点(2,，则该双曲线的标准方程为（ ）A ．2214x y -=B ．2214y x -=C ．2214y x -=D ．2214x y -=【答案】B【解析】对于A 选项，双曲线的渐近线为12y x =±，不符合题意.对于B 选项，双曲线的渐近线为2y x =±，且过点(2,，符合题意.对于C 选项，双曲线的渐近线为2y x =±，但不过点(2,，不符合题意.对于D 选项，双曲线的渐近线为12y x =±，不符合题意.综上所述，本小题选B.5．（2020·湖南）已知双曲线C ，点(P 在C 上，则C 的方程为（）A ．22142-=x yB ．221714x y -=C ．22124x y -=D ．221147y x -=【答案】B【解析】当双曲线的焦点在x 轴，设双曲线的方程为：22221(a 0,b 0)x y a b-=>>.根据题意可得：22222821ca abc a b ⎧=⎪⎪⎪-=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得22714a b ，==，所以221714x y -=.当双曲线的焦点在y 轴，设双曲线的方程为：22221(a 0,b 0)y x a b-=>>.根据题意可得：22222281ca abc a b ⎧=⎪⎪⎪-=⎨⎪=+⎪⎪⎩，方程无解.综上C 的方程为221714x y -=.故选B.【题组四 双曲线的渐近线】1．（2020·河北石家庄二中高二月考）已知双曲线22142-=y x ，则其渐近线方程为( )A．y = B．2y x =±C ．12y x =±D ．2y x =±【答案】A【解析】双曲线方程为22142-=y x，则渐近线方程为：02y =即y =．故选：A ． 2．（2020·河北承德第一中学高二月考）设焦点在x 轴上的双曲线的虚轴长为2，焦距为的渐近线方程（ ） A．y = B ．2y x =±C．2y x =±D ．12y x =±【答案】C【解析】因为焦点在x 轴上的双曲线虚轴长为2，焦距为22b =，2c =则有1b =，c =，则a ==22121x y-= ，该双曲线的渐近线方程为为：2y x =±故选：C ．3．（2019·福建省南安市侨光中学高三月考（文））设双曲线的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率e =则该双曲线的渐近线方程为（ ） A ．12y x =±B ．2y x =±C ．4y x =±D ．y x =±【答案】B【解析】由题可知c e a ==，222c a b =+，解得2ba=，所以双曲线的渐近线方程为：2y x =±，选B.4．（2020·全国高三其他（文））设双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右顶点分别为1A 、2A ，若点P 为双曲线左支上的一点，且直线1PA 、2PA 的斜率分别为1-，13-，则双曲线的渐近线方程为______________.【答案】3y x =±【解析】1PA 的方程为()y x a =-+，2PA 的方程为()13y x a =--，则()2,P a a -，将点P 的坐标，代入双曲线，则222241a a a b -=，则2213b a =，则b a =则双曲线渐近线方程为y x =.故答案为：y x =. 5.（2019·黑龙江哈尔滨市第六中学校高二月考（文））已知双曲线22143y x -=,则焦点到渐近线的距离为 。
【圆锥曲线】06双曲线的弦长和中点弦问题(含经典题型+答案)
双曲线的弦长公式与中点弦问题1.两条渐近线为02=+y x 和02=-y x 且被直线03=--y x 截得弦长为338的双曲线方程是 . 2.斜率为2的直线被双曲线22132x y -=截得的弦长为4，求直线的方程． 3.已知倾斜角为4π的直线l 被双曲线60422=-y x 截得的弦长28=AB ，求直线l 的方程．秒杀秘籍：双曲线的弦长公式与面积（不过焦点的弦）双曲线()222210,0x y a b a b-=>>与直线l ：y kx m =+相交于AB 两点，求AB 的弦长。
设：()()1122,,,A x y B x y 则()22121214AB kx x x x =++- 将y kx m =+代入22221x ya b-=得：()22222222220b k a x a kmx a m a b ----=()221222222212222a km x xb k a a m b x x b k a ⎧⎪+=⎪⎪-⎨⎪--⎪⋅=⎪-⎩∴()222222212122222141ab b k a m AB k x x x x k b k a -+∴=++-=+-例1：已知直线1+=x y 与双曲线14:22=-y x C 交于A 、B 两点，求AB 的弦长 解：设：()()1122,,,A x y B x y 则()()()22222121121214AB x x y y k x x x x =-+-=++-将1y x =+代入2214yx -=得：23250x x --=21235123x x x x +=⋅=-⎧∴⎨⎩22218213AB kx x ∴=+-=双曲线与直线交点的判别式：()2222224a b b k a m ∆=-+用来判断是否有两个交点问题。
面积问题：双曲线与直线m kx y l +=:相交与两点，()00,y x C 为AB 外任意一点，求ABC S ∆。
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双 曲 线
是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面，它的最小半径为12 m ，上口半径为13 m ，下口半径为25 m ，高55 m.选择适当的坐标系，求出此双曲线的方程（精确到1m ）.
解：如图8—17，建立直角坐标系xOy ，使A 圆的直径AA ′在x 轴上，圆心与原点重合.这时上、下口的直径CC ′、BB ′平行于x 轴，且C C '=13×2 (m)，B B '=25×2 (m).设双曲线的方程
为122
22=-b
y a x （a >0,b >0）令点C 的坐标为（13，y ），则点B 的坐标为（25，y －55）.因为点B 、C 在双曲线上，所以,1)55(12252
222=--b y .1121322
22=-b
y
解方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=--(2)
11213(1) 1)55(12252
2
222
2
22b y b y 由方程（2）得 b y 125= （负值舍去）.代入方程
（1）得,1)55125(12252222
=--b
b
化简得 19b 2+275b －18150=0 （3） 解方程（3）得 b ≈25 (m).所以所求双曲线方程为：
.1625
1442
2=-y x 例2. ABC ∆中，固定底边BC ，让顶点A 移动，已知4=BC ，且A B C sin 2
1sin sin =-，求顶点A 的轨迹方程．
解：取BC 的中点O 为原点，BC 所在直线为x 轴，建立直角坐标系，因为4=BC ，所以B(0,2-)，
)0,2(c ．利用正弦定理，从条件得242
1
=⨯=
-b c ，即2=-AC AB ．由双曲线定义知，点A 的轨迹是B 、C 为焦点，焦距为4，实轴长为2，虚轴长为32的双曲线右支，点(1，0)除外，即轨迹方程为13
2
2=-
y x (1>x )． 变式训练3：已知双曲线)0,0(122
22>>=-b a b
y a x 的一条渐近线方程为x y 3=，两条准
线的距离为l .
（1）求双曲线的方程；
（2）直线l 过坐标原点O 且和双曲线交于两点M 、N ，点P 为双曲线上异于M 、N 的一点，且直线PM ，PN 的斜率均存在，求k PM ·k PN 的值.
典型例题
（1）解：依题意有：.
3,1,,12,3222222==⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪⎨
⎧=+==b a c b a c a
a b
解得
可得双曲线方程为.13
2
2
=-y x （2）解：设).,(,),,(0000y x N y x M --可得由双曲线的对称性
,
33,33,
13.),,(222
0202
20
2
22
020000-=-==---=++⋅--=⋅P P P P P P P P PN
PM P P x y x y y x x x y y x x y y x x y y k k y x P 同理所以又则设
所以.333332
22
02=-+--=⋅x x x x k k P P PN
PM 例3. 设双曲线C ：12
22
=-y x 的左、右顶点分别为A 1、A 2，垂直于x 轴的直线m 与双曲线C 交于不同的两点P 、Q 。
（1）若直线m 与x 轴正半轴的交点为T ，且121=⋅Q A P A ，求点T 的坐标； （2）求直线A 1P 与直线A 2Q 的交点M 的轨迹E 的方程；
（3）过点F （1，0）作直线l 与（Ⅱ）中的轨迹E 交于不同的两点A 、B ，设λ=，若||],1,2[TB TA +--∈求λ（T 为（Ⅰ）中的点）的取值范围。
解：（1）由题，得)0,2(),0,2(21A A -，设),(),,(0000y x Q y x P - 则).,2(),,2(002001y x Q A y x P A --=+=
由.3,1212020202021=-=--⇒=⋅y x y x A A 即 …………① 又),(00y x P 在双曲线上，则.12
2
02
0=-y x …………② 联立①、②，解得 20±=x
由题意， .2 ,000=∴>x x ∴点T 的坐标为（2，0） …………3分
（2）设直线A 1P 与直线A 2Q 的交点M 的坐标为（x ，y ） 由A 1、P 、M 三点共线，得
)2()2(00+=+x y y x …………③ …………1分
由A 2、Q 、M 三点共线，得
)2()2(00--=-x y y x …………④ …………1分
联立③、④，解得 .2,2
00x
y
y x x ==
…………1分 ∵),(00y x P 在双曲线上， ∴.1)2(2)2(22
=-x
y x
∴轨迹E 的方程为).0,0( 12
22
≠≠=+y x y x …………1分 （3）容易验证直线l 的斜率不为0。
故可设直线l 的方程为 12
122
=++=y x ky x ，代入中，得 .024)2(22=+++ky y k
设 00),,(),,(212211≠≠y y y x B y x A 且
则由根与系数的关系，得2
2221+-=+k k y y ……⑤
.22
221+-=k y y ……⑥ …………2分
∵，FB FA λ= ∴有.02
1<=λλ，且y y
将⑤式平方除以⑥式，得 2
42124222222221+-=++⇒+-=++k k k k y y y y λλ …………1分 由021
2125]1,2[≤++⇒-≤+≤-
⇒--∈λ
λλλλ .7207202
4212222≤≤⇒≤⇒≤+-≤-⇒k k k k …………1分
∵).,4(),,2(),,2(21212211y y x x y x y x +-+=+∴-=-=
又.2
)
1(42)(4,222221212
21++-=-+=-+∴+-=+k k y y k x x k k y y 故2212212)()4(||y y x x TB TA ++-+=+
2
22222222222)
2(8
)2(28)2(16)2(4)2()1(15+++-+=++++=k k k k k k k 2
22)2(8
22816+++-=k k 令720.2
122
≤≤+=k k t Θ ∴21211672≤+≤k ，即 ].21
,167[∈t ∴.2
17)47(816288)(||22
2-
-=+-==+t t t t f 而 ]21,167[∈t ， ∴].32
169
,4[)(∈t f
∴].8
2
13,
2[||∈+ 变式训练1：)已知中心在原点，左、右顶点A 1、A 2在x 轴上，离心率为
3
21的双曲线C 经过点P （6,6），动直线l 经过△A 1PA 2的重心G 与双曲线C 交于不同两点M 、N ，Q 为线段MN 的中点. （1）求双曲线C 的标准方程
（2）当直线l 的斜率为何值时，022=⋅PA QA 。
本小题考查双曲线标准议程中各量之间关系，以及直线与双曲线的位置关系。
解（1）设双曲线C 的方程为()0,0122
22>>=-b a b
y a x
,
34,
37,37,321222
222
=∴=+=∴=a
b a b a e e 即Θ 又P （6,6）在双曲线C 上，1363622=-∴b
a
由①、②解得.12,92
2==b a
所以双曲线C 的方程为
112
92
2=-y x 。
（2）由双曲线C 的方程可得()()()6,6P ,0,3,0,321又A A -
所以△A 1PA 2的重点G （2,2）
设直线l 的方程为()22+-=x k y 代入C 的方程，整理得
()()()()()()
00221122
2
,,,,,0
421211234y x Q y x N y x M k k x k k x
k 又设=+---+-
()()()()()112
63116,1,0.1263183,2.4
31822;431622
222002
0022102222-=-+-∴
-=⋅∴=⋅-+-=-==--=+-=--=+=k k k k k PA QA k k k x y k k k k x k y k k k x x x QA PA QA PA Θ 整理得041032
=+-k k
解得313
5±=
k 由③，可得()
⎪⎩⎪⎨⎧>+--=∆≠-0
1685480
342
2
k k k ① ②② ③③
④②
解得3
3
2,54645464±≠-<<+-
k k 且 由④、⑤，得3
13
5-=k
5．对于直线与双曲线的位置关系，要注意“数形转化”“数形结合”，既可以转化为方程组的解的个数来确定，又可以把直线与双曲线的渐近线进行比较，从“形”的角度来判断．
⑤③。